第5章 含有耦合电感的电路
内容提要
本章主要介绍耦合电感的基本概念和基本特性，同时介绍同名端的概念及使用方法，重点介绍采用消耦法求解含有耦合电感电路的分析计算方法，最后介绍空心变压器及理想变压器的工作原理，特性方法式及其分析计算方法。
§5.1 互感
当一个线圈通过电流时，在线圈的周围建立磁场，如果这个线圈邻近还有其它线圈，则载流线圈产生的磁通不仅和自身交链，而且也和位于它附近的线圈交链，则称这两线圈之间具有磁的耦合或说存在互感。载流线圈的磁通与自身线圈交链的部分称为自感磁通，与其它线圈交链的部分称为互感磁通。
5.1.1互感及互感电压
如图5-1所示，两组相邻线圈分别为线圈I 和线圈Ⅱ，线圈I 的匝数为1N ，线圈Ⅱ的匝数为2N 。设电流1i 自线圈I 的“1”端流入，按右手螺旋定律确定磁通正方向如图5-1所示，由1i 产生磁通11?全部交链线圈I 的1N 匝线圈，而其中一部分21?，不仅交链线圈I 而且交链线圈Ⅱ的2N 匝线圈，我们定义11?是线圈I 的自感磁通，21?是线圈I 对线圈Ⅱ的互感磁通。这里的线圈I 通过电流1i 产生了磁通，我们将这种通有电流的线圈称为载流线圈或施感线圈，流经线圈的电流称为施感电流。同理如果在线圈Ⅱ中通入电流2i ，由电流2i 也会产生线圈Ⅱ的自感磁通22?和线圈Ⅱ对线圈I 的互感磁通12?。
说明：磁通（链）下标的第一个数字表示该磁通链所在线圈的编号，第二个数字表示产生该磁通（链）的施感电流的编号，接下来研究的使用双下标符号的物理量，其双下标的含义均同上。
当载流线圈中的施感电流随着时间变化时，其产生的磁通链也随之变化。根据法拉第电磁感应定律，这种时变磁通在载流线圈内将会产生感应电压。
设通过线圈I 的总磁通为1?，则有
12111???+= (5-1)
其中自感磁通11?与1N 匝线圈交链，对于线性电感则有自感磁通链11ψ为
1111111N L i ψφ== (5-2)
式(5-2)中，1L 称为线圈I 的自感系数，简称自感，单位为亨利简称亨（H ）。
ⅠⅡ
+ -+ -11u 21u 21
?
图 5-1 互感和互感电压
当感应电压与施感电流取关联参考方向时，自感电压与施感电流的关系式为
11111111d dL i di u L dt dt dt
ψ=
== (5-3) 设由2i 产生的磁通中部分磁通12?与线圈I 的1N 匝交链，则有互感磁通链
12112122N M i ψφ== (5-4)
式(5-4)中，12M 称为线圈Ⅱ对线圈Ⅰ的互感系数，简称互感，单位为亨利简称亨（H ）。 当载流线圈的施感电流随着时间变化时，其产生的互感磁通链也随之变化。根据法拉第电磁感应定律，这种时变磁通在与其具有磁耦合的线圈内产生感应电压，称为互感电压。
当互感电压的参考方向与互感磁通满足右手螺旋关系时，则有
1212221212d dM i di
u M dt dt dt
ψ=
== (5-5) 把具有磁耦合的一对线圈理想化，即忽略线圈的电阻和匝间电容，称为耦合电感。
1
i 2
i 11
?21
?22
?12
?1
1'
22'
1
i 2
i 11
?21
?22
?12
?1
1'
22'
(a) (b)
图5-2 耦合电感
同理，设电流2i 自线圈Ⅱ的“2”端流入，如图5-2（a ）所示，设通过线圈Ⅱ的总磁通为2?，有
22212???=+
其中自感磁通22?与2N 交链，则有自感磁通链
2222222N L i ψφ== (5-6)
式中2L 为线圈Ⅱ的自感系数，单位H (亨利)。
设1i 所产生的磁通中有部分21?与线圈Ⅱ的2N 匝线圈交链，则互感磁通链
21221211N M i ψφ== (5-7)
式(5-7)中21M 为线圈Ⅰ对线圈Ⅱ的互感系数，可以证明2112M M M ==。
在图5-2（a ）中自感磁通与互感磁通具有相同的方向，因此每个线圈的总的磁通链分别为自感磁链与互感磁链之和
1111211112112()N L i Mi ψψψφφ=+=+=+ (5-8)
2222122221221()N L i Mi ψψψφφ=+=+=+ (5-9)
当施感电流与该线圈的端口电压取关联参考方向时有
121121111u u dt
di
M dt di L dt d u +=+==
ψ (5-10) 212212222u u dt
di
M dt di L dt d u +=+==
ψ (5-11) 其中11u 、22u 表示自感电压，12u 、21u 表示互感电压，可见端口11'-处的电压1u 和端口22'-处的电压2u 是自感电压与互感电压之和，
在不改变绕线方向的前提下，将电流2i 自线圈Ⅱ的“2'”端流入，如图5-2（b ）所示。 根据右手螺旋定则可以判定自感磁通与互感磁通方向相反，因此每个线圈的总的磁通链分别为自感磁链与互感磁链之差：
111121112112()N L i Mi ψψψφφ=-=-=-
222212221221()N L i Mi ψψψφφ=-=-=-
当施感电流与该线圈的端口电压取关联参考方向时有：
121121111u u dt di
M dt di L dt d u -=-==
ψ (5-12) 212212222u u dt
di
M dt di L dt d u -=-==
ψ (5-13) 其中11u 、22u 表示自感电压，12u 、21u 表示互感电压，可见端口11'-处的电压1u 和端口22'-处的电压2u 是自感电压与互感电压之差，
通过上述分析可知，在磁耦合中互感的作用有两种，一种是互感磁通链与自感磁通链方向一致，同极性迭加使磁场得到了加强，称为同向耦合。一种是互感磁通链总是与自感磁通链方向相反，使得反极性迭加磁场削弱，此时称为反向耦合。互感磁通与自感磁通的方向相同还是相反，不仅与线圈的绕行方向有关，而且与施感电流的方向有关。
5.1.2 同名端
当施感线圈中的电流参考方向与自感电压取关联参考方向时，自感电压前的符号为正，
即di
L
dt
前取正，当施感线圈中的电流参考方向与自感电压取非关联参考方向时，自感电压前的符号取负，互感电压di
M dt
前的符号也可为正或为负，而互感电压前的正负符号是要由
两线圈的绕向以及施感电流的参考方向和受感线圈电压的参考方向来决定。
工程实际中，一般线圈都是要包上绝缘层密封起来的，因此绕组的实际绕向是不易看出的，并且在电路图中画出线圈的绕向是很不方便的。为了在电路中分析避免显示线圈的绕向，习惯上通过标记同名端来判断互感电压前的正负号。
所谓同名端就是在两个线圈上事先标上记号“﹒”，标有“﹒”的两个端钮称为同名端，不标“﹒”的两个端钮也是同名端，如图5-3所示，电流1i 和2i 分别从同名端的端子流入时，则两个线圈中的自感磁通与互感磁通是增强的，互感电压前的符号为“+”，当电流1i 和2i 分别自异名端流入时，则两个线圈中的自感磁通与互感磁通是削弱的，互感电压前的符号为“-”。
1
L 2
L M
+
+
1i 2i 1
u 2
u 1
1'
22'
+
+
1
i 2
i 1
u 2
u 1
1'
22'
M
(a) (b) 图5-3耦合电感的符号和同名端
在施感电流与自感电压取关联参考方向下，有
11211221
22d di di
u L M dt dt dt
d di di u L M
dt dt dt ψψ=
=±==± (5-14)
式（5-14）即为耦合电感的伏安特性。在图5-3（a ）电路中M 取“+”号，在图（b ）中M 取“-”号。
