解：在x=()上，/=-1, m =0,
X=yy Y=0
（1）管的两端是自由的；
应力状态为，G.= o f = pH”, G 尸o, T 疽苛％：=0 」2=：[（。-弓）2+（。厂％）2+（%-%）2+6（1混似+1*）】
=:[2（pR 〃）2]= ! （pm ）2
6 J
。1 一
对于 Mises 屈服条件：二=贮=T ： ZZ > p = \/3-T s t/R
对于Tresca 屈服条件：=> P =
2T /R
第二章应力
例2如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为7,试写出边界条件。
(必)x=0* (-1)+(&)莉0 =冷 脆或(T) +(a v ).(=o o = 0 (Z )m=F (T J.V =0- 在斜边上 1= cosg m = -sina
o v cosa 一 T vr sina = 0
T rv cosa- o v sina = 0
第四章本构关系
例.一薄壁圆管，平均半径为R,壁厚为/,受内压"作用，讨论下列两种情 况：
（1） 管的两端是自由的； （2）
管的两端是封闭的；
分别使用Mises 和Tresca 屈服条件，讨论〃多大时管子开始屈服（规定 纯剪时两种屈服条件重合）
解：将Mises 和Tresca 中的材料常数4和人、都使用纯剪时的屈服极限表示， 并使得两
种屈
服条件重合，则有
Mises 屈服条件：J 2 = T s 2
■例题
1 0 稣］=o 3 -4 0 求在
1 I
-4
5 _
面上的法向正应力和切向剪应力
丁 =/qi+"gi+〃Si =^xl-^x0+-j=x(-4) =；一2扼 | 1
1 3
T 2=/^l2+/?/a 22+/ia 32=-xO--x3+-^xO = -- 1 | | 5V2 L
=—x(-4)——x()+- — x5 = —2+
m((r y )s +l(Tj s = Y
(3) y = -h
子=Jlf+T ；+穿一尻=—27+4 叫 2
/ = 0, ni = -1
'lx=0,Y=q
(贝),?0 + "(+1)= 0
奴),?(+i )+k)?o = o
町0 + "(-1)= 0 &(-1) + &)$?0 = 0
Tresca屈服条件：O）-G3=2T S
(2)管段的两端是封闭的;
应力状态为，(5=l)R/2t9 0Q=pR", o z=0 T“=L)=T&=0
J2= 7 F(a-o r)2+(a-a0)2+(a0-G.)2+6( c] + 节 + 讫)1=!; (pR心o 6 2
O|-o3= % = pR/t
对于Mises屈服条件：P = 2X s t/R
对于Trcsca屈服条件：p = 2tj/R
例.一种材料在二维主应力空间中进行试验，所得屈服时的应力状态为(q, 00=(3/, f),假定此材料为各向同性，与静水压力无关且拉压屈服应力相等。
(1)由上述条件推断在5-6空间中的各屈服点应力。
(2)证明Mises屈服条件在少一6空间中的曲线通过(a)中所有点。
■ ■
解：由于静水压力无关的条件得出屈服在以下各点会发生：
(。1，% Q5) = (3/, G 0)+(-3f, -3f, -30=(0, -2r f -3r) (’，a2, a3) = (3/, f, 0)+ (-/, -r)= (2/, 0, -/)
再由于各向同性的条件，很容易看出a-o2空间中的以下五个应力点也是屈服点
A2：(Op (5V G5) = (G 3f, 0)
B/ (G P G2,O3) = (-3f, -2/, 0)
B2：(Gp a2,G3) = (-2/, -3r, 0)
G：(Gp G2,G3) = (2r, 0)
C2：(G p G2,G3) = (-/, 2/, 0)
还有，由于拉压屈服应力相等，因而可得到o.-a.空间中的另外六个应力屈服点
A3： (Gp G2, A4： (O P a2, %) = (T, -3f, 0) B3： (0lf 02, S)= (3f, 2t, 0) B4： (a p % a3) = (2/f3t, 0) C3： (Op a2, a3) = (-2/, /, 0) C4： (Op %, a A) = (/, -2z, 0) 因此，根据这些点的数据，可以作出在。|一6空间中的屈服面。 容易证明Mises屈服条件莅+E —。死=苛=7〃通过以上所有屈服点 讨论：设已知三杆桁架如图1-18所示，三根杆的截面积都相同，并有尸=1。杆件是由弹塑性线性强化材料所制成的。在节点。