径向基函数
利用样本点x i的响应值, 通过基函数的线性叠加来计算待测点x 处响应值的径向基模型的基本形式如下:
f x=w i??r i
n
i=1
=w Tφ
其中权系数w=w1,w2,···,w n T，φ= ?r1,?r2,···,?r n T r i= x?x i是待测点x与样本点x i之间的欧氏距离
?r是径向函数
常用的径向函数有Gauss函数?r=exp ?r 2
c2
Multiquadric函数?r=r2+c21
2，c是给定大于零的常数
根据插值条件f x j=y i j=1,···,n，可得方程组
??w=Y
矩阵?= ?ij= ? x i?x j
向量Y=y1,?,y n T i,j=1,?,n
在样本点不重合且函数?为征订函数，上式存在唯一解
w=??1?Y
附：MATLAB程序
%求解RBF方程的系数
function b=RBFMain()
clc;
clear;
%读取插值点的数据
Num=xlsread('set_of_test.xlsx'); [row,line]=size(Num);
%读取插值点的结果
F=xlsread('result_of_weight.xlsx');
%计算r值
r=eye(row);
for i=1:row
for j=1:row
temp=0;
for k=1:line
temp=temp+(Num(i,k)-Num(j,k))^2;
end
r(i,j)= sqrt(temp+1);
end
end
%求解方程系数
b=r\F;
%写入excel
xlswrite('set_of_coefficient.xlsx',b); end
%RBF径向基函数主程序
function result=RBFMain2()
clear;clc;
%插值点
Input=xlsread('set_of_test.xlsx'); [row,line]=size(Input);
%需要预测的一组插值点
X=xlsread('set_of_indict.xlsx');
%读取系数
b=xlsread('set_of_coefficient.xlsx'); %计算r值
r=[];
for i=1:row
temp=0;
for j=1:line
temp=temp+(X(j)-Input(i,j))^2; end
r(i)= sqrt(temp+1);
end
%求解方程
result=b'*r';
end
三、径向分布函数法 中心分子 第一层：第一配位圈 第二层：第二配位圈 . . . 短程有序，远程无序 1、 基本概念，基本定义 首先定义一个新的函数---n 重相关函数 为 当系统的位能E N = 0 ,则系统内分子是独立的，由分布函数公式 可得到： g(r) r
因此对于分子相互独立的系统，， 对于分子间有相互作用的系统，相当于对分子独立性的校正，亦即表示了分子的相关性，因而称之为相关函数。 相关函数中，最重要的是二重相关函数g(2)，它可由X射线衍射实验和计算机分子模拟的机器实验结果获得，由式子 可知表示如下
上式即二重相关函数与位形积分的关系。 对于由球星对称分子构成的液体，仅取决于分子1和2的距离，即可写成g(r)，所以就有 故上式中的分子相对函数g(r)就是分子的径向分布函数。 因，即第一个分子是任意分布的。由于液体分子间存在相互作用，第二个分子不可能任意分布，而构成相对于中心分子的局部密度，相应的二重分布函数为 将上式代入到中得到
所以径向分布函数g(r)的物理意义可解释为：在一个中心分子周围距离为r处，分子的局部密度相对于本体密度的比值。 从径向分布函数g(r)可以计算液体的配位数： 实际上N为中心分子周围分子的总数，而为距中心分子r处在r + dr壳层内的分子数目。若将上式积分到第一配位圈的距离L处，即可得到配位数N(L)为 N(L)实际上也是围绕中心分子，半径为r=L的球体内的分子数。
如图已知： r1,r2…rN 代表坐标系原点，指向分子1，2，… N 的向量，体系分子1，分子2分别出现在r1处的体系元 的几率为： 称双重标明分布函数； ：泛指（任意分子分布在r1， r2处的概率） ：双重分布函数 () ()()N kT r r u N kT q u K K N Tr i d d d e d d d e Q N N ττττττ???............121/...21/1????=-*===2τd ()()()K N kT r r r u d d d d e d d r r P N ?ττττττ2 13/,...,21212]......[,21??-= ()()()K N kT r r u d d e r r P N ?ττ?? -=......,3/...2121()()2 1212,τ τd d r r P ()() 212,r r ρ () ()()() ()() () 2122 212212,,1,r r P N r r P N N r r ≈-=ρ x y
