第一讲：轨迹方程的求法
一、 直接法
例1．已知ABC D 中，||
||2,
||
AB BC m AC ==，求点A 的 轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 例2．已知抛物线2:4C y x =，若椭圆的左焦点及相应的准线与抛物线C 的焦点和准线分别重合，求以椭圆短轴端点B 与焦点F 为两端点的线段中点P 的轨迹方程．
例3．已知两点(1,0),(1,0)M N -，且点P 时,,MP MN PM PN NM NP ×××uuu r uuuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r
成公差小于零的等差数列．（1）
点P 的轨迹是什么曲线？（2）若点P 的坐标为00(,)x y ，记q 为PM uuuu r 与PN uuu r
的夹角，求tan q （用点P
的坐标数值表示）． 二、 定义法
例4．已知圆O 的方程1002
2=+y x ，点A 的坐标为（—6，0），M 为圆O 上任意一点，AM 的垂
直平分线交OM 于点P ，求点P 的轨迹方程。
例5．已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程 三、 代入法（相关点法）
例6．动圆22:(1)1C x y -+=，过原点O 作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程．
例7．求过点(1,2)A ，离心率为1
2
，且以x 轴为准线的椭圆的下方的顶点轨迹方程．
例8．设椭圆方程为14
2
2
=+y x ，过点M（0，1）的直线l 交椭圆于点A、B，O 是坐标原点，点P
满足1()2OP OA OB =+uuu r uuu r uuu r ，点N 的坐标为)2
1
,21(，当l 绕点M 旋转时，求：
（1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP uuu r
的最小值与最大值.
四、参数法
例9、如图，在直角坐标系内，已知矩形OABC 的边长OA=a,OC=b,若D 在AO 的延长线上，a DO =，设M、N 分别是OC、BC 边上的动点，使得OM：MC=BN：NC 01，求直线DM 与AN 交点P 的轨迹方程。
例10、求过椭圆)0(,122
22f f b a b
y a x =+的右焦点)0,(c F 的动弦21M M 的中点P 的轨迹。
练习：
1、与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是
2、抛物线x y 42=经过焦点的弦的中点的轨迹方程是
3．到点)0,1(-的距离与到直线3=x 的距离相等的点的轨迹方程为
4、已知椭圆22
194
x y +=的左、右顶点分别为1A 和2A ，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点
分别为1P 和2P ，其中1P 的纵坐标为正数，则直线11A P 与22A P 的交点M 的轨迹方程 5．动圆与x 轴相切，且与直线y x =相交所得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 6．长为2a 的线段AB 的两个端点分别在x 轴和y 轴上运动，则AB 中点的轨迹方程为 7．已知抛物线)(12R m mx x y ?-+-=的顶点为A ，那么当m 变化时，此抛物线焦点F 的轨迹方程是___________________________．
8．自椭圆22
1204
x y +=上的任意一点P 向x 轴引垂线，垂足为Q ，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程为
9．已知椭圆15
92
2=+y x 的两个焦点分别是F 1、F 2，△MF 1F 2的重心G 恰为椭圆上的点，则点M 的轨
迹方程为 ．
10．已知直线l ：y ＝k (x －5)及圆C ：x 2＋y 2＝16． (1)若直线l 与圆C 相切，求k 的值；
(2)若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，求当k 变动时，弦AB 的中点的轨迹．
11．已知两直线l 1：2x －3y ＋2＝0，l 2：3x －2y ＋3＝0，有一动圆M (圆心和半径都在变动)与l 1，l 2都相交，并且截l 1，l 2所得的弦长分别是定值26和24，求圆心M 的轨迹方程．
12．过M (1，3)作两条互相垂直的直线l 1和l 2，l 1与x 轴交于A 点，l 2与y 轴交于B 点，求线段AB 中点的轨迹．
13．求与两定圆x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－8x －33＝0都相切的动圆圆心的轨迹方程
14．设,x y R ?,i j r r 为直角坐标平面内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(5)a x i y j =++r r r
(5)b x i y j =-+r r r ，||||8a b -=r r
，求点(,)M x y 的轨迹C 的方程．
15．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两个观测点晚4s ，已知各观测点到中心的距离都是1020m ，试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340/m s ；相关各点均在同一平面上）
16．设双曲线22
22:1x y C a b
-=(0,0)a b >>的离心率为e ，右准线l 与两条渐近线交于,P Q 两点，右焦
点为F ，且PQF D 为等边三角形．（1）求双曲线C 的离心率e 的值；（2）若双曲线C 被直线y ax b
=+截得的弦长为22
b e a
，求双曲线C 的方程；（3）设双曲线C 经过点(1,0)，以F 为左焦点，l 为左准线
的椭圆，其短轴的端点为B，求BF中点的轨迹方程．
