专题10 概率与统计
【2020年】
1.（2020·新课标Ⅲ）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且
4
1
1i
i p
==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）
A. 14230.1,0.4p p p p ====
B. 14230.4,0.1p p p p ====
C. 14230.2,0.3p p p p ====
D. 14230.3,0.2p p p p ====
【答案】B 【解析】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+?++?=，
方差为()()()()2
2
2
2
21 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-?+-?+-?+-?=；
对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+?++?=，
方差为()()()()2
2
2
2
21 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-?+-?+-?+-?=；
对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+?++?=，
方差为()()()()2
2
2
2
21 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-?+-?+-?+-?=；
对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+?++?=，
方差为()()()()2
2
2
2
21 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-?+-?+-?+-?=.
因此，B 选项这一组的标准差最大。
2.（2020·山东卷）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A. 120种 B. 90种 C. 60种
D. 30种
【答案】C 【解析】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有1
6C ；
然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有2
5C ；最后剩下的3名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有12
6561060C C ?=?=种.
3.（2020·山东卷）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A. 62%
B. 56%
C. 46%
D. 42%
【答案】C 【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件
A B ?，则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，
所以()P A B ?=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-= 所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.
4.（2020·天津卷）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[
5.31,5.33),[5.33,5.35),
,[5.45,5.47],[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方
图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（ ） A. 10
B. 18
C. 20
D. 36
【答案】B
【解析】根据直方图，直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率为：
()6.25 5.000.020.225+?=，
则区间[)5.43,5.47内零件的个数为：800.22518?=. 5.（2020·天津卷）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为
1
2和13
．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．【答案】 (1).
16
(2). 2
3
【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23
，且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子概率为
111
236
?=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1)(1)233
-?-=，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23.
6.（2020·浙江卷）一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______；()E ξ=______． 【解析】因为0ξ=对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
所以1111
(0)4433
P ξ==
+?=，随机变量0,1,2ξ=，212111211(1)434324323P ξ==?+??+??=，111
(2)1333
P ξ==--=，
所以111
()0121333
E ξ=?+?+?=.
7.（2020·江苏卷）已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.
【答案】2【解析】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4∴4235620a a ++-++=，即2a =. 8.（2020·江苏卷）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.【答案】
1
9
【解析】根据题意可得基本事件数总为6636?=个.点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，
()2,3，()3,2共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为41
369
P =
=. 9.（2020·新课标Ⅱ）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.
【答案】36【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学∴先取2名同学看作一组，选法有：246C =现在可看成是3组同
学分配到3个小区，分法有：3
36A =根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636?=种
【2019年】
1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7
D ．0.8
【答案】C 【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷
100=0.7．故选C ． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）
A ．中位数
B ．平均数
C ．方差
D ．极差
【答案】A 【解析】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x <<<<<． 则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x 后剩余2348x x x x <<<<，中位数仍
为5x ，A 正确；②原始平均数1234891
()9
x x x x x x x =
<<<<<，后来平均数
23481
()7x x x x x '=
<<<，平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确； ③2222
