催化氧化法的研究与应用
摘要：催化氧化法可加强生物法和一般化学法处理含有机物废水的处理效果, 目前己成为处理难降解有机废水的重要途径。本文主要介绍了催化湿式氧化法、光催化氧化技术等在有机废水中的研究及应用，以及催化剂的选择等，并对催化氧化的发展前景作了简要评述。
关键字：催化氧化，催化剂，污水处理
催化氧化过程主要有常温常压下的催化氧化和高温高压下的湿式催化氧化、光催化氧化等。通过催化途径产生氧化能力极强的?OH自由基，其氧化电位为2.80V，仅次于氟的2.87V，故它在降解废水时具有以下特点：①?OH是高级氧化过程的中间产物，作为引发剂诱发后面的链反应发生，对难降解的物质的开环、断键，将难污染的污染物变成低分子或易生物降解的物质特别适用；②?OH几乎无选择地与废水中的任何污染物反应，直接将其氧化为CO2、水或盐，不会产生二次污染；③它是一种物理-化学处理过程，很容易控制，以满足各种处理要求；
④反应条件温和，是一种高效节能的废水处理技术。
1、催化氧化法
近年来，以产生自由基为主体的高级氧化技术得到了较快地发展了，如湿式空气氧化法，过氧化氢氧化法，臭氧氧化法和超临界水氧化等。这种技术主要是利用产生的高活性自由基进攻大分子难降解有机物，与之反应并破坏其分子结构，使之降解成为小分子可生化降解有机物和二氧化碳、水等无机物，达到去除污染物的目的。但是由于单一氧化剂对有机物的氧化有较强的选择性，甚至对某些有机物根本就不起作用，而且为了达到一定的氧化效果，常需使用较大量的氧化剂，造成处理费用高而难于在实际中推广应用。催化氧化技术正是对高级氧化技术的改进和加强，利用催化剂的催化作用，加快氧化反应速度，提高氧化反应效率，防止设备腐蚀，降低成本。如催化湿式氧化技术、超临界催化氧化技术、光催化氧化技术以及新型高效催化氧化技术等处理效果显著的氧化技术。此方法引起了国内外环保工作者的广泛重视，尤其是近几年对这方面的研究十分活跃, 产生了大量的新工艺和专利技术。
1.1催化剂
催化氧化法是处理难降解有机废水的一项重要的新技术。在对化学氧化法的不断改进中,逐步发展出湿式催化氧化法、光催化氧化法、均相催化氧化法和多相催化氧化法。不同的氧化方法所用的催化剂不相同，有机化合物的种类和结构不同，催化剂与氧化剂之间存在匹配问题，因此对催化剂要进行筛选评价。催化剂一般分为光敏化半导体材料、过渡金属盐及其氧化物和复合氧化物四大类。在形态上可分为均相和非均相两种；从催化剂的组成又分贵金属和非贵金属两种。适于氧化反应的催化剂大多为过渡金属氧化物，因为过渡金属氧化物晶格中的氧很容易被引入或去除。目前应用于湿式氧化的催化剂主要包括过渡金属及其氧化物、复合氧化物和盐类。
2、湿式催化氧化技术
在湿式氧化（WAO）过程中,加入适宜的催化剂,可使反应在更温和、更短的时间内完成,因此近年来催化剂的研究已成为湿式催化氧化（CWAO）的一个研究热点,每年都有大量新型催化剂专利发表. 目前应用于CWAO中的催化剂主要包括过渡金属及其氧化物、复合氧化物和盐类,根据催化剂的状态可分为均相和非均相催化剂.
早期对CWAO催化剂研究最多的是均相催化剂. 根据文献报道, 村上等人对Cu、Co、Ni、Fe、Mn、V等几种可溶性盐催化剂进行研究,发现可溶性铜盐的催化效果最好. 秋常研二研究应用催化湿式氧化技术处理丙烯腈生产废水,对Cu、Zn、Fe、Cr、Ni、Co、Mo的催化活性进行研究,结果表明Cu 具有明显的催化作用. 均相催化剂虽然具有活性高、反应速度快等优点,但需进行后续处理,流程较复杂,易引起二次污染.
非均相催化剂是以固态形式存在,催化剂具有活性高、易分离、稳定性好等优点,因此非均相催化剂的研究受到了普遍关注. 非均相催化剂主要有贵金属系列、铜系列和稀土系列催化剂。
2.1 贵金属系列催化剂
在多相催化氧化中,贵金属对氧化反应具有高的活性和稳定性,已经被大量应用于石油化工和汽车尾气治理行业。为了使贵金属有较好的分散性并减少贵金属的用量,贵金属系列催化剂常采用浸渍法,将贵金属负载于高比表面积的载体(例
如:活性炭、SiO2 、Al2O3 、TiO2 、CeO2 、ZrO2 、NaY等)上. 大量的研究表明贵金属系列催化剂在CWAO处理废水中有较好的活性和稳定性. 例如Imamura 等对几种金属(Ru 、Rh 、Pt 、Ir、Pd 、Cu 、Mn)与载体( NaY沸石、γ- Al2 O3 、ZrO2 、TiO2 、CeO2 ) 制备的催化剂处理丙醇、丁酸、苯酚、乙酰胺、乙酸、甲酸等有机废水,发现Ru的催化活性最好, CeO2 是最佳的载体,而且RuPγ- Al2O3催化剂的TOC 降解率超过了Cu系均相催化剂. Okitsu等对不同的贵金属Pt、Pd、Ru、Rh、Ag等, 以Al2O3和TiO2为载体处理p-氯苯酸,实验发现Pt/Al2O3催化剂的降解效率最好,在150 ℃,反应30min ，TOC的降解率可达到90%。
2.2铜系列催化剂
与贵金属系列催化剂相比,铜系催化剂是较经济的催化剂，均相Cu系催化剂表现出了高活性,因此人们对非均相Cu系催化剂进行了大量的研究,例如：Fortuny 等以苯酚为目标物,分别用2%CoO、Fe2O3、MnO、ZnO 和10%CuO为催化剂的活性成分,以γ-Al2O3作为载体,制备出两种金属共负载型催化剂,在温度140℃、氧分压为0.9 MPa的高压反应器内反应8d，实验表明几种催化剂的降解效果都较好，其中ZnO-CuO/γ-Al2O3催化剂活性最好。在国内宾月景等对比Cu、Ce、Cd和Co-Bi四类催化剂降解染料中间体H-酸，其中Cu/Ce催化剂效果最好，在200℃3.0MPa氧分压下，pH为12，反应30min后，COD的降解率在90% 以上。谭亚军等在200～230 ℃，3.0MPa氧分压下，对染料中间体H-酸废水进行研究,发现Cu系催化剂的活性明显优于其他过渡金属氧化物，并讨论了它的稳定性。大量的研究表明非均相Cu系催化剂具有活性高和廉价等优点，但是存在着严重的溶出现象。
2.3 稀土系列催化剂
稀土元素在化学性质上表现出特殊的氧化还原性，而且稀土元素离子半径大，可以形成特殊结构的复合氧化物。在CWAO催化剂中CeO2是应用广泛的稀土氧化物。它的作用表现在以下几个方面：可提高贵金属的表面分散度；由于其出色的氧存储能力——富燃条件下释放氧，贫燃条件下吸收氧，可提高催化剂在工作条件下的活性；能够起到稳定晶型结构和阻止体积收缩的双重作用，可提高催化剂载体的机械强度。因此CeO2能改变催化剂的电子结构和表面性质，从
而提高了催化剂的活性和稳定性。Oliviero等以苯酚和丙烯酸为目标物。研究加入CeO2对Ru/C催化剂的活性是否有促进作用。实验发现CeO2的“储氧”作用促进了Ru/C催化剂的活性，并且Ru微粒与CeO2之间作用的多少对降解苯酚和丙烯酸效率有重要的影响。Imamura等用含Ce的氧化物催化剂降解NH3，发现Co/Ce和Mn/Ce催化剂降解NH3效果较好，而且Mn/Ce催化剂的活性优于均相Cu系催化剂。
2.4 CWAO处理实际废水中的应用
