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2019-2020学年上海市七宝中学高一下学期期末数学试题解析

绝密★启用前

数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：________

一、单选题

1．已知数列{}n a 是等比数列，则下列数列中：①{}3

a ；②{}2n

a ；③12n a ??

????

，等比数

列的个数是（） A ．0个 B ．1个

C ．2个

D ．3个

答案：C

根据等比数列的定义可得①③中的数列为等比数列，从而可得正确的选项. 解：

设{}n a 的公比为q ，则3

31n n a q a -=，1

2112n n a q a -=，故{}

3n a 、12n a ??????均为等比数列. 取2n

n a =，2n a n b =，则312

12324,2

16,2256a a

a b b b ======，

此时

124,16b b b b ==，3212

b b b b ≠，故{

}

2n a 不是等比数列，故选：C. 点评：：

本题考查等比数列的判断，一般根据等比数列的定义去判断，本题属于基础题

. 2．在ABC 中，“tan tan A B >”是“sin sin A B >”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

答案：D

根据充分条件与必要条件概念，以及正弦定理与三角形的性质，即可判定出结果. 解：

在ABC 中，若6

A π

，23B π=

，则tan 3

A =，tan

B =满足tan tan A B >；

三角形中大边对大角，此时A B <，所以a b <，根据正弦定理得到sin sin A B <，所以由“tan tan A B >”不能推出“sin sin A B >”；

若sin sin A B >，根据正弦定理，得到a b >，根据三角形中大边对大角得A B >，若A 为钝角，则tan 0A <，不能推出tan tan A B >；

综上，“tan tan A B >”是“sin sin A B >”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 点评：：

本题主要考查充分条件和必要条件的概念，涉及正弦定理，属于基础题型. 3．在等差数列{}n a 中，n S 是n a 的前n 项和，满足200S <，210S >，则有限项数列

S a ，2

S a ，…，2020S a ，2121S a 中，最大项和最小项分别为（）

A ．2121S a ；

S a B ．2121S a ；

11S a C ．1100S a ；

11S a D ．1100S a ；20

S a

答案：C

先判断出10110,0a a ><，从而得到10S 最小，结合前者得到给定新数列中的最大项和最小项. 解：

因为{}n a 为等差数列，故()20101110S a a =+，211121S a =，故10110a a +<，11

0a >，故100a <，公差0d >，

10910S S S <<

<<，101120210,0S S S S <<<<>，

而121011210a a a a a <<

<<<<

<，

故10910S S S ->->>->，1120210,0S S S ->

>->>，

121011210,0a a a a a ->>>><<<

由不等式性质可得10122

122

100S S S S a a a a ----<

<<<<

----即

122

01S S S S a a a a <=<<<< 同理

201112

1112

200S S S a a a -->>>-

>，故20

11121112

0S S S

a a a <<<

<，而2021

2021212121

011S a S S a a a +<

==+<，

故11S a ，22

S a ，…，2020S a ，2121S a 中最大项和最小项分别为1100S a ；

11S a . 故选：C. 点评：：，

本题考查等差数列的性质、数列的最大项、最小项等，注意把数列的前n 和的符号转化为中间项的符号，另外注意不等式性质的正确使用，本题属于难题.

4．数列{}n a 满足11a =，110n n n n ka a a a +++-=，k 为常数，则下列说法中：①数列

{}n a 可能是常数列；②1k =时，1n a ??

????

为等差数列；③若31a a >，则(1,0)k ∈-；④

当0k >时，数列{}n a 递减，正确的个数是（） A ．1个 B ．2个

C ．3个

D ．4个

答案：D

根据题意，令0k =，即可判定{}n a 为常数列，即①正确；1k =时，原式可化为

111

1n n

a a +=+，进而可判断②正确；根据递推式求出3a ，由31a a >得出不等式求解，即可判定③正确；先求出4a ，归纳得到121

n n n a k k k --=++

++，由题中条件，得

到1n n a a +>，即可判定④正确. 解：

①由110n n n n ka a a a +++-=得1n

n n

a a k a +=+，当0k =时，*11,n a n N +=∈，因为11a =，

故{}n a 为常数列；故①正确；

②当1k =时，由110n n n n a a a a +++-=得

111

1n n a a +=+，所以111

1n n

a a 为常数；因

此数列1n a ??

????

为等差数列；故②正确；

③由110n n n n ka a a a +++-=得1n n n a a k a +=

+，因为11a =，所以21

1a k

=+，则

321

11111k a k k k k

+==+++

+，若31a a >，则21

11k k >++，解得(1,0)k ∈-；故③正确； ④由③得3432

311a a k a k k k =

=++++，归纳得1211

n n n a k k k --=++

++，故

121

1n n n

k k k a --=++++，

当0k >，有

1110n n

a a +>>，所以1n n a a +>，即{}n a 递减. 故①②③④都正确. 故选：D. 点评：：

本题主要考查由递推公式判定数列的相关结论，考查等差数列的概念，考查数列的增减性，涉及一元二次不等式的解法，属于常考题型.

二、填空题

5．计算|520|

lim 2n n n →∞-=________.

答案：52

利用|520|lim 2n n n →∞-=20

|5|

lim 2

n n →∞-及基本极限可得所求的极限值. 解：

|520|lim 2n n n →∞-=20

|5|lim 2

n n →∞-|50|5

22-==，故答案为：5

点评：：

本题考查极限的计算，注意利用基本极限如1lim 0n n

→∞=、1

lim 02n n →∞=等来帮助计算，本

题属于基础题.

6．已知等比数列{}n a 的公比为2q

，则

159

3711

a a a a a a ++=++________.

答案：

利用等比数列的性质可得所求的值. 解：

因为222

3175119,,a a q a a q a a q ===，

故

1592371111

a a a a a a q ++==++，故答案为：1

点评：：

一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）

m n m

a q a -=；（2）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；

（3）公比1q ≠时，则有n

n S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；

（4）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为n q .

7．用数学归纳法证明：()1

*111,1n n

a a a a a n N a

+-++++=≠∈-，在验证1n =时，等式左边为________. 答案：1a +

将1n =代入左边的式子，即可得出结果. 解：

当1n =时，等式左边为1a +. 故答案为：1a +. 点评：：

本题主要考查数学归纳法，属于基础题型.

8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，39S =，则4S =________. 答案：16

先设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题中条件，列出方程求出首项和公差，再由求和公式，即可得出结果. 解：

设等差数列{}n a 的公差为d ，因为24S =，39S =，

所以11

24339a d a d +=??+=?，解得112a d =??=?，

所以414641216S a d =+=+=. 故答案为：16. 点评：：

本题主要考查等差数列前n 项和的基本量运算，熟记公式即可，属于基础题型.

9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，cos()n a n π=，()

n N ∈，则2020S =________.

答案：0

根据题意，先确定数列{}n a 的周期，再由分组求和，即可得出结果. 解：

由cos()n a n π=得()()2cos 2cos n n a n n a πππ+=+==，所以数列{}n a 以2为周期，

又1cos 1a π==-，2cos 21a π==，所以()20201210100S a a =?+=. 故答案为：0. 点评：：

本题主要考查求数列的和，根据数列的周期性，以及分组求和的方法即可求解，属于基础题型. 10．方程1sin 4x =

在3,22ππ??

????上的解为x =________. 答案：1arcsin

π- 根据反三角函数的定义以及诱导公式可求得方程1sin 4x =在3,22ππ??

????

上的解.

解：

1arcsin 0,42π??∈ ???，则1arcsin ,42πππ??

-∈ ???

，且

111sin arcsin sin arcsin 444π???

?-== ? ????

?，

因此，方程1sin 4x =

在3,22ππ??????

