江苏省南京市2021届高三上学期期初考试
数学试题
2020．9
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合A ＝{
}
2
20x x x --<，B ＝{}
13x x <<，则A
B ＝
A ．{}13x x -<<
B ．{}11x x -<<
C ．{}12x x <<
D ．{}
23x x << 2．已知(3﹣4i)z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则在复平面内z 对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3．已知向量a ，b 满足a ＝1，b ＝2，且3a b +=，则a 与b 的夹角为
A ．
6π B ．3
π
C ．56π
D ．23π
4．在平面直角坐标系xOy 中，若点P(0)到双曲线C ：22
219
x y a -
=的一条渐近线的距离为6，则双曲线C 的离心率为
A ．2
B ．4
C D
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2b cosC ≤2a ﹣c ，则角B 的取值范
围是 A ．(0，
3π] B ．(0，23π] C ．[3
π
，π) D ．[23π，π)
6．设4log 9a =， 1.2
2
b -=，1
38()27
c -=，则
A ．a ＞b ＞c
B ．b ＞a ＞c
C ．a ＞c ＞b
D ．c ＞a ＞b
7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆A ：2
2
(1)1x y -+=，点B(3，0)，过动点P 引圆A
的切线，切点为T ．若PT PB ，则动点P 的轨迹方程为 A ．2
2
14180x y x +-+= B ．2
2
14180x y x +++= C ．2
2
10180x y x +-+= D ．2
2
10180x y x +++=
8．已知奇函数()f x 的定义域为R ，且(1)(1)f x f x +=-．若当x ∈ (0，1]时，()f x ＝
2log (23)x +，则93
(
)2
f 的值是 A ．﹣3 B ．﹣2 C ．2 D ．3
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产岀做出预测
由上图提供的信息可知 A ．运营商的经济产出逐年增加
B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓
C ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位
D ．信息服务商与运营商的经济产岀的差距有逐步拉大的趋势 10．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移
6
π
个单位后，得到函数()y g x =的图象，则 A ．函数()g x 的图象关于直线12
x π
=
对称
B ．函数()g x 的图象关于点(
6
π
，0)对称 C ．函数()g x 在区间(512π-
，6
π
-)上单调递增
D ．函数()g x 在区间(0，
76
π
)上有两个零点 11．已知5
2
3
4
5
6
0123456(2)(12)x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则 A ．0a 的值为2 B ．5a 的值为16
C ．123456a a a a a a +++++的值为﹣5
D ．135a a a ++的值为120
12．记函数()f x 与()g x 的定义域的交集为I ．若存在0x ∈I ，使得对任意x ∈I ，不等式[()f x
0()]()0g x x x --≥恒成立，则称(()f x ，()g x )构成“M 函数对”．下列所给的两个函
数能构成“M 函数对”的有 A ．()ln f x x =，1()g x x
=
B ．()e x
f x =，()e
g x x = C ．3
()f x x =，2
()g x x = D ．1
()f x x x
=+
，()3g x x = 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适
量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球（小球
完全浸入水中），水面高度恰好升高3r
，则
R r
＝ ．
14．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287—前
212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学 第13题 家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐
标系心中，已知直线l ：y ＝4与抛物线C ：2
14
y x =交于A ，B 两点，则弦与拋物线C 所围成的封闭图形的面积为 ．
15．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且12n n n S a a +=，n N *
∈，则4a ＝
；若1a ＝2，则20S ＝ ．（本题第一空2分，第二空3分）
16．若不等式2
(1)e 1x
ax bx ++≤对一切x ∈R 恒成立，其中a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数，
则a ＋b 的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）
已知向量m ＝(2cos x ，﹣1)，n ＝
sin x ，2cos 2x )，x ∈R ，设函数()1f x m n =?+． （1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）若a ∈[
3π，712
π
]，且8()5f a =，求cos2a 的值．
18．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，其前n 项和为n S ， （1）在①13222S S S +=+，②37
3
S =
，③2344a a a =，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列{}n a 的通项公式，并判断此时数列{}n a 是否满足条件P ：任意m ，n N *
∈，m n a a 均为数列{}n a 中的项，说明理由；
（2）设数列{}n b 满足1
1(
)n n n n
a b n a -+=，n N *∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．（本小题满分12分）
为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生（男生60人，女生40人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间），结果如下：
（1
附：2
2
()()()()()
n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．
（2）如果用这100名学生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量X 表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求X 的分布列和数学期望． 20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P —ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝PA ＝1，AD ＝2，∠PAD ＝∠DAB ＝90°，点E 在棱PC 上，设CE ＝λCP ．
（1）求证：CD ⊥AE ；
（2）记二面角C —AE —D 的平面角为θ，且cos θ=
λ的值．
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2
214
x y +=． （1）设椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，T 是椭圆C 上的一个动点，求12TF TF ?的取值范围；
（2）设A(0，﹣1)，与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于B ，D 两点，若△ABD 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程．
22．（本小题满分12分）
已知函数()ln f x kx x x =-，k ∈R ． （1）当k ＝2时，求函数()f x 的单调区间；
（2）当0＜x ≤1时，()f x k ≤恒成立，求k 的取值范围；
（3）设n N *
∈，求证：ln1ln 2ln (1)
23
14
n n n n -+++
≤+．
江苏省南京市2021届高三上学期期初考试
数学试题
2020．9
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合A ＝{
}
2
20x x x --<，B ＝{}
13x x <<，则A
B ＝
A ．{}13x x -<<
B ．{}11x x -<<
C ．{}12x x <<
D ．{}
23x x << 答案：C
解析：∵集合A ＝{
}
2
20x x x --<，∴集合A ＝{}
12x x -<<， 又∵B ＝{}
13x x <<，∴A
B ＝{}
12x x <<，故选C ．
2．已知(3﹣4i)z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则在复平面内z 对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 答案：B 解析：1i 17i 34i 25z +-+=
