第二章 随机变量及其分布
第二节 离散随机变量
一、选择
1 设离散随机变量X 的分布律为: ),,3,2,1(,}{ ===k b k X P k
λ
)(
0为,则且λ>b
1
1)D (11)C (1)B (0)A (-=
+=
+=>b b
b λλλλ的任意实数
).
()
0(,11111·,1,1
1)1(·lim lim 1)1(·
1
}{1
1
1
C b b
b b S b b S b k X
P n
n n n n
n k k
n
k k
k 所以应选因所以
时当于是可知即因为
解><+=
=-<=--=--====
=∞
→∞
→=∞
=∞
=∑∑∑λλλ
λλ
λλ
λλ
λλλ
二、填空
1 如果随机变量X 的分布律如下所示,则=C .
X
0 1 2 3 P
C
1
C
21
C
31 C
41
.12
251
)(3
1=
=∑
=C x P x i 得:根据
解
2 进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为
5
4, 失败的概率为5
1
, 将试验进
行到出现一次成功为止, 以X 表示所需试验次数, 则X 的分布律是__ ___ ____.(此时称X 服从参数为p 的几何分布).
解:X 的可能取值为1,2,3 ,{}{}.,1~1次成功第次失败第K K K X -== 所以X 的分布律为{} 1,2, , 5
4
)51(1=?==-K K X P K
三、简答
1 一个袋子中有5个球,编号为1,2,3,4,5, 在其中同时取3只, 以X 表示取出的3个球中的最大号码, 试求X 的概率分布.
的概率分布是
从而,种取法,故
只,共有
任取
中,,个号码可在
,另外只球中最大号码是意味着事件种取法,故
只,共有
中任取
,,个号码可在
,另外只球中最大号码是意味着事件只有一种取法,所以
只球号码分布为
只能是取出的
事件的可能取值为解X C C X P C X C C X P C X C X P X X 5
3}5{624,321253},5{10
3}4{2321243},4{10
11}3{,3,2,13},3{.
5,4,33
5
242
23
5
23
2
33
5
=
=====
=
===
=
==
X 3 4 5 P
10
1
10
3
5
3
2 一汽车沿一街道行驶, 需要通过三个均设有绿路灯信号的路口, 每个信号灯为红和绿与其他信号为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显示时间相等, 以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数, 求X 的概率分布.
故分布律为
于是
相互独立,且,遇到红灯个路口首次
汽车在第表示设的可能值为
由题设知
解
3
3213213
3213212
212113212
1
)()()()(}3{21)()()()(}2{2
1)()()(}1{2
1)(}0{,21)()(,,"")3,2,1(,3,2,1,0=========
====
===
==A P A P A P A A A P X P A P A P A P A A A P X P A P A P A A P X P A P X P A P A P A A A i i A X i i i
X 0 1 2 3
P 21 221 321 32
1
第三节 超几何分布 二项分布 泊松分布
一、选择
1 甲在三次射击中至少命中一次的概率为0.936, 则甲在一次射击中命中的概率p =______.
(A) 0.3 (B) 0.4 (C) 0.5 (D) 0.6 解: D
设=X ”三次射击中命中目标的次数”,则),3(~p B X , 已知936.0)1(1)0(1)1(3=--==-=≥p X P X P , 解之得6.04.01064.0)1(3=?=-?=-p p p
2 设随机变量),3(~),,2(~p b Y p b X , {}{}=≥=
≥1,951Y P X P 则
若______.
4
3)
A (
29
17)
B ( 27
19)
(C 9
7)D (
解: C
二、填空
1设离散随机变量X 服从泊松分布,并且已知{}{},21===X P X P
{}______4=则=X P .
解:
2
3
2-e
三、简答
1.某地区的月降水量X (单位:mm )服从正态分布N(40,24),试求该地区连续10个月降水量都不超过50mm 的概率.
9396
.09938
.010Y P 9938.010B Y mm 50Y 10mm 50109938
.0)5.2()4
40504
40
P )50P A P mm 50A 10
=)==()
,(~的月数”,则
过=“该地区降水量不超设天贝努利试验,相当做超过个月该地区降水量是否观察(()=(”=“某月降水量不超过解:设==-≤-=≤φx x
2 某地区一个月内发生交通事故的次数X 服从参数为λ的泊松分布,即
)(~λP X ,据统计资料知,一个月内发生8次交通事故的概率是发生10次交通事
故的概率的2.5倍.
(1) 求1个月内发生8次、10次交通事故的概率; (2)求1个月内至少发生1次交通事故的概率; (3)求1个月内至少发生2次交通事故的概率;
983
.001.000248.0}
1{}0{1}2{01487
.06}1{)
3(9975.000248.01}0{1}1{00248
.0}0{)
2(0413
.0!
106}10{1033.0!
86}8{)1(6
,36!
105.2!
8}
10{5.2}8{.
,.
,2,1,0,!
}{),(~6
10
6
10
6
8
2
108
≈+≈=-=-=≥≈==≈-≈=-=≥≈===≈=
=≈====?
====?==
=-------X P X P X P e
X P X P X P e
e X P e
X P e X P e
e
X P X P k k e
k X P P X k λ
λ
λ
λ
λλλλλλλλ解出
即据题意有关键是求出是未知的这里题这是泊松分布的应用问
解
第五节 随机变量的分布函数
一、 填空题 1
设离散随机变量,216
13
1
101
~???
?
??-X 则X 的分布函数为 .
????????
?≥<≤<≤--<==++=≤=≥=+=≤=<≤=≤=<≤-=≤=-<1
,
110,2101,3
11
,0)(1
216
131}{)(1;
21613
1}{)(1031}{)(01;
0}{)(1x x x x x F x X P x F x x X P x F x x X P x F x x X P x F x 当当当当整理,得
时,当时,当时,当时,当解
二、选择
1 设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数,为使
)()()(21x bF x aF x F -=是某一变量的分布函数,在下列给定的数值中应取
5
2,5
3)A (-
==
b a 3
2,3
2)B (=
=
b a 2
3,2
1)C (=
-
=b a 2
3,2
1)D (-
==
b a
).
(1)
(lim )(lim )(lim ,1)(lim 21A b a x F b x F a x F x F x x x x 故应选即
因此有
根据分布函数的性质:
分析
-=-==+∞
→+∞
→+∞
→+∞
→
2. 设函数??
?
??≥<≤<=1x , 11x 0 , 2x 0x ,0)(x F .则)(x F ______.
(A) 是随机变量的分布函数. (B) 不是随机变量的分布函数. (C) 是离散型随机变量的分布函数. (D) 是连续型随机变量的分布函数. 解: A
显然)(x F 满足随机变量分布函数的三个条件:
(1))(x F 是不减函数 , (2) 1)(,0)(,1)(0=+∞=-∞≤≤F F x F 且 , (3) )()0(x F x F =+
3. 设???
