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【世纪金榜】2015高考数学专题辅导与训练配套练习：课时冲关练(十九) 选修2-2 选修2-3 4导数的综合应用]

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课时冲关练(十九)

导数的综合应用

(建议用时:60分钟)

1.(2014·沈阳模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f'(x)<,求f(x)<+的解集.

【解题提示】考查函数F(x)=f(x)-的单调性,利用单调性解不等式.

【解析】设F(x)=f(x)-,则F(1)=f(1)-=1-1=0,

F'(x)=f'(x)-,对任意x∈R,有F'(x)=f'(x)-<0,即函数F(x)在R上单调递减,则F(x)<0的解集为(1,+≦),即f(x)<+的解集为(1,+≦).

2.电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y=x3-x2-40x(x>0),为使耗电量最小,则速度应定为多少?

【解析】由y'=x2-39x-40=0,

得x=-1或x=40,

由于0

当x>40时,y'>0.

所以当x=40时,y有最小值.

即速度应定为40.

3.(2014·无锡模拟)已知函数f(x)=ax+lnx,g(x)=x2-2x+2.若对任意x1

∈(0,+∞),存在x2∈[0,1],使得f(x1)

【解题提示】若对任意x1∈(0,+≦),存在x2∈[0,1],使得f(x1)

【解析】只需满足f(x1)max

因为g(x2)max=2,f'(x)=a+=(x>0).

①当a≥0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+≦)上单调递增,值域为R,故不符合题意.

②当a<0时,由f'(x)=0,得x=-.

所以,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为

故f(x)的极大值即为最大值,

所以f(x1)max=f=-1+ln

=-1-ln(-a),

所以-1-ln(-a)<2,

所以a<-.

4.(2014·绍兴模拟)已知m为实数,函数f(x)=2x3+3mx2+3mx的图象上存在斜率为-12的切线l.

(1)若切线l有且仅有一条,求m的值.

(2)求f(x)在区间[-2,-1]上的值域.

【解析】(1)由已知得f'(x)=6x2+6mx+3m.

令f'(x)=-12,得6x2+6mx+3m=-12.

即2x2+2mx+m+4=0.

因为切线l有且仅有一条,所以方程2x2+2mx+m+4=0只有一解.

所以Δ=4(m2-2m-8)=0.

得m=4或m=-2.

(2)由(1)可知,方程2x2+2mx+m+4=0的Δ=4(m2-2m-8)≥0.

得m≥4或m≤-2.

①当m≥4时,则-≤-2,故f'(x)=6x2+6mx+3m在区间[-2,-1]上单调递增,

又f'(-2)=24-9m<0,f'(-1)=6-3m<0,

故f'(x)<0在[-2,-1]上恒成立,

即f(x)在区间[-2,-1]上单调递减.

故f(x)min=f(-1)=-2,

f(x)max=f(-2)=6m-16.

所以f(x)∈[-2,6m-16].

②当m≤-2时,则-≥1,

故f'(x)=6x2+6mx+3m在区间[-2,-1]上单调递减,

又f'(-2)=24-9m>0,f'(-1)=6-3m>0,

故f'(x)>0在[-2,-1]上恒成立,

即f(x)在区间[-2,-1]上单调递增.

故f(x)min=f(-2)=6m-16.f(x)max=f(-1)=-2.

所以f(x)∈[6m-16,-2]

综上,当m≥4时,f(x)的值域为[-2,6m-16],

当m≤-2时,f(x)的值域为[6m-16,-2].

5.(2014·山东高考)设函数f(x)=-k(k为常数,e=2.71828……是自然对数的底数).

(1)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间.

(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.

【解题提示】(1)先利用导数公式求函数的导数,根据单调性与导数的关系求出函数的单调区间.

(2)本题可对k进行分类讨论,由(1)知k≤0,函数f(x)在(0,2)内不存在极值点,因此只需考虑k>0时,是否存在两个极值点即可.

【解析】(1)函数y=f(x)的定义域为(0,+≦).

f'(x)=-k

由k≤0可得e x-kx>0,

所以当x∈(0,2)时,f'(x)<0,函数y=f(x)单调递减,

x∈(2,+≦)时,f'(x)>0,函数y=f(x)单调递增.

所以f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+≦).

(2)由(1)知,k≤0时,函数f(x)在(0,2)内单调递减,

故f(x)在(0,2)内不存在极值点;

当k>0时,设函数g(x)=e x-kx,x∈(0,+≦).

