1.【2015高考福建，理10】若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足
()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（ ）
A ．11
f k k ??<
??? B ．111f k k ??
>
?-?? C ．1111f k k ??< ?--?? D ． 111k f k k ??
> ?
--??
【答案】C
【解析】由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则''
()()0g x f x k =->，故函数()g x 在R 上单调递
增，且
101k >-，故1()(0)1g g k >-，所以1()111k f k k ->---，11()11
f k k >--，所以结论中一定错误的是C ，选项D 无法判断；构造函数()()h x f x x =-，则''
()()10h x f x =->，所以函数()h x 在R
上单调递增，且10k >，所以1()(0)h h k >，即11()1f k k ->-，11
()1f k k
>-，选项A,B 无法判断，故选C ．
2.【2015高考陕西，理12】对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A ．1-是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点 C ．3是()f x 的极值 D . 点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A
【解析】若选项A 错误时，选项B 、C 、D 正确，()2f x ax b '=+，因为1是()f x 的极值点，3是()f x 的
极值，所以()()10
13f f '=???=??，即203a b a b c +=??++=?，解得：23b a c a =-??=+?，因为点()2,8在曲线()y f x =上，所以
428a b c ++=，即()42238a a a +?-++=，解得：5a =，所以10b =-，8c =，所以
()25108f x x x =-+，因为()()()2
1511018230f -=?--?-+=≠，所以1-不是()f x 的零点，所以
选项A 错误，选项B 、C 、D 正确，故选A ．
3.【2015高考新课标2，理12】设函数'
()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，
'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）
A ．(,1)(0,1)-∞-
B ．(1,0)(1,)-+∞
C ．(,1)(1,0)-∞--
D ．(0,1)(1,)+∞ 【答案】A
4.【2015高考新课标1，理12】设函数()f x =(21)x
e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得
0()f x 0，则a 的取值范围是（ ）
(A)[-
32e
，1） (B)[-错误！未找到引用源。，34错误！未找到引用源。） (C)[错误！未找到引用源。，
错误！未找到引用源。） (D)[错误！未找到引用源。，1） 【答案】D
【解析】设()g x =(21)x
e x -，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下
方.因为()(21)x
g x e x '=+，所以当12x <-
时，()g x '＜0，当12x >-时，()g x '＞0，所以当1
2
x =-时，max [()]g x =12
-2e -，当0x =时，(0)g =-1，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a ，故
(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得
3
2e
≤a ＜1，故选D.
5.【2015高考陕西，理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．
【答案】1.2
【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：
原始的最大流量是
()1
1010222162
?+-??=，设抛物线的方程为22x py =（0p >），因为该抛物线过点()5,2，所以2
225p ?=，解得254p =，所以2252x y =
，即2225
y x =，所以当前最大流量是()()5
3235
35
522224022255255257575753
x dx x x --???
????
?-=-=?-?-?--?-=
? ? ??????
??????，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是
16
1.2403
=，所以答案应填：1.2． 【考点定位】1、定积分；2、抛物线的方程；
6.【2015高考天津，理11】曲线2
y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 .
【答案】
16
【2015高考湖南，理11】2
0(1)x dx ?-= .
【答案】0.
7.【2015高考新课标2，理21】（本题满分12分） 设函数2()mx
f x e
x mx =+-．
(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；
（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-，求m 的取值范围．
O x
y
【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）[1,1]-． 【解析】(Ⅰ)'()(1)2mx f x m e x =-+． 若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，10mx
e -≤，'()0
f x <；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -≥，'()0f x >． 若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，10mx
e
->，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -<，'()0f x >．
所以，()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．
（Ⅱ）由(Ⅰ)知，对任意的m ，()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，故()f x 在0x =处取得最小
值．所以对于任意12,[1,1]x x ∈-，12()()1f x f x e -≤-的充要条件是：(1)(0)1,(1)(0)1,f f e f f e -≤-??--≤-?