????≥<<≤=2x , 12x (*) , 4
x
(*)x ,0)(2x F 当(*)取下列何值时,)(x F 是随机变量的分布函
数.
(A) 0 (B) 0.5 (C) 1.0 (D)1.5
解: A 只有A 使)(x F 满足作为随机变量分布函数的三个条件. 三.简答
1 设随机变量X 的分布函数为x B A x F arctan )(+=,求B A ,的值. 解:由随机变量分布函数的性质
.
0)(lim =-∞
→x F x .1)(lim =+∞
→x F x 知
.2
)2
()arctan (lim )(lim 0B A B A x B A x F x x ππ-
=-
?+=+==-∞
→-∞
→
.22)arctan (lim )(lim 1B A B A x B A x F x x ππ+=?+=+==+∞→+∞→ 解??????
?=+=-1
202
B A B A ππ 得π
1
,21=
=B A
第六节 连续随机变量的概率密度
一、选择
1.设()f x 、()F x 分别表示随机变量X 的密度函数和分布函数,下列选项中错误的是( A )
(A ) 0()1f x ≤≤ (B ) 0()1F x ≤≤
(C ) ()1f x dx +∞-∞
=?
(D ) '
()()f x F x =
2.下列函数中,可为随机变量X 的密度函数的是( B ) (A ) sin ,
0()0,
x x f x π≤≤?=?
?其它
(B )sin ,
0()20,x x f x π
?
≤≤?=?
??
其它
(C ) 3sin ,
0()20x x f x π
?
≤≤?=?
??
,其它
(D )()sin ,f x x x =-∞<<+∞
二、填空
1.设连续随机变量X 的分布函数为
11
()arctan ,2F X x x π
=+-∞<<+∞
(1)(11)P X -≤≤= 0.5 , (2)概率密度()f x =2
1
,(1)
x x π-∞<<+∞+
三、简答题
1. 设随机变量X 的概率密度
20()0,
x Ax e x f x x -?>=?
≤?,
求:(1)常数A ;(2)概率(1)P X ≥。 答案 (1)
12
(2)0.9197
2. 设随机变量X 的概率密度
,
10(),
010,1
c x x f x c x x x +-≤≤?
=-≤≤ >?
求:(1)常数c ;(2)概率(0.5)P X ≤;(3)分布函数()F x 。
答案 (1)1;(2)0.75;(3)220,11(1),10
2
()11(1),0121,1
x x x F x x x x <-?
??+-≤=?
?--≤?≥?
3.向某一目标发射炮弹,设弹着点到目的地的距离()X m 的概率密度
2
25001,
0()1250
0,0
x
xe x f x x -??>=??≤?
如果弹着点距离目标不超过50m 时,即可摧毁目标。求:
求:(1)发射一枚炮弹,摧毁目标的概率;
(2)至少应发射多少枚炮弹,才能使摧毁目标的概率大于0.95? 答案 (1)0.6321 (2)3n ≥。
4.已知随机变量X 的概率密度
1(),2x
f x e
x -=
-∞<<+∞,
求:分布函数()F x 。 答案 11,0
2
()1,0
2
x x e x F X e x -?
-≥??=?
?? 5.已知随机变量X 的概率密度
1
,0132
(),
3690,x f x x ?≤≤???=≤≤?????
其它
若k 使得2()3
P X k ≥=,则k 的取值范围是
答案 13k ≤≤
第七节 均匀分布、指数分布
二、选择
1.在区间[]1,2-上服从均匀分布的随机变量X 的密度函数是( B )
(A ) 3,
12()0,
x f x -≤≤?=?
?其它
(B )1,
12()3
0,x f x ?-≤≤?=???
其它
(C ) ()3,
f x x =-∞<<+∞ (D )1(),
3f x x =-∞<<+∞
2.服从参数为0.5的指数分布的随机变量X 的密度函数是( C ) (A ) 22,
0()0,
x e x f x x -?>=?
≤? (B ) 2()2,x
f x e
x -=-∞<<+∞
(C ) 1
21,
0()2
0,0
x e x f x x -?>?=??≤?
(D )12
1(),2
x
f x e
x -
=
-∞<<+∞
二、填空
1.设随机变量X 在在区间[]1,2-上服从均匀分布,则
(1)(61)P x -<<-= 0 , (2) (41)P x -<<= 23
,
⑶ (23)P x -<<= 1 , (4) (16)P x <<=
13
,
三、简答题
1. 长度为l 的线段上随机取一点,这点把该线段分成两段,求较短的一段与较长的一段之
比小于1
4
的概率。
答案 0.4
2. 已知修理某种机器所需的时间(T 小时)服从指数分布(1)e ,求: (1)在2小时之内修好的概率;
(2)如果已修理了0t 小时,在以后的2小时之内修好的概率。 答案 (1)0.8647 (2)0.8647
3.设随机变量X 在区间[]2,5上服从均匀分布,对进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率。 答案 0.741。
4.某仪器有三只独立工作的同型号电子元件,其寿命(单位:h )都服从同一指数分布,概率密度为
16001,0()600
0,0
x e x f x x -?>?
=??≤?
试求:在仪器使用的最初的200h 内至少有一只电子元件损害的概率。 答案 1
10.6321e
--≈
第八节 随机变量函数的分布
三、选择
1.设随机变量X 的概率密度为
22,
0()0,
x e x f x x -?>=?
≤?
则随机变量2y X =的概率密度为( D )
(A ) 2,
()0,0y Y e y f y y -?>=?
≤? (B ) 22,
0()0,
0y Y e y f y y -?>=?≤?
(C ) 2,
()0,
0y Y e y f y y -?>=?
≤? (D ) ,
0()0,0
y Y e y f y y -?>=?≤?
2. 设随机变量X 的概率密度为
22,
0()0,
x X e x f x x -?>=?
≤?
则随机变量2y X =-的概率密度为( C )
(A ) ,
()0,0y Y e y f y y ?>=?
≤? (B ) ,
0()0,0
y Y e y f y y -?>=?≤?
(C ) 0,
(),
0Y y
y f y e y >?=?≤? (D ) 0,
0(),
Y y
y f y e y ->?=?≤?
二、简答题
1.设随机变量X 服从二项分布(3,0.4)B ,求下列随机变量函数的概率分布: (1)21Y X =- (2)2
Y X X =- (3)(1)
2
X X Y +=
答案
(2)
2.设随机变量X 的概率密度
2,
01()0,
x x f x ≤≤?=?
?其它
求下列随机变量的概率密度
(1)12Y X =+ (2)12Y X =- (3)2
Y X = 答案
(1)1
,13()2
0,y y y f y -?<
=???
其它
(2)1,11()2
0,y y
y f y -?-<
=???
其它
(3)1,
01()0,
Y y f y <=?
?其它
3.设随机变量X 在区间[]0,2上服从均匀分布,求随机变量函数3
Y X =的概率密度。
答案 231,
08()6
0,Y y y f y -?<≤?=???
