斜面上的平抛运动问题
一、情景描述：如果物体是从斜面上平抛的，若以斜面为参考系，平抛运动有垂直(远离)斜面和平行斜面两个方向的运动效果，如果题目要求讨论相对斜面的运动情况，如求解离斜面的最远距离等，往往沿垂直斜面和平行斜面两个方向进行分解，这种分解方法初速度、加速度都需要分解，难度较大，但解题过程会直观简便。
平抛运动中的“两个重要结论”是解题的关键，一是速度偏向角α，二是位移偏向角β，画出平抛运动的示意图，抓住这两个角之间的联系，即tan α＝2tan β，如果物体落到斜面上，则位移偏向角β和斜面倾角θ相等，此时由斜面的几何关系即可顺利解题。
推论Ⅰ：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为φ，则tan θ＝2tan φ。
证明：如右图所示，由平抛运动规律得
tan θ＝v y v x ＝gt v 0
， tan φ＝y 0x 0＝12·gt 2v 0t ＝gt 2v 0
， 所以tan θ＝2tan φ。
推论Ⅱ：做平抛(或类平抛)运动的物体，任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
证明：如右图所示，tan φ＝y 0x 0
tan θ＝2tan φ＝y 0x 0/2
即末状态速度方向的反向延长线与x 轴的交点B 必为此时水平位移的中点。
注意：
(1)在平抛运动过程中，位移矢量与速度矢量永远不会共线。
(2)它们与水平方向的夹角关系为tan θ＝2tan φ，但不能误认为θ＝2φ。
【典例精析】：如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水
平方向抛出后落在斜面上， 物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ
满足( )
A ．tan φ＝sin θ
B ．tan φ＝cos θ
C ．tan φ＝tan θ
D ．tan φ＝2tan θ
[解析]竖直速度与水平速度之比为：tan φ＝gt v 0
，竖直位移与水平位移之比为：tan θ＝gt 2
2v 0t
，故tan φ＝2tan θ， D 正确。(注意：只要落点在斜面上，该结论与初速度大小无关)
关于物体在斜面上运动，若选取鞋面为参照物时，我们可以更具所需将速度沿加速度方向和垂直于加速度方向分解、将加速度沿速度方向和垂直于速度方向分解或者两者同时进行分解从而进行有效阶梯
【典例精析】：如右图所示，足够长斜面OA 的倾角为θ，固定在水平地面上，
现从顶点O 以速度v 0平抛一小球，不计空气阻力，重力加速度为g ，求小球在飞行
过程中经过多长时间离斜面最远？最远距离是多少？
解法一：常规分解方法(不分解加速度)
当小球的速度方向与斜面平行时，小球与斜面间的距离最大。
tan α＝v y v x ＝ gt v 0
此过程中小球的水平位移x ＝v 0t
小球的竖直位移 y ＝ 12
gt 2 最大距离s ＝(x －y cot α)sin α＝v 20sin 2θ2g cos θ
. 解法二：将速度和加速度分别沿垂直于斜面和平行于斜面方向进行分解，如右图
所示。
速度v 0沿垂直斜面方向上的分量为v 1＝v 0sin θ，加速度g 在垂直于斜面方
向上的分量为g 1＝g cos θ
根据分运动的独立性原理，小球离斜面的最大距离仅由v 1和g 1决定，当
垂直于斜面的分速度减小为零时，小球离斜面和距离最远。
由v 1＝g 1t ，解得t ＝v 0g
tan θ 由s ＝v 212g 1，解得s ＝v 20sin 2θ2g cos θ
.
【注意】：速度与斜面平行的时刻有如下特征：
(1)竖直速度与水平速度之比等于斜面倾角的正切；（速度分解图可以证明得到）
0v t a n v α=⊥
(2)该时刻是全运动过程的中间时刻；
全程时间g v tan 2t 0α= 此时时间0v tan v α=⊥ g
v tan t 0α=
(3)该时刻之前与该时刻之后竖直方向上的位移之比为1∶3；与全程竖直位
移之比为1:4
全程竖直方向位移221s gt ==20)tan 2.(g 21g v α=g
2202v n ta α 此时数值方向位移gs 2v
2=⊥ g
2v n ta s 202α=
(4)该时刻之前与该时刻之后斜面方向上的位移之比不是1∶3。（三角形的相似或者直接推到）
还有一类问题是平抛后垂直撞击斜面，在撞击斜面的时刻，速度方向与水平方向的夹角与斜面的倾角互余；
另一情况是平抛过程的位移与斜面垂直。
【典例精析】：如图甲所示，以9.8m/s 的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上。可知物体完成这段飞行的时间是 A.s 33 B.332s C.s 3 D.s 2
[解析]：先将物体的末速度t v 分解为水平分速度x v 和竖直分速度
y v (如图乙所示)。根据平抛运动的分解可知物体水平方向的初速度是
始终不变的，所以0v v x =；又因为t v 与斜面垂直、y v 与水平面垂直，
所以t v 与y v 间的夹角等于斜面的倾角θ。再根据平抛运动的分解可知物体在竖直方向做自由落体运动，那么我们根据y v gt =就可以求出时间t 了。则
由图得 y
x v v =θtan 所以s m s m v v v x y /38.9/3
18.930tan tan 0==?==θ gt v y = 所以s g v t y
38
.938.9=== 答案为C 。 【典例精析】：若质点以v 0正对倾角为θ的斜面水平抛出,如果要求质点到达斜面的位移最小，求飞行时间为多少?
