牛顿第二定律
1．通过牛顿第二定律将力学与运动学结合
(1)已知受力情况求运动情况
根据牛顿第二定律,已知物体的受力情况,可以求出物体运动的加速度；再根据物体的初始条件（初位置和初速度),应用运动学公式,求出物体的运动情况，即求出物体在任意时刻的速度、位置,也就是求出了物体的运动情况.
可用程序图表示如下：
例1．风洞实验室中可产生水平向左、大小可调节的风力．现将一套有一小球的细直杆放入风洞实验室.小球孔径略大于细杆直径,小球与杆间的滑动摩擦因数μ＝0．5,如下图所示.保持小球所受风力F＝0.5mg不变，使杆与水平方向间夹角为３7°并固定,则小球从静止开始在细杆上滑下距离2．４m所需时间为多少?（g取ｇ=10 ｍ/ｓ2,sin 37°=0.6，cｏs 37°＝０.８)
解析：设杆对小球的支持力为FN,摩擦力为Ff,对这些力进行正交分解，如图所示．
在ｘ轴上,由牛顿第二定律,有：
ｍgｓin θ＋Ｆcos θ－Ｆｆ=ｍa 在y轴上，由平衡条件,有:
ＦN+Ｆsｉn θ－mｇｃoｓθ=0 又Ff=μＦＮ
解上述三式得：ａ=7.5 ｍ/s2 又由运动学公式s＝at2，
由以上各式解得小球从静止出发在细杆上滑下距离ｓ所需时间为ｔ=0.
８ s 答案:0.8 ｓ
●题型训练
●1．如图所示，质量ｍ=4.0 kg的物体与地面间的动摩擦因数为μ
=0．5０．物体在与地面成θ=３７°的恒力Ｆ＝５4.5 N作用下,由
静止开始运动,t１=０．20 s撤去F，则再经过多长时间物体停下来？
（g＝10 m/s2，sin 37°＝0.６，coｓ３7°＝0.8)
解析:物体受到恒力Ｆ作用时受力如右图所示,设物体此时加速度为a1,对这些力进行正交分解,根据牛顿运动定律有:N′+Fsin θ－mｇ=0① Fｃos θ-f′=ｍa１②又因为f′＝μＮ′③①②③联立解得:ａ1＝10 m／ｓ２
由v=aｔ,得v＝a1t１=2.０ m/s
撤去F后物体的受力如右图所示,设物体此时加
速度为a2,物体停下来经过时间为ｔ2，根据牛
顿运动定律有：f=mａ2④Ｎ-mg=０⑤
又因为f=μＮ⑥④⑤⑥联立
解得：
ａ2=5.0 ｍ/ｓ2
由0＝ｖ－at,得t2＝＝０．4 s.
答案:0.4 s
(2)已知运动情况求受力情况
根据物体的运动情况，应用运动学公式求出加速度，再根据牛顿第二定律求出物体所受的合外力,从而求出未知的力，或与力相关的某些物理量.如：动摩擦因数、劲度系数等.
可用程序图表示如下：
例２.如图所示，电梯与水平面夹角为30°，电梯从初速度为零开始加速启动,当速度达到1 m/ｓ时，一个质量为50 ｋｇ的人踏上第一级(不计这一级的宽度),然后跟电梯一起加速向上运动,到达电梯终点时已经过４s,电梯的终点离地面高度为10 m.求这个过程中人对梯面压力和人与梯面间的静摩擦力.(ｇ＝１0m/s２）
解析：以人为研究对象，人运动的初速度为v０=1 ｍ／ｓ，位移为ｓ＝h／sｉn ３０°＝２0 m，时间为t=4 s. 根据运动学公式:s=v0t+ aｔ2 代入数据解得:a ＝２ m／s2
对人进行受力分析,人受重力ｍg、竖直向上的支持力FN、水平向右的静摩擦力Fμ(摩擦力方向一定与接触面平行),为了便于研究,取水平向右为x轴正方向，竖直向上为ｙ轴正方向，
建立直角坐标系（如左下图)．
此时只需分解加速度,其中aｘ=acos 30°,aｙ＝aｓin 30° (如右下图)
根据牛顿第二定律有
X方向:Fμ=max=mａcos ３0°①
Y方向:FN－mg=mａy=masin 30°②
由①式解得:Fμ＝87 N 由②式解得:FN＝550 N
根据牛顿第三定律可知,人对梯面压力等于5５0 N，方向竖直
向下．而人与梯面间的静摩擦力等于87 N，方向水平向右.