CWAO使反应条件降低,并提高了有机物的降解效率,在处理高浓度单一的有机污染物时有显著的效果，但是在处理实际废水时,由于实际废水的组成比较复杂，在国内外的研究有限。目前CWAO 主要应用处理的实际废水有：造纸黑液、染料废水和酒精蒸馏废水等。
3、光催化氧化技术
3.1 光催化氧化机理
关于光催化反应机理公认的观点是半导体电子－空穴理论(e-—h+)，迁移到半导体表面的电子和空穴以及进一步生成的各种活性物种参与物质的氧化和还原过程。光催化氧化还原以n 型半导体为催化剂，已经研究的n 型半导体包括: TiO2、ZnO、CdS、Fe2O3、SnO2、WO3、ZnS 等。TiO2由于化学性质和光化学性质均十分稳定，且无毒价廉，催化活性高、氧化能力强最为常用。半导体粒子与金属相比，能带是不连续的。半导体的能带结构通常是由一个充满电子的低能价带( Valent Band，VB) 和一个空的高能导带( Conduction Band，CB) 构成，价带和导带之间存在一个区域为禁带，区域的大小通常称为禁带宽度( Eg) 。当一个电子从价带激发到导带时，在导带上产生带负电的高活性电子(e-) ，在价带上留下带正电荷的空穴(h+ )，这样就形成电子－空穴对(e-－h+ )。一般半导体的Eg 小于3eV，TiO2的禁带宽度为 3.2eV，光催化所需相应入射光最大波长为387.5nm。当λ≤387.5nm 的光辐射照射TiO2时，处于价带的电子被激发跃迁到导带，生成高活性电子，在价带上产生带正电荷的空穴，即生成电子－空穴对，并在电场作用下分离并向粒子表面迁移。
光催化剂氧化还原机理主要包括催化剂受光照射，吸收光能，发生电子跃迁，生成电子－空穴对，对吸附于表面的污染物，直接进行氧化还原，或氧化表面吸
附的羟基(OH-) ，生成强氧化性的羟基自由基(?OH)将污染物氧化。生成的?OH 自由基能氧化大多数的有机污染物及部分无机污染物，将其最终降解为CO2、H2O和其他氧化产物等无害物质。而且?OH自由基对反应物几乎无选择性，因而在光催化氧化中起着决定性的作用。光生空穴有很强的得电子能力，可夺去吸附在半导体颗粒表面有机物和溶剂中的电子，使原本不吸收光的物质被活化氧化。一般认为，高活性的羟基自由基氧化是光催化氧化反应的主要机制。其他高活性自由基主要包括e-、h+、H2O 或O2-、HO2? 、H2O2等，在这些多种氧化性物质共存的反应体系中，由于催化剂的表面有大量的羟基存在，因此在液相条件下光催化反应主要通过羟基自由基反应降解有机污染物。光催化过程通过自由基链式反应，会生成一系列具有强烈氧化还原作用的自由基，其产生过程如下:
TiO2+ hν→TiO2 + e-+ h+(1)
O2 + e-→O2- (2)
H2O + h+ →·OH + H+(3)
OH- + h+→·OH (4)
·O2-+ H+ → HO2·(5)
HO2· + HO2·→H2O2 + O2 (6)
·O2- + HO2· + h+→ HO2 + O2 (7)
HO2- + H+→H2O2 (8)
H2O2 + e-→·OH + OH- (9)
H2O2 +·O2-→·OH + OH- + O2 (10)
H2O2+ hν→2·OH (11)
H2O2 → O2- + 2H+(12)
光催化氧化反应的机理已经形成共识，即半导体光催化剂在紫外光照射条件下，产生电子－空穴，吸附在光催化剂表面的氧俘获电子形成O2- ，继而生成?OH，而空穴则将吸附在催化剂表面的HO-和H2O氧化成?OH。这种羟基自由基的氧化能力很强，可以氧化大多数有机物，最终使它们转变为二氧化碳、水及无机盐等，使有机污染物无害化。
3.2 光催化氧化催化剂
光催化降解法利用光敏化半导体材料在具有一定能量的光照射下激发出电
子-空穴对，使吸附在半导体表面的DO，H2O(也包括H2O2和O3)迅速反应分解出活性基团(或称自由基)与同样吸附在半导体表面的有机物发生一系列的氧化还
原反应,最终产物为CO2 ,H2O等。此法的优点在于可以利用太阳光在常温常压下进行，且光敏半导体来源广泛、回收利用技术简单，从而得到重视，其在废水、饮用水的深度处理方面有许多报导。但是,存在处理效率不高的问题，主要原因可能是产生的电子- 空穴对易复合。
用于光催化氧化的催化剂(或称光敏化剂)，是硫族氧化物如WO3 ,TiO2 , ZnO 等N型半导体材料,其中TiO2性能最优。TiO2可以制成粉末状,作单一催化剂使用,也可负载于适宜的载体上，还可以在其表面负载少量的金属杂质,以提高催化活性。郭新章等人用TiO2、WO3对活性染料水溶液进行光催化降解,结果表明，TiO2对活性艳蓝X-BR染料的降解能力比WO3强陈梅兰等人以TiO2(锐钛型)光催化降解有机溴杀虫剂，3h内,杀虫剂降解率达7315%；Yin Zhang等人将TiO2负载在硅胶、玻璃纤维等上光降解三氯乙烷，发现TiO2/硅胶效果最佳；谭湘萍等人比较了新型载银TiO2和单一TiO2催化剂降解印染废水，发现载银TiO2效果明显好于单一TiO2催化剂，COD去除率大幅提高;岳林海等人用掺杂体系Ag/ZnO降解甲基对硫磷水溶液，发现有氧存在下,经UV照射降解是有效的。光催化剂从单相催化剂到复合剂使催化效果得到较大提高，但是存在电子-空穴对的复合，光量子效率一般不高，并且光催化反应效率易受溶液中的溶解氧、无机电解质的影响，制约了光催化氧化的推广应用。
3.3 光催化氧化在水处理中的应用研究
目前，许多研究者致力于光催化氧化技术降解持久性难降解有机污染物的研究，对影响光催化氧化效率的因素、动力学特征、降解机理，反应历程以及环境中混合有机污染物光催化氧化的综合作用机制等做了大量研究。
4、结语
催化氧化法可加速有机物与氧化剂之间的化学反应，降解过程中又可产生氧化性更强的基团,在某些难降解有机废水处理中具有很高的处理效率, 同时可进一步优化废水处理技术的组合应用。随着研究的不断深入，催化氧化法将是一种非常有竞争力的难降解有机废水处理新技术。
催化氧化法通过各种途径使一般化学氧化法的氧化效果加强。它通过催化剂
对氧化剂的分解起作用，促进氧化剂发生链式反应而产生具有高度化学活性的游离基或离子，使有机物氧化分解。其氧化效率高，分解速度快，成为一种新型高效的水处理技术。目前，催化氧化法的研究核心是寻找性能优良、具有广谱催化作用的催化剂，提高催化剂的催化效果，减少催化剂的损耗及中毒现象,使其能在工业废水处理中更好地发挥作用。催化氧化法引起了国内外环保工作者的广泛重视。现在对此项技术的研究多停留在实验室阶段,实际应用少，但由于其所具有的无可比拟的优点，应用前景十分广阔。随着催化氧化法应用性研究的日益深入，必将会给废水处理领域带来新的生机。