受到竖向力p的作用，以奴V表示节点D的水平(向右为正)和竖直(向下为正)位移，相、据表示1杆、2杆平衡方程为： P = M + 2N2 cos 30° = (a, + V3CT2)几何关系为： Si =□，号=7 _ h ° V5 3 v 3 -2 4*4 本构方程为： 当CT > 0■、时,o =+ E](￡ - E s ) =&￡ + 贝(1 一 PyPvP 亳 P>Pz 1杆虽然进入塑性状态，但由于其 弹性解：当P 足够小时,三杆均处于群 性状态，应力与应变成比例. 3 3 由于 ￡2=-￡x 故 ^2=-^i P = 0 +V3o-2） =（T 1（i + ^-） 因为勺＞如所以。| ＞。2， 杆1最先到达塑性状态，当5 =。,时e =g 于是桁架开始出现塑性变形的载荷为 4 =贝（1+孚） P ］称为弹性极限载荷. 当旧=贝时，即￡2 =77 = R 时， 4 h 桁架全部进入塑性状态，对应的载荷为 旦=芯心+贝（1 -冬）+ 2贝cos30° =半+贝（1 +右-呈） 塑性解： 。1＞贝，。2＞贝，P ＞P 2 由基本方程可得 八=牛+（1 -呈）贝+构牛2 +（1 -呈用 旱净顷傍MR 导￥符 在P 由零逐渐增加（单调加载）的 / 过程中，桁架变形可以分为三个不 （X 同的阶段 \ / 弹性阶段 弹塑性阶段 塑性阶段 在弹塑性阶段, 余两杆仍处于弹性阶段，1杆的塑性变形受到 限制, 整个桁架的变形仍限制在弹性变形的量级，这个阶 段可称为约束的塑性变形 阶段.在塑性阶段，三杆 都进入塑性状态，桁架的变形大于弹性变形量 级. 一般说来， 所有的弹塑性结构在外力的作用 下，都会有这样三个变形的阶段. 例 一薄壁圆管同时受拉，扭和内压作用，有应力分量 J ，财 泊松比V = -,求： （1） 当应力分量之间保持勺=2。广3%比例从零开 始加 载，问J 多大时开始进入屈服？ （2） 开始屈服后，继续给以应力增量，满足d" 及da : =2Jcr^.求对应的企及"％值. 分别对M ises 和Trcsca 两种屈服条件进行分析. Mises ： 屈服准则为机=房+席-+ 3福-=0 （=2% =3&代入上式得到J = 备 屈服后，增量本构关系为： do, — dq = 万------- dA （ Z&* —那 d°?一歹d/ ds.= ---- p ---- dA(2^f —%) 必=普+以。 弹塑性解： 。1＞贝，（72 ＜CT S , P 〉R 由基本方程可得 P = E^+ 贝（1 一包）+ 2E E 2 cos 30° 由d7“ = 0?得打=京&.又屈服条件的微分形式为 (Zo K —j)ds + (2。?一久)d%+ 6r.dr ?=0 Q 将do, = 2d 。,代入，得dr R =—彳d”,代入dA 式子，得 do, 9 do_ dA = ---- =----------- 8Gr r/r 8J E CT . Tresca 因为 \2 7 +0 代入d&表达式，得 3d%」9 d% _ 39d% 街一花+斑云L 5久_仍方 <1弓=0 b- + % zy 一 七 假+ 2 7 、2 's-叫 I 2 J +福, %=° 所以，屈服准则为: 外+缶 。*3=— + 、 2 将其展开后得 I 2 / fl = 7 (T_ + Os ? + r^)2=。 」 1」 （虹= ------ ——+以（贝-即） E Ji =哄 + 以％ - 叫。二 + 硅一 B =。 => 尖=;。,时达到屈服. 斜=一+"孕） 燮微分，得 （贝一。冲:+ 0 -（y z ）〃缶 + = 0 必=穿+ 2以&=0 增量本构关系是 由前述类似步骤可以求得答案结果° 第五章弹塑性力学问题的提法 习题5-1用逆解法求解圆柱体的扭转问题 根据问题的对称性，位移应只是z 的函数 w=w （z ） 体积应变是 八（）u （）v （）w dw 6 = —+ —+ -r —=— ar dy az dz 代入平衡微分方程 (EG)并+ pg = O w =- B 代表刚度位移，应由位移边界条件确定 应力是 。广。广一左 pg(z+A) 。产-pg(z+A) T xy =T yz =T zx =^ 应用边界条件求待定常数 L=m=O, n=1 X = / =0 Z=g 边界条件是： - dz| z-o=Q 解得： A=q/pg 根据材料力学的方法，在圆拄体扭转时，截面上发生与半 径垂直且与点到圆心的距离成正比例的剪应力 T = aGr 这里。表示单位长度的扭转角.将丁向Ox 和0y 轴方向分解， 边界条件(侧面) X 、?= >* K ，= T zy n Zy = + 弓 T = -Tsin u = sin u x . n y 其中 cosO = -, sm6/ =— T ZV = rcos 0 = aGr cos 0 r r 假设其余的应力分量全为零，则 J = -aGy, r ZY =(xGx\ J=by= =0 j 上面的解在体力为零时，是满足平衡微分方程的. 