=-，故在复平面内z 对应的点为(125-，7
25
)，在第二象限，故选B ．
3．已知向量a ，b 满足a ＝1，b ＝2，且3a b +=，则a 与b 的夹角为
A ．
6π B ．3
π
C ．56π
D ．23π
答案：D
解析：2
2
3+2=31a b a b a b a b +=?+???=-， 11
cos ,122a b a b a b
?-<>=
=
=-?，故a 与b 的夹角为23
π，故选D ．
4．在平面直角坐标系xOy 中，若点P(0)到双曲线C ：22
219
x y a -
=的一条渐近线的距离为6，则双曲线C 的离心率为
A ．2
B ．4
C
D 答案：A
解析：双曲线C ：22
219
x y a -
=的一条渐近线为30x ay -=，
6=，解得a =2c e a =
==，故选A ． 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2b cosC ≤2a ﹣c ，则角B 的取值范
围是 A ．(0，3π] B ．(0，23π] C ．[3
π
，π) D ．[23π，π)
答案：A
解析：∵2b cosC ≤2a ﹣c ，∴2sinBcosC ≤2sinA ﹣sinC ，故cosB ≥
1
2
， ∴0＜B ≤
3
π
，故选A ． 6．设4log 9a =， 1.2
2
b -=，1
38()27
c -=，则
A ．a ＞b ＞c
B ．b ＞a ＞c
C ．a ＞c ＞b
D ．c ＞a ＞b 答案：C
解析：∵9＞8，∴3＞32
2，故32
223log 3log 22
>=
， 从而有 1.2423
log 9log 3122
a c
b -==>
=>>=，故选C ． 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆A ：2
2
(1)1x y -+=，点B(3，0)，过动点P 引圆A
的切线，切点为T ．若PT PB ，则动点P 的轨迹方程为
A ．2214180x y x +-+=
B ．22
14180x y x +++= C ．2
2
10180x y x +-+= D ．2
2
10180x y x +++= 答案：C
解析：设P(x ，y )，∵PT PB ，∴PT 2＝2PB 2，
∴2
2
2
2
(1)12[(3)]x y x y -+-=-+，整理得：2
2
10180x y x +-+=，故选C ． 8．已知奇函数()f x 的定义域为R ，且(1)(1)f x f x +=-．若当x ∈ (0，1]时，()f x ＝
2log (23)x +，则93
(
)2
f 的值是 A ．﹣3 B ．﹣2 C ．2 D ．3 答案：B
解析：根据奇函数()f x ，满足(1)(1)f x f x +=-，可知函数的周期为4，
∴2933331
(
)(48)()()()log 4222222
f f f f f =-+=-=-=-=-=-，故选B ． 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项
中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产岀做出预测
由上图提供的信息可知 A ．运营商的经济产出逐年增加
B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓
C ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位
D ．信息服务商与运营商的经济产岀的差距有逐步拉大的趋势 答案：ABD
解析：从图表中可以看出2029年、2030年信息服务商在总经济产出中处于领先地位，C 错
误，故选ABD ．
10．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移
6
π
个单位后，得到函数()y g x =的图象，则 A ．函数()g x 的图象关于直线12
x π
=
对称
B ．函数()g x 的图象关于点(
6
π
，0)对称 C ．函数()g x 在区间(512π-
，6π
-)上单调递增 D ．函数()g x 在区间(0，76
π
)上有两个零点 答案：ACD
解析：可得()sin(2)3
g x x π
=+
，当12
x π
=
，23
2
x π
π
+
=
，故A 正确；
当6
x π
=
，223
3
x π
π
+
=
，故B 错误； 当x ∈(512π-
，6π-)，23x π
+∈(2π-，0)，故C 正确； 当x ∈(0，
76π)，23
x π+∈(3π，83π
)，故D 正确． 故选ACD ．
11．已知5
2
3
4
5
6
0123456(2)(12)x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则 A ．0a 的值为2 B ．5a 的值为16
C ．123456a a a a a a +++++的值为﹣5
D ．135a a a ++的值为120 答案：ABC
解析：令x ＝0，得02a =，故A 正确；
55
44552(2)(2)16C C ?-+-=，故516a =，B 正确；
令x ＝1，得01234563a a a a a a a ++++++=-①，又02a =， ∴1234565a a a a a a +++++=-，故C 正确；
令x ＝﹣1，得0123456243a a a a a a a -+-+-+=②，由①②得：
135123a a a ++=-，D 错误．
故选ABC ．
12．记函数()f x 与()g x 的定义域的交集为I ．若存在0x ∈I ，使得对任意x ∈I ，不等式[()f x
0()]()0g x x x --≥恒成立，则称(()f x ，()g x )构成“M 函数对”．下列所给的两个函
数能构成“M 函数对”的有 A ．()ln f x x =，1()g x x
=
B ．()e x
f x =，()e
g x x = C ．3
()f x x =，2
()g x x = D ．1
()f x x x
=+
，()3g x x = 答案：AC
解析：选项B 满足()()f x g x ≥，故不成立；选项D ，()()F x f x =-()g x 存在两个非零的零点，故不成立． 故选AC ．
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适
量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球（小球
完全浸入水中），水面高度恰好升高3r ，则R r
＝ ． 答案：2
解析：22
3244233r R R
R
r r r
ππ=?=?=． 14．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287—前212），是古希腊伟大的物理学家、数
学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成
的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系心中，已知直线l ：y ＝4与抛物线C ：2
14
y x =交于A ，B 两点，则弦与拋物线C 所围成的封闭图形的面积为 ． 答案：
643
解析：首先得到弦的两个端点的坐标分别为(4，4)，(﹣4，4)，其次得在该两点处的抛物线的
切线方程分别为y ＝2x ﹣4，y ＝﹣2x ﹣4，从而抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所
围成的三角形面积为
188322??=，故弦与拋物线C 所围成的封闭图形的面积为64
3
．
15．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且12n n n S a a +=，n N *
∈，则4a ＝ ；若1a ＝2，则20S ＝ ．（本题第一空2分，第二空3分） 答案：4；220
解析：根据12n n n S a a +=①，得112n n n S a a --=②，①﹣②得112n n a a +--=，
故4224a a =+=；当1a ＝2，可得该数列满足212k k a a -=，且{}21k a -与{}2k a 均为公差为2的等差数列，即可求得20S ＝220．
16．若不等式2
(1)e 1x
ax bx ++≤对一切x ∈R 恒成立，其中a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数，则a ＋b 的取值范围是 ．
答案：(-∞，﹣1]
解析：令2
()(1)e x
f x ax bx =++，()(0)f x f ≤恒成立，显然a ≤0， 2()e [(2)1]x
f x ax a b x b '=++++，则(0)101f b b '=+=?=-，
2()e [(21)]e (21)x x f x ax a x x ax a '=++=+-，
当a ＝0时，()f x 在(-∞，0)递增，(0，+∞)递减，()(0)f x f ≤符合题意， a ＜0时，()f x 在(-∞，12a a -)递减，(12a
a
-，0)递增，(0，+∞)递减 x ＜
12a a
-，2
10()0ax x f x -+
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）
已知向量m ＝(2cos x ，﹣1)，n ＝sin x ，2cos 2x )，x ∈R ，设函数()1f x m n =?+．
（1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）若a ∈[
3π，712
π
]，且8()5f a =，求cos2a 的值．
解：因为 m ＝(2cos x ，－1)，n ＝(3sin x ，2cos 2x )，
所以f (x )＝m ·n ＋1＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1
