教学准备
1. 教学目标
1. 初步认识体积单位：立方厘米。
2. 能用立方厘米这一体积单位测量较小物品的体积
2. 教学重点/难点
1立方厘米的认识
3. 教学用具
教学课件
4. 标签
教学过程
一、新课导入：
1.比较下列物品的体积大小
⑴两个大小不一的木块，比较它们的大小？
⑵乒乓球与排球的比较
⑶两个大小不一的玻璃球的比较
⑷……
师：我们通过观察知道了红木块的体积比蓝木块的体积大，那么具体大了多少呢？今天我们要来学习体积单位
2.出示课题：立方厘米的认识
师：比较物品的轻重要用重量单位，比较物品的长短要用长度单位，比较物品表面的大小要用到面积单位，同样比较物品的体积要用到体积单位；常用的体积单位有，立方厘米、立方分米、立方米，今天我们一起来认识较小的体积单位“立方厘米”
二、新课探索
1．探究一：1立方厘米认识
⑴通过课件演示1立方厘米。
它是正方体吗？如何验证？
⑵请学生测量一下小正方体各棱长的长度？
这块白色积木是棱长为1厘米的正方体。
⑶棱长为1厘米的小正方体，它的体积就是1立方厘米，可以记作25px3。
板书：1立方厘米 25px3
⑷请学生感受一下1立方厘米的大小。
2．现在有没有办法知道红蓝两块小木块的体积是多少立方厘米？
媒体演示，将立体切割成整数个1立方厘米的小方块？
说出两块木块的体积各是多少立方厘米？
师：你是怎样算的？还可以怎样算？
3．探究二：2个1立方厘米
请学生用2个1立方厘米的正方体搭一搭。
它的体积有多大呢？还可以怎样搭一搭？
小结：无论哪种情况，这些立体图形的体积都是2平方厘米。
跟进练习：3个1立方厘米：
请学生用3个1立方厘米的正方体搭一搭。
它的体积有多大呢？可以怎样搭一搭？
用3个1立方厘米的正方体积木搭出多种形状不同的立体图形，它们的体积都是3立方厘米，也可以记作75px3。
过渡语：用相同个数的体积是1立方厘米的小正方体可以搭成形状不同的图形，但这些图形的体积是相同的。
三、课内练习
1.练习一：
⑴小胖用5～6块1立方厘米的正方体积木搭出如下立体图形，哪些立体图形
的体积是5立方厘米？哪些是6立方厘米？
⑵把12块的小正方体排一个长方体，有几种排法？
（3）展示、交流
（4 ）小结。
1.练习二
⑴下列长方体或正方体是用几个1立方厘米的正方体积木搭出的？体积是多少？（看不出有多少立方厘米）
⑵讨论交流，请学生说一说你是怎么想得？
课堂小结
四、本课小结
今天你学到了什么？有什么收获？
课后习题
五、课后作业：
找一找生活中接近1立方厘米、1立方分米、1立方米的物体
二倍角的三角函数 一.教学目标： 1.知识与技能 （1）能够由和角公式而导出倍角公式； （2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力； （3）能推导和理解半角公式； 4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力. 2.过程与方法 让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识. 3.情感态度价值观 通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力. 二.教学重、难点 重点:倍角公式的应用. 难点:公式的推导. 三.学法与教法 教法与学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 四.教学过程 （一）探究新知 1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式： 2、提出问题：公式中如果β=α，公式会变得如何？ 3、让学生板演得下述二倍角公式：
α-=-α=α-α=ααα=α2222sin 211cos 2sin cos 2cos cos sin 22sin ααα2tan 1tan 22tan -= [展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？ 注意：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：4α是8α的倍角. 2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次） 3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： 22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式今后常用. （二）[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充） 例1.（公式巩固性练习）求值： ①．sin22?30’cos22?30’=4 245sin 21=ο ②．=-π18 cos 22224cos =π ③．=π-π8cos 8sin 22 224cos -=π- ④．=ππππ12cos 24cos 48cos 48sin 8216sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin 4=π=ππ=πππ 例2.化简 ①．=π-ππ+π)12 5cos 125)(sin 125cos 125(sin 2365cos 125cos 125sin 22 =π-=π-π ②．=α-α2sin 2cos 44α=α-αα+αcos )2 sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222 ③．=α+-α-tan 11tan 11α=α -α2tan tan 1tan 22 ④．=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+ 例3、已知),2 (,135sin ππ∈α= α，求sin2α，cos2α，tan2α的值。 解：∵),2(,135sin ππ∈α=α ∴1312sin 1cos 2-=α--=α
