傅立叶变换，能量及波函数
胡唐锦，深圳大学
胡良，深圳市宏源清实业有限公司
摘要：傅立叶变换是一种分析信号的方法，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分，可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。
关键词:量子，叠加效应，电场，磁场，电荷，质量
作者：总工，高工，硕士，副董事长,2320051422@https://www.doczj.com/doc/c18202446.html,
The quantum three-dimensional constant ,h*C=Vp*C^(3),embodies the intrinsic relationship between the speed of light and the Planck constant 。
1前言
傅立叶变换，满足一定条件的某个函数可表达为三角函数（或积分）的线性组合。
傅立叶变换是一种分析信号的方法，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分，可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。
傅里叶变换的逆变换容易求出，而且，形式与正变换类似。因为，正弦基函数是微分运算的本征函数，线性微分方程求解可转化为常系数的代数方程的求解。傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅里叶变换，相当于该两个函数分别做傅里叶变换后，再进行线性组合的结果。
分解信号的方法是无穷多的，但用正余弦来表达原信号更加简单。因为，一个正弦曲线信号输入后，其输出的信号仍是正弦曲线，仅只有幅度及相位可能发生变化，而频率及波的形状仍然保持一样；体现了正弦曲线独有的属性质。
虽然，正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号，但是，可用正弦曲线来逐渐逼近的方法来表达。
任何函数可通过一定的分解，表达成正弦函数的线性组合形式，傅里叶变换是线性算子；傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换类似。离散形式的傅里叶变换也方便计算。
2傅里叶级数的内涵
任何周期函数都可用正弦及余弦函数构成的无穷级数来表达，，傅里叶级数是一种特殊的三角级数（正弦函数与余弦函数作为基函数是正交的），三角函数也能化成指数形式；这意味着，傅立叶级数也是一种指数级数。
将一个周期函数，)(t f ，用一系列正弦函数表达；再通过变形后，采用三角级数表达（含有，cos ，sin ）；最后，通过积分，将所有的末知系数用，)(t f ，积分式表达。
)]
sin()cos([)(10t n b t n a a t f n n n ωω++=∑∞=；其中，
?+=T
t t dt t f T a 00)(1
0；?+=T t t n dt t n t f T a 00)cos()(2ω；?+=T t t n dt t n t f T b 00)sin()(2ω。
值得一提的是，
)sin()(0?ω+=t A x f ，)
sin()(10n n n t n A A t f ?ω++=∑∞=，
)sin(*cos *)cos(*sin *)sin(t n A t n A t n A n n n n n n ω?ω??ω+=+；
当，n k ≠，时；
?-=π
π0cos *cos nxdx kx 。在线性时不变的物理系统内，频率（与能量相关）是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可通过组合其对不同频率正式弦信号的响应来获取。波函数可表达为一个线性时不变系统，体现了物理系统的特征信号；其微分方程是传递函数（或状态空间）的表达。
正弦信号（或指数信号）是系统的特征向量，体现了能量的衰减（或积聚）；具有特征的基函数可由三角函数转变成复指数函数。
值得注意的是，除了正弦信号（或指数信号）以外的其他波形，都不是线性系统的特征信号。
3傅里叶级数，能量，波函数的联系
微观粒子具有波粒二象性，粒子位置及动量不可能同时有确定，只能采用波函数来表达微观系统的状态。值得注意的是，宏观物体也具有波粒二象性；但是，宏观物体的普朗克常数（宏观普朗克常数）较大，其不确定性可忽略不计。
波函数（ψ）可定量地描述微观粒子的状态，是空间及时间复函数，其表达式：),(*),,,(),,,()*)*(/(t r e t z y x t z y x t E h i k ψψψψ===-。
更进一步，波函数（ψ）的影响因素有，
3
**,,,,,,,,,,C V N e e e y t y t x t t z y x p k j i γβα---??????；
此外，背景空间因素是关键因素，背景空间变化，必然导致波函数（ψ）的相应的变化。
也就是说，第一，光子的波函数可表达为：
3
)***()***(3**)*(1),,,(C V e e C V t z y x p k j i k j i p γβαγβαψ++-++==，从概率密度的角度来看，
%100}*)
,,,(*{)2(=?r d t z y x E p l
k λψ，或，%100}/)
,,,(*{)2(=???dV t z y x E p V k λψ；其中，k E ，光子的能量，量纲，[L^(3)T^(-1)]*[L^(2)T^(-2)]；),,,(t z y x ψ，光子波函数，量纲，1/{[L^(3)T^(0)]*[L^(3)T^(-3)]}；p
λ，普朗克长度（最小的长度），量纲，[L^(1)T^(0)]；p V ，普朗克空间（最小的空间），量纲，[L^(3)T^(0)]；
C ，真空中的光速，量纲，[L^(1)T^(-1)]。
第二，基态电子的波函数可表达为，
)
***(3)***()3(*]*[1*]*[1),,,(γβαγβαψk j i p k j i e e e e e e C V e V V t z y x e e e ++++== ，从概率密度的角度来看，%100}*)
,,,(*{)2(=?r d t z y x E ep l e e e ke λψ，或，
%100}/),,,(*{)2(=???dV t z y x E
ep V e e e ke λψ；其中，