在工程上，有时耦合线圈被封闭，同名端不确定，可以用以下试验测定同名端，如图5-4所示。当k 闭合时，电压表正向偏转时，表明“1”与“2”为同名端，这是因为当电流1i 自线圈I 的“1”流入时，电压表正向偏转说明在线圈Ⅱ感应的互感电压的高电位端在“2”
端。
+
1i 2
2'
k
V
1
1'
I
II
E
图5-4 同名端测试
上述实验同时也表明，电流自一个线圈的同名端流入，则在另一个线圈感应的互感电压的“+”极在同名端（即互感电压的高电位在同名端）。
例5-1 电路如图5-5所示，试分析当开关k 打开瞬间，端钮2、2′的极性。
+
1i 2
i u
2
2'k
1
L 2
L E
图5-5 例5-1图
分析：取端口22-'处电压u 与电流2i 为关联参考方向，因此有
1
0di u M
dt
=+ 开关打开瞬间有
1
0di dt
<，所以0
+
+
1i 2i 1u 2
u
+
+
1
i 2
i 1
u 2
u
(a) (b)
图 5-6 例题5-2图
对于(a)图有：1211
di di u L M dt dt =+ , 2122di di u L M dt dt -=+ 对于(b)图有：1211di di u L M dt dt -=- , 2122di di
u L M dt dt =-
说明：(1)第一项为自感电压，在电压和电流取关联参考方向时，为正，反之为负。 (2)第二项为由一个线圈的电流在另一个线圈中感应的互感电压，当电流从同名端流入时取“+”，即自感电压与互感电压的极性相同，电流从异名端流入时取“-”即自感电压与互感电压的极性相反。
工程上为了定量描述两个耦合线圈的耦合紧疏程度，把两线圈的互感磁通链与自感磁通的比值的几何平均值定义为耦合系数，用小写字母k 表示：
1221
1122
k ψψψψ=
(5-15)
其中，1111L i ψ=，122Mi ψ=，211Mi ψ=，2222L i ψ=，代入式（5-14）则：
12
M k L L =
(5-16)
根据自感和互感的定义可知k 的取值范围为0k ≤≤1，当1=k 时，max 12M L L =，这种情况称为全耦合，是一种理想状态，当k 接近于1时，称为紧耦合；k 远小于1时，称为疏耦合；0=k 时，说明两个线圈不存在磁的耦合。耦合的紧疏程度可以通过改变位置实现，从而改变k 值，如图5-7所示。为了使得k 值尽可能接近于1，可以采用双线绕制如图(a)，还可以在两组线圈内部加入铁磁性材料制成的心子，若使k 值尽可能小，一般采用屏蔽手段，大大减小互感的作用，还可将两线圈的轴线相互垂直布置如图(b)所示。
(a) 紧耦合 (b)疏耦合
图5-7 耦合的两种状态
§5.2 含有耦合电感电路的计算
正弦激励作用的含有耦合电感电路的计算与前面介绍的正弦稳态电路的分析不同之处
在于耦合电感的端口电压不仅与自身线圈内的电流有关，还和与其具有耦合关系的线圈内的电流有关，若能把这种具有磁耦合关系的电感进行等效变换解除耦合关系即完成去耦，就可以将含有耦合电感电路的计算问题运用正弦稳态电路的分析方法进行处理，因此解决含有耦合电感电路的计算问题其关键在于解耦。
下面讨论几种常用的解耦方法。
5.2.1.等效参数法
等效参数法是耦合电感分别为串联和并联连接方式下，求取其等效电感参数，则耦合电感在电路中的电磁作用可以用求取的等效电感代替从而实现解耦。 一、耦合电感的串联
首先，我们来分析耦合电感的串联，如图5-8所示，这样将四端元件耦合电感变为二端
元件。图5-8(a)接法称为顺接，其电流从同名端流入，图5-8(b)接法称为反接，其电流从异名端流入。
++a
b
1
L 1
u 2
u 2
L i
++a
b
1
u 2
u i
(a)顺接 (b)反接
图5-8耦合电感的串联
在图5-8(a)中 11
di di u L M dt dt =+，22di di u L M dt dt
=+ 1212(2)
ab di di
u u u L L M L dt dt
=+=++= 将122L L L M =++，称为顺接串联耦合电感的等效电感。
在图5-8(b)中 11
di di u L M dt dt =-，22di di
u L M dt dt
=- 1212(2)
ab di di
u u u L L M L dt dt
=+=+-= 将122L L L M =+-，称为反接时串联耦合电感的等效电感。
当1=k 时，max 12M L L =，因此212max 12121222()L L L M L L L L L L =+-=+-=->0,因此有等效电感0L >。
可见，串联耦合电感在电路中所起的作用可以用一个电感元件122L L L M =+±等效代替，其±的选取由顺、反接决定。
在正弦电流的情况下，由相量法则有
111L M U j L I j MI jX I jX I ωω=±=±
222L M U j L I j MI jX I jX I ωω=±=± 12(2)ab
eq U j L L M I Z I ω=+±=
其中1L ω和2L ω称为自感抗用1L X 和2L X 表示，M ω称为互感抗用M X 表示，
12(2)eq Z j L L M ω=+±称为等效复阻抗。
二、耦合电感的并联
耦合电感的并联同样也有两种接法，如图5-8所示。图5-8（a ）电路，线圈的同名端在同一侧，称为同侧并联，当异名端连接在同一结点上时，如图5-8（b ）所示称为异侧并联。
1
L 2
L M
+
1i 2i u i
1
L 2
L M
+
1i 2i u
i
(a)同侧并联 (b)异侧并联
5-8耦合电感的并联
同侧并联情况
121
di di u L M dt dt =+ 212di di u L M dt dt =+
12i i i =+
异侧并联情况：
121
di di u L M dt dt =- 212di di u L M dt dt =-
12i i i =+
在正弦电流的情况下、按照图5-8中所示的参考方向和极性可得下列方程
112U j L I j MI ωω=± 221U j L I j MI ωω=±
12I I I =+
±的选取由同侧并联和异侧并联决定，同侧并联取+，异侧并联取-。
可得
21212()L M
I U j L L M ω±=-
12212()
L M
I U j L L M ω±=
-
又因 12I I I =+ 经整理得
2
12122L L M U j I j LI L L M
ωω-==+±
式中2
12122L L M L L L M
-=+±为等效电感，同侧连接取负号、异侧连接取正号。
5.2.2互感消去法
如图5-8所示的电路，有磁耦合的两线圈只有一端相连接在节点3上，另一端分别与
节点1、2相连。可以把这种电路化为如图5-9所示的无耦合等效电路，这种方法称为互感消去法。其中图5-8(a)为某电路的一部分，两个互感支路的同名端连接在一起，并与图5-9(a)对应，图5-8(b)为两个互感支路的异名端连接在一起，则与无互感的耦合等效电路为图5-9 (b)相对应。用上述的等效方法求含有互感耦合电路的等值阻抗特别方便。
1
L 2L 1
I ①
②
③
I
2
I
1
L 2
L 1I 2
I ①②
③
I
1L M
-2L M -①②③
M
1L M +2L M +①②
③
M
-