clear all; clc; N=35; %样本个数 NN1=4; %预测样本数 %********************随机选择初始训练样本及确定预测样本******************************* x=[]; y=[]; index=randperm(N); %随机排序N个序列 index=sort(index); gama=23.411; %正则化参数 deita=0.0698; %核参数值 %thita=; %核参数值 %*********构造感知机核函数************************************* %for i=1:N % x1=x(:,index(i)); % for j=1:N % x2=x(:,index(j)); % K(i,j)=tanh(deita*(x1'*x2)+thita); % end %end %*********构造径向基核函数************************************** for i=1:N x1=x(:,index(i)); for j=1:N x2=x(:,index(j)); x12=x1-x2; K(i,j)=exp(-(x12'*x12)/2/(deita*deita)); End End %*********构造多项式核函数**************************************** %for i=1:N % x1=x(:,index(i)); % for j=1:N % x2=x(:,index(j)); % K(i,j)=(1+x1'*x2)^(deita); % end %end %*********构造核矩阵************************************ for i=1:N-NN1 for j=1:N-NN1 omeiga1(i,j)=K(i,j); end end
Matlab工具箱中的BP与RBF函数 Matlab神经网络工具箱中的函数非常丰富，给网络设置合适的属性，可以加快网络的学习速度，缩短网络的学习进程。限于篇幅，仅对本章所用到的函数进行介绍，其它的函数及其用法请读者参考联机文档和帮助。 1 BP与RBF网络创建函数 在Matlab工具箱中有如表1所示的创建网络的函数，作为示例，这里只介绍函数newff、newcf、newrb和newrbe。 表 1 神经网络创建函数 (1) newff函数 功能：创建一个前馈BP神经网络。 调用格式：net = newff(PR,[S1 S2...S Nl],{TF1 TF2...TF Nl},BTF,BLF,PF) 参数说明： ?PR - R个输入的最小、最大值构成的R×2矩阵； ?S i–S NI层网络第i层的神经元个数； ?TF i - 第i层的传递函数，可以是任意可导函数，默认为'tansig'，可
设置为logsig，purelin等； ?BTF -反向传播网络训练函数，默认为'trainlm'，可设置为trainbfg，trainrp，traingd等； ?BLF -反向传播权值、阈值学习函数，默认为'learngdm'； ?PF -功能函数，默认为'mse'； (2) newcf函数 功能：创建一个N层的层叠(cascade)BP网络 调用格式：net = newcf(Pr,[S1 S2...SNl],{TF1 TF2...TFNl},BTF,BLF,PF) 参数同函数newff。 (3) newrb函数 功能：创建一个径向基神经网络。径向基网络可以用来对一个函数进行逼近。newrb函数用来创建一个径向基网络，它可以是两参数网络，也可以是四参数网络。在网络的隐层添加神经元，直到网络满足指定的均方误差要求。 调用格式：net = newrb(P,T,GOAL,SPREAD) 参数说明： ?P：Q个输入向量构成的R×Q矩阵； ?T：Q个期望输出向量构成的S×Q矩阵； ?GOAL：均方误差要求，默认为0。 ?SPREAD：分散度参数，默认值为1。SPREAD越大，网络逼近的函数越平滑，但SPREAD取值过大将导致在逼近变化比较剧烈的函数时神经元过多，若SPREAD取值过小，则导致在逼近平滑函数时，
径向分布函数、角度分布函数电子云图形的绘制 1.目的要求 (1) 绘制波函数及其各种分布以及电子云的图像，观察各种函数的分布情况。 (2) 了解计算机绘图方法。 2.基本原理 (1) 程序原理：本程序可绘制类氢原子的径向分布函数，角度分布函数及原子轨道、杂化轨道和分子轨道等电子几率密度图，绘制过程中的各函数形式 列于下列各表中。式中 ，n 为主量子数， =0.0529nm ，为波尔半径， Z 是有效核电荷，由Slater 规则计算得到的周期表中前四个周期元素的有效核电荷列于表Ⅱ-24-1中，下面简要叙述对各类图形的处理方案。 ①径向分布函数图： 径向分布函数D(r)=r 2R 2(r) 反映了电子的几率随半径r 的分布情况， D(r)dr 代表半径r 到r+dr 两个球壳夹层内找到电子的几率。其中R(r)为类氢原子的径向函数，本程序所采用的径向函数R(r)分别列于表Ⅱ-24-2中。②角度分布函数图：波函数 的角度部分 以及角度分布函数 表示同一球面不同方向上 或 的相对大小， 本程序所采用的角度函数 分别列于表Ⅱ-24-3中。 3 22232 ,),(,,,,sp d sp yz xz z z z Y Y f f f p p 角度分布图是画的X-Z 平面的截面图，其余角 度分布图都是画的X-Y 平面的截面图。角度分布函数图中，凡轨道形状相同，而仅方向不同者，则仅绘出一个图形作为代表。 2na Zr = ρ0 a ),,(φθψr nlm ),(φθψlm ),(2φθψlm ),,(φθψr nlm ),,(2φθψr nlm ),(φθψlm