上的解为1

arcsin 4=-x π. 故答案为：1

arcsin 4

π-. 点评：：

本题考查三角方程的解，考查反三角的应用，属于基础题. 11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，(

2,n S n n n N

λ=-++∈，若{}n

a 为递减数

列，则实数λ的取值范围是________. 答案：(2,)-+∞ 根据n S 求出1,1

23,2n n a n n λ+=?=?-+≥?

，再由数列是减数列，得到12a a >，进而可求出结果.

解：

因为数列{}n a 的前n 项和为n S ，(

2,n S n n n N

λ=-++∈，

所以()

()()()12

2121232n n n a S n n S n n n n λλ-??==-++---+-+=-+≥?

-，

又11121a S λλ==-++=+，

则1,1

23,2n n a n n λ+=?=?-+≥?

，

因为2n ≥时，数列{}n a 显然是减数列，

为使*n N ∈时，{}n a 为递减数列，只需12a a >，即11λ+>-，所以2λ>-. 故答案为：(2,)-+∞ 点评：：

本题主要考查由数列的增减性求参数，考查由数列的前n 项和求通项公式，属于常考题型.

12．已知()()2cos 2f x x ?=+，,22ππ???

∈- ???

，将()f x 的图像向右平移6π

个单位得到()g x 的图像，若()()0g x g x -+=，则?=________. 答案：6

先由题意，得到()2cos 23g x x π???

=-+

???

，再由函数奇偶性，根据题中条件，即可得出结果. 解：

将()()2cos 2f x x ?=+的图像向右平移6

个单位得到()g x 的图像，所以()2cos 23g x x π

???=-

+ ??

，又()()0g x g x -+=，所以()g x 为奇函数，因此只需3

k π

?π-

+，k Z ∈，则56

k π

?π=

+，k Z ∈，又,22ππ???

∈-

???

，所以6π?=-.

故答案为：6

-. 点评：：

本题主要考查由三角函数的奇偶性求参数，考查三角函数的平移原则，属于基础题型. 13．已知数列{}n a 中，11a =，11(1)n n a a n n

-=+

-，()*

2,n n N ≥∈，若n a a ≤对

任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是________. 答案：2a ≥

利用累加法求出{}n a 的通项，再利用通项求出n a 的范围，从而可求实数a 的取值范围. 解：

21111

1212a a a =+

=+-?， 322111

2323a a a =+=+-?，

()11111

11n n n a a a n n

n n --=+

=+---，

所以111-=-

n a a n 即1

2n a n

=-，其中2n ≥. 而1n a =也符合该式，从而1

2n a n

=-，1n ≥.

故12n a ≤<恒成立，故2a ≥.

故答案为：2a ≥. 点评：：

本题考查数列通项以及数列的有界性，注意根据递推关系的特征选择合适的求通项的方法，本题属于中档题. 14

，为数列{}n x 的几何平均数，若{}n a 是等比数列，512a -=，

它的前11项的几何平均数为52，若在前11项中抽去一项，剩下10项的几何平均数为42，则被抽去的项是第________项. 答案：11

设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意求出公比，得到11a ，再由题中条件，即可确定被抽取的项. 解：

设等比数列{}n a 的公比为

q ，由题意，52=，则15512312a a a a =，

根据等比数列的性质可得，()11

11655123

2a a a a a ==，解得5

62a =，

又5

12a -=，所以5106

2a q a =

=，则22q =，所以1052015

111222a a q -==?=，

又在前11项中抽去一项，剩下10项的几何平均数为42，所以剩下10项的乘积为

()10

44022=，

而1055

40123

22a a a a a ==，

所以被抽去的是第11项. 故答案为：11. 点评：：

本题主要考查等比数列的运算，熟记等比数列的性质即可，属于常考题型. 15．如图1，线段AB 的长度为1，在线段AB 上取两点C ，D ，使得1

AC DB AB ==

，以CD 为一边，在线段AB 上方作一个正六边形，然后去掉线段CD ，得图2中的图形；对图2中的最上方线段EF 作同样的操作，得图3中的图形；以此类推，能够得到以下一系列图形记第n 个图形（图1为第1个图形）中所有线段长的和为n S ，则

lim

→∞

=________.

