一次函数动点问题(教
师版)
https://www.doczj.com/doc/c310500215.html,work Information Technology Company.2020YEAR
一次函数动点问题
一、选择与填空
1.如图1，点A 的坐标为(1，0)，点B 在直线y x =-上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为
A ．（0，0）
B ．（
12，－12
） C ．（2，－2） D ．（－12，1
2
）
2. 如图1，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD 运动至点D 停止．设点P 运动的路程为x ，△ ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△BCD 的面积是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
3.如图，点G 、D 、C 在直线a 上，点E 、F 、A 、B 在直线b 上，若a b Rt GEF ∥，△从如图所示的位置出发，沿直线b 向右匀速运动，直到EG 与BC 重合．运动过程中GEF △与矩形ABCD 重合部分．．．．
的面积（S ）随时间（t ）变化的图象大致是（ ）
4.如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回，点P 在运动过程中速度大小不变，则以点A 为圆心，线段AP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 之间的函数图象大致为（ ）
O S
t O
S t O
S t O
S t
A P B
A ．
B ．
C ．
D ．
（第4题）
图1
2 O
5 x A B C
P D 图1
G D C E F A B b a （第3题s t O A s t O B C s t O D s
t O
二、存在性问题
1.如图,以等边△OAB 的边OB 所在直线为x 轴,点O 为坐标原点,使点A 在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB 边长为6个单位，点P 从O 点出发沿折线OAB 向B 点以3单位/秒的速度向B 点运动,点Q 从O 点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA 向A 点运动，两点同时出发，运动时间为t （单位：秒），当两点相遇时运动停止.
① 点A 坐标为_____________，P 、Q 两点相遇时交点的坐标为________________; ② 当t =2时，S =△OPQ ____________;当t =3时，OPQ S =△____________;
③ 设△OPQ 的面积为S ，试求S 关于t 的函数关系式;
④ 当△OPQ 的面积最大时，试求在y 轴上能否找一点M ，使得以M 、P 、Q 为顶点的三角形是Rt △，若能找到请求出M 点的坐标，若不能找到请简单说明理由。
2．如图①，过点（1，5）和（4，2）两点的直线分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点．
（1）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有
_________ 个（请直接写出结果）；
（2）设点C （4，0），点C 关于直线AB 的对称点为D ，请直接写出点D 的坐标 _________ ； （3）如图②，请在直线AB 和y 轴上分别找一点M 、N 使△CMN 的周长最短，在图②中作出图形，并求出点N 的坐标．
考点：一次函数综合题。
x
y
O
A
B x y
O
A
B x
y
O
A
B
分析：（1）先利用待定系数法求得直线AB的解析式为y=﹣x+6；再分别把x=2、3、4、5代入，求出对应的纵坐标，从而得到图中阴影部分（不包括边界）所含格点的坐标；
（2）首先根据直线AB的解析式可知△OAB是等腰直角三角形，然后根据轴对称的性质即可求出点D 的坐标；
（3）作出点C关于直线y轴的对称点E，连接DE交AB于点M，交y轴于点N，则此时△CMN的周长最短．由D、E两点的坐标利用待定系数法求出直线DE的解析式，再根据y轴上点的坐标特征，即可求出点N的坐标．
解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
把（1，5），（4，2）代入得，
kx+b=5，4k+b=2，
解得k=﹣1，b=6，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+6；
当x=2，y=4；
当x=3，y=3；
当x=4，y=2；
当x=5，y=1．
∴图中阴影部分（不包括边界）所含格点的有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（2，1），（2，2），（2，3），