因为g'(x)=e x-k=e x-e lnk,

当0

当x∈(0,2)时,g'(x)=e x-k>0,y=g(x)单调递增,

故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点;

当k>1时,

当x∈(0,lnk)时,g'(x)<0,函数y=g(x)单调递减,

x∈(lnk,+≦)时,g'(x)>0,函数y=g(x)单调递增.

所以函数y=g(x)的最小值为g(lnk)=k(1-lnk),

函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,

当且仅当

解得e

综上所述,函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时,k的取值范围为

6.(2014·陕西高考)设函数f(x)=lnx+,m∈R.

(1)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值.

(2)讨论函数g(x)=f'(x)-零点的个数.

(3)若对任意b>a>0,<1恒成立,求m的取值范围.

【解题提示】(1)利用导数确定函数单调性,再由单调性求函数的极值.(2)首先变形将函数零点个数转化为直线与曲线的交点个数,然后求导确定函数最值,数形结合分类讨论确定零点的个数.(3)先用构造函数法将恒成立转化,再通过分离参数后求函数最值确定m的取值范围.

【解析】(1)由题设,当m=e时,f(x)=lnx+,

则f'(x)=,

所以当x∈(0,e)时,f'(x)<0,f(x)在(0,e)上单调递减,

当x∈(e,+≦)时,f'(x)>0,f(x)在(e,+≦)上单调递增,

所以x=e时,f(x)取得最小值f(e)=lne+=2,

所以f(x)的极小值为2.

(2)由题设g(x)=f'(x)-=--(x>0),

令g(x)=0,得m=-+x(x>0).

设φ(x)=-x3+x(x≥0),

则φ'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1),

当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增;

当x∈(1,+≦)时,φ'(x)<0,φ(x)在(1,+≦)上单调递减.

所以x=1是φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此x=1也是φ(x)的最大值点,

所以φ(x)的最大值为φ(1)=.

又φ(0)=0,结合y=φ(x)的图象,可知

①当m>时,函数g(x)无零点;

②当m=时,函数g(x)有且只有一个零点;

③当0

④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点.

综上所述,当m>时,函数g(x)无零点;

当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;

当0

(3)对任意的b>a>0,<1恒成立,

等价于f(b)-b

设h(x)=f(x)-x=lnx+-x(x>0),

所以(*)等价于h(x)在(0,+≦)上单调递减.

由h'(x)=--1≤0在(0,+≦)上恒成立,

得m≥-x2+x=-+(x>0)恒成立,

所以m≥,

所以m的取值范围为.

【方法技巧】一元三次方程根的个数问题

令f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则f'(x)=3ax2+2bx+c.方程f'(x)=0的判别式

Δ=(2b)2-12ac.

(1)Δ≤0即b2≤3ac时,f'(x)≥0恒成立,f(x)在R上为增函数,结合函数f(x)的图象知,方程有唯一一个实根.

(2)当Δ>0即b2>3ac时,方程f'(x)=0有两个实根,设为x1,x2(x1m).

①当m>0时,方程f(x)=0有唯一一个实根;

②当m=0时,方程f(x)=0有两个实根;

③当m<0,M>0时,方程f(x)=0有三个实根;

④当M=0时,方程f(x)=0有两个实根;

⑤当M<0时,方程f(x)=0有一个实根.

7.(2014·天津模拟)已知函数f(x)=lnx+mx2(m∈R).

(1)求函数f(x)的单调区间.

(2)若A,B是函数f(x)图象上不同的两点,且直线AB的斜率恒大于1,求实数m的取值范围.

【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+≦),

f'(x)=+2mx=.

当m≥0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+≦)上单调递增.

当m<0时,由f'(x)=0得x=.

当x∈时,f'(x)>0,

f(x)在上单调递增;

当x∈时,

f'(x)<0,f(x)在上单调递减.

综上所述,当m≥0时,f(x)在(0,+≦)上单调递增;

当m<0时,f(x)在上单调递增,

在上单调递减.

(2)依题意,设A(a,f(a)),B(b,f(b)),不妨设a>b>0,

则k AB=>1恒成立,

即f(a)-f(b)>a-b恒成立,

即f(a)-a>f(b)-b恒成立,

令g(x)=f(x)-x=lnx+mx2-x,

则g(x)在(0,+≦)上为增函数,

所以g'(x)=+2mx-1=≥0对x∈(0,+≦)恒成立,

所以2mx2-x+1≥0对x∈(0,+≦)恒成立,

即2m≥-+=-+对x∈(0,+≦)恒成立,因此m≥.