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《数学归纳法及其应用举例》教案 中卫市第一中学 俞清华 教学目标： 1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。 2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。 3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观 和勇于探索的科学精神。 教学重点： 了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。 教学难点： 数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。 教学过程： 一．创设情境，回顾引入 师：本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》（板书）。首先给大家讲一个故事：从前有 一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了。过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖。结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？ 生：因为有姓“万”的。 师：对！有姓“万”的。员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”。通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？ 生：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的。） 师：其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程。那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？ 生：有。例如等差数列通项公式的推导。 师：很好。我们是由等差数列前几项满足的规律：d a a 011+=，d a a +=12，d a a 213+=，d a a 314+=，……归纳出了它的通项公式的。其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？ 生：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。特点：特殊→一般。 师：对。（投影展示有关定义） 像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。根据推理过程中考察的 对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又 叫做枚举法。那么，用完全归纳法得出的结论可靠吗？ 生：（齐答）可靠。 师：用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢？为什么？
案例研究法探析 摘要：案例研究法是社会科学研究中广泛使用的一种研究方法。本文对国内外学者有关案例研究的主要观点进行了比较系统的梳理，对案例研究法这一研究工具及其在学术研究中应当注意的技术规范进行了较为系统的评述。 关键词：案例研究；案例研究设计；案例研究规范 案例研究是社会科学研究中广泛使用的一种研究方法，迄今为止，这种研究方法已经得到社会学、人类学(包括民族学)、教育学、政治学以及公共管理等学科研究者的认可并且被运用到特定问题的研究之中。然而，究竟什么是规范的案例研究，国内外学者有不同的理解。那么，如何定义案例研究法？怎样确定案例研究法的适用范围？案例研究设计中有哪些规范性要求？这是一些需要从理论上厘清的基础性问题。 一、案例研究的概念 （一）案例研究的定义 尽管案例研究法在社会科学研究领域被广泛应用，但如何界定案例研究法的定义，国内外学者在众多有关社会科学研究方法著作的论述中并没有形成一致的看法。对案例研究法的界定有以下几种主要观点： 美国社会科学家德尔伯特· C·米勒和内尔· J ·萨尔金德在《研究设计与社会测量导引》一书中对西方社会科学研究中对案例研究法的主要观点进行了综述，他们指出：尽管文化共享群体或具体的个人会被视为一个个案，但是定性研究中的个案研究法不那么关注群体的模式，而更在乎对一个过程、事件或行动的深度描述。有人认为个案只是研究对象( Stake,1995年)，也有人认为它是一种研究方法( Merriam, 1988年) 。只不过这两种观点都认为个案研究是通过在多种信息来源和丰富的背景中收集深入、详细的资料, 对一个或多个个案进行历时性的探讨。 美籍华人学者应国瑞( Robert K. Yin)是案例研究法理论探讨和建构方面有突出影响的学者，他对案例研究有过如下的一些看法：首先，案例研究定义的核心精神在于其研究的范围：案例研究是一种实证研究，它在不脱离现实生活环境的情况下研究当前正在进行的现象；待研究的现象与其所处环境背景之间的界限并不十分明显。案例研究法处理有待研究的变量比数据点还要多的特殊情况，所
案例研究法 1．个案研究法的含义 教育研究从研究对象的数量上可分为个案研究和成组研究。研究者可以对一个或少数几个对象进行个案研究，也可以把一组或许多被试当作一个组群进行研究。例如，教育调查和教育实验都属于成组研究。在教育统计学上，30个被试以下属于小样本组，30个被试以上属于大样本组。成组研究取样较多，可以作统计处理。所以成组研究的科学性比较大，代表性也强，但成组研究不便于作个别深入研究。在教育研究中，有时需要对个别对象进行全面深入的考察，而不需要大面积的成组研究。这时，个案研究便是常用的一种方法。 个案研究法就是对单一的研究对象进行深人而具体研究的方法。个案研究的对象可以是个人，也可以是个别团体或机构。前者如对一个或少数几个优生或差生进行个案分析，后者如对某先进班级或学校进行个案研究。个案研究一般对研究对象的一些典型特征作全面、深入的考察和分析，也就是所谓“解剖麻雀”的方法。同时个案研究不仅停留在对个案的研究和认识的水平上，而且需要认识教育与发展之间的因果关系，提出一些积极的教育对策，以便因材施教。 2．个案研究法的特点 (1)研究对象的个别性与典型性个案研究的对象是个别
的，但不是完全孤立的个别而是与其他个体相联系的，是某一个整体中的个别。因而对这些个别对象的研究必然在一定程度上反映其他个体和整体的某些特征和规律。个案研究的目的固然是了解把握某个个体的具体情况，但也要通过一个个案的研究，揭示出一般规律。例如瑞士著名的儿童心理学家皮亚杰通过对少数儿童的个别谈话法，揭示出儿童心理发展的普遍规律。当然，我们需要正确处理好个别与一般的关系。个别虽可以反映某些一般的特征，但个别毕竟不等于一般。个案研究取样较少，其研究的结论代表性也就较小，因此不宜机械地推广到一般中去，需要谨慎地思考和分析，以免犯以个别代替一般的错误。此外，作为个案研究对象的个别，应该具有与众不同的典型特征，不具有典型性的个别，显然没有多少研究价值。 一般来说，作为个案研究对象的个别应该具有以下三个显著特征: 第一，在某方面是否有显著的行为表现； 第二，与这方面有关的某些测量评价指标是否与众不同； 第三，教师、家长等主要关系人是否都有类似的印象和评价。 比如对某学生创造能力发展的个案研究，可以看一下他是否经常有些小发明、小创造、小制作；在创造力测验上的