（3，1），（3，2），
（4，1）．
一共10个；
（2）∵直线y=﹣x+6与x轴、y轴交于A、B两点，
∴A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，6），
∴OA=OB=6，∠OAB=45°．
∵点C关于直线AB的对称点为D，点C（4，0），
∴AD=AC=2，AB⊥CD，
∴∠DAB=∠CAB=45°，
∴∠DAC=90°，
∴点D的坐标为（6，2）；
（3）作出点C关于直线y轴的对称点E，连接DE交AB于点M，交y轴于点N，则NC=NE，点E（﹣4，0）．
又∵点C关于直线AB的对称点为D，∴CM=DM，
∴△CMN的周长=CM+MN+NC=DM+MN+NE=DE，此时周长最短．
设直线DE的解析式为y=mx+n．
把D（6，2），E（﹣4，0）代入，得
6m+n=2，﹣4m+n=0，
解得m=，n=，
∴直线DE的解析式为y=x+．
令x=0，得y=，
∴点N的坐标为（0，）．
故答案为10；（6，2）．
3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与3
34
y x =-+交于点A ，分别交x 轴于
点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点．
（1）求点A B C ，，的坐标．
（2）当CBD △为等腰三角形时，求点D 的坐标． （3）在直线AB 上是否存在点E ，使得以点E D O A ，，，
为顶点的四边形是平行四边形？
4．如图，四边形OABC 为直角梯形，BC ∥OA ，A （9，0），C （0，4），AB=5． 点M 从点O 出发以每秒2个单位长度的速度向点A 运动；点N 从点B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动． （1）求直线AB 的解析式；
（2）t 为何值时，直线MN 将梯形OABC 的面积分成1：2两部分；
（3）当t=1时，连接AC 、MN 交于点P ，在平面内是否存在点Q ，使得以点N 、P 、A 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题。
分析：（1）作BD ⊥OA 于点D ，利用勾股定理求出AD 的值，从而求出B 点的坐标，利用待定系数法求出直线AB 的解析式；
A y
x
D C
O
B
（2）梯形面积分为1：2的两部分，要注意分两种去情况进行分别计算，利用面积比建立等量关系求出t的值．
（3）M、N两点的坐标求出MN的解析式和AC的解析式，利用直线与方程组的关系求出P点坐标，利用三角形全等求出Q、Q1的坐标，求出直线Q1P、QN的解析式，再求出其交点坐标就是Q2的坐标．
解答：解：（1）作BD⊥0A于点D．
∴BD=4，
∵AB=5，
由勾股定理得AD=3
∴OD=6
∴B（6，4）
设直线AB的解析式为：y=kx+b，由题意得
解得：
∴直线AB的解析式为：；
（2）设t秒后直线MN将梯形OABC的面积分成1：2两部分，则
BN=t，CN=6﹣t，OM=2t，MA=9﹣2t
当S四边形OMNC：S四边形NMAB=1：2时
解得：t=﹣1（舍去）
当S四边形OMNC：S四边形NMAB=2：1时
，
解得t=4
∴t=4时，直线MN将梯形OABC的面积分成1：2两部分．
（3）存在满足条件的Q点，如图：Q（9.5，2），Q1（8.5，﹣2），Q2（0.5，6）．
点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了用待定系数法求函数的解析式，图形的面积，直线的解析式与二元一次方程组的关系，勾股定理及三角形全等的性质的运用．
5．在平面直角坐标系中，△AOC中，∠ACO=90°．把AO绕O点顺时针旋转90°得OB，连接AB，作BD⊥直线CO于D，点A的坐标为（﹣3，1）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若AB中点为M，连接CM，动点P、Q分别从C点出发，点P沿射线CM以每秒个单位长度的速度运动，点Q沿线段CD以每秒1个长度的速度向终点D运动，当Q点运动到D点时，P、Q同时停止，设△PQO的面积为S（S≠0），运动时间为T秒，求S与T的函数关系式，并直接写出自变量T的取值范围；
（3）在（2）的条件下，动点P在运动过程中，是否存在P点，使四边形以P、O、B、N（N为平面上一点）为顶点的矩形？若存在，求出T的值．
考点：一次函数综合题。
分析：（1）先求出点B的坐标，再代入一次函数的解析式即可；
（2）根据AB中点为M，求出点M的坐标，再求出CM的解析式，过点P做PH⊥CO交CO于点H，用t表示出OQ和PH的长，根据S=OQ?PH即可求出S与T的函数关系式；
（3）此题需分四种情况分别求出T的值即可．
解答：解：（1）∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOC=90°
∵BD垂直于CD
∵∠BDO=90°，
∠OBD+∠BOD=90°，
∠AOC=∠BOD，