ke E ，基态电子的能量，量纲，[L^(3)T^(-1)]*[L^(2)T^(-2)]；
),,,(t z y x e e e ψ，基态电子波函数，量纲，1/{[L^(3)T^(0)]*[L^(3)T^(-3)]}；ep λ，基态电子固有的长度，量纲，[L^(1)T^(0)]；
e V ，基态电子的固有空间，量纲，[L^(3)T^(0)]；e V ，基态电子的内禀速度，量纲，[L^(1)T^(-1)]。
第三，对于含有，1-N ，个光子的激发态电子来说，其波函数可表达为，
]**[*]**[1*]}*)]/(*{[1),,,(3)
***()***(3)
***()3(C V N e e C V N e V N V N t z y x p k j i k j i p k j i en en en en en en en en γβαγβαγβαψ++-++++=== ，从概率密度的角度来看，
%100}*)
,,,(*{)2(=?r d t z y x E enp l
en en en ken λψ，或，%100}/)
,,,(*{)2(=???dV t z y x E enp V en en en ken λψ；其中，ken E ，激发态电子的能量，量纲，[L^(3)T^(-1)]*[L^(2)T^(-2)]；
),,,(t z y x en en en ψ，激发态电子波函数，量纲，1/{[L^(3)T^(0)]*[L^(3)T^(-3)]}；enp λ，激发态电子固有的长度，量纲，[L^(1)T^(0)]；
en V ，激发态电子的固有空间，量纲，[L^(3)T^(0)]；en V ，激发态电子的内禀速度，量纲，[L^(1)T^(-1)]。
背景空间（环境）对波函数的影响是关键因素。波函数（ψ）属于体系的状态函数；对于一个微观体系，其任何一个状态都可采用一个坐标及时间连续，单值及平方可积的波函数（ψ）来表达。
值得注意的是，波函数（Ψ）满足于迭加原理，可表达为：
221112**ψψψC C +=，其中，
1C ，常数（复数），量纲，[L^(0)T^(0)]；2C ，常数（复数），量纲，[L^(0)T^(0)]。再将波函数归一化，构成归一化波函数。
例如1，对于含有一个光子的激发态电子来说，其波函数，
),,,(t z y x en en en ψ，可表达为，基态电子波函数与光子波函数的线性迭加。其表达式为：
),,,(*),,,(****]*[******)/1(*]**[1*]*[1),,,(213)***(2)***()3(13
)
***(23)***(13)***()
***(3)***()3(t z y x C t z y x C C V e C e V V C C V e C C V e C C V e N e C V N e V V t z y x e e e p
k j i k j i e e p k j i p k j i p k j i k j i p k j i en en en en en e e e en en en ψψψγβαγβαγβαγβαγβαγβαγβα+=+=+====++-++++-++-++-++++ 例如2，对于由两个不同的基态电子构成的波函数，
),,,(t z y x en en en ψ，来说：可表达为，第一个基态电子波函数，),,,(11111t z y x e e e ψ；及，第二个基态电子波函数
),,,(22222t z y x e e e ψ；的线性迭加。其表达式为：
),,,(*),,,(**]*[*]*[******)/1(*]**[1*]*[1),,,(222222111111)
***()3(2)***()3(13
)
***(23)***(13)***()
***(3)***()3(222111t z y x C t z y x C e V V C e V V C C V e C C V e C C V e N e C V N e V V t z y x e e e e e e k j i e e k j i e e p k j i p k j i p k j i k j i p k j i en en en en en e e e e e e en en en ψψψγβαγβαγβαγβαγβαγβαγβα+=+=+====++++++-++-++-++++ ；其中，2=N 。
例如3，对于同一个电子来说，其构成的波函数，受不同的背景空间影响，会表现出不同的属性；也就是说，由于背景空间的不同，对该电子的波函数有重大的影响。
假设，有一个双缝实验，其背景空间是双缝都打开，其波函数可表达为，),,,(t z y x e e e ψ；
第一种情况，对于背景空间（A）；左缝打开，右缝关闭；其基态电子波函数可表达为，),,,(1a ae ae ae t z y x ψ。
第二种情况，对于背景空间（B）：右缝打开，左缝关闭；其基态电子波函数可
表达为，),,,(2b be be be t z y x ψ。显然，当双缝都打开时，则有，
)
,,,(*),,,(**]*[*]*[*]*[1),,,(2211)
***()3(2)***()3(1)
***()3(b be be be a ae ae ae k j i e e k j i e e k j i e e e e e t z y x C t z y x C e V V C e V V C e V V t z y x be be be ae ae ae ψψψγβαγβαγβα+=+==++++++ ；
体现了线性迭加（线性组合态）的属性。这意味着，由于背景空间变化，电子的波函数也是变化的。值得一提的是，对于具体的某个电子来说，该电子一定是从一条缝通过的，不可能同时通过两条缝。
也就是说，对于电子来说，
第一个独立的背景空间影响下，电子波函数是，1ψ；
第二个独立的背景空间影响下，电子波函数是，2ψ；
第n 个独立的背景空间影响下，电子波函数是，n ψ。
则，所有背景空间都同时影响下，电子的波函数可表达为，ψ。)*(1∑==n
i i i C ψψ，其中，i C ，是任意常数（复数）。
值得注意的是，由于宇宙是无穷大的，因此，具有无限多的背景空间，从而导致，波函数具有不确定性。
背景空间可分为，一级背景空间，二级背景空间，....，等等。
其中，一级背景空间（例如，单缝，双缝等）对电子波函数的影响较大。其它的背景空间对电子波函数的影响可忽略不计。
假如一级背景空间有n 个，这意味着电子的量子态（ψ）是由n 个本征态（i ?）
