中考数学几何复习--最值系列之“胡不归”问题
在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如P A +PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“P A +kPB ”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．本文简单介绍“胡不归”模型．
【故事介绍】
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）
而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？
2
驿道
【模型建立】
如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1 21 AC BC V V + 的值最小． 2 M 【问题分析】 121121=V AC BC BC AC V V V V ? ?++ ??? ，记12V k V =， 即求BC +kAC 的最小值． 【问题解决】 构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC． M 将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． M 【模型总结】 在求形如“P A+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“P A+kPB”型问题转化为“P A+PC”型． 而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段． 【长沙中考】如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点， 则CD 的最小值是_______． A B C D E 【分析】本题关键在于处理 ”，考虑tan A =2，△ABE 三边之比为1:2 sin ∠，故作DH ⊥AB 交AB 于H 点，则DH = ． H E D C B A A B C D E H 问题转化为CD +DH 最小值，故C 、D 、H 共线时值最小，此时CD DH CH BE +===． 【小结】本题简单在于题目已经将BA 线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH ，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下： E D C B 则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在． αsin α 5 H E D C B A E D C B 【南通中考】如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB =60°，AB =6，BC =2，P 为边CD 上的一动点， 则PB 的最小值等于________． A B C D P 【分析】考虑如何构造 ”，已知∠A =60° ，且sin60° ，故延长AD ，作PH ⊥AD 延长线于H 点， 即可得PH = ，将问题转化为：求PB +PH 最小值． M H P D C B A 当B 、P 、H 三点共线时，可得PB +PH 取到最小值，即BH 的长，解直角△ABH 即可得BH 长． A B C D P H M 【成都中考】如图，已知抛物线()()248 k y x x = +-（k 为常数，且k >0）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线y b =+与抛物线的另一交点为D ． （1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式； （2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？ 【分析】第一小问代点坐标，求解析式即可，此处我们直接写答案：A （ y =+，D 点坐标 为(-，故抛物线解析式 为)()24y x x +-，化简为 ： 2y = 点M 运动的时间为12AF DF ??+ ???，即求12AF DF ?? + ??? 的最小值． 接下来问题便是如何构造 2 DF ，考虑BD 与x 轴夹角为30°，且DF 方向不变，故过点D 作DM ∥x 轴，过点F 作FH ⊥DM 交DM 于H 点，则任意位置均有FH = 2 DF ． 当A 、F 、H 共线时取到最小值，根据A 、D 两点坐标可得结果． 【重庆中考】 抛物线2y x =x 轴交于点A ， B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点 C ．点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF ⊥x 轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移， 线段OB 的对应线段是O 1B 1，当1 2PE EC +的值最大时，求四边形PO 1B 1C 周长的最小值，并求出对应的 点O 1的坐标．（为突出问题，删去了两个小问） 【分析】根据抛物线解析式得 A ()-、 B )、 C (，直线AC 的解析式为：y = +知AC 与x 轴夹角为30°． 根据题意考虑，P 在何处时，PE +2 EC 取到最大值．过点E 作EH ⊥y 轴交y 轴于H 点，则∠CEH =30°，故CH = 2 EC ，问题转化为PE +CH 何时取到最小值． 考虑到PE 于CH 并无公共端点，故用代数法计算，设2,P m ?- ? ，则E m ?+ ? ，H ? ? ，2PE =- ，CH = ， 2 2=PE CH m +=+ sin ABE ∠= 当P 点坐标为(-时，取到最小值，故确定P 、C 、求四边形面积最小值，运用将军饮马模型解题即可． 初中三年级中考复习平面几何证明题一题多解 如图：已知青AB=AC ，E 是AC 延长线上一点，且有BF=CE ，连接FE 交BC 于D 。求证：FD=DE 。 