《两角和与差的余弦公式》教学设计
《两角和与差的余弦公式》教学设计 一、教材地位和作用分析： 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。 二、教学目标： 1、知识目标： ①、使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式； ②、使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导； ③、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。 2、能力目标： ①、培养学生逆向思维的意识和习惯； ②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识； ③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标： ①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美； ②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。 三、教学重点和难点： 教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用。 教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用。 四、教学方法： 创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。给学生的思维
以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作用的和谐统一。 由此我决定采用以下的教学方法：创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。 学法指导： 1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。) 2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。
二倍角的正弦、余弦、正切 王业奇
α 1tan tan 二、提出问题：若β = α 让学生板演得下述二倍角公式：
一、例题： 例一、（公式巩固性练习）求值： 1．sin22 30’cos22 30’=4 2 45sin 21= 2．=-π 18 cos 22 224cos = π 3．=π -π8 cos 8sin 22 224cos - =π- 4．=ππππ12 cos 24cos 48 cos 48 sin 8 2 16sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin 4=π=ππ=πππ 例二、 1．5555(sin cos )(sin cos )12121212ππππ +- 2 25553 sin cos cos 121262 πππ=-=-=
2．=α-α2sin 2cos 44 α=α -αα+αcos )2 sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222 3． =α+-α-tan 11tan 11α=α -α 2tan tan 1tan 22 4．=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+ 例三、若tan = 3，求sin2 cos2 的值。 解：sin2 cos2 = 57 tan 11tan tan 2cos sin cos sin cos sin 22 22222=θ +-θ+θ=θ+θθ-θ+θ 例四、 条件甲：a =θ+sin 1，条件乙：a =θ +θ2 cos 2sin ， 那么甲是乙的什么条件？ 解：= θ+sin 1a =θ +θ2)2 cos 2(sin 即a =θ +θ|2 cos 2sin | 当 在第三象限时，甲 乙；当a > 0时，乙 甲 ∴甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件。 例五、（P43 例一） 已知),2 (,135sin ππ ∈α= α，求sin2，cos2，tan2的值。 解：∵),2 (,135sin ππ ∈α=α ∴1312 sin 1cos 2-=α--=α ∴sin2 = 2sin cos = 169 120 -
§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式（1）教案 珠海市田家炳中学：温世明 一、知识与技能 1. 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；理解化归思想在推导中的作用。 2. 能正确运用（顺向、逆向、变形运用）二倍角公式求值、化简、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力； 3.揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，并培养学生综合分析能力. 4.结合三角函数值域求函数值域问题。 二、过程与方法 1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识. 2.