其它
4. 设随机变量X 在服从指数分布()e λ,其中0λ>,求随机变量函数X Y e =的概率密度。 答案 (1),1()0,1
Y y y f y y λλ-+?>=?
≤?
5. 设随机变量X 的概率密度为
2
1
(),(1)
X f x x x π=
-∞<<+∞+,
求:随机变量1Y =-()Y f y 。
答案 2
6
3(1)
(),1(1)Y y f y y y π-=
-∞<<+∞??+-??
6.设随机变量X 在区间[]1,2上服从均匀分布,求随机变量函数2X Y e =的概率密度。
答案 2
4
1
,2()0,Y e y e y
f y ?<
=???
其它
第九节 二维随机变量的联合分布
四、选择题
⒈ 设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为 (),
0,0;
(,)0,
.
x y e x y f x y -+?>>=?
?其他
则()P X Y <= ( A ) (A )0.5 (B )0.55 (C ) 0.45 (D )0.6
⒉ 二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数(,)F x y 以下哪个随机事件的的概率?( B ) (A )()()X x Y y ≤?≤ (B )()()X x Y y ≤?≤ (C ) X x y ≤+ (D )X x y ≤-
二、填空
1. 下表列出了二维随机变量(,)X Y 联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部 分数值,试将其余值填入表中的空白处
2.设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为
(,)(arctan
)(arctan
)2
3x y F x y A B C =++
则系数A =
2
1
π
,B =
2
π,C =
2
π, (,)X Y 的联合概率密度为
222
6
(,)(4)(9)
f x y x y π=
++ 。 ⒊ 已知二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为(,)f x y ,R 为一平面区域,则(,)X Y 的联合分布函数(,)F x y =(,)x y f x y dydx -∞
-∞
?
?
,()(),P X Y R ∈=
(,)R
f x y dxdy ??
,曲面
(,)z f x y =叫做 分布曲面 ,(,)F +∞+∞= 1 ,(,)F x -∞= 0 ,(,)F y -∞=
0 ,(,)F -∞-∞= 0 。
三、计算题。
1. 已知随机变量1X 和2X 的概率分布
1210101111114
24
2
2
X X P
P
- 而且12{0} 1.P X X ==求1X 和2X 的联合分布。 解:
1
2
101
11004411
2
X X -
⒉ 设二维随机变量X Y (,)的联合概率密度为e ,0(,)0,y x y
f x y -?<<=??其他
(1)求{1}P X Y +≤;(2)求联合分布函数(,)F x y 。
解(1)1
111
22
0x
1
{1}(,)d d d e d 1e 2e x y
x y P X Y f x y x y x y ---+≤+≤=
=
=+??
?
?
--
(2)??
?
??<<+<<--=--其他,00,1)e (y -10,1),(y -x y y
x xe e y x F y x
⒊ 设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为
(2),
0,0;(,)0,
.
x y Ae x y f x y -+?>>=?
?其他
试求(1)常数A ; (2) 概率(01,02)P X Y ≤≤≤≤. 解:(1)由于(,)1f x y +∞+∞-∞
-∞
=??
,
故(2)
12
x y A Ae dxdy +∞+∞-+=
=?
?
,所以2A =
(2)12(2)
1
(01,02)2x y P X Y dx e
dy -+≤≤≤≤=
?
?
14
(1)(1)e e --=--
第十节 二维随机变量的边缘分布
五、选择题
⒈ 设二维离散随机变量(,)X Y 的联合概率函数为(,)i j P x y ,则X 的边缘概率函数()X i P x 为 ( A ) (A )(,)i j j
P x y ∑ (B )(,)i j i P x y ∑ (C ) ,(,)i j i j
P x y ∑ (D )以上都不对
⒉ (,)X Y 为二维连续随机变量,对任意的实数x ,函数(,)P X x Y ≤<+∞为 ( B ) (A )随机变量Y 的边缘分布函数 (B )随机变量X 的边缘分布函数
(C )(,)X Y 的联合分布函数 (D )以上都不对
二、填空
⒈ 设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为
(,)(arctan
)(arctan
)2
3x y F x y A B C =++
则X 的边缘分布函数为11
()arctan 2
2
X x F x π
=
+
, Y 的边缘概率密度为
()
2
3
()9Y f y y π=
+。
⒉ 设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为(,)F x y ,则随机变量X 的边缘分布函数为()X F x =(,)F x +∞,随机变量Y 的边缘分布函数为()Y F y =(,)F y +∞。
⒊ 设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为(,)f x y ,则随机变量X 的边缘概率密度为()X f x =
(,)f x y dy +∞-∞
?
,随机变量Y 的边缘概率密度为()Y f y =
(,)f x y dx +∞-∞
?
。
三、计算题
⒈ 设二维随机变量X Y (,)的联合概率密度为e ,0(,)0,y x y
f x y -?<<=??其他
,求X 的边缘
概率密度()x f x 。 解 0,()e
d e
,0()0
y
x
X X x
x f x y x f x +∞-->=
=≤=?
时时,故e 0
()0,
0x X x f x x -?>=?≤?,
2. 已知二维随机变量X Y (,)的联合概率密度为(2)2e ,0,0
(,)0,
x y x y f x y -+?>>=??其他.
求随机变量X 和Y 的边缘概率密度。
解 e 0()0,0x X x f x x -?>=?≤?,, 22e 0
()0,0
y Y y f y y -?>=?≤?,。
第十一节 随机变量的独立性
六、选择题
⒈ 设相互独立的随机变量X 和Y 的概率密度分别为2,01
()0,X x x f x <=??,其他
e ,0
()0,y Y y f y -?>=?
?其他
,则μ的二次方程220X Y μμ-+=具有实根的概率是( A ) (A )1e - (B )2e - (C ) 3e - (D )4e -
二、填空
1. 设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为
(,)(arctan
)(arctan
)2
3x y F x y A B C =++
则随机变量X 与Y 独立 (填独立或不独立)。
2. 独立连续随机变量的联合分布函数等于它们的 边缘分布 函数的乘积,独立连续随机变量的联合概率密度等于它们的 边缘概率密度 的乘积,独立离散随机变量的联合概率函数等于它们的 边缘概率函数 的乘积。
三、计算题
1. 已知随机变量1X 和2X 的概率分布
1210101111114
24
2
2
X X P
P
- 而且12{0} 1.P X X ==问1X 和2X 是否独立?为什么? 解:因为12121{0,0}0,[0}{0}0,4
P X X P X P X ======
≠所以1X 和2X 不独立。
2. 已知二维随机变量X Y (,)的联合概率密度为(2)2e ,0,0
(,)0,
x y x y f x y -+?>>=??其他.
随机变量X 和Y 是否独立?