＝3sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π
6
)．
（1）T ＝2π
2＝π．
（2）由f (α)＝85，得sin(2α－π6)＝4
5
．
由α∈[π3，7π12]，得π2≤2α－π
6≤π，
所以cos(2α－π
6
)＝－
1－sin 2(2α－π
6
)＝－
1－(45)2＝－35
，
从而 cos2α＝cos[(2α－π6)＋π6]＝cos(2α－π6)cos π6－sin(2α－π6)sin π
6
＝－35×32－45×12＝－4－33
10．
18．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，其前n 项和为n S ， （1）在①13222S S S +=+，②37
3
S =
，③2344a a a =，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列{}n a 的通项公式，并判断此时数列{}n a 是否满足条件P ：任意m ，n N *
∈，m n a a 均为数列{}n a 中的项，说明理由；
（2）设数列{}n b 满足1
1(
)n n n n
a b n a -+=，n N *∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：（1）选①，
因为S 1＋S 3＝2S 2＋2，
所以S 3－S 2＝S 2－S 1＋2，即a 3＝a 2＋2， 又数列{a n }是公比为2的等比数列，
所以4a 1＝2a 1＋2，解得a 1＝1，
因此a n ＝1×2n －
1＝2n －
1．
此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝2m －1·2n －
1＝2m
＋n －2
，
由于m ＋n －1∈N *，所以a m a n 是数列{a n }的第m ＋n －1项， 因此数列{a n }满足条件P ． 选②，
因为S 3＝73，即a 1＋a 2＋a 3＝7
3，
又数列{a n }是公比为2的等比数列， 所以a 1＋2a 1＋4a 1＝73，解得a 1＝1
3，
因此a n ＝13
×2n －
1．
此时a 1a 2＝2
9＜a 1≤a n ，即a 1a 2不为数列{a n }中的项，
因此数列{a n }不满足条件P ． 选③，
因为a 2a 3＝4a 4，
又数列{a n }是公比为2的等比数列， 所以2a 1×4a 1＝4×8a 1，又a 1≠0，故a 1＝4， 因此a n ＝4×2n －
1＝2n ＋
1．
此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝2m ＋
1·2n ＋
1＝2m
＋n ＋2
，
由于m ＋n ＋1∈N *，所以a m a n 是为数列{a n }的第m ＋n ＋1项， 因此数列{a n }满足条件P ．
（2）因为数列{a n }是公比为2的等比数列，
所以a n ＋1a n
＝2，因此b n ＝n ×2n －
1．
所以T n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1， 则2T n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ， 两式相减得－T n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n ＝1－2n
1－2－n ×2n
＝(1－n )2n －1， 所以T n ＝(n －1)2n ＋1．
19．（本小题满分12分）
为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生（男生60人，女生40人），结果如下：
（1）是否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关?
附：2
2
()()()()()
n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．
（2）如果用这100名学生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量X 表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求X 的分布列和数学期望．
解：（1）假设H 0：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得
χ2＝
100×(36×30－24×10)2
(36＋24)×(10＋30)×(36＋10)×(24＋30)＝2450207
≈11.836＞6.635，
因为当H 0成立时，χ2≥6.635的概率约为0.01，
所以有99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关． （2）记事件A 为：从该校男生中随机抽取1人，课外阅读达标；
事件B 为：从该校女生中随机抽取1人，课外阅读达标． 由题意知：P (A )＝2460＝25，P (B )＝3040＝3
4．
随机变量X 的取值可能为0，1，2，3． P (X ＝0)＝(1－25)2×(1－34)＝9
100
，
P (X ＝1)＝C 12×25×(1－25)×(1－34)＋34×(1－25)2＝
39
100， P (X ＝2)＝(25)2×(1－34)＋C 12×25×(1－25)×34＝2
5，
P (X ＝3)＝(25)2×34＝3
25．
所以随机变量X 的分布列为：
z P
E 期望E (X )＝0×
9100＋1×39100＋2×25＋3×3
25
＝1.55． 20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P —ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝PA ＝1，AD ＝2，∠PAD ＝∠DAB ＝90°，点E 在棱PC 上，设CE ＝λCP ．
（1）求证：CD ⊥AE ；
（2）记二面角C —AE —D 的平面角为θ，且10
cos θ=
λ的值．
（1）证明：因为∠P AD ＝90°，所以P A ⊥AD ．
因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，P A ?平面P AD ， 所以P A ⊥平面ABCD ．
又CD ?平面ABCD ，所以CD ⊥P A ．
在四边形ABCD 中，AD //BC ，∠DAB ＝90°，所以∠ABC ＝90°，
又AB ＝BC ＝1，所以△ABC 是等腰直角三角形，即∠BAC ＝∠CAD ＝45°，AC ＝
2． 在△CAD 中，∠CAD ＝45°，AC ＝
2，AD ＝2，
所以CD ＝ AC 2＋AD 2－2×AC ×AD ×cos ∠CAD ＝
2，从而AC 2＋CD 2＝4＝AD 2． 所以CD ⊥AC ． 又AC ∩P A ＝A ，AC ，P A ?平面P AC ，所以CD ⊥平面P AC ． 又AE ?平面P AC ，所以CD ⊥AE ． （2）解：因为P A ⊥平面ABCD ，BA ⊥AD ，
故以{→AB ，→AD ，→
AP }为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为AB ＝BC ＝P A ＝1，AD ＝2
， 所以 A (0，0，0)，P (0，0，1)，
C (1，1，0)，
D (0，2，0)，
则→CD ＝(－1，1，0)，→
AD ＝(0，2，0)． 因为点E 在棱PC 上，且CE ＝λCP ， 所以→CE ＝λ→CP ，
设E (x ，y ，z )，则(x －1，y －1，z )＝λ(－1，－1，1)， 故E (1－λ，1－λ，λ)，所以→
AE ＝(1－λ，1－λ，λ)．
由（1）知，CD ⊥平面P AC ，所以平面ACE 的一个法向量为n ＝→
CD ＝(－1，1，0)． 设平面AED 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 由?????m ·→AE ＝0，m ·
→AD ＝0，得???(1－λ)x 1＋(1－λ)y 1＋λz 1＝0，y 1＝0，
令z 1＝1－λ，所以平面AED 的一个法向量为m ＝(－λ，0，1－λ)． 因此 |cos θ|＝|cos
|m ||n |
|＝|
λ
2·
λ2＋(1－λ)2
|＝
105
， 化简得3λ2－8λ＋4＝0，解得λ＝2
3或2．
因为E 在棱PC 上，所以λ∈[0，1]，所以λ＝2
3
．
所以当|cos θ|＝
105时，实数λ的值为23
． 21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2
214
x y +=． （1）设椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，T 是椭圆C 上的一个动点，求12TF TF ?的取值范围；
（2）设A(0，﹣1)，与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于B ，D 两点，若△ABD 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程．
解：（1）因为椭圆C ：x 2
4
＋y 2＝1，所以F 1(－3，0)，F 2(3，0)．
设T (x 0，y 0)，则 TF 1→·TF 2→
＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 02＋y 02－3．
因为点T (x 0，y 0)在椭圆C 上，即x 024＋y 02＝1，所以TF 1→·TF 2→＝3
4x 02－2，且x 02∈[0，4]，
所以TF 1→·TF 2→
的取值范围是[－2，1]．
（2）因为直线l 与坐标轴不垂直，故设直线l 方程y ＝kx ＋m (m ≠－1，k ≠0)．
设B (x 1，y 1)，Ｄ(x 2，y 2)．
由?