∵OA=OB∠AOC=∠BOD=90°，
∴△AOC≌△OBD，
∴AC=OD，CO=BD
∵A （﹣3，1），
∴AC=OC=1，OC=BD=3， ∴B （1，3）， ∴y=x+；
（2）M （﹣1，2），C （﹣3，0）， ∴直线MC 的解析式为：y=x+3 ∴∠MCO=45°，
过点P 做PH ⊥CO 交CO 于点H ，
S=OQ?PH=（3﹣t ）×t=t 2+t （0＜t ＜3） 或S=（t ﹣3）t=t 2﹣t （3＜t≤4）；
（3）t 1=，t 2=，t 3=
，t 4=2．
点评：此题考查了一次函数的综合应用，解题时要注意分类讨论，关键是能用t 表示出线段的长度求出解析式．
三、计算问题
1.如图，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点
A B ，，直线1l ，2l 交于点C ． （1）求直线2l 的解析表达式；
（2）求ADC △的面积；
（3）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．写出点P 的坐标．
（4）若点H 为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H ，使以A 、D 、C 、H 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题。 专题：综合题。
分析：（1）结合图形可知点B和点A在坐标，故设l2的解析式为y=kx+b，由图联立方程组求出k，b 的值；
（2）已知l1的解析式，令y=0求出x的值即可得出点D在坐标；联立两直线方程组，求出交点C的坐标，进而可求出S△ADC；
（3）△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，ADC高就是C到AD的距离；
（4）存在；根据平行四边形的性质，可知一定存在4个这样的点，规律为H、C坐标之和等于A、D 坐标之和，设出代入即可得出H的坐标．
解答：解：（1）设直线l2的解析表达式为y=kx+b，
由图象知：x=4，y=0；
x=3，，
∴，
∴，
∴直线l2的解析表达式为；
（2）由y=﹣3x+3，令y=0，得﹣3x+3=0，
∴x=1，
∴D（1，0）；
由，
解得，
∴C（2，﹣3），
∵AD=3，
∴S△ADC=×3×|﹣3|=；
（3）△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，
ADC高就是C到AD的距离，即C纵坐标的绝对值=|﹣3|=3，
则P到AB距离=3，
∴P纵坐标的绝对值=3，点P不是点C，
∴点P纵坐标是3，
∵y=1.5x﹣6，y=3，
∴1.5x﹣6=3
x=6，
所以点P的坐标为（6，3）；
（4）存在；
（3，3）（5，﹣3）（﹣1，﹣3）
点评：本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算以及平行四边形的性质等等有关知识，有一定的综合性，难度中等偏上．
2.如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P、Q移动时间为t（0≤t≤4）
（1）过点P做PM⊥OA于M，求证：AM：AO=PM：BO=AP：AB，并求出P点的坐标（用t表示）
（2）求△OPQ面积S（cm2），与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值最大是多少
（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？
（4）证明无论t为何值时，△OPQ都不可能为正三角形。若点P运动速度不变改变Q 的运动速度，使△OPQ为正三角形，求Q点运动的速度和此时t的值。
3.如图1，直线y=﹣kx+6k（k＞0）与x轴、y轴分别相交于点A、B，且△AOB的面积是24．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿折线OA﹣OB运动；同时点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，过点E作与x轴平行的直线l，与线段AB相交于点F，当点P与点F重合时，点P、E均停止运动．连接PE、PF，设△PEF的面积为S，点P运动的时间为t 秒，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过P作x轴的垂线，与直线l相交于点M，连接AM，当tan∠MAB=时，求t 值．
考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义。
分析：（1）根据x=0时，y=6k，y=0时，x=6，得出OB=6k，OA=6．再利用S△AOB=24，求出即可；（2）根据当点P在OA上运动时，0＜t≤3，以及当点P在AB上运动时，利用三角形相似的性质求出即可；
（3）利用当点P在OA上时，点M在点F左侧，以及当点P在AB上时，分别得出t的值即可．