③等电子几率密度图：2),,(φθψr 称为电子几率密度函数，它描述在该轨道中的电子在三维空间的分布情况，为了在平面上表示出这种分布往往采用某一切面上的等值面图，程序按指定的轨道在该切面上逐点计算2ψ的值，及找出 2max ψ 的最大值，求出相对几率密度2max 2 /ψ ψ =P ，该值在X-Y 平面上是位 置坐标(x,y)的函数(对于2 3z d 轨道是在X-Z 平面)，绘图时不是将取值相同的点连成曲线，而是打印一系列符号表示相对几率密度的分布区域。当P ＜0.01时为空白， 0.01≤P ＜0.02时用“：”，0.02≤P ＜0.1时用“／”，0.1≤P ＜0.25时用“O ”，0.25≤P ＜0.5时用“&”和P ＞0.5时用“#”符号表示。根据这些符号可以粗略看出几率密度的分布情况。 在X-Y 平面内，坐标变化范围为 -2.4≤x ≤2.4(步长=0.08) -1.42≤y ≤1.42(步长=0.133) 所有距离的长度单位都是10-10m 。 原子轨道使用的波函数如表Ⅱ-24-4所示。对2 32 2 4,4,4,3xz z z z f f d d 和轨道采用 X-Z 平面做截面，所有其它原子轨道都画在X-Y 平面上，程序使用原子轨道的四重轴对称性，首先计算第三象限内，即-2.4≤x ≤0,-1.42≤y ≤0的Ψ值，随后被2m ax 2 /ψ ψ =P 代替，在其它三个象限内的相应值由对称性得到，用 P(x,y)代表电子在坐标(x ，y)点的几率密度，则： P(-x,-y)=P(-x,y)=P(x,-y)=P(x,y)
实验一 径向分布函数、角度分布函数电子云图形的绘制 一、实验目的 1．绘制波函数及其各种分布以及电子云的图像，观察各种函数的分布情况。 2．了解计算机绘图方法。 二、实验原理 1．程序原理：本程序可绘制类氢原子的径向分布函数，角度分布函数及原子轨道、杂化轨道和分子轨道等电子几率密度图，绘制过程中的各函数形式列于下列各表中。式中 ，n 为主量子数， =0.0529nm ，为波尔半径， Z 是有效核电荷，由Slater 规则计算得到的周期表中前四个周期元素的有效核电荷列于表1.1中，下面简要叙述对各类图形的处理方案。 ①径向分布函数图： 径向分布函数D(r)=r 2R 2(r) 反映了电子的几率随半径r 的分布情况， D(r)dr 代表半径r 到r+dr 两个球壳夹层内找到电子的几率。其中R(r)为类氢原子的径向函数，本程序所采用的径向函数R(r)分别列于表2－2中。 ②角度分布函数图： 的角度部分 以及角度分布函数 表示同一球面不同方向上 或 的相对大小，本程序所采用的角度函数 分别列于表3－3中。 0 2na Zr = ρ0 a ),,(φθψr nlm ),(φθψlm ),(2φ θψlm ),,(φθψr nlm ),,(2φθψr nlm ),(φθψlm
3 22 2 3 2 ,),(,,,,sp d sp yz xz z z z Y Y f f f p p 角度分布图是画的X-Z 平面的截面图， 其余角度分布图都是画的X-Y 平面的截面图。角度分布函数图中，凡轨道形状相同，而仅方向不同者，则仅绘出一个图形作为代表。 ③等电子几率密度图：2),,(φθψr 称为电子几率密度函数，它描述在该轨道中的电子在三维空间的分布情况，为了在平面上表示出这种分布往往采用某一切面上的等值面图，程序按指定的轨道在该切面上逐点计算 2 ψ 的值，及找出 2max ψ 的最大值，求出相对几率密度 2max 2 /ψ ψ =P ，该值在X-Y 平面上是位置坐标(x,y)的函数(对于2 3z d 轨 道是在X-Z 平面)，绘图时不是将取值相同的点连成曲线，而是打印一系列符号表示相对几率密度的分布区域。当P ＜0.01时为空白， 0.01≤P ＜0.02时用“：”，0.02≤P ＜0.1时用“／”，0.1≤P ＜0.25时用“O ”，0.25≤P ＜0.5时用“&”和P ＞0.5时用“#”符号表示。根据这些符号可以粗略看出几率密度的分布情况。 在X-Y 平面内，坐标变化范围为 -2.4≤x ≤2.4(步长=0.08) -1.42≤y ≤1.42(步长=0.133) 所有距离的长度单位都是10-10m 。 原子轨道使用的波函数如表1－4所示。对2 3 2 2 4,4,4,3xz z z z f f d d 和轨道采 用X-Z 平面做截面，所有其它原子轨道都画在X-Y 平面上，程序使用原子轨道的四重轴对称性，首先计算第三象限内，即-2.4≤x ≤0,-1.42≤y ≤0的Ψ值，随后被2max 2 /ψ ψ =P 代替，在其它三个象限内的相应 值由对称性得到，用P(x,y)代表电子在坐标(x ，y)点的几率密度，则：
2.2.3 径向部分和角度部分的对画图 1. 径向部分的对画图 结尾部分增加如下内容： 需要指出，常有人将4πr 2ψ2作为径向分布函数的定义， “理由”是：ψ2代表概率密度，4πr 2代表球面积，二者相乘即为半径为r 的球面上的概率。但这种说法至少是片面的，甚至是错误的。事实上，以上说法只对s 电子云才成立，因为它们是与方向无关的球对称形，Y 00=（4π）-1/2，|Y 00|2=（4π）-1，R 2( r )=ψ2/|Y 00|2=4πψ2，从而D ( r )= r 2R 2( r )才可以进一步写成D ( r )= 4πr 2ψ2。可见，D ( r )= r 2R 2( r )对于任何原子轨道的电子云都是适用的，而 D ( r )= 4πr 2ψ2只适用于s 电子云，用于其它电子云都是错误的。 电子云在空间的分布并没有一个明确的边界，所以，衡量轨道的大小取决于如何定义轨道的半径。文献中常见到两种定义: (1) 轨道最可几半径，即径向分布函数D (r )最大值对应的半径r max 。在这个半径上，单位厚度球壳内电子出现的几率最大。以单电子原子的1s 轨道为例： 000000032100322221030 33222223300 03230020()24()d ()4d 422d d 421010Zr a Zr a Zr Zr Zr a a a Zr a Zr a Z R r e a Z D r r R r e a D r Z Z Z r e re r e r a r a a Z Zr re a a Zr re a ?????????=???? ==????==???????????=?=???????=????