[解析]： (1)连接抛出点O 到斜面上的某点O 1 ，其间距OO 1为位移大
小。当OO 1垂直于斜面时位移最小。
(2)分解位移：利用位移的几何关系可得
θθtg 2,21020g v t gt t v y x tg ===
【小结】：研究平抛运动的基本思路是：
(1)突出落点问题一般要建立水平位移和竖直位移之间的关系。
(2)突出末速度的大小和方向问题的，一般要建立水平速度和竖直速度之间的关系。
(3)要注意挖掘和利用好合运动、分运动及题设情景之间的几何关系。
平抛运动中的“两个重要结论”是解题的关键，一是速度偏向角α，二是位移偏向角β，画出平抛运动的示
意图，抓住这两个角之间的联系，即tan α＝2tan β，如果物体落到斜面上，则位移偏向角β和斜面倾角θ相等，此时由斜面的几何关系即可顺利解题。
推论Ⅰ：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为φ，则tan θ＝2tan φ。
证明：如右图所示，由平抛运动规律得
tan θ＝v y v x ＝gt v 0
， tan φ＝y 0x 0＝12·gt 2v 0t ＝gt 2v 0
， 所以tan θ＝2tan φ。
推论Ⅱ：做平抛(或类平抛)运动的物体，任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
证明：如右图所示，tan φ＝y 0x 0
tan θ＝2tan φ＝y 0x 0/2
即末状态速度方向的反向延长线与x 轴的交点B 必为此时水平位移的中点。
注意：
(1)在平抛运动过程中，位移矢量与速度矢量永远不会共线。
(2)它们与水平方向的夹角关系为tan θ＝2tan φ，但不能误认为θ＝2φ。
【注意】：速度与斜面平行的时刻有如下特征：
(4)竖直速度与水平速度之比等于斜面倾角的正切；（速度分解图可以证明得到）
0v t a n v α=⊥
(5)该时刻是全运动过程的中间时刻；
全程时间g v tan 2t 0α= 此时时间0v tan v α=⊥ g
v tan t 0α=
(6)该时刻之前与该时刻之后竖直方向上的位移之比为1∶3；与全程竖直位
移之比为1:4
全程竖直方向位移221s gt ==20)tan 2.(g 21g v α=g
2202v n ta α 此时数值方向位移gs 2v
2=⊥ g
2v n ta s 202α=
(4)该时刻之前与该时刻之后斜面方向上的位移之比不是1∶3。（三角形的相似或者直接推到）
1..如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上．当抛出
的速度为v 1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v 2时，小球到达斜面时速度方向与 斜面的夹角为α2，则( )
A ．当v 1＞v 2时，α1＞α2
B ．当v 1＞v 2时，α1＜α2
C ．无论v 1、v 2关系如何，均有α1＝α2
D ．α1、α2的关系与斜面倾角θ有关
2. 如图所示，在斜面顶端先后水平抛出同一小球，第一次小球落到斜面中点，第二次小球落到斜面底端，从抛出到落至斜面上(忽略空气阻力) ( )
A ．两次小球运动时间之比t
1∶t 2＝1∶ 2
B ．两次小球运动时间之比t 1∶t 2＝1∶2
C ．两次小球抛出时初速度之比v 01∶v 02＝1∶ 2
D ．两次小球抛出时初速度之比v 01∶v 02＝1∶2
3.如右图所示，足够长斜面OA 的倾角为θ=030，固定在水平地面上，现从顶点O 以速度v 0=s /m 2平抛一小球，不计空气阻力，重力加速度为g=2/10s m ，求小球再次接触鞋面历时多少？在飞行过
程中经过多长时间离斜面最远？最远距离是多少？
与斜面有关的平抛运动 1．如图，从斜面上的点以速度υ0水平抛出一个物体，飞行一段时间后，落到斜面上的B 点，己知AB=75m ， a=37°，不计空气阻力，下列说法正确的是 A.物体的位移大小为75m B.物体飞行的时间为6s C.物体的初速度v 0大小为20m/s D.物体在B 点的速度大小为30m/s 【答案】AC 【解析】 试题分析：由图可知，物体的位移大小为75m ，选项A 正确；物体飞行的时间为 s s g s t 310 6 .0752sin 2=??== α，选项B 错误；物体的初速度v 0大小为s m t s v /2037cos 0==o ，选项C 正确；物体在B 点的速度大小为 s m s m gt v v /1310/)310(20)(2222 0=?+=+=，选项D 错误；故选AC. 考点：平抛运动的规律. 2．如图所示，斜面与水平面夹角，在斜面上空A 点水平抛出两个小球a 、b ，初速度分别为v a 、v b ，a 球落在斜面上的N 点，而AN 恰好垂直于斜面，而b 球恰好垂直打到斜面上M 点，则（ ） A ．a 、b 两球水平位移之比2v a :v b B ．a 、b 两球水平位移之比2v a 2 :v b 2 C ．a 、b 两球下落的高度之比4v a 2 :v b 2 D ．a 、b 两球下落的高度之比2v a 2 :v b 2 【答案】BC 【解析】 试题分析：a 球落在N 点，位移与斜面垂直，则位移与水平方向的夹角为90°-θ，设此时的速度方向与水平方向的夹角为α，则tanα=2tan（90°-θ），b 球速度方向与斜面垂直， 速度与水平方向的夹角为90°-θ，可知： 2yb ya b a v v v v = ，解得： 2ya a yb b v v v v =，根据2 2y v h g = ，
平抛运动斜面距离问题的解法赏析 无锡市堰桥中学 周维新 平抛运动是生活中常见的运动，也是高中物理曲线运动中典型的运动形式。因此平抛运动高考中的重点和热点。学生在处理较为简单的问题时，进行分解合成处理还能完成，但是对于较为复杂的问题时就感觉到束手无策。本文就平抛运动中较为复杂的斜面距离问题的解法作如下探讨。 例题：如图，AB 斜面倾角为37°，小球从A 点以 初速度v 0=20m/s 水平抛出，恰好落到B 点，求： （1）物体在空中飞行的时间；AB 间的距离； （2）小球在B 点时速度的大小和方向； （3）从抛出开始经多少时间小球与斜面间的距离最大， 最大距离是多少g=10m/s 2； 1、分解法 第（3）问的传统解法将平抛运动分解到斜面方向和垂直于斜面方向：沿斜面方向：V //=V 0cos37o=20×0.8=16m/s ，a //=gsin37o=10×0.6=6m/s 2匀加速直线 运动。垂直斜面方向：V ⊥= V 0sin37o=20×0.6=12m/s ，a ⊥=gcos37o=10×0.8=8m/s 2匀减速直线运动。当垂直斜面方向的速度减为零时，球离斜面距离最远。t= ==1.5s ，最远距离S==。 此种解法沿用了离地最高必有在垂直地面方向的速度为零的结论。