微专题71 求曲线（或直线）的方程 一、基础知识： 1、求曲线（或直线）方程的思考方向大体有两种，一个方向是题目中含几何意义的条件较多（例如斜率，焦距，半轴长，半径等），那么可以考虑利用几何意义求出曲线方程中的要素的值，从而按定义确定方程；另一个方向是若题目中没有明显的几何条件，主要依靠代数运算，那么就考虑先用待定系数法设出方程（未知的部分用字母代替），从而该方程便可参与题目中的运算，再利用题目条件求出参数的值，即可确定方程。可以说两个方向各有侧重，一个倾向于几何意义，另一个倾向于代数运算，下面将对两个方向涉及到的知识进行详细梳理 2、所学方程中字母的几何意义 （1）直线：：斜率；()00,x y ：直线所过的定点 （2）圆：(),a b :圆心的坐标； :r 圆的半径 （3）椭圆：2a ：长轴长，焦半径的和；2:b 短轴长；2c ：焦距 （4）双曲线：2a ：实轴长，焦半径差的绝对值；2:b 虚轴长；2c ：焦距 注：在椭圆和双曲线中，很多几何性质也围绕着,,a b c 展开，通过这些条件也可以求出,,a b c 的值，从而确定曲线方程。例如（椭圆与双曲线共有的）： 离心率：c e a =；通径（焦点弦长的最小值）：22b a 等 （5）抛物线：:p 焦准距 3、待定系数法中方程的形式： （1）直线与曲线方程通式： ① 直线：y kx m =+，x my t =+ ② 圆：2 2 0x y Dx Ey F ++++= ③ 椭圆： 标准方程：()222210x y a b a b +=>>（或()22 2210y x a b a b +=>>，视焦点所在轴来决定） 椭圆方程通式：()2 2 10,0mx ny m n +=>> ④ 双曲线：
求点的轨迹问题 一、基础知识： 1、求点轨迹方程的步骤： （1）建立直角坐标系 （2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示） （3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程 （4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 2、求点轨迹方程的方法 （1）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可 （2）代入法：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程 （3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程。常见的曲线特征及要素有： ① 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹 直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上 确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r ② 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹 确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c ③ 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹 注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支 确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c ④ 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹 确定方程的要素：焦准距：p 。若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程 （4）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变量k ，分别找到,x y 与
求轨迹方程的常用方法： 题型一 直接法 此法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件)}(|{M P M 直接翻译成y x ,的形式0),(=y x f ，然后进行等价变换，化简0),(=y x f ，要注意轨迹方程的纯粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外（纯粹性）；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。 例1 过点)3,2(A 任作互相垂直的两直线AM 和AN ，分别交y x ,轴于点N M ,，求线段MN 中点P 的轨迹方程。 解：设P 点坐标为),(y x P ，由中点坐标公式及N M ,在轴上得)2,0(y M ，)0,2(x N ),(R y x ∈ ∴12 0322230-=--?--y x )1(≠x ，化简得01364=-+y x )1(≠x 当1=x 时，)3,0(M ，)0,2(N ，此时MN 的中点)2 3,1(P 它也满足方程01364=-+y x ，所以中点P 的轨迹方程为01364=-+y x 。 变式1 已知动点(,)M x y 到直线:4l x =的距离是它到点(1,0)N 的距离的2倍。 （1） 求动点M 的轨迹C 的方程； （2） 过点(0,3)P 的直线m 与轨迹C 交于,A B 两点。若A 是PB 的中点，求直线m 的斜 率。 题型二 定义法 圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程。 例2 动圆M 过定点)0,4(-P ，且与圆08:2 2=-+x y x C 相切，求动圆圆心M 的轨迹方程。 解：根据题意4||||||=-MP MC ，说明点M 到定点P C 、的距离之差的绝对值为定值，故点M 的轨迹是双曲线。 ∴2=a ，4=c 故动圆圆心M 的轨迹方程为112 42 2=-y x 变式2 在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39， 求ABC △的重心的轨迹方程．
圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型： （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为 ， ，代入方程，然 后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。 如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 典型例题 给定双曲线。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点 及 ，求线段 的中点 P 的轨迹方程。 （2 构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 ，为焦点，，。 （1 （2）求 的最值。 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。 典型例题 （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。 （4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。
圆锥曲线轨迹方程的解法 目录 一题多解 (2) 一．直接法 (3) 二. 相关点法 (6) 三. 几何法 (10) 四. 参数法 (12) 五. 交轨法 (14) 六. 定义法 (16)
一题多解 设圆C ：（x －1）2+y 2=1，过原点O 作圆的任意弦OQ ，求所对弦的中点P 的轨迹方程。 一．直接法 设P （x,y ），OQ 是圆C 的一条弦，P 是OQ 的中点，则CP ⊥OQ ，x ≠0,设 OC 中点为M （0,21），则|MP |=21|OC |=21，得（x －21）2+y 2=41 (x ≠0)，即点P 的 轨迹方程是（x －21）2+y 2=41 (0＜x ≤1)。 二．定义法 ⊥⊥OPC =90°，⊥动点P 在以M （0,2 1 ）为圆心，OC 为直径的圆（除去原点 O ）上，|OC |=1，故P 点的轨迹方程为（x －21）2+y 2=41 (0＜x ≤1) 三．相关点法 设P （x,y ）,Q (x 1,y 1)，其中x 1≠0, ⊥x 1=2x,y 1=2y ,而（x 1－1）2+y 2=1 ⊥(2x －1)2+2y 2=1,又x 1≠0, ⊥x ≠0,即（x －21）2+y 2=41 (0＜x ≤1） 四．参数法 ①设动弦PQ 的方程为y=kx ,代入圆的方程（x －1）2+kx 2=1， 即（1+k 2）x 2－2x =0,⊥.12 221k x x +=+ 设点P （x,y ），则2 2211],1,0(112k k kx y k x x x +==∈+=+= 消去k 得（x － 21）2+y 2=4 1 (0＜x ≤1） ②另解 设Q 点（1+cos θ,sin θ），其中cos θ≠－1,P (x,y )， 则,2sin ],1,0(2cos 1θθ=∈+= y x 消去θ得（x －21）2+y 2=4 1 (0＜x ≤1）
圆锥曲线标准方程求法 一、椭圆标准方程求法 1、定义法 【例1】已知ABC ?的周长是18，)0,4(),0,4(B A -，求点C 的轨迹方程。 【变式】：在周长为定值的△ABC 中,已知|AB|=6,且当顶点C 位于定点P 时,cosC 有最小值为25 7.建立适当的坐标系,求顶点C 的轨迹方程. 【例2】已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为()0,1，点??? ? ??26,23M 在椭圆上，求椭圆C 的方程； 【例3】已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0)F ．动圆M 过点F 2，且与圆F 1相内切．求点M 的轨迹C 的方程. 【例4】设R y x ,,,∈为直角坐标系内y x ,轴正方向的单位向量， ,)2(j y i x a ++=j y i x b )2(-+=，且8||||=+．求点),(y x M 的轨迹C 的方程； 2、待定系数法 1.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为 2 ，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，椭圆G 的方程．
2．已知椭圆1C ：22 221(0)y x a b a b +=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1．求椭圆1C 的方程． 3.已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．求椭圆C 的方程． 4.设椭圆:E 22 221x y a b +=（,0a b >>）过2)M ，(6,1)N 两点，O 为坐标原点，求椭圆E 的方程。 3、转化已知条件 【例1】已知点,A B 的坐标分别是(0,1)-,(0,1),直线,AM BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为12- .求点M 轨迹C 的方程; 【例2】设Q 、G 分别为ABC ?的外心和重心,已知)0,1(-A ,)0,1(B ,AB QG //?求点C 的轨迹E 【例3】已知动点P 到直线33 4- =x 的距离是到定点(0,3-)的距离的332倍.求动点P 的轨迹方程;
轨迹方程经典例题 一、轨迹为圆： 1、 长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程： 已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为 2 1 ，求点M 的轨迹方程; 2、 线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆1)1(22=++y x 上运动，求AB 的中点M 的轨迹。 （2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为32。 （1）求圆心的P 的轨迹方程； （2）若P 点到直线x y =的距离为 2 2 ，求圆P 的方程。 3如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 4在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 5（2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. （1） 求动圆圆心的轨迹C 的方程； （2） 已知点)0,1(-B ，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点Q P ,，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明 直线l 过定点。 二、椭圆类型： 3、 定义法：点M(x ,y )与定点F(2，0)的距离和它到定直线8=x 的距离之比为2 1 ，求点M 的轨迹方程.
