3.3 多项式的代数定义与分析定义
多项式是大家所熟悉的内容，我们前面多次叙述有关内容，但是要对多项式进行严格论述，并不是件容易的事，实际上我们还没有给出多项式的严格定义.下面我们就给出它的严格定义.
3.3.1 多项式的代数定义
一般地说，x 2+y 2这个式子的意义是什么，通常中学生把符号x 和y 理解为代表数，比如可以把它理解为实数域上有次序的实数x 与y 的函数，这是一种多项式的“函数”观点，但是在代数学里，这样理解多项式是不恰当的.因为在代数学中有有限域，例如有只含2个元素}1,0{域的Z 2；对于Z 2上的多项式x 2+x ,从函数论的观点出发，就有.011000,0222=+=+≡+，x x 因为
对于代数分式多项式，如果从函数论的观点出发
1
1)1()(1)(--==x x x g x x x f 与 是两个不同的函数，因为它们的定义域不相同；但从代数观点出发).()(x g x f = 基于上述理由，我们从代数观点出发，给出多项式的严格定义.
定义3.11 设环R 是环S 的子环S R ?，S 中的元素b 称为环R 上的代数元，如果R
上存在不全为0的元素n a a a ,,,10 ，使得02210=++++n n b a b a b a a
如果b 不是R 上的代数元，则称b 为R 上的超越元.
简单地说，元素b 是R 上的代数元的充分必要条件是：b 是R 上的一个多项式的根；b 是R 上的超越元的充分必要条件是：b 不是R 上任意多项式的根.例如2是有理数环（域）上的代数元，因为2是x 2-2=0的根，而π就是有理数环上的超越元.因为π不是任何有理系数多项式的根.
定义3.12 设给定一环R ，环R 上的一个超越元（未定元）x 的多项式环R [x ]是指具有下面性质的环：
（1）R [x ]是含有R 为子环的环，即][x R R ?；
（2）][x R 含有x ,即][x R x ∈；
（3）][x R 是既含有x ,又含有R 的最小环；环][x R 中的元素称为R 上超越元x 的多项式.
R 上n 个超越元n x x x ,,21上的多项式环],,[21n x x x R 是指
]][,,[],,[12121n n n x x x x R x x x R -=
定理3.9 如果环R 含有单位1，则多项式环R [x ]是由形如
n n x a x a a ++10
的元素所组成（即通常理解的多项式环），而且每一个这种元素的表示方法是惟一的.
证明 由R [x ]的定义：（1）R [x ]是一个环，（2）][)3(],[x R R x R x ?∈.所以一切形如n n x a x a a ++10的元素均属于R ，[x ]即][10x R x a x a a n n ∈+++
反之，一切形如n n x a x a a ++10的元素之间加、减、乘运算，所得结果仍然是上述
形式的元素.所以所有形如上述的元素构成一个环，而且R 属于这个环.x 也属于这个环
（0,1201=====n a a a a 其余），所以一切形如n n x a x a a ++10的元素构成一个
包含x 和R 的最小环，即为R [x ].
最后，若R [x ]中元素a 有两种表示法：
n n n
n x b x b b b x a x a a a ++=++=1010
则 0)()()(1100=-++++-n n n x b a x b a b a
由于x 是超越元，所以n n b a b a b a ===,,,1100 .即a 表示惟一.
注意 这里要求R 含有1.否则上述定理不成立，因为当R 是偶数环时，R 不含有1，则一切形如
)(10x f x a x a a n n =++
（a i ∈R 为偶数集合）的元素就不构成R [x ],因为x 不属上述形式的元素.
对于一个多项式，当然要区分它是哪个环上的多项式，或者哪个域的多项式.另外，环上的多项式和域上的多项式有很大区别.
如果f (x )是域F 上的多项式，α∈F ，α是f (x )的根，即f (α)=0，则
x -α| f (x )
因为在域上多项式可作除法，得商和余式：
r
g f r x g x x f +-=+-=)()()()()()(ααααα 所以r =0,即 )()()(x g x x f α-=
如果f (x )是n 次多项式，则g (x )是n -1次多项式，所以有如下定理.
定理3.10 若f (x )是域F 上的n 次多项式，则f (x )在域F 中最多有n 个根.