????y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2
＝1．得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1) 1＋4k 2
．
因为△ABD 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB ⊥AD ，即 AB →·AD →
＝0， 因此 (y 1＋1)( y 2＋1)＋x 1x 2＝0，即(kx 1＋m ＋1)( kx 2＋m ＋1)＋x 1x 2＝0， 从而 (1＋k 2) x 1x 2＋k (m ＋1)( x 1＋x 2)＋(m ＋1)2＝0， 即
(1＋k 2)×
4(m
2－1)
1＋4k 2－k (m ＋1)×8km
1＋4k
2
＋(m ＋1)2＝0， 也即 4(1＋k 2)( m －1)－8k 2m ＋(1＋4k 2) (m ＋1)＝0， 解得m ＝3
5
．
又线段BD 的中点M (－4km 1＋4k 2，m
1＋4k 2)，且AM ⊥BD ，
所以m
1＋4k 2＋1
－4km 1＋4k 2
＝－1k ，即3m ＝1＋4k 2，解得k ＝± 5 5．
又当k ＝±
5 5，m ＝35时，△＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)( 4m 2－4)＝576
25
＞0， 所以满足条件的直线l 的方程为y ＝± 5 5x ＋3
5
. 22．（本小题满分12分）
已知函数()ln f x kx x x =-，k ∈R ．
（1）当k ＝2时，求函数()f x 的单调区间；
（2）当0＜x ≤1时，()f x k ≤恒成立，求k 的取值范围；
（3）设n N *
∈，求证：
ln1ln 2
ln (1)
23
14
n n n n -+++
≤+． 解：（1）当k ＝2时，f (x )＝2x －x ln x ，f′(x )＝1－ln x ， 由f′(x )＞0，解得0＜x ＜e ；由f′(x )＜0，解得x ＞e ，
因此函数f (x )单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)． （2）f (x )＝kx －x ln x ，故f′(x )＝k －1－ln x ．
当k ≥1时，因为0＜x ≤1，所以k －1≥0≥ln x ， 因此f′(x )≥0恒成立，即f (x )在(0，1]上单调递增， 所以f (x )≤f (1)＝k 恒成立．
当k ＜1时，令f′(x )＝0，解得x ＝e k －
1∈(0，1)．
当x ∈(0，e k －
1)，f′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(e k －
1，1)，f′(x )＜0，f (x )单调递减； 于是f (e k －
1)＞f (1)＝k ，与f (x )≤k 恒成立相矛盾． 综上，k 的取值范围为[1，＋∞)． （3）由（2）知，当0＜x ≤1时，x －x ln x ≤1．
令x ＝1n 2(n ∈N *)，则 1n 2＋2
n 2ln n ≤1，即2ln n ≤n 2－1，
因此
ln n n ＋1≤n －1
2
． 所以ln12＋ln23＋…＋ln n n ＋1≤02＋1
2＋…＋n －12＝n (n －1)4．
江苏省南通市2021届高三上学期开学考试 数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．记全集U ＝R ，集合A ＝{}2 16x x ≥，集合B ＝{} 22x x ≥，则U (A) B ＝ A ．[4，+∞) B ．(1，4] C ．[1，4) D ．(1，4) 2．已知5log 2a =，7log 2b =，2 0.5 a c -=，则a ， b ， c 的大小关系为 A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜b 3．若3cos()5αβ+= ，5sin()413πβ-=，α，β∈(0，2 π)，则cos()4πα+＝ A ．3365- B ．3365 C ．5665 D ．16 65 - 4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 A ．30B ．60C ．90D ．120 5．函数()2sin()f x x ω?=+(ω＞0，?＜π)的部分图像如图所示， 且()f x 的图像过A(2 π ，1)，B( 2 π ，﹣1)两点，为了得到()2sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像 A ．向右平移 56πB ．向左平移56πC ．向左平移512πD ．向右平移512 π 第5题第6题 6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成(-表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，
南京市2018届高三数学考前综合题 一．填空题 1．已知l ，m 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题： ①若l ∥α，l ∥m ，则m ∥α； ②若l ?α，m ?β，α∥β，则l ∥m ； ③若l ?α，m ?β，l ⊥m ，则α⊥β； ④若α⊥β，l ⊥α，m ⊥β，则l ⊥m ． 其中是真命题的有 ．（填所有真命题的序号） 【答案】④． 【说明】考查基本的直线与直线，直线与平面，平面与平面基本位置关系的判断． 2．已知函数f (x )＝3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)为偶函数，θ∈[0，π]，则角θ的值为 ． 【答案】2π 3 ． 【提示】因为f (x )＝3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)为偶函数，所以f (x )＝f (－x )恒成立， 即3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝3sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ) 展开并整理得(3cos θ＋sin θ)sin x ＝0恒成立． 所以3cos θ＋sin θ＝0，即tan θ＝－3， 又θ∈[0，π]，所以θ＝2π 3 ． 【说明】本题考查函数的奇偶性，以及三角恒等变换，这类问题也可以利用特殊值代入建立方程求解． 3．在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线x 2＝4y 焦点的直线l 交抛物线于M ，N 两点，若抛物线在点M ，N 处的切线分别与双曲线C 2：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线平行，则双曲线的离心率为 ． 【答案】2． 【提示】由双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程y ＝±b a x ， 可得两条切线的斜率分别为±b a ， 则两条切线关于y 轴对称，则过抛物线C 1：x 2＝4y 焦点(0，1)的直线l 为y ＝1， 可得切点为(－2，1)和(2，1)，则切线的斜率为±1， 即a ＝b ，于是e ＝2． 【说明】本题考查抛物线、双曲线的简单几何性质，要能通过分析得到直线l 为y ＝1，这是本题的难点． 4．已知点P 是△ABC 内一点，满足AP →＝λAB →＋μAC → ，且2λ＋3μ＝1，延长AP 交边BC 于点D ，BD ＝2DC ，则λ＋μ＝ ． 【答案】3 8 ． 【提示】因为BD ＝2DC ，所以AD →＝13AB →＋23 AC →
