２０１１年６月 第６期 电子测试 ＥＬＥＣＴＲ０ＮＩＣ ＴＥＳＴ Ｊｕｎ．２ｏ１１ Ｎｏ．６ 基于滑模控制的一类节点互异复杂动态网络同步研究 张金鑫 （１南京邮电大学自动化学院，南京２１０００３；２淮安信息职业技术学院，淮安２２３００１） 摘要：复杂动态网络同步问题是复杂动态网络研究领域的一个十分重要的研究内容。本文针对一类各个节点都 不相同的复杂动态网络的情况，应用滑模控制理论，设计出一种比例积分滑模面，并最终提出滑模控制准则， 得到系统同步控制器的参数选择方法，使得一类复杂动态网络在有限时间内迅速达到同步。通过选取统一混沌 系统作为复杂网络中的节点，对网络中各个不同的节点分别选择不同的系统参数，对其进行数值仿真，验证了 本文所提出的方法的有效胜。 关键词：复杂动态网络；内部同步；滑模控制；统一混沌系统 中图分类号：ＴＰ１３ 文献标识码：Ａ Ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｘ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｎｅｔｗｏｒｋｓ ｗｉｔｈ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｎｏｄｅｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｓｌｉｄｉｎｇ ｍｏｄｅ ｃｏｎｔｒｏｌ （１ ｃｏＨｅｇｅ ｏｆＡｕｔｏｍａｔｉｏｎ，Ｎａｊｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆＰｏｓｔｓ＆Ｔｅｌｅｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，Ｎａｎｊｉｎｇ ２１０００３；２ ｈｕａｉａｎ Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ｈｕａｉａｎ ２２３００１） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｉｓｓｕｅ ｉｎ ｃｏｍｐｌｅｘ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｎｅｔｗｏｒｋｓ．Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｓ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｘ ｎｅｔｗｏｒｋ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｆｅｒｅｎｔ ｎｏｄｅｓ ｂｙ ｍｅａｎｓ ｏｆ ｓｌｉｄｉｎｇ ｍｏｄｅ ｃｏｎｔｒｏ１．Ａ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｐｌｕｓ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｓｌｉｄｉｎｇ ｓｕｒｆａｃｅ ｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｔＯ ｏｂｔａｉｎ ａ ｓｌｉｄｉｎｇ ｍｏｄｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｌａｗ．Ｔｏ ｃｏｎｆｉＨＴｌ ｔｈｅ ｖａｌｉｄｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ ｆａｍｏｕｓ ｕｎｉｆｉｅｄ ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｄｉｆｅｒｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍ ｐａｐａｍｅｔｅｒ ａｒｅ ｓｔｉｍｕｌａｔｅｄ ａｓ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｎｏｄｅｓ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｘ ｎｅｔｗｏｒｋｓ，ａｎｄ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｔｏ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａｐｐｒｏａｃｈ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｓｏｍｐｌｅｘ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ；Ｉｎｎｅｒ ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ；ｓｌｉｄｉｎｇ ｍｏｄｅ ｃｏｎｔｒｏｌ；ｕｎｉｆｉｅｄ ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍｓ ０引言 近年来，复杂网络同步引起了许多领域研究人员的 关注，并取得了很多重要的成果 。Ｗａｎｇ等提出了一个 简单的动力学网络模型 ，Ｌｉ Ｃ等对节点问存在延迟时复 杂网络的同步规律进行了分析 ；Ｊｉａｎｇ等人通过节点输 出变量的线性耦合，提出了一种新的复杂动态网络模型 。 在现有的实现复杂网络同步的文献中，网络中所有的节 点都是同动力学方程的，即节点系统方程完全相同。 在实际中，复杂网络的节点常常存在互异的情况， 因此，对于节点结构互异的复杂网络同步的研究是有必 要的。文献【
５］提出了一种实现节点结构互异的复杂网 ２Ｄ１１．６ Ｄｅｓｉｇｎ＆Ｒｅｓｅａｒｃｈ 络的混沌同步方法。由于滑模方法有较好的鲁棒性，更 适合处理这类问题。本文基于滑模控制理论，提出了一 种实现节点结构互异的复杂网络的同步方法。以不同参 数的系统作为节点构成的复杂网络为例，仿真结果证明， 整个网络可以达到同步。 １具有不同节点的复杂动态网络模型 考虑一个由ｍ个节点构成的复杂动态网络，其中单 个节点在不考虑耦合作用时的状态方程为： 毫＝ （誓）， ｌ，２，３，…，ｍ （１） 其中，ｘ 是第ｆ个节点的 维状态变量， ｘ ＝（ ｌ，ｘｆ２，…， ）∈尺”， ＝Ｒ — Ｒ 。 取ｍ个不同结构的混沌系统（１）作为节点，构成如 下复杂动态网络模型： 毫＝ （ ）＋Ｈｉ（ １，Ｘ２，．．．，Ｘｍ）， １，２ ３一，ｍ（２） 式中Ｈ （ ，Ｘ２，．．．， ）为连接节点之问的耦合函 数。当网络达到同步时，状态为Ｘ１：Ｘ２＝…＝Ｘ 。 定义复杂动态网络节点状态变量之间的误差： ｅｉ＝ｘ１一ｘｆ） ｌ，２，３，…，ｍ （３） ＝ ｌ— ＝ （Ｘ，）一 （Ｘ ）＋△ （４） 式中ＡＨ＝Ｈ１（ １，Ｘ２，…Ｘ ）一Ｈ （ １，Ｘ２，…Ｘ ）。 设计目标控制器“ ￣！ｉｍｌｅ （ｆ）ｌｌ，＝０，ｉ＝１，２，…，ｍ成 立，即复杂动态网络（２）内部节点同步。 ２网络控制器设计 为了实现复杂动态网络（２）各节点的状态同步，需 加入一个控制器。带有控制器的复杂动态方程描述为： ｆ． Ｉ＝ （Ｘ１）＋Ｈ１（ ｌ， ２，…，Ｙ ） ＝８（ｘ ）＋Ｈ （ １，Ｘ２，¨．，Ｘｍ）＋Ｂｕｆ ，ｊ，…，ｍ（５） 式（５）中 为控制矩阵。 就单个节点的状态方程可以描述为： ＝Ａ ｘｉ＋ ＋ ｆ，ｆ＝ｌ，２，…ｍ 当 ：ｌ时，“ ＝０。其中Ａ为系统矩阵， 是 控制矩阵，ｇ 代表系统参数不确定的非线性部分。则式（４） 有如下形式： ＝膏ｉ— ＝Ａ １＋Ｂｇｌ＋ ＩＩ Ｌ－ 一（ ＋ ｇ ＋ ）＋△ （６） 为应用滑模控制理论，使得网络内部达到同步，引 入如下假设和引理。 假设１（Ａ１）：假设存在非负数 ，满足不等式： ｌＩｇ１一ｇｉ Ｇｉ ｇ１为第一个节点的非线性部分，ｇ 为第 个节点的 非线性部分，＿ｌ‘Ｉｌ表示范数。 选取比例积分滑模面 ： ６ｆ＝Ｋｅ—Ｉ Ｋ（Ａ—ＢＬ）ｅ（＇ｃ）ｄ （７） 式（７）中增益矩阵Ｋ、Ｌｃ Ｒ ，Ｋ满足ｄｅｔ（ＫＢ）≠０， 需使矩阵Ａ—ＢＬ稳定，矩阵Ａ一 的所有特征值 九 ＜０，（ ＝１，２，３）。对滑模面 求导： ＝Ｋｋｉ—Ｋ（Ａ—ＢＬ）ｅ ＝ Ｋ［ＡｘＩ＋ ｇｌ（ ）一 一ＢｇＭｉ）＋Ｂｕ ＋Ｈｌ－Ｈ￣］－Ｋ（Ａ—ＢＬ）ｅ￣＝ Ｋ［Ａ（ｘ。一ｘｉ）＋Ｂ（ｇ１（ｘ１）－ｇ （ ） ）＋ 。一 ］一Ｋ（Ａ—ＢＬ）ｅｉ＝ ＫＡｅｉ＋ＫＢ［ｇｌ（ １）一ｇ （ ）＋“ ］＋ （ 一 ）一 ＋ＫＢＬｅ￣＝ ）一跳）＋“ （Ｈ１一Ｉ－Ｉ，）＋ＫＢＬ （８） 系统的滑动模态运动要求沿切换面ｓ（ｘ）＝０，在有 限时间内到达理想终点，需满足条件Ｓ＝０以及 ＝０［７１。 