通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力；通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。 三、情感、态度与价值观 1.通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力. 2.引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质. 四、教学重、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 五、学法与教学用具 学法：研讨式教学，多媒体教学； 六、教学设想： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和（差）的正弦、余弦和正切公式， ()βαβαβαsin sin cos cos cos =±；()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±； ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan ±= ±． (二) 复习练习： （三）公式推导： 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可）， ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+= ()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢 ？
15.2 二倍角公式 教学案 【学习目标】 1.会推导二倍角的正弦、余弦公式 2.熟记二倍角的正弦、余弦公式及变形公式 3.能够正确应用公式进行简单的三角函数化简，求值等。 【学习重点】：熟记公式并灵活应用 【学习难点】：抓住公式的结构特点，凑配公式形式 【学习过程】: （一）课前检测 化简下列各式（做题前请写出本题可能用到的公式）（5分钟） 1、cos440 cos760-sin440cos140 2、2cos200-2sin200 （二）新知探究 二倍角公式： ____;__________2sin =α ______________________________________________2cos ===α； 由二倍角的正弦、余弦公式可得变形公式： .______________cos ____;__________sin 22==ααsin cos αα= 1cos2α+= ；1cos2α-= ；1sin2α+= ；1sin2α-= ； 1.若3sin ,(,)52 πααπ=∈，则sin2α= ；cos2α= ；tan2α= ； 2．sin22?30/cos22?30/=__________________; 3．22 cos 112π-=_________________; 4.8cos 2π 8sin 2π -=____________________; 小结：1.倍角公式的正用与逆用；2.理解“二倍角”的广义含义即两个角之间二
倍关系如24364824284 αααααααααααα与；与；与；与；与；与分别都是二倍角的关系 （三）能力提升 1、=-2sin 2cos 44 αα32，则cos α=( ) A. 32 B.－3 2 C.35 D.－35 2、已知180°＜2α＜270°，化简αα2sin 2cos 2-+=（ ） A 、-3cosα B 、3cos α C 、－3cos α D 、3sin α－3cos α 3、已知4sin(2),cos45απα-==则 4、已知4sin ,(8,12)85ααππ=-∈，求 sin ,cos ,tan 444ααα的值。 5、已知13cos()cos sin()sin ,( ,2)32παββαββαπ+++=∈，求cos(2)4πα+的值 6．已知5cos 13α=-，4cos 5β=，且(,)2παπ∈，(0,)2 πβ∈，求sin(2)αβ-的值。 小结：1.准确理解二倍角的广义含义；2.灵活与用公式；3.掌握统一角的思想。 （四） 学后反思与总结 本节课你学到了哪些知识？还有哪些困惑？你掌握了哪些题型及解决的方法？
二倍角公式教案 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】
二 倍角的正弦、余弦、正切公式 一、教学目标： 1.学会利用S (α+β) C (α+β) T (α+β)推导出sin2α,cos2α,tan2α. 知道各公式 间的内在联系，认识整个公式体系的生成过程，从而培养逻辑推理能力。 ２、记住并能正确运用二倍角公式进行求值、化简、证明；通过综合运用 公式，掌握基本方法，提高分析问题、解决问题的能力。 二、教学重难点： 二倍角的公式的推导及灵活应用，倍角的相对性 三、教学方法： 讨论式教学＋练习 五、教学过程 1 复习引入 前面我们学习了和(差)角公式，现在请一位同学们回答一下和角公式的内容： sin （α+β）= cos （α+β）= tan （α+β）= 计算三角函数值时，有些情况中，只用加或减不能满足要求，比如，角α，我们要求它的二倍，三倍，即2α，3α，等等，该如何求呢？今天我们就先来学习二倍角的相关公式。 2 公式推导 在上面的和角公式中，若令β=α，会得到怎样的结果呢？请同学们阅读课本132页——133页，并填写课本中的空白框。（让学生做5分钟） （1）提问： sin2α=sin （α+α）= sin αcos α+cos αsin α= 2sin αcos α cos2α=cos （α+α）= cos αcos α－sin αsin α= cos 2α－sin 2α tan2α= tan （α+α）= tanα+ tanα1－tanαtanα =2tanα1－tan 2α 整理得: sin2α=2sin αcos α cos2α= cos 2α-sin 2α tan2α= 2tanα1－tan 2α （2）提问：对于cos2α= cos 2α－ sin 2α，还有没有其他的形式？ 利用公式sin 2α + cos 2α=1变形可得： cos2α = cos 2α－sin 2α=cos 2α－（1－cos 2α）=2cos 2α－1 cos2α = cos 2α－sin 2α=（1－sin 2α ）－sin 2α =1－2sin 2α 因此：cos2α = cos 2α－sin 2α