答案：5

记第n个图形最上层部分边长为n a，则可得

n n

=，则可求出

S，从而可求出其

极限.

解：

记第n个图形最上层部分边长为n a，则11

a=，

依次类推可得

n n

=，

故

2321

111

14441444

222

n n n

S a a a

=++++=+?+?++?，

∴

lim15

→∞

=+=

故答案为：5.

点评：：

本题考查数列极限的计算以及归纳推理，注意无穷递缩等比数列{}n a的和为11

a q

，其

中q为公比且1

q<，本题属于基础题.

16．本学期我们学习了一种求抛物线2

y x与x轴和直线1

x=所围“曲边三角形”面

积的方法，即将区间[0,1]分割成n个小区间，求每个小区间上矩形的面积，再求和的

极限.类比上述方法，试求

22222222

2(1)2(21)2

lim2sin2sin2sin2sin cos cos cos cos 844448888

n n n n n n n n n n n n n πππππππππ

→∞

--??+++++++++= ???????

________.

答案：

先画出2

sin

y x

=的图象，再根据和式的几何意义可得所求的极限.

解：

211sin cos222y x x ==-+，关于1,42π??

???

中心对称，其在0,2π??????上的图象如图所示：

将区间0,

4??

????

π分为n 段，每段矩形面积为21111

1cos 2sin 424244k k n n n

n ππππ???

??-?+= ????

???，11k =，2，...，n ，将区间,42

ππ??

????

分为2n 段，每段矩形面积为 2222211

1cos2sin cos 42228282888k k k n n n n n n ππππππππ???????

--+=-= ? ?????????

，其中21k =，...，2n ，原式即求11cos222y x =-

+在0,2π??????

上与x 轴和2x π

=所围图形面积，

利用割补法易知面积为

1224

π?=. 故答案为：4

π.

三、解答题

17．已知函数()2

4sin cos 43cos f x x x x a =++的最大为2.

（1）求a 的值，并求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在[]0,π上的单调递增区间.

答案：（1）2a =--，最小正周期为π；（2）单调递增区间为0,12π??????和7,12ππ??

????

. （1）先根据二倍角公式和辅助角公式将原式化简整理，得到

()

4sin 23f x x a π?

?=++ ??

?，根据函数最值，即可求出a ，再由正弦函数的周期，

即可求出周期；

（2）先由正弦函数的单调递增区间列出不等式求解，得出函数的单调递增区间，再由给定区间，即可得出结果. 解：

（1）()2

4sin cos 2sin 2f x x x x a x x a =++=++

4sin 23x a π?

?=++ ??

?，

所以()4f x a ≤+，

因为函数2()4sin cos f x x x x a =++的最大为2，所以42a +=，

解得2a =--；所以()4sin 223f x x π??

- ??

，因此最小正周期为22T π

π==；（2）由2222

k x k π

ππ-

≤+

，k Z ∈得5,,1212x k k k Z ππππ??

∈-

+∈???

，所以()f x 的单调递增区间为5;,1212k k k Z ππππ?

-+∈???

，又[]0,x π∈，取0,1k =，

得()f x 在[]0,π上的单调递增区间为0,12π??????和7,12ππ??

????

. 点评：：

本题主要考查由正弦型函数的最值求参数，考查求正弦型函数的最小正周期，以及正弦型函数的单调区间，涉及二倍角公式以及辅助角公式，属于常考题型. 18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足

sin (2cos )0C c A -+=，

（1）求角A 的大小；

（2）若a =ABC sin sin B C +的值.

答案：（1）23

A π=

；（2.