解 由于 e 0()0,0x X x f x x -?>=?≤?,, 22e 0
()0,0
y Y y f y y -?>=?≤?,。
故(,)f x y =()X f x ()Y f y 所以随机变量X 和Y 独立。
第十二节 二维随机变量函数的分布
一、 填空题
⒈设X 和Y 为两个随机变量,且3{0,0},{0}{0}7
P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥
4.7
=则{max(,)0}P X Y ≥=
57
⒉设相互独立的两个随机变量X 和Y 具有同一分布律,且X 的分布律为
01112
2
X P
,则随机变量max{,}Z
X Y =的分布律为
1
1344
Z
P
二、 选择题
1. 设X 和Y 是相互独立的随机变量,其分布函数分别为()X F x ,()Y F y ,则min{,}Z X Y =的分布函数是 ( D )
(A )()Z F z =()X F x (B )()Z F z =()Y F y
(C ){}()min (),()Z X Y F z F x F y = (D )[][]()11()1()Z X Y F z F x F y =--- 2. 设X 和Y 是相互独立的随机变量,其分布函数分别为()X F x ,()Y F y ,则max{,}Z X Y =的分布函数是 ( B )
(A ){}()max (),()Z X Y F z F x F y = (B )()()()Z X Y F z F x F y =
(C ){}()min (),()Z X Y F z F x F y = (D )[][]()11()1()Z X Y F z F x F y =--- ⒊设随机变量X 服从指数分布,则min{,2}Y X =的分布函数是 ( D ) (A )连续函数 (B )至少有两个间断点 (C )阶梯函数 (D )恰好有一个间断点
三、 计算题
⒈设随机变量X 与Y 相互独立,且都在[0,]a 上服从均匀分布,求它们的和Z X Y =+的概率密度。
解 由,X Y 独立,得21
,
0,0(,)0,x a y a
f x y a
?≤≤≤≤?=???
其它
(){}{}(,)d d Z x y z
F z P Z z P X Y z f x y x y +≤=≤=+≤=
??
222Z Z 2
2220,
0,01,022)'),211[(2)],00,21,
z z
z a a z z a a z
a f z F z a z a a a a z z a a ?≤≤????
≤≤-??==<≤????--<≤???
??
?=,故
((其它其它 2.设随机变量X 与Y 相互独立,其概率密度分别为
1,
01
()0,
X x f x ≤≤?=?
?其它
0()0
y
Y e y f y y -?>=?
≤?
求它们的和Z X Y =+的概率密度。 解 由,X Y 独立,得01,0
(,)0y
e x y
f x y -?≤≤>=?
?其它
(){}{}(,)d d 00101(1)1
Z x y z
z z F z P Z z P X Y z f x y x y
z e
z e e z +≤--=≤=+≤=?=-≤≤??->?
??
随机变量及其分布总结 1、定义:随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 .随机变量常用字母 X , Y ,ξ,η,… 表示. 2、定义:所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量 3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1,x 2,…,x 3,…, ξ取每一个值x i (i =1,2,…)的概率为()i i P x p ξ==,则称表 为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质: (1)P i ≥0,i =1,2,…; (2)P 1+P 2+…=1. 5.求离散型随机变量ξ的概率分布的步骤: (1)确定随机变量的所有可能的值x i (2)求出各取值的概率p(ξ=x i )=p i (3)画出表格 6.两点分布列: 7超几何分布列: 一般地,在含有M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有X 件次品 数,则事件 {X=k }发生的概率为(),0,1,2,,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== ,其中mi n {,} m M n =,且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈.称分布列 为超几何分布列.如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列,则称随机变量 X
服从超几何分布 8.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是P ,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是 k n k k n n q p C k P -==)(ξ,(k =0,1,2,…,n ,p q -=1). 于是得到随机变量ξ的概率分布如下: ξ 1 … k … n P n n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - … q p C n n n 称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作ξ~B (n ,p ),其中n ,p 为参数。 9.离散型随机变量的均值或数学期望: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望,简称期望. 10.离散型随机变量的均值或数学期望的性质: (1)若ξ服从两点分布,则=ξE p . (2)若ξ~B (n ,p ),则=ξE np . (3)()c c E =,c 为常数 (4)ξ~N (μ,2σ),则=ξE μ (5)b aE b a E +=+ξξ)( 11.方差: 对于离散型随机变量ξ,如果它所有可能取的值是1x ,2x ,…,n x ,…, 且取这些值的概率分别是1p ,2p ,…,n p ,…,那么, ξD =121)(p E x ?-ξ+222)(p E x ?-ξ+…+n n p E x ?-2)(ξ+…
第三章--多维随机变量及其分布总结
第三章 多维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量 一、二维随机变量的分布函数 设E 是一个随机试验, 它的样本空间是S . 设X 、Y 是定义在S 上的随机变量, 则由它们构成的一个向量(X , Y )称为二维随机向量或二维随机变量. 一般地, (X , Y )的性质不仅与X 有关, 与Y 有关, 而且还依赖于X 、Y 的相互关系, 因此必须把(X , Y )作为一个整体来研究. 首先引入(X , Y )的分布函数的概念. 定义 设(X , Y )为二维随机变量, 对于任意实数x 、y , 二元函数 F (x , y ) = P {(X ≤ x )∩(Y ≤ y )}= P {X ≤ x , Y ≤ y } 称为二维随机变量(X , Y )的分布函数, 或称为随机变量X 和y 的联合分布函数. 分布函数F (x , y )表示事件(X ≤ x )与事件(Y ≤ y )同时发生的概率. 如果把(X , Y )看成平面上具有随机坐标(X , Y )的点, 则分布函数F (x , y )在(x , y )处的函数值就是随机点(X , Y )落在平面上的以(x , y )为顶点而位于该点左下方的无限矩形内的概率.. 由上面的几何解释, 容易得到随机点(X , Y )落在矩形区域{x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2}的概率为 P {x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2} = F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) (1) 与二元函数类似, 二元分布函数F (x , y )也具有如下一些性质: 1? F (x , y )是变量x 和y 的单调不减函数, 即当x 1 < x 2时, F (x 1, y ) ≤ F (x 2, y ); 当y 1 < y 2时, F (x , y 1) ≤ F (x , y 2). 2? 0 ≤ F (x , y ) ≤ 1, 且F (-∞, y ) = 0, F (x , -∞) = 0, F (-∞,-∞) = 0, F (+∞,+∞) = 1.(凡含-∞的概率分布为0) 3? F (x , y )关于x 和y 都是右连续的, 即F (x + 0, y ) = F (x , y ), F (x , y + 0) = F (x , y ). 4? 对任意的(x 1, y 1)、(x 2, y 2), x 1 < x 2, y 1 < y 2, 有F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) ≥ 0. 注: 二元分布函数具有性质1?~ 4?, 其逆也成立(2?中0 ≤ F (x , y ) ≤ 1可去), 即若二元实值函数F (x , y )(x ∈ R , y ∈ R )满足1?~ 4?, 则F (x , y )必是某二维随机变量的(X , Y )的分布函数. 其中4?是必不可少的, 即它不能由1?~ 3?推出(除去0 ≤ F (x , y ) ≤ 1). 二、二维离散型随机变量 如果二维随机变量(X , Y )的所有可能取的值是有限对或可列无限多对, 则称(X , Y )是二维离散型随机变量. 设二维离散型随机变量(X , Y )所有可能取的值为(x i , y j ) (i , j = 1, 2, 3, …). 记P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)则由概率定义有 p ij ≥ 0; 111 =∑∑∞=∞ =i j ij p . 我们称P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)为二维离散型随机变量(X , Y )的分布律(概率分布)或随机变量X 和Y 的联合分布律, (X , Y )的分布律也可用表格表示. 其分布函数为 = ),(y x F ∑∑≤≤==x x y y j i i j y Y x X P },{=∑∑≤≤x x y y ij i j p 这里 ∑∑ ≤≤x x y y i j 表示对一切x i ≤ x , y j ≤ y 的那些指标i 、j 求和. 例1 一个口袋中有三个球, 依次标有1、2、2, 从中任取一个, 不放回袋中, 再任取一个. 设每次取球时, 各球被取到的可能性相等, 以X 、Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字, 求X 、Y 的联合分布律与分布函数.. 解: (X , Y )的可能取值为(1, 2)、(2, 1)、(2, 2). P {X = 1, Y = 2}= P {X = 1}P {Y = 2 / X = 1}= 3 12231=?.