球离斜面距离最大，则球在垂直斜面上的速度必为零。因而本解法采用正交分解，可以巩固学生的运动合成与分解知识，同时拓展对平抛运动的处理方法。平抛运动分解为两个方向的匀变速直线运动，学生较易理解但运算较繁。 2、追击解法 设斜面上有一个点，该点沿斜面作匀速直线运动。该点的水平分速度v 0=20m/s 与小球的平抛初速度相等，竖直方向的分速度v y = v 0tan37°=15m/s ，所以小球由A 点平抛运动到B 点时，该点也恰好从A 点匀速运动到B 点，在运动过程中该点始终在小球的正下方。在竖直方向，小球自由落体追击该点匀速直线运动，当小球在竖直方向上的速度等于该点的竖直方向上的速度时，两点间有最大距离，此时小球与斜面间的距离也最大。解答如下： 研究对象：点 V 点x = 20m/s V 点y = 15m/s 小球：V 球x = 20m/s V 球y =gt 当V 球y = V 点y 时，点和球之间有最大距离y CD （如图） t= ==1.5s y CD = y 点-y 球=V 点y t-=15×1.5-5× 1.52=11.25m 则球与斜面间大最大距离S=y CD cos37o=9m 追击解法也采用运动的分解，但增加了研究对象，充分利用追击问题中的规律：两物速度相同时距离有极值。思维独特，想法新颖，运算较为简便，具有一定创造性，有利与学生发散性思维的培养。 3、数学几何法
原创作品 严禁盗用 第 1 页 共 3 页 平抛运动与斜面、曲面结合的问题 高考试题呈现方式及命题趋势 纵观近几年的高考试题，平抛运动考点的题型大多数不是单纯考查平抛运动而是平抛运动与斜面、曲面结合的问题，这类问题题型灵活多变，综合性强，既可考查基础又可考查能力，因此收到命题专家的青睐，在历年高考试题中属于高频高点。 求解思路 解答平抛试题，首先要掌握平抛运动的规律和特点，同时也要明确联系平抛的两个分运动数量关系的桥梁，除时间t 外，还有两个参量：速度偏角α，tan y x v v α=位移偏角θ，tan y x θ= 两者关系：tan 2tan αθ=。平抛运动与斜面、曲面结合的问题， 命题者用意用于考查学生能否寻找一定的几何图形中几何角的关系，考查学生运用数学知识解决物理问题的能力。 知识准备 结论：做平抛运动的物体经时间t 后，其速度t v 与水平方向的夹角为α（速度偏角），位移s 与水平方向的夹角为θ（位移偏角），则有tan 2tan αθ= 证明：速度偏角0 tan y x v gt v v α== 位移偏角2001112tan tan 22 gt y gt x v t v θα==== 即：tan 2tan αθ= 说明：以上结论对于做平抛运动的物体在任意时刻此式都成立，与物体运动速度大小，运动时间等外界因素无关！ 试题分类归纳 一、抛点和落点都在斜面上 存在以下规律： (1)位移与水平方向的夹角就为斜面的倾角 (2)物体的运动时间与初速度成正比；由20012tan gt y gt x v t v θ===，知02tan v t g θ=，0v 确定时t 就确定了。 (3)物体落在斜面上时的速度方向平行； (4)当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面的距离最远。
平抛运动和斜面组合模型及其应用 平抛运动可以分解为水平方向的匀速直 线运动和竖直方向的自由落体运动，其运动轨 迹和规律如图1所示，会应用速度和位移两个 矢量三角形反映的规律灵活的处理问题。设速 度方向及初速度方向的夹角为速度偏向角φ， 位移方向及初速度方向的夹角为位移偏向角θ，若过P点做及初速度平行的直线，则该直线及位移方向的夹角可以看作是构造的虚斜面的倾角，这样平抛运动模型和斜面模型就组合在一起了。在中学物理中有大量的模型，平抛运动和斜面模型是重要的模型，这两个模型组合起来进行考查，是近几年高考的一大亮点。为此，笔者就该组合模型的特点和应用，归纳如下。 一．斜面上的平抛运动问题 例1．（2006·上海）如图2所示，一足够长的固定斜面及水平面的夹角为370，物体A以初速度v 1从斜面顶端水平抛出，物体B在 斜面上距顶端L＝15m处同时以速度v2沿斜面向下匀速运 动，经历时间t物体A和物体B在斜面上相遇，则下列各 组速度和时间中满足条件的是（sin37O=0.6，cos370=0.8， g＝10 m/s2） A．v1＝16 m/s，v2＝15 m/s，t＝3s B．v1＝16 m/s，v2＝16 m/s，t＝2s C．v1＝20 m/s，v2＝20 m/s，t＝3s
D ．v 1＝20m/s ，v 2＝16 m/s ，t ＝2s 解析：设物体A 平抛落到斜面上的时间为t ， 由平抛运动规律得 t v x 0=，221gt y = 由位移矢量三角形关系得 x y =θtan 由以上三式解得g v t θ tan 20= 在时间t 内的水平位移g v x θtan 220=；竖直位移g v y θ 220tan 2= 将题干数据代入得到3v 1＝20t ，对照选项，只有C 正确。 将v 1＝20 m/s ，t ＝3s 代入平抛公式，求出x ，y 22A s x y =+=75m ，B s =v 2t ＝60m ， 15A B s s L m -==，满足题目所给已知条件。 结论1：物体自倾角为θ的固定斜面抛出，若落在斜面上，飞行时间为 g v t θ tan 20=，水平位移为g v x θtan 220=，竖直位移g v y θ22 0tan 2=，均及初速度 和斜面的倾角有关且分位移及初速度的平方成正比。 跟踪训练： 1.在例1中，题干条件不变，改变设问角度和题型。则v 1、 v 2应满足的关系式为 。 温馨提示：由结论1得飞行时间为g v t θ tan 20= ，由几何关系得L t v v +=21 cos θ 。联立以上两式化简得v 1、 v 2应满足的关系式为gL v v v 812152121+=。 2.如图3所示，AB 为斜面，BC 为水平面，从A 点以水平初速度v 向右抛出
课题：“斜面+平抛”类问题 学习目标：1、进一步掌握平抛运动的规律 2、会用平抛运动的规律解决“斜面+平抛”问题 3、学会用几何关系来求解物理问题 学习重点：分解速度、位移来构建矢量三角形 学习难点：充分利用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而解决问题 一、前知回顾 平抛运动的基本规律：以抛出点为原点，水平方向(初速度v0方向)为x轴，竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐标系，则： (1)水平方向：做匀速直线运动，速度v x＝，位移x ＝. (2)竖直方向：做自由落体运动，速度v y＝，位移y ＝. (3)合速度：v＝，方向与水平方向的夹角为α，则tanα＝. (4)合位移：s＝，方向与水平方向的夹角为θ，则tanθ＝.