现在校核是否满足边界条件. 在圆柱侧面上，有 , 八 X Y v = Z v =0 人 . y / = cos 。, m = sin 。, r r 考察困柱的两端，在左/处，/ = 0, tn = 0, 边界条件变为: X V = ^zx K, = T zy z v = 0 就是圆柱体扭装时的解 图6.7局部受均布载荷简支粱 根据题设条件，作用于Z=L 端面上的外力 及,K ，Z. 静力上等效于批矩0,而其具体分布情况是不清楚的，因此，对应力 分玷￡#,%>，，也只能从放松的意义上要求它们满足z=L 这一端的边界条件, 即：如果他们也薛力等效于扭矩M ,则应力分量 r.r = -ccGy. r zy = cxGx = 。 bx = %’ =。2. = T xy 事实上端面上的主矢投影为：jj T zx dxdy= -aG\\ydxdy= 0 j j r 2X dxdy= M^xdxdy= 0 端面上的主矩为： M=Jj (XT .V - yr z Jdxdy= oG^ (x 2 +)dxdy= oG., 第六章弹塑性平面问题 例6. 1设一简支梁的中部上、下两表面，在2。 范围内对称地作用均布载荷。（如图6. 7所示）。 如此梁的厚度为1个单位，不计体力， 试求其应力分量。 解：首先将载荷展开为富里叶级数，最普遍的情况下， 上部边界（y = t ）和下部边界（），=，）的载荷分别表示为 （/）尸.，=扁 + > 气 sin 丁 + 己 E N cos —- :t } ⑴ （/）,.『 =Go + LG"in 〒 +旗G.cos-^- 注意载荷实际作用服域为 广 % =0. =°， （一/<1<一"，。 ? 务=0d=F ， （-a 式中E°,G Q 表示糖个梁的均匀分布载荷，式⑴中的全部系数均 可用富里叶系数的公式求出。 ％ = 土 If//、 n7lx 1 =7J/(x)cos 丁么 如=]L0（x ）sm 丁么 "ha」 cha n t + a n tsha tl i a-ha」 sha fl t + a n tcha n t = C* =。 I E n shad + adcha t.t ■ \ ? I? 4? I* ? a；t sh2a n t + 2a n t 二2E；, a“shaj (9 ) 所以式(7)中的常数可全部确定，将式(9)代入式(7),即得相应的应力分量:，再加上式b =了=0. <7 =-幽中由均布载荷而产生的应力，即得梁总的应力分量计算式。如。，的表达式为如果在该梁上的分布载荷q 作用范困不断缩小，即随若这短段的缩小达到极限情况，就得到梁受两个相向集中压力的情形，这种情况下的应力沿X方向的分布曲线如图b所示，由该图可见，％随X 的增大而迅速衰减。这一计算实例，可以说明圣维南原理对此也是是.正确的。 由图6.7可知，所示载荷对称于)，轴，是尤的偶函数，故式(1)的展开式只含 汲余弦项，其中 耳=G = 土服⑴么=-鄂* =号⑶ 而系数&可由载荷展开式g(A) = ^E(i COS—(4) /I-I / 运用通常求富里叶系数的办法，两边乘以cos咛,并在区间[-/,/] 积分，有S , 、fi /、mnx f (I ? n7tx mnx .°('〃工〃) q(x)cos---- ar = > E… cos ------ cos ---- chr =〈 . J I I I [lE n, (m = n) 由此可得E枇=\ J：q(x) cos竺尹dx 由于w为任意整数，所以可换成〃，于是得E=；fH(x)cos掌么 同理也可得G；。 将q(x) = a代入上式可得 E n=G… =-—f° cos^^di =-—sin —a (5) ""I L 7 n/r I 由于常数E、q,E“、G“的存在，该向题可理解为上、下分别作用均布载荷侃=@=-罕，再加上后面的三角级数所表示的载荷。 于是，可以分别计算每一部分载荷所产生的应力，然后再楼加。 对于上、下面作用均布压缩载荷一十，相应的应力分最为 贝=残=0, ⑶而E… =-—sin—G… = -—Sindel n7T I n7t I 这些载荷所产生的应力分贵，可依据应力函数表达式求得，即 sh(—fi) = —shp y ch(-/J) = -ch。，则可得 qa 4g 白sin%。r/ f x .巳------------ Ns 心 [(shaj + ajch%f)ch%y l 兀七! n(sh2a? + 2aj) 一a n ysha n tsha n y]cosa n x
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