(a)同侧 (b)异侧 (a)同侧 (b)异侧
图5-8 两耦合线圈一端相连 图5-9 去耦等效电路
对于图5-8（a ）所示电路有
13112U j L I j MI ωω=+ 23221U j L I j MI ωω=+
由于12I I I =+，那么电压13U 和23U 可写为
1311111()()U j L I j M I I j L M I j MI ωωωω=+-=-+ (5-17) 2322222()()U j L I j M I I j L M I j MI ωωωω=+-=-+ (5-18)
根据式（5-17）和式（5-18）建立的去耦等效电路如图5-9（a ）所示，该等效电路中的电感元件之间已经不存在磁耦合，成为电感系数确定的独立线性电感元件，对于这样结构和参数确定的电路进行分析，其响应与参考方向的选取无关，因此，尽管去耦等效电路是在指定的电压和电流参考方向后推导得到的，但等效电路中的元件参数仅取决于耦合电感的连接方式，而与电压、电流的参考方向无关。
同理，对于图5-8（b ）所示电路有
13112U j L I j MI ωω=- 23221U j L I j MI ωω=-
由于12I I I =+,那么电压相量13U 和23U 可写为
1311111()()U j L I j M I I j L M I j MI ωωωω=--=+- (5-19) 2322222()()U j L I j M I I j L M I j MI ωωωω=+-=+- (5-20)
根据式（5-19）和式（5-20）建立的去耦等效电路如图5-9（b ）所示。
由此可得出结论，当有耦合的两线圈有一端相连于同一节点时，可通过连接于此节点的第三条支路消去耦合。前面所述的两磁耦合线圈的并联属于这种情况的特例，所以可以用这种方法消去磁耦合，读者可以自行验证，应当注意的是采用互感消去法所需满足的电路结构
条件是必须有三条支路汇于一点，且其中两条支路上有磁耦合的线圈，这是因为在上述推导过程中使用了12I I I =+的约束条件，因此电路结构必须满足此约束条件。当电路中不满足上述互感耦合支路的连接结构条件时，不能采用此法解耦，可考虑采用其他方法解耦，如采用等效受控源法。
5.2.3 等效受控源法
等效受控源法是从耦合电感的端口电压与电流的相量表达式出发，引入电流控制电压源实现耦合电感的解耦的方法，其适用于一切耦合电感电路，是处理含耦合电感电路的有效方法。
如图5-10所示的耦合电感，其端口电压、电流关系相量形式为：
1112U j L I j MI ωω=± 2221U j L I j MI ωω=±
其中同向耦合取+，反向耦合取-。
根据上述表达式，引入受控电压源，如图5-10(b)（c ）所示的等效电路。
+
+
1I 2
I 1U 2
U 1
I 1L 1
U +
2
j MI ω+-
2
I 2
L 2
U +
1
j MI ω+-
(a)同向耦合的耦合电感 (b)同向耦合等效电路
+
+
1
I 2
I 1U 2
U 1
I 1
L 1
U +
2
j MI ω+-
2
I 2
L 2
U +
1
j MI ω-+ (c)反向耦合的耦合电感 (b)反向耦合等效电路
图5-10等效受控源法
综上所述，处理含有耦合电感电路的方法有三种，一种是等效参数法，处理耦合电感的直接并联或串联。 第二种是消耦法，处理有一个公共支路的耦合电感。第三种是等效受控源法，适用于任何情况。
§5.3 含有耦合电感电路的计算
耦合电感在工程中有着广泛的应用，是现行电路中一个重要的多端元件。分析含有耦合
电感元件的电路问题，重点是把握这类多端元件的特征。耦合电感的电压不仅与本电感的电流有关，还与其他耦合电感的电流有关，这种情况类似于含有电流控制电压源的电路。
分析含耦合电感的电路一般常用的方法有列方程分析和等效电路分析两类。考虑到耦合电感的特性，在分析中要注意以下特殊性：
(1)耦合电感上的电压与电流关系（VCR ）式的形式与同名端位置有关，与其上电压和电流参考方向有关，这是正确列写方程及正确进行解耦等效的关键。
(2)由于耦合电感上的电压是自感电压和互感电压之和，因此列方程分析这类电路时，如不做解耦等效，则多采用支路电流法，不可直接应用节点电压法。
(3)采用受控源模型解耦不受电路结构条件限制，是一种普遍适用的解耦方法，且对解耦后的无耦电路，可采用等效变换法，支路法，回路法，节点法等各种分析方法求解电路响应。
(4)采用等效参数法或互感消去法解耦时，需要满足特定的电路结构条件。
(5)应用戴维宁定理（或诺顿定理）分析时，等效内阻抗应按含受控源电路的内阻抗求解法，但负载与有源二端网络内部有耦合电感存在时，戴维宁定理（或诺顿定理）不便使用。
例5-3 电路如图5-11（a ）所示，若电源频率及元件参数均已知，试列写求取支路电流2c I 的方程。
U
+
I
1
R 1
C 2C 1
L 2
L 2
c I 1I 2
I M
U
+
I
1
R 1C 2
C 1
L 2L 2
c I 1
I 2
I 1
L I 2
L I 3
L I
1
j I M ω2
j I M ω++
(a) (b)
图5-11 例5-3图
解：（1）应用等效受控源法，等效解耦电路如图(b)所示，有
111122()L L R j L I j L I U j MI ωωω+-=-
1221123211
1
()L L L j L j L I j L I j L I j MI j MI j C ωωωωωωω++
--=- 232212
1
(
)L L j L I j L I j MI j C ωωωω+-= 112L L I I I =- 223L L I I I =-
联立上述方程可求得回路电流3L I ,支路电流23c L I I =。
例5-4 电路如图5-12(a)所示，已知1210L L ωω==Ω，5M ω=Ω，126R R ==Ω，
16U V =，求端口的戴维宁等效电路及最大传输功率。
1R a b ab
U +
-+
+
2
R 1
U 1
I 1
L 2
L M
21U
(a)
+
-
1
U 1
R 1
L j ω1
I - +
1
I M j ω2
R +
-OC
U a
b
1R a b U
+
-
2
R 1L M -2L M -I
M
1
L I 2
L I
(b) (c)
图5-12 例5-4图
解：（1）采用受控源等效法，将电路等效为图5-12（b ），设V U 01
06∠= 0
0110
1216600.3839.8121015.639.8
U I A R R j L j ω∠====∠-+++∠ 000121(65)0.3839.87.839.80.3839.8 2.96OC U I R j MI j V ω=+=+?∠-=∠?∠-=
（2） 采用互感消去法，将电路等效为图5-12（c ）,直接应用阻抗串并联求等效阻抗。
1112[()](6105)(65)105(37.5)eq Z R j L j M R j M j L j M j j j j j j ωωωωω=+-++-=+-++-=+Ω
最大功率传输：当Ω-==)5.73(*
j Z Z eq L
W R U P eq oc 73.012
8.842
max
=== 例5-5 求如图5-13(a)所示电路中的网孔电流。
+-
4Ω
3j -Ω
?
?
8j Ω
6j Ω
5Ω
1
I ?
2
I ?
