广州市荔湾区2015届高三11月调研测试（二）
数学(文科) 2014.11
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室
号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点
涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指
定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
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参考公式：其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1，那么集合A B 为( )
A ．(){}1,3-
B ．()3,1-
C ．{
}3,1- D ．(){}3,1- 2．若复数z 满足()1i z i -=,则z 在复平面内对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．函数2x y =（x ∈R ）的反函数为( )
A ．2log y x =（0x >）
B ．2log y x =（1x >）
C ．log 2x y =（0x >）
D ．log 2x y =（1x >） 4．已知向量,a b 的夹角为120，，且8a b ?=-，则 ) A ．6 B.7 C ．8 D.9 5．函数cos 2sin 2y x x =-的一条对称轴为（ ）
A. B. C. D. 6．根据如下样本数据：
A. 0a >,0 B. 0a >,0>b C. 0a <,0 D. 0a <,0>b 7 ） 8．阅读如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为（ ） A ．0 B C D 9点12,F F ，设它们在第一象限的交点为P ，且 120PF PF ?=，则双曲线的渐近线方程为( ) A B C D 10．若实数1122,,,x y x y 满足2 2 2 11122(3ln )(2)0y x x x y +-+-+=，则2 2 1212()()x x y y -+-的最小值为( ) A. 8 B C ．2 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11. 已知{}n a 是等差数列，125a a +=，91021a a +=，则该数列前10项和10S =________． 12. 一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图都是边长为2的等边三角 形，俯视图如图所示，则这个几何体的体积为________. 13．给出下列四个命题： 有最小值2； ②“2450x x --=”的一个必要不充分条件是“5x =”； ③命题:,tan 1p x x ?∈=R ；命题2:,10q x x x ?∈-+>R ．则命题“()p q ∧?”是 假命题； ④函数()3132 f x =x x +-在点()()2,2f 处的切线方程为3y =-. 其中正确命题的序号是 ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，圆4sin ρθ=与直线(sin cos )4ρθθ+=相 交所得的弦长为 . 15．（几何证明选讲选做题） 如图，⊙O 是ABC ?的外接圆， AB AC =，延长BC 到点D ，使得CD AC =，连结AD 交 ⊙O 于点E ，连结BE ，若035D ∠=,则ABE ∠的大小为 . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分） 在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c , （1）求cos C 的值； （2）若10a =，D 为AB 的中点，求CD 的长. 17. （本小题满分12分） 随着社会的发展，网上购物已成为一种新型的购物方式．某商家在网上新推出 ,,,A B C D 四款商品，进行限时促销活动，规定每位注册会员限购一件，并需在网上完 成对所购商品的质量评价．以下为四款商品销售情况的条形图和用分层抽样法选取100份评价的统计表： （1）若会员甲选择的是A 款商品，求甲的评价被选中的概率； （2）在被选取的100份评价中，若商家再选取2位评价为差评的会员进行电话回访，求 这2位中至少有一位购买的是C 款商品的概率. 18．（本小题满分14分） 如图所示，已知PD 垂直以AB 为直径的圆O 所在平面，点D 在线段AB 上，点C 为圆O 上一点， 且 （1）求证：PA ⊥CD ； （2）求点B 到平面PAC 的距离． 19．（本小题满分14分） 已知{}n a 是首项为2，公差不为零的等差数列，且1517,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 20. （本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 两点的坐标分别为()0,1、()0,1-，动点P 满足直线 AP 与直线BP 的斜率之积为直线AP 、BP 与直线2y =-分别交于点M 、N ． （1）求动点P 的轨迹方程； （2）求线段MN 的最小值； （3）以MN 为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐标;若不经过定点， 请说明理由． 21．（本小题满分14分） ，()()F x f x kx =+ (k ∈R )． （1）当1k =时，求函数()F x 的值域； （2）试讨论函数()F x 的单调性． 文科数学参考答案与评分标准 说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几 种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题考查共10小题，每小题5分，满分50分． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只 能选做一题． 11. 65 12. 13. ③④ 14. 15. 035 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. 解：（1） 4cos 5B = 且(0,)B π∈，∴ 1分 cos(π=- ………………2分 ………………4分 ………………5分 ………………6分 （2）由（1 ………………7分 ………………8分 解得14c =． ………………9分 ∴7BD =， ………………10分 在BCD ?