二、合作探究 探究一：顺着斜面抛 【典例分析1】如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从O点水平飞出，经过3 s落到斜坡上的A点．已知O 点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg.不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8；g取10 m/s2)．求： (1)A点与O点的距离L； (2)运动员离开O点时的速度大小； 【小试牛刀1】如图所示，在倾角为θ的斜面顶端P点以速度 v0水平抛出一小球，最后落在斜面上的Q点，求小球在空中运动的时间以及P、Q间的距离。（重力加速度为g）P Q
探究二:对着斜面抛 【典例分析2】小球以15m/s 的水平初速度向一倾角为37°的斜面抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上。求： （1）小球在空中的飞行时间； （2）抛出点距落球点的高度。（sin37=0.6, cos37=0.8） 【小试牛刀2】如图所示，斜面AC 与水平方向的夹角为α，在A 点正上方与C 等高处水平抛出一小球，抛出一段时间t 后，垂直斜面落到D 点，则小球抛出的初速度为（ ） A ．t gtan α B ．αgt tan C ．αgt tan 2 D ．α tan gt
平抛专题练习 一、物体的起点在斜面外，落点在斜面上 1．求平抛时间 1．以Vo=9.8m/s 的初速水平抛出一小球，小球垂直撞击倾角为30°的斜面，问小球在空中飞行了多少时间。 解：t=3s 2．求平抛初速度 2．如图3，在倾角为37°的斜面底端的正上方H 处，平抛一小球，该小球垂直打在斜面上的一点，求小球抛出时的初速度。 解： 3．质量为m 的小球以v 0的水平初速度从O 点抛出后，恰好击中斜角为θ的斜面上的A 点．如果A 点距斜面底边（即水平地面）的高度为h ，小球到达A 点时的速度方向恰好与斜面方向垂直，如图5-2-20，则以下正确的叙述为（ ）ABD A ．可以确定小球到达A 点时，重力的功率； B ．可以确定小球由O 到A 过程中，动能的改变 C ．可以确定小球从A 点反弹后落地至水平面的时间 D ．可以确定小球起抛点O 距斜面端点B 的水平距离 3．求平抛物体的落点 4.如图5－14所示，斜面上有a 、b 、c 、d 四个点，ab ＝bc ＝cd 点正上方O 点以速度v 水平抛出一个小球，它落在斜面上b 点，若小球从O 点以速度2v 水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的( Ａ ) A ．b 与c 之间某一点 B ．c 点 C ．c 与d 之间某一点 D ．d 点 二、物体的起点和落点均在斜面上 此类问题的特点是物体的位移与水平方向的夹角即为斜面的倾角。一般要从位移关系入手，根据位移中分运动和合运动的大小和方向（角度）关系进行求解。 1．求平抛初速度及时间 5．如图，倾角为θ的斜面顶端，水平抛出一钢球，落到斜面底端，已知抛出点 到落点间斜边长为L ，求抛出的初速度及时间？ 解：钢球下落高度：，∴飞行时间t ＝ ， 水平飞行距离 ，初速度v 0= =θ θ sin 2cos gl 6.如图所示,从倾角为θ的斜面上的A 点以速度V 0平抛一个小球,小球落在斜 面上的B 点.则小球从A 到B 的运动时间为 。 ( g v θ tan 20) 2．求平抛末速度及位移大小 7．如图，从倾角为θ的斜面上的A 点，以初速度v 0，沿水平方向抛出一个小球，落在斜面上B 点。求：小球落到B 点的速度及A 、B 间的距 离。 小球落到B 点的速度= ，与v 0间夹角 。 A 、 B 间的距离为：s ==。 3．求最大距离（按需分解） 8．如图，在倾角为θ的斜面上以速度vo 水平抛出一个小球，设斜面足够长，求小球离斜面的最大距离 解：h=θ θcos 2sin 22 g v o 9．斜面ABC 高为h ，倾角为30°，一小球从斜面顶端的A 点水 θ v o A
与斜面有关的平抛运动
度之比 224:a b v v ．故C 正确，D 错误．根据y v t g = 知， a 、 b 两球的运动时间之比为v a ：2v b ，根据x=v 0t ，则水平位移之比为：x a ：x b ＝v a 2：2v b 2．故B 正确，A 错误．故选：BC ． 考点：平抛运动的规律. 3．如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端水平抛出一个小球，小球落在斜面上某处．关于小球落在斜面上时的速度方向与斜面的夹角α，下列说法正确的是 A ．夹角α满足tan α=2tan （ B ．夹角α与初速度大小无关 C ．夹角α随着初速度增大而增大 D ．夹角α一定小于90 【答案】BD 【解析】 试题分析：因为小球落到了斜面上，所以小球的位移与水平方向的夹角与斜面的倾角相同，故
有： 200 122gt y gt tan x v t v θ=== ，设速度与水平方向的夹角为β ，则0 2y v gt tan tan v v βθ== =，可知2tan tan βθ=，由于θ不 变，则β也不变．则小球落在斜面上时的速度与斜面的夹角：αβθ=-，保持不变．与初速度无关．因为平抛运动速度与水平方向的夹角不可能等于90度，则小球落在斜面上时的速度与斜面的夹角不可能等于90度，故BD 正确。 考点：考查了平抛运动规律的应用 4．如图所示，小球以v o 正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则飞行时间t 为（重力加速度为g ）（ ） A.0 2tan v g θ B.02tan v g θ C. 0tan v g θ D.0 tan v θ 【答案】A 【解析】
平抛运动专题复习与解题技巧
二、平抛运动解题的常见技巧 1．巧用分运动方法求水平速度 求解一个平抛运动的水平速度的时候，我们首先想到的方法，就应该是从竖直方向上的自由落体运动中求出时间，然后，根据水平方向做匀速直线运动，求出速度。 例1．如图所示，某人骑摩托车在水平道路上行驶，要在A处越过的壕沟，沟面对面比A 处低，摩托车的速度至少要有多大？ 解析：在竖直方向上，摩托车越过壕沟经历的时间：，在水平方向上，摩托车能越过壕沟的速度至少为：。 2．巧用分解合速度方法求时间 对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的速度方向，则我们常常是“从分解速度”的角度来研究问题。 例2．如图甲所示，以9.8m/s的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为 的斜面上。可知物体完成这段飞行的时间是（） A． B． C． D．