111[()()()]9q S x x x x x x =-+-++-，
22222381
[()()()]7s x x x x x x '=-'+-'++-'，由②易知，C 不正确；
④原极差91x x =-，后来极差82x x =-，显然极差变小，D 不正确．故选A ． 3．【2019年高考浙江卷】设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是（ ）
则当a 在（0,1）内增大时， A ．()D X 增大
B ．()D X 减小
C ．()
D X 先增大后减小
D ．()D X 先减小后增大
【答案】D 【解析】方法1：由分布列得1()3
a
E X +=
， 则2222111111211
()(0)()(1)()333333926
a a a D X a a +++=-?+-?+-?=-+， 则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ． 方法2：则
2222
21(1)222213
()()()0[()]3399924
a a a a D X E X E X a +-+=-=++-==-+，
则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ．
4．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________． 【答案】
53【解析】由题意，该组数据的平均数为
6788910
86
+++++=， 所以该组数据的方差是
22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63
-+-+-+-+-+-=． 5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________． 【答案】0.98【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为
100.97200.98100.9939.2?+?+?=，其中高铁个数为10201040++=，所以该站所
有高铁平均正点率约为
39.2
0.9840
=． 6．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______________．
【答案】0.18【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是
30.60.50.520.108,???=前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,???=综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=
【2018年】
1．【2018·全国Ⅱ卷】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．
112 B ．114 C ．1
15
D ．
1
18
【答案】C 【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个， 随机选取两个不同的数，共有
种方法，
因为7231119131730+=+=+=，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故所求概率为
31
=4515
，故选C ． 2．【2018·全国Ⅰ卷】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是
A ．新农村建设后，种植收入减少
B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【答案】A 【解析】设新农村建设前的收入为M ，而新农村建设后的收入为2M ，则新农村建设前种植收入为0.6M ，而新农村建设后的种植收入为0.74M ，所以种植收入增加了，所以A 项不正确；新农村建设前其他收入为0.04M ，新农村建设后其他收入为0.1M ，故增加了一倍以上，所以B 项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M ，新农村建设后为0.6M ，所以增加了一倍，所以C 项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的
，所以超过了经济收入的一半，所以D 正确；故选A ．
3．【2018·全国Ⅲ卷】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，
(4)(6)P X P X =<=，则p =
A ．0.7
B ．0.6
C ．0.4
D ．0.3
【答案】B 【解析】∵()(1)D X np p =-，∴0.4p =或0.6p =，
4466
641010(4)C (1)(6)C (1)P X p p P X p p ==-<==-，
22(1)p p ∴-<，可知0.5p >，故0.6p =．故选B ．
4．【2018·浙江卷】设01p <<，随机变量ξ的分布列是
ξ 0 1 2 P
12
p
- 12
2
p 则当p 在（0，1）内增大时， A ．D （ξ）减小
B ．D （ξ）增大
C ．
D （ξ）先减小后增大 D ．D （ξ）先增大后减小 【答案】D 【解析】
，
，
，∴先增大后减小，故选D ．
5．【2018·全国Ⅰ卷】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则 A ．p 1=p 2 C ．p 2=p 3
【答案】A 【解析】设
，则有
，从而可以求得
的面积为，黑色部分的面积为
22221π()π()[π()]2222c b a S bc =?+?-?-2222221π()π44424c b a c b a bc +-=+-+=?+
1122bc bc =，其余部分的面积为2231π1π()2242
a a S bc bc =?-=-，所以有12S S =， 根据面积型几何概型的概率公式，可以得到
，故选A ．
6．【2018·江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为______________．
【答案】90【解析】由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为
，故平均数为
8989909191
905
++++=．
7．【2018·江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为______________．
【答案】3
10
【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为3
10
．
【2017年】
1．【2017·全国Ⅲ卷】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是
A ．月接待游客量逐月增加
B ．年接待游客量逐年增加
C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A 【解析】观察折线图，每年7月到8月折线图呈下降趋势，月接待游客量减少，选项A 说法错误；折线图整体呈现出增长的趋势，年接待游客量逐年增加，选项B 说法正确；每年的接待游客量7，8月份达到最高点，即各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，选项C 说法正确；每年1月至6月的月折线图平稳，月接待游客量波动性更小，7月至12月折线图不平稳，月接待游客量波动性大，选项D 说法正确．故选A ．
2．【2017·全国Ⅰ卷】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．
14 B ．π8 C ．12 D ．π
4
【答案】B
【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2
a ，圆的面积为2
π4
a ．由
图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半．由几何概型概率的
计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248
a a ?