数学归纳法及其应用举例 【本章学习目标】 人们在研究数量的变化时，常常会遇到有确定变化趋势的无限变化过程，这种无限变化过程就是极限的概念与思想，极限是人们研究许多问题的工具。以刘微的“割圆术”为例，圆内接正n 边形的边数无限增加时，正n 边形的周长P n 无限趋近于圆周长2πR 。这里的是个有限多项的数列，人们可以从这个有限多项的数列来探索无穷数列的变化趋势。不论n 取多么大的整数，n P 都是相应的圆周长的近似值，但是我们可以从这些近似值的精确度的无限提高中（限n 无限增大）找出圆周长的精确值2πR 。随着n 的增加，n P 在变化，这可以认为是量变（即只要n 是有限数，n P 都是圆内接正多边形的周长）；但是我们可以从这些量变中来发现圆周长。一旦得出2πR ，就是质的变化（即不再是正多边形的周长）。这种从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的思想就是极限的思想。 本章重点内容是： （1）数学归纳法及其应用。 （2）研究性课题：杨辉三角。 （3）数列的极限。 （4）函数的极限。 （5）极限的四则运算。 （6）函数的连续性。 本章难点内容是： （1）数学归纳法的原理及其应用。 （2）极限的概念。 【基础知识导引】 1．了解数学推理中的常用方法——数学归纳法。 2．理解数学归纳法的科学性及用数学归纳法来证明与正整数有关命题的步骤。 3．掌握数学归纳法的一些简单应用。 【教材内容全解】 1．归纳法
前面我们在学习等差数列时，通过等差数列的前几项满足的关系式归纳出等差数列的通项公式。再如根据三角形、四边形、五边形、六边形等的内角和归纳出凸n 边形内角和公式。像这样由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。 对于归纳法我们可以从以下两个方面来理解。 （1）归纳法可以帮助我们从具体事列中发现事物的一般规律。 （2）根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分完全归纳法与不完全归纳法。显然等差数列通项公式，凸n 边形内角和公式都是通过不完全归纳法得出的，这些结论是正确的。但并不是所有由不完全归纳法得出的结论都是正确的。这是因为不完全归纳只考察了部分情况，结论不具有普遍性。例如课本62P 数列通项公式22)55(+-=n n a n 就是一个典型。 2．数学归纳法 在生活与生产实践中，像等差数列通项公式这样与正整数有关的命题很多。由于正整数有无限多个，因而不可能对所有正整数一一加以验证。如果只对部分正整数加以验证就得出结论，所得结论又不一定正确，要是找到把所得结论递推下去的根据，就可以把结论推广到所有正整数。这就是数学归纳法的基本思想：即先验证使结论 有意义的最小正整数0n ，如果当0n n =时，命题成立，再假设当 ),(*0N k n k k n ∈≥=时，命题成立（这时命是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于0n 的正整数命题都成立。 由此可知，用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，要分两个步骤，且两个步骤缺一不可。 第一步递推的基础，缺少第一步，递推就缺乏正确的基础，一方面，第一步再简单，也不能省略。另一方面，第一步只要考察使结论成立的最小正整数就足够了，一般没有必要再多考察几个正整数。 第二步是递推的根据。仅有这一步而没有第一步，就失去了递推的基础。例如，假设n=k 时，等式 成立，就是。那么， 。这就是说，如果n=k 时等式成立， 那么n=k+1时等式也成立。但仅根据这一步不能得出等式对于任何n ∈N*都成立。因为当n=1时，上式左边=2，右边31112=++=，左边≠右边。这说明了缺少第一步这个基础，第二步的递推也就没有意义了。只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起，才能得出普遍性结论。因此，完成一、二两点后，还要做一个小结。 在证明传递性时，应注意： （1）证n=k+1成立时，必须用n=k 成立的假设，否则就不是数学归纳法。应当指出，n=k 成立是假设的，这一步是证明传递性，正确性由第一步可以保证，有了递推这一步，联系第一步的结论（命题对0n n =成立），就可以知道命题对10+n 也成立，进而再由第二步可知1)1(0++=n n ，即20+=n n 也成立。这样递推下去，就可以知道命题对所有不小于0n 的正整数都成立。 （2）证n=k+1时，可先列出n=k+1成立的数学式子，作为证明的目标。可以作为条件加以运用的有n=k 成立的假设，已知的定义、公式、定理等，不能直接将n=k+1代入命题。 3．这一节课本中共安排了五个例题，例1～例3是用数学归纳法证明等式。其步骤是先证明当0n n =（这里10=n ）时等式成立。再假设当n=k 时等式成立，利用这一条件及已知的定义、公式、定理证明当n=k+1时等式也成立。注意n=k+1时的等式是待证明的，不能不利用假设。例如：求证：。
论案例研究法与实证研究法的结合 摘要：案例研究法和实证研究法是管理研究领域中常用的研究方法，两种方法各有利弊，将其恰当地结合使用可以使研究结果更加科学可信。本文对这两种研究方法进行了深入细致的分析比较，通过对其研究方法的分析进一步说明案例研究法与实证研究法结合开展研究的过程、结论和重要性。 关键词：研究方法；案例研究法；实证研究法 1引言 (1) 1.1研究目的................................. 1.2研究的价值和意义............................ 1.3研究背景................................. 2案例研究法和实证研究法的概念.......................... 2.1案例研究法................................ 2.2实证研究法的概念............................. 3案例研究法与实证研究法的关系........................... 3.1案例研究和实证研究目的不同........................ 3.2主观意志对案例研究法和实证研究法的数据分析中的影响............. 3.3案例研究与实证研究得到的结论不同..................... 4案例分析.................................... 4.1 采用实证研究法............................. 4.2采用案例研究法............................... 5总结.....................................