答案:人对梯面压力等于550 Ｎ,方向竖直向下；人与梯面间
的静摩擦力等于８７ N，方向水平向右
2.牛顿运动定律在传送带问题中的应用
传送带在自动输送各种粮食起很大作用，如图所示.而该模型可分为以下三类：
(1)水平传送带
当传送带水平运动时，应特别注意摩擦力的突变和物体运动状态的变化.摩擦力的突变，常常导致物体的受力情况和运动性质的突变．静摩擦力到达最大值,是物体恰好保持相对静止的临界状态；滑动摩擦力存在于发生相对运动的物体之间，因此两物体的速度达到相同时，滑动摩擦力要发生突变(摩擦力为零或为静摩擦力).
(2)倾斜传送带
当传送带倾斜运动时，除了要注意摩擦力的突变和物体运动状态
的变化外,还要注意物体与传送带之间的动摩擦因数μ和传送带
倾斜角度θ的关系,从而正确判断物体的速度和传送带速度相等
时物体运动的性质.
(3)组合传送带
组合传送带是水平传送带和倾斜传送带连接在一起传送物体．
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例3．如图所示，传送带与地面的倾角θ=37°,从Ａ到B的长度
为16 m,传送带以v0=1０ m/s的速度逆时针转动.在传送带上端无初速的放一个质量为m=0．5 kg的物体，它与传送带之间的动摩擦因数μ=0.5,求物体从Ａ运动到B所需的时间是多少？（ｓin3７°=０.6，cos３7°=0.８，g＝10 m/s2)
解析：物体放在传送带上后，开始阶段，传送带的速度大于物体的速度，传送带给物体一沿
斜面向下的滑动摩擦力,物体由静止开始加速下滑，受力分析如图（ａ)所示；当物体加速至
与传送带速度相等时，由于μ 于传送带的速度，传送带给物体沿传送带向上的滑动摩擦力,但合力沿传送带向下,物体继续 加速下滑,受力分析如图（ｂ)所示.综上可知，滑动 摩擦力的方向在获得共同速度的瞬间发生了“突 变”． 开始阶段由牛二定律:mgsin θ+μmgcoｓθ＝mａ 1 所以:a１＝gsｉn θ＋μgｃos θ=10 ｍ/ｓ2 物体加速至与传送带速度相等时需要的时间 t１=v/a1＝1 s 发生的位移:s= a1t１２=5 ｍ＜16 m 物体加速到1０ｍ／ｓ时仍未到达B点. 第二阶段，有：mgｓin θ－μmgcos θ＝mａ2 所以:a2=2 m／s２ 设第二阶段物体滑动到B 的时间为t2 则:LAＢ+s＝vｔ２+ a2t2２ 解得：t2=１ｓ,ｔ′2＝-11 s（舍去） 故物体经历的总时间ｔ＝ｔ1+t 2 =２s. 答案:2 s 点评:从上述例题可以总结出,皮带传送物体所受摩擦力可能发生突变，不论是其大小的突变,还是其方向的突变,都发生在物体的速度与传送带速度相等的时刻. ●题型训练 ●２.如图所示为一平直传送带，A、B两处间的距离为L,传送带的运动速度恒为v.有一工件轻 轻从A处放上传送带,已知工件与传送带间的动摩擦因数为μ和当地的重力加速度为g，且认为 传送带的形状及速率不受影响．求传送带将该工件由A处送到B处可能的时间间隔Δt及相应的 条件．（即题中给出量之间应满足的关系). 