二倍角的正弦、余弦、正切公式 一、教学目标： 1.学会利用S(α+β)C(α+β)T(α+β)推导出sin2α,cos2α,tan2α. 知道各公式 间的内在联系，认识整个公式体系的生成过程，从而培养逻辑推理能力。 ２、记住并能正确运用二倍角公式进行求值、化简、证明；通过综合运用公式，掌握基本方法，提高分析问题、解决问题的能力。 二、教学重难点： 二倍角的公式的推导及灵活应用，倍角的相对性 三、教学方法： 讨论式教学＋练习 五、教学过程 1 复习引入 前面我们学习了和(差)角公式，现在请一位同学们回答一下和角公式的内容：sin（α+β）= cos（α+β）= tan（α+β）= 计算三角函数值时，有些情况中，只用加或减不能满足要求，比如，角α，我们要求它的二倍，三倍，即2α，3α，等等，该如何求呢？今天我们就先来学 习二倍角的相关公式。 2 公式推导 在上面的和角公式中，若令β=α，会得到怎样的结果呢？请同学们阅读课 本132页——133页，并填写课本中的空白框。（让学生做5分钟） （1）提问： sin2α=sin（α+α）= sinαcosα+cosαsinα= 2sinαcosα cos2α=cos（α+α）= cosαcosα－sinαsinα= cos2α－sin2α tan2α= tan（α+α）= αα －αα =α －α 整理得: sin2α=2sinαcosα cos2α= cos2α-sin2α tan2α= α －α （2）提问：对于cos2α= cos2α－ sin2α，还有没有其他的形式？ 利用公式sin2α+ cos2α=1变形可得： cos2α= cos2α－sin2α=cos2α－（1－cos2α）=2cos2α－1 cos2α= cos2α－sin2α=（1－sin2α）－sin2α=1－2sin2α因此：cos2α = cos2α－sin2α =2cos2α－1 =1－2sin2α
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 一、教学目标 1．知识与技能 通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力. 2．过程与方法 通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用. 3．情感态度与价值观 通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神. 二、重点难点 教学重点：二倍角公式推导及其应用. 教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式。. 三、课时安排 1课时 四、教学设想 （一）复习式导入： 同学们首先回顾一下两角和与差的正弦、余弦和正切公式(在草
稿纸上写) cos(α＋β)＝______________________(C α＋β)； cos(α－β)＝______________________(C α－β)； sin(α＋β)＝______________________(S α＋β)； sin(α－β)＝_____________________(S α－β)； tan(α＋β)＝________________(T α＋β)； tan(α－β)＝________________(T α－β)． 你能利用两角和的公式推导出sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式吗？ （二）公式推导： 请同学们看课本P 132—P 133并填写空白，说明为什么？ （学生自己讨论，得出把上述公式中β看成α即可） ()sin2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=； ()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？ 22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-． ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα +=+==--． （上述公式成立的条件：2,22k k ππ απαπ≠+≠+）