分析：本题有好多种证明方法，由于新课标主 要用对称、旋转方法证明，但平行四边形的性质、平行线性质等都是证题的好方法，我在这里向初中三年级同学面对中考需对平面几何证明题的证明方法有一个系统的复习和提高。 下边我将自己证明这道题的方法给各位爱好者作以介绍，希望各位有所收获，仔细体会每 中方法的异同和要点，从中能得到提高。我是一位数学业余爱好者，不是学生，也不是老师，如有错误，请批评指证。信箱： wangsj629@https://www.doczj.com/doc/c26365141.html, . 证法一 ∧≌∠⊥∥△□° 证明：过E 点作EM ∥AB 交DC 延长线于M 点，则∠M=∠B ，又因为∠ACB=∠B ∠ACB=∠ECM=∠M ，所以CE=EM ， 又EC=BF 从而EM=BF ，∠BFD=∠DEM 则△DBF ≌△DME ，故 FD=DE ； 证法二 证明：过F 点作FM ∥AE ，交BD 于点M ， 则∠1=∠2 = ∠B 所以BF=FM ， 又 ∠4=∠3 ∠5=∠E 所以△DMF ≌△DCE ，故 FD=DE 。 证法三 以BC 为对称轴作△BDF 的对称△BDN ，连接NE ，则△DBF ≌△DBN ，DF=DN ，BN=BF ， NF ⊥BD ，∠FBD=∠NBD ，又因为∠C=∠FBD 所以∠NBD=∠C 。 BN ∥CE ，CE=BF=BN ，所以四边形BNCE 为平行四边形。故NF ∥BC ， 所以NF ⊥NE ，因FN 衩BD 垂直平分，故D 是FE 的中点，所以FD=DE 。（也可证明D 是直角△NEF 斜边的中点）。 证法四： F C A E N E 动点及动图形的专题复习教案 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 两点之间线段最短关系密切．在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线．像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法． 类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题 如图所示，AB 是一条河流，要铺设管道将河水引到C ，D 两个用水点，现有两种铺设管道的方案．方案一：分别过C ，D 作AB 的垂线，垂足分别为E ，F ，沿CE ，DF 铺设管道；方案二：连接CD 交AB 于点P ，沿PC 、PD 铺设管道．问：这两种铺设管道的方案中哪一种更节省材料，为什么？ 【思路点拨】 方案一管道长为CE ＋DF ，方案二管道长为PC ＋PD ，利用垂线段最短即可比较出大小． 本题易错误的利用两点之间线段最短解决，解答时需要准确识图，找到图形对应的知识点． 1．如下左图，点A 的坐标为(－1，0)，点B(a ，a)，当线段AB 最短时，点B 的坐标为( ) A ．(0，0) B ．(22，－22) C ．(－22，－22) D ．(－12，－12 ) 2．在直角坐标系中，点P 落在直线x －2y ＋6＝0上，O 为坐标原点，则|OP|的最小值为( ) A.352 B ．3 5 C.655 D.10 3．如上中图，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A(13，0)，直线y ＝kx －3k ＋4与⊙O 交于B 、C 两点，则弦BC 的长的最小值为________． 4．如上右图，平原上有A ，B ，C ，D 四个村庄，为解决缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池． (1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H 点的位置，使它到四个村庄距离之和最小； (2)计划把河水引入蓄水池H 中，怎样开渠最短并说明根据． 类型2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题 (1)如图1，直线同侧有两点A ，B ，在直线MN 上求一点C ，使它到A 、B 之和最小；(保留作图痕迹不写作法) (2)知识拓展：如图2，点P 在∠AOB 内部，试在OA 、OB 上分别找出两点E 、F ，使△PEF 周长最短；(保留作图痕迹不写作法) (3)解决问题：①如图3，在五边形ABCDE 中，在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得△AMN 周长最小；(保留作图痕迹不写作法) 中考数学几何中的最值问题综合测试卷 一、单选题(共7道，每道10分) 1.如图,圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底5cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿5cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离 为()cm A. B.15 C. D.12 答案：B 试题难度：三颗星知识点：勾股定理、圆柱展开图、轴对称的性质 2.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,E为CD边的中点,P为BC边上的任一点,那么,AP+EP的最 小值为() A.3 B.4 C.5 D.6 答案：C 试题难度：三颗星知识点：轴对称的性质、矩形的性质 3.如图,在锐角△ABC中,AB=6,∠BAC=60°,∠BAC的平分线交BC于点D,点M,N分别是AD和 AB上的动点,则BM+MN的最小值为( ) A. B. C.6 D.3 答案：A 试题难度：三颗星知识点：轴对称的性质 4.如图,当四边形PABN的周长最小时,a=（）. A. B. C. D. 答案：C 试题难度：三颗星知识点：轴对称的性质 5.如图所示,已知A(,y1),B(2,y2)为反比例函数y=图象上的两点,动点P(x,0)在x轴正半轴上 运动,当线段AP与线段BP之差达到最大时,点P的坐标是( ) A. B.(1,0) C. D. 答案：D 试题难度：三颗星知识点：轴对称——线段之差(绝对值)最大 6.如图,△ABC是以AB为斜边的直角三角形,AC=4,BC=3,P为边AB上一动点,且PE⊥AC于点 E,PF⊥BC于点F,则线段EF长度的最小值是() A. B. C. D. 