(1)sin sin (2cos )0A C C A -+=，可得

cos 2A A -=，

即可求A 的大小；(2)由已知条件，根据三角形面积公式有4bc =，由余弦定理用b ，c 表示cos A 进而得到2216b c +=，即可得b c +，再由正弦定理即可求出sin sin B C +的值解：

（1sin sin (2cos )0A C C A -+=

而sin 0C ≠cos 2A A -=，sin 16A π?

-= ??

又(0,)A π∈ ∴6

A π

，故23

A π=

（2）由题意知：1

sin 2

ABC S bc A ?==

∴4bc =，而a =由余弦定理，22222201

cos 282

b c a b c A bc +-+-===-

故2216b c +=，又2

()2b c b c bc +=++

∴b c +==

∴

sin

sin sin ()

22b c A B C b c R R a +=+=+=?=

点评：：

本题考查了正余弦定理的应用，根据正弦定理的边角互化并结合辅助角公式求角的大小，应用三角形面积公式、余弦定理求两边的和，再由正弦定理角化边的应用求三角函数值

19．随着众多创新品牌的兴起，近年来，奶茶作为大众化饮品受到广泛欢迎. 2019年，小李投资50万元，准备在某三线城市开一家知名奶茶品牌的加盟店，已知第一年（2020年1月1日至2020年12月31日）的运营成本为12万元，加上维护和人工费用，每年的运营成本较上一年增加3万元，每年的年销售额为40万元.（年利润=年销售额-年运营成本，本题年份取正整数）

（1）求最多开店多少年能保持盈利（不考虑投资金）；

（2）记开店n 年的总利润为()f n （须考虑投资金），年平均利润为()

f n n

，小李打算在年平均利润达最大值的年份，用累计到当年年末总利润的1

对奶茶店进行装修以吸引更多顾客，求装修的费用？

答案：（1）最多开店10年能保持盈利；（2）装修费为18.25万元.

（1）由题意可知，每年的运营成本、运用利润成等差数列，设第n 年的年运营成本为n a ，年利润为n b ，求出当0n b >成立时的最大自然数n ；

（2）利用等差数列的前n 项和公式求出前n 年的总利润()f n 的表达式，得到年平均利润

()

f n n

，分析年平均利润取得最大值时n 的值，然后求出装修费用. 解：见解析

（1）设第n 年的年运营成本为n a ，年利润为n b ，则123(1)39n a n n =+-=+

则40(39)331n b n n =-+=-+，当3310n b n =-+>时，解得31

10.333

n <≈. 故最多开店10年能保持盈利（2）2(28331)359

()5050222

n n f n n n -+=

-=-+-，

()35059

f n n n n =--+，

当 5.8n =

≈时取得最大值，又*n N ∈，故当5n =时，

(5)125f =，当6n =时，(6)73

1266

f =>，故第6年年平均利润最大，装修费用为:1

(6)18.254

f =万元. 点评：：

本题考查数列的实际应用问题，考查数列的函数特性，难度一般.解答时，从题目条件得出实际问题数列的通项公式是关键. 20．已知数列{}n a 满足1a t =，11

1n n

a a +=+

，数列{}n a 可以是无穷数列，也可以是有

穷数列，如取1t =时，可得无穷数列：1，2，32，5

3，...；取12

t =-时，可得有穷数列：1

，1-，0. （1）若50a =，求t 的值；

（2）若12n a <<对任意2n ≥，*n N ∈恒成立.求实数t 的取值范围；（3）设数列{}n b 满足11b =-，()*11

n n b n N b +=

-∈，求证：t 取数列{}n b 中的任何一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a . 答案：（1）3

t =-

；（2）1t >；（3）证明见解析. （1）根据题意，得到111

n n a a +=

-，逐项计算，求出1a ，即可得出结果；

（2）根据()*

122,n a n n N <<≥∈，得出131122n n

a a +<=+<，因此只需212a <<即可，由题中条件，求出2a ，得出不等式求解，即可得出结果；（3）由题意，得到1

11n n b b +=+，设1k a t b ==，()

k N ∈，逐项计算，得出10k a +=，即可证明结论成立. 解：

（1）由111n n a a +=+

得111

n n a a +=-， ∴41101a ==--，311112

a ==---，212

1312

a ==---，1132513t a ===---；（2）若(

)