江苏省南京市2021届高三上学期期初考试 数学试题 2020．9 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合A ＝{} 220x x x --<，B ＝{} 13x x <<，则A B ＝ A ．{}13x x -<< B ．{}11x x -<< C ．{}12x x << D ．{}23x x << 2．已知(3﹣4i)z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知向量a ，b 满足a ＝1，b ＝2，且3a b +=，则a 与b 的夹角为 A ． 6π B ．3 π C ．56π D ．23π 4．在平面直角坐标系xOy 中，若点P(0)到双曲线C ：22 219 x y a - =的一条渐近线的距离为6，则双曲线C 的离心率为 A ．2 B ．4 C D 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2bcosC ≤2a ﹣c ，则角B 的取值范围是 A ．(0， 3π] B ．(0，23π] C ．[3 π ，π) D ．[23π，π) 6．设4log 9a =， 1.2 2 b -=，1 38()27 c -=，则 A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞b D ．c ＞a ＞b 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆A ：22(1)1x y -+=，点B(3，0)，过动点P 引圆A 的切 线，切点为T ．若PT PB ，则动点P 的轨迹方程为 A ．2214180x y x +-+= B ．2214180x y x +++= C ．2210180x y x +-+= D ．2210180x y x +++= 8．已知奇函数()f x 的定义域为R ，且(1)(1)f x f x +=-．若当x ∈(0，1]时，()f x ＝ 2log (23)x +，则93 ( )2 f 的值是 A ．﹣3 B ．﹣2 C ．2 D ．3 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速 发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产岀做出预测
2021届浙江省七彩阳光联盟高三上学期期初联考 数学试题 一、单选题 1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{ B x y ==，则A B =（ ） A ．{}1,1- B ．{}0 C ．{}1,0,1- D ． 1,0,1,2 【答案】C 【解析】计算{ |B x x =≤≤，再计算交集得到答案. 【详解】 {{}{ 2||20|B x y x x x x ===-≥=≤≤，所以{}1,0,1A B =-. 故选：C. 【点睛】 本题考查了集合的交集运算，属于简单题. 2．双曲线2213x y -=与双曲线22 13 y x -=有相同的（ ） ． A ．离心率 B ．渐近线 C ．实轴长 D ．焦点 【答案】D 【解析】利用双曲线方程得出离心率，渐近线方程，实轴长，焦点坐标即可判断. 【详解】 由双曲线的方程221 3x y -=得，离心率为3e ==，渐近线方程为3y x =±，实轴长为点为()()2,0,2,0- 由双曲线的方程2 2 13 y x -=得，离心率为221e ==，渐近线方程为y =，实轴长为2，焦点为 ()()2,0,2,0-． 故选：D 【点睛】 本题主要考查了双曲线的基本性质，属于基础题.
3．设变量x y ，满足约束条件30,20,20.x y x y x y +-≤?? -+≥??-≤? 则目标函数2z x y =+的最大值为（ ） A ．6 B ．5 C ． 72 D ．0 【答案】B 【解析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】 作出满足约束条件的平面区域，如图所示，目标函数即2y x z =-+， z 表示直线与y 轴的截距，根据图像知：当21x y ==，时2z x y =+有最大值为5. 故选：B. 【点睛】 本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键. 4．某几何体的三视图所示(单位:cm )，则该几何体的体积(单位:3cm )是( )
2019届高三数学文科三诊模拟试卷含答案 数学（文史）试题 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合，集合，则 A．B．C．D． 2．已知复数（为虚数单位），那么的共轭复数为A．B．C．D． 3．等差数列中，，则的前9项和等于 A．B．27 C．18 D．4.已知集合，那么“”是“”的 A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C. 充分必要条件D．既不充分也不必要条件 5．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为 A．B． C．D． 6．设函数，则下列结论错误的是 A．的一个周期为B．的图形关于直线对称 C．的一个零点为D．在区间上单调递减
7.执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出 A．B． C. D． 8.一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为 A．B． C. D． 9.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则角的大小为 A．B．C．D．10. 已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，则此三棱锥的外接球的体积为 A．B． C. D． 11.定义在上的偶函数（其中为自然对数的底），记，，，则，，的大小关系是 A．B．C．D． 12．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若线段的中点的纵坐标为，则该抛物线的准线方程为A．B．C．D． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知函数，则曲线在点处切线的倾斜角的余弦值为． 14. 设，满足约束条件，则的最小值为______.
