x 专题二次函数和平行四边形
一、已知三个定点,再找一个定点构成平行四边形(平面内有三个点满足)
例1、已知抛物线b
ax
ax
y+
+
-
=2
2与x轴的一个交点为A(-1,0),与y轴的正半轴交于
点C。
⑴直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;
⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时,求抛物线的解析式;
⑶坐标平面内是否存在点M,使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是
练习如图,对称轴为直线
7
2
x=的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4)。
(1)求抛物线解析式及顶点坐标;
(2)设点E(x,y)是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF是以OA为对
角线的平行四边形。求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x
的取值范围;
①当平行四边形OEAF的面积为24时,请判断平行四边形OEAF是否为菱形?
②是否存在点E,使平行四边形OEAF为正方形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,
请说明理由。
二、平行四边形已知两个定点,再找两个点构成平行四边形
(1)确定两定点连接的线段为平行四边形一边,则两动点连接的线段应和已知边平行且相等)
例 已知,如图抛物线2
3(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点,与x 轴交于A 、B 两点,A 点在B 点左侧。点B 的坐标为(1,0),OC=30B 。 (1)求抛物线的解析式;
(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点,求四边形ABCD 面积的最大值;
(3)若点E 在x 轴上,点P 在抛物线上。是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在,求点P 的坐标,若不存在,请说明理由?
练习 已知抛物线:x x y 22
12
1+-
= (1)求抛物线1y 的顶点坐标;
(2)将抛物线1y 向右平移2个单位,再向上平移1个单位,得到抛物线2y ,求抛物线2y 的解析式;
(3)如下图,抛物线2y 的顶点为P ,x 轴上有一动点M ,在1y 、2y 这两条抛物线上是否存在点N ,使O (原点)、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形,若存在,求出N 点的坐标;若不存在,请说明理由。
A
(2)两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时,则这条线段可能为平行四边形得边或对角线
例 如图,抛物线2
23y x x =--与x 轴交A 、B 两点(A 点在B 点左侧),直线l 与抛物线交于A 、C 两点,其中C 点的横坐标为2。
(1)求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式;
(2)P 是线段AC 上的一个动点,过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点,求线段PE 长度的最大值;
(3)点G 抛物线上的动点,在x 轴上是否存在点F ,使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F 点坐标;如果不存在,请说明理由。
练习1 已知:如图所示,关于x 的抛物线
y=ax 2+x+c (a ≠0)与x 轴交于点A(-2,
0)、点B (6,0),与y 轴交于点C 。
(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;
(2)在抛物线上有一点D ,使四边形ABCD 为等腰梯形,写出点D 的坐标,并求出直线AD 的解析式;
(3)在(2)中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M ,抛物线上有一动点P ,x 轴上有一动点Q.是否存在以A 、M 、P 、Q 为顶点的平行四边形?如果存在,请直接写出点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由。
练习2 在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0)、B(0,-4)、C(2,0)三点。
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△MAB的
面积为S,求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值;
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个
位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的
点Q的坐标.
练习3 在直角梯形OABC中,CB//OA,∠COA=90°,CB=3,OA=6,BA=.分
别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系.
(1)求点B的坐标;
(2)已知D、E分别为线段OC、OB上的点,OD=5,OE=2EB,直线DE交x轴于点F.求直线DE的解析式;
(3)点M是(2)中直线DE上的一个动点,在x轴上方的平面内是否存在另一点N,使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图:在平面直角坐标系中,直线l :y=13x ﹣4 3 与x 轴交于点A ,经过点A 的抛物线 y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=3 2 . (1)求抛物线的解析式; (2)平移直线l 经过原点O ,得到直线m ,点P 是直线m 上任意一点,PB ⊥x 轴于点B ,PC ⊥y 轴于点C ,若点E 在线段OB 上,点F 在线段OC 的延长线上,连接PE ,PF ,且PE=3PF .求证:PE ⊥PF ; (3)若(2)中的点P 坐标为(6,2),点E 是x 轴上的点,点F 是y 轴上的点,当PE ⊥PF 时,抛物线上是否存在点Q ,使四边形PEQF 是矩形?如果存在,请求出点Q 的坐标,如果不存在,请说明理由. 【答案】(1)抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4;(2)证明见解析;(3)点Q 的坐标为(﹣2,6)或(2,﹣6). 【解析】 【分析】 (1)先求得点A 的坐标,然后依据抛物线过点A ,对称轴是x=3 2 列出关于a 、c 的方程组求解即可; (2)设P (3a ,a ),则PC=3a ,PB=a ,然后再证明∠FPC=∠EPB ,最后通过等量代换进行证明即可; (3)设E (a ,0),然后用含a 的式子表示BE 的长,从而可得到CF 的长,于是可得到点F 的坐标,然后依据中点坐标公式可得到 22x x x x Q P F E ++=,22 y y y y Q P F E ++=,从而可求得点Q 的坐标(用含a 的式子表示),最后,将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可. 【详解】
二次函数专项复习经典试题集锦(含答案) 一、选择题: 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是( ) A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图,则点 ),(a c b M 在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2,且0+-c b a ,则一定有( ) A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式 是532+-=x x y ,则有( ) A. 3=b ,7=c B. 9-=b ,15-=c C. 3=b ,3=c D. 9-=b ,21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系,二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( ) B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线( ) A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x