答案：C 试题难度：三颗星知识点：垂线段最短 7.如图,正方形ABCD边长为2,当点A在x轴上运动时,点D随之在y轴上运动,在运动过程中, 中考几何母题的一题多解(多变) 一、三角形一题多解 如图：已知AB=AC，E是AC延长线上一点，且有BF=CE，连接FE交BC于D。求证：FD=DE。 证法一 证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B ∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，又EC=BF 从而EM=BF，∠BFD=∠DEM 则△DBF≌△DME，故 FD=DE； 证法二 证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B ∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，又EC=BF 从而EM=BF，∠BFD=∠DEM 则△DBF≌△DME，故 FD=DE； 证法二 证明：过F点作FM∥AE，交BD于点M， 则∠1=∠2 = ∠B 所以BF=FM， 又∠4=∠3 ∠5=∠E 所以△DMF≌△DCE，故 FD=DE。 二、平行四边形一题多解 如图4，平行四边形 ABCD中AD=2AB,E、F在直线AB上，且AE=BF=AB,求证：DF⊥CE. 证法一、易知ΔADF、ΔBCE为等腰三角形，故∠1=∠F, ∠2=∠E,又CD∥AB,故∠3=∠F, ∠4=∠E,从而∠1=∠3，∠2=∠4，而∠1+∠2+∠3+∠4=1800，故∠3+∠4=900，表明∠COD=900，所以DF⊥CE。 证法二、如图5，连接MN，则CD=BF,且CD∥BF，故BFCD为平行四边形，则CN=BN=AB,同理,DM=MA=AB,故CN=DM且CN∥DM，得平行四边形CDMN，易见CD=DM，故CDMN也是菱形，根据菱形的对角线互相垂直，结论成立。 证法三、如图6，连接BM、AN, 可证ΔAFN中，BN=BF=BA,则ΔAFN为直角三角形，即DF⊥AN,利用中位线定理可知AN∥CE，故DF⊥CE。 证法四、如图7，作DG∥CE交AE延长线于G，则EG=CD=AB=AE,故AD=AG=AF,从而DF⊥DG,而DGCE,故DF⊥CE 四\一题多解、多变《四边形面积》 1.如图所示，一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影都是长为c的矩形与平行 四边形，则阴影部分面积是多少。 解法一 将大矩形进行平移将平行四边形 进行转换。 (a-c)(b-c) 解法二 重叠面积为c的平方，大矩形面积为ab，小矩形为ac，平行四边形为bc，阴影面积为ab-ac-bc+cc=（a-c）（b-c） 动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10 AB AC ==厘米，8 BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 2、直线 3 6 4 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O点出发， 同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度， 点P沿路线O→B→A运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （3）当 48 5 S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四 边形的第四个顶点M的坐标． 3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？ 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值． 几何最值问题 一、垂线段最短 1、已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距 离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（） 2、如图，在RT三角形ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，点D是BC上的动点，将线段AD绕点A 顺时针旋转60°至AD，连接BD，若AB=2cm，则BD’的最小值为__________ 3、如图，在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1B1C1．点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，线段EP1长度的最小值与最大值分别是． 4\如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是▲． 5、如图，点C 是线段AB 上的一点，且AB= ,分别以AC,BC 为底作等腰ΔAEC 和等腰ΔBCF, 且∠AEC=∠BFC=120°，点P 为EF 的中点，求线段PC 长度的最小值。 6、已知菱形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，?=∠120BAD ，4=AB ,E 为OB 上的一个动点，将AE 绕点A 逆时针旋转60°，得AF ，则点F 到O 的最短距离为 ． 7、如图，已知∠MON=30°，B 为OM 上一点，BA ⊥ON ，四边形ABCD 为正方形，P 为射线BM 上一动点，连结CP ，将CP 绕点C 顺时针方向旋转90°得CE ，连结BE ，若AB=4，则BE 的最小值为__________ 8、 如图，在△ABC 中，∠A=75°，∠C=45°，BC=4，点M 是AC 边上的动点，点M 关于直线AB 、BC 的对称点分别为P 、Q ，则线段PQ 长的取值范围是______． 中考压轴题专题几何（辅助线） 精选1.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=3，BC=4，则AD的长为．精选2．