的线性组合。
当测量物理量时，处于本征态（i ?）的电子，会给出确定的本征值（i A ）。因为，量子态（ψ）含有n 个本征态，其中，测到本征值（i A ）的概率是i ρ，
显然所有可能的总概率是，
∑=n i 1%
100ρ
。
孤立量子体系（例如，光子，电子等）与背景空间处于纠缠态，背景空间（宇宙）的各点可用曲率来表达；孤立量子体系具有内禀的属性；孤立量子体系总是沿着，没有阻力（或阻力趋于零）的路径运行。
量子力学的核心是，采用波函数表达一个物理体系状态，而波函数的任意线性叠加仍然是物理体系的状态。波函数（归一化后）的模平方，体现了其变量的物理量出现的几率密度。
将函数，),,(*)(e e e ke z y x E t f ψ=，表达为傅立叶级数，体现了波函数的本质。
正弦信号是很多线性时不变系统的特征向量。于是就有了傅里叶变换。对于更一般的线性时不变系统，复指数信号(表示耗散或衰减)是系统的特征向量。复指数信号与波函数具有内在的联系。根据能量守恒定律，孤立量子体系（例如，光子，电子等）的能量是守恒的；根据背景空间（环境）的情况，其能量可分解为傅立叶级数来表达。
附录A拉普拉斯变换及反变换 419
2 420
3.用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设F(S)是S的有理真分式 Ff ) _ B(S) b m S m?b m」S m-…?bιS ?b o A(S) a n s n+a n∕S n'+ …+a1s + a0 式中系数a o,a i,...,a n」，a n，b°,b1,…b m」，b m都是实常数；m,n是正整数。按代数定理可 将F(S)展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ①A(S)=G无重根 这时，F(S)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。 C l C2 S-S S-S n n C C i 4 S -' S i (F-1) 式中，S1,S2,…，S n是特征方程A(S) = G的根。C i为待定常数，称为按下式计算：F(S)在S i处的留数，可 式中, 式中, C i= Iim (s _ S i)F(S) S T i C _ B(S) C i A(S) A(S)为A(S)对S的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式( -n C l L*(S)1=L?J∣Σ旦 S — $ 一 f(t)二 C i n -S i t = C i e i i吕 (F-2) (F-3) F-1)可求得原函数 (F-4) A(S)= G有重根 设A(S)=G有r重根S1 , F(S)可写为 B(S) F S-(S-S 1) r(S-S r J (S-S n) C i C r + C r4 + …+C1 + C r 出十… (S-S1)r(S-S1)r4 (S-Sj S-S r?1 -- C i ?.? . C n S — S S-S n S i为F(S)的r重根，S r十,…,S n为F(S)的n-r个单根; 421
1.前言 1.1背景 利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。类似的，变换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。积分变换的使用，可以 使求解微分方程的过程得到简化，比如乘积可以转化为卷积。什么是积 分变换呢？即为利用含参变量积分，把一个属于A函数类的函数转化属 于B函数类的一个函数。傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要积分变 换。分析信号的一种方法是傅立叶变换，傅里叶变换能够分析信号的成 分，也能够利用成分合成信号。可以当做信号的成分的波形有很多，例 如锯齿波，正弦波，方波等等。傅立叶变换是利用正弦波来作为信号的拉普拉斯变换最早由法国数学家天文学家 成分。Pierre Simon Laplace （拉普拉斯）（1749-1827）在他的与概率论相关科学研究中引入，在他 的一些基本的关于拉普拉斯变换的结果写在他的著名作品《概率分析理 论》之中。即使在19世纪初，拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉 斯变换的相关研究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理 学家，同时也是一位电气工程师的Oliver Heaviside奥利弗·亥维赛 （1850-1925）在电学相关问题之中引入了算子运算，而且得到了不少方 法与结果，对于解决现实问题很有好处，这才引起了数学家对算子理论 的严格化的兴趣。之后才创立了现代算子理论。算子理论最初的理论依 据就是拉普拉斯变换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论的继续发展也 是得益于算理理论的更进一步发展。这篇文章就是针对傅里叶变换和拉 普拉斯变换的相关定义，相关性质，以及相关应用做一下简要讨论，并 且分析傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别与联系。 1.2预备知识 定理1.2.1（傅里叶积分定理）
在数学与信号处理的领域中，一个实数值函数的希尔伯特转换(Hilbert transform)——在此标示为——是将信号与做卷积，以得到。因此，希尔伯特转换结果可以被解读为输入是的线性非时变系统(linear time invariant system)的输出，而此一系统的脉冲响应为。这是一项有用的数学， 用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络(complex envelope)，出现在通讯理论（应用方面的详述请见下文。） 希尔伯特转换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。 希尔伯特转换定义如下： 其中 并考虑此积分为柯西主值(Cauchy principal value)，其避免掉在以及 等处的奇点。 另外要指出的是： 若，则可被定义，且属于；其中。频率响应 希尔伯特转换之频率响应由傅立叶变换给出： , 其中 ?是傅立叶变换， ?i (有时写作j )是虚数单位， ?是角频率，以及