江苏省镇江市镇江一中2020届高三期初考试 数学试卷 2019．9 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}2x x <，B ＝{﹣2，0，1，2}，则A B ＝ ． 2．已知i 是虚数单位，则复数212i (2i)2i ++-对应的点在第 象限． 3．一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量（单位：t/hm 2）分别为：9.4，9.2，10.0，10.6，10.8，则这组样本数据的方差为 ． 4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 ． 5．在区间[﹣1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x ﹣5)2 ＋y 2＝9相交”发生的概率为 ． 6．已知函数ln 20()0 x x f x x a x ->?=?+≤?，，，若(())f f e ＝2a ，则实数a ＝ ． 第4题 7．若实数x ，y ∈R ，则命题p ：69x y xy +>?? >?是命题q ：33x y >??>?的 条件．（填“充分不 8．已知函数1(12)31()21 x a x a x f x x --+与()g x =
2019年全国I 卷高考文科数学真题及答案 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．设3i 12i z -=+，则z = A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 2．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则 A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3．已知0.20.3 2log 0.2,2,0.2a b c ===，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 51-（ 51 2 -≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 2 -．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是
A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190cm 5．函数f (x )= 2 sin cos x x x x ++在[-π，π]的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生 C ．616号学生 D ．815号学生 7．tan255°= A ．-2-3 B ．-2+3 C ．2-3 D ．2+3 8．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a -b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 9．如图是求 112122 + +的程序框图，图中空白框中应填入 A ．A = 12A + B ．A =12A + C ．A = 1 12A + D ．A =112A +
市2018届高三年级第三次模拟考试 数 学 2018.05 注意事项： 1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的、学校、班级、学号写在答题纸的密封线．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格．考试结束后，交回答题纸． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定 位置上） 1．集合A ＝{x| x 2 ＋x －6＝0}，B ＝{x| x 2 －4＝0}，则A ∪B =▲________． 2．已知复数z 的共轭复数是－z ．若z (2－i)＝5，其中i 为虚数单位，则－z 的模为▲________． 3．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为▲________． 4．根据如图所示的伪代码，可知输出S 的值为▲________． 5．已知A ，B ，C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A 与B 在相邻两天值班的概率为▲________． 6．若实数x ，y 满足? ????x －y －3≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则y x 的取值围为▲________． 7. 已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题： ①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β； ②若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β； ③若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β； ④若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β． 其中真命题为▲________（填所有真命题的序号）． S ←1 I ←1 While I ＜8 S ←S ＋2 I ←I ＋3 End While Print S (第3题图) (第4题图)
2019～2020学年第二学期高三期初考试 数学Ⅰ 正棱锥的侧面积公式：S 正棱锥侧＝1 2ch ′，其中c 是正棱锥底面的周长，h ′为斜高． 锥体的体积公式：V 锥体＝1 3 Sh ，其中S 是底面面积，h 为高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应 位置上． 1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}1,0,1A =-，则U A e＝ ▲ ． 【答案】{}2,3 2． 复数3i i +（i 是虚数单位）的虚部为 ▲ ． 【答案】－3 3． 某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1100人、1000人、900人，为 了解不同年级学生的视力情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为30的样本，则高三年级应抽取的学生人数为 ▲ ． 【答案】9 4． 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．【答案】25 5． 函数() 22log 43y x x =+-的定义域为 ▲ ． 【答案】()1,4- 6． 劳动最光荣．某班在一次劳动教育实践活动中，准备从3名男生和2名女生中任选2
名学生去擦教室玻璃，则恰好选中2名男生的概率为 ▲ ． 【答案】310 7． 已知抛物线y 2 =8x 的焦点恰好是双曲线()22102 y x a a -=>的右焦点，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 【答案】 2 8． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若366,8S S ==-，则9S = ▲ ． 【答案】－42 9． 已知α 是第二象限角，且sin α=，()tan 2αβ+=-，则tan β= ▲ ． 【答案】34 - 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 两点在圆x 2＋y 2＝1上， 若直线0x y +=上 存在点C ，使△ABC 是边长为1的等边三角形，则点C 的横坐标是 ▲ ． 【答案 11．设m 为实数，若函数f (x )＝x 2－mx －2在区间()2-∞， 上是减函数，对任意的x 1，x 2∈112m ??+???? ，，总有12()()4f x f x -≤，则m 的取值范围为 ▲ ． 【答案】[]46， 12．如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，AD DC =u u u r u u u r ，2DE EB =u u u r u u u r ，AE 的延长线交BC 边 于点F ，若45 AF BC ?=-u u u r u u u r ，则AE AC ?=u u u r u u u r ▲ ． 【答案】229 （第12题） A D
【绝密★启用前 A 】 南开实验学校xx 届高三上学期期初考试数学文试题 考试时间：120分钟 满分：150 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。用2B 铅笔将答题卡试卷类型（A ）填涂在答题卡上。在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分． {}{}{}{}{}{} 1 0, . 2 1, 0, . 2 1, . 2 . ) ( , 2 1, , 1 ,0 .1D C B A N M N M === 则则已知集合 2 . 2 . 2 9 . 29 . ) ( , 、 , )3,( , )6,4( .2D C B A x x --=-=的值为则的方向相反若已知向量 2] , (0 . ) , (20) , ( . ) , (0 . 2) , (0 . ) ( )2(log )( .323D C B A x x x f ∞+-∞∞+-= 的定义域为函数
{}43 2 . 128 . 18 . 64 . ) ( , 6 , 3 .473221D C B A a a a a a a n 为则满足已知等比数列=+=+ 1in , . 1in , . 1in , . 1in , . ) ( ” 1in , “ .50000>∈?≤∈?>∈?≤∈?>∈?x s R x D x s R x C x s R x B x s R x A x s R x 的否定是命题π πππ π 4 . 2 . . 2 . ) ( 4)23 sin( 3 .6D C B A x y 的最小正周期为函数+-= 2 . 2 . 12 . . ) ( ))1( , 1(2)( .73-=+=-==-=x y D x y C x y B x y A f A x x x f 处的切线方程为的图象在点函数) , [0 . ) , [2] , ( . ) , [2 , 0] , ( . 2] , [0 . ) ( )( .82 ∞+∞+-∞∞+-∞=D e C B A e x x f x 的单调减区间为函数 4 11 . 411 . 5 . 5 . ) ( )2( , 2)( , 0 , )( .9- -++=≤D C B A f a x x f x x f R x 的值为则时且当是奇函数上的函数已知定义在 2 3 . 21 . 23 . 21 . ) ( )65 ( , 0 ,1)1(0,sin )( .10D C B A f x x f x x x f --???>+-≤=的值为则已知函数π 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． ._____2 , )1,3(),1,2( .11=-=-=b a b a 则已知向量 .____ , 60 , 5 , 8 , .12o 的长为则边中BC BAC AB CA ABC =∠==? {}.______ , , 2 3.1711=+==+a n a a a a n n n 则满足已知数列 . _____ ____, , , , 5 , 4.1==?+?=y x AF y AE x BD D C 、B 、A 、ORTM 则量设向都在矩形的边上其中方形个大小相同的小正内放置矩形如图