如图，△ABC中，∠C＝60°，∠CAB与∠CBA的平分线AE，BF相交于点D， 求证：DE＝DF． 精选3.已知：如图，⊙O的直径AB=8cm，P是AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC． (1)若∠ACP=120°，求阴影部分的面积； (2)若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，∠CMP的大小是否发生变化若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP的度数。 精选4、如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点O是斜边AB上一动点，以OA为半径作⊙O与AC边交于点P， （1）当OA=时，求点O到BC的距离； （2）如图1，当OA=时，求证：直线BC与⊙O相切；此时线段AP的长是多少 （3）若BC边与⊙O有公共点，直接写出OA的取值范围； （4）若CO平分∠ACB，则线段AP的长是多少 ． 精选5．如图，已知△ABC为等边三角形，∠BDC＝120°，AD平分∠BDC， 求证：BD+DC＝AD． 精选6、已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处． （第6题图） （1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、O A． ①求证：△OCP∽△PDA； ②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长； （2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数； （3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度． 精选7、如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF． （1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图2小芳的结论是否成立若成立，加以证明；若不成立，请说明理由； （2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；（3）连EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少 中考数学重难点专题讲座动态几何与函数问题 含答案 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 中考数学重难点专题讲座 第八讲动态几何与函数问题 【前言】 在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。不过从近年北京中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。 【例1】 如图①所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上.过点B、C作直线l.将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E. （1）将直线l向右平移，设平移距离CD为t（t≥0），直角梯形OABC被直线l扫过的面积（图中阴影部份）为s，s关于t的函数图象如图②所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，且NQ平行于x轴，N点横坐标为4，求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积. （2）当24 t<<时，求S关于t的函数解析式. 初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 轴 对 称 最 值 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直 线，P为直线l上的一 个动点，求AP+BP的 最小值 A，B为定点，l为定直线， MN为直线l上的一条动线 段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动 点，求|AP-BP|的最大值转化 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折， B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为． 【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD 最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总 近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题． 最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）. 我们知道“对称、平移、旋转” 是三种保形变换。通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。 数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。 （1）去伪存真。刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。 （2）科学选择。捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。 （3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°。 （4）怎么求值？