学而思高中完整讲义:随机变量及其分布列.版块一.离散型随机变量 及其分布列1.学生版 1. 离散型随机变量及其分布列 ⑴离散型随机变量 如果在试验中,试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示,并且X 是随着试验的结果的不同而变化的,我们把这样的变量X 叫做一个随机变量.随机变量常用大写字母,,X Y L 表示. 如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来,则称X 为离散型随机变量. ⑵离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量X 所有可能的取值x 与该取值对应的概率p ,)n L 列表表示: X 1x 2x … i x … n x P 1p 2p … i p … n p X 的分布列. 2.几类典型的随机分布 ⑴两点分布 如果随机变量X 的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p <<,1q p =-X 服从参数为p 的二点分布. 二点分布举例:某次抽查活动中,一件产品合格记为1,不合格记为0,已知产品的合格率为80%,随机变量X X 的分布列满足二点分布. X 1 P 0.8 0.2 两点分布又称01-布又称为伯努利分布. ⑵超几何分布 一般地,设有总数为N 件的两类物品,其中一类有M 件,从所有物品中任取n 件()n N ≤,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量,它取值为m 时的概率为 C C ()C m n m M N M n N P X m --==(0m l ≤≤,l 为n 和M 中较小的一个). 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布,也称X 服从参数为N ,M , n 的超几何分布.在超几何分布中,只要知道N ,M 和n ,就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =,从而列出X 的分布列. ⑶二项分布 1.独立重复试验 如果每次试验,只考虑有两个可能的结果A 及A ,并且事件A 发生的概率相同.在相同的条件下,重复地做n 次试验,各次试验的结果相互独立,那么一般就称它们为n 次独立重复试验.n 次独立重复试验中,事件A 恰好发生k 次的概率为 ()C (1) k k n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =L . 知识内容
独立同分布随机变量序列的顺序统计方法 设有限长度离散随机变量序列12,,...,n x x x ,对其按从小到大的顺序排列,得到新的随机序列12,,...,n y y y ,满足:12...n y y y ≤≤≤;假设12,,...,n x x x 是独立同分布的连续取值型随机变量,每个变量的概率分布函数及概率密度分布函数分别为(),()F x f x 。 (1)求(1)k y k n ≤≤的概率密度分布函数()k y f y 解:k y 在y 处无穷小邻域取值的概率()k y f y dy 可以等效为这样一些事件发生的概率之 和:12,,...,n x x x 这n 个随机变量中有任意一个在y 处无穷小邻域取值,而剩余的n -1个随机变量中有任意k -1个的取值小于等于y ,对应的另外n -k 个变量的取值大于等于y 事件的个数(变量的组合数)为111n n k -???? ???-???? ,每个事件的概率为1[()]()[1()]k n k f y dy F y F y ---,则 11()()()[1()]11k k n k y n n f y dy f y dyF y F y k ---????=- ???-???? => 1!()()[1()]() (1)(1)!()! k k n k y n f y F y F y f y k n k n k --= -≤≤-- (2)求随机变量,(1)k l y y k l n ≤<≤的联合概率密度分布函数(,)k l y y f u v 解:(,) ()k l y y k l <在平面上的点(,) ()u v v u ≥处无穷小邻域取值的概率
随机变量及其分布知识点汇总 知识点一 离散型随机变量及其分布列 (一)、离散型随机变量的分布列 一般地,设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ??????,X 取每一个值 (1,2,,)i x i n =???的概率()i i P X x p ==,则称以下表格 为随机变量X 的概率分布列,简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质: (1)0,1,2,,i P i n =???≥ (2)121n p p p ++???+= 1.两点分布 如果随机变量X 的分布列为 则称X 服从两点分布,并称=P(X=1)p 为成功概率. 2.超几何分布 一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则事件{}X k =发生的概率为: (),0,1,2,3,...,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== 则随机变量X 的概率分布列如下: {}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。 注意:超几何分布的模型是不放回抽样
知识点二 条件概率与事件的独立性 (一)、条件概率 一般地,设A,B 为两个事件,且()0P A >,称() (|)() P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤ 如果B 和C 互斥,那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+ (二)、相互独立事件 设A ,B 两个事件,如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即 ()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。 ()()()A B P AB P A P B ?=即、相互独立 一般地,如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立,那么这n 个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =. 注意:(1)互斥事件:指同一次试验中的两个事件不可能同时发生; (2)相互独立事件:指在不同试验下的两个事件互不影响. (三)、n 次独立重复试验 1.一般地,在相同条件下,重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验. 在n 次独立重复试验中,记i A 是“第i 次试验的结果”,显然, 1212()()()()n n P A A A P A P A P A ???=??? “相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响 注意: 独立重复试验模型满足以下三方面特征 第一:每次试验是在同样条件下进行; 第二:各次试验中的事件是相互独立的; 第三:每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生. 2.n 次独立重复试验的公式: n A X A p n A k 一般地,在次独立重复试验中,设事件发生的次数为,在每次试验中事件发生的概率为,那么在次独立重复试验中,事件恰好发生次的概率为 ()(1),0,1,2,...,.(1)k k n k k k n k n n P X k C p p C p q k n q p --==-===-其中,而称p 为成功