【课题】1. 1两角和与差的正弦公式与余弦公式（二） 【教学目标】 知识目标： 掌握二倍角公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的计算和化简. 能力目标： 学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高. 【教学重点】 本节课的教学重点是二倍角公式. 【教学难点】 难点是公式的推导和运用. 【教学设计】 明确二倍角的概念.二倍角的实质是用一个角的三角函数表示这个角的二倍角的三角函 数?二倍角余弦公式的三种形式同等重要，要分析这三种公式各自的形式特点?例9中，要想利用正弦二倍角公式，必须首先求出余弦函数值. 求cos2时，使用的公式有利用同角三 角函数关系、利用cos和利用sin的三类公式可供选择?选用公式cos2 1 2sin2的 主要原因是考虑到sin是已知量?例10中，讨论一角的范围是因为利用同角三角函数关 2 系求sin —时需要开方?旨在让学生熟悉：只要具备二倍角关系，就可以使用公式?教材在2 求sin 时，利用了升幕公式，由讨论角的范围来决定开方取正号还是负号?虽然这里就 4 2 是实际上使用半角公式，但是教材与大纲中，都没有引入半角公式的要求，因此，不补充半 角公式，只作为二倍角余弦变形的应用来介绍?例11是三角证明题?证明的基本思路是将 角用半角来表示，再进行三角式的化简. 【教学备品】 教学课件. 【课时安排】 1课时.（45分钟） 【教学过程】
教学 过程 问题两角和的正弦公式内容是什么? 两角和的余弦公式内容是什么? 两角和的正切公式内容是什么? *动脑思考探索新知 在公式（1.3）中，令，可以得到二倍角的正弦公式sin2 sin cos cos sin 2sin cos . sin2 2sin cos (1.7) 公式 同理，公式（1.1 ）中，令 2 2 cos2 cos sin 因为sin2cos2 1 , cos2 cos2 还可以变形为 sin2 2 cos 在公式（1.5 ）中，令 tan2 2tan2 1 tan ，可以得到二倍角的余弦 (1.8) 所以公式（1.8）又可以变形为 2cos2 1 , 1 2si n2 1 cos2 2 1 cos2 2 ，可以得到二倍角的正切公式 (1.9) 公式（1.7 ）、（1.8）、（ 1.9）及其变形形式，反映出具有二 倍关系的角的三角函数之间的关系?在三角的计算中有着广泛 的应 用. *巩固知识典型例题 例9 已知sin cos2的值. 3 且为第二象限的角，求si n2 5 因为a为第二象限的角，所以 cos sin24 5 ， 教师学生 行为行为 课件 质疑 总结 归纳 仔细 分析 讲解 关键 词语 教学时 课件 思考 思考 理解 记忆 引领观察 讲解思考 说明 意图间 得■出 结果5 启发 引导 学生 发现 解决 问题 的方 法 注意 观察 学生 10
马鞍山中加双语学校数学组学引用清教学设计 学科： 数学 年级： 高一 授课时间： 一课时 主备人：朱坤坤 总课题 第三章 三角恒等变换 课时 1 课 题 3．1．3二倍角的正弦、余弦和正切公式 课型 新授课 教学目标 知识与技能： 会以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、 余弦和正切公式 理解推导过程，了解它们的内在联系，并能运用上述公式进行简单的恒等变换. 过程与方法： 引导学生积极参与到推导过程当中 情感态度价值观： 树立辩证思维的能力，培养学生创新能力。 教学重点 以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式 教学难点 二倍角的理解及其灵活运用 教 学 内 容 操作细则 一、引入新课及学习目标展示［3分钟］ 1. 引入新课：一、复习准备： 大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -． 2.学习目标展示［2分钟］ 1，会借助于两角和的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式 2，灵活运用二倍角公式进行简单的恒等变换. 二、自学指导［30分钟］ 我们已经知道两角和的正弦、余弦、正切公式 ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -． 导入部分： 激发学生学习兴趣，使学生对本节课要学内容有大概了解 使学生对本节课所学内容和要达到的目标有清晰的了解
“二倍角的正弦、余弦、正切”教学设计 设计理念：根据皮亚杰的认知发展理论，在个体从出生到成熟的发展过程中，智力发展可以分为具有不同的质的四个主要阶段：激活原有认知结构、构建新的认知结构、尝试新的认知结构、发展新的认知结构。发展的各个阶段顺序是一致的，前一阶段总是达到后一阶段的前提。阶段的发展不是间断性的跳跃，而是逐渐、持续的变化。皮亚杰的认知发展阶段论为发展性辅导中学生智力发展水平的评估和诊断，提供了重要的理论依据。 教学内容：《普通高中课程标准实验教科书（数学）》必修4（人教A版），第三章、第一节、第145－148页。 “二倍角的正弦、余弦、正切”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式，它既是两角和的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简和证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角公式的推导知道：二倍角公式的内涵是“揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律”，通过推导还让学生了解高中数学中由“一般”到“特殊”的化归数学思想，因此这节课也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。 教学目标：根据新课程标准的要求、本节教材的特点和学生对三角函数的认知特点，我们把本节课的教学目标确定为： 1、能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解它们的内在联系，从中体会数学的化归思想和数学规律的发现过程。 2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对二倍角公式的正用、逆用、变形使用，提高三角变形的能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。 3、通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新意识和数学情感，提高数学素养。 学情分析：我们的学生从认知角度上看，已经比较熟练的掌握了两角和与差的三角函数的基础上。从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。从能力上看，学生主动学习能力、探究的能力、较弱。