由于若α∈F ，α是f (x )的根，则
)()()(x g x x f α-=
g (x )是n -1次多项式，可归纳证出f (x )最多有n 个根在F 中.
刚才我们说过环上的多项式与域上的多项式有本质区别，域上的多项式环是因式分解惟
一环，(x-α)是素元素；而环上的多项式环就不一定是因式分解惟一环，两个多项式相除也不一定必有商式和余式，例如
85)(,23)(2
+=++=x x g x x x f
这两个整系数多项式在Z [x ]中相除就不能得商式和余式.所以环上的n 次多项式不一定有n 个根（可能在环上没有根，也可能有无穷多个根）.例如，在剩余类环Z 8上，多项式 )5)(3()7)(1(12--=--=-x x x x x
又如在二阶方阵环中，x 2=0有无穷多根.其中
0=???
? ??0000 形如 α=???
? ??000α 的二阶方阵都是x 2=0的根，这里α为任意实数.
3.3.2 多项式的分析定义
现在再回到多项式函数论观点上来.我们知道，从函数论观点出发，两个多项式相等的充分必要条件是：它们在定义域上所有点的函数值都相等；而从代数观点出发，两个多项式相等的充分必要条件是它们相应的系数都相等（a i =b i ），这样，两个多项式是否相等就有两个定义.什么时候它们能一致呢？对此我们有以下定理.
定理3.11 如果域上含有无限多个不同的元素，则F [x ]上两个多项式f (x )与g (x )相等，从代数观点和函数论观点出发是一致的.
证明 设 n n x a x a a x f +++= 10)(
n n x b x b b x g +++= 10)(
若从代数观点出发f (x )= g (x ),则它们相应系数有以下关系：
),,1,0(,n i b a i i ==
显然它们在任意点的函数值也相同，即从函数论观点出发f (x )= g (x ).
反之，若从函数论观点出发f (x )= g (x )，则
n n n x b a x b a b a x g x f )()()()()(1100-++-+-=-
这时域F 中所有元素都是f (x )-g (x )的根.但是f (x )-g (x )是一个次数不超过n 的多项式，在F 中至多有n 个根，而前述f (x )-g (x )有无限多个根，这个矛盾说明必有),,2,1,0(,n i b a i i ==，即从代数观点有f (x )= g (x ).
例 如果域F 只含有p 个元素，求证从函数论的观点出发，域F 上的不同多项式只有有限个.
证 域F 上的任意一个多项式都是F 上的函数，如果我们能证明F 上的不同函数最多
有有限个，那么本题即证明.
设f (x )是域F 上的函数，},,{21p a a a F =.这时)(1a f 有p 种选择，)(2a f 也有p 种选择，…)(p a f 也有p 种选择.所以域F 上的不同函数共有p p 个，即f (x )只有有限个.
代数学基本定理表明，任意一复系数多项式的根仍然是复数，即复数域是代数封闭域，而实数域就不是代数封闭域，因为实系数多项式的根不一定是实数.所有的复数均可写为a +b i(a,b 为实数)的形式.如果我们用（a,b ）二维数组表示复数，（这里a,b 为实数），然后规定
),(),(),(d b c a d c b a ±±=±
),(),(),(bc ad bd ac d c b a +-=?
))(1),(1(
),(),(2222ad bc d c bd ac d c d c b a -+++=÷ 其中022≠+d c ，可知二维数组（a,b ）集合构成一个数域，且与复数域同构.
实际上复数域是二维数域，自然我们还想构成这样的数域，它的维数≥3，并把实数域作为它的子域，但这是不可能的.后来人们发现复数域可以扩张成四维数体，但是这种四维数的乘法是不可交换的，四维数是由一切形如
.dk cj bi a +++
的数所构成的.其中a,b,c,d 是任意实数；
.,,,,,,1,1,1222j ik i kj k ji j ki i jk k ij k j i -=-=-====-=-=-=
最后，我们不加证明给出一个定理.
定理3.12 (乌劳别涅斯定理)
实数域、复数域和四维数体是实数域上仅有的有限阶可除代数.
该定理结束了人们关于数的扩张研究，它的详细证明可参见库洛什著的《高等代数教程》第十一章.
练习3.3
1．求在剩余类环Z 8上的多项式012=-x 的根.
2．在环Z 8上的多项式因式分解是不是惟一的，如果不是惟一的，举例说明.