解答：解：（1）令x=0时，y=6k（k＞0）；
令y=0时，x=6，
∴OB=6k，OA=6．S△AOB=24，
∴，
解得，
∴AB的解析式为；
（2）根据题意，OE=t，EF∥OA，
∴△BEF∽△BOA，
∴，
∴，
①当点P在OA上运动时，0＜t≤3，过P作PH⊥EF，垂足是H，
则PH=OE=t，∴，∴；
②当点P在AB上运动时，过P作PG⊥OA，垂足是G，直线PG与EF相交于点R，则GR=OE=t．
在△APG中，PG∥OB∴△APG∽△ABO，
∴，
∴，∴，
当P与F重合时，有PG=OE，此时，解得t=8．PR=GR﹣PG，
∴，
∴，
当3＜t＜8时，，
综上所述，求得的解析式是；
（3）①当点P在OA上时，点M在点F左侧．过点M作MD⊥AB，垂足是D，过点F作FS⊥OA，垂足是S，
∴FS=OE=t，EM=OP=2t．
在△MFD中，，
∴．
在△MAD中，，
∴AD=8k=AF+DF=AF+3k，
∴AF=5k=MF．在△AFS中，，
∴，MF=EF﹣EM，
∴，
解得，
当点P在OA上时，点M在点F右侧．可计算得出；
②当点P在AB上时，过点M作MD'⊥AB，垂足是D'，
在△PMD′中，=，
令MD′=3m，则PD′=4m，MP=5m，AD′=6m．AP=AD′﹣PD′，
∴AP=2m，，
∴，
解得，
综上所述，满足要求的t值是或或．
点评：此题主要考查了一次函数的综合应用以及相似三角形的性质应用，根据已知得出M以及P点位置不同得出答案是解题关键．
4.如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点．点A 的坐标为(8，o)，点B的坐标为(11．4)，动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O一C—B相交于点M。当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒(0
t )．△MPQ的面积为S．
（1）点C的坐标为___________，直线l的解析式为___________．(每空l分，共2分) （2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围。
（3）试求题(2)中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值。
（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N。试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．
5．已知函数y=（6+3m）x+（n﹣4）．
（1）如果已知函数的图象与y=3x的图象平行，且经过点（﹣1，1），先求该函数图象的解析式，再求该函数的图象与y=mx+n的图象以及y轴围成的三角形面积；
（2）如果该函数是正比例函数，它与另一个反比例函数的交点P到轴和轴的距离都是1，求出m和n 的值，写出这两个函数的解析式；
（3）点Q是x轴上的一点，O是坐标原点，在（2）的条件下，如果△OPQ是等腰直角三角形，写出满足条件的点Q的坐标．
考点：一次函数综合题；反比例函数与一次函数的交点问题。
分析：（1）根据所给的条件求出m，n的值，然后确定这两条直线，求出它们与y轴的交点坐标，以及这两条直线的交点坐标，从而求出面积．
（2）根据正比例函数可求出n的值，以及根据P点坐标的情况，确定函数式，P点的坐标有两种情况．
（3）等腰三角形的性质，有两边相等的三角形是等腰三角形，根据此可确定Q的坐标．
解答：解：（1）据题意得6+3m=3解得m=﹣1
把x=﹣1，y=1代入y=3x+n﹣4得n=8（1分）
∴已知函数为y=3x+4当x=0时y=4，A（0，4）
∴另一函数y=﹣x+8当x=0时y=8，B（0，8）（2分）
AB=4解得，C（1，7）（1分）
（1分）
（2）据题意可知n=4
设正比例函数y=（6+3m）x（6+3m≠0），反比例函数
根据正反比例函数的图象可知，
当点P的坐标为（1，1）或（﹣1，﹣1）时y=x，
当点P的坐标为（1，﹣1）或（﹣1，1）时，y=﹣x，（3分）；
（3）Q（±1，0）Q（±2，0）．（2分）
点评：本题考查一次函数的综合应用，关键是知道两直线平行斜率相等，以及正比例函数的形式以及反比例函数与一次函数的交点问题，以及等腰三角形的性质．
6．如图（1），直线y=kx+1与y轴正半轴交于A，与x轴正半轴交于B，以AB为边作正方形ABCD．（1）若C（3，m），求m的值；
（2）如图2，连AC，作BM⊥AC于M，E为AB上一点，CE交BM于F，若BE=BF，求证：
AC+AE=2AB；
（3）经过B、C两点的⊙O1交AC于S，交AB的延长线于T，当⊙O1的大小发生变化时，的值变吗？若不变证明并求其值；若变化，请说明理由．
考点：一次函数综合题。
专题：综合题。
分析：（1）作CE⊥x轴于E，可证△OAB≌△EBC，再根据线段相互间的关系即可求出CE的长，即m 的值；
（2）作GE⊥x轴于G，可以通过先求出AE与EB的关系，证明结论；