? 即为符号函数。 既然： , 希尔伯特转换会将负频率成分偏移+90°，而正频率成分偏移?90°。 反（逆）希尔伯特转换 我们也注意到：。因此将上面方程式乘上，可得到： 从中，可以看出反（逆）希尔伯特转换 傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。 ?傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的[1]。 ?傅里叶变换属于谐波分析。 ?傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。 ?正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。
信号与系统的基本思想：把复杂的信号用简单的信号表示，再进行研究。 怎么样来分解信号？任何信号可以用Delta 函数的移位加权和表示。只有系统是线性时不变系统，才可以用单位冲激函数处理，主要讨论各个单位冲激函数移位加权的响应的叠加能得到总的响应。 线性系统（齐次性，叠加定理） 时不变系统 对一个系统输入单位冲激函数，得到的响应为h(t).表征线性时不变系统的非常重要的东西，只要知道了系统对单位冲击函数的响应，就知道了它对任何信号的响应，因为任何信号都可以表示为单位冲激函数的移位加权和。 例如：d(t)__h(t) 那么a*d(t-t0)__a*h(t-t0) -()= ()(t-)d f t f τδττ∝∝? 的响应为-y()=()(-)t f h t d τττ∝ ∝ ? 记为y(t)=f(t)*h(t),称为f(t)和h(t)的卷积 总结为两点：对于现行时不变系统，任何信号可以用单位冲激信号的移位加权和表示，任何信号的响应可以用输入函数和单位冲激函数响应的卷积来表示 连续时间信号和系统的频域分析 时域分析的重点是把信号分解为单位冲激函数的移位加权和，只讨论系统对单位冲激函数的响应。而频域的分析是把信号分解为各种不同频率的正弦函数的加权和，只讨论系统对sinwt 的响应。都是把信号分解为大量单一信号的组合。
周期函数可以展开为傅里叶级数，将矩形脉冲展开成傅里叶级数，得到傅里叶级数的系数 n A sin F = T x x τ 其中0=2 nw x τ。 取样函数sin ()=x S a x 。产生一种震荡，0点的值最大，然后渐渐衰减直至0 第一：对于傅里叶级数的系数，n 是离散的，所以频谱也是离散状的每条谱线都出现在基波频率的整数倍上，其包络是取样函数。 第二：谱线的间距是0w .。零点是0=2nw x τ，02w =T π是谱的基波频率。如果τ不变，T 增大，那么0w 减小，当T 非常大的时候，0w 非常小，谱线近似连续，越来越密，幅度越来越小。 傅里叶变换：非周期函数 正变换：--F jw)= ()iwt f t e dt ∝ ∝?（ 反变换：-1()=()2jnwt f t F jw e dw π ∝∝ ? 常用函数的傅里叶变换（典型非周期信号的频谱）
傅里叶变换和拉普拉斯变换的意义 一傅里叶变换在应用上的局限性 在第三章中，已经介绍了一个时间函数()t f 满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存在一对傅里叶变 换。即 ()()dt e t f j F t j ωω-∞ ∞-?∞= (正变换) (5.1) ()()ω ωπ ωd e j F t f t j ? ∞ ∞ -= 21 (反变换) (5.2) 但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号()t U ，斜变信号()t tU ，单边 正弦信号()t tU ωsin 等，从而对这些信号就难以从傅里叶变换式求得它们的傅里叶变换。 还有一些信号，例如单边增长的指数信号()t U e at ()0>a 等，则根本就不存在傅里叶变换。 另外，在求傅里叶反变换时，需要求ω从∞-到∞区间的广义积分。求这个积分往往是十分困难的，甚至是不可能的，有时则需要引入一些特殊函数。 利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响应，而不能求系统的零输入响应。在需要求零输入响应时，还得利用别的方法，例如时域经典法。 由于上述几个原因，从而使傅里叶变换在工程应用上受到了一定的限制。所以，当今在研究线性系统问题时，拉普拉斯变换仍是主要工具之一。 实际上，信号 ()t f 总是在某一确定的时刻接入系统的。若把信号()t f 接入系统的时刻作为0=t 的 时刻(称为起始时刻)，那么，在t ＜0的时间内即有()t f =0。我们把具有起始时刻的信号称为因果信号。这 样，式(5-1)即可改写为 ()()dt e t f j F t j ωω-∞ ?-=0 (5-3) 式(5-3)中的积分下限取为- 0，是考虑到在0=t 的时刻()t f 中有可能包含有冲激函数()t δ。但要注 意，式(5-2)中积分的上下限仍然不变(因积分变量是ω)，不过此时要在公式后面标以t ＞0，意即只有在t ＞0时 ()t f 才有定义，即 ()()ω ωπ ωd e j F t f t j ? ∞ ∞ -= 21 t ＞0 (5-4a) 或用单位阶跃函数()t U 加以限制而写成下式，即 ()()()t U d e j F t f t j ???? ??=?∞ ∞-ωωπ ω21 (5-4b) 二、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 当函数 ()t f 不满足绝对可积条件时，可采取给()t f 乘以因子t e σ-（σ 为任意实常数)的办法，这样 即得到一个新的时间函数 ()t e t f σ-。今若能根据函数()t f 的具体性质，恰当地选取σ 的值，从而使当 ∞→t 时，函数()0→-t e t f σ，即满足条件 ()0 lim =-∞→t t e t f σ 则函数 ()t e t f σ-即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存在。可见因子t e σ-起着使函数 ()t f 收敛的作用，故称t e σ-为收敛因子。 设函数() t e t f σ-满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过恰当地选取σ的值来达到)，则根据式(5-3)有 ()()()()dt e t f dt e e t f j F t j t j t ωσωσω+-∞ --∞ ??--==0