课题：数学归纳法及其应用举例 【教学目标】 知识与技能： 1. 了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，使学生深入认识归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质; 2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤；初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式等)． 3. 培养学生观察、分析、论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历数学归纳法原理的构建过程, 体会类比的数学思想．过程与方法: 1.努力创设和谐融洽的课堂情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．让学生体验知识的构建过程, 体会源于生活的数学思想; 2. 通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生由特殊到一般的思维方式和严格规范的论证意识，并初步掌握论证方法; 3. 让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力. 情感、态度、价值观: 1. 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神； 2. 让学生通过对数学归纳法原理和本质的理解，感受数学内在美的震撼力，从而使学生喜欢数学,激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神； 3. 学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神； 4. 持续增进师生互信，生生互助，共创教学相长的教与学的氛围和习惯. 【教学重点】 归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用. 【教学难点】 数学归纳法中递推思想的理解,初步明确用数学归纳法证明命题的两个步骤. 【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法 【教学手段】多媒体辅助课堂教学 【教学过程】 一、创设情境，启动思维 情境一、财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个，大哥叫大毛……”的脑筋急转弯等； 教师总结：财主的儿子很傻很天真，但他懂一样思想方法，是什么？以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法---归纳法，这就是今天的课题. 人们通常
1、数学归纳法的理论基础 数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。 1.1数学归纳法的发展历史 自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。 安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。 伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明 22 333 (1)124n n n +++??????+= 这是数学家对数学归纳法的最早证明。 接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用"逐步的无限递进"，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。 到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了 21n n a a n ++= 其中1231,2k a k =+++?????? =?????? 他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递 归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。 17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发
数学归纳法的应用 姓名 甘国优 指导教师 赵慧炜 中文摘要：数学归纳法是数学中一种非常普遍的证题的方法，其应用极为广泛．本次主要简述了数学归纳法的简略步骤：观察（探索）﹑归纳﹑猜想﹑证明于一体的数学思想，体现出数学归纳法的证题思路．并归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式﹑几何等方面的一些简单应用问题的方法，对应用中常见的误区加以剖析，以及介绍一些证题方法技巧，有助于提高对数学归纳法的应用能力． 关键词：数学归纳法；步骤;证明方法． Abstract: Mathematical induction is a common evidence method in mathematics, it is have very broad application. In this paper, author research into the step of the Mathematical induction , it includes summariz ，evidence and guess embody the idea of the evidence of mathematical induction. Also at here ,we summariz the method of the mathematical induction application in solve algebra identities , geometric ,order and portfolio ,and so on .also analyze the common errors on application and into duct skill of the proof ,proof of skills introduced. It is help to increased the level of the Mathematical induction’s application ． Key words ：Mathematical induction; Steps ; Proof. 引言 演绎和归纳是人在思维过程中两个完全相反的过程.同时又是数学思维中两种基本的方法.数学归纳法是一种重要的数学证明方法，他有着其他方法所不能代替的作用，也是证明与自然数有关的数学命题的一种完全归纳法.我们在学习运用数学归纳法应具备两个条件：①当1n =时，这个命题为正确的（奠基），②当n k =时，这个命题也为正确的．推出当+1n k =时，这个命题也为正确的（递推）．通过“递推”链接，实现从特殊到一般的转化，抽象的进行数学归纳.首先