由X 射线衍射获得的液体径向分布函数 房春晖,房艳,杨波,雷亚川 (中国科学院青海盐湖研究所,陕西西安710043) 摘要:主要介绍单原子液体、同核分子液体、杂核分子液体和水溶液电子径向分布函数、原子径向分布函数和分子径向分布函数的定义,简明阐述了气体、液体和晶体,尤其是二维晶体的径向分布函数的物理意义和几何意义。 关键词:径向分布函数;液体结构;水溶液 中国分类号:O722 文献标识码:A 文章编号:1008-858X (2002)02-0061-08 0 前言 液体结构一直是理论基础研究的重要领域。其结构的复杂性和多样性不仅包含丰富的理论内涵,而且具有广泛的应用前景。液体及其相变在技术上和工业上的巨大应用潜力和液体结构丰富新颖的物理图象,已引起人们日益广泛的重视[1,2]。例如过饱和溶液介乎于平衡溶液和水合晶体熔盐之间,过饱和度是结晶过程的推动力,母液结构是晶体生长的关键环节,液体的结构直接关系到目前一些前沿难题的攻关,人们期望从分子和离子相互作用的根本上揭示环境科学、盐湖化学、生命和信息科学领域的本质问题。例如NO 2、S O 2酸雨形成过程中,小水滴的成核机理;大气圈平衡、水圈平衡、生物圈新陈代谢平衡和矿物圈平衡中温室气体二氧化碳及其相关的碳酸盐与水分子的相互作用;普遍存在于生物体中的水和电解质的作用机制,如厌氯作物中硫酸盐与水的相互作用;盐湖开发利用中所涉及的化学相变机制和控制规律等。随着地球上最重要液体———水战略资源问题日益严峻,液体结构研究将是新世纪化学 发展的重要方向之一。 液体径向分布函数描述被研究液体的电子密度、原子密度或分子密度的空间校正关系。与晶体物质相比较,液体的结构特征更难于直接准确测量和表征。近年来,随着衍射实验技术和理论计算方法所取得的巨大进步,不仅能够精确有效地测量溶液中各种距离和方向上的原子间相互作用信息,而且能够通过建立几何模型来处理这些具有统计特征的信息,最终实现对溶液中溶剂化离子、溶剂分隔离子对、溶剂共享离子对、接触离子对、以及衍射实验能够测量到的离子簇的原子核间距、配位数和配位几何构型作出离子、分子水平的定量描述。 X 射线衍射法是直接获得液体短程有序结 构信息的重要实验方法。与ND 、EX AFS 、ARPEFS 、X AFS 、X ANES 等实验方法比较,实验 成本低廉,一般不依赖于大型同步辐射装置。与MD 、MC 、M M 、MD +M M 、ab Initio 等计算方法比较,是实验事实的直接测量,而没有任何虚拟 性。研究液体结构,一般采用θ/θ型液体X 射线衍射仪。然而国内外普通实验室一般配备θ/2θ型衍射仪,而不配备θ/θ型衍射仪。在没有θ/θ型衍射仪的情况下,我们另辟溪径,打 收稿日期:2002-01-25 作者简介:房春晖(1957-),男,研究员,主要从事溶液结构研究。 第10卷 第2期2002年 6月 盐湖研究JOURNA L OF S A LT LAKE RESE ARCH V ol.10 N o.2 Jun. 2002
SVM 小结 理论基础： 机器学习有三类基本的问题，即模式识别、函数逼近和概率密度估计． SVM 有着严格的理论基础，建立了一套较好的有限训练样本下机器学习的理论框架和通用方法。他与机器学习是密切相关的，很多理论甚至解决了机器学习领域的其他的问题，所以学习SVM 和机器学习是相辅相成的，两者可以互相促进，有助于机器学习理论本质的理解。 VC 维理论：对一个指示函数集，如果存在h 个样本能够被函数集中的函数按所有可能的2h 种形式分开，则称函数集能够把h 个样本打散；函数集的VC 维就是它能打散的最大样本数目。VC 维反映了函数集的学习能力，VC 维越太则学习机器越复杂(容量越太)。 期望风险：其公式为[](,,(,))(,)y R f c y f y dP y χχχχ?=?，其中(,,(,))c y f y χχ为损失函数，(,)P y χ为概率分布，期望风险的大小可以直观的理解为，当我们用()f χ进行预测时，“平均”的损失程度，或“平均”犯错误的程度。 经验风险最小化（ERM 准则）归纳原则：但是，只有样本却无法计算期望风险，因此，传统的学习方法用样本定义经验风险[]emp R f 作为对期望风险的估计，并设计学习算法使之最小化。即所谓的经验风险最小化（ERM 准则）归纳原则。经验风险是用损失函数来计算的。对于模式识别问题的损失函数来说，经验风险就是训练样本错误率；对于函数逼近问题的损失函数来说，就是平方训练误差；而对于概率密度估计问题的损失函数来说，ERM 准则就等价于最大似然法。但是，经验风险最小不一定意味着期望风险最小。其实，只有样本数目趋近于无穷大时，经验风险才有可能趋近于期望风险。但是很多问题中样本数目离无穷大很远，那么在有限样本下ERM 准则就不一定能使真实风险较小。ERM 准则不成功的一个例子就是神经网络和决策树的过学习问题（某些情况下，训练误差过小反而导致推广能力下降，或者说是训练误差过小导致了预测错误率的增加，即真实风险的增加）。 结构风险最小化理论(SRM)：所以，在有限样本情况下，仅仅用ERM 来近似期望风险是行不通的。统计学习理论给出了期望风险[]R f 与经验风险[]emp R f 之间关系： [][]()emp h R f R f l φ≤+
径向分布函数..