解析：先将物体的末速度分解为水平分速度和竖直分速度（如图2乙所示）。根据平抛运动的分解可知物体水平方向的初速度是始终不变的，所以；又因为与斜面垂直、与水平面垂直，所以与间的夹角等于斜面的倾角。再根据平抛运动的分解可知物体在竖直方向做自由落体运动，那么我们根据就可以求出时间了。则：，所以 ，根据平抛运动竖直方向是自由落体运动可以写出：，所以，所以答案为C。 3．巧用分解位移方法求时间比 对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的位移方向（如物体从已知倾角的斜面上水平抛出，这个倾角也等于位移与水平方向之间的夹角），则我们可以把位移分解成水平方向和竖直方向，然后运用平抛运动的运动规律来进行研究问题（这种方法，暂且叫做“分解位移法”） 例3．如图所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度同时水平向左与水平向右抛出两个小球A和B，两侧斜坡的倾角分别为和，小球均落在坡面上，若不计空气阻力，则A和B两小球的运动时间之比为多少？
4.2 平抛运动的规律和应用（二） 考点: 斜面上的平抛运动 典型例题 [例1] 如图4-2-1所示，斜面倾角为300，小球从A 点以初速度v 0水平抛出，恰好落到斜面B 点，求：①AB 间的距离；②物体在空中飞行的时间；③从抛出开始经多少时间小球与斜面间的距离最大？ [例2]一斜面倾角为θ，A 、B 两个小球均以水平初速度v0水平抛出(如图4－2－2所示，A 球垂直撞在斜面上，B 球落到斜面上的位移最短，不计空气阻力，则A 、B 两个小球下落时间tA 与tB 之间的关系为( ) A ．tA ＝t B B ．tA ＝2tB C ．tB ＝2tA D ．无法确定 [例3] 如图4-2-3所示，一个斜面固定在水平面上，从斜面顶端以不同初速度v0水平抛出一小球，得到小球在`空中运动时间t 与初速度v0的关系如下表所示，g 取10 m/s2试求： v 0/m ·s －1 …2…910…t /s …0.400… 1.000 1.000… (1)v0＝2 m/s 时平抛水平位移s ； (2)斜面的高度 h ； (3)斜面的倾角θ。 针对训练: 1．某同学在篮球训练中，以一定的初速度投篮，篮球水平击中篮板，现在他向前走一小段距离，与篮板更近，再次投篮，出手高度和第一次相同，篮球又恰好水平击中篮板上的同一点，则( ) A ．第二次投篮篮球的初速度大些 B ．第二次击中篮板时篮球的速度大些 图4-2-1
C．第二次投篮时篮球初速度与水平方向的夹角大些 D．第二次投篮时篮球在空中飞行时间长些 2.如图1所示，在水平地面上固定一倾角为θ=37°、表面光滑的斜面体，物体A以v1=6 m/s 的初速度沿斜面上滑，同时在物体A的正上方，有一物体B以某一初速度水平抛出.如果当A 上滑到最高点时恰好被B物体击中.（A、B均可看做质点，sin37°=0.6,cos37°=0.8,取g=10 2 m/s）求： (1)物体A上滑到最高点所用的时间t; (2)物体B抛出时的初速度v2; (3)物体A、B间初始位置的高度差h. 图1 3．如图2所示，在距地面2l的高空A处以水平初速度v0＝gl投掷飞镖，在与A点水平距 离为l的水平地面上的B点有一个气球，选择适当时机让气球以速度v0＝gl匀速上升，在 升空过程中被飞镖击中。飞镖在飞行过程中受到的空气阻力不计，在计算过程中可将飞镖和 气球视为质点，已知重力加速度为g。试求： (1)飞镖是以多大的速度击中气球的； (2)掷飞镖和释放气球两个动作之间的时间间隔Δt。 图2 4.国家飞碟射击队在进行模拟训练时用如图所示装置进行．被训练的运动员在高H= 20 m的塔顶，在地面上距塔水平距离为l处有一个电子抛靶装置，圆形靶可被以速度 v2竖直向上抛出．当靶被抛出的同时，运动员立即用特制手枪沿水平方向射击，子弹速 度v1＝100 m/s.不计人的反应时间、抛靶装置的高度及子弹在枪膛中的运动时间，且忽 略空气阻力及靶的大小(g取10 m/s2)． (1)当l取值在什么范围内，无论v2为何值靶都不能被击中？ (2)若l＝100 m，v2＝20 m/s，试通过计算说明靶能否被击中?
斜面上的平抛运动 一、斜面上的平抛运动 ○顺着斜面运动 （斜面足够长） <落到斜面> 1.【典型例题】如图所示，斜面倾角为θ，小球从A点以初速度v0 水平抛出，恰好落到斜面B点，求： ①AB间的距离； ②物体在空中飞行的时间； 2.如图所示，从倾角为θ的斜面上的A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力， 它落到斜面上B点所用的时间为（）
答案：B 〔同类题〕 3. 跳台滑雪是勇敢者的运动，它是利用山势特别建造的跳台，运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上获得高速后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动极为壮观。设一位运动员由山坡顶部的A 点沿水平方向飞出，到山坡上的B 点着陆。如图所示，已知运动员水平飞行的速度为v 0=20m/s ，山坡倾角为θ=37°，山坡可以看成一个斜面。(取g=10m/s 2，sin37°=0.6，cos37°=0.8)求: (1)运动员在空中飞行的时间t ; (2)AB 间的距离s 。 答案:(1)3s (2)75m 解析:(1)设运动员从A 到B 时间为t ，则有 x =v 0t y =gt 2 由数学关系知tan θ=y /x 所以t =3s 。 (2)A 、B 间的距离为: s = m =75m 。 〔STS 〕跳台滑雪 4. 如图所示，在足够长的斜面上的A 点，以水平速度v 0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上所用的时间为t 1；若将此球改用2v 0抛出，落到斜面上所用时间为t 2，则t 1与t 2之比为（ ） A ．1∶1 B ．1∶2 C ．1∶3 D ．1∶4 答案：B 解析：因小球落在斜面上，所以两次位移与水平方向的夹角相等，由平抛运动规律知tan θ＝ 12gt 21 v 0t 1 ＝12 gt 22 2v 0t 2，所以t 1t 2＝1 2 。 〔延展题〕变初速度 5. ［多选］如图所示，斜面上有a 、b 、c 、d 、e 五个点，ab ＝bc ＝cd ＝de ，从a 点以初速
斜面上的平抛运动 、物体落在斜面上的一个重要关系式如图所示，从倾角为B的斜面上以初速V。平抛一物体，不计空气阻力，经时间t , 物体落在斜面上时其水平位移和竖直位移分别为x，y，则 1 一戲 2va 遇到斜面上的平抛运动问题，往往会与这一关系式有关，所以，解题时要有意识地写出这一关系式。 例1.从倾角为60°的斜面顶点A水平抛出一物体，初动能为10J，物体到达斜面底端B 点时，物体的动能是多少？（不计空气阻力） 1 a —wsv 0 —10 L Z 解：设初速为V0，依题意：：，依据上述等式得 V- tan 60a - — = 2v0 tan 60° =