个案研究法 个案研究法就是以单一人对象进行深入研究的方法。个案研究的对象可以是个人，也可是一个组织或机构。前者如对一个或几个优等生或差生进行个案分析；后者如对某个先进班级或学校进行个案研究。 个案研究用于教育领域，主要还是对学生而施。例如，有的学生才能特别优异或极端低劣，以常用的教学方法无助于其发展或进步；或者有的学生行为和情绪与一般学生不同，一般的教育方法不能改变其行为或性格。凡此等等都需要予以单独而深入的研究，以了解学生的实际情况或问题症结所在，诊断形成问题的原因，确定矫正的适当方法，以便使学生得到正常的发展。由于个案研究一般是对研究对象的一些典型特征作全面而深入的考察与分析，其过程与解剖麻雀相似，因此，人们还将个案研究法称为“解剖麻雀法”。另外，由于个案研究往往需要较长的时间对研究对象进行连续不断的追踪调查研究，故个案研究法，又称为“个案追踪法”。 个案研究的基本方法 教育个案研究可以根据不同的目的、内容和对象选择不同的方法来进行。现介绍几种基本的个案研究方法，供研究者选择使用。 1．追踪法 所谓追踪法，就是指在较长的一段时间里，对某一研究对象进行有意识的跟踪，收集相关资料，揭示其发展变化的
情况和趋势的研究方法。追踪研究短则数月，长则几年或更长的时间。 我国著名幼儿教育家和儿童心理学家陈鹤琴先生从他的第一个孩子出生之时起，就逐日对其身心变化和各种刺激反应进行周密的观察，用日记方式作出详细的文字记载，并拍摄了大量珍贵的追踪照片，连续追踪808天，积累了大量的研究资料，据此撰写了我国儿童心理学领域中的名著<《儿童心理之研究》。中国科学院心理研究所也曾采用个案追踪的方法，以智能超常的儿童少年进行了研究，证实了这些孩子绝大多数都受过优越的早期教育，遗传素质的差异只为他们的超常发展提供了可能性，而优良的教育和环境影响则是使这种可能性转化为现实性的最为重要的因素。这项个案研究为我国婴儿教育的开发与实践提供了科学的依据。 个案追踪法主要适用于三种研究情境。一是探索发展的连续性。因为追踪法一般以相同的对象作长期的研究，通过追踪可以掌握研究对象的发展连续性。二是探索发展的稳定性。例如，研究智力测验分数的稳定性问题，即可从幼儿开始测量直至成年，由此可以看出智商是否具有稳定性。三是探索早期教育对以后其他教育现象的影响。 总之，个案追踪是对相同的个案进行长期而连续性的研究，研究者能真实而直接获得研究对象发展变化的第一手资料，能深入了解个人或某一教育现象的发展情况，弄清发展过程中的个别差异现象。它对于研究青少年学生身心发展的顺序性、阶段性、成熟期、关键期，以及研究复杂教育现象的发展变化、某一教育理论的验证、某一教育措施的实施、某一新方法的探索、某些教育现象之间前后发展的关系等都
数学归纳法在离散数学中的应用 在由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法称为归纳法。而 数学归纳法则是用于证明与自然数n 有关的结论的归纳法：如果我们能够证明当n=1时结论是成立的，而且我们能用相同的方法由n=1命题成立证得n=2命题也成立；由n=2命题成立证得n=3成立；由n=3命题成立证得n=4成立…而且这个过程显然可以无穷进行下去。则我们就断言对于所有自然数n 命题都是成立的。数学归纳法的一般形式为，关键是归纳： 初始步）：先证n ＝1时，结论成立； 归纳步)：再证若假设对自然数n ＝k 结论成立（或者对所有小于等于n 的 自然数k 结论都成立），则对下一个自然数n ＝k+1结论也成立； 结论）： 根据初始步和归纳步的证明得出结论对所有自然数都成立。 当结论与多个自然数有关时这样一类题目的时候，要注意的一点就是对所要进行归纳的自然数的选择。 例1、对群
个案研究法 是指对某一个体、某一群体或某一组织在较长时间里（几个月、几年乃至更长时间）连续进行调查，从而研究其行为发展变化的全过程，这种研究方法也称为案例研究法。 个案研究法（case study method）追踪研究某一个体或团体的行为的一种方法。它包括对一个或几个个案材料的收集、记录，并写出个案报告。在现场收集数据的叫做“实地调查”。它通常采用观察、面谈、收集文件证据、描述统计、测验、问卷、图片、影片或录像资料等方法。 特点 研究对象的个别性与典型性 个案研究的对象是个别的，但不是完全孤立的个别而是与其他个体相联系的，是某一个整体中的个别。因而对这些个别对象的研究必然在一定程度上反映其他个体和整体的某些特征和规律。个案研究的目的固然是了解把握某个个体的具体情况，但也要通过一个个案的研究，揭示出一般规律。 一般来说，作为个案研究对象的个别应该具有以下三个显著特征: 第一，在某方面是否有显著的行为表现； 第二，与这方面有关的某些测量评价指标是否与众不同； 第三，教师、家长等主要关系人是否都有类似的印象和评价。 研究内容的深入性和全面性 个案研究既可以研究个案的现在，也可以研究个案的过去，还可以追踪个案的未来发展。个案研究可以做静态的分析诊断也可以做动态的调查或跟踪。由于个案研究的对象不多，所以研究时就有较为充裕的时间，进行透彻深入、全面系统的分析与研究。 研究方法的多样性和综合性 个案研究有自己的研究方法，如下面要介绍的追踪法、追因法、临床法和产品分析法等。但是，个案研究又不是完全独立的研究方法。为了搜集到更多的个案资料，从多角度把握研究对象的发展变化，就必须结合教育观察、教育调查、教育实验、教育测量等多种研究方法，综合各种研究手段。 类型 一是理论探求、理论验证的个案研究，尤其是研究一般论点，目的在于弄清楚那些模糊的问题，并使读者产生兴趣。 二是故事讲述、图画描绘的个案研究，叙述和描绘那些有趣的、值得仔细分析的教育事件、方案、计划、章程和制度。 三是评价型个案研究，需要研究者对教育事件、方案、计划、章程和制度进行分析，判断其价值，使读者确信。 基本程序 制定个案研究方案 个案研究方案是指实施研究的计划，是进行个案法研究必须具备的前提条件。为了有效地开展研究，进行个案研究之前，需要制定个案研究方案。 确定研究对象，进行个案现状评定 个案研究对象的确定，一般可以选择有一系列不同于他人的行为表现，而且对这些行为