第二章 随机变量及其分布 复习 一、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件: ①试验可以在相同的情形下重复进行;②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量:如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量,a ,b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地,若ξ是随机变量,)(x f 是连续函数或单调函数,则)(ξf 也是随机变量.也就是说,随机变量的某些函数也是随机变量. 3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为:ΛΛ,,,,21i x x x ξ取每一个值),2,1(Λ=i x 的概率p x P ==)(,则表称为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列. 121i 注意:若随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的变量叫做连续型随机变量.例如:]5,0[∈ξ即ξ可以取0~5之间的一切数,包括整数、小数、无理数. 典型例题: 1、随机变量ξ的分布列为(),1,2,3(1) c P k k k k ξ== =+……,则P(13)____ξ≤≤= 2、袋中装有黑球和白球共7个,从中任取两个球都是白球的概率为1 7 ,现在甲乙两人从袋中轮流摸去一 球,甲先取,乙后取,然后甲再取……,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时终止,用ξ表示取球的次数。(1)求ξ的分布列(2)求甲取到白球的的概率 3、5封不同的信,放入三个不同的信箱,且每封信投入每个信箱的机会均等,X 表示三哥信箱中放有信件树木的最大值,求X 的分布列。 4 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为5 . (1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由; (3)已知喜爱打篮球的10位女生中,12345,,A A A A A ,,还喜欢打羽毛球,123B B B ,,还喜欢打乒乓球,12C C ,还喜欢踢足球,现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查,求1B 和1C 不全被选中的概率. (参考公式:2 ()()()()() n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++)
随机变量及其分布函数 将随机事件以数量来标识,即用随机变量描述随机现象的研究方法,它是定义在样本空间上具有某种可预测性的实值函数。 分布函数则完整的表述了随机变量。 一、 随机变量与分布函数 (1) 随机变量: 取值依赖于某个随机试验的结果(样本空间),并随着试验结果不同而变化的变量,称之为随机变量。 分布函数: [1] 定义: 设X 是一个随机变量,对任意实数x ,记作 (){}F x P X x ≤=,称()F x 为随机变量X 的分 布函数,又称随机变量X 服从分布()F x ,显然,函数 ()F x 的定义域为(),-∞+∞,值域为[0,1]。 [2] 性质: ?()F x 单调非降。 ?()0F -∞=、()1F +∞=。 ?()(0)F x F x =+,即()F x 一定是右连续的。 ?对于任意两个实数a b <, {}()()P a X b F b F a <≤=- ?对于任意实数0x ,
00 0{}()()P X x F x F x ==-- ?000{}1{}1()P X x P X x F x >=-≤=- ?000{}{)lim }(x x P X x P X x x F →- =≤<=- ?000{}1{}1()P X x P X x F x ≥=-<=-- 二、 离散型随机变量与连续型随机变量 (1) 离散型随机变量 [1] 概念:设X 是一个随机变量,如果X 的取值是有限个或者 无穷可列个,则称X 为离散型随机变量。其相应的概率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分布或分布律,表格表示形式如下: [2] 性质: ?0i p ≥ ? 1 1n i i p ==∑ ?分布函数()i i x x F x p ==∑ ?1{}()()i i i P X x F x F x -==- (2) 连续型随机变量 [1] 概念:如果对于随机变量的分布函数()F x ,存在非 负的函数 ()f x ,使得对于任意实数x ,均有:
数学学科自习卷(二) 一、选择题 1.将三颗骰子各掷一次,记事件A =“三个点数都不同”,B =“至少出现一个6点”,则条件概率()P A B ,() P B A 分别是( ) A.6091,12 B.12,6091 C.518,6091 D.91216,12 2.设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ,若()()232P a P a ξξ<-=>+,则a 的值为 A .73 B .53 C .5 D .3 3.已知随机变量ξ~)2,3(2N ,若23ξη=+,则D η= A . 0 B . 1 C . 2 D . 4 4.同时拋掷5枚均匀的硬币80次,设5枚硬币正好出现2枚正面向上,3枚反面向上的次数为ξ,则ξ的数学期望是( ) A .20 B .25 C. 30 D .40 5. 甲乙两人进行乒乓球比赛, 约定每局胜者得1分, 负者得0分, 比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止, 设甲在每局中获胜的概率为 23,乙在每局中获胜的概率为13 ,且各局胜负相互独立, 则比赛停止时已打局数ξ的期望()E ξ为( ) A .24181 B .26681 C .27481 D .670243 6.现在有10奖券,82元的,25元的,某人从中随机无放回地抽取3奖券,则此人得奖金额的数学期望为( ) A .6 B .395 C .415 D .9 7.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ,得2分的概率为b ,不得分的概率为c ,,,(0,1)a b c ∈,且无其它得分情况,已知他投篮一次得分的数学期望为1,则ab 的最大值为 ( ) A .148 B .124 C .112 D .16 8.位于数轴原点的一只电子兔沿着数轴按下列规则移动:电子兔每次移动一个单位,移动的方向向左或向右,并且向左移动的概率为 23,向右移动的概率为13,则电子兔移动五次后位于点(1,0)-的概率是 ( ) A .4243 B .8243 C .40243 D .80243
第七周多维随机变量,独立性 7.4独立随机变量期望和方差的性质 独立随机变量乘积的期望的性质: Y X ,独立,则()()() Y E X E XY E =以离散型随机变量为例,设二元随机变量(),X Y 的联合分布列() ,i j P X x Y y ==已知,则()()(),i j i j P X x Y y P X x P Y y ====?=, () 1,2,,; 1,2,,i m j n == ()() 11,m n i j i j i j E XY x y P X x Y y =====∑∑()() 11 m n i j i j i j x y P X x P Y y =====∑∑()() 1 1 m n i i j j i j x P X x y P Y y =====∑∑()() E X E Y =***********************************************************************独立随机变量和的方差的性质: Y X ,独立,则()()() Y Var X Var Y X Var +=+()()() 2 2 Var X Y E X Y E X Y ??+=+-+?? ()222E X XY Y =++()()()()22 2E X E X E Y E Y ??-++? ? ()()()()2 2 22E X E X E Y E Y =-+-()()()22E XY E X E Y +-()()()() 2 2 22E X E X E Y E Y =-+-()() Var X Var Y =+若12,,,n X X X 相互独立,且都存在方差,则()() 121 n m k k Var X X X Var X =+++=∑ ***********************************************************************利用独立的0-1分布求和计算二项分布随机变量()~,X b n p 期望和方差 我们在推导二项分布随机变量的方差时,已经利用了独立随机变量和的方差等于方差
“随机变量及其分布”简介 北京师范大学数学科学院李勇 随机变量是研究随机现象的重要工具之一,他建立了连接随机现象和实数空间的一座桥梁,使得我们可以借助于有关实数的数学工具来研究随机现象的本质,从而可以建立起应用到不同领域的概率模型,如二项分布模型、超几何分布模型、正态分布模型等。 在本章中将通过具体实例,帮助学生理解取有限值的离散型随机变量及其分布列、均值、方差的概念,理解超几何分布和二项分布的模型并能解决简单的实际问题,使学生认识分布列对于刻画随机现象的重要性,认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。 一、内容与要求 1. 随机变量及其分布的概念。 通过具体实例使学生理解随机变量及其分布列的概念,认识随机变量及其分布对于刻画随机现象的重要性。要求学生会用随机变量表达简单的随机事件,并会用分布列来计算这类事件的概率。 2.超几何分布模型及其应用。 通过实例,理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用。 3. 二项分布模型及其应用。 通过具体实例使学生了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验和二项分布模型,并能解决一些简单的实际问题。 4.离散随机变量的均值与方差。 通过实例使学生理解离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题。 5.正态分布模型。 借助直观使学生认识正态分布曲线的特点及含义。 二、内容安排及说明 1.全章共安排了4个小节,教学约需12课时,具体内容和课时分配如下(仅供参考): 2.1 离散型随机变量及其分布列约3课时 2.2 二项分布及其应用约4课时