2j Ω
1000V
∠
图5-13 例5-5图 (a)
解：方法一 分别对两个网孔列写回路电压方程
在网孔1内，取自感抗为6j 的线圈的自感电压相量与电流1I ?
为关联参考方向，支路电流12I I -从 “.” 端流入该线圈，电流2I ?
从异名端流入自感为8j 的线圈，根据KVL ，有
1122100(43)6()22j I j I I j I ?
?
?
?
-+-+--=
整理，得
12(43)8100j I j I ?
?
+-=
在网孔2内，取自感抗为8j 的线圈的自感电压相量与电流2I ?为关联参考方向，电流2I ?
和支路电流12I I -分别从异名端流入线圈，根据KVL ，有
221221(58)6()22()0j I j I I j I j I I ?
?
?
?
?
?
++-++-=
整理，得
128(518)0j I j I ?
?
-++=
联立求解得
120.3 3.5I A ?
=∠ 28.69319I A ?
=∠
方法二 互感消去法，画出等效电路如图5-13(b)所示，其中一对耦合电感是异侧相连。
+
-
4Ω
3j -Ω
5Ω
1
I ?
2
I ?
1000V
∠8j Ω
10j Ω
2j -Ω
图5-13 例5-5图 (b)
列网孔方程为
112(45)8()100j I j I I ?
?
?
-+-= 2128()(510)0j I I j I ?
?
?
-++=
整理，得
12(43)8100j I j I ?
?
+-= 128(518)0j I j I ?
?
-++=
可见，利用互感消去法可以使分析变得简便。
例5-6 电路如图5-14（a ）所示,已知13R =Ω，25R =Ω，17.5L ω=Ω，212.5L ω=Ω，
6M ω=Ω，50U V =，试求开关K 打开及闭合时电流I
。
1j L ω2j L ω1
R 2
R K
+
U
M
I
1j L ω2
j L ω1
R 2
R +
U
M
1I 2
I I
1L M
+2L M
+1
R 2
R +
U
1I 2
I M
-I
(a) (b) (c)
图5-14 例5-6图
解：（1）当开关K 打开时，耦合电感为顺接串联，设500U =∠。
12125050
1.5275.96(2)8(1
2.57.56)826
U I A R R j L L M j j ω=
===∠-++++++++ （2）当开关K 闭合时，如图5-14（b ）所示。
111()R j L I j MI U ωω++=
221()0j MI R j L I ωω++=
代入数据联立得到
A I I I j j I 1010
12.15824.290
62.6846.1365.125 ∠=-∠∠=-+= 代入1(37.5)650j I j I ++=
解得：1 3.52150.55I A =∠ 7.8851.25I A =∠- 同样可以采用互感消去法，等效电路5-14图(c)所示。
11122[()][()]I j L M R I j L M R U ωω+++++=
1222[()]I j L M R j MI ωω++=-
12I I I +=
可见当0I ≠，则10I ≠若原电路中1L 与2L 间不存在互感耦合，则K 闭合后1I 必为0，而这里其值不为零说明有电磁能从耦合电感1L 一边传输到2L 一边。 根据图5-14所示参考方向，电路方程为
u dt
di M dt di
L i R =++11
1
01212=++dt
di L i R dt di
M
瞬时吸收的功率为
ui dt
di iM dt di
iL i R =++11
21 01212121=++dt
di L i i R dt di
M
i 其中dt di iM
1和dt
di
M i 1分别是线圈1中和线圈2中的一对通过互感电压耦合的功率（吸收）。通过它们实现耦合电感线圈间电磁能的转换和传输。
现讨论正弦稳态下的电能通过互感转换和传输状态。
开关闭合时两个线圈所在支路的复功率分别为1S 和2S ，计算如下
***2*11111111[()]()S U I UI R j L I j MI I R j L I j MI I ωωωω===++=++ ***222122111221[()]()0S U I j MI R j L I I j MII R j L I ωωωω==++=++=
其中互感电压耦合的复功率*
1
I I M j ω和*1I I M j ω 虚部同号，实部异号，这说明耦合复功率中的有功功率是大小相等且相互异号的，即有功功率从一个端口进入必须从另一个端口输出，是互感非耗能特性的体现；虚部同号说明耦合复功率中的无功功率是相同的，也就是说互感电压在两个线圈中产生的无功功率对自感电压在两线圈中产生的无功功率的影响、性质是相同的，这是耦合电感本身的电磁特性确定的。需要特别指出的是互感M 在储能特性上不仅可能呈现电感效应也有可能呈现电容效应，当同向耦合时呈现电感效应，反向耦合时呈现电容效应，与自感储存的磁能进行互补。
例5-7 电路如图5-15所示，已知电压源21U U =其有效值为V 50,13R =Ω，25R =Ω，17.5L ω=Ω，212.5L ω=Ω，6M ω=Ω，分别计算线圈所在支路的复功率。
1
R 2
R 1
L j ω2
L j ωM
j ω+-
+-
1
U 2
U 1
I 2
I 1
1'
2
2'
图5-15 例5-7图
解：根据图5-15所示电压与电流关系方程为
112111I R I M j I L j U ++=ωω 221222I R I M j I L j U ++=ωω
已知2
1U U =联立方程可得到 2
22111
221
)
())(()(M R L j R L j U M j R L j I ωωωωω+++-+=
2
22112
112
)())(()(M R L j R L j U M j R L j I ωωωωω+++-+=
设V U U 021050∠== ,代入数据得到 A j j M R L j R L j U M j R L j I 000222111
221
26.677.469
.11933.8643.524107575.42325250)())(()(-∠=∠∠=+-+=+++-+=ωωωωω A j j M R L j R L j U M j R L j I 00022211211212.9394.169.11933.8657.267.1677575.4275150)
())(()(-∠=∠∠=+-+=+++-+=ωωωωω 线圈1和线圈2所在支路吸收的复功率分别为
*2*200
11111121()(37.5) 4.76 1.9493.12 4.767.26(66.27165.68)(23.8649.23)S U I j L R I j MI I j j j j V A
ωω==++=+?+?∠-?∠=+++?