第九章教育个案研究法 本章要点：教育个案研究法的含义、特征；教育个案研究的基本程序；教育个案研究的基本原则与方法。 近年来，质的研究已经成为一种在教育科学研究中越来越被重视的研究范式。质的研究是在自然情境下采用多种资料收集方法对社会现象进行整体性探究，使用归纳法分析资料和形成理论，通过与被研究对象的互动，获得对其行为和意义建构的解释性理解。进行质的研究的方法有很多，个案法是其重要方法之一。个案研究强调对一个人、一件事物、一个社会团体或是一个社区进行深入全面的研究。通过个案研究能够提供对教育问题成因的理解，对复杂的关系作全面的涵盖，对动态变化的情境条件作适当分析。 第一节教育个案研究法概述 一、教育个案研究法的含义 个案研究法是指采用各种方法，搜集有效、完整的资料，对单一对象进行深入细致研究的方法，其任务是揭示研究对象形成、变化的特点和规律，以及影响个案发展变化的各种因素，并提出相应的对策。 个案研究法不只是一种研究方法，也是一门复杂的认知课程，是帮助个人解决现实问题的理论。通常个案研究法是在对象总体中选择特定的人、事、物所进行的深入描述和分析，研究对象可以是一个人、一个机构、一个社会团体等。 个案研究法是针对单一个体在某种情境下的特殊事件，广泛系统地收集有关资料，从而进行系统的分析、解释、推理的过程。狭义的个案研究法是指对单一特定的人、事、物所作的描述、分析及报告的方法。广义的个案研究法则可界定为：采用各种方法，收集与研究问题相关的资料，对单一个体或一个单位团体作深入细致研究的过程。个案研究法也秤麻雀解剖法或个案历史研究法。 二、教育个案研究法特征 个案研究常被看成是自然主义的、描述性的、质化的研究，与实证主义的、验证性的、量化的研究相对应。事实上个案研究不是以质化与量化研究来划分的，而是以研究对象的单一性来界定的。个案研究是所有研究方法中最生动、最有趣的，在学校教育教学、心理咨询、行为矫正等工作上具有重要意义。一般说来，个案研究主要有以下特征： 1、研究对象的个别性与典型性 个案研究的对象是个别的，但不是完全孤立的个别，而是与其他个体相联系的，是某一个整体中的个别，因而对这些个别对象的研究必然在一定程度上反映其他个体和整体的某些特征和规律。个案研究的目的固然是了解、把握某个个体的具体情况，但也要通过一个个案的研究，揭示出一般规律。个案研究取样较少，其研究的结论代表性也就较小，因此不宜机
数学归纳法的七种变式及其应用
数学归纳法的七种变式及其应用 摘要：数学归纳法是解决与自然有关命题的一种行之有效的方法，又是数学证明 的又一种常用形式.数学归纳法不仅能够证明自然数命题，在实数中也广泛应用，还能对一些数学定理进行证明.在中学时学习了第一数学归纳法和第二数学归纳法，因而对一些命题进行了简单证明.在原有的基础上，给出了数学归纳法的另外五种变式，其中涉及到反向归纳法、二重归纳法、螺旋式归纳法、跳跃归纳法和关于实数的连续归纳法，并简单的举例说明了每种变式在数学各分支的应用.这就突破了数学归纳法仅在自然数中的应用，为今后的数学命题证明提供了一种行之有效的证明方法——数学归纳法. 关键词：数学归纳法；七种变式；应用 1引言 归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性。数学归纳法的本质[]4是证明一个命题对于所有的自然数都是成立的.由于它在本质上是与数的概念联系在一起，所以数学归纳法可以运用到数学的各个分支，例如：证明等式、不等式，三角函数，数的整除，在几何中的应用等. 数学归纳法的基本思想是用于证明与自然数有关的命题的正确性的证明方法，如第一数学归纳法，操作步骤简单明了.在第一数学归纳法的基础上，又衍生出了第二数学归纳法，反向归纳法，二重归纳法等证明方法.从而可以解决更多的数学命题. 2 数学归纳法的变式及应用 2.1 第一数学归纳法 设()p n 是一个含有正整数n 的命题,如果满足： 1） ()1p 成立（即当1n =时命题成立）； 2）只要假设()p k 成立（归纳假设），由此就可证得()1p k +也成立（k 是自然数），就能保证对于任意的自然数n ，命题()p n 都成立. 通常所讨论的命题不都全是与全体自然数有关，而是从某个自然数a 开始的，因此，将第一类数学归纳法修改为：
数学归纳法的应用 姓名甘国优指导教师赵慧炜 中文摘要:数学归纳法是数学中一种非常普遍的证题的方法,其应用极为广泛。本次主要简述了数学归纳法的简略步骤：观察（探索）﹑归纳﹑猜想﹑证明于一体的数学思想,体现出数学归纳法的证题思路．并归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式﹑几何等方面的一些简单应用问题的方法，对应用中常见的误区加以剖析，以及介绍一些证题方法技巧，有助于提高对数学归纳法的应用能力。 关键词：数学归纳法;步骤；证明方法. Ａbstｒact：Maｔhｅmatical inｄuｃtioｎ is a ｃommon evidencｅｍｅt ｈod iｎ mathematics， it is have very broａd appliｃation。 In this pａｐｅr，aｕｔhor researｃh ｉntｏ the ｓtep oｆｔhｅ Mathematica ｌ indｕctiｏn , it includes sｕmmaｒiz，ｅvideｎce ａnｄｇuess embod ｙ thｅ idea oｆtｈe eｖidｅnce oｆmatｈｅmatｉcaｌｉndｕctiｏn． Aｌso at herｅ ,we summaｒiz tｈｅmethoｄoｆ the mａthｅmat ｉcal induｃtioｎapplicaｔion iｎsolvｅａlgebra iｄenｔities ， g ｅoｍetric ,ordｅr anｄ porｔfolio ，and so on .ａlso analyze the c ｏmmoｎerrorｓ on ａｐpｌｉcation and into duct sｋｉｌl of tｈe ｐroof ,ｐroｏf ｏｆskills iｎtｒｏｄuceｄ. Iｔ is ｈelp to inｃr ｅａsed tｈe leｖeｌ of the Mathematiｃal indｕction’s appｌicａtion．Key woｒｄs：Maｔｈematical induction; Steps ; Proｏf． 引言 演绎和归纳是人在思维过程中两个完全相反的过程.同时又是数学思维中两种基本的方法.数学归纳法是一种重要的数学证明方法,他有着其他方法所不能代替的作用,也是证明与自然数有关的数学命题的一种完全归纳法。我们在学习
第十一章个案研究法及其应用 第一节个案研究法的概述 一、个案研究法及其类型 （一）什么是个案研究法 个案研究法是教育科学研究中的一种重要的方法。个案研究法指对单一的人或事进行深入具体的研究。研究的人或事可能是典型的，也可能不是典型的。可以通过若干个个案研究，再作比较，找出规律的东西，以指导工作①。 个案研究实际上如同解剖麻雀，通过对某一个体深入研究考察，可能会得到重大的发现，影响总体发展。瑞士教育家皮亚杰从对自己孩子观察、访谈、实验的个案研究中受到启发，从而创立了皮亚杰儿童认知发展理论，这一理论对儿童总体发展具有普遍意义。 个案研究所涉及的研究对象不只限于“不良问题”，随着科学研究的发展和实践的需要，这项研究已扩大到对品学兼优的学生、对具有丰富教育改革经验的学校等方面来。例如：①北京市某小学一年级教师针对班级小 A 同学不能集中精力在课堂上学习数学的问题，采用 观察、访谈、实验等方法进行个案研究。这项研究就是针对学生学业不良问题展开个案研究。②上海某中学积极探索，大胆进行教材课程改革，并取得一定的成果的案例，用实验、成品分析、行动研究等方法进行个案研究。