122,n a n n N

<<≥∈，则

1112n a <<，131

122n n

a a +<=+<，即112n a +<<，故只要212a <<即可，因为1a t =，所以21t a t +=，∴1

12t t

<，解得1t >；（3）由11

1n n b b +=

-得1

11n n b b +=+，设1k a t b ==，()*

k N ∈，则211

1k k

a b b -=+

321

1k k a b b --=+

=，121

11k a b b =+

==-，11101

k a +=+=-，故{}n a 有1k +项，为有穷数列.

即t 取数列{}n b 中的任何一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a . 点评：：

本题主要考查由递推公式求数列中的项，考查由数列不等式恒成立求参数的问题，考查有穷数列的证明，属于常考题型.

21．已知数列{}n a 的首项12a =，n S 为前n 项和，若数列{}n a 满足：对任意正整数n ，

k ，当n k >时，()2n k n k n k S S S S +-+=+总成立，则称数列{}n a 是“()D k 数列”.

（1）若{}n a 是公比为3的等比数列，试判断{}n a 是否为“(2)D 数列”，说明理由；（2）若{}n a 是公差为d 的等差数列，且是“(3)D 数列”，求实数d 的值；（3）若数列{}n a 既是“(2)D 数列”，又是“(3)D 数列”，求数列{}n a 的通项公式. 答案：（1）{}n a 不是“(2)D 数列”；答案见解析；（2）4d =；（3）(

42n a n n N =-∈.

（1）根据定义可判断{}n a 不是“(2)D 数列”.

（2）根据{}n a 为“(3)D 数列”可得()3332n n n S S S S +-+=+总成立，从而得到

213332n n a a S +--=，故可计算4d =.

（3）根据数列{}n a 是“(2)D 数列”和“(3)D 数列”可得3112n n n a a a +-++=和

4212n n n a a a +-++=，从而可得5个与{}n a 相关的子数列，通过它们的公差关系可得{}

n a 满足奇数项、偶数项为公差相同的等差数列，结合()51322S S S S +=+可得该公差及

2a ，从而可得{}n a 的通项.

解：

（1）12a =，3q =，∴31n

n S =-，

假设n S 是“(2)D 数列”，则有()222S 2n n n S S S +-+=+，

当3n =时，5

51312244S S +=-+=，而()(

)

3222313168S S +=?-+-=

()51322S S S S +≠+，故{}n a 不是“(2)D 数列”

（2）设2(1)2n a n d dn d =+-=+-，

因为{}n a 为“(3)D 数列”，故对任意3n >，()3332n n n S S S S +-+=+，则3332n n n n S S S S S +---+=，即()1231232n n n n n n a a a a a a S +++--++-++= ∴213332n n a a S +--=，即(222)3

922

d d ++?=?

，解得4d =

（3）由数列{}n a 是“(2)D 数列”，

对任意2n >，()()2223

11222n n n n n n S S S S S S S S +-+-+?+=+??+=+??①

②，②-①，3112n n n a a a +-++=

又{}n a 是“(3)D 数列”，对任意3n >，()()3334

21322n n n n n n S S S S S S S S +-+-+?+=+?