三、径向分布函数法 中心分子 第一层：第一配位圈 第二层：第二配位圈 . . . 短程有序，远程无序 1、 基本概念，基本定义 首先定义一个新的函数---n 重相关函数 为 当系统的位能E N = 0 ,则系统内分子是独立的，由分布函数公式 可得到： g(r) r
因此对于分子相互独立的系统，， 对于分子间有相互作用的系统，相当于对分子独立性的校正，亦即表示了分子的相关性，因而称之为相关函数。 相关函数中，最重要的是二重相关函数g(2)，它可由X射线衍射实验和计算机分子模拟的机器实验结果获得，由式子 可知表示如下
上式即二重相关函数与位形积分的关系。 对于由球星对称分子构成的液体，仅取决于分子1和2的距离，即可写成g(r)，所以就有 故上式中的分子相对函数g(r)就是分子的径向分布函数。 因，即第一个分子是任意分布的。由于液体分子间存在相互作用，第二个分子不可能任意分布，而构成相对于中心分子的局部密度，相应的二重分布函数为 将上式代入到中得到
所以径向分布函数g(r)的物理意义可解释为：在一个中心分子周围距离为r处，分子的局部密度相对于本体密度的比值。 从径向分布函数g(r)可以计算液体的配位数： 实际上N为中心分子周围分子的总数，而为距中心分子r处在r + dr壳层内的分子数目。若将上式积分到第一配位圈的距离L处，即可得到配位数N(L)为 N(L)实际上也是围绕中心分子，半径为r=L的球体内的分子数。
如图已知： r1,r2…rN 代表坐标系原点，指向分子1，2，… N 的向量，体系分子1，分子2分别出现在r1处的体系元 的几率为： 称双重标明分布函数； ：泛指（任意分子分布在r1， r2处的概率） ：双重分布函数 () ()()N kT r r u N kT q u K K N Tr i d d d e d d d e Q N N ττττττ???............121/...21/1????=-*===2τd ()()()K N kT r r r u d d d d e d d r r P N ?ττττττ2 13/,...,21212]......[,21??-= ()()()K N kT r r u d d e r r P N ?ττ?? -=......,3/...2121()()2 1212,τ τd d r r P ()() 212,r r ρ () ()()() ()() () 2122 212212,,1,r r P N r r P N N r r ≈-=ρz r 1 r 2 d τ1 d τ2 y
高斯（核）函数简介 1函数的基本概念 所谓径向基函数(Radial Basis Function简称RBF),就是某种沿径向对称的标量函数。通常定义为空间中任一点x到某一中心xc之间欧氏距离的单调函数,可记作k(||x-xc||),其作用往往是局部的,即当x远离xc时函数取值很小。最常用的径向基函数是高斯核函数,形式为k(||x-xc||)=exp{-||x-xc||^2/(2*σ)^2)}其中xc为核函数中心,σ为函数的宽度参数,控制了函数的径向作用范围。 高斯函数具有五个重要的性质，这些性质使得它在早期图像处理中特别有用．这些性质表明，高斯平滑滤波器无论在空间域还是在频率域都是十分有效的低通滤波器，且在实际图像处理中得到了工程人员的有效使用．高斯函数具有五个十分重要的性质，它们是： （1）二维高斯函数具有旋转对称性，即滤波器在各个方向上的平滑程度是相同的．一般来说，一幅图像的边缘方向是事先不知道的，因此，在滤波前是无法确定一个方向上比另一方向上需要更多的平滑．旋转对称性意味着高斯平滑滤波器在后续边缘检测中不会偏向任一方向． （2）高斯函数是单值函数．这表明，高斯滤波器用像素邻域的加权均值来代替该点的像素值，而每一邻域像素点权值是随该点与中心点的距离单调增减的．这一性质是很重要的，因为边缘是一种图像局部特征，如果平滑运算对离算子中心很远的像素点仍然有很大作用，则平滑运算会使图像失真． （3）高斯函数的付立叶变换频谱是单瓣的．正如下面所示，这一性质是高斯函数付立叶变换等于高斯函数本身这一事实的直接推论．图像常被不希望的高频信号所污染(噪声和细纹理)．而所希望的图像特征（如边缘），既含有低频分量，又含有高频分量．高斯函数付立叶变换的单瓣意味着平滑图像不会被不需要的高频信号所污染，同时保留了大部分所需信号． （4）高斯滤波器宽度(决定着平滑程度)是由参数σ表征的，而且σ和平滑程度的关系是非常简单的．σ越大，高斯滤波器的频带就越宽，平滑程度就越好．通过调节平滑程度参数σ，可在图像特征过分模糊(过平滑)与平滑图像中由于噪声和细纹理所引起的过多的不希望突变量(欠平滑)之间取得折衷． （5）由于高斯函数的可分离性，大高斯滤波器可以得以有效地实现．二维高斯函数卷积可以分两步来进行，首先将图像与一维高斯函数进行卷积，然后将卷积结果与方向垂直的相同一维高斯函数卷积．因此，二维高斯滤波的计算量随滤波模板宽度成线性增长而不是成平方增长． 2函数的表达式和图形 在这里编辑公式很麻烦，所以这里就略去了。可以参看相关的书籍，仅给出matlab绘图的