求曲线轨迹方程的五种方法 一、直接法 如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知 识推出等量关系，求方程时可用直接法。 例1长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，求AB 中点P的轨迹方程。 /解：设点P的坐标为（x, y），\ 则A（2x，0），B（0，2y），由|AB|=2a 得\、（2x 0）2（0 2y）2=2a 化简得x2+y2=a，即为所求轨迹方程 点评：本题中存在几何等式|AB|=2a，故可用直接法解之。 二、定义法 如果能够确立动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。 例2动点P到直线x+4=0的距离减去它到M （2, 0）的距离之 差等于2,则点P的轨迹是（） A、直线 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 解法一：由题意，动点P到点M （2，0）的距离等于这点到直 线x=-2的距离，因此动点P的轨迹是抛物线，故选D。 解法二：设P点坐标为（x，y），则/ |x+4|- （x 2）2 y2=2
当x > -4 时，x+4- （x 2）2 y2=2 化简得
当时，y2=8x 当x V -4 时，-X-4- .. （x 2）2 y2=2 无解 所以P点轨迹是抛物线y2=8x 点评：解法一与解法二分别用定义法和直接法求轨迹方程，明显, 解法一优于后一种解法，对于有些求轨迹方程的题目，若能采用定义法，则优先采用定义法，它能大量地简化计算。 三、代入法 如果轨迹点P（x，y）依赖于另一动点Q（a, b）,而Q（a, b）又在某已知曲线上，则可先列出关于x、y、a、b的方程组，利用x、y表示出a、b，把a、b代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程，此法称为代入法。 2 2 例3 P 在以F1、F2为焦点的双曲线16七1上运动，则厶F1F2P 、k2 (x2 y2) ? . x2 y2=12 ??? k (x2+y2) =12,又点M在已知圆上， ??? 13k2x2+13k2y2-15kx-36ky=0 由上述两式消去x2+y2得 5x+12y-52=0 点评：用参数法求轨迹，设参尽量要少，消参较易。 五、交轨法 若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点方程，
微专题19 1．答案：x 2＝2y . 解析：假设抛物线标准方程x 2＝2py (p ＞0)，因为准线方程y ＝－12＝－p 2 ，所以p ＝1，抛物线标准方程为x 2＝2y . 2．答案：x 28－y 28 ＝1. 解析：因为e ＝c a ＝2，又b a ＝4c ，所以b ＝22，a ＝22，所以双曲线的E 的标准方程为x 28－y 28 ＝1. 3．答案：x 24＋y 22 ＝1. 解析：由c a ＝22，2a 2c ＝42解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝ 2.所以椭圆的方程为x 24＋y 2 2＝1. 4．答案：y ＝±2x . 解析：因为m ＋4m ＝3，得出m ＝2，所以渐近线方程为x 22－y 2 4 ＝0，所以y ＝±2x . 5．答案：x 216＋y 2 8 ＝1. 解析：由???c a ＝22，c ＋a 2 c ＝62，解得???a ＝4，c ＝22 则b ＝22，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1. 6．答案：x 2－y 2 3 ＝1. 解析：因为c a ＝2，不妨设焦点为(c ，0)，渐近线为y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，所以bc b 2＋a 2＝b ＝3，c 2＝4a 2＝a 2＋b 2，所以 a 2＝1，双曲线C 的标准方程为x 2－y 23 ＝1. 7．答案：x 24＋y 2 4 3 ＝1. 解析：因为a ＝2，由|OC →－OB →|＝ 2|BC →－BA →|，得|BC →|＝2|AC →|，所以|OC →|＝|AC →|，又由AC →·BC →＝0，所以|OC →|＝|AC →|＝2，则点C (1，－1)代入椭圆E ，得b 2＝43，所以椭圆E ：x 24＋y 2 4 3＝1.
轨迹方程经典例题 一、轨迹为圆的例题： 1、 必修2课本P 124B 组2：长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程： 必修2课本P 124B 组：已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为 2 1 ，求点M 的轨迹方程;（一般地：必修2课本P 144B 组2：已知点M(x ,y )与两个定点21,M M 的距离之比为一个常数m ；讨论点M(x ,y )的轨迹方程（分m =1，与m ≠1进行讨论） 2、 必修2课本P 122例5：线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆 1)1(22=++y x 上运动，求AB 的中点M 的轨迹。 （2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为32。 （1）求圆心的P 的轨迹方程； （2）若P 点到直线x y =的距离为 2 2 ，求圆P 的方程。 如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1= 2 ,241+= +y y x ,代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得24 4)2()24( 22+? -++x y x －10=0整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程. 在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． （2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.