理想的控制器： “ ＝一 ＸＩ）＿ｇｆ（Ｘｉ）］＿［（ ）～Ｋ（Ｈ１－Ｈｉ）＋Ｌｅ￣１一（／ｒｍ） ［￡＋ Ｇ ｉｇｎ（６ ） （９） 实际运动中，系统通过切换函数沿切换面上下穿行。 得到控制器： ＝一Ｅ（ＫＢ）Ｋ（Ｈ。一Ｈｉ）＋Ｌｅｉ］ 式（１０）中，ｓｉｇｎ（ｏ。。） （船） ［ｅ＋ＩＩＫｓＧ ，） ｒ～１，０＂ａ＜ｏ （１ ０） ？ｏ，ｏ ＝０，￡＞０。 ｌＩ １，ｏ ＞０ 定理ｌ（Ｔ１）控制器（１ｏ）满足如下稳定条件： Ｔ ＜０ （１１） 证明： 将式子（７）和（９）带入到（Ｉ１）中得： ＝。 ＝。ｆ｛ＫＢ［ｇ （ｘ１）一ｇ （ｘｉ）］＿舳［（煳）～Ｋ（Ｈ 一Ｈ １＋Ｌｅｉ］＿（￣＊ｔｌＫＢｃ，Ｉｔ ｉｇｎ（由＋Ｋ（Ｈ ｏｉｒ｛ＫＢ［ｇｌ（ｘ１）一马（‘）］一 （ 一 ）一脚 一（针』 （ｑ）＋ （ 一 ）＋ ｝＝ ｏ ｛舳［蜀（ｘ Ｌ）一ｇ （‘）］一（ｅ＋ｌ舳 （ｑ）｝≤一ｅ 通过设置￡＞０，系统满足滑模的稳定条件，复杂 动态网络达到同步状态。
设计与研发 ２ｏ＂．６ ３数值仿真 设每个节点的状态方程为参数不同的统一混沌系统 ，形 Ｉ ｌ＝（２５ａ＋１ ０）（ ２一 １） ２＝（２８—３５￣）ｘ１＋（２９ａ一１）ｘ２一ｘＩ ３ 。ｌ ３＝ｘ１ｘ２一（８＋ｏ【） ３／３ （１２） 式中， １，ｘ２，ｘ３是状态变量。参数 ∈［０，１】，当 式（１２）可以改写成如下形式： Ｘ ＝Ａ Ｘ ＋始 ＋Ｂｕｆ，１，２，… （１３） … 『一１０ １０ ０］ ｝１ ０ ０Ｉ１ 其中’ ｌ２０８—０１－８。／３ｊ ’Ｂ ０７ ０ ７１ｌ’ Ｉ Ｉ ｌ ｆＩ ｇ ：１—３５ 。＋２９ 一 。 ３Ｉ，此混沌系统的动态特 １ Ｘｉｌｘ ２一ｃＬ，ｘ３／３ ｌｌ
图１统一混沌系统的相位图 系统的不确定由ｇ 中的 来表示，选择增益矩阵 Ｋ：ｄｉａｇ（１，ｌ，１），煳＝ｄｉａｇ（１，ｌ，１），矩阵 一Ｂ的特 征值设置为Ｐ＝［一５—５．００１—５．０００１］，通过节 点配置的方法，得到，矩阵Ｋ（Ａ一日１在计算中可以当 做Ｋ（Ａ—Ｂ １＝ｄｉａｇ（－５—５．００１—５．０００１），得至０滑 模面： Ｉ 。＝Ｐ ＋ ５Ｐ ） ｝ ：＝ｅ ＋ ５ｅ ） （１４） ｌＩ ＝ｅ，＋ ５已。 ）
图２ 未施加控制器的各节点之间第一个状态的李 萨育图
图３施加控制器的节点之间第一个状态的李萨育图 对比图２、图３可以看出，网络的节点状态在加上 控制器后达到同步。 （下转４６页） ∞ ∞ 如 加 ０∞ 参考文献 ［１】 ［２】 ［３】 【４］ ［５】 Ｍｉｌａｎ Ｓｏｎｋａ，Ｖａｃｌａｖ Ｈｌａｖａｃ，Ｒｏｇｅｒ Ｂｏｙｌｅ．图像处理、 分析与机器视觉［Ｍ】．２版．北京：人民邮电出版社， ２００２． ＳＯＮＫＡ Ｍ，ＨＬＡＶＡＣ Ｖ，ＢＯＹＬＥ Ｒ．Ｉｍａｇｅ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，ａｎａｌｙｓｉｓ，ａｎｄ ｍａｃｈｉｎｅ ｖｉｓｉｏｎ（２ｎｄ）［Ｍ］．Ｔｈｅ ｕｎｉｔｅｄ ｓｔａｔｅｓ：ＰＷＳ Ｐｕｂｌｉｓｈｉｎｇ，１９９８． 王植，贺赛先．一种基于Ｃａｎｎｙ理论的自适应边缘检 测方法［Ｊ】．中国图像图形学报，２００４，９（８）：９５７—９６１． 孙即祥．图像分析［Ｍ］．北京：科学出版社，２００５． Ｌａｍ Ｌ，Ｌｅｅ ＳＷ，Ｓｕｅｎ Ｃ Ｙ．ＴｈｉｎｎｉｎｇＭｅｔｈｏｄｏｌｏｇｉｅｓ： ａ Ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ Ｓｕｒｖｅｙ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ ＰＡＭＩ， １９９２，ｌ４（８）：８６９－８８５． ［６】 【７】 【８］ 尹平，王润生．自适应多尺度边缘检测［Ｊ１．软件学 报，２０００，１１（７）：９９０—９９４． Ｄｅｍｉｇｎｙ Ｄ．Ｏｎ ｏｐｔｉｍａｌ ｌｉｎｅａｒ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ ｆｏｒ ｅｄｇｅ ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ 【Ｊ】．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．