即
1,
1,
m
m
e m e e m e -?-≤-??+≤-??①，设函数()1t g t e t e =--+，则'()1t g t e =-．当0t <时，'()0g t <；当0t >时，'()0g t >．故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．又(1)0g =，1(1)20g e e --=+-<，故当
[1,1]t ∈-时，()0g t ≤．当[1,1]m ∈-时，()0g m ≤，()0g m -≤，即①式成立．当1m >时，由()g t 的
单调性，()0g m >，即1m
e m e ->-；当1m <-时，()0g m ->，即1m
e m e -+>-．综上，m 的取值
范围是[1,1]-．
8.【2015高考江苏，19】（本小题满分16分） 已知函数),()(23
R b a b ax x x f ∈++=. （1）试讨论)(x f 的单调性；
（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),2
3()23
,1()3,(+∞--∞ ，求c 的值.
当0a <时，()2,0,3a x ??∈-∞-
+∞ ??? 时，()0f x '>，20,3a x ?
?∈- ??
?时，()0f x '<，
所以函数()f x 在(),0-∞，2,3a ??-
+∞ ???上单调递增，在20,3a ?
?- ??
?上单调递减．
（2）由（1）知，函数()f x 的两个极值为()0f b =，3
24327
a f a
b ??-
=
+ ???，则函数()f x 有三个 零点等价于()3
2400327a f f b a b ?????-=+< ? ?????，从而3
04027a a b >???-<
4027a b a
． 又b c a =-，所以当0a >时，34027a a c -+>或当0a <时，34
027
a a c -+<． 设()3
427
g a a a c =
-+，因为函数()f x 有三个零点时，a 的取值范围恰好是 ()33,31,
,22????-∞-+∞ ? ????? ，则在(),3-∞-上()0g a <，且在331,,22????
+∞ ? ?????
上()0g a >均恒成立， 从而()310g c -=-≤，且3102g c ??
=-≥ ???
，因此1c =．
此时，()()()322
1111f x x ax a x x a x a ??=++-=++-+-??，
因函数有三个零点，则()2
110x a x a +-+-=有两个异于1-的不等实根，
所以()()2
2
141230a a a a ?=---=+->，且()()2
1110a a ---+-≠，
解得()33,31,,22a ????∈-∞-+∞ ? ?????
．
综上1c ．
9.【2015高考福建，理20】已知函数f()ln(1)x x =+，(),(k ),g x kx R =? (Ⅰ)证明：当0x x x ><时，f()；
(Ⅱ)证明：当1k <时，存在00x >,使得对0(0),x x ?任意，恒有f()()x g x >；
(Ⅲ)确定k 的所以可能取值，使得存在0t >，对任意的(0),x ?，t 恒有2|f()()|x g x x -<．
【解析】(1)令()f()ln(1),(0,),F x x x x x x =-=+-??则有1()11+1+x
F x x x
￠
=-=-
当(0,),x ?? ()0F x ￠
<,所以()F x 在(0,)+?上单调递减； 故当0x >时，()(0)0,F x F <=即当0x >时，x x f()<．
(2)令G()f()()ln(1),(0,),x x g x x kx x =-=+-??则有1(1k)()1+1+kx G x k x x
-+-￠
=-= 当0k ￡ G ()0x ￠
>,所以G()x 在[0,)+?上单调递增, G()(0)0x G >=
(3)当1k >时，由（1）知，对于(0,),x "违+()f()g x x x ，>>故()f()g x x >，
|f()()|()()k ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+，
令2
M()k ln(1),[0)x x x x x =-+-违，+，则有21-2+(k-2)1
M ()k 2=,11x x k x x x x
+-￠
=--++
故当0x ?（时，M ()0x ￠>,M()x 在[0上单调递增，
故M()M(0)0x >=,即2
|f()()|x g x x ->,所以满足题意的t 不存在.