1 , - —fnv k 2 = -^vJ[l + (2V5)2] = 130J J 例2.从倾角为B的足够长的A点，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为V i，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为亠第二次初速度，球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为八，若吟r，试比较的和旳的大小。 解析：依以上等式 所以a = arctan(2tanff) - & 。 即:厂' p- - li.- / O
以不同初速度平抛的物体落在斜面上各点的速度是互相平行的 例3.如图所示，AB 为斜面，BC 为水平面，从A 点以水平初速度v 向右抛出一 小球，其落点与A 的水平距离为s i ，从A 点以水平初速度2v 向右抛出一小球， 其落点与A 的水平距离为S 2,不计空气阻力，可能为： A. 1 : 2 B. 1 : 3 C. 1 : 4 D. 1 : 5 解析：若两物体都落在水平面上，则运动时间相等，有 、 '乙--”，A 是可能的 若第一球落在斜面上，第二球落在水平面上（如图所示），…-不会小于1:4, 但一定小于1: 2。 故1: 3是可能的，1: 5 不可能 若两物体都落在斜面上，由公式 tan M- %得，运动时间分别为 2vtan 8 4vtan^ 4 ，C 是可能
与斜面有关的平抛运动 1．如图，从斜面上的点以速度υ0水平抛出一个物体，飞行一段时间后，落到斜面上的B 点，己知AB=75m ， a=37°，不计空气阻力，下列说法正确的是 A.物体的位移大小为75m B.物体飞行的时间为6s C.物体的初速度v 0大小为20m/s D.物体在B 点的速度大小为30m/s 【答案】AC 【解析】 试题分析：由图可知，物体的位移大小为75m ，选项A 正确；物体飞行的时间为 s s g s t 310 6 .0752sin 2=??== α，选项B 错误；物体的初速度v 0大小为s m t s v /2037cos 0==o ，选项C 正确；物体在B 点的速度大小为 s m s m gt v v /1310/)310(20)(2222 0=?+=+=，选项D 错误；故选AC. 考点：平抛运动的规律. 2．如图所示，斜面与水平面夹角，在斜面上空A 点水平抛出两个小球a 、b ，初速度分别为v a 、v b ，a 球落在斜面上的N 点，而AN 恰好垂直于斜面，而b 球恰好垂直打到斜面上M 点，则（ ） A ．a 、b 两球水平位移之比2v a :v b B ．a 、b 两球水平位移之比2v a 2 :v b 2 C ．a 、b 两球下落的高度之比4v a 2 :v b 2 D ．a 、b 两球下落的高度之比2v a 2 :v b 2 【答案】BC 【解析】 试题分析：a 球落在N 点，位移与斜面垂直，则位移与水平方向的夹角为90°-θ，设此时的速度方向与水平方向的夹角为α，则tanα=2tan（90°-θ），b 球速度方向与斜面垂直， 速度与水平方向的夹角为90°-θ，可知： 2yb ya b a v v v v ，解得： 2ya a yb b v v v v ，根据2 2y v h g ， 则a 、b 两球下落的高度之比2 2 4:a b v v ．故C 正确，D 错误．根据y v t g 知，a 、b 两球的 运动时间之比为v a ：2v b ，根据x=v 0t ，则水平位移之比为：x a ：x b ＝v a 2 ：2v b 2 ．故B 正确，A 错误．故选：BC ． 考点：平抛运动的规律. 3．如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端水平抛出一个小球，小球落在斜面上某处．关于小球落在斜面上时的速度方向与斜面的夹角α，下列说法正确的是 A ．夹角α满足tan α=2tan （ B ．夹角α与初速度大小无关 C ．夹角α随着初速度增大而增大
平抛运动在斜面与半圆中的应用 一、基础知识 （一）常见平抛运动模型的运动时间的计算方法 1、在水平地面上空h 处平抛： 由h ＝1 2 gt 2知t ＝ 2h g ，即t 由高度h 决定． 2、在半圆内的平抛运动(如图)，由半径和几何关系制约时间t ： h ＝1 2gt 2更新 R ＋R 2－h 2＝v 0t 联立两方程可求t . 3、斜面上的平抛问题(如图)： (1)顺着斜面平抛 方法：分解位移 x ＝v 0t y ＝1 2gt 2 tan θ＝y x 可求得t ＝2v 0tan θ g (2)对着斜面平抛(如图) 方法：分解速度 v x ＝v 0 v y ＝gt tan θ＝v y v 0＝gt v 0 可求得t ＝v 0tan θ g 4、对着竖直墙壁平抛(如图) 水平初速度v 0不同时，虽然落点不同，但水平位移相同． t ＝d v 0
二、练习 1、如图，从半径为R ＝1 m 的半圆AB 上的A 点水平抛出一个 可视为质点的小球，经t ＝0.4 s 小球落到半圆上，已知当地的重力 加速度g ＝10 m/s 2，则小球的初速度v 0可能为 ( ) A ．1 m/s B ．2 m/s C ．3 m/s D ．4 m/s 解析 由于小球经0.4 s 落到半圆上，下落的高度h ＝1 2gt 2＝0.8 m ，位置可能有两处，如 图所示． 第一种可能：小球落在半圆左侧， v 0t ＝R － R 2－h 2＝0.4 m ，v 0＝1 m/s 第二种可能：小球落在半圆右侧， v 0t ＝R ＋R 2－h 2，v 0＝4 m/s ，选项A 、D 正确． 答案 AD 2、如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O 点分别以水平初 速度v 1、v 2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧 上的A 点和B 点，已知OA 与OB 互相垂直，且OA 与竖直方向 成α角，则两小球初速度之比v 1 v 2为 ( ) A ．tan α B ．cos α C ．tan αtan α D ．cos αcos α 答案 C 解析 两小球被抛出后都做平抛运动，设容器半径为R ，两小球运动时间分别为t 1、t 2，对A 球：R sin α＝v 1t 1，R cos α＝12gt 21；对B 球：R cos α＝v 2t 2，R sin α＝12gt 2 2，解四式可得：v 1 v 2 ＝tan αtan α，C 项正确． 3、如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从 O 点水平飞出，经过3 s 落到斜坡上的A 点．已知O 点是斜坡 的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m ＝50 kg. 不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8；g 取10 m/s 2)．求： (1)A 点与O 点的距离L ； (2)运动员离开O 点时的速度大小；
