一元函数的连续与极限-极限的运算法则｜函数极限运算法则

第一章

第五节极限的运算法则

一、主要内容二、典型例题三、同步练习四、同步练习解答一、主要内容（一）极限的四则运算法则

定理5 若lim f ( x )=A , lim g( x )=B , 则

x →x0 x →x0

(1) lim [ f ( x ) ±g( x )]=lim f ( x ) ±lim g ( x )=A ±B

x →x0

x →x0

x →x0

(2) lim [ f ( x ) g ( x )]=lim f ( x ) lim g( x )=AB

x →x0

x →x0 x →x0

(3) 若B≠0 , 则有

f ( x)=lim x →x0

g ( x )

x →x0

lim f ( x )

x →x0

A=lim g ( x ) B

注

对于数列极限及x→∞时函数极限的四则

运算法则, 有相应的结论 . 例如, 对于数列极限, 有以下结论: 若lim xn=A , lim yn=B , 则有

n→∞n→∞

(1) lim ( xn ±yn )=A ±B

n→∞

( 2) lim xn yn=AB

n→∞

xn A=( 3) 当B ≠0时, lim B n →∞yn

数列是一种特殊的函数, 故此结论可由定理5直接得出 .

推论(极限运算的线性性质) 若lim f ( x )=A , lim g( x )=B , λ和μ是常数，则

x →x0 x →x0

x →x0

lim [λf ( x ) ±μg ( x )]=λA ±μB

=λlim f ( x ) ±μlim g ( x )

x →x0 x →x0

以上运算法则对有限个函数成立. 于是有

x →x0

lim [ f ( x )]n=[ lim f ( x )]n

x →x0

——幂的极限等于极限的幂

一般地，设有分式函数

P( x) R( x )=, Q( x )

其中P ( x ) , Q( x ) 都是多项式, 若Q( x0 ) ≠0，则

P ( x0 )=R ( x0 ) 结论lim R( x )=Q ( x0 ) x→x0

注若Q ( x0 )=0 , 不能直接用商的运算法则 .

结论

a0 x m + a1 x m 1 + L + am=0 , 当n > m lim n n 1 + L + bn x →∞b0 x + b1 x

a0 , 当n=m b0

∞, 当n

( a0b0 ≠0 , m , n 为非负常数)

对于∞型的极限，可以先给分子、分母同除以分∞母中自变量的最高次幂（抓大头）, 然后再求极限.

（二）复合函数的极限运算法则

定理6 设lim ( x )=a , 当0

函数极限及运算法则

教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限 教学重点：运用函数极限的运算法则求极限 教学难点：函数极限法则的运用 教学过程： 一、引入： 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o ==→∞→lim ,01 lim .若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数 的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算. 二 、新课讲授 对于函数极限有如下的运算法则： 限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）. 说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf o o x x x x →→= n x x n x x x f x f o o )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用. 三 典例剖析 例1 求)3(lim 2 2 x x x +→ 例2 求1 1 2lim 231++-→x x x x 例3 求4 16 lim 24--→x x x 分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数

4 162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即 可求出函数的极限. 例4 求1 3 3lim 22++-∞→x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2 x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。 总结：),(lim ,lim * N k x x C C k o k x x x x o o ∈==→→ )(01lim ,lim * N k x C C k x x ∈==∞→∞ → 例5 求1 34 2lim 232+--+∞→x x x x x 分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以3 x ，就可以运用法则计算了。 四 课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限） （1）)32(lim 2 1-→ x x ； （2）)132(lim 2 2 +-→x x x （3）)]3)(12[(lim 4 +-→x x x ； （4）1431 2lim 221-++→x x x x （5）11lim 21+--→x x x （6）9 6 5lim 223-+-→x x x x （7）13322lim 232+--+∞→x x x x x （8）5 2lim 32--∞→y y y y 五 小结

极限的四则运算教案(1)

2.4 极限的四则运算（一） 古浪五中---姚祺鹏 【教学目标】 （一）知识与技能 1．掌握函数极限四则运算法则； 2．会用极限四则运算法则求较复杂函数的极限； 3．提高问题的转化能力，体会事物之间的联系与转化的关系； （二）过程与方法 1.掌握极限的四则运算法则，并能使用它求一些复杂数列的极限. 2.从函数极限联想到数列极限，从“一般”到“特殊”. （三）情态与价值观 1.培养学习进行类比的数学思想 2.培养学习总结、归纳的能力，学会从“一般”到“特殊”，从“特殊”到“一般”转化的思想.同时培养学生的创新精神，加强学生的的实践能力。 (四)高考阐释： 高考对极限的考察以选择题和填空题为主，考察基本运算，此类题目的特点在于需要进行巧妙的恒等变形，立足课本基础知识和基本方法 【教学重点与难点】 重点：掌握函数极限的四则运算法则； 难点：难点是运算法则的应用（会分析已知函数由哪些基本函数经过怎样的运算结合而成的）． 【教学过程】 1．提问复习，引入新课 对简单函数，我们可以根据它的图象或通过分析函数值的变化趋势直接写出它们的极