学号1109141006 论文 课题：拉氏变换和傅里叶变换的关系 学生姓名：陈兴宇 院系：电气工程学院 专业班级：2011级电气工程及其自动化（1）班指导教师：董德智 二0一三年六月
1 傅里叶变换与拉普拉斯变换简介 (2) 1.1 傅里叶变换 (2) 1.1.1 傅里叶变换的历史由来 (2) 1.1.2 傅里叶变换的定义 (2) 1.1.3 傅里叶变换与逆变换的性质 (3) 1.2 拉普拉斯变换 (4) 1.2.1 拉普拉斯变换的历史由来 (5) 1.2.2 拉普拉斯变换的定义 (5) 1.2.3 拉普拉斯变换与逆变换的性质 (6) 1.3 小结 (7) 2 傅氏变换与拉氏变换的比较研究 (7) 2.1 两种积分变换在求解广义积分中的应用 (7) 2.2 两种积分变换在求解积分、微分方程中的应用 (10) 2.3 两种积分变换在求解偏微分方程中的应用 (12) 2.4 两种积分变换在电路理论中的应用 (16) 3 总结 (20) 参考文献 (23)
1 傅里叶变换与拉普拉斯变换简介 人们在处理与分析工程实际中的一些问题时，常常采取某种手段将问题进行转换，从另一个角度进行处理与分析，这就是所谓的变换。在数学、物理、工程技术等领域中应用最多的是傅里叶变换与拉普拉斯变换。下面对傅氏变换与拉氏变换进行简单的介绍。 1.1 傅里叶变换 1.1.1 傅里叶变换的历史由来 17世纪和18世纪，在牛顿和莱布尼茨等科学巨人的推动下，数学获得了飞速的发展。随着函数、极限、微积分和级数理论的创立，法国数学家傅里叶在研究热传导问题时发表了《热的解析理论》的论文[1]，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶变换的理论基础。其后，泊松、高斯等人最早把这一成果应用到电学中去。时至今日，傅里叶分析法不仅广泛应用与电力工程、通信和控制领域中，而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关数学、物理和工程技术领域中都得到了广泛而普遍的应用。 1.1.2 傅里叶变换的定义 由《数学物理方法》课程的知识可知，对于(),-∞+∞上的非周期函数()f t 有如下的傅里叶积分定理[2]： 设()f t 在(),-∞+∞上有定义，且 ①在任一有限区间上满足狄利克雷条件[3]（即连续或有有限个第一类间断点，并且只有有限个极值点）； ②在无限区间(),-∞+∞上绝对可积，即 ()f t +∞ -∞ <+∞? 则有傅里叶积分公式 1 ()()2i i t f t f e d e d ωτωττωπ +∞ +∞--∞ -∞??= ???? ? ? (1-1) 在()f t 的连续点x 处成立，而在()f t 的第一类间断点0x 处，右边的积分应以 ()001 0(0)2 f x f x ++-????代替。
时域信号 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 | 线性 2时域平移 3频域平移, 变换2的频域对应 \ 4 如果值较大，则会收缩 到原点附近，而会扩 散并变得扁平. 当| a | 趋向无 穷时，成为Delta函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过 交换时域变量和频域变量 得到. 6 / 傅里叶变换的微分性质 7变换6的频域对应
8 表示和的卷积—这 就是卷积定理 - 9 矩形脉冲和归一化的sinc函数 10变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。 11- tri是三角形函数 12变换12的频域对应 13高斯函数exp( ? αt2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当Re(α) > 0时，这是可积的。 ￥14 15 16》 a>0
18δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换 【 19 变换23的频域对应20由变换3和24得到. 21` 由变换1和25得到，应用了欧拉公 式: cos(at) = (e iat + e?iat) / 2. 22由变换1和25得到 23这里, n是一个自然数. δ(n)(ω) 是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多项式。 / 24此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的. 25变换29的推广. 17变换本身就是一个公式
26【 变换29的频域对应. 27此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换根据变换1和31得到. 28u(t)是单位阶跃函数，且a > 0. 34狄拉克梳状函数——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变.
傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的相位有关系吗？信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。 傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。
复变函数与积分变换 课程论文 题目信号的傅里叶变换及其性质任课老师王学顺 学院班级工学院自动化xxx 姓名学号Xxx xxxxxxxxx 时间2013年12月4日