*2*
200
22222212()(512.5) 1.946 4.767.26 1.9493.12(18.8247.05)(23.8649.23)S U I j L R I j MI I j j j j V A
ωω==++=+?+?∠-?∠=++-+? 可以看出耦合互感复功率吸收的无功功率使得两个线圈自感吸收的无功增加了相同的值，这是互感M 同向耦合作用的结果，耦合互感M 从线圈1所在支路吸收了23.86W 有功
功率传输给线圈2，被2R 消耗了18.82W 后仍有5.04W 剩余，返回给电压源2U ，这种对有功功率过量吸收的现象称为“过冲”。清晰可见有功功率从左边电源1U 发出，供给了1R 和2R 消耗仍有剩余传输给了右边电源2
U 吸收。耦合电感在这个过程中起到了能量的转换和传递作用。
变压器正是基于耦合电感传递能量的电磁特性研制并广泛应用的。
§5.4 变压器的基本原理
变压器就是一种基于电磁互感应原理，借助耦合电感由一个电路向另一个电路传输能量
或信号，同时变换电压，电流和阻抗的器件，是耦合电感应用于工程实际的典型实例。在电器设备和无线电路中，变压器常用作升降电压、匹配阻抗和安全隔离等，这将在其他专业课程中专门阐述，这里仅对电路原理进行简要的介绍。
本章研究的变压器是由两个耦合线圈围绕在一个公共的芯子上制成的。其中，一个线圈做为输入端口，接入电源后形成回路，称为一次回路（原边或初级回路）；另一个线圈做为输出端口，接入负载后形成回路称为二次回路（副边或次级回路）。
5.4.1空心变压器
不含铁心（或磁芯）的变压器称为空心变压器，是线性电感电路，耦合系数较小，多用在无线电技术和某些测量设备中，可以用一般含有互感电路的分析方法来计算，其电路模型如图5-16所示。
DC
+
-M
j ω1L j ω2
L j ωL
jX L
R 1
U 1
I 2
I 1
R 2
R 11'
2
2'
+
-2
U
图5-16空心变压器电路模型
在正弦稳态条件下，有
12111)(U I M j I L j R =++ωω (5-21) 0)(1
222=++++I M j I jX R L j R L L ωω (5-22) 令1111L j R Z ω+=，称为一次回路阻抗，L L jX R L j R Z +++=2222ω，称为二次回路阻抗，M j Z M ω= 称为互阻抗，由上面方程(5-21)和(5-22)可求得
i
M Z U Y M Z U Y Z Z U I 1222
111
2221111
)( =+=-=ω (5-23) 11
2
22111112221112)(Y M Z U MY j Y Z Z U Y Z I M M ωω+-=--= (5-24) 式中22211)(Y M Z Z i ω+=，称为一次等效回路输入阻抗，令222'1)(Y M Z ω=为副边对原边的引入阻抗（反映阻抗），是二次回路由于互感作用对一次回路产生的影响用一个等效参数来表示，即反映阻抗可简化计算，表现了一次回路与二次回路之间由于互感作用实现复功率传递的平衡关系。令112
'
2)(Y M Z ω=为原边对副边的反映阻抗，是一次回路由于互感
作用对二次回路产生的影响，性质与22Z 相反，即感性（容性）变为容性（感性）。
根据式(5-23)可以得到一次回路等效电路图,如图5-17（a ）；同理，根据式(5-24)可以得到二次回路等效电路图, 如图5-17（b ）。
L
jX L
R 2
Z '2
2'
+-
1
11U MY j ω+-1
U 1I 11Z 1
1'
2
I +
-
2
U 1
Z '2
R
2L j ω
(a) 一次侧等效电路 (b) 二次侧等效电路
图5-17 空心变压器的解耦等效电路
令02=I ,此含源端口在22'-的开路电压111U MY j U oc ω=，戴维宁等效阻抗
11222)(Y M L j R Z eq ωω++=。
例5-8 电路如图5-17所示，已知021==R R ,H L 51=,H L 2.32=,H M 4=,
V t u )10cos(1001=,Ω=+=10L L L jX R Z 。试求变压器的耦合因数k 和一次侧、二次侧
电流1i 和2i 。
解：变压器的耦合因数k 为
12
1==
L L M k
二次侧的等效电路
1111228.0U U MY j U U oc ==='ω，0)(2
112=+=L j Y M Z eq ωω 则二次侧的电流为
1
208.0U Z Z U I L
eq OC -=+-= 一次侧的电流为
35.17067.0)02.0064.0()(1122
2
1111
-∠=-=+=U U j Y M Z U I ω° 时域形式表示为
A t i )35.1710cos(7.61?-= A t i )10cos(82-=
5.4.2理想变压器
理想变压器是根据铁心变压器的电气特性抽象出来的磁耦合元件，它的图形符号如图5-18所示 。
图5-18理想变压器电路
它的两个互感线圈也称作绕组，与电源相接的线圈称为原边（初级）或原绕组，与负载相连的线圈称为副线圈、副绕组或副边。原副绕组在共同的铁心上彼此绝缘，故负载与电源无电的连接，铁心变压器的性能在《电机拖动》课程中将详细分析，这里使之理想化成为理想变压器，所得结果与实际情况相接近。 一、理想变压器的伏安特性
根据理想变压器的模型图5-18中所示参考方向和同名端有：
12()()u t nu t = (5-25)
121
()()i t i t n
=- (5-26)
其中，1N 为理想变压器初级绕组的匝数，2N 为次级绕组的匝数，12
N
n N =称为匝数比，
即理想变压器的变比。
若1u ，2u 参考方向的“十”极性端都与同名端相连，则12u nu =，若“十”极性端分别与异名端相连，则12u nu =-。对电流而言，若1i ，2i 参考方向分别从同名端同时流入(或同时流出)时，则121
i i n
=-。若1i ，2i 的参考方向分别从异名端同时流人(或同时流出)时，则121
i i n
=
。 式(5-25)和式（5-26）表明，电压与电流经过理想变压器只是在数值上按比例地进行变化而不会出现时间上的超前滞后；理想变压器的特性只通过一个参数n 来表征，也就是通过
n 表征原边与副边之间的电压和电流的变化关系，以及后面将讲到的阻抗的变化关系。
在如图5-18所示电路中，在任何瞬间，理想变压器吸收的功率为
1121122111()
()()()()()()[()]0u t p p p u t i t u t i t u t i t ni t n
=+=+=+
-= (5-27) 式（5-27）表明，理想变压器任意时刻吸收的总功率为零，因此，理想变压器是一个即
不耗能，也不贮能的无源元件，它把原边输入的功率全部传递到副边的负载。在传输的过程中仅仅将电压、电流按变比作数值变换。
在正弦稳态交流电路中，理想变压器伏安关系的相量形式为
2
1U n U = (5-28) 2
11I n
I -= (5-29) 例5-9 理想变压器的电流方向和同名端如图5-19所示，试分别写出电压与电流关系式。
+
-
+
-
+
-
+
-
1
u 2
u 1i 2
i 1:n 1
u 2
u 1
i 2
i 1
u 2
u +
-1
i 2
i 1
:n 1:n +
-
(a) (b) (c)
图5-19例5-9图
解：对图5-19(a) 12u nu = 12211()i i i n n
=--=
对图5-19 (b) 12u nu =- 12211
()i i i n n =--=
对图5-19 (c) 12u nu =- 121
i i n =
二、理想变压器的实现
理想变压器应满足以下三个理想化条件：
（1）变压器本身不能消耗能量，即导线的电阻为零，及无铁芯损耗（铁芯无涡流损耗及磁滞损耗）。
（2）耦合系数k=1，即没有漏磁。 （3）线圈的自感和互感为无穷大，但仍保持
1
2
L n L =，12N n N =。
理想变压器只有满足上述三个理想化条件才能使得式（5-25）和式（5-26）成立。 证明一：当满足三个理想化条件时式（5-25）成立。