③北京市教育学会某专业委员会采用科学培训与科学研究方式，不断推出年轻的骨干教师的个案研究。后两种个案研究显而易见是从正面对成功经验进行挖掘、研究。 从上述提出的个案研究分析，不同的个案研究需要综合运用不同的科学方法，以便收集个案研究需要的资料，或反映特定问题。这里应该强调的是，任何研究既对总体研究具有普遍意义的一面，同时也有受限制的一面。所谓有普遍意义主要指个案的研究结果一般对整体的发展可以起到借鉴的作用。例如，上述案例①对“小 A 同学课上集中精力学习数学困难问题”的个案研究，对教师寻求普遍注意力的特点及其培养方法方面有一定的帮助；案例②上海某中学的个案研究为其他学校开展教育科学研究的工作提供有益的借鉴；案例③某专业委员会采用科学培训与科学研究方式，不断推出年轻的骨干教师的个案研究为其他一些群众学术团体开展研究活动和培养人才工作提供了良好的经验。所谓受限制是指个案研究涉及的研究对象数量少，研究结果的外部效度较差，这样有可能影响到研究结果的推广。例如：案例①由于小 A 个人学习习惯的特殊情况，教师对其有效的培养方式不能直接用于他人；案例② 受领导科学研究意识及改革魄力的影响，某中学的案例不可能完全照搬使用。案例③其他专业委员会受秘书长基本素质的限制，不能直接采用案例③中专业委员会的研究成果。这些都是受限制的方面。 （二）个案研究法的类型 个案研究法可以依据研究对象、研究内容与目的进行分类。 如果我们从研究对象分类，可分为： 1．以个体为单位的个案研究，即单人的个案。上述案例①就是关于学习适应不良个人研究。 2．以社会机构为单位的个案研究，即一个班级、一所学校、一个机关等的个案。上述个案②属于此类研究； 3．以社会团体为单位的个案研究，即学术团体、群众组织等的个案。上述个案③属于此类研究。 如果我们从研究内容、目的分类，可分为： 1．诊断性个案研究。这类研究主要用于考察特殊儿童，研究异常行为和患有生理疾病者等，目的在于对研究对象的问题现状作出判断。例如，案例①小 A同学课上集中精力学习数学困难的个案研究，需要采取诊断的方法，对其精力不集中的问题作出判断，以便寻求出 研究的对策。 2．指导性个案研究。这类研究广泛用于教育领域，如用新的教学方法或新的教育方案尝试，然后将研究成果推广到普遍的教育实践中去。 3．探索性个案研究。这类研究常用于大型研究的准备阶段。例如，目前由于城市改造，北京地
个案研究法研究述评
个案研究法研究述评 个案研究法研究述评作者：李长吉，金丹萍 定量研究在中国教育研究领域中取得了一些成绩，对教育基本理论的发展做出了一定的贡献。但由于教育现象本身复杂多变，主体参与性强，或多或少会受研究者个人的经验、情感和价值观影响，因此在研究过程中很难保持中立，这就使得定量的教育研究的信度无法确证、效度难于把握。为此，教育研究要焕发本身应有的创造活力，必须寻求新的出路。20世纪90年代以来，质的研究方法开始受到重视并逐渐被引入教育研究领域，这给教育研究范式的转向带来了契机。之后，研究者对定量研究的热情开始有所减弱，对个别教育现象进行深描的个案研究则越来越受到研究者的青睐。个案研究(CaseStudy)，又称案例研究或个案研究法，作为一种研究方法，已经有一百多年的历史了，它的源头可以追溯到19世纪中期法国社会学领域，法国社会学家利普雷对工人阶级的家庭状况进行研究，他发展出了今天我们所熟知的个案研究方法。后来，人类学家马林诺夫斯基在特罗布恩德群岛进行的田野研究，是民族志个案研究的一个实例。19世纪末20世纪初，芝加哥学派社会学者将个案研究作为重要工具，进一步将个案研究应用于对工业化和都市移民相关问题的探讨，主张研究者应
该进入研究问题的现场领域，应用个案研究对问题进行客观和全面的理解。随后，个案研究法广泛应用到历史学、心理学、管理学等领域当中。个案研究开始应用于教育学中，主要是以研究特殊的对象，如问题青少年、适应不良学生，进行儿童发展和教育社会学领域的研究。近年来，这种深入透彻地关注个例的研究传统已经涉及到教育研究的其他领域，个案研究逐渐成为教育实践和科研的中介和桥梁。它有时采用诠释学以及批判理论的方法，来诠释和批判造成个案问题的原因，并提出有效策略来解决问题，并与人类学的参与观察法相配合，其研究对象已经不再是问题个案，而是一般常态。纵观学者们关于个案研究法的研究历程，主要呈现了以下趋势:个案研究由非正式或前导性研究到现今成为众人所肯定的正式研究方法;由以往问题的解决到今日着重个案问题之描述、解释与分析;研究对象由早期的适应不良、问题行为儿童到现今的正常儿童;从关注个案总体的普遍性研究走向关注有关特殊性个案的本质性研究。笔者检索发现，近十年在社会科学领域关于个案研究或案例研究的文献有2000余篇，其中大部分文献都是采用个案研究的方法去研究某一现象，而仅有40余篇文献对个案研究方法本身进行研究。此外，在一些教材和专著中也有关于个案研究方法的研究。国外出现了很多个案研究的专著，如莎兰·B·麦瑞尔姆的《质化方法在教育研究中
数学归纳法的应用 数学归纳法的应用：具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等. 上述过程主要体现在数学归纳法的过程及注意事项，主要是证明恒等式的一些例子，下面我们看看数学归纳法应用的其他类型. （1）证明恒等式（略） （2）证明不等式. 例题：记()11111,23n S n n N n =+ ++???+>∈，求证：()212,2 n n S n n N >+≥∈. 证明：（1）当2n =时，2211125211234122 S =+++=>+，∴当2n =时，命题成立. （2）设n k =时，命题成立，即2111112322 k k k S =+++???+>+，则当1n k =+时，121111111123221222k k k k k S ++=+++???++++???+++ 11121111112212222222222k k k k k k k k k k k +>++++???+>++=++=+++++ 故当1n k =+时，命题也成立. 由（1），（2）可知，对n N ∈，2n ≥，212 n n S >+. 注意：利用数学归纳法证不等式，经常要用到“放缩”的技巧. （3）证明数或式的整除性 例题：求证：()()2111n n a a n N -+++∈能被21a a ++整除 证明：（1）当1n =时，()21111211a a a a ?-+++=++，命题显然成立. （2）设n k =时，()2111k k a a ?-+++能被21a a ++整除.则当1n k =+时， ()()() 2122121111k k k k a a a a a a +-++++=?+++()()()()212212111111k k k k a a a a a a a ---+??=+++++-+? ? ()()()212112111k k k a a a a a a --+??=++++++?? 由归纳假设，以上两项均能被21a a ++整除，故1n k =+时，命题成立. 由（1），（2）可知，对n N ∈，命题成立