2.3 离散型随机变量的均值与方差约3课时 2.4 正态分布约1课时 小结约1课时 2. 本章知识框图 3.对内容安排的说明。 研究一个随机现象,可以借助于随机变量,而分布描述了随机变量取值的概率分布规律。二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型.为了使学生能够更好地理解它们,并能用来解决一些实际问题,教科书在内容安排上作了如下考虑: (1) 为学生把注意力集中在随机变量的基本概念和方法的理解上,通过取有限个不同 值的随机变量为载体介绍这些概念,以便他们能更好的应用这些概念解决实际问 题。例如,如何定义随机变量来描述所感兴趣的随机事件;一个具体的随机变量都 能表达什么样的事件,如何表达这些事件;如何用分布列来表达随机事件发生的概 率等。 (2) 介绍超几何分布模型及其应用,其目的是 i. 让学生了解它的广泛应用背景,并使学生能够应用该分布设计一些能够丰富学生课外
复习课: 随机变量及其分布列 教学目标 重点:理解随机变量及其分布的概念,期望与方差等的概念;超几何分布,二项分布,正态分布等的特点;会求条件概率,相互独立事件的概率,独立重复试验的概率等. 难点:理清事件之间的关系,并用其解决一些具体的实际问题. 能力点:分类整合的能力,运算求解能力,分析问题解决问题的能力. 教育点:提高学生的认知水平,为学生塑造良好的数学认识结构. 自主探究点:例题及变式的解题思路的探寻. 易错点:容易出现事件之间的关系混乱,没能理解问题的实际意义. 学法与教具 1.学法:讲授法、讨论法. 2.教具:投影仪. 一、【知识结构】 二、【知识梳理】 1.随机变量 ⑴随机变量定义:在随机试验中,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.简单说,随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量.常用希腊字母x、y、ξ、η等表示. ⑵如果随机变量可能取的值可以按次序一一列出(可以是无限个)这样的随机变量叫做离散型随机变量.
⑶如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.概率分布定义(分布列) 设离散型随机变量ξ可能取的值为123,,,,i x x x x L L ,ξ取每一个值(1,2,)i x i =L 的概率 ()i i P x p ξ==,则称表 ξ 1x 2x L i x L P 1P 2P L i P L 称为随机变量ξ的概率分布列,简称ξ的分布列. 注:1.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质: (1)0,123≥,,,i p i =L ;123(2)1p p p +++=L 3.常见的分布列 ⑴二项分布:在一次试验中某事件发生的概率是p ,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰发生k 次的概 率为()(1)k k n k n p X k C p p -==-,显然x 是一个随机变量.随机变量x 的概率分布如下: x 1 L k L n P 00n n C p q 111 n n C p q - L k k n k n C p q - L n n n C p q 我们称这样的随机变量x 服从二项分布,记作~(,)X B n p ⑵两点分布列:如果随机变量ξ的分布列为: ξ 0 1 P 1P - P 这样的分布列称为两点分布列,称随机变量服从两点分布,而称(1)p P ξ==为成功概率.两点分布是特殊的二项分布(1)p ξ~B , ⑶超几何分布:一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有x 件次品数,则事件{} x k =发生的概率为(),0,1,2,3,,k N k M N M n N C C P X k k m C --===L .其中{}min ,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ≤≤∈,则称分布列
随机变量及其分布知识点整理 一、离散型随机变量的分布列 一般地,设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ??????,X 取每一个值(1,2,,)i x i n =???的概率()i i P X x p ==,则称以下表格 为随机变量X 的概率分布列,简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质: (1)0,1 ,2,,i P i n =???≥ (2)121n p p p ++???+= 1.两点分布 如果随机变量X 的分布列为 则称X 服从两点分布,并称=P(X=1)p 为成功概率. 2.超几何分布 一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则事件{}X k =发生的概率为: (),0,1,2,3,...,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== {}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。 注:超几何分布的模型是不放回抽样 二、条件概率 一般地,设A,B 为两个事件,且()0P A >,称()(|)() P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤ 如果B 和C 互斥,那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+ 三、相互独立事件 设A ,B 两个事件,如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。()()()A B P AB P A P B ?=即、相互独立 一般地,如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立,那么这n 个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概
圆梦教育中心 随机变量及其分布知识点整理 一、离散型随机变量的分布列 一般地,设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ??????,X 取每一个值(1,2,,)i x i n =???的概率 ()i i P X x p ==,则称以下表格 为随机变量X 的概率分布列,简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质: (1)0,1,2,,i P i n =???≥ (2)121n p p p ++???+= 1.两点分布 则称X 服从两点分布,并称=P(X=1)p 为成功概率. 2.超几何分布 一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则事件{}X k =发生的概率为: (),0,1,2,3,...,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== {}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。 注:超几何分布的模型是不放回抽样 二、条件概率 一般地,设A,B 为两个事件,且()0P A >,称() (|)() P AB P B A P A = 为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤ 如果B 和C 互斥,那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+U 三、相互独立事件 设A ,B 两个事件,如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。()()()A B P AB P A P B ?=即、相互独立 一般地,如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立,那么这n 个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =.