几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两点之间线段最 1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2. (1) 求证：DC=BC; (2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠E DC=∠F BC ，DE=BF ，试判断△E CF 的形 状，并证明你的结论； (3) 在（2）的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值. [解析] （1）过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M, 则AM=BC=2. 又tan ∠ADC=2,所以2 12 DM ==.即DC=BC. (2)等腰三角形. 证明：因为,,DE DF EDC FBC DC BC =∠=∠=. 所以，△DEC ≌△BFC 所以，,CE CF ECD BCF =∠=∠. 所以，90ECF BCF BCE ECD BCE BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=? 即△ECF 是等腰直角三角形. （3）设BE k =,则2CE CF k ==，所以EF =. 因为135BEC ∠=?，又45CEF ∠=?，所以90BEF ∠=?. 所以3BF k = = 所以1sin 33 k BFE k ∠= =. 2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ； （2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论． [解析] （1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠1＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ． ∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴AE ＝ 21AB ，CF ＝2 1 CD ． ∴AE ＝CF ∴△ADE ≌△CBF ． （2）当四边形BEDF 是菱形时， 四边形 AGBD 是矩形． E B F C D A 中考数学专题3 动态几何问题 第一部分 真题精讲 【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）． （1）当MN AB ∥时，求t 的值； （2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB 时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。 【解析】 解：（1）由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，如图①，过D 作DE AB ∥交BC 于E 点，则四边形ABED 是平行四边形． A B M C N E D ∵AB DE ∥，AB MN ∥． ∴DE MN ∥． （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN 放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） ∴MC NC EC CD =． （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） ∴ 1021035t t -=-．解得5017t = ． 【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC 即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN 这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解 【解析】 （2）分三种情况讨论： 2019年中考数学最值问题专题卷（含答案） 一、单选题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B' 的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2.如图，点A（a，3），B（b，1）都在双曲线y= 上，点C，D，分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为（） A. B. C. D. 3.如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（） A. B. 2 C. 2 D. 二、填空题 4.如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为________ ． 5.如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为________． 6.如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边），当这个正六边形的边长最大时，AE的最小值为________． 7.如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是________ 三、综合题 8.如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕AD，BE（如图①），点O为其交点． （1）探求AO到OD的数量关系，并说明理由； （2）如图②，若P，N分别为BE，BC上的动点． （Ⅰ）当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度； （Ⅱ）如图③，若点Q在线段BO上，BQ=1，则QN+NP+PD的最小值= ． 【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC 边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连结B′D，则B′D的最小值是（）． B.6 C. D.4 A． 【解析】∵AE＝BE，BE＝B′E，由圆的定义可知，A、B、B′在以点E为圆心， AB长为直径的圆上，如图所示. B′D的长最小值= DE =. 