=，故选B ． 3．【2017·山东卷】从分别标有1，2，???，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次
抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 A ．
518 B ．49
C ．5
9
D ．
7
9
【答案】C 【解析】标有1,2,
,9的9张卡片中，标奇数的有5张，标偶数的有4张，所以
抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是11
54
2C C 5989
=?，故选C ．
12．【2017·浙江卷】已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1–p i ，i =1，2．若0
1
2
，则 A ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ<2()D ξ B ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ>2()D ξ C ．1()E ξ>2()E ξ，1()D ξ<2()D ξ
D ．1()
E ξ>2()E ξ，1()D ξ>2()D ξ
【答案】A
【解析】∵1122(),()E p E p ξξ==，∴12()()E E ξξ<，
∵111222()(1),()(1)D p p D p p ξξ=-=-，∴121212()()()(1)0D D p p p p ξξ-=---<， 4．【2017·山东卷】为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关
关系，设其回归直线方程为???y
bx a =+．已知10
1
225i
i x
==∑，10
1
1600i i y ==∑，?4b
=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 A ．160 B ．163 C ．166
D ．170
【解析】由已知得22.5,160,x y ==则160422.570,a =-?=
当24x =时，?42470y
=?+166=，故选C ． 5．【2017·全国Ⅱ卷】一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX =______________．
【答案】1.96【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即~(100,0.02)X B ，由二项分布的期望公式可得(1)1000.020.98 1.96DX np p =-=??=．
6．【2017·江苏卷】记函数()f x =D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是______________．【答案】
5
9
【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是
3(2)5
5(4)9
--=--．
7．【2017·江苏卷】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取______________件． 【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取300
60181000
?=件，故答案为18． 【2016年】
1. 【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34
【答案】B 【解析】如图所示,画出时间轴：
8:208:107:507:408:308:007:30
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中,而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时,才能保证他等车的时间不超过10分钟根据几何概型,所求概率10101
402
P +=
=．故选B ． 2.【2016高考新课标3理数】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ?，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ?．下面叙述不正确的是（ ）
(A)各月的平均最低气温都在0C ?以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大 (C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均气温高于20C ?的月份有5个
【答案】D
【解析】由题图可知各月的平均最低气温都在0C 以上，A 正确；由题图可知七月的平均温差大于7.5C ，而一月的平均温差小于7.5C ，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由题图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ，基本相同，C 正确；由题图可知平均最高气温高于20℃的月份有3个，所以不正确．故选D ．
3.【2016高考山东理数】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ） （A ）56
（B ）60
（C ）120
（D ）140
【答案】D
【解析】由频率分布直方图知，自习时间不少于22.5小时为后三组，有
200(0.160.080.04) 2.5140?++?=（人），选D.
4.【2016高考新课标2理数】从区间[]
0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，
n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共
有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 （A ）
4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m
n
【答案】C 【解析】利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为
2
2
4S R m
S R n
π=
=
圆正方形
，所以4m
n
π=
.选C. 5.【2016年高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（） A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
【答案】C 【解析】若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑：且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑球.由于抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的，故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多，选B.
6.【2016高考江苏卷】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .
【答案】5.6【解析】点数小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为305
.366
=
7.【2016年高考四川理数】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 . 【答案】
3
2
【解析】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在1次试验中成功次数ξ的取值为0,1,2，其中
111(0),(1),(2),424
P P P ξξξ======
在1次试验中成功的概率为113
(1)424
P ξ≥=+=，
所以在2次试验中成功次数X 的概率为12313(1)C 448P X ==?=，239
(2)()416
P X ===，
则3
93128162
EX =?+?
=. 8.【2016高考新课标2理数】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．【答案】1和3
【解析】由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2.
9.【2016高考江苏卷】已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________. 【答案】0.1
【解析】这组数据的平均数为1(4.7 4.8 5.1 5.4 5.5) 5.15
++++=，
2222221
(4.7 5.1)(4.8 5.1)(5.1 5.1)(5.4 5.1)(5.5 5.1)0.15
S ??∴=-+-+-+-+-=??．10.【2016高考山东理数】在[1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y =kx 与圆2
2
(5)9
x y 相交”发生的概率为 . 【答案】3
4
【解析】直线y =kx 与圆2
2
(5)9x
y 相交,
需要满足圆心到直线的距离小于半径，即
d 3=
<，解得33
k 44-<<，而[1,1]k
，所以所求概率P =3
3
224=.
【2020年】
1.（2020·新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为
1
2
，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.