第二章概率总结 一、知识点 1.随机试验的特点: ①试验可以在相同的情形下重复进行; ②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个 ③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会 出现哪一个结果. 2.分类 随机变量 (如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示,并且X是随着试验的结 果的不同而变化,那么这样的变量叫做随机变量.随机变量常用大写字母X、Y等 或希腊字母ξ、η等表示。) 离散型随机变量:连续型随机变量: 3.离散型随机变量的分布列 一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1, x2, ,x i , ,x n X取每一个值xi(i=1,2,)的概率P(ξ=x i)=P i,则称表 为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列 性质:①---------------------------------------------- ②-------------------------------------------------. 二点分布 如果随机变量X的分布列为: 其中0
一般地, 设总数为N 件的两类物品,其中一类有M 件,从所有物品中任取n(n ≤N)件, 这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量, 则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N M n N C C P X k k m C --===,其中 则称随机变量X 的分布列 , 为超几何分布列,且称随机变量X 服从参数N 、M 、n 的超几何分布 注意:(1)超几何分布的模型是不放回抽样; (2)超几何分布中的参数是N 、M 、n ,其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的 总数、样本容量 条件概率 1.定义:对任意事件A 和事件B ,在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率, 叫做条件概率.记作P(B|A),读作A 发生的条件下B 的概率 2.事件的交(积):由事件A 和事件B 同时发生所构成的事件D ,称为事件A 与事件B 的交(或积).记作D=A ∩B 或D=AB 3.条件概率计算公式: 例题、10个产品中有7个正品、3个次品,从中不放回地抽取两个,已知第一个取到次品, 求第二个又取到次品的概率. 相互独立事件 1.定义:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件 叫做相互独立事件 2.相互独立事件同时发生的概率公式 两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积。则有 如果事件A1,A2,…An 相互独立,那么这n 个事件同时发生的概率, 等于每个事件发生的概率的积。即: P (A1·A2·…·An )=P (A1)·P (A2)·…·P(An) 3解题步骤 说明(1)判断两事件A 、B 是否为相互独立事件,关键是看A (或B )发生与否对B (或A )发生的概率是否影响,若两种状况下概率不变,则为相互独立. (2)互斥事件是指不可能同时发生的两个事件;相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响. (3)如果A 、B 是相互独立事件,则A 的补集与B 的补集、A 与B 的补集、A 的补集与B 也都相互独立.
第五节离散型随机变量及其分布列 一、离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量. 二、离散型随机变量的分布列及性质 1.一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为 x1,x2,…,x i,…,x n,X取每一个值x i(i=1,2,…,n)的概率P(X=x i)=p i,则表
称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列. 2.离散型随机变量的分布列的性质 (1)p i≥0,i=1,2,…,n. (2)p1+p2+…+p n=1. 三、相互独立事件 一般地,对两个事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B),则称A,B相互独立. 四、两点分布 若随机变量X的分布列为 则称X服从两点分布,并称p=P(X=1)为成功概率. 五、独立重复试验与二项分布 1.独立重复试验 一般地,在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验. 2.二项分布 一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,事件A恰好发生k次的概率为 P(X=k)=C k p k(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n). n 此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率.
1.概念理解 (1)随机变量是将随机试验的结果数量化. (2)离散型随机变量的分布列从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小,反映了随机变量取值的规律性. (3)因为一次试验的各种结果是互斥的,而全部结果之和为一个必然事件,所以离散型随机变量的分布列具有性质p 1+p 2+…+p i +…+p n =1. (4)由事件A 和B 同时发生所构成的事件称为事件A 与B 的交(或积),记作A ∩B(或AB). (5)相互独立的两个事件实质上是一个事件的发生对另一个事件的发生没有影响. (6)独立重复试验必须满足三个特征:①每次试验的条件都完全相同,即每次试验事件发生的概率相等;②各次试验互相独立;③每次试验只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生. (7)P(X=k)=C k n p k (1-p)n-k 恰好是[(1-p)+p]n 展开式的第k+1项 1k T =C k n (1-p) n-k p k . (8)独立重复试验的实际原型是有放回的抽样问题,但在实际中,从大批产品中抽取少量样品的不放回检验,也可以近似地看作此类型. (9)独立重复试验中的概率公式P n (k)=C k n p k (1-p)n-k 中的p 与(1-p)的位 置不能互换,否则式子表示为事件A 有k 次不发生的概率. 2.与独立事件有关的结论 (1)若A 与B 相互独立,则A 与B ,A 与B,A 与B 也都相互独立.
1. 离散型随机变量及其分布列 ⑴离散型随机变量 如果在试验中,试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示,并且X 是随着试验的结果的不同而变化的,我们把这样的变量X 叫做一个随机变量.随机变量常用大写字母,,X Y L 表示. 如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来,则称X 为离散型随机变量. ⑵离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量X 所有可能的取值x 与该取值对应的概率,)n L 列表表示: X 1x 2x … i x … n x P 1p 2p … i p … n p X 的分布列. 2.几类典型的随机分布 ⑴两点分布 如果随机变量X 的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p <<,1q p =-X 服从参数为p 的二点分布. 二点分布举例:某次抽查活动中,一件产品合格记为1,不合格记为0,已知产品的合格率为80%,随机变量X X 的分布列满足二点分布. X 1 P 0.8 0.2 两点分布又称01-布又称为伯努利分布. ⑵超几何分布 一般地,设有总数为N 件的两类物品,其中一类有M 件,从所有物品中任取n 件()n N ≤,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量,它取值为m 时的概率为 C C ()C m n m M N M n N P X m --==(0m l ≤≤,l 为n 和M 中较小的一个). 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布,也称X 服从参数为N , 知识内容 超几何分布
M ,n 的超几何分布.在超几何分布中,只要知道N ,M 和n ,就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =,从而列出X 的分布列. ⑶二项分布 1.独立重复试验 如果每次试验,只考虑有两个可能的结果A 及A ,并且事件A 发生的概率相同.在相同的条件下,重复地做n 次试验,各次试验的结果相互独立,那么一般就称它们为n 次独立重复试验.n 次独立重复试验中,事件A 恰好发生k 次的概率为 ()C (1)k k n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =L . 2.二项分布 若将事件A 发生的次数设为X ,事件A 不发生的概率为1q p =-,那么在n 次独立重复 试验中,事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k n P X k p q -==,其中0,1,2,,k n =L .于是得到X 0 1 … k … n P 00C n n p q 111 C n n p q - … C k k n k n p q - 0 C n n n p q 由式 001110 ()C C C C n n n k k n k n n n n n n q p p q p q p q p q --+=++++L L 各对应项的值,所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ,p 的二项分布, 记作~(,)X B n p . 二项分布的均值与方差: 若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布,则 ()E X np =,()D x npq =(1)q p =-. ⑷正态分布 1. 概率密度曲线:样本数据的频率分布直方图,在样本容量越来越大时, 直方图上面的折线所接近的曲线.在随机变量中,如果把样本中的任一数据看作随机变量X ,则这条曲线称为X 的概率密度曲线. 曲线位于横轴的上方,它与横轴一起所围成的面积是1,而随机变量X 落在指定的两个数a b ,之间的概率就是对应的曲边梯形的面积. 2.正态分布 ⑴定义:如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的,而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用,则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布. 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量,简称正态变量. 正态变量概率密度曲线的函数表达式为22 ()2()2πx f x μσσ --= ?, x ∈R ,其中μ,σ是参数,且0σ>,μ-∞<<+∞. 式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差.期望 为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ. 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线. ⑵标准正态分布:我们把数学期望为0,标准差为1的正态分布叫做标准正态分布. ⑶重要结论: ①正态变量在区间(,)μσμσ-+,(2,2)μσμσ-+,(3,3)μσμσ-+内,取值的概率分别是68.3%,95.4%,99.7%. ②正态变量在()-∞+∞,内的取值的概率为1, 在区间(33)μσμσ-+,之外的取值的概率x=μO y x