信号的傅里叶变换及其性质 xxx （北京xx大学，自动化xxx，xxxxxxxxxx） 摘要：傅里叶变换的概念是针对非周期信号引入的，但周期信号也存在傅里叶变换，本文指出求解周期信号的傅里叶变换有三种方法：一是在一个周期内积分求傅里叶系数，二是利用对应的单脉冲信号频谱与傅里叶系数的关系求，三是利用傅里叶变换的时移性求。本文讨论了不同方法所求周期信号傅里叶变换结果之间的内在联系，进一步揭示出信号的时域与频域的对称特性。 关键词：周期信号，傅里叶变换，傅里叶系数，对称性，级数 引言 信号傅里叶变换是信号与系统中非常重要的一部分，它在数学许多分支、物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，也是解决实际问题的强有力的工具，它的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用。周期信号傅里叶变换是一系列冲激，其冲激强度与傅里叶系数有关。如果傅里叶系数不容易求解，可从对应的单脉冲信号的频谱求得。本文分析了周期信号从不同角度所得傅里叶变换结果的内在联系及其性质。 1．傅立叶变换概念 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。 1.1定义 f(t）是t的函数，如果t满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ①傅里叶变换
《傅里叶变换与拉普拉斯变换区别演讲稿》这个演讲分为三部分进行展开。在介绍两者区别之前，首先将给大家带来的是两种变换的背景以及两种变换的给我们带来的便利。最后进入到正题，两种变换之间的差别。 第一部分两种变换的背景。 首先是傅里叶变换的背景。这个背景想必大家在高数课，电分课和之前的信号与系统课上已经阅读过了，那么在这里大家可以稍稍再重温一遍。 接下来是拉普拉斯变换的背景。 大家一定没有想到，拉普拉斯变换并不是由拉普拉斯发明的，而是由这为heaviside先生发明的。拉普拉斯对这项变换的贡献是进行了严密的数学定义，确定其可行性后进行了推广。因此这项变换被称为拉普拉斯变换。 说一句额外的话，在准备内容时，我本指望能像傅里叶变换一样，找到有关拉普拉斯变换发展的波澜历史，却因拉普拉斯变换并不是被其发明者命名，所以有关heaviside先生如何得到这种变换的资料少之又少，而拉普拉斯对其定义的过程相对来说又很枯燥，并没有什么值得记载的故事，因此大家可以从刚刚这段说明中看出拉普拉斯的发展历史只是草草陈述。这也告诉我们，做事一定要完备，知识一定要渊博，否则发现了什么却忘记对其进行推广，或者知道要去推广却因数学功底不足而无法给出严格定义以及证明，流芳百世的机会也只能拱手让人。
因为现实生活中的信号多为因果信号，因此在此考虑拉普拉斯的现实意义，引入拉普拉斯单边变换。下述有关拉普拉斯变换的讨论均基于拉普拉斯单边变换。 第二部分 两种变换带来的便利。 首先是傅里叶变换带给我们的方便。求解线性电路有了通法。面对三角函数信号，以及电容电感这类原件，时域中求解电路状态变得十分困难。但通过电分的学习，我们掌握了频域解法。又通过傅里叶变换，我们可以将任何信号变成虚指数或者说三角函数形式，对于线性系统，我们可以依次求解这些三角函数分量作用时的电路状态，再加和。所以只要是线性系统我们都可以求解。 我们能够从一个不随时间变换的空间中观察函数或者信号。傅里叶就是通往这个世界的大门，把时域信号转换至频域。在这个域中，时间不是变量，频率才是变量。并且在这个域中，人们可以方便地观察不同频率的信号分量。 其次是拉普拉斯变换带给我们的便利。其实这两项优点是同一项，求解微分方程十分便利。大家可以回想一下学习高数时，用经典法求解常系数微分方程时的痛苦。现在拉普拉斯变换将微分方程统统化成简单的多项式方程，并且把用于求解特解的初值自动引入，可谓是十分便利。 下面是最后一部分 两种变换之间的区别
附录A 拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质
2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1）
式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='=)() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []? ?? ?? ?-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝ t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---=+ = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根； 其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算： )()(lim 11 s F s s c r s s r -=→ )]()([lim 111 s F s s ds d c r s s r -=→-
如果看了这篇文章你还不懂傅里叶变换，那就过来掐死我吧 Heinrich，生娃学工打折腿 这篇文章的核心思想就是： 要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。 傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗会死吗）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。 ————以上是定场诗———— 下面进入正题： 抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多…… 一、嘛叫频域 从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。 先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子： 在你的理解中，一段音乐是什么呢 这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：