当1k <时，由（2）知存在00x >,使得对任意的任意的0(0),x x ，?恒有f()()x g x >．
此时|f()()|f()()ln(1)k x g x x g x x x -=-=+-,
令2
N()ln(1)k ,[0)x x x x x =+--违，+，则有2'
1-2-(k+2)1()2=,11x x k N x k x x x
-+=--++
故当0x ?（时，N ()0x ￠>,M()x
在[0上单
调递增，故N()(0)0x N >=,即2
f()()x g x x ->,记0x
1x ，
则当21(0)|f()()|x x x g x x ?>，时，恒有，故满足题意的t 不存在. 当=1k ，由（1）知，(0,),x 违当+
|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+，
令2
H()ln(1),[0)x x x x x =-+-违，+，则有2
1-2H ()12=,11x x
x x x x
-￠
=--++ 当0x >时，H ()0x ￠<,所以H()x 在[0+￥，）上单调递减，故H()(0)0x H <=,
故当0x >时，恒有2|f()()|x g x x -<,此时，任意实数t 满足题意. 综上，=1k .
10.【2015江苏高考，17】（本小题满分14分）
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建 一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边 界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ， 的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ， 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2a
y x b
=+ （其中a ，b 为常数）模型. （1）求a ，b 的值；
（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .
①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.
M
P
【答案】（1）1000,0;a b ==（2
）①()f t =定义域为[5,20]
，②min ()t f t == 【解析】
（1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为()5,40，()20,2.5．
将其分别代入2a y x b =+，得4025 2.5400a
b
a b
?=??+??=?+?，
解得1000
0a b =??=?
．
（2）①由（1）知，21000y x =
（520x ≤≤），则点P 的坐标为21000,t t ??
???
， 设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，3
2000
y x '=-
， 则l 的方程为()23
10002000y x t t t -
=--，由此得3,02t ??A ???，230000,t ??
B ??
?． 故(
)f t ==[]5,20t ∈． ②设()62
4410g t t t ?=+，则()6
5
16102g t t t
?'=-．令()0g t '=
，解得t =
当(
t ∈时，()0g t '<，()g t 是减函数；
当()
20t ∈时，()0g t '>，()g t 是增函数．
从而，当t =()g t 有极小值，也是最小值，所以()min 300g t =， 此时(
)min f t =．
答：当t =l
的长度最短，最短长度为
11.【2015高考山东，理21】设函数()()()
2
ln 1f x x a x x =++-，其中a R ∈.
（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若()0,0x f x ?>≥成立，求a 的取值范围.
（2）当0a > 时， ()()28198a a a a a ?=--=- ①当8
09
a <≤
时，0?≤ ，()0g x ≥ 所以，()0f x '≥，函数()f x 在()1,-+∞上单调递增无极值； ②当8
9
a >
时，0?> 设方程2
210ax ax a ++-=的两根为1212,(),x x x x < 因为1212
x x +=- 所以，1211,44
x x <-
>- 由()110g -=>可得：11
1,4
x -<<-
所以，当()11,x x ∈-时，()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增； 当()12,x x x ∈时，()()0,0g x f x '<< ，函数()f x 单调递减； 当()2,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增； 因此函数()f x 有两个极值点． （3）当0a < 时，0?> 由()110g -=>可得：11,x <-
当()21,x x ∈-时，()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增；
当()2,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '<< ，函数()f x 单调递减； 因此函数()f x 有一个极值点． 综上：
当0a < 时，函数()f x 在()1,-+∞上有唯一极值点； 当8
09
a ≤≤时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点；
当8
9
a >
时，函数()f x 在()1,-+∞上有两个极值点； （II ）由（I ）知， （1）当8
09
a ≤≤时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增， 因为()00f =
所以，()0,x ∈+∞时，()0f x > ，符合题意； （2）当
8
19
a <≤ 时，由()00g ≥ ，得20x ≤ 所以，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，
又()00f =，所以，()0,x ∈+∞时，()0f x > ，符合题意； （3）当1a > 时，由()00g < ，可得20x > 所以()20,x x ∈ 时，函数()f x 单调递减； 又()00f =
所以，当()20,x x ∈时，()0f x < 不符合题意； （4）当0a <时，设()()ln 1h x x x =-+ 因为()0,x ∈+∞时，()11011
x h x x x '=-
=>++
当1
1x a
>-
时，()210ax a x +-< 此时，()0,f x < 不合题意. 综上所述，a 的取值范围是[]0,1
12.【2015高考安徽，理21】设函数2
()f x x ax b =-+. （Ⅰ）讨论函数(sin )f x 在(,)22
ππ
-
内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； （Ⅱ）记2
000()f x x a x b =-+，求函数0(sin )(sin )f x f x -在[]22
ππ
-
,上的最大值D ； （Ⅲ）在（Ⅱ）中，取000a b ==，求2
4a z b =-满足D 1≤时的最大值.