故实数m的取值范围为.

【加固训练】已知函数f(x)=lnx-λx+λ(λ∈R).

(1)求函数f(x)的单调区间.

(2)是否存在实数λ使f(x)≤0在x∈(0,+∞)上恒成立?若存在,请求出实数λ的值;若不存在,请说明理由.

【解析】(1)f'(x)=-λ=,x∈(0,+≦),

当λ≤0时,f'(x)>0恒成立,

则函数f(x)在(0,+≦)上单调递增,

当λ>0时,由f'(x)=-λ=>0

得0

则f(x)在上单调递增,在上单调递减.

综上,当λ≤0时,f(x)的单调增区间为(0,+≦);

当λ>0时,f(x)的单调增区间为,单调减区间为.

(2)存在.

由(1)得:当λ≤0时,函数f(x)在(0,+≦)上单调递增,f(1)=0, 所以f(x)≤0显然不是恒成立;

当λ>0时,f(x)在上单调递增,

在上单调递减,

所以,f(x)max=f=ln-1+λ=λ-lnλ-1,

只需λ-lnλ-1≤0即可,

令g(x)=x-lnx-1,则g'(x)=1-,

函数g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+≦)上单调递增.

所以g(x)min=g(1)=0,

即g(x)≥0对x∈(0,+≦)恒成立,

也就是λ-lnλ-1≥0对λ∈(0,+≦)恒成立,

所以λ-lnλ-1=0解得λ=1,

所以若f(x)≤0在x∈(0,+≦)上恒成立,λ=1.

8.(2014·武汉模拟)已知函数f(x)=plnx+(p-1)x2+1.

(1)当p=1时,f(x)≤kx恒成立,求实数k的范围.

(2)证明:ln(n+1)<1+++…+.

【解题提示】(1)分离参数,转化为最值问题处理.

(2)ln+ln+…+ln

=ln=ln(n+1),

故只需证明ln<,令x=,即证lnx

【解析】(1)因为x>0,

所以当p=1时,f(x)≤kx恒成立?1+lnx≤kx?k≥,

令h(x)=,则k≥h(x)max,

因为h'(x)=,由h'(x)=0得x=1,

且当x∈(0,1)时,h'(x)>0;当x∈(1,+≦)时,h'(x)<0.

所以h(x)在(0,1)上递增,在(1,+≦)上递减.所以

h(x)max=h(1)=1,故k≥1.

(2)由(1)知当k=1时,有f(x)≤x,

当x>1时,f(x)

令x=,则ln<,

所以ln<,ln<,…,ln<,

相加得ln+ln+…+ln<1++…+,

而ln+ln+…+ln

=ln

=ln(n+1),

故ln(n+1)<1+++…+.

【讲评建议】讲解本题时,请提醒学生注意以下几点:

1.注意分离参数

第(1)小题求k的范围时,要注意分离参数后再转化为最值问题,从而避免带参数求最值.

2.注意综合问题中各个设问的逻辑顺序的设置,往往下一问的设置要用到上一问的结论的某一特殊情况,因此在解决问题时,应注意应用这一提示信息,第(2)小题的原型就是第(1)小题中k=1的情况.

3.能够准确构造不等式模型

第(2)小题应注意结合第(1)小题中的不等式,构造不等式原型,其关键是看到所证明的不等式右边是和式的形式,故想到将左边变成和式的形式.

【加固训练】(2014·湖南高考)已知函数f(x)=xcosx-sinx+1(x>0).

(1)求f(x)的单调区间.

(2)记x i为f(x)的从小到大的第i(i∈N*)个零点,证明:对一切n∈N*,

有++…+<.

【解析】(1)f'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,

令f'(x)=0得x=kπ(k∈N*),

当x∈(2kπ,(2k+1)π)(k∈N)时,sinx>0,

此时f'(x)<0,

当x∈((2k+1)π,(2k+2)π)(k∈N)时,sinx<0,此时f'(x)>0,

故f(x)的单调递减区间为(2kπ,(2k+1)π)(k∈N),

单调递增区间为((2k+1)π,(2k+2)π)(k∈N).