求曲线轨迹方程的常用 方法 Hessen was revised in January 2021
高考数学专题：求曲线轨迹方程的常用方法 张昕 陕西省潼关县潼关高级中学 714399 求曲线的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查考生对曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力.因此要分析轨迹的动点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的形式建立等式.其常见方法如下： （1）直接法：直接法就是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，这种求轨迹方程的方法就称为直接法，直接法求轨迹经常要联系平面图形的性质. （2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解.这种求轨迹方程的方法称为定义法，利用定 义法求方程要善于抓住曲线的定义特征. （3）代入法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.这就叫代入法.
（4） 参数法：若动点的坐标（x ，y ）中的x ，y 分别随另一变量的 变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，消去参数来求轨迹方程. （5） 几何法：根据曲线的某种几何性质和特征，通过推理列出等式 求轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做几何法. （6） 交轨法：在求动点轨迹方程时，经常遇到求两动曲线的交点轨 迹方程问题，我们列出两动曲线的方程再设法消去曲线中的参数即可得到交点的轨迹方程. 典型例题示范讲解： 设圆C ：22(1)1x y -+=，过原点作圆的弦0A ，求OA 中点B 的轨迹方程. 【解】：法一：（直接法） 如图，设B （x ，y ），由题得2OB +2BC =2OC , 即x 2+y 2 +［22(1)x y -+］=1 即OA 中点B 的轨迹方程为2211()24 x y -+=（x ≠0）. 法二：（定义法） 设B （x ，y ），如上图，因为B 是OA 的中点
2021高考数学圆锥曲线轨迹方程问题解法指导 纵观近几年高考轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度.有的学生看到就头疼的题目.分析原因除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理。圆锥曲线问题是山东卷高考压轴大题，解题的关键往往是第一问能否求出轨迹方程。 圆锥曲线问题轨迹方程，解答题中以待定系数法为多，一旦变换考法，往往会造成学生心理负担，为了更好的解决这一问题，本专题针对轨迹方程的常见考法做出了系统总结。 一、考法解法 命题特点分析 求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其实质就是利用题设中的已知条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系问题，解决这类问题不但对圆锥曲线的定义、性质等基础知识要熟练掌握，还要利用各种数学思想方法，同时具备一定的推理能力和运算能力。 高考考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法.“轨迹”、“方程”要区分求轨迹方程，求得方程就可
以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）.处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累.所以在处理轨迹问题时，一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法，确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：①准确理解题意，挖掘隐含条件；②列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；③推理要严密，方程化简要等价；④消参时要保持范围的等价性；⑤数形结合，查“漏”补“缺”。在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：①题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；②简化条件式；③转化化归。 解题方法荟萃 1.直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧，它是求轨迹方程的基本方法。 直接法一般有下列几种情况： 1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。 3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。
圆锥曲线 设而不求法典型试题 在求解直线与圆锥曲线相交问题，特别是涉及到相交弦问题,最值问题,定值问题的时候，采用“设点代入”(即“设而不求”)法可以避免求交点坐标所带来的繁琐计算，同时还要与韦达定理,中点公式结合起来,使得对问题的处理变得简单而自然,因而在 做圆锥曲线题时注意多加训练与积累. 1.通常情况下如果只有一条直线，设斜率相对容易想一些，或 者多条直线但是直线斜率之间存在垂直，互为相反数之类也可以设斜率需要注意的是设斜率的时候需要考虑： （1）斜率是否存在 （2）直线与曲线必须有交点也就是判别式必须大于等于0 这种设斜率最后利用韦达定理来计算并且最终消参法，思路清晰，计算量大，特别需要仔细，但是大多也是可以消去高次项，故不要怕大胆计算，最终一定能得到所需要的结果。 2.设点比较难思考在于参数多，计算起来容易信心不足，但是在对于定点定值问题上，只要按题目要求计算，将相应的参数互