（3）连接CT，ST，ST交BC于M，可知的值为45°余弦的倒数，从而求解．
解答：解：（1）作CE⊥x轴于E，
易证△OAB ≌△EBC ， ∴OB=OE ﹣BE=3﹣OA=2， ∴CE=2，即m=2；
（2）作GE ⊥x 轴于G ， ∵BE=BF ， ∴∠1=∠2， ∴∠3=∠4， ∴EG=GB ， AE=EB ， ∴AC=AB ， ∵AE+EB=AB ，
∴AE=（2﹣）AB ， ∴AC+AE=2AB ；
（3）连接CT ，ST ，ST 交BC 于M ， 则AS=TS ，SC=SM ，∠STA=45°， ∴AS ﹣CS=MT ， ∴
=
=
=
．
故的值不变．
点评：考查了一次函数综合题，考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理和三角函数的知识，难度较大．
四、二次函数
1.如图，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为(40)(02)A C ，、，，D 为OA 的中点．设点P 是AOC ∠平分线上的一个动点（不与点O 重合）． （1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 总造桥与PD 相等；
（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确定过O P D 、、三点的抛物线的解析式； （3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，PDE △的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE △的周长；
（4）设点N 是矩形OABC 的对称中心，是否存在点P ，使90CPN ∠=°若存在，请直接写出点P 的坐标．
解：（1）∵点D 是OA 的中点，∴2OD =，∴OD OC =． 又∵OP 是COD ∠的角平分线，∴45POC POD ∠=∠=°，
∴POC POD △≌△，∴PC PD =． ················ 3分 （2）过点B 作AOC ∠的平分线的垂线，垂足为P ，点P 即为所求． 易知点F 的坐标为（2，2），故2BF =，作PM BF ⊥，
∵PBF △是等腰直角三角形，∴1
12
PM BF ==，
∴点P 的坐标为（3，3）．
∵抛物线经过原点，
∴设抛物线的解析式为2y ax bx =+． 又∵抛物线经过点(33)P ，和点(20)D ，，
∴有933420a b a b +=??+=?
解得12a b =??=-?
∴抛物线的解析式为22y x x =-． ················· 7分 （3）由等腰直角三角形的对称性知D 点关于AOC ∠的平分线的对称点即为C 点．
连接EC ，它与AOC ∠的平分线的交点即为所求的P 点（因为PE PD EC +=，而两点之间线段最短），此时PED △的周长最小．
∵抛物线22y x x =-的顶点E 的坐标(11)-，，C 点的坐标(02)，，
设CE 所在直线的解析式为y kx b =+，则有12k b b +=-??=?，解得32k b =-??=?．
∴CE 所在直线的解析式为32y x =-+．
点P 满足32y x y x =-+??=?，解得121
2
x y ?
=????=??，故点P 的坐标为1122??
???，． PED △
的周长即是CE DE +=．
（4）存在点P ，使90CPN ∠=°．其坐标是1122??
???，或(22)，．
······ 14分 3、已知：抛物线的对称轴为1x =-，与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中
()30A -，、()02C -，．
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标． （3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交
x 轴于点E ．
连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S
解：（1）由题意得129302b a a b c c ?=???
-+=??
?
=-?? 解得23432a b c ?
=???=??=-???
∴此抛物线的解析式为224
233
y x x =+- ············ 3分
（2）连结AC 、BC .因为BC 的长度一定，所以PBC △周长最小，就是使
PC PB +最小.B 点关于对称轴的对称点是A 点，AC 与对称轴1x =-的交点即为所求的点P .
设直线AC 的表达式为y kx b =+
则302
k b b -+=??
=-?，
···························· 4分
解得232
k b ?
=-???=-?
∴此直线的表达式为2
23y x =--． ·············· 5分
把1x =-代入得4
3y =-
∴P 点的坐标为413?