2019届高三文科数学测试题（三） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}|1A x x =<，{} |e 1x B x =<，则（ ） A ．{}|1A B x x =< B ．R A B =R C ．{}|e A B x x =< D ． {}R |01A B x x =<< 2．为了反映国民经济各行业对仓储物流业务的需求变化情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数．如图所示的折线图是2016年1月至2017年12月的中国仓储指数走势情况． 根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A ．2016年各月的仓储指数最大值是在3月份 B ．2017年1月至12月的仓储指数的中位数为54% C ．2017年1月至4月的仓储指数比2016年同期波动性更大 D ．2017年11月份的仓储指数较上月有所回落，显示出仓储业务活动仍然较为活跃，经济运行稳中向好 3．下列各式的运算结果为实数的是（ ） A ．2(1i)+ B ．2i (1i)- C ．2i(1i)+ D ．i(1i)+ 4．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法．如图是刘徽利用正六边 形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形的概率为（ ） A ． 33 B ．33π C ．32 D ． 3π 5．双曲线()22 22:10,0x y E a b a b -=>>的离心率是5，过右焦点F 作渐近线l 的垂线，垂足为M ， 若OFM △的面积是1，则双曲线E 的实轴长是（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．22 6．如图，各棱长均为1的直三棱柱111C B A ABC -，M ，N 分别为线段1A B ，1B C 上的动点，且MN ∥平面11A ACC ，则这样的MN 有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．无数条 7．已知实数x ，y 满足?? ? ??≤≤+≥-0424 2y y x y x ，则y x z 23-=的最小值是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8．函数()() 22cos x x f x x -=-在区间[]5,5-上的图象大致为（ ）
高三下学期数学期初模拟考试试卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、填空题 (共14题；共15分) 1. （1分）用符号“∈”或“?”填空： （1）若集合P由小于的实数构成，则2 ________P; （2）若集合Q由可表示为n2+1（）的实数构成，则5________ Q. 2. （1分） (2017高二下·定州开学考) 复数 =________．（i是虚数单位） 3. （1分）从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生，星期日安排一名女生的概率是________． 4. （1分） (2017高一下·河北期末) 某工厂对一批产品进行了抽样检测．右图是根据抽样检测后的（产品净重，单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，下列命题中：①样本中净重大于或等于98克并且小于102克的产品的个数是60；②样本的众数是101；③样本的中位数是；④样本的平均数是101.3． 正确命题的代号是________（写出所有正确命题的代号）． 5. （2分） (2016高二下·金堂开学考) 根据如图所示的算法语句，当输入的x为50时，输出的y的值为________．
6. （1分） (2017高二上·高邮期中) 已知p：0＜m＜1，q：椭圆 +y2=1的焦点在y轴上，则p是q的________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”填空） 7. （1分）给出下列说法： ①圆柱的母线与它的轴可以不平行； ②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线，都可以构成直角三角形； ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是________(填序号)． 8. （1分）若f（x）= 是R上的单调减函数，则实数a的取值范围为________． 9. （1分） (2017高一下·盐城期末) 已知向量是与向量 =（﹣3，4）同向的单位向量，则向量的坐标是________． 10. （1分） (2018高一下·北京期中) 定义：称为n个正数p1 ， p2 ，…，pn的“均倒数”，若数列{an}的前n项的“均倒数”为，则数列{an}的通项公式为an=________. 11. （1分） (2017·芜湖模拟) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC=（3a﹣c）cosB．D 为AC边的中点，且BD=1，则△ABD面积的最大值为________． 12. （1分） (2017高三上·泰州开学考) 已知函数f（x）= 若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a 的取值范围为________．
2021年高三上学期期初考试 数学试题（文理） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释） 1．已知集合m A B A mx x B A 则且,},1|{},1,1{===-= 的值为 （ ） A ．1或－1或0 B ．－1 C ．1或－1 D ．0 2．已知向量，则 （ ） A. B. C. D. 3．过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为 （ ） A ． B ． C ． D ． 4．若函数（）有大于零的极值点，则实数范围是 （ ） A ． B ． C ． D ． 5．若，则角是 （ ） A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第二或第四象限角 6．“”是“”的（ ） A .充分不必要条件 B.必要不充分条件 C .充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7．设直线m 、n 和平面,下列四个命题中，正确的是 （ ） A. 若 B. 若 C. 若 D. 若 8．为了得到函数的图象，可将函数的图象上所有的点的（ ） A.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 B.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度 C.横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度 D.横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度 9．设集合P={1,2,3,4},集合M={3,4,5}全集U=R ，则集合P ?UM= ( ) A ．{1，2} B ．{3，4} C ．{1} D ．{-2，-1，0，1，2}
南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级写在答题纸上，试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式： 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分，不需写出解答过程，请把答案写在 答题纸的指定位置上） 1．函数f(x) =lg(2 -x)的定义域为 ▲ ． 2．已知复数z 满足 12z i =1，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 ▲ ． 3．执行如图所示的算法流程图，则输出口的值为▲ ． 4．某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则这组数据的方差为 ▲ ． 5.3名教师被随机派往甲、乙两地支教，每名教师只能被派往其中一个地方，则恰有2名教师被派往甲地的概率为__▲ ． 6．已知等差数列 的前，l 项和为品．若S 15 =30，a 7=1，则S 9的值为▲ ．
7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若bsinAsinB 十acos 2B - 2c ，则a c 的值为 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：22 21y x b -=(b>0)的两条渐近线与圆O ：x 2+y 2 =2 的四个交点依次 为A ，B ，C ，D.若矩形ABCD 的面积为b ，则b 的值为 ▲ ． 9．在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形（如图1的正四棱锥S-EFGH （如图2），则正四棱锥S-EFGH 的体积为 ▲ ． 10．已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2+x ．若f(a)+f(-a)<4 ，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y=1 m x +（m>0）在x=l 处的切线为l ，则点（2，-1）到直线，的距离的最大值为▲ ． 12．如图，在△ABC 中，边BC 的四等分点依次为D ，E ，F.若2AB AC =uu u r uuu r g ，5AD AF =uuu r uuu r g ，则AE 长为 ▲ ． 13.在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x+4)2+(y-a)2=16上两个动点，且．若直线l:y= 2x 上存在唯一的一个点P ，使得 ，则实数a 的值为 ▲ ． 14．已知函数f(x) , t ∈R ．若函 数g(x)=f(f(x))-1）恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为 ▲ ． 二、解答题（本大题共6小题，计90分，解答应写出必要的文