中， ………………11分 ………………12分 17. 解：（1）由条形图可得，选择,,,A B C D 四款商品的会员共有2000人，……1分 其中选A 款商品的会员为400人，由分层抽样可得A 款商品的评价抽取了 ………………2分 设 “甲的评价被选中” 为事件M ，则 ………………3分 答：若甲选择的是A 款商品，甲的评价被选中的概率是0.05. ………………4分 (2) 由图表可知，选,,,A B C D 四款商品的会员分别有400,500,600,500人， ………5分 用分层抽样的方法，选取评价的人数分别为20,25,30,25人，其中差评的人数分别为1,0,3, 2人，共6人． ………………6分 记对A 款商品评价为差评的会员是a ；对C 款商品评价为差评的会员是,,b c d ；对D 款商品评价为差评的会员是,e f ．从评价为差评的会员中选出2人，共有15个基本事件： (),,a b ()()()(),,,,,,a c a d a e a f ，(),b c ，()()(),,,,,,b d b e b f ()()(),,,,,,c d c e c f ()()(),,,,,d e d f e f ． ………………9分 设“至少有一人选择的是C 款商品” 为事件N ,事件N 包含有12个基本事件： (),,a b ()(),,,,a c a d (),b c ，()()(),,,,,,b d b e b f ()()(),,,,,,c d c e c f ()(),,,d e d f . ………………11分 答：至少有一人选择的是C 款商品的概率为 ………………12分 18．解：（1）由3BD =, 1AD =，知4AB =，2AO =，点D 为AO 的中点．……1分 连接OC ． ∵2AO AC OC ===，∴AOC ?为等边三角形， ………………2分 又点D 为AO 的中点，∴CD AO ⊥． ………………3分 又∵PD ⊥平面ABC ，又CD ?平面ABC ，∴PD CD ⊥， ………………4分 PD AO D ?=，PD ?平面PAB ，AO ?平面PAB ， ∴CD ⊥平面PAB ， ………………5分 又PA ?平面PAB ，∴PA ⊥CD ． ………………6分 （2）由（1）知CD AB ⊥， ……………7分 又∵PD ⊥平面ABC ， ……………8分 在Rt PCD ?中， ………………9分 在Rt PAD ?中， ………………10分 在等腰PAC ?中，PC 边上的高为 ………………11分 ………………12分 设点B 到面PAC 的距离为d ，由P ABC B PAC V V --=，∴ ………13分 ，即点B 到面PAC 的距离为 ………………14分 19．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，∴12a =，524a d =+，17216a d =+， 由1517,,a a a 成等比数列， ∴()()2 242216d d +=+， ………………3分 即2d d =．∵0d ≠，∴1d =． ………………5分 ∴()2111n a n n =+-?=+． ………………6分 （2）由（1 ………………7分 ………………8分 ………………9分 两式相减得： ………………11分 ………………12分 ………………13分 ………………14分 另解：由(1) ． ………………7分 利用待定系数法2121 A B A =?? -=?, ………………10分 ∴123...n n S b b b b =++++ ………………14分 20. 解：（1）已知()()0,1,0,1A B -，设动点P 的坐标(),x y ， ∴直线AP 的斜率 ，直线BP 的斜率 （0x ≠）， ………2分 ………………3分 ………………4分 （2）设直线AP 的方程为的()110y k x -=-，直线BP 的方程为的()210y k x +=-， ………………6分 由1 12y k x y -=??=-?，得 ………………7分 由21 2y k x y +=??=-?，得 ………………8分 9分 ∴线段MN 长的最小值 ………………10分 （3）设点(),Q x y 是以MN 为直径的圆的任意一点，则0QM QN =，即 ……………… 11分 故以MN 为直径的圆的方程为： ………………12分 令0x =，得()2 212y +=，解得 ………………13分 ∴以MN 为直径的圆经过定点 ………………14分 21.解:（1）当1=k 时， ………………1分 当0>x 时，，当且仅当1=x 时，()F x 取最小值2． …………2分 当0x ≤时，()e x F x x =+，()e 10x F x '=+>， ()F x 在()0,∞-上单调递增，所以 ()(0)1=F x F ≤． ………………3分 所以当1=k 时，()F x 的值域为(,1][2,)-∞+∞． (4) 分 （2 ………………5分 ①当0=k 时， 当0>x 时，()0F x '<，()F x 在区间(0,)+∞上单调递减， ………………6分 当0x ≤时，()0F x '>，()F x 在区间(,0]-∞上单调递增． ………………7分 ②当0>k 时， 当0x ≤时，()e 0x F x k '=+>，()F x 在区间(,0]-∞上单调递增．………………8分 当0>x 时，令 时，()0F x '<，()F x 在区间 ………………9分 时，'()0>F x ，()F x 在区间 ………………10分 ③当0k <时， 当0>x 时，，()F x 在区间(0,)+∞上单调递减．……………11分 当0x ≤时，令()e 0x F x k '=+=，得ln()=-x k ， 下面讨论ln()=-x k 是否落在区间(,0)-∞上， 令ln()0k -≥，解得1-k ≤，令ln()0k -<，解得10-< 当1-k ≤时，当0x ≤时，()0F x '<，()F x 在(),0-∞上单调递减．……………12分 当10-< 当ln()0-< 当ln()<-x k 时，()0F x '<，()F x 在(,ln())-∞-k 上单调递减．……………13分 综上所述： 当0>k 时，()F x 在(,0]-∞和)k 上单调递减； 当0=k 时，()F x 在(,0]-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减； 当10-< 当1-k ≤时，()F x 在(],0-∞和()0,+∞上单调递减． ……………14分
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