第二轮重点突破(3)——平抛运动专题 连城一中林裕光 当物体初速度水平且仅受重力作用时的运动，被称为平抛运动。其轨迹为抛物线，性质为匀变速运动。平抛运动可分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动这两个分运动。广义地说，当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，做类平抛运动。 1、平抛运动基本规律 ①速度：， 合速度方向：tanθ= ②位移x=v o t y= 合位移大小：s= 方向：tanα= ③时间由y=得t=（由下落的高度y决定） ④竖直方向自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。 应用举例 （1）方格问题 A B C D E 【例1】平抛小球的闪光照片如图。已知方格边长a和闪光照相的频闪间隔T，求：v0、g、v c
（2）临界问题 典型例题是在排球运动中，为了使从某一位置和某一高度水平扣出的球既不触网、又不出界，扣球速度的取值范围应是多少？ 【例2】已知网高H，半场长L，扣球点高h，扣球点离网水平距离s、求：水平扣球速度v的取值范围。 【例3】如图所示，长斜面OA的倾角为θ，放在水平地面上，现从顶点O以速度v0平抛一小球，不计空气阻力，重力加速度为g，求小球在飞行过程中离斜面的最大距离s是多少？ O A （3）一个有用的推论 v0 v t v x v y h s α α s/ 平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。 证明：设时间t内物体的水平位移为s，竖直位移为h，则末速度的水平分量v x=v0=s/t，而竖直分量v y=2h/t，，所以有 θ
v0 v t v0 v y A O B D C 【例4】从倾角为θ=30°的斜面顶端以初动能E=6J向下坡方向平抛出一个小球，则小球落到斜面上时的动能E/为______J。 例题参考答案： 1、解析：水平方向：竖直方向： 先求C点的水平分速度v x和竖直分速度v y，再求合速度v C： 2、解：假设运动员用速度v max扣球时，球刚好不会出界，用速度v min扣球时，球刚好不触网，从图中数量关系可得： ； h H s L v 实际扣球速度应在这两个值之间。 3、解析：为计算简便，本题也可不用常规方法来处理，而是将速度和加速度分别沿垂直于斜面和平行于斜面方向进行分解。如图15，速度v0沿垂直斜面方向上的分量为v1=v0 sinθ，加速度g在垂直于斜面方向
[例1]在倾角为的斜面上的P点，以水平速度向斜面下方抛出一个物体，落在斜面上的Q点， 证明落在Q点物体速度。 解析：设物体由抛出点P运动到斜面上的Q点的位移是，所用时间为，则由“分解位移法” 可得，竖直方向上的位移为；水平方向上的位移为。 又根据运动学的规律可得 竖直方向上， 水平方向上 ， 所以Q点的速度 ?[例2]如图3所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度同时水平向左与水平向右抛出两个 小球A和B，两侧斜坡的倾角分别为和，小球均落在坡面上，若不计空气阻力，则A和B 两小球的运动时间之比为多少？ 图3 解析：和都是物体落在斜面上后，位移与水平方向的夹角，则运用分解位移的方法可以得到 所以有 同理 则 ?[例3]如图6所示，在倾角为的斜面上以速度水平抛出一小球，该斜面足够长，则从抛出开始计时，经过多长时间小球离开斜面的距离的达到最大，最大距离为多少？ 图6 解析：将平抛运动分解为沿斜面向下和垂直斜面向上的分运动，虽然分运动比较复杂一些，但易将物体离斜面距离达到最大的物理本质凸显出来。 取沿斜面向下为轴的正方向，垂直斜面向上为轴的正方向，如图6所示，在轴上，小球 做初速度为、加速度为的匀变速直线运动，所以有 ?① ?② 当时，小球在轴上运动到最高点，即小球离开斜面的距离达到最大。 由①式可得小球离开斜面的最大距离 当时，小球在轴上运动到最高点，它所用的时间就是小球从抛出运动到离开斜面最大 距离的时间。由②式可得小球运动的时间为
例4：在平直轨道上以20.5/m s 的加速度匀加速行驶的火车上，相继下落两个物体下落的高度都是 2.45m ．间隔时间为1s ．两物体落地点的间隔是2.6m ，则当第一个物体下落时火车的速度是多大？ （g 取210/m s ） 分析：如图所示．第一个物体下落以0v 的速度作平抛运动，水平位移0s ，火车加速到下落第二 个物体时，已行驶距离1s ．第二个物体以1v 的速度作平抛运动水平位移2s ．两物体落地点的间隔是 2.6m ． 解：由位置关系得1202.6s s s =+- 物体平抛运动的时间0.7t s '= = 由以上三式可得 例5：光滑斜面倾角为θ，长为L ，上端一小球沿斜面水平方向以速度0v 抛出（如图所示），小球 滑到底端时，水平方向位移多大？ 解：小球运动是合运动，小球在水平方向作匀速直线运动， 有 0s v t =① 沿斜面向下是做初速度为零的匀加速直线运动，有 212 L at =② 根据牛顿第二定律列方程 sin mg ma θ=③ 由①，②，③式解得s v v = 例6：某一物体以一定的初速度水平抛出，在某1s 内其速度方向与水平方向成37?变成53?，则此物 体初速度大小是________/m s ，此物体在1s 内下落的高度是________m （g 取210/m s ） 选题目的：考查平抛物体的运动知识的灵活运用． 解析：作出速度矢量图如图所示，其中1v ．2v 分别是ts 及(1)t s +时刻的瞬时速度．在这两个时 刻，物体在竖直方向的速度大小分别为gt 及(1)g t +，由矢量图可知： 由以上两式解得017.1/v m s =97 t s = 物体在这1s 内下落的高度 例7如图，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O 点水平飞出，经过3.0s 落到斜坡上的A 点．已知O 点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ=37°，运动员的质量m=50kg ．不计空气阻力．（取sin37°=0.60， cos37°=0.80；g 取10m/s 2）求：