当1=k 时即全耦合，有两个线圈上的总磁通即自感磁通与互感磁通之和相等，即
22111φφφ+=，21222φφφ+=
而2111φφ=，1222φφ=，因此有21φφ=。
设原边线圈共1N 匝，副边线圈共2N 匝，则交链两个线圈的磁通链分别为
111?ψN = 222?ψN =
第10章含有耦合电感的电路 重点： 1.互感和互感电压的概念及同名端的含义； 2.含有互感电路的计算； 3.空心变压器和理想变压器的电路模型。 难点： 1. 耦合电感的同名端及互感电压极性的确定； 2. 含有耦合电感的电路的方程； 3. 含有空心变压器和理想变压器的电路的分析。 本章与其它章节的联系： 本章的学习内容建立在前面各章理论的基础之上。 预习知识： 电磁感应定律 §10.1 互感 耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。 1. 互感 两个靠得很近的电感线圈之间有 磁的耦合，如图10.1所示，当线圈1 中通电流i1 时，不仅在线圈1中产生 磁通f11，同时，有部分磁通 f21 穿过临 近线圈2，同理，若在线圈2中通电流 i2时，不仅在线圈2中产生磁通f22，图 10.1
同时，有部分磁通 f12穿过线圈1，f12 和f21称为互感磁通。定义互磁链： ψ12 = N1φ12ψ21 = N2φ21 当周围空间是各向同性的线性磁介质时，磁通链与产生它的施感电流成正比，即有自感磁通链： 互感磁通链： 上式中 M12和 M21称为互感系数，单位为（H）。当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和： 需要指出的是： １）M 值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，因此，满足M12 =M21 =M ２）自感系数L 总为正值，互感系数 M 值有正有负。正值表示自感磁链与互感磁链方向一致，互感起增助作用，负值表示自感磁链与互感磁链方向相反，互感起削弱作用。 2. 耦合因数 工程上用耦合因数k 来定量的描述两个耦合线圈的耦合紧密程度，定义 一般有： 当k =1 称全耦合，没有漏磁，满足f11 = f21，f22 = f12。 耦合因数k 与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关。 3. 耦合电感上的电压、电流关系 当电流为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。根据电磁感应定律和楞次定律得每个线圈两端的电压为：
第十章 含有耦合电感的电路 §1. 耦合电感器与互感电压 一、耦合电感器 ──如果电感器L 1，L 2之间有公共磁通相交链，这两个电感器就构成一个耦合电感器。 1、11φ21φ1L φ 电感器2与1的互感（mutual inductance ） 1 21 212121i N i M φψ=? 注2，21φ的方向与电感器2导线的绕向无关。 2 2’
1=k ──全耦合电感器（相当于021==L L φφ无漏磁通） 实际中： 当双线并绕时，耦合最强，1→k 。 当两个耦合电感器相距甚远，或彼此垂直时，其间耦合较弱，0→k 。
? ??><称强耦合时称弱耦合时,5.0,5.0k k 1ψ2ψ 1ψ13331333Mi i L -=-=ψψψ 表明：在这种绕线方式中，互感磁链与自感磁链方向相反，称为互感的“削弱”作用。 ΦΦ3’ 3
问题：在电路分析中，在确定互感电压时，是否一定要知道耦合电感器的实际绕向呢？ 同名端──在耦合电感器各自一个端钮上通进电流，如果它们产生的互感磁通同方向，这两个端钮就称为同名端。在同名端上打上标记“。”、“.”、“*”或“?”均可。 标有同名端，并用参数表示的耦合电感器的电路符号为： 3. 21i i 、为时变函数时： dt di M dt di L dt Mi i L d dt d u 2 1121111)(+=+==ψ dt di M dt di L dt Mi i L d dt d u 1 2212222)(+=+==ψ
当21i i 、为同频率正弦量时，在正弦稳态情况下： 2 111I M j I L j U ωω+=? 1 222I M j I L j U ωω+=? M ω──互感抗
含耦合电感的电路研究 实验报告 一、实验目的 （1）进一步认识含耦合电感电路中的互感现象。 （2）学习同名端的判断方法。 （3）掌握互感的测量方法。 二、实验原理 （1）耦合线圈同名端的测定： 直流通断法 如图（一）所示，把自感系数为L 1 的线圈1通过开关接到直流电源上，把 一个直流电流表接在自感系数L 2 线圈2的两端。在开关S闭合瞬间，自感系数 L 2 的线圈2的两端将产生一个互感电势，电表的指针就会偏转。若指针正向偏转，则与直流电源正极相连的端钮1和与电表正极相连的端钮2为同名端；若指针反向偏转，则1与2为异名端。 R 图（一）确定互感线圈同名端的直流通断法 （2）互感系数M的测量： 在图（二）所示电路中，在自感系数为L 1 的线圈中通入固定频率的正弦电 流I 1，测量自感系数为L 2 的线圈的开路电压有效值U 2 ，若交流电压表的内阻足 够大，则有U 2=ωM 21 I 1 ，因此互感系数M 21 = I U 1 2 反之，在图（三）所示电路中，在自感系数为L 2的线圈中通入固定频率的
正线电流I 2，测量自感系数为L 1 的线圈的开路电压有效值U 1 ，则有U 1 =ωM 12 I 2 ， 因此互感系数M 12= I U 21 如果两次测量时两个线圈相对位置未变，则有M 12=M 21 =M U2 图（二）自感系数为L1的线圈接电源端测量M21 U1 图（三）自感系数为L2的线圈接电源端测量M12 三、实验步骤 （1）测定两个线圈的同名端 按图（一）接线，在开关闭合瞬间可以看到电流表正向偏转，所以1和 2 是同名端。 （2）测定耦合线圈的互感系数M 按图（二）接线，事先将函数电源输出电压调定为U S ,读取交流电流表读数 I 1和交流电压表读数U 2 ，求出M 21 。改变函数电源输出频率多得几次数据记入表 一得到不同的M 21 求平均。
第十章 含有耦合电感的电路 本章重点： 1.互感及互感电压 2.互感线圈的串并联 3.理想变压器的变换作用 本章难点：空心变压器的等效电路 本章内容 §10-1 互感 1、概念：互感、总磁链、同名端。 2、耦合线圈的电压、电流关系） 设,u i 为关联参考方向： (1) 121111u u L u +=±== dt di M dt di dt d 211ψ 222122u u L u +=+±== dt di dt di M dt d 212ψ 式中：u 11=L 1 dt di 1 ，u 22=L 2dt di 2称为自感电压； u 22=±M dt di 1，u 12=±M dt di 2称为互感电压(互感电压的正负，决定于互感电压“+”极性端子，与产生它的电流流进的端子为一对同名端，则互感电压为“+”号). (2) 相量式 1212111j L L M U I j M I jX I J Z I ωω? ? ? ? ? =±=+ 1221222j L L M U M I j I jX I J Z I ωω? ? ? ? ? =±+=+ 式中M Z j M ω=为互感抗。 3、耦合因数： 1def k == =≤ §10-2 含有耦合电感电路的计算 1、耦合电感的串联 (1)反向串联：把两个线圈的同名端相连称为反接。由(a)图知：