7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是( ) A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,若 c b a M ++=24c b a N +-=,b a P -=4,则( ) A. 0>M ,0>N ,0>P B. 0 x 时,求使y ≥2的x 的取值围. 一元二次方程根的分布专题 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质,分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。 一.一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布,指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根,有一负根,其实就是指这个二次方程一个根比零大,一个根比零小,或者说,这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个不等实根为1x ,2x ①方程有两个不等正根 ??? ? ? ? ??? >=>-=+>-=?>>00040,0212 1221a c x x a b x x ac b x x ②方程两根一正一负 :0021<<=<-=+>-=?<<00040,02121221a c x x a b x x ac b x x 即时应用: (1)若一元二次方程 0)1(2)1(2 =-++-m x m x m 有两个不等正根,求m 的取值范围。 (2)k 在何范围内取值,一元二次方程0332 =-++k kx kx 有一个正根和一个负根? 二、一元二次方程的非零分布——k分布 设一元二次方程20(0) ax bx c a ++=>的两不等实根为1x,2x,k为常数。则一元二次方 k1x2x k 根 的 分 布 ① 12 x x k② 12 k x x③ 12 x k x 图 象 充 要 条 件 2 b k a f k 2 b k a f k f k 根 的 分 布 ④ 1122 k x x k⑤ 11223 k x k x k⑥两根有且仅有一根在 12 ,k k内 图 象 充 要 条 件 1 2 12 2 f k f k b k k a 1 2 3 ()0 ()0 ()0 f k f k f k 12 f k f k 或 1 12 1 ()0 22 f k k k b k a 或 2 12 2 ()0 22 f k k k b k a k k k 2 k 1 k 2 k 1 k 3 k 2 k 1 k 二次函数与四边形 一.二次函数与四边形的形状 例 1.(浙江义乌市)如图,抛物线y = x2-2x-3与 x 轴交A、B两点(A点在 B 点左侧),直线l 与抛物线交于 A、C两点,其中 C 点的横坐标为 2. (1)求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式; (2)P 是线段AC上的一个动点,过P点作y 轴的平行线交抛物线于 E 点,求线段PE 长度的最大值;A (3)点G 是抛物线上的动点,在x 轴上是否存在点F,使A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F 点坐标;如果不存在,请说明理由. 例 1.解:(1)令y=0,解得x =-1或x = 3 ∴A(-1,0)B(3,0); 将 C 点的横坐标x=2 代入y = x2- 2x - 3得y=-3,∴ C(2,-3)∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 (2)设P 点的横坐标为x(-1≤x≤2)则P、E 的坐标分别为:P(x,-x-1), E((x, x -2x -3)∵P 点在E 点的上方,PE= (-x -1)- (x - 2x - 3)= - x + x + 2 19 ∴当x= 1时,PE的最大值= 9 3)存在4 个这样的点 F,分别是F1(1,0),F2(-3,0),F3(4+ 7,0),F4(4- 7,0) 7 练习1.(河南省实验区) 23.如图,对称轴为直线x = 7的抛物线经过点 A(6,0)和B(0,4). (1)求抛物线解析式及顶点坐标; (2)设点E(x,y)是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF 是以OA为对角线的平行四边形.求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; ①当平行四边形OEAF 的面积为24 时,请判断平行四边形OEAF 是否为菱形? ②是否存在点E,使平行四边形OEAF 为正方形?若存在,求出点E x= A(6,0) x 二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2),与x轴交于A B两点,与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式; (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2;存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9,-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析:(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2,然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值,即可得解; (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标,再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标,从而得 到OA OC AD的长度,根据勾股定理列式求出AC的长度,然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值,再分① AD=QD时,过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度,根据/ OAC勺余弦求出AE的长度,然后求出OE,从而得到点Q的坐标;②AD=AQ时,过Q作QE2丄x轴于点E>,利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度,根据/ OAC勺余弦求出AE的长度,然后求出OE,从而得到点Q的坐标;③AQ=DQ时,过Q作QE3丄x轴于点已,根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度,然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度,从而得到点Q 的坐标. 试题解析:(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形?若存在,请求出符合条件的点 【经典例题】二次函数根的分布 二次函数根的分布 一、知识点 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 一元二次方程 02=++c bx ax 根的分布情况 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()1 2 0,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()1 2 0,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0,一个大于0()1 2 0x x << 大致图 象(0 >a ) 得出的 结论 ()00200 b a f ?>??? -?>?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()0 0二次函数根的分布专题
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