22故选A． 【启示】此题属于动点（B′）到一定点（E）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E为圆心，EB′为半径的定圆，当点D到圆上的最小距离为点D到圆心的距离－圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如B D DE B E '' ≤-，当且仅当点E、B′、D三点共线时，等号成立. 【典例2】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连结BE交AG于点H，若正方形的边长是2，则线段DH长度的最小值是 . 【思路探究】根据正方形的轴对称性易得∠AHB＝90°，故点H在以AB为直径的圆上.取AB中点O，当D、H、O三点共线时，DH的值最小，此时DH＝OD－OH，问 题得解. 【解析】由△ABE≌△DCF，得∠ABE＝∠DCF，根据正方形的轴对称性，可得∠DCF＝∠DAG，∠ABE＝∠DAG，所以∠AHB＝90°，故点H在以AB为直径的圆弧上.取AB中点O，OD交⊙O于点H，此时DH最小，∵OH＝1 AB=，OD＝，∴DH的最 1 2 小值为OD－OH 1. 【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H在以AB为直径的圆上，点D在圆外，DH的最小值为DO－OH.当然此题也可利用DH OD OH ≤-的基本模型解决. 【针对训练】 1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，点A，C分别在x轴，y轴上，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为（）. B．1．3 A 2.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（）. B. C. D.4 A．3 3. 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P、Q分别是边BC和半圆上的运点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）. 2021年中考数学二轮复习--几何综合题 Ⅰ、综合问题精讲: 几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答．解几何综合题，一要注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键． 解几何综合题，还应注意以下几点: ⑴注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构 造基本图形． ⑵掌握常规的证题方法和思路． ⑶运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运 用数学思想方法伯数形结合、分类讨论等)． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】(南充，10分)⊿ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点． (1)求证:DF是⊙O的切线．(2)若AE＝14，BC＝12，求BF的长． 解:(1)证明:连接OD，AD． AC是直径， ∴AD⊥BC．⊿ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠DAC． 又∠BED是圆内接四边形ACDE的外角， ∴∠C＝∠BED． 故∠B＝∠BED，即DE＝DB． 点F是BE的中点，DF⊥AB且OA和OD是半径， 即∠DAC＝∠BAD＝∠ODA． 故OD ⊥DF ，DF 是⊙O 的切线． (2)设BF ＝x ，BE ＝2BF ＝2x ． 又 BD ＝CD ＝21 BC ＝6， 根据BE AB BD BC ?=?，2(214)612x x ?+=?． 化简，得 27180x x +-=，解得 122,9x x ==-(不合题意，舍去)． 则 BF 的长为2． 点拨:过半径的外端且垂直于半径的直线才是切线，所以要证明一条直线是否是此圆的切线，应满足这两个条件才行． 【例2】(重庆，10分)如图，在△ABC 中，点E 在BC 上， 点D 在AE 上，已知∠ABD ＝∠ACD,∠BDE ＝∠CDE ．求证:BD ＝CD 。 证明:因为∠ABD＝∠ACD，∠BDE＝∠CDE 而∠BDE＝∠AB D ＋∠BAD，∠CDE＝∠ACD＋∠CAD 所以 ∠BAD＝∠CAD，而∠ADB＝180°－∠BDE ∠ADC＝180°－∠CDE，所以∠ADB ＝∠ADC 在△ADB 和△ADC 中， ∠BAD＝∠CAD AD ＝AD ∠ADB ＝∠ADC 所以 △ADB≌△ADC 所以 BD ＝CD 。 (注:用“AAS”证三角形全等，同样给分) A B C D E 中考数学中的探究性问 题动态几何 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 中考数学中的《探究性问题——动态几何》 动态几何类问题是近几年中考命题的热点，题目灵活、多变，能够全面考查 学生的综合分析和解决问题的能力。 有关动态几何的概念，在很多资料上有说明，但是没有一个统一的定义，在这里就不在赘述了。本人只是用2005 年的部分中考数学试题加以说明。 一、知识网络 《动态几何》涉及的几种情况动点问题? 动线问题动形问题? ? 二、例题经典 1.【05 重庆课改】如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1 个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2 个单位长度的速度向点A 移动,设点P、Q 移动的时间为t 秒． (1) 求直线AB 的解析式； y (2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似 24 A (3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为 个平方单位 5 P Q 【解】（１）设直线AB 的解析式为y＝k x＋b 由题意，得b＝6 8k＋b＝0 3 解得k＝－b＝6 4 3 所以，直线AB 的解析式为y＝－x＋6． 