111 11(L -M )=(L -M)di di di u R i R i dt dt dt =++ 22222(L -M )=(L -M)di di di u R i R i dt dt dt =++ 122212()(L +L -2M)di u u u R R i dt =+=++ 其相量式为(b 图去耦等效电路) 12 12()(L +L -2M)U R R I j I ω=++&&& 1212()(L +L -2M)Z R R j ω=++ (2)顺向串联；把两个线圈的异名端相连，称为顺接。 1212()(L +L +2M)Z R R j ω=++ 2、耦合电感线圈并联 (1)同侧并联电路：把两个耦合电感的同名端连在同一个结点上，称为同侧并联电路，由(a) 图得： ? ? ? 1211( )U R j L I j M I ωω=++； ? ? ? 1222 ()U j M I R j ML I ωω=++ i + ?? R 1 R 2 L 1 L 2 + + — — —U 1 U 2 i + R 1 R 2 L 1-M L 2-M + + — — U 1 U 2 — (a) (b) i ? + — ???U &j M ω1j L ω2 j L ω3I &1I &2 I &1R 20 ? + — ?U &3 j L ω() 1 j L M ω-() 2 j L M ω-3I &1 I & 2 I &1R 2 R 0 （a ） （b ） ① ① 1'
9含有耦合电感电路 一、教学基本要求 1、熟练掌握互感的概念及具有耦合电感的电路计算方法。 2、掌握空心变压器和理想变压器的应用。 二、教学重点与难点 1. 教学重点： (1).互感和互感电压的概念及同名端的含义； (2). 含有互感电路的计算 (3). 空心变压器和理想变压器的电路模型 2．教学难点：(1). 耦合电感的同名端及互感电压极性的确定； (2). 含有耦合电感的电路的方程 (3). 含有空心变压器和理想变压器的电路的分析。 三、本章与其它章节的联系： 本章的学习内容建立在前面各章理论的基础之上。 四、学时安排总学时：4 五、教学内容
§ 互感 耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。 1. 互感 图 两个靠得很近的电感线圈之间有磁的耦合，如图所示，当线圈1中通电流i1时，不仅在线圈1中产生磁通φ11，同时，有部分磁通φ21穿过临近线圈2，同理，若在线圈2中通电流i2时，不仅在线圈2中产生磁通φ22，同时，有部分磁通φ12穿过线圈1，φ12和φ21称为互感磁通。定义互磁链： ψ12 = N1φ12ψ21 = N2φ21 当周围空间是各向同性的线性磁介质时，磁通链与产生它的施感电流成正比，即有自感磁通链： 互感磁通链： 上式中 M12和 M21称为互感系数，单位为（H）。当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和： 需要指出的是： １）M 值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，因此，满足 M 12 =M21 =M ２）自感系数L 总为正值，互感系数 M 值有正有负。正值表示自感磁链与互感磁链方向一致，互感起增助作用，负值表示自感磁链与互感磁链方向相反，互感起削弱作用。 2. 耦合因数 工程上用耦合因数k 来定量的描述两个耦合线圈的耦合紧密程度，定义
第十章（含耦合电感的电路）习题解答 一、选择题 1．图10—1所示电路的等效电感=eq L A 。 Ａ．8H ； Ｂ．7H ； Ｃ．15H ； Ｄ．11H 解：由图示电路可得 121 d d 2d d ) 63(u t i t i =++， 0d d 4d 221=+t i t i d 从以上两式中消去 t i d d 2 得t i u d d 811=，由此可见 8=eq L H 2．图10—2所示电路中，V )cos(18t u s ω=，则=2i B A 。 Ａ．)cos(2t ω； Ｂ．)cos(6t ω； Ｃ．)cos(6t ω-； Ｄ．0 解：图中理想变压器的副边处于短路，副边电压为0。根据理想变压器原副边电压的关系可知原边的电压也为0，因此，有 A )cos(29 ) cos(18 1t t i ω=ω= 再由理想变压器原副边电流的关系n i i 121= (注意此处电流2i 的参考方向)得 A )cos(612t ni i ω== 因此，该题应选B 。 3．将图10─3（a ）所示电路化为图10—3（b ）所示的等效去耦电路，取哪一组符号取决于 C 。 Ａ．1L 、2L 中电流同时流入还是流出节点0； Ｂ．1L 、2L 中一个电流流入0，另一个电流流出节点0 ； Ｃ．1L 、2L 的同名端相对于0点是在同侧还是在异侧，且与电流参考方向无关； Ｄ．1L 、2L 的同名端相对于0点是在同侧还是在异侧，且与电流参考方向有关。 解：耦合电感去耦后电路中的M 前面是取“+”还是取“–”，完全取决于耦合电感的同名端是在同侧还是在异侧，而与两个电感中电流的参考方向没有任何关系。因此，此题选C 。
§10.1 互感 耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。 1. 互感 两个靠得很近的电感线圈之间有磁的耦合，如图10.1所示，当线圈1中通电流 i 1 时，不仅在线圈1中产生磁通f 11，同时，有部分磁通 f 21 穿过临近线圈2，同理，若在线圈2中通电流 i 2 时，不仅在线圈2中产生磁通f 22， 同时，有部分磁通 f 12 穿过线圈1，f 12和f 21称为互感磁通。定义互磁链： 图 10.1 ψ12 = N 1φ12 ψ21 = N 2φ21 当周围空间是各向同性的线性磁介质时，磁通链与产生它的施感电流成正比，即有自感磁通链： 互感磁通链： 上式中 M 12 和 M 21 称为互感系数，单位为（H ）。当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和： 需要指出的是： １）M 值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，因此，满足
M12 =M21 =M ２）自感系数L 总为正值，互感系数 M 值有正有负。正值表示自感磁链与互感磁链方向一致，互感起增助作用，负值表示自感磁链与互感磁链方向相反，互感起削弱作用。 2. 耦合因数 工程上用耦合因数k 来定量的描述两个耦合线圈的耦合紧密程度，定义 一般有： 当k =1 称全耦合，没有漏磁，满足f11 = f21，f22 = f12。 耦合因数k 与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关。 3. 耦合电感上的电压、电流关系 当电流为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。根据电磁感应定律和楞次定律得每个线圈两端的电压为： 即线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压。 在正弦交流电路中，其相量形式的方程为 注意：当两线圈的自感磁链和互感磁链方向一致时，称为互感的“增助”作用，互感电压取正；否则取负。以上说明互感电压的正、负： （1）与电流的参考方向有关。
第十章 耦合电感和变压器电路分析 一 内容概述 1 互感的概念及VCR ：互感、同名端、互感的VCR 。 2 互感电路的分析方法： ①直接列写方程：支路法或回路法； ②将互感转化为受控源； ③互感消去法。 3 理想变压器： ①理想变压器的模型及VCR ； ②理想变压器的条件； ③理想变压器的阻抗变换特性。 本章的难点是互感电压的方向。具体地说就是在列方程时，如何正确的计入互感电压并确定“＋、－”符号。 耦合电感 1）耦合电感的伏安关系 耦合电感是具有磁耦合的多个线圈 的电路模型，如图10-1(a)所示，其中L 1、 L 2分别是线圈1、2的自感，M 是两线圈之 间的互感，“．”号表示两线圈的同名端。 设线圈中耦合电感两线圈电压、电流 选择关联参考，如图10-1所示，则有： dt di M dt di L )t (u dt di M dt di L )t (u 1 2222 11 1±=±= 若电路工作在正弦稳态，则其相量形式为： . 1 . 2. 2. 2. 1. 1I M j I L j U I M j I L j U ωωωω±=±= 其中自感电压、互感电压前正、负号可由以下规则确定：若耦合电感的线圈电压与电流的参考方向为关联参考时，则该线圈的自感电压前取正号(如图10-l (a)中所示)t (u 1的自感电压)，否则取负号；若耦合电感线圈的线圈电压的正极端与该线圈中产生互感电压的另一线圈的 图10-1