《倍角公式》教学设计 本节课主要内容是二倍角公式的推导及应用，主要是运用这节知识进行三角的求值、化简、及证明，同时能理解由特殊到一般的化归数学思想方法。 一．教学目标 （1）知识目标：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公示的推导，明确角的取值范围，能运用二倍角公式求三角函数值； （2）能力目标：通过公示的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力，培养学生观察分析问题的能力，寻找数学规律的能力，同时注意渗透由一般到特殊的化归的数学思想及问题转化的数学思想。 （3）德育目标：通过公示的推导，了解半角公式以及它们与和角公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点，培养学生认真参与、积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和及时解决问题的态度。 二．教学重点、难点 重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式2C 的两种变形； 难点是倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用。 三、教学方法 本节课采用观察、赋值启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动。通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得倍角公式，对于倍角公式的应用采取讲、练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固，同时设计问题，探究问题，深化对公式的记忆。 四．教学过程
《倍角公式》学情分析 学生初步具备分析问题解决问题的能力，但是计算应用方面还是有所欠缺。在对公式的认识上，学生很容易将倍角的概念就局限在α和α 2上，所以正确理解倍角的概念是个难点.因此针对学生的困难，有针对性的对“倍角”进行渗 透、加深，如4α是2α的二倍，1 2 α是 1 4 α的二倍，3α是 3 2 α的二倍等，使学生 能够熟悉多种形式的两个角的倍数关系。 《倍角公式》效果分析 在整个教学设计的实施过程中，以问题引导学生的思维活动.教学设计突出了对问题的设计，教学中，结合学生的思维发展变化不断追问，使学生对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高．同时给学生提供自主探究的机会，加强了引导学生通过自己的观察、操作等活动获得数学结论的过程.符合新课标倡导的积极主动、勇于探索的学习方式. 本节课的实施从整体上说是比较顺利的，教学目标基本达到．在教师的引导下，学生的思维活动展开的比较充分，在课堂上学生积极参与，积极探索，学习的热情较高，在对公式的理解，思想方法的体会，以及运算分析能力,逻辑推理能力的提高等方面都有较大的进步． 《倍角公式》教材分析 本节内容是三角恒等变换这一章的第二节倍角公式的第一课时，它是在学生学过三角函数的诱导公式和两角和与差的正弦、余弦、正切公式之后的又一重要公式，它为研究三角函数图象及性质等问题提供了又一必备的要素。因此它起着
§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式 一、教学目标[:] 以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ ++=-． 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可）， （二）公式推导： ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=； ()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-． ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+= =--．[:] 注意：2,22k k π π απαπ≠+≠+ ()k z ∈ （三）例题讲解
[人教 A 版教学设计] 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 广州市第三中学 数学科 刘窗洲 一、教学目标： 1、培养学生利用化归思想(指将一般化归为特殊)导出倍角公式，了解倍角公式与两 角和公式的内在联系并熟练倍角公式结构 。 2、领会重点与难点，包括倍角公式的形成和公式的变形(突出 2C α 的两种变形)并理 解 倍角 的 相对性 。 3、会利用倍角公式进行求值运算、化简，培养学生运算、分析和逻辑推理能力 。 二、重点与难点： 1、重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式 。 2、难点是倍角公式的形成 及 公式的变形 。 三、教学过程(师生互动): 1、公式的导出：(先与学生一起复习两角和的正弦、余弦、正切公式，以达到温故而 知新。) ☆ 复习回顾： sin()αβ+= cos()αβ+= tan()αβ+= 我们已经学习了和角公式，还掌握了和角公式与差角公式可以互相化归 。那么，如 何把和角公式化归为二倍角公式呢 ? 现在研究二倍角，线索是两角和的正弦、余弦、正 切公式，请同学们自己先试一试发现“二倍角” 与 “两角和” 的内在联系 。让学生领悟到： 2ααα=+ ☆ 举一例引导化归思想： sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+