【答案】（Ⅰ）极小值为2
4
a b -；（Ⅱ）00||||D a a b b =-+-； （Ⅲ）1.
【解析】
（Ⅰ）2
(sin )sin sin sin (sin )f x x a x b x x a b =-+=-+，2
2
x π
π
-
<<
.
[(s i n
)]'(2s i n )c f x x a x =-，
2
2
x π
π
-<<
.
因为2
2
x π
π
-
<<
，所以cos 0,22sin 2x x >-<<.
①当2,a b R ≤-∈时，函数(sin )f x 单调递增，无极值. ②当2,a b R ≥∈时，函数(sin )f x 单调递减，无极值. ③当22a -<<，在(,)22
ππ
-内存在唯一的0x ，使得02sin x a =.
02
x x π
-
<≤时，函数(sin )f x 单调递减；02
x x π
<<
时，函数(sin )f x 单调递增.
因此，22a -<<，b R ∈时，函数(sin )f x 在0x 处有极小值2
0(sin )()24
a a f x f
b ==-.
（Ⅱ）2
2
x π
π
-
≤≤
时，00000|(sin )(sin )||()sin |||||f x f x a a x b b a a b b -=-+-≤-+-，
当00()()0a a b b --≥时，取2
x π
=
，等号成立，
当00()()0a a b b --<时，取2
x π
=-
，等号成立， 由此可知，函数0(sin )(sin )f x f x -在[]22
ππ
-,上的最大值为00||||D a a b b =-+-.
（Ⅲ）D 1≤，即||||1a b +≤，此时2
01,11a b ≤≤-≤≤，从而2
14
a z
b =-≤. 取0,1a b ==，则||||1a b +≤，并且2
14a z b =-=. 由此可知，2
4
a z
b =-满足条件D 1≤的最大值为1.
13.【2015高考天津，理20（本小题满分14分）已知函数()n ,n f x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥. (I)讨论()f x 的单调性；
(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；
(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21a
x x n
<
+- 【答案】(I) 当n 为奇数时，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时，
()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)见解析； (III)见解析.
(2)当n 为偶数时，
当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.
所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则11
0n x n
-=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为
()00()y f x x x '=-，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即()00()()()F x f x f x x x '=--，则0()()()F x f x f x '''=-
由于1()n f x nx n -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.
(III)证明：不妨设12x x ≤，由(II)知()()20
()g x n n
x x =--，设方程()g x a =的根为2
x '，可得
202
.a
x x n n
'=
+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由(II)知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.
类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，
()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <
设方程()h x a =的根为1x '，可得1a
x n
'=
，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且111()()()h x a f x h x '==<，因此11x x '<.
由此可得212101a
x x x x x n
''-<-=
+-. 因为2n ≥，所以111
12(11)111n n n C n n ---=+≥+=+-=，故11
02n n
x -≥=，
所以2121a
x x n
-<
+-. 14.【2015高考重庆，理20】 设函数()()23x
x ax
f x a R e
+=∈ （1）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程； （2）若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围。 【答案】（1）0a =，切线方程为30x ey -=；（2）9
[,)2
-+∞.