带，，然后把点的坐标带入曲线方程最终必定能约分，消去参数。这种方法灵活性强，思考难度大，但是计算简单。 例1：已知双曲线x2-y2/2=1，过点M(1,1)作直线L，使L与已知双曲线交于Q1、Q2两点，且点M是线段Q1Q2的中点，问：这样的直线是否存在？若存在，求出L的方程；若不存在，说明理由。 解：假设存在满足题意的直线L，设Q1(X1,Y1)，Q2(X2,Y2) 代人已知双曲线的方程，得x12-y12/2=1 ①， x22-y22/2=1 ② ②-①，得(x 2-x 1 )(x 2 +x 1 )-(y 2 -y 1 )(y 2 +y 1 )/2=0。 当x1=x2时，直线L的方程为x=1，此时L与双曲线只有一个交点(1,0)不满足题意； 当x1≠x2时，有(y2-y1)/(x2-x1)=2(x2+x1)/(y2+y1)=2. 故直线L的方程为y-1=2(x-1) 检验：由y-1=2(x-1)，x2-y2/2=1，得2x2-4x+3=0,其判别式 ⊿=-8 ﹤0，此时L与双曲线无交点。 综上，不存在满足题意的直线
圆锥曲线轨迹方程问题 纵观近几年高考轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高， 主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度.有的学生看到就头疼的题目. 分析原因除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没 有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理。圆锥曲线问题是 ft东卷高 考压轴大题，解题的关键往往是第一问能否求出轨迹方程。 圆锥曲线问题轨迹方程，解答题中以待定系数法为多，一旦变换考法，往往会造成学生 心理负担，为了更好的解决这一问题，本专题针对轨迹方程的常见考法做出了系统总结。 一、考法解法 命题特点分析 求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其 实质就是利用题设中的已知条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系问题，解决这类 问题不但对圆锥曲线的定义、性质等基础知识要熟练掌握，还要利用各种数学思想方法，同 时具备一定的推理能力和运算能力。 高考考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法.“轨迹”、“方程”要区分求轨 迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型 （定形、定位、定量）.处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累.所以在处 理轨迹问题时，一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法，确定轨迹的范围是处理轨迹问 题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：①准确理 解题意，挖掘隐含条件；②列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；③推理要严密，方程化简要 等价；④消参时要保持范围的等价性；⑤数形结合，查“漏”补“缺”。在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：①题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；② 简化条件式； ③转化化归。 解题方法荟萃
圆锥曲线之轨迹方程的求法（一） （制卷：周芳明） 【复习目标】 □1. 了解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤； □2. 会用直接法、定义法、相关点法（坐标代换法）求方程。 【基础练习】 1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( ) A ．y x = B ．||y x = C ．22y x = D ．220x y += 2．已知点(,)P x y 4，则动点P 的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．两条射线 D ．以上都不对 3．设定点1(0,3)F -、2(0,3)F ，动点P 满足条件129(0)PF PF a a a +=+>，则点P 的轨迹( ) A ．椭圆 B ．线段 C. 不存在 D ．椭圆或线段 4．动点P 与定点(1,0)A -、(1,0)B 的连线的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程为______________. 【例题精选】 一、直接法求曲线方程 根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。 例1．已知ABC ?中，2,AB BC m AC ==，试求A 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形. 练习：已知两点M （-1，0）、N （1，0），且点P 使MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于零的等差数列。点P 的轨迹是什么曲线？