+=+??③④，④-③，4212n n n a a a +-++=，

由3112n n n a a a +-++=可得 ①13579,,,,,a a a a a 为等差数列，其公差为1d ； ②246810,,,,,

a a a a a 为等差数列，其公差为2d ；

由4212n n n a a a +-++=可得 ③1471013,,,,,a a a a a 为等差数列，其公差为1d '； ④2581114,,,,,a a a a a 为等差数列，其公差为2d '； ⑤3691215,,,,,

a a a a a 为等差数列，其公差为3d '；

由①得7113a a d -=，由②得10423a a d -=，而由③可得7110412a a a a d '-=-=，故12123

d d d '

. 设12d d d ==，则()2121n a n d -=+-，()221n a a n d =+- 在①中令3n =，()51322S S S S +=+，

即()()()()2222222222222a d a d d a d a ++++++++=+++++，整理得到：22a d =-. 由③得41132d a a d '-==

，故2322

d a d +-=，故28,6d a ==，故()()21218864212n a n n n -=+-=-=--，

()2618422n a n n =+-=?-，故()*42n a n n N =-∈.

点评：：

本题考查新定义背景下的与等差数列相关的数学问题，对于给定的数列是否满足新定义，只需按定义检验即可，对于若干子数列为等差数列，要证明整个数列为等差数列，需证明子数列的公差满足一定的条件且前若干项也满足一定的条件，本题属于困难题.

高一数学期中考试试题(有答案)

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2016-2017学年上海中学高一上期末考化学试卷

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【全国百强校】上海市七宝中学2019届高三上学期期中考试数学试题

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9. 若关于的不等式在上恒成立，则正实数的取值范围为________ 10. 已知常数，函数的图象经过点，．若，则______． 11. 已知函数，若，则的最大值是________ 12. 已知函数，如果函数恰有三个不同的零点，那么实数的取值范围是________ 二、单选题 13. “函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 14. 若函数的反函数为，则函数与的图象可能是 A．B．C．D． 15. 在△中，角、、所对的边分别为、、，给出四个命题：（1）若，则△为等腰三角形；（2）若，则△为直角三角形；（3）若，则△为等腰直角三角形；

（4）若，则△为正三角形；以上正确命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 16. 是定义在上的函数，且，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（）A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题 17. 已知锐角和钝角的终边分别与单位圆交于、两点，其中点坐标 . （1）求的值；（2）若，求点坐标. 18. 如图，某公园有三个警卫室、、有直道相连，千米，千米，千米. （1）保安甲沿从警卫室出发行至点处，此时，求的直线距离；（2）保安甲沿从警卫室出发前往警卫室，同时保安乙沿从警卫室出发前往警卫室，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过3千米，试问有多长时间两人不能通话？（精确到0.01小时） 19. 问题：正数、满足，求的最小值. 其中一种解法是：，当且仅当

2020上海中学高一下期中数学

微信号：JW2215874840或ross950715或Soulzbb 上海中学 2019-2020 学年高一下期中考试一、填空题（每空3分,共30分） 1.已知点A (2,-1)在角α的终边上,则sin α=__________. 2.函数sin(2)y x π=+的最小正周期是________. 3．一个扇形半径是2,圆心角的弧度数是2,则此扇形的面积是________. 4.已知函数[]()sin (0,)f x x x π=∈和函数1()tan 2 g x x = 的图像交于A 、B 、C 三点,则△ABC 的面积为________. 5.在平面直角坐标系xoy 中,角α与角β都以x 轴正半轴为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3 α= ,则cos()αβ-=__________.6.已知3sin()45x π-=,则sin 2x =__________.7.设(),0,x y π∈，且满足2222sin cos cos cos sin sin 1sin() x x x y x y x y -+-=+，则x y -=_____.8.我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”,用现代式子表示即为：在△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别是a 、b 、,c 则△ABC 的面积 S =.根据此公式，若cos (3)cos 0a B b c A ++=,且2222a b c +-=,则△ABC 的面积为_______. 9.若函数()2sin(2)1()6f x x a a R π=++-∈在区间0,2π?????? 上有两个不同的零点12,x x ,则12x x a +-的取值范围是__________. 10.已知函数sin ()cos m f ααα-=在(0,2 π上单调递减,则实数m 的取值范围是________.二、选择题（每题4分,共24分） 1.已知cos ,(1,1),(,)2k k πααπ=∈-∈,则sin()πα+=( ) A. C. D.1k -

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