生存？还是毁灭？——哈姆雷特 可分？还是不可分？——支持向量机 之前一直在讨论的线性分类器,器如其名（汗，这是什么说法啊），只能对线性可分的样本做处理。如果提供的样本线性不可分，结果很简单，线性分类器的求解程序会无限循环，永远也解不出来。这必然使得它的适用范围大大缩小，而它的很多优点我们实在不原意放弃，怎么办呢？是否有某种方法，让线性不可分的数据变得线性可分呢？ 有！其思想说来也简单，来用一个二维平面中的分类问题作例子，你一看就会明白。事先声明，下面这个例子是网络早就有的，我一时找不到原作者的正确信息，在此借用，并加进了我自己的解说而已。 例子是下面这张图： 我们把横轴上端点a和b之间红色部分里的所有点定为正类，两边的黑色部分里的点定为负类。试问能找到一个线性函数把两类正确分开么？不能，因为二维空间里的线性函数就是指直线，显然找不到符合条件的直线。 但我们可以找到一条曲线，例如下面这一条：
显然通过点在这条曲线的上方还是下方就可以判断点所属的类别（你在横轴上随便找一点，算算这一点的函数值，会发现负类的点函数值一定比0大，而正类的一定比0小）。这条曲线就是我们熟知的二次曲线，它的函数表达式可以写为： 问题只是它不是一个线性函数，但是，下面要注意看了，新建一个向量y和a： 这样g(x)就可以转化为f(y)=
径向分布函数
实验一径向分布函数、角度分布函数电子云图形的绘制 一、实验目的 1．绘制波函数及其各种分布以及电子云的图像，观察各种函数的分布情况。 2．了解计算机绘图方法。 二、实验原理 1．程序原理：本程序可绘制类氢原子的径向分布函数，角度分布函 数及原子轨道、杂化轨道和分子轨道等电子几率密度图，绘制过程中 的各函数形式列于下列各表中。式中2 Zr ，n a为0主量子数，na 0 =0.0529nm，为波尔半径， Z 是有效核电荷，由Slater规则计算得到 的周期表中前四个周期元素的有效核电荷列于表 1.1 中，下面简要叙 述对各类图形的处理方案。 ①径向分布函数图： 径向分布函数 D(r)=r 2R2(r) 反映了电子的几率随半径r 的分布情况， D(r)dr 代表半径 r 到 r+dr 两个球壳夹层内找到电子的几率。其中R(r)为类氢原子的径向函数， 本程序所采用的径向函数R(r)分别列于表 2－2 中。 ②角度分布函数图： nlm (r , , )的角度部分lm ( , )以及角度分布函数 2 lm( , )表示同 一球面不同方向上所采用的角度函数nlm (r , , ) 或nlm ( r , , ) 的相对大小，本程序 2 lm ( , ) 分别列于表3－3 中。
p z , p z2 , f z3 , f xz2 , ( f yz2 ),Y sp ,Y d2sp3角度分布图是画的X-Z 平面的截面图，其余角度分布图都是画的 X-Y 平面的截面图。角度分布函数图中，凡 轨道形状相同，而仅方向不同者，则仅绘出一个图形作为代表。 ③等电子几率密度图： (r , , ) 2称为电子几率密度函数，它描述在该轨 道中的电子在三维空间的分布情况，为了在平面上表示出这种分布往 往采用某一切面上的等值面图，程序按指定的轨道在该切面上逐点 计算 2 的值，及找出max 2 的最大值，求出相对几率密度 P 2 / max 2，该值在 X-Y 平面上是位置坐标 (x,y)的函数 (对于3d z 2轨 道是在 X-Z 平面 )，绘图时不是将取值相同的点连成曲线，而是打印 一系列符号表示相对几率密度的分布区域。当P＜0.01 时为空白， 0.01≤P＜0.02时用“：”，0.02≤P＜0.1 时用“／”，0.1≤P＜0.25 时用 “O”，0.25≤P＜0.5 时用“ & ”和 P＞0.5 时用“ # ”符号表示。根据这些符号可以粗略看出几率密度的分布情况。 在X-Y 平面内，坐标变化范围为 -2.4≤x≤2.4(步长 =0.08) -1.42≤y≤1.42(步长 =0.133) 所有距离的长度单位都是10-10m 。 原子轨道使用的波函数如表1－4 所示。对3d z2,4d z2,4 f z3,和4 f xz2轨道采用X-Z 平面做截面，所有其它原子轨道都画在 X-Y 平面上，程序使用原子轨道的四重轴对称性，首先计算第三象限内，即-2.4≤x≤0,-1.42 ≤y≤0 的Ψ值，随后被P 2 /max2代替，在其它三个象限内的相应 值由对称性得到，用P(x,y)代表电子在坐标 (x，y)点的几率密度，则：
高斯核函数所谓径向基函数(Radial Basis Function 简称RBF), 就是某种沿径向对称的标量函数。通常定义为空间中任一点x到某一中心xc之间欧氏距离的单调函数, 可记作k(||x-xc||), 其作用往往是局部的, 即当x远离xc时函数取值很小。 最常用的径向基函数是高斯核函数,形式为k(||x-xc||)=exp{- ||x-xc||^2/(2*σ)^2) } 其中xc 为核函数中心,σ为函数的宽度参数, 控制了函数的径向作用范围。 计算机视觉中的作用 在计算机视觉中，有时也简称为高斯函数。高斯函数具有五个重要的性质，这些性质使得它在早期图像处理中特别有用．这些性质表明，高斯平滑滤波器无论在空间域还是在频率域都是十分有效的低通滤波器，且在实际图像处理中得到了工程人员的有效使用．高斯函数具有五个十分重要的性质，它们是：（1）二维高斯函数具有旋转对称性，即滤波器在各个方向上的平滑程度是相同的．一般来说，一幅图像的边缘方向是事先不知道的，因此，在滤波前是无法确定一个方向上比另一方向上需要更多的平滑．旋转对称性意味着高斯平滑滤波器在后续边缘检测中不会偏向任一方向．