当1x x <时，g()0x <,故()f x 为减函数；
当12x x x <<时，g()0x >,故()f x 为增函数； 当2x x >时，g()0x <,故()f x 为减函数；
由()f x 在[3,)+∞
上为减函数，知23x =≤，解得92a ≥-
故a 的取值范围为9[,)2
-+∞.
15.【2015高考四川，理21】已知函数22
()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a >.
（1）设()g x 是()f x 的导函数，评论()g x 的单调性；
（2）证明：存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥在区间∞(1,+)内恒成立，且()0f x =在∞(1,+)内有唯一解. 【解析】（1）由已知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，
()()222ln 2(1)a g x f x x a x x
'==---+，
所以222112()2()
2224()2x a a g x x x x
-+-'=-+=. 当104a <<
时，()g x
在区间)+∞上单调递增，
在区间上单调递减； 当1
4
a ≥
时，()g x 在区间(0,)+∞上单调递增. （2）由()222ln 2(1)0a f x x a x x
'=---+=，解得1
1ln 1x x
a x
---=+. 令2
2111
1
1ln 1ln 1ln 1ln ()2()ln 2()2()1111x x x x x x x x x x x x x x x x x ?------------=-+
+--+++++. 则2
11
(2)2(1)10,())2()011e e e e e e ??----=>=-
-<++，.
故存在0(1,)x e ∈，使得0()0x ?=. 令00
01
1ln ,()1ln (1)1x x a u x x x x x ---=
=--≥+，. 由1
()10u x x
'=-≥知，函数()u x 在区间(1,)+∞上单调递增. 所以001
11
0()(1)()2
0111111u x u u e e a x e e ----=
<=<=<++++.
即0(0,1)a ∈
.
16.【2015高考湖北，理22】已知数列{}n a 的各项均为正数，1
(1)()n n n b n a n n +=+∈N ，e 为自然对数的底
数．
（Ⅰ）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1
(1)n n
+与e 的大小；
（Ⅱ）计算
11b a ，1212b b a a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212n n
b b b a a a 的公式，并给出证明； （Ⅲ）令1
12()n
n n c a a a = ，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明：n n eS T <.
【答案】（Ⅰ）()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞. 1
(1)e n n
+<；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）
详见解析.
【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，x
e x
f -='1)(.
当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增； 当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减.
故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞.
当0x >时，()(0)0f x f <=，即x e x <+1.
令1
x n =，得n e n
1
11<+，即e n n <+)11(. ①
（Ⅱ）
1111
1(1)1121
b a =?+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =?=?+=+=；
23331233121231231
33(1)(31)43
b b b b b b a a a a a a =?=?+=+=. 由此推测：
1212(1).n n
n
b b b n a a a =+ ②
下面用数学归纳法证明②.
（1）当1n =时，左边=右边2=，②成立.
（2）假设当n k =时，②成立，即
1212(1)k k
k
b b b k a a a =+ .
当1n k =+时，1
111(1)(1)1
k k k b k a k +++=+++， 由归纳假设可得
1
11211211211211(1)(1)(1)(2)1
k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=?=+++=++ .
所以当1n k =+时，②也成立.
根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立. （Ⅲ）由n c 的定义，②，算术-几何平均不等式，n b 的定义及①得 123n n T c c c c =++++= 111
13
1
2
11212312()()()()n
n a a a a a a a a a ++++
111
131212312
112()()()()
2341n
n b b b b b b b b b n =+++++ 123
12112122334(1)
n b b b b b b b b b n n ++++++≤
++++???+ 121111111[][]1223(1)2334(1)(1)
n b b b n n n n n n =+++++++++???+??++
1211111
(1)()()1211
n b b b n n n n =-+-++-+++ 1212n b b b n <
+++ 1212111
(1)(1)(1)12n n a a a n
=++++++ n n eS ea ea ea =+???++<21.