电流的流入端子为同名端时，则该线圈的互感电压前取正号(如图10-l (a)所示中)t (u 1的互感电压)，否则取负号(如图10-1(b)中所示)t (u 1的互感电压)。 2）同名端 当线圈电流同时流人(或流出)该对端钮时，各线圈中的自磁链与互磁链的参考方向一致。 2 耦合电感的联接及去耦等效 1）耦合电感的串联等效 两线圈串联如图10-2所示时的等效电感为： M 2L L L 2 1eq ±+= （10-1） （10-1）式中M 前正号对应于顺串，负号对应于反串。 2）耦合电感的三端联接 将耦合电感的两个线圈各取一端联接起来就成了耦合电感的三端联接电路。这种三端联接的电路也可用3个无耦合的电感构成的T 型电路来等效，如图10-3所示 图10-2 图10-3
第5章 含有耦合电感的电路 内容提要 本章主要介绍耦合电感的基本概念和基本特性，同时介绍同名端的概念及使用方法，重点介绍采用消耦法求解含有耦合电感电路的分析计算方法，最后介绍空心变压器及理想变压器的工作原理，特性方法式及其分析计算方法。 §5.1 互感 当一个线圈通过电流时，在线圈的周围建立磁场，如果这个线圈邻近还有其它线圈，则载流线圈产生的磁通不仅和自身交链，而且也和位于它附近的线圈交链，则称这两线圈之间具有磁的耦合或说存在互感。载流线圈的磁通与自身线圈交链的部分称为自感磁通，与其它线圈交链的部分称为互感磁通。 5.1.1互感及互感电压 如图5-1所示，两组相邻线圈分别为线圈I 和线圈Ⅱ，线圈I 的匝数为1N ，线圈Ⅱ的匝数为2N 。设电流1i 自线圈I 的“1”端流入，按右手螺旋定律确定磁通正方向如图5-1所示，由1i 产生磁通11?全部交链线圈I 的1N 匝线圈，而其中一部分21?，不仅交链线圈I 而且交链线圈Ⅱ的2N 匝线圈，我们定义11?是线圈I 的自感磁通，21?是线圈I 对线圈Ⅱ的互感磁通。这里的线圈I 通过电流1i 产生了磁通，我们将这种通有电流的线圈称为载流线圈或施感线圈，流经线圈的电流称为施感电流。同理如果在线圈Ⅱ中通入电流2i ，由电流2i 也会产生线圈Ⅱ的自感磁通22?和线圈Ⅱ对线圈I 的互感磁通12?。 说明：磁通（链）下标的第一个数字表示该磁通链所在线圈的编号，第二个数字表示产生该磁通（链）的施感电流的编号，接下来研究的使用双下标符号的物理量，其双下标的含义均同上。 当载流线圈中的施感电流随着时间变化时，其产生的磁通链也随之变化。根据法拉第电磁感应定律，这种时变磁通在载流线圈内将会产生感应电压。 设通过线圈I 的总磁通为1?，则有 12111???+= (5-1) 其中自感磁通11?与1N 匝线圈交链，对于线性电感则有自感磁通链11ψ为 1111111N L i ψφ== (5-2) 式(5-2)中，1L 称为线圈I 的自感系数，简称自感，单位为亨利简称亨（H ）。
耦合电感的去耦等效方法的讨论 王胤旭5090309291 琦然5090309306 衎 5090309 摘要：本文主要讨论有公共连接点的两个耦合电感的简单去耦等效方法以及由此衍生的两个特例--耦合电感的串联和并联。并讨论多重耦合电感的去耦相对独立性以及某些含有复杂耦合电感电路的快速去耦等效方法。 1.有公共连接点的耦合电感的去耦等效 图示电路中, 耦合电感L1和L2 有一公共连接点 N, 根据耦合电感的性质, 可得如下方程: ?????+=+=2 21211I I L j MI j U MI j L j U BC AC ωωωω 对于节点N 有KCL 方程：0321=++I I I 上面两式整理得：2 2113 223 11)()()()(I M L j I M L j U U U MI j I M L j U MI j I M L j U BC AC AB BC AC ---=-=--=--=ωωωωωω 故可得其等效去耦电路如图2所示。 图1 耦合电感
图2 等效去耦后的电感 上述去耦过程可以用文字表述如下: 1）设互感为M 的两耦合电感具有公共的连接点（假设其同名端相连）且连接点处仅含 有三条支路, 则其去耦规则为: 含有耦合电感的两条支路各增加一个电感量为- M 的附 加电感; 不含耦合电感的另一条支路增加一个电感量为- M 的附加电感。 若为非同名端连接，只需将上述电感量M 改变符号即可。 2）若连接处含有多条支路, 则可以通过节点分裂, 化成一个在形式上仅含三条支路的节 点。 2.两个特例----耦合电感的串联和并联 2. 1 两耦合电感串联 1）若同名端连接于同一节点（即电流从异名端流入）, 则构成反接串联，计算公式： M L L L eq 221-+=; 2）若非同名端连接于同一节点(即电流从同名端流入), 则构成顺接串联，计算公式： M L L L eq 221++=; 2. 2 两耦合电感的并联 1)若同名端连接于同一节点, 则构成同侧并联,计算公式：M L L M L L L eq 2212 21-+-=; 2)若非同名端连接于同一节点, 则构成异侧并联,计算公式：M L L M L L L eq 2212 21++-=;
第十章（含耦合电感的电路）习题解答 一、选择题 1．图10—1所示电路的等效电感=eq L A 。 Ａ．8H ； Ｂ．7H ； Ｃ．15H ； Ｄ．11H 解：由图示电路可得 121 d d 2d d ) 63(u t i t i =++， 0d d 4d 221=+t i t i d 从以上两式中消去t i d d 2得t i u d d 811=，由此可见 8=eq L H 2．图10—2所示电路中，V )cos(18t u s ω=，则=2i B A 。 Ａ．)cos(2t ω； Ｂ．)cos(6t ω； Ｃ．)cos(6t ω-； Ｄ．0 解：图中理想变压器的副边处于短路，副边电压为0。根据理想变压器原副边电压的关系可知原边的电压也为0，因此，有 再由理想变压器原副边电流的关系n i i 121= (注意此处电流2i 的参考方向)得 因此，该题应选B 。 3．将图10─3（a ）所示电路化为图10—3（b ）所示的等效去耦电路，取哪一组符号取决于 C 。 Ａ．1L 、2L 中电流同时流入还是流出节点0； Ｂ．1L 、2L 中一个电流流入0，另一个电流流出节点0 ； Ｃ．1L 、2L 的同名端相对于0点是在同侧还是在异侧，且与电流参考方向无关； Ｄ．1L 、2L 的同名端相对于0点是在同侧还是在异侧，且与电流参考方向有关。 解：耦合电感去耦后电路中的M 前面是取“+”还是取“–”，完全取决于耦合电感的同名端是在同侧还是在异侧，而与两个电感中电流的参考方向没有任何关系。因此，此题选C 。 4．图10—4所示电路中，=i Z B 。 A ．Ω2j ； Ｂ．Ωj1； Ｃ．Ωj3； Ｄ．Ωj8 解：将图10—4去耦后的等效电路如图10—4（a ），由图10—4（a ）得 因此，该题选Ｂ。 5．在图10—5所示电路中，=i Z D 。 A ．Ωj8； Ｂ．Ωj6； Ｃ．Ωj12； Ｄ．Ωj4 解：图中的耦合电感反向串联，其等效阻抗为 所以此题选D 。 6.互感系数M 与下列哪个因素无关 D A ．两线圈形状和结构； Ｂ．两线圈几何位置； Ｃ．空间煤质； Ｄ．两线圈电压电流参考方向 7.理想变压器主要特性不包括 C A ．变换电压； Ｂ．变换电流； Ｃ．变换功率； Ｄ．变换阻抗 8.对于图10-6所示电路中，下列电压、电流的关系叙述中，正确的是：D A. 12121122,di di di di u L M u M L dt dt dt dt =--=--； B.12121122,di di di di u L M u M L dt dt dt dt =-=-+；