二定义法 若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。 例1．⊙C ：22(3)16x y ++=内部一点(3,0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程. 例2．设动点(,)(0)P x y x ≥到定点1(,0)2F 的距离比它到y 轴的距离大12 。记点P 的轨迹为 曲线C 求点P 的轨迹方程； 练习．若动圆与圆1)2(:2 21=++y x C 相外切，且与直线1=x 相切，则动圆圆心轨迹方程是 . 三代入法 有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法。这种方法是一种极常用的方法，连续好几年高考都考查。 例1、已知定点A ( 3, 0 )，P 是圆x 2 + y 2 = 1上的动点，∠AOP 的平分线交AP 于M ， 求M 点的轨迹。
求曲线轨迹方程的五种 方法 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
求曲线轨迹方程的五种方法 一、直接法 如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法。 例1 长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程。 解：设点P的坐标为（x，y）， 则A（2x，0），B（0，2y），由|AB|=2a得 2) 2 x- 2(y + -=2a 2 0( )0 化简得x2+y2=a，即为所求轨迹方程 点评：本题中存在几何等式|AB|=2a，故可用直接法解之。 二、定义法 如果能够确立动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。 例2 动点P到直线x+4=0的距离减去它到M（2，0）的距离之差等于2，则点P的轨迹是（） A、直线 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 解法一：由题意，动点P到点M（2，0）的距离等于这点到直线x=-2的距离，因此动点P的轨迹是抛物线，故选D。 解法二：设P点坐标为（x，y），则 |x+4|-2 2 -=2 x+ (y )2
当x ≥-4时，x+4-22)2(y x +-=2化简得 当时，y 2=8x 当x ＜-4时，-x-4-22)2(y x +-=2无解 所以P 点轨迹是抛物线y 2=8x 点评：解法一与解法二分别用定义法和直接法求轨迹方程，明显，解法一优于后一种解法，对于有些求轨迹方程的题目，若能采用定义法，则优先采用定义法，它能大量地简化计算。 三、 代入法 如果轨迹点P （x ，y ）依赖于另一动点Q （a ，b ），而Q （a ，b ）又在某已知曲线上，则可先列出关于x 、y 、a 、b 的方程组，利用x 、y 表示出a 、b ，把a 、b 代入已知曲线方程便得动点P 的轨迹方程，此法称为代入法。 例3 P 在以F 1、F 2为焦点的双曲线19 1622=-y x 上运动，则△F 1F 2P 的重心G 的轨迹方程是 。 解：设P （x 0，y 0），G （x ，y ），则有 ??? ????++=+-=)00(31)4(3100y y x x x 即???==y y x x 3300，代入 191622=-y x 得19 91692 2=-y x 即116 922 =-y x 由于G 不在F 1F 2上，所以y ≠0
普通高中课程标准实验教科书一数学［人教版］ 高三新数学第一轮复习教案(讲座35)—曲线方程及圆锥曲线的综 合问题 一.课标要求： 1 ?由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练； 2?通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想； 3.了解圆锥曲线的简单应用。 二.命题走向 近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考 察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线 在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2007年高考对本讲的考察，仍将以以下 三类题型为主。 1.求曲线(或轨迹)的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力； 2?与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。 预测07年高考： 1.出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题； 2?可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问。 .要点精讲 1.曲线方程 (1)求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下: 这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化” (2)求曲线方程的常见方法： 直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。 转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动
点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。 几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。 参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y 联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。 2 ?圆锥曲线综合问题 (1)圆锥曲线中的最值问题、范围问题 通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的 最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等 式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。 圆锥曲线的弦长求法： 设圆锥曲线C： f(x, y)=0与直线I ：y=kx+b相交于A(x1, y1)、B(x2, y2)两点，则弦 长| AB|为： (1) 1 AB|= Jl + k" ■ |至］一葢jL + k? * J(签i+窿］)】_4耳］嘉 或|AB|二J1 +存I珀-讣J1 +占》丁⑦+力尸-细诙. 