?-- ??
?， ················· 6分 （3）S 存在最大值 ···················· 7分
理由：∵DE PC ∥，即DE AC ∥． ∴OED OAC △∽△． ∴OD OE OC OA =，即223
m OE -=． ∴33
3322
OE m AE OE m =-==，，
方法一： 连结OP
OED POE POD OED PDOE S S S S S S =-=+-△△△△四边形
=()()13411332132223222m m m m ????
?-?+?-?-?-?- ? ?????
=233
42
m m -+ ····················· 8分 （第24
∵3
04
-<
∴当1m =时，333
424
S =-+=最大 ············· 9分
方法二：
OAC OED AEP PCD S S S S S =---△△△△
=()1131341
323212222232
m m m m ????-?-?--??-?? ???
=()2
2333314244m m m -+=--+ ·············· 8分 ∵3
04
-<
∴当1m =时，3
4
S =最大 ················· 9分
2.如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2y ax =上．
(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标；
(2) 平移抛物线2y ax =，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点D (-4，0)是x 轴上的两个定点．
① 当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；
② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由． 提示：
第（2）问，是“饮马问题”的变式运用，涉及到抛物线左移。答案见参考图。 ①方法一，A ′关于x 轴对称点A 〞，要使 A ′C+CB ′最短，点C 应在直线A 〞B ′上；
方法二，由（1）知，此时事实上，点Q 移到点C 位置，求CQ=14／5，即抛物线左移14／5单位；
②设抛物线左移b 个单位，则A ＇（-4-b,8）、B ＇（2-b,2）。∵CD=2,∴B ＇左移2个单位得到B ″（-b,2）位置，要使A ′D+C B ＇最短，只要A ′D+DB ″最短。则只有点D 在直线
A ″
B ″上。
解：(1) 将点A (-4，8)的坐标代入2y ax =，解得12
a =．
……1分
将点B (2，n )的坐标代入212
y x =，求得点B 的坐标为(2，2)，
则点B 关于x 轴对称点P 的坐标为(2，-2)．
直线AP 的解析式是5433
y x =-+．
令y =0，得45
x =．即所求点Q 的坐标是(45
，0)．
(2)① 解法1：CQ =︱-2-45
︱=
14
5
， ……1分
故将抛物线212
y x =向左平移
14
5
个单位时，A ′C +CB ′最短， ……2分
此时抛物线的函数解析式为2
114()2
5
y x =+
． ……1分
解法2：设将抛物线212
y x =向左平移m 个单位，则平移后A ′，B ′的坐标分别为A ′(-4-
m ，8)和B ′(2-m ，2)，点A ′关于x 轴对称点的坐标为A ′′(-4-m ，-8)．
直线A ′′B ′的解析式为5543
3
3
y x m =+-． ……1分
要使A ′C +CB ′最短，点C 应在直线A ′′B ′上，
……1分 将点C (-2，0)代入直线A ′′B ′的解析式，解得145
m =
．
……1分
故将抛物线21
2
y x =向左平移
14
5
个单位时A ′C +CB ′最短，此时抛物线的函数解析式为2
114()2
5
y x =+
．
……1分
② 左右平移抛物线212
y x =，因为线段A ′B ′和CD 的长是定值，所以要使四边形A ′
B ′CD 的周长最短，只要使A ′D +CB ′最短；
……1分
第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A ′D +CB ′>AD +CB ，因此不存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短．
……1分
第二种情况：设抛物线向左平移了b 个单位，则点A ′和点B ′的坐标分别为A ′(-4-b ，8)和B ′(2-b ，2)．
因为CD =2，因此将点B ′向左平移2个单位得B ′′(-b ，2)，
要使A ′D +CB ′最短，只要使A ′D +DB ′′最短． ……1分 点A ′关于x 轴对称点的坐标为A ′′(-4-b ，-8)，
直线A ′′B ′′的解析式为5522
2
y x b =++．
……1分
要使A ′D +DB ′′最短，点D 应在直线A ′′B ′′上，将点D (-4，0)代入直线A ′′
B ′′的解析式，解得165
b =
． 故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短，此时抛物线的函数解析式为2
116()2
5
y x =+
．