（2）高斯函数是单值函数．这表明，高斯滤波器用像素邻域的加权均值来代替该点的像素值，而每一邻域像素点权值是随该点与中心点的距离单调增减的．这一性质是很重要的，因为边缘是一种图像局部特征，如果平滑运算对离算子中心很远的像素点仍然有很大作用，则平滑运算会使图像失真．（3）高斯函数的付立叶变换频谱是单瓣的．正如下面所示，这一性质是高斯函数付立叶变换等于高斯函数本身这一事实的直接推论．图像常被不希望的高频信号所污染(噪声和细纹理)．而所希望的图像特征（如边缘），既含有低频分量，又含有高频分量．高斯函数付立叶变换的单瓣意味着平滑图像不会被不需要的高频信号所污染，同时保留了大部分所需信号．（4）高斯滤波器宽度(决定着平滑程度)是由参数σ表征的，而且σ和平滑程度的关系是非常简单的．σ越大，高斯滤波器的频带就越宽，平滑程度就越好．通过调节平滑程度参数σ，可在图像特征过分模糊(过平滑)与平滑图像中由于噪声和细纹理所引起的过多的不希望突变量(欠平滑)之间取得折衷．（5）由于高斯函数的可分离性，大高斯滤波器可以得以有效地实现．二维高斯函数卷积可以分两步来进行，首先将图像与一维高斯函数进行卷积，然后将卷积结果与方向垂直的相同一维高斯函数卷积．因此，二维高斯滤波的计算量随滤波模板宽度成线性增长而不是成平方增长．
4 ·技术?/? TECHNOLOGY ·科研信息化技术与应用2012, 3(5): 4–12 径向基函数在动网格中的应用及可并行性研究 马文鹏，陆忠华，胡晓东 中国科学院计算机网络信息中心 超级计算中心，北京 100190摘 要： 关键词： Applications of Radial Basis Functions in Dynamic Mesh and Its Parallelizability Ma Wenpeng, Lu Zhonghua, Hu Xiaodong Supercomputing Center, Computer Network Information Center , Chinese Academy of Sciences , Beijing 100190, China Abstract: 径向基函数广泛应用于网格变形、气动外形优化设计、网格优化等领域。近年来，基于径向基函数的动网格技术得到了深入的研究和广泛的应用。本文结合计算流体力学和高性能计算的应用背景，从径向基函数对网格的变形质量和变形效率进行了总结和进一步研究：在网格变形方面，重点对比了不同基函数对同一网格运动变形能力和同一基函数对不同网格运动的适应能力；在网格变形效率方面，分析了算法在计算和存储的瓶颈所在，考虑了? OpenMP 和?GPU 这两种共享内存的加速方式，得到较好加速比。最后，分析了当网格规模增大时，动网格在分布式计算和存储模型?(MPI) 下的处理方法。 径向基函数；径向函数；动网格；网格变形；并行 Radial basis functions are widely used for mesh deformation, aerodynamic shape optimization, grid optimization, etc. Recently, dynamic mesh techniques based on radial basis functions are widely used and much more attention is paid to them. This paper summaries the quality and efficiency of mesh deformation with the applications of radial basis functions on both CFD (Computational Fluid Dynamics) and HPC (High Performance Computing). In addition, a further research is conducted on the following two aspects: the abilities to satisfy the same mesh motion among different radial basis functions and the abilities to satisfy different mesh motion using one radial basis function; computation and storage bottleneck are analyzed and then parallel solutions based on shared memory models including OpenMP and GPU are considered 基金项目：国家高技术研究发展计划 (863 计划) (2012AA01A304)；国家自然科学基金 (91130019)