2021年高三上学期期初数学试卷含解析 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．已知=3+i（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b= ． 2．某学校高一年级500名学生中，血型为O型的有200人，A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人，为了研究血型与色弱之间的关系，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则在血型为O型的学生中应抽取人． 3．设集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，则“A∪B=R”是“a=1”的条件．（从如下四个中选一个正确的填写：充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件） 4．按如图所示的流程图运算，若输入x=8，则输出的k= ． 5．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：
（1）若l⊥α，m?α，则l⊥m； （2）若l⊥α，l∥m，则m⊥α； （3）若l∥α，m?α，则l∥m； （4）若l∥α，m∥α，则l∥m 则其中正确的命题是．（填序号） 6．将一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为m，n，则点P（m，n）在直线y=x下方的概率为． 7．若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω=． 8．若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是． 9．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则的值为．10．在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1与抛物线y2=﹣12x有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为． 11．已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，若AB=2，则实数m的值为．12．已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是． 13．设函数f（x）=﹣x3+x2+2ax，当0＜a＜2时，有f（x）在x∈[1，4]上的最小值为﹣，则f（x）在该区间上的最大值是． 14．在平面内，定点A，B，C，D满足||=||=||，?=?=?=﹣2，动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是． 二、解答题：本大题共6小题，共计70分． 15．已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，函数f（x）=sin2x?（1+cos2C）﹣cos2x?sin2C+的图象过点（，）． （1）求sinC的值； （2）当a=2，2sinA=sinC时，求b、c边的长． 16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AA1=AB，D是AB的中点 （1）求证：BC1∥平面A1CD； （2）若点P在线段BB1上，且BP=BB1，求证：AP⊥平面A1CD．
高三数学期初学前调查 2013-9-1 一：填空题 1．命题p ：对任意实数x 都有2 x ＋ax ＋1>0恒成立，则?p 是 ▲ 。 2 t 是时间，s 是位移） ，则物体在时刻3t = 时的速度为 ▲ ． 3．已知集合),(},2log |{2a B x x A -∞=≤=，若B A ?，则实数a 的取值范围是 ▲ 。 4的虚部是 ▲ ． 5．“1a >”是“函数x a x f )()(2=在定义域内是增函数”的 ▲ 条件。 6．已知函数y =x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c 的值为__ ▲ ___． 7．函数)53(log )(2 1-= x x f 的定义域是 ▲ 。 8．若方程0422 =+-mx x 的两根满足一根大于1，一根小于1，则实数m 的取值范围是 ▲ 。 9．设函数|log |)(2x x f =，则)(x f 在区间)12,(+m m （m >0）上不是单调函数的充要条件是 ▲ 。 10．已知函数)(x f y =的图象关于直线0=x 对称，当0>x 时，x x x f 2)(2 -=，则当 0
1 2019届高三第一次模拟考试卷 文 科 数 学（一） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分 1．[2018·陕西四校联考]已知复数3 12i z =-（i 是虚数单位），则z 的实部为（ ） A ．3 5- B ．35 C ．15- D ．15 2．[2018·广西摸底]已知集合{} 24A x x x =≤，{}340B x x =->，则A B =（ ） A ．(],0-∞ B ．40,3?? ???? C ．4,43?? ??? D ．(),0-∞ 3．[2018·资阳一诊]空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如下表： 下图是某市10月1日—20日AQI 指数变化趋势 下列叙述错误的是（ ） A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100 B ．这20天中的中度污染及以上的天数占1 4 C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好 D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 4．[2018·长春质监]已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，45S =，9 20S =，则7a =（ ） A ．3- B ．5- C ．3 D ．5 5．[2018·曲靖一中]曲线()ln 20y a x a =->在1x =处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则a 的值为（ ） A B ．2 C ．4 D ．8 6．[2018·衡水中学]如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2A E E O =，则ED = A ．1233 AD AB - B ．2133AD AB + C ．2133A D AB - D ．12 33 AD AB + 7．[2018·遵义航天中学]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ） A ．13 B ． 23 C ．1 D ． 43 8．[2018·黑龙江模拟]已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与 C 的一个交点，若3FP FQ =，则QF =（ ） A ．83 B ． 52 C ．3 D ．2 9．[2018·曲靖统测]若关于x 的不等式210x kx +->在[] 1,2区间上有解，则k 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞ B ．3,02?? - ??? C ．3,2??-+∞???? D ．3,2?? -+∞ ??? 10．[2018·广安诊断]在区间[]1,1-上随机取一个数k ，则直线()2y k x =-与圆221x y +=有两个不同公共点的概率为（ ） A ． 29 B C ．13 D 11．[2018·赣州模拟]在平面直角坐标系xOy 中，设1F ，2F 分别为双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的左、 右焦点，P 是双曲线左支上一点，M 是1PF 的中点，且1OM PF ⊥，122PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A B ．2 C D 12．[2018·陈经纶中学]已知矩形ABCD ，2AB =，BC x =，将ABD △沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则（ ） A ．当1x =时，存在某个位置，使得AB CD ⊥ B ．当x =AB CD ⊥ C ．当4x =时，存在某个位置，使得AB C D ⊥ D ．0x ?>时，都不存在某个位置，使得AB CD ⊥ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
A B N M D C B A 南京市2018届高三数学考前综合题 一．填空题 1．已知l ，m 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题： ①若l ∥α，l ∥m ，则m ∥α； ②若l ?α，m ?β，α∥β，则l ∥m ； ③若l ?α，m ?β，l ⊥m ，则α⊥β； ④若α⊥β，l ⊥α，m ⊥β，则l ⊥m ． 其中是真命题的有 ．（填所有真命题的序号） 2．已知函数f (x )＝3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)为偶函数，θ∈[0，π]，则角θ的值为 ． 3．在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线x 2＝4y 焦点的直线l 交抛物线于M ，N 两点，若抛物线在点M ，N 处的切线分别与双曲线C 2：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线平行，则双曲线的离心率为 ． 4．已知点P 是△ABC 内一点，满足AP →＝λAB →＋μAC → ，且2λ＋3μ＝1，延长AP 交边BC 于点D ，BD ＝2DC ，则λ＋μ＝ ． 5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，{a 2n －1}是公差为d 的等差数列，{a 2n }是公比为q 的等比数列，且a 1＝a 2＝a ，S 2：S 4：S 6＝1：3：6，则d aq 的值是 ． 6．已知函数f (x )＝－34x ＋1 x ，若直线l 1，l 2是函数y ＝f (x )图像的两条平行的切线，则直线l 1，l 2之间的距离的最 大值是 ． 7．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 为椭圆C 的右焦点，直线FP 与 圆 O ：x 2＋y 2＝ b 2 4 相切于点Q ，若Q 恰为线段FP 的中点，则椭圆C 的离心率为 ． 8．实数x ，y 满足x 2＋2xy ＋4y 2＝1，则x ＋2y 的取值范围是 ． 9．已知AB ＝4，点M ，N 是以AB 为直径的半圆上的任意两点，且MN ＝2，AM →·BN →＝1，则AB →·MN → ＝ ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (1，1)，若圆M ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)上存在两点A ，B 使得AP →＝2PB → ， 则r 的取值范围是 ． 11．在平面四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，△ABC 为等边三角形，则△BCD 面积的最大值是 ．