傅里叶变换的实质是将一个信号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成，也就是说，把信 号变成正弦信号相加的形式——既然是无穷多个信号相加，那对于非周期信号来说，每个信号的加权应该都是零——但有密度上的差别，你可以对比概率论中的概率密度来思考一下——落到每一个点的概率都是无限小，但这些无限小是有差别的 所以，傅里叶变换之后，横坐标即为分离出的正弦信号的频率，纵坐标对应的是加权密 度 对于周期信号来说，因为确实可以提取出某些频率的正弦波成分，所以其加权不为零——在幅度谱上，表现为无限大——但这些无限大显然是有区别的，所以我们用冲激函数表示 已经说过，傅里叶变换是把各种形式的信号用正弦信号表示，因此非正弦信号进行傅里 叶变换，会得到与原信号频率不同的成分——都是原信号频率的整数倍。这些高频信号是用来修饰频率与原信号相同的正弦信号，使之趋近于原信号的。所以说，频谱上频率最低的一个峰（往往是幅度上最高的），就是原信号频率。 傅里叶变换把信号由时域转为频域，因此把不同频率的信号在时域上拼接起来进行傅里 叶变换是没有意义的——实际情况下，我们隔一段时间采集一次信号进行变换，才能体现出信号在频域上随时间的变化。 我的语言可能比较晦涩，但我已尽我所能向你讲述我的一点理解——真心希望能对你有用。我已经很久没在知道上回答过问题了，之所以回答这个问题，是因为我本人在学习傅里叶变换及拉普拉斯变换的过程中着实受益匪浅——它们几乎改变了我对世界的认识。傅里叶变换值得你用心去理解——哪怕苦苦思索几个月也是值得的——我当初也想过：只要会算题就行。但浙大校训“求是”时时刻刻鞭策着我追求对理论的理解——最终经过很痛苦的一番思索才恍然大悟。建议你看一下我们信号与系统课程的教材：化学工业出版社的《信号与系统》，会有所帮助。 傅里叶变换和拉普拉斯变换的意义 傅里叶变换（Transformée de Fourier）在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，
1、考虑到一个函数可以展开成一个多项式的和，可惜多项式并不能直观的表示周期函数, 由于正余弦函数是周期函数，可以考虑任意一个周期函数能否表示成为一系列正余弦函 数的和。假设可以，不失一般性，于是得到: /(!2 如+ 工A a sin(mvt + 各), Fl = 1 2、将后面的正弦函数展开: sin( ncvt + 竹)=A rt sin % cos + cos
那么如何求出a n,如果让原函数乘以cos(nx)再进行积分。 /（工）ms 利用三角函数的正交性，可以得到: /（rtrdj- 再用sin(nx)乘，再进行积分就会得到b n, 4 =丄[/(nxdjr (- 1,3 .…)” J ■*■ fir 于是乎得到了一个任意函数展开成为正余弦函数的通用表达式，同时为什么会出现 A o/2而不是直接的A o的原因也很明朗：就是让整个表达式更具有通用性，体现一种简洁的美。 通过了以上的证明过程，应该很容易记住傅里叶变换的公式。 到此为止，作为一个工程人员不用再去考虑了，可是作为每一个数学家他们想的很多， 他们需要知道右侧的展开式为什么收敛于原函数，这个好难，有个叫Dirichlet 的家伙证明出如下结论： 定理f收敏宦理■狱利克需(DiMh冶)充分条件)设/Cr)Jg周期为2削的周期苗数，如果它満足： (1｝在一个周期内连续或只有有限个第一类间斷点* (2)在一个周期内至务只有有限个曲值点. 则"工〉的傅里叶飯数收歟，井且 当工是的连嫌点时.级数收敕于 当丁S/(.r)的闾新点时?级數收飯于 i[ /(X ) + f(jt * )]- 有兴趣的可以继续找书看，可惜我有兴趣没时间??… 至此以2n为周期的傅里叶变换证明完毕，只不过我们经常遇到的周期函数我想应该 不会这么凑巧是2n,于是乎任意的一个周期函数如何知道其傅里叶变换呢，数学向来 都是一个很具有条理性的东西，任意周期的函数的傅里叶变换肯定也是建立在2n周期 函数的基础之上的。 也就是说如何让一个以21为周期的函数变成一个以2 n为周期的函数，于是乎可以使
这个演讲分为三部分进行展开。在介绍两者区别之前，首先将给大家带来的是两种变换的背景以及两种变换的给我们带来的便利。最后进入到正题，两种变换之间的差别。 第一部分两种变换的背景。 首先是傅里叶变换的背景。这个背景想必大家在高数课，电分课和之前的信号与系统课上已经阅读过了，那么在这里大家可以稍稍再重温一遍。 接下来是拉普拉斯变换的背景。大家一定没有想到，拉普拉斯变换并不是由拉普拉斯发明的，而是由这为Heaviside先生发明的。拉普拉斯对这项变换的贡献是进行了严密的数学定义，确定其可行性后进行了推广。因此这项变换被称为拉普拉斯变换。 说一句额外的话，在准备内容时，我本指望能像傅里叶变换一样，找到有关拉普拉斯变换发展的波澜历史，却因拉普拉斯变换并不是被其发明者命名，所以有关Heaviside先生如何得到这种变换的资料少之又少，而拉普拉斯对其定义的过程相对来说又很枯燥，并没有什么值得记载的故事，因此大家可以从刚刚这段说明中看出拉普拉斯的发展历史只是草草陈述。这也告诉我们，做事一定要完备，知识一定要渊博，否则发现了什么却忘记对其进行推广，或者知道要去推广却因数学功底不足而无法给出严格定义以及证明，流芳百世的机会也只能拱手让人。 因为现实生活中的信号多为因果信号，因此在此考虑拉普拉斯的现实意义，引入拉普拉斯单边变换。下述有关拉普拉斯变换的讨论均基于拉普拉斯单边变换。 第二部分两种变换带来的便利。 首先是傅里叶变换带给我们的方便。求解线性电路有了通法。面对三角函数信号，以及电容电感这类原件，时域中求解电路状态变得十分困难。但通过电分的学习，我们掌握了频域解法。又通过傅里叶变换，我们可以将任何信号变成虚指数或者说三角函数形式，对于线性系统，我们可以依次求解这些三角函数分量作用时的电路状态，再加和。所以只要是线性系统我们都可以求解！ 我们能够从一个不随时间变换的空间中观察函数或者信号。傅里叶就是通往这个世界的大门，把时域信号转换至频域。在这个域中，时间不是变量，频率才是变量。并且在这个域中，人们可以方便地观察不同频率的信号分量。 其次是拉普拉斯变换带给我们的便利。其实这两项优点是同一项，求解微分方程十分便利。大家可以回想一下学习高数时，用经典法求解常系数微分方程时的痛苦。现在拉普拉斯变换将微分方程统统化成简单的多项式方程，并且把用于求解特解的初值自动引入，可谓是十分便利。
傅里叶变换和拉普拉斯变换
一傅里叶变换在应用上的局限性 在第三章中，已经介绍了一个时间函数()t f 满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存在一对傅里叶变换。即 ()()dt e t f j F t j ωω-∞ ∞ -?∞= (正变换) (5.1) ()()ω ωπωd e j F t f t j ? ∞ ∞ -= 21 (反变换) (5.2) 但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号()t U ，斜变信号()t tU ，单边正弦信号()t tU ωsin 等，从而对这些信号就难以从傅里叶变换式求得它们的傅里叶变换。 还有一些信号，例如单边增长的指数信号 ()t U e at () 0>a 等，则根本就不存在傅里叶变换。