斜面上的平抛运动问题 一、情景描述：如果物体是从斜面上平抛的，若以斜面为参考系，平抛运动有垂直（远离）斜面和 平行斜面两个方向的运动效果，如果题目要求讨论相对斜面的运动情况，如求解离斜面的最远距离等，往往沿垂直斜面和平行斜面两个方向进行分解，这种分解方法初速度、加速度都需要分解，难度较大，但解题过程会直观简便。 平抛运动中的“两个重要结论”是解题的关键，一是速度偏向角a二是位移偏向角3,画出平抛运动的示 意图，抓住这两个角之间的联系，即tan a= 2tan 3如果物体落到斜面上，则位移偏向角3和斜面倾角B相等, 此时由斜面的几何关系即可顺利解题。 推论I：做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻任一位置处, 方向与水平方向的夹角为幅贝U tan启2tan如 设其末速度方向与水平方向的夹角为0,位移 证明：如右图所示，由平抛运动规律得 V y gt tan 0= - = v-, V x V0 + 丄y o= 1gl!= gt an"= x o 2 v o t 2v o, 所以tan 0= 2tan（j）o 推论H：做平抛（或类平抛）运动的物体，任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中 证明：如右图所示，tan片yo x o y o tan 0= 2tan $= x o/2 即末状态速度方向的反向延长线与x轴的交点B必为此时水平位移的中点。 （1）在平抛运动过程中，位移矢量与速度矢量永远不会共线。 ⑵它们与水平方向的夹角关系为tan 0= 2tan札但不能误认为0= 2如 【典例精析】：如图所示，一物体自倾角为0的固定斜面顶端沿水 平方向抛出后落在斜面上, 物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角 满足（） A. tan 0= sin 0 C. tan 0= tan 0 B. tan 0 = cos0 D. tan 0= 2tan 0 ［解析］竖直速度与水平速度之比为：tan 0= V0，竖直位移与水平位移 之比为: tan 0= 2v o t ， 故tan 0= 2tan 0,D正确。（注意：只要落点在斜面上，该结论与初速度大小无关
动能定理和圆周运动相结合临界 例题1如图所示，小球用不可伸长的长为L的轻绳悬于O点,小球在最低点的速度必需为多大时,才能在竖直平面内做完整个圆周运动? （2）若所给的速度逐渐增大时，绳子在最高点时拉力变化？（3）最低点和最高点的拉力变化多少？ 拓展：若绳子改为杆 变式训练1-1如图所示，小球自斜面顶端A由静止滑下，在斜面底端B进入半径为R的圆形轨道，小球刚好能通过圆形轨道的最高点C，已知A、B两点间高度差为3R，试求整个过程中摩擦力对小球所做的功。 例题2如图，光滑的水平面AB与光滑的半圆形轨道相接触，直径BC竖直，圆轨道半径为R一个质量为m的物体放在A处，AB=2R，物体在水平恒力F的作用下由静止开始运动，当物体运动到B点时撤去水平外力之后，物体恰好从圆轨道的顶点C水平抛出，求水平力 变式训练2-1如果在上题中，物体不是恰好过C点，而是在C点平抛，落地点D点距B点的水平位移为4R，求水平力。 变式训练2-2如图上题，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A点由静止出发到B点时撤去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点C，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A，试求滑块在AB段运动过程中的加速度。
A H R O B D E 例题3如图所示，竖直平面内的3/4圆弧形光滑轨道半径为R，A端与圆心O等高，AD为水平面，B点在O的正上方，一个小球在A点正上方由静止释放，自由下落至A点进入圆轨道并恰能到达B点。求： ⑴释放点距A点的竖直高度； ⑵落点C与A点的水平距离。 例题4如图上题图所示，四分之三周长圆管的半径R=0.4m，管口B和圆心O在同一水平面上，D是圆管的最高点，其中半圆周BE段存在摩擦，BC和CE段动摩擦因数相同，ED段光滑；直径稍小于圆管内径、质量m=0.5kg的小球从距B正上方高H=2.5m处的A处自由下落，到达圆管最低点C时的速率为6m/s，并继续运动直到圆管的最高点D飞出，恰能再次进入圆管，假定小球再次进入圆管时不计碰撞能量损失，取重力加速度g=10m/s2，求 （1）小球飞离D点时的速度 （2）小球从B点到D点过程中克服摩擦所做的功 （3）小球再次进入圆管后，能否越过C点？请分析说明理由 变式训练4-1如图所示，质量为m的小球用不可伸长的细线悬于O点，细线长为L，在O点正下方P处有一钉子，将小球拉至与悬点等高的位置无初速释放，小球刚好绕P处的钉子作圆周运动。那么钉子到悬点的距离OP等于多少？若绳子最大拉力4mg时那么钉子到悬点的距离OP等于多少？ 变式训练4-2半径R=1m的1/4圆弧轨道下端与一水平轨道连接，水平轨道离地面高度h=1m，如图所示，有一质量m=1.0kg的小滑块自圆轨道最高点A由静止开始滑下，经过水平轨迹末端B时速度为4m/s，滑块最终落在地面上，试求: (1)不计空气阻力，滑块落在地面上时速度多大？ (2)滑块在轨道上滑行时克服摩擦力做功多少？ A C D B O
平抛运动与斜面相结合专题训练卷 一、选择题（题型注释） 1．小球以水平初速v 0抛出，飞行一段时间后，垂直撞在倾角为θ的斜面上，则可知小 球的飞行时间是（ ） A ．θcot 0g v B ．θtan 0g v C ．θsin 0g v D ．θcos 0g v 【答案】A 【解析】速度方向垂直斜面，则竖直方向的分速度与速度的夹角为θ，再利用三角函数求解 2．从倾角为θ的足够长的斜面上的M 点，以初速度v 0水平抛出一小球，不计空气阻力，落到斜面上的N 点，此时速度方向水平方向的夹角为α，经历时间为t 。下列各图中，能正确反映t 及tanα与v 0的关系的图象是（ ） 【答案】D 【解析】设此过程经历时间为t ，竖直位移y=221gt ，水平位移x=v 0t tanθ=x y 联立得t=g v θtan 20，得t ∝v 0，故图象AB 均错。 tanα=θtan 20==v gt v v x Y ，得tanα与v 0无关，为一恒量，故C 错，D 正确。 3．（求平抛物体的落点）如图，斜面上有a 、b 、c 、d 四个点，ab =bc =cd 。从a 点正上方的O 点以速度v 0水平抛出一个小球，它落在斜面上b 点。若小球从O 点以速度2v 0水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的（ ） A ．b 与c 之间某一点 B ．c 点 C ．c 与d 之间某一点 D ．d 点 【答案】A O a b c d
【解析】当水平速度变为2v0时，如果作过b点的直线be，小球将落在c的正下方的直线上一点，连接O点和e点的曲线，和斜面相交于bc间的一点，故A对。 4．如图所示，A、B两质点以相同水平速度在坐标原点O沿x轴正方向抛出，A在竖直平面运动，落地点为P1，B紧贴光滑的斜面运动，落地点为P2，P1和P2对应的x轴坐标分别为x1和x2,不计空气阻力，下列说确的是（） A.x1=x2 B.x1>x2 C.x1
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