BP 算法及径向基函数网络 B0503194班 高翔 1050319110 杨柳青 1050319113 题目1： 2.5 利用BP 算法及Sigmoid 算法，研究以下各函数的逼近问题： （1） 1 () , 1x 100f x x = ≤≤ （2） 10()log x , 1x 10f x =≤≤ （3） ()exp() , 1x 10f x x =-≤≤ （4） ()sin , 1x 2 f x x π =≤≤ 解：该题可以采用BP 神经网络或者是径向基函数网络来解决，首先给出我们利用BP 网络的解决方法，关于如何利用径向基函数网络来解决问题，放在2.6 题中的通过径向基函数网络解决XOR 问题一起讨论。 一、 概述 人工神经网络作为一门20世纪中叶起步的新技术，随着其理论的逐步完善，其应用日益广泛，应用领域也在不断拓展，已经在各个工程领域里得到了广泛的应用。通常神经网络技术主要应用在以下方面。 模式信息处理和模式识别。 最优化问题计算。 信息的智能化处理。 复杂控制。 信号处理。 在1959年，当时的两位美国工程师B.Widrow 和M.Hoff 提出了自适应线形元件。在 1969年，人工智能的创始人之一M.Minsky 和S.Papert 指出单层感知器只能够进行线形分类，对线形不可分的输入模式，哪怕是简单的异或逻辑运算，单层感知器也无能为力，而解决其的唯一方法就是设计训练出具有隐含层的多层神经网络。这一难题在1986年得到了解决。 1986年，D.E. Rumelhart 等人提出解决多层神经网络权值修正的算法——误差反向传播法（Error Back-Propagation ）。这种算法也通常被应用在BP （Back-Propagation Network ）中。 在目前，在人工神经网络的实际应用中，绝大部分的神经网络模型（80%--90%）是采
核函数 (2010-12-23 23:08:30) 分类：工作篇 标签： 校园 高斯核函数 所谓径向基函数(Radial Basis Function 简称 RBF), 就是某种沿径向对称的标量函数。通常定义为空间中任一点x到某一中心xc之间欧氏距离的单调函数, 可记作 k(||x-xc||), 其作用往往是局部的 , 即当x远离xc时函数取值很小。 高斯核函数 - 常用公式 最常用的径向基函数是高斯核函数 ,形式为 k(||x-xc||)=exp{- ||x-xc||^2/(2*σ)^2) } 其中xc为核函数中心,σ为函数的宽度参数 , 控制了函数的径向作用范围。 核函数简介 （1）核函数发展历史 早在1964年Aizermann等在势函数方法的研究中就将该技术引入到机器学习领域，但是直到1992年Vapnik等利用该技术成功地将线性SVMs推广到非线性SVMs时其潜力才得以充分挖掘。而核函数的理论则更为古老，Mercer定理可以追溯到1909年，再生核希尔伯特空间(ReproducingKernel Hilbert Space, RKHS)研究是在20世纪40年代开始的。 （2）核函数方法原理 根据模式识别理论，低维空间线性不可分的模式通过非线性映射到高维特征空间则可能实现线性可分，但是如果直接采用这种技术在高维空间进行分类或回归，则存在确定非线性映射函数的形式和参数、特征空间维数等问题，而最大的障碍则是在高维特征空间运算时存在的“维数灾难”。采用核函数技术可以有效地解决这样问题。 设x,z∈X,X属于R（n）空间,非线性函数Φ实现输入间X到特征空间F的映射,其中F属于R（m）,n<
径向基函数 利用样本点x i的响应值, 通过基函数的线性叠加来计算待测点x 处响应值的径向基模型的基本形式如下: f x=w i??r i n i=1 =w Tφ 其中权系数w=w1,w2,···,w n T，φ= ?r1,?r2,···,?r n T r i= x?x i是待测点x与样本点x i之间的欧氏距离 ?r是径向函数 常用的径向函数有Gauss函数?r=exp ?r 2 c2 Multiquadric函数?r=r2+c21 2，c是给定大于零的常数 根据插值条件f x j=y i j=1,···,n，可得方程组 ??w=Y 矩阵?= ?ij= ? x i?x j 向量Y=y1,?,y n T i,j=1,?,n 在样本点不重合且函数?为征订函数，上式存在唯一解 w=??1?Y
附：MATLAB程序 %求解RBF方程的系数 function b=RBFMain() clc; clear; %读取插值点的数据 Num=xlsread('set_of_test.xlsx'); [row,line]=size(Num); %读取插值点的结果 F=xlsread('result_of_weight.xlsx'); %计算r值 r=eye(row); for i=1:row for j=1:row temp=0; for k=1:line temp=temp+(Num(i,k)-Num(j,k))^2; end r(i,j)= sqrt(temp+1); end end %求解方程系数 b=r\F; %写入excel xlswrite('set_of_coefficient.xlsx',b); end %RBF径向基函数主程序 function result=RBFMain2() clear;clc; %插值点 Input=xlsread('set_of_test.xlsx'); [row,line]=size(Input); %需要预测的一组插值点 X=xlsread('set_of_indict.xlsx'); %读取系数 b=xlsread('set_of_coefficient.xlsx'); %计算r值 r=[]; for i=1:row temp=0;