（1）记事件M 甲连胜四场，则()4
11216
P M ??== ???；
（2）记事件A 为甲输，事件B 为乙输，事件C 为丙输，则四局内结束比赛的概率为
()()()()4
11
424
P P ABAB P ACAC P BCBC P BABA ??'=+++=?= ???，
所以，需要进行第五场比赛的概率为314
P P '=-=
； （3）记事件A 为甲输，事件B 为乙输，事件C 为丙输，记事件M 甲赢，记事件N 丙赢， 则甲赢的基本事件包括：BCBC 、ABCBC 、ACBCB 、
BABCC 、BACBC 、BCACB 、BCABC 、BCBAC ，
所以，甲赢的概率为()45
11972232
P M ????=+?=
? ?????.由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的
概率相等，所以丙赢的概率为()97123216
P N =-?
=. 2.（2020·新课标Ⅱ）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得
20
160i i
x
==∑，201
1200i i y ==∑，202
1
)80i i x x =-=∑（，20
21
)9000i i y y =-=∑
（，20
1
))800i
i i
x y x y =--=∑
（（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）； （2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数r
))n
i
i
x y x y --∑
（（
=1.414.
（1）样区野生动物平均数为20111
1200602020
i i y ==?=∑， 地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000?= （2）样本(,)i i x y 的相关系数为
20
()()
0.94i
i
x x y y r --=
=
=≈∑
（3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样 先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.
3.（2020·新课标Ⅲ）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×
2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
附：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，
（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为
21625
0.43100
++=，等级
为2的概率为
510120.27100++=，等级为3的概率为678
0.21100
++=，等级为4的概率为
720
0.09100
++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为
100203003550045
350100
?+?+?=
（3）22?列联表如下：
()2
21003383722 5.820 3.84155457030
K ??-?=≈>???，
因此，有95％的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
4.（2020·北京卷）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）
（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为
2001
200+4003
=，该校女生支持方案一的概率为
3003
300+1004
=；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案
一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，
所以3人中恰有2人支持方案一概率为：2
1
21311313
()(1)()(1)3
4
33436
C -+-=
; （Ⅲ）01p p <
6.（2020·山东卷）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：
（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的22?列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？
附：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，
1）由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150
的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为
64
0.64100
=； （2）由所给数据，可得22?列联表为：
2SO
2.5PM
[]0,150
(]150,475
合计
[]0,75
64
16
80
(]75,115
10 10 20 合计
74
26
100
（3）根据22?列联表中的数据可得
222
()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -??-?==++++???3600
7.4844 6.635481
=≈>，
因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关. 【2019年】
1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代
表）．
【答案】（1）a =0.35，b =0.10；（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05，6.00．【解析】（1）由已知得0.70=a +0.20+0.15，故a =0.35．b =1–0.05–0.15–0.70=0.10． （2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．乙离子残留百分比的平均值的估计值为 3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．
2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束． （1）求P （X =2）；（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率．
【答案】（1）0.5；（2）0.1．【解析】（1）X =2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．
因此P （X =2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．（2）X =4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×
0.4]×0.5×0.4=0.1． 3．【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为
2
3
．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立． （1）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率． 【答案】（1）分布列见解析，()2E X =；（2）
20
243
． 【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为
23，故2~(3,)3X B ，从而3321()C ()(),0,1,2,333
k k k
P X k k -===． 所以，随机变量X 的分布列为
随机变量X 的数学期望()323
E X =?
=．
（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y ，
则2~(3,)3
Y B ，且{3,1}{2,0}M X Y X Y =====．由题意知事件{3,1}X Y ==与
{2,0}X Y ==互斥，且事件{3}X =与{1}Y =，事件{2}X =与{0}Y =均相互独立，
从而由（1）知
()({3,1}{2,0})P M P X Y X Y =====(3,1)(2,0)P X Y P X Y ===+== (3)(1)(2)(0)P X P Y P X P Y ===+==824120279927243
=
?+?=． 5．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,
,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，
最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，
11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,
,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，
(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,
,7)i =为等比数列；
(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．
【答案】（1）分布列见解析；（2）(i)证明见解析，(ii) 45 1
27
p =
，解释见解析． 【解析】X 的所有可能取值为1,0,1-．(1)(1)P X αβ=-=-，
(0)(1)(1)P X αβαβ==+--，(1)(1)P X αβ==-，
所以X 的分布列为