若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|. 在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出 相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标(x, y)的取值范围。 (2)对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题 它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。 (3)实际应用题 数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆 锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。 涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转 化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是： 建立坐标系 (4)知识交汇题 圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强 区分度的综合题。 四.典例解析 题型1 :求轨迹方程 例1. (1) 一动圆与圆x2 y2 6x 5 0外切，同时与圆x2 y2 6x 91 0内切,求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
圆锥曲线中轨迹方程的求法 临沂——李宝峰 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点. 一：直接法： 是求轨迹方程最基本的方法，如果动点P 满足的等量关系易于建立，可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，构成F （x ，y ）=0，即可得到轨迹方程。一般有设点，列式，代换，化简，证明（可省略）五个步骤。但要注意“挖”与“补”。 直接根据等量关系式建立方程. 例1已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PA PB x = ·，则点P 的轨迹是（） Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线 解析：由题知(2)PA x y =--- ，，(3)PB x y =-- ，， 由2PA PB x = ·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+， P ∴点轨迹为抛物线．故选Ｄ． 例1：两个定点的距离为6，点M 到两个定点的距离的平方和为26，求点M 的轨迹。 分析：根据题意建立合适的坐标系，列出等量关系即可。 二：定义法（待定系数法）:适用于根据条件可直接判断轨迹是什么曲线，且知道其方程形式的情形（如圆、椭圆、双曲线、抛物线），运用解析几何中定义,则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 ，例2在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有2 39263 BM CM +=?=． M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆， 其中1213c a ==， ．5b ∴． ∴所求ABC △的重心的轨迹方程为22 1(0)16925 x y y +=≠． 注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性. 例2：已知:⊙c 1（x+3）2+y 2=1和⊙c 2（x-3）2+y 2=9,动圆M 与⊙c 1,⊙c 2相外切，求动圆 圆心M 的轨迹方程。 三：相关点法（代入法）：若所求动点随另一动点（称为相关点，该点坐标满足某已知曲线方程）有规律运动，根据条件找出它们坐标间的关系，用动点坐标表示相关点坐标，由相关点坐标满足的方程可求得动点轨迹方程。本法关键找出动点与相关点间的坐标关系。 即设出
轨迹方程的六种求法整理 求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考. 求轨迹方程的一般方法： 1. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 2. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 6. 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等 一、直接法 把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。设点。列式。化简。说明等，圆锥曲线标准方程的推导。 1. 已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PA PB x =·，求点P 的轨迹。26y x =+， 2. 2.已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ?=? （1）求点P 的轨迹C 对应的方程； （2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论. （3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点. 解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-?=?化简得得 代入 二、定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件． 1、 若动圆与圆4)2(2 2 =++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹 方程是