另外，在求傅里叶反变换时，需要求ω从∞-到∞区间的广义积分。求这个积分往往是十分困难的，甚至是不可能的，有时则需要引入一些特殊函数。 利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响应，而不能求系统的零输入响应。在需要求零输入响应时，还得利用别的方法，例如时域经典法。由于上述几个原因，从而使傅里叶变换在工程应用上受到了一定的限制。所以，当今在研究线性系统问题时，拉普拉斯变换仍是主要工具之一。 实际上，信号()t f总是在某一确定的时刻接入系统的。若把信号()t f接入系统的时刻作为0=t的时刻(称为起始时刻)，那么，在t＜0的时间内即
有()t f =0。我们把具有起始时刻的信号称为因果信号。这样，式(5-1)即可改写为 ()()dt e t f j F t j ωω-∞ ?-=0 (5-3) 式(5-3)中的积分下限取为- 0，是考虑到在0 =t 的时刻()t f 中有可能包含有冲激函数()t δ。但要注意，式(5-2)中积分的上下限仍然不变(因积分变量是ω)，不过此时要在公式后面标以t ＞0，意即只有在t ＞0时()t f 才有定义，即 ()()ω ωπ ωd e j F t f t j ? ∞ ∞ -= 21 t ＞ 0 (5-4a) 或用单位阶跃函数()t U 加以限制而写成下式，即 ()()()t U d e j F t f t j ?? ?? ??=?∞ ∞-ωωπ ω21
习题 七 1.证明：如果f (t )满足傅里叶变换的条件，当f (t )为奇函数时，则有 ?+∞ ?=0 d sin )()(ωωωt b t f 其中()?+∞ ?=0 tdt sin π2)(ωωt f b 当 f (t ) 为 偶 函 数 时 ， 则 有 ?+∞?=0 cos )()(ωωtd w a t f 其中? +∞ ?=0 2 tdt c f(t))(ωωπ os a 证明： 因为ωωωd G t f t i ?+∞ ∞ -=e )(π21)(其中)(ωG 为f (t )的傅里叶变换 ()()()(cos sin )i t G f t e dt f t t i t dt ωωωω+∞ +∞ --∞-∞ ==?-? ? ()cos ()sin f t tdt i f t tdt ωω+∞ +∞ -∞ -∞ =?-?? ? 当f (t )为奇函数时，t cos f(t)ω?为奇函数，从而 ? +∞ ∞ -=?0tdt cos f(t)ω t sin f(t)ω?为偶函数，从而 ? ?+∞ ∞ -+∞ ?=?0 .sin f(t)2tdt sin f(t)tdt ωω 故.sin f(t)2)(0 tdt i G ωω?-=? +∞ 有 )()(ωωG G -=-为奇数。 ωωωωπ ωωπ ωd t i t G d e G t f t i )sin (cos )(21)(21)(+?= ?= ? ? +∞ ∞ -+∞ ∞ - =0 1()sin d ()sin d 2ππi G i t G t ωωωωωω+∞ +∞ -∞?=??? 所以，当f(t)为奇函数时，有 00 2()b()sin d .b()= ()sin dt.πf t t f t t ωωωωω+∞ +∞ =????其中同理，当f(t)为偶函数时，有 ()()cos d f t a t ωωω+∞ =??.其中 02()()cos π a f t tdt ωω+∞ = ?? 2.在上一题中，设()f t =21, 0, 1 t t t ?
傅里叶变换与拉普拉斯变换的区别与联系 摘要 通过对复变函数的学习，我基本上了解了傅里叶变换与拉普拉斯变换的基本理论知识，并且知道了他们在数学、物理以及工程技术等领域中有着广泛的应用，傅氏变换与拉氏变换存在许多类似之处，都能够在解决广义积分、微分积分方程、偏微分方程、电路理论等问题中得到应用。下面通过对他们做一些比较研究，来更清楚地认识他们。 关键词：两种积分变换积分与微分方程电路理论 正文 （一）前言： 1、傅里叶变换与拉普拉斯变换都属于积分变换，是两种常见的数学变换手段，而所谓的积分变换就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换，其作用就是将复杂的函数运算变成简单的函数运算，当选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换，傅里叶变换与拉普拉斯变换就是因取不同的积分域与变换核得来的。 2、傅里叶变换是拉普拉斯变换的特例。拉普拉斯变换是将时域信号变换到“复频域”，与变换的“频域”有所区别。拉普拉斯变换主要用于电路分析，作为解微分方程的强有力工具（将微积分运算转化为乘除运算）。傅里叶变换则随着FFT算法的发展已经成为最重要的数学工具应用于数字信号处理领域。
（二）提出问题： 已知傅里叶变换是拉氏变换的特例，如何用例子进一步说明他们的关系，如何运用它们解决积分与微分方程和电路问题。 （三）解决问题： 傅里叶变换与拉普拉斯变换两种变换的性质有许多相似之处，故两者在求解问题时也会有许多类似，另外，由于傅氏变换的积分区间为（-∞，+∞），拉氏变换的积分区间为(0，+∞），两者又 会在不同的领域中有着各自的应用。下面通过一些具体的例子来对两种变换的应用做一些研究： 3.1 两种积分变换在求解积分、微分方程中的应用 例1 求解积分方程 ()()()()g t h t f g t d τττ+∞ -∞=+-? 其中(),()h t f t 都是已知的函数，且()g t 、()h t 和()f t 的傅里叶变换都存在。 分析：该积分方程中的积分区间是()+∞∞-,，故首先应考虑用傅里叶积分变换法求解。积分项内是函数()f t 与()g t 的卷积，对方程两边取傅氏变换，利用卷积性质便可以很方便的求解该问题。 解：设[()](),[()](ω),[()](ω)g t G w f t F h t H ===F F F 由卷积定义可知()()()()f g t d f t g t τττ+∞ -∞-=*?。因此对原积分方程两边取傅里叶变换， 可得 (ω)(ω)(ω)(ω)G H F G =+? 因此有