sin(α+★)sin cos α=★cos sin α+★ ( ★ 表示任意角) 当 β 取特殊角 α 时，上述公式表示为: sin()sin cos cos sin αααααα+=+ 即： sin 22sin cos ααα= ，接着依此类推让学生自行动手体会由一般过渡到特殊 的化归思想 。 ☆ 双向沟通： (请把化归的结果填入下面的式中) sin 2α= 简记： 2()S α cos 2α= 简记： 2()C α tan 2α= (2k παπ≠ +且)()42 k k Z ππα≠+∈ 简记：2()T α 我们发现 22cos 2cos sin ααα=- 公式的右边既有 cos α 也有 sin α ，假设已知 sin α 的值，要求 cos 2α 的值，就必然要再求到 cos α 的值，然后再代入公式求解 。 如果每次都如此，则会变得工作重复，试问是否可通过公式变形用 cos α 或 sin α 来单 独表示 cos 2α 以达到公式简洁，从而避免重复工作，提高解题速度 。 利用 22sin cos 1αα+= ， 公式 2C α 还可以变形为： cos 2α= 或 cos 2α= ☆ 阶段小结：倍角公式与两角和公式的内在联系是：令 = (实现一般化 归为特殊) 。 上面这些公式都叫做倍角公式 。有了倍角公式，就可以用单角的三角函数表示二倍 角的三角函数 。让同学们自己填写公式，是为了使大家学会怎样去发现数学规律，并体 会化归(这里是将一般化归为特殊)这一基本数学思想所起的作用 。 2、公式的运用：
二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计 新郑一中高一数学组 韩耀芳 【学习目标】1能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2能熟练运用二倍角公式进行简单的求值、化简、恒等证明 【学习重点】二倍角的正弦、余弦、正切公式及二倍角余弦公式的两种变形. 【学习难点】倍角公式的正用，逆用及灵活地将公式变形应用。 一、 复习两角和的正弦、余弦、正切公式 （和学生一起复习两角和的正弦，余弦，正切公式，达到温故而知新） = +)sin(βα)(βα+S = +)cos(βα)(βα+C =+)tan(βα)(βα+T 二、 自主探究二倍角公式 我们已经学习了和角公式，还掌握了和角公式与差角公式可以互相化归 。那么，如何把和角公式化归为二倍角公式呢 ? 现在研究二倍角，线索是两角和的正弦、余弦、正切公式，请同学们自己先试一试发现“二倍角” 与 “两角和” 的内在联系 。让学生领悟到： ααα+=2 在公式)(βα+S ，)(βα+C ，)(βα+T 中，当βα=时，得到相应的一组公式： sin 2________________α= cos 2________________α=________________.________________.=??=? tan 2________________α=()的范围是角α ☆ 阶段小结：倍角公式与两角和公式的内在联系是：令βα= (实现一般化归为特殊) 。 教师板书二倍角公式，并让学生思考公式可以有哪些变形？并启发学生，注意公式结构中等号两边角度倍数的对比、系数的对比、幂次数的对比。 ★公式的变形 21sin 2_______________(_________).α±== 1cos 2_______;1cos 2_______.αα+=-=（升幂降角公式） 22sin _______.cos _______.αα?== （降幂升角公式） ★相对二倍角（突出二倍角的相对性） sin _________.α=)2(表示利用α.?? ? ??=表示利用233cos αα
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式片段教学设计 （人教A版本必修4第三章第一节） 教材的地位及作用： 1?本节容是三角函数中最基础的知识之一。它是在学生学过三角函数的诱导公式和两角和与差的正弦、余弦、正切公式之后的又一重要公式。 2?本节在本章中处于承上启下的地位。 3?三角函数是高考的热点问题，而二倍角的正弦、余弦、正切公式是三角函数求值、化简及证明必备的基础知识点之一。它为研究三角函数图象及性质等问题提供了乂一必备的要素。 本节教材的作用则主要是可以培养学生逻辑思维能力和化归的重要数学思想方法，使学生体验的数学知识发生发展（形成）的过程，增进学生对数学知识的理解，增强学生学数学的兴趣和信心。 教学目标： 1、知识目标：以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，掌 握二倍角公式，运用二倍角公式解决有关问题。 2、能力IJ标：培养学生观察分析问题的能力，寻找数学规律的能力，同时注意渗透山一般到特 殊的化归的数学思想及问题转化的数学思想。 3、德育口标：培养学生认真参与、积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和及时 解决问题的态度。 教学重点：二倍角公式推导及其应用. 教学难点：如何灵活应用和、差.倍角公式进行三角式化简.求值.证明恒等式. 教学方法和手段（1）釆用问题解决教学模式，培养学生不断地发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力； （2）注重类比、联想、构造、转化等数学方法在问题解决中的应用， （3）注重整体意识、换元思想、方程思想在解题中的灵活应用，特别注重对知识与方法的总结和提炼。 多媒体平台 教学流程： 复习引入，创设情境观察探究、推进新课引导探究、 深化认识=CA例题讲解、归纳步骤课堂练习、巩固提高 课堂小结、构建体系课后作业、深化拓展