解析：该工件放上传送带,受到水平向右的摩擦力f=μmg； 由牛顿第二定律，可得：a=f／ｍ＝μg； 该工件加速到v所需时间：t=v／a=ｖ／μg; 此过程中，工件运动的位移:x= at2＝ｖ２/2μg ①若v2/2μg≥L,则工件一直匀加速直到B,可得： aｔ2=Ｌ，得Δt＝ ②若v2/２μg 答案:①若ｖ２/2μｇ≥L,则Δt= ;②若v2/2μg＜Ｌ,则Δt= + ． ３．整体法与隔离法 １.当研究问题中涉及多个物体组成的系统时，通常把研究对象从系统中“隔离”出来，单独进行受力及运动情况的分析.这叫隔离法. ２.系统中各物体加速度相同时，我们可以把系统中的物体看做一个整体.然后分析整体受力，由F=ma求出整体加速度，再作进一步分析.这种方法叫整体法. 3.解决连接体问题时,经常要把整体法与隔离法结合起来应用．在连接体问题中，如果不要求知道各个运动物体之间的相互作用力，并且各个物体具有大小和方向都相同的加速度,就可以把它们看成一个整体(当成一个质点）,分析受到的外力和运动情况,应用牛顿第二定律求出加速度(或其他未知量）；如果需知道物体之间的相互作用力，就需要把物体从系统中隔离出来将内力转化为外力，分析物体的受力情况和运动情况，并分别应用牛顿第二定律列出方程,隔离法和整体法是互相依存，互相补充的,两种方法互相配合交替应用，常能更有效地解决有关连接体的问题。 例4.如图所示：小车沿倾角为θ的光滑斜面滑下,在小车的水平台面上有一质量为M的木块和小车保持相对静止,求: (1）小车下滑时木块所受的摩擦力。(2)小车下滑时木块所受的弹力。 审题:这里由于木块与小车在运动过程中相对静止，它们具有相同的加速度,所以先采用整体分析法，求出木块和小车这个系统的整体加速度，a＝gsinθ,这样M的加速度就求出。由于木块所受的弹力和摩擦力对小车和木块这个系统来说是内力,所以必须将木块从系统中隔离出来分析。 先画出木块的受力图和加速度的方向。为了解题方便，本题应将加速度分解。 则 f＝max =mｇsiｎθｃosθ mg-N=may Ｎ=mg-ｍｇｓiｎθsinθ Ｎ=mｇ(1－sｉn2θ) 假如按习惯把重力、弹力、摩擦力分解,问题就复杂得多。 mgsｉｎθ+fcoｓθ-Nｓｉnθ＝mａ mｇcoｓθ－Ncosθ－ｆsｉnθ＝0 例５.水平桌面上放着质量为M的滑块，用细绳通过定滑轮与质量为ｍ的物体相连,滑块向右加速运动。已知滑块与桌面间的动摩擦因数为μ.试求滑块运动的加速度和细绳中的张力。 Ｍ 例6．A、B、C三个物体质量分别为m1、m２和ｍ３，带有滑轮的物体放在光滑的水平面上,滑轮和所有接触处的摩擦及绳的质量不计，为使三个物体无相对运动，则水平推力F 为多少? 因三物体加速度相同,本题可用整体法。 解：研究整体 F=（ｍ1+m2＋ｍ3)a Ｔ＝ m１ a 为求T研究m２T＝ m２g 故a＝ｍ2 g/ m1 F=(m1+ｍ2＋m3)ａ Ｆ =（m１+ｍ2+m３） m2 g/ m１ 例7．倾角为30°的斜面体置于粗糙的水平地面上，已知斜面体的质量为Ｍ=10Kg,一质量为ｍ＝1．0Kg的木块正沿斜面体的斜面由静止开始加速下滑,木块滑行路程ｓ=1.0m时,其速度v＝１.4m／ｓ,而斜面体保持静止。求： ⑴求地面对斜面体摩擦力的大小及方向。 ⑵地面对斜面体支持力的大小。
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