(2)由(1)知,f(x)在区间(0,π)上单调递减,

又f=0,故x1=,

当n∈N*时,因为f(nπ)f((n+1)π)=[(-1)n nπ+1]·[(-1)n+1(n+1)π+1]<0,且函数f(x)的图象是连续不断的,所以f(x)在区间(nπ,(n+1)π)内至少存在一个零点,又f(x)在区间(nπ,(n+1)π)上是单调的,故nπ

因此

当n=1时,=<.

当n=2时,+<(4+1)<.

++…+

=<<.

综上所述,对一切n∈N*,++…+<.

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2020高考数学专题复习----立体几何专题

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的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。

高考数学数列大题训练答案版

高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前解析： (1)设该等差数列为{}n c ，则25a c =，33a c =，42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即：223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-，Q 1q ≠， ∴121, 2q q ==，∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ，{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)2 n n n n T S -== （8分）当8n ≥时，0n b <，12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得：,73=a 同理得.1,312==a a （2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a

2020届江苏高考数学应用题专题复习

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高考数学大题练习

高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2）（1）若a ⊥b ，求tan θ的值；（2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分）在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小；（2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值；（2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由：（3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围；（2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值；（3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围.

高考数学前三道大题练习

1 A B C D S E F N B 高考数学试题（整理三大题）（一） 17.已知0αβπ<<4，为()cos 2f x x π? ?=+ ?8??的最小正周期，1tan 14αβ????=+- ? ????? ，， a (cos 2)α=， b ，且?a b m =．求 2 2cos sin 2() cos sin ααβαα ++-的值． 18. 在一次由三人参加的围棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛按以下规则进行；第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙；第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者，求：（1）乙连胜四局的概率；（2）丙连胜三局的概率． 19.四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD 。已知∠ABC ＝45°，AB ＝2，BC=22，SA ＝SB ＝3。 (Ⅰ)证明：SA ⊥BC ； (Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小；（二） 17.在ABC △中，1tan 4A =，3 tan 5 B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △ 18. 每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6). （I ）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；（II ）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；（III ）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。 19. 如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、SC 的中点。求证：EF ∥平面SAD ；（三） 17.已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ．（I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 24f θθθ?? =+ ??? π的最大值与最小值． 18. 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求（1）甲、乙两人都没有中奖的概率；（2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率． 19. 在Rt AOB △中，π 6 OAB ∠= ，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上．（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小；（III ）求CD 与平面 AOB 所成角的最大值（四） 17.已知函数2 π()2sin 24f x x x ??=+ ???，ππ42x ??∈???? ，．（I ）求()f x 的最大值和最小值；（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42 x ??∈???? ，上恒成立，求实数m 的取值范围． 18. 甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求：（1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率；（2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率． 19. 如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形， 4 ABC π ∠= , OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点。（Ⅰ）证明：直线MN OCD 平面‖；（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。 O C A D B E

江苏高考数学专题练习函数(含解析)

江苏高考数学专题练习——函数 1. 已知函数，，则的解集是． 2. 设函数，则满足的的取值范围为． 3. 已知函数，不等式对恒成立，则．* 4. 已知函数f (x )＝e x -1 －tx ，?x 0∈R ，f (x 0)≤0，则实数t 的取值范围． 5. 已知函数f (x )＝2x 3 +7x 2 +6x x 2+4x ＋3，x ∈0,4］，则f (x )最大值是．* 6. 已知函数，若在区间上有且只有2个零点，则实数的取值范围是 . 7. 已知函数2()12f x x x =-的定义域为[]0m ，，值域为2 0am ????，，则实数a 的取值范围是 . * 8. 若存在实数，使不等式成立，则实数的取值范围为． 9. 设函数，若关于的不等式在实数集上有解，则实数的取值范围是．* 10. 已知函数f (x )＝???x 2 －1，x ≥0，－x ＋1，x ＜0．若函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点，则实数 k 的取值范围是． 11. 设a 为实数，记函数f (x )＝ax －ax 3（x ∈1 2，1]）的图象为C ．如果任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，则a 的取值范围是． 2()||2 x f x x += +x R ∈2 (2)(34)f x x f x -<-???≥<-=1 ,21,13)(2x x x x x f 2 ))((2))((a f a f f =2()()()(0)f x x a x b b =--≠()()f x mxf x '≥x R ?∈2m a b +-=222101, ()2 1,x mx x f x mx x ?+-=?+>? ，，≤≤()f x [)0,+∞m 2e 2e 10x x a +≥-()33,2,x x x a f x x x a ?-<=?-≥? ，()4f x a >R