二倍角的三角函数（第1课时） 一、学习目标 1．掌握从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式的过程，了解它们的内在联系；理解化归思想在推导中的作用． 2．掌握二倍角公式（正用、逆用及变形）在求值、化简、证明过程中的应用，提高学生的运算和逻辑推理能力． 3．强化学生的参与意识，领会从一般到特殊的数学思想，体会公式中所蕴含的简洁美、和谐美，激发学生学习数学的兴趣． 二、教学重难点 重点：二倍角公式及变形公式的推导 难点：二倍角公式及变形公式的灵活运用 三、学法指导 让学生通过图形和公式推导，从数和形两个方面自主的探究二倍角公式，激发学生的学习欲望和学习兴趣；通过练习反馈，找出学生对知识点的掌握情况及学生间的问题、差距． 四、学习过程 （一）、情景设计 前面我们学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，这些公式中的角α、β都带有一般的性质，我们说一般性中总蕴含着特殊性，比如角βα=时，公式中就只有α和α2的三角函数了，那么此时α的三角函数和α2的三角函数有什么样的关系呢，公式会显示出哪些简洁之美呢？ 这就是我们今天研究的课题。 关于这个课题我们可以从“数”和“形”两个方面去研究。现在大家就把教学案上的问题1到问题3讨论组织一下，过会我们请小组成员解决一下这几个问题。 （二）、学生活动 小组讨论3分钟，请两个小组代表回答 教师完善过程与结论 （三）、构建数学 1、观察函数x y sin =与函数x y 2sin =在图像上有什么样的关系？ x y sin = 纵坐标不变，横坐标变为原来的1/2 x y 2sin = 用解析式怎样表达出来呢？ 显然通过“形”---图像是无法给出函数x y sin =与函数x y 2sin =的解析式关系的。 那么从“数”的角度出发，即在两角和的正弦、余弦、正切公式中取一种特殊情况， 使得αβ=，你能得到你想要的关系式吗？哪个小组帮我们解决一下这个问题。 2、二倍角公式 αααcos sin 22sin = ααα22sin cos 2cos -=
［人教A版教学设计］ 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 一、教学目标： 1、培养学生利用化归思想（指将一般化归为特殊）导出倍角公式，了解倍角公式与两 角和公式的内在联系并熟练倍角公式结构。 2、领会重点与难点，包括倍角公式的形成和公式的变形（突出C2一.的两种变形）并理解倍角的相对性。 3、会利用倍角公式进行求值运算、化简，培养学生运算、分析和逻辑推理能力。 二、重点与难点： 1、重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式。 2、难点是倍角公式的形成及公式的变形。 三、教学过程（师生互动）： 1、公式的导出：（先与学生一起复习两角和的正弦、余弦、正切公式，以达到温故而知新。） ☆复习回顾：si n（、：. I'） = ____________________________ cos（：：￡亠卩）二 tan（:亠.）- 我们已经学习了和角公式，还掌握了和角公式与差角公式可以互相化归。那么，如何把和角公式化归为二倍角公式呢？现在研究二倍角，线索是两角和的正弦、余弦、正 切公式，请同学们自己先试一试发现“二倍角”与“两角和”的内在联系。让学生领 悟到：2〉- ■ ■■ ☆举一例引导化归思想： sin（二亠P） = sin ： cos，亠cos： sin :
sin （二■ ★ ） = sin : cos ★ cos ： sin ★ （ ★ 表示任意角） 当'■取特殊角 :-时，上述公式表示为:sin （j 二sin ： cos 二」cos ： sin : 即：sin 2〉=2sin cos 〉，接着依此类推让学生自行动手体会由一般过渡到特殊 的化归思想。 ☆ 双向沟通：（请把化归的结果填入下面的式中） sin 2：= 简记： 0.) cos 2:= 简记： GJ 仏) tan 2:= k ： （口式一+k 兀且J 丰一*——）（k^z ） 间 记： 2 4 2 我们发现 cos^ - cos 2 ＞ -sin 2_：i 公式的右边既有 cos 〉也有sin ，假设已知 sin 的值，要求 cos2＞的值，就必然要再求到 cos 〉的值，然后再代入公式求解 。 如果每次都如此，则会变得工作重复，试问是否可通过公式变形用 cos 〉或sin ＞来单 独表示cos2＞以达到公式简洁，从而避免重复工作，提高解题速度 。 利用 sin 2、￡、cos 2 ：? =1 ， 公式C 2还可以变形为： cos2:二 ______________________ 或 cos2二二 ________________________ ☆阶段小结：倍角公式与两角和公式的内在联系是：令 丄 _ （实现一般化 归为特殊）。 上面这些公式都叫做倍角公式 。有了倍角公式，就可以用单角的三角函数表示二倍 角的三角函数。让同学们自己填写公式，是为了使大家学会怎样去发现数学规律，并体 会化归（这里是将一般化归为特殊）这一基本数学思想所起的作用 。 2、公式的运用： ☆师生互动：教师在黑板上板书且同时启发学生注意公式结构中等号两边角度倍数 的对比、