4 （２）由AO＝6，BO＝8 得AB＝10 所以AP＝t ，AQ＝10－2t 1°当∠APQ＝∠AOB 时，△APQ∽△AOB． t 10 2t 30 所以＝解得t＝ (秒) 6 10 11 2°当∠AQP＝∠AOB 时，△AQP∽△AOB． t 10 2t 50 所以＝解得t＝ 10 6 13 (秒) （３）过点Q 作QE 垂直AO 于点E． BO 4 在Rt△AOB 中，Sin∠BAO＝ ＝ AB 5 O y y A P Q O A Q y B B B x x x 几何最值 一、选择题 1．（2020·泰安）如图，点A ，B 的坐标分别为A （2，0），B （0，2），点C 为坐标平面内一点，BC ﹦1，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（ ） A ． 2 ＋1 B ． 2 ＋1 2 C ．2 2 ＋1 D ．2 2 —1 2 {答案} B {解析}本题考查了圆的概念、勾股定理、三角形中位线的性质以及动点运动最值问题，因为点C 为坐标平面内一点，BC ﹦1，所以点C 在以点B 为圆心、1长为半径的圆上，在x 轴上取OA ′=OA=2，当A ′、B 、C 三点共线时，A ′C 最大，则A ′C=2 2 ＋1，所以OM 的最大值为 2 ＋1 2 ，因此本题选B ． 2．（2020·无锡）如图，等边△ABC 的边长为3，点D 在边AC 上，AD ＝12，线段PQ 在边BA 上运动，PQ ＝1 2， 有下列结论： ①CP 与QD 可能相等； ②△AQD 与△BCP 可能相似； ③四边形PCDQ 面积的最大值为31316； ④四边形PCDQ 周长的最小值为3＋37 2. 其中，正确结论的序号为（ ） A ．①④ B ．②④ C ．①③ D ．②③ {答案} D {解析}设AQ ＝x ，则BP ＝5 2 —x ①如图1，当点P 与B 重合时，此时QD 为最大，过点Q 作QE ⊥AC ，∵AQ ＝52，∴AE ＝54，QE ＝53 4，∴DE ＝ 34，∴此时QD ＝212，即0≤QD ≤212；而33 2≤CP ≤3，两个范围没有交集，即不可能相等；①错误 ②若△AQD ∽△BCP ，则AD BP ＝AQ BC ，代入得2x 2—5x +3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3 2，∴都存在，∴②正确； ③如图2，过点D 作DE ⊥AB ，过点P 作PF ⊥BC ，S 四边形PCDQ =S △ABC —S △AQD —S △BPC ＝ 34×32－12?x ?34－1 2 ×3 × D Q P C B A 一题多解 探究数学问题解决的新思路，对于学生发散性思维和创造性思维的培养是十分有利 的。 下面一道例题，是从多维度角度出发来探究解题新思路的： 例：如图（1）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，四边形ACED 是平行四边形，延长DC 交BE 于F. 求证：EF=FB 分析：这个题目本身不难，求证也容易，但通过对题设和结论的深入挖掘与探索，我们可以得出许多好的证法，总结如下： I E F B C A 证明一：如图所示，作BQ∥AD,交DF 延长线于Q 点，则四边形ABQD 是平行四边形，从而BQ=AD ，再由题设可证△CEF≌△QBF, 得证EF=FB. Q I E F B C A 证明二：如左图所示：作FM∥DA 交AB 于M ，则四边形ADFM 是平行四边形，从而FM=DA.再证△CEF≌△MFB，从而结论可得证. M I E F B C A 证明三：作CN∥EB 交AB 于N ，则四边形CNBF 是□，从而CN=FB. 再证：△ANC≌△DFE，可得CN=EF ，即EF=FB. N I E F B C A 证明四：作DP ∥FB 交AB 于P ，证明△ADP ≌△CEF ，从而得出结论. P I E F B C A 证明五：延长EC 交AB 于G ，则四边形ADCG 是□，∴CE=AD=GC ，即C 是EG 中点.又CF ∥GB ，∴F 是EB 中点，结论得证. G I E F B C A 证明六：连结AE 交CD 于O 点，则O 是AE 中点，又OF ∥AB ， ∴F 是AB 中点，得证. I E F B C A 证明七：延长ED 交BA 延长线于H 点，则HACD 是□ , ∴CA=DH=ED ∴D 是EH 中点.又DF ∥HB ∴F 是EB 中点，得证. H I E F B C A 证明八：作ES ∥CD 交AD 延长线于S ，则CDSE 是□ ∴DS=CE=AD, ∴D 是AS 中点.又SE ∥CD ∥AB ∴F 是EB 中点，得证. S I E F B C A 证明九：在证明一作的辅助线基础上，连结EQ ，则可得ECBQ 是□，从而F 是□ECBQ 对角线EB 的中点。 总之，上述不同证法的辅助线可归结为以下两种： ①作平行线构成平行四边形和全等三角形进行等量代换。 ②作平行线，由题设产生中点，通过平行线等分线段定理的推论得出结论。 这其中，其实蕴含了平面几何的平移变换和旋转变换的数学思想。 图 B 图 B 图动点问题 题型方法归纳 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 1（2009年齐齐哈尔市）直线3 64 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间 的函数关系式； （3）当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的 平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类； 第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60o． （1）求⊙O 的直径； （2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<初中三年级中考复习平面几何证明题一题多解
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