ｏｎ Ｉｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００２，１１（７）：７２８— ７３７． 崔屹．图像处理与分析一数学形态学方法及应用［Ｍ】． 北京：科学出版社，２０００． 作者简介： 陈志强。中北大学信息与通信工程学院硕士研究 生。研究方向为信号与信息处理、图像处理。 Ｅ－ｍａｉｌ：ｔｇｗｚｃｚｑ＠ｙｅａｈ．ｎｅｔ （上接３３页） ４结束语 本文提出了一种实现节点结构互异的复杂动态网络 的混沌同步方法。以不同结构混沌系统作为节点构造复 杂动态网络模型，基于网络内部同步思想，利用滑模控 制理论设计控制器，得到网络内部达到同步的条件，网 络各节点达到状态同步。 参考文献 ［１］ ［２］ ［３］ 【４］ 汪小帆，李翔，陈关荣．复杂网络理论及其应用【Ｍ】． 北京：清华大学出版社，２００６． Ｗａｎｇ Ｘ Ｆ，Ｃｈｅｎ Ｇ．Ｓｙｎｃｈｒ０ｎｉｚａｔｉｏｎ ｉｎ ｓｍａｌｌ—ｗｏｒｌｄ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｎｅｔｗｏｒｋｓ［Ｊ］．Ｉｎｔ．Ｊ．Ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃｈａｏｓ， ２００２，１２（１）：１８７—１９２． Ｌｉ Ｃ，Ｃｈｅｎ Ｇ．Ｓｙｎｃｈｒ０ｎｉｚａｔｉＯｎ ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ ｃｏｍｐｌｅｘ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｎｅｔｗｏｒｋｓ ｗｉｔｈ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｄｅｌａｙｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓｉｃａ Ａ， ２００４，３４３：２３６－２７８． Ｊｉａｎｇ Ｇ Ｐ，Ｔａｎｇ Ｋ Ｓ，Ｃｈｅｎ Ｇ Ｒ．Ａ ｓｔａｔｅ－ｏｂｓｅｒｖｅｒ－ｂａｓｅｄ ａｐｐｒｏａｃｈ ｆｏｒ ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ ｉｎ ｃｏｍｐｌｅｘ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｎｅｔｗｏｒｋｓ【Ｊ】．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉ０ｎｓ ｏｎ Ｃｉｒｃｕｉｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｉ，Ｒｅｇｕｌａｒ Ｐａｐｅｒｓ，２００６，５３（１２）：２７３９—２７４５． 吕翎，张超．一类节点结构互异的复杂网络的混沌同 步［ＪＪ＿物理学报，２００９，５８（３）：１４６２—１４６６． Ｇ（ｉ ｎｙａｚ Ａｂｌａｙ．Ｓｌｉｄｉｎｇ ｍｏｄｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｕｎｉｆｉｅｄ ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａｎａｌｙｓｉｓ：Ｈｙｂｒｉｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ，２００９（３）：５３１－５３５． 高为炳．变结构控制理论基础【Ｍ】．北京：中国科学 技术出版社，２０００． Ｊ．Ｈ．Ｌ ｉｉ，Ｇ．Ｒ．Ｃｈｅｎ，Ｄ．Ｚ．Ｃｈｅｎｇ，Ｓ．Ｃｅｌｉｋｏｖｓｋｙ．Ｂｒｉｄｇｅ ｔｈｅ ｇａｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ Ｌｏｒｅｎｚ ａｎｄ ｔｈｅ Ｃｈｅｎ ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ．，２００２（１２）： ２９１ ７－２９２６． 作者简介： 张金鑫，南京邮电大学自动化学院控制理论与控制 工程专业硕士研究生，淮安信息职业技术学院，讲师。 主要研究方向为混沌与复杂网络控制。 Ｅ－ｍａｉｌ：ｊａｒｏｄｍａｒｓ＠ｓｏｈｕ．
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