即n n eS T <.
17.【2015高考新课标1，理21】已知函数f （x ）=3
1
,()ln 4
x ax g x x ++
=-. (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；
（Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{
()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h （x ）零
点的个数. 【答案】（Ⅰ）34a =；（Ⅱ）当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或5
4
a =-时，()h x 有两个零点；当53
44
a -
<<-时，()h x 有三个零点.
若54a <-
，则5
(1)04
f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h f
g f ==<,故x =1不是()
h x 的零点. 当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在（0,1）的零点个数.
(ⅰ)若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+在（0,1）无零点，故()f x 在（0,1）单调，而1
(0)4
f =
，5
(1)4
f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在（0，1）有一个零点；当a ≥0时，()f x 在（0，1）无零点.
(ⅱ)若30a -<<，则()f x 在（0单调递减，在1）单调递增，故当x ()
f x
取的最小值，最小值为f 14.
①若f ＞0，即34-＜a ＜0，()f x 在（0,1）无零点.
②若f =0，即34a =-，则()f x 在（0,1）有唯一零点；
③若f ＜0，
即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344
a -<<-时，()f x 在（0,1）有两个零点；当5
34
a -<≤-时，()f x 在（0,1）有一个零点.…10分 综上，当34a >-
或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或5
4
a =-时，()h x 有两个零点；当53
44
a -
<<-时，()h x 有三个零点. ……12分
18.【2015高考北京，理18】已知函数()1ln 1x
f x x
+=-．
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当()01x ∈，
时，()323x f x x ??
>+ ??
?； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ??
>+ ???
对()01x ∈，
恒成立，求k 的最大值． 【答案】（Ⅰ）20x y -=，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为2. 【解析】
试题分析：利用导数的几何意义，求出函数在0x =处的函数值及导数值，再用直线方程的点斜式写出直线方程；第二步要证明不等式()323x f x x ??
>+ ???
在()01x ∈，
成立，可用作差法构造函数1()ln 1x F x x +=-3
2()3
x x -+，利用导数研究函数F(x)在区间（0，1）上的单调性，由于()0F x '
>，()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F >=，问题得证；第三步与第二步方法类似，构造函
数研究函数单调性，但需要对参数k 作讨论，首先[0,2]k ∈符合题意，其次当2k >时，不满足题意舍去，得出k 的最大值为2.
(0,1)x ?∈，
3
()2()3
x f x x >+
成立；
（Ⅲ）使()33x f x k x ??
>+ ???成立，()01x ∈，
，等价于3
1()ln ()013
x x F x k x x +=-+>-，()01x ∈，；
42
22
22()(1)11kx k F x k x x x +-'=-+=--，
当[0,2]k ∈时，()0F x '
≥，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0F x F >=，符合题意； 当2k >时，令4
02
()0,(0,1)k F x x k
-'
==
∈，
()(0)F x F <，显然不成立，
综上所述可知：k 的最大值为2.
19.【2015高考广东，理19】设1a >，函数a e x x f x -+=)1()(2． (1) 求)(x f 的单调区间 ；
(2) 证明：)(x f 在(),-∞+∞上仅有一个零点；
(3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行（O 是坐标
原点）,证明：12
3--
≤e
a m ． 【答案】（1）(),-∞+∞；（2）见解析；（3）见解析．
【解析】（1）依题()()()()()
2
22'1'1'10x x
x f x x e x
e x e =+++=+≥，
∴ ()f x 在(),-∞+∞上是单调增函数； （2）∵ 1a >，
∴ ()010f a =-<且()()
22
110a f a a e a a a =+->+->，
∴ ()f x 在()0,a 上有零点，
又由（1）知()f x 在(),-∞+∞上是单调增函数，