限．如 1lim ,2121lim 1 1==→→x x x x ． 让学生求下列极限： （1）x x 1lim →； （2）x x 21lim 1→； （3）)12(lim 21+→x x ； （4）x x 2lim 1→ 对于复杂一点的函数，如何求极限呢？例如计算??? ? ?+→x x x 21lim 1即x x x 212lim 21+→，显然通过画图或分析函数值的变化趋势找出它的极限值是不方便的．因此、我们有必要探讨有关极限的运算法则，通过法则，把求复杂函数的极限问题转化为求简单函数的极限． 板书课题：极限的四则运算． 2．特殊探路，发现规律 考察x x x 212lim 21+→完成下表： 根据计算（用计算器）和极限概念，得出2 3212lim 21=+→x x x ，与1lim 2121lim 11==→→x x x x 、 对比发现：2321121lim lim 21lim 212lim 11121=+=+=??? ? ?+=+→→→→x x x x x x x x x x ． 由此得出一般结论：函数极限的四则运算法则： 如果b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0 0，那么 []b a x g x f x x ±=±→)()(lim 0 []b a x g x f x x ?=?→)()(lim 0 )0()()(lim 0≠=??????→b b a x g x f x x 特别地:（1）[])(lim )(lim 0 0x f C x f C x x x x →→?=?（C 为常数） （2）[])N ()(lim )(lim *00∈??????=→→n x f x f n x x n x x

极限四则运算法则

极限四则运算法则 由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。 定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且 )(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。 证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>?>?δε，当 100δ<-?δ，当2 00δ<-

人教版高中数学(理科)选修函数极限的运算法则教案

函数极限的运算法则 教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限 教学重点：运用函数极限的运算法则求极限 教学难点：函数极限法则的运用 教学过程： 一、引入： 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o ==→∞→lim ,01lim .若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算. 二 、新课讲授 也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）. 说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf o o x x x x →→= n x x n x x x f x f o o )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用. 三 典例剖析 例1 求)3(lim 2 2x x x +→ 例2 求1 12lim 231++-→x x x x

例3 求4 16lim 24--→x x x 分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数4 162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限. 例4 求1 33lim 22++-∞→x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2 x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。 总结：),(lim ,lim *N k x x C C k o k x x x x o o ∈==→→ )(01lim ,lim *N k x C C k x x ∈==∞→∞→ 例5 求1 342lim 232+--+∞→x x x x x 分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以3x ，就可以运用法则计算了。 四 课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限） （1）)32(lim 21 -→x x ； （2）)132(lim 22 +-→x x x （3）)]3)(12[(lim 4 +-→x x x ； （4）14312lim 221-++→x x x x

高三选修2教案2.4极限的四则运算(一)

课 题：2.4极限的四则运算(一) 教学目的：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限 教学重点：运用函数极限的运算法则求极限 教学难点：函数极限法则的运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1.数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．． 某个常数a ,那么就说数列}{n a 以a 为极限．记作lim n n a a →∞ =． 2.几个重要极限：

（1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n q （1

函数与极限习题与答案计算题(供参考)

高等数学 二、计算题（共 200 小题，） 1、设x x x f +=12)(，求)(x f 的定义域及值域。 2、设x x x f -+= 11)(，确定)(x f 的定义域及值域。 3、设)ln(2)(22x x x x x f -+-= ，求)(x f 的定义域。 4、的定义域，求设)(sin 51 2arcsin )(x f x x x f π+-=。 5、的定义域，求设??? ??++-=x f x f x x x f 1)(22ln )(。 6、的定义域求函数22112arccos )(x x x x x f --++=。 7、设)(x f 的定义域为[) )()()(m x f m x f x F b a ++-=，．，)0(++=。 19、及其定义域，求， 设)(02)(ln 2x f x x x x f +∞<<+-=。

极限四则运算法则

极限四则运算法则 由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。 定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且 )(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。 证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>?>?δε，当 100δ<-?δ，当2 00δ<-

归纳函数极限的计算方法

归纳函数极限的计算方法-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

归纳函数极限的计算方法 摘 要 ：本文总结出了求极限的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 The sum of the Method of Computing Function Limit Abstract ：The write sums up in this article several ways of extacting the limit by the means of definition, formula,nature, theorem and so on. Key Words ：Function Limit ；Computing method ；L’Hospita l rules; Four fundamental rules 前言 极限的概念是高等数学中一个最基本、最重要的概念，极限理论是研究连续、导数、积分、级数等的基本工具，因此正确理解和运用极限的概念、掌握极限的求法，对学好数学分析是十分重要的.求极限的方法很多且非常灵活，本文归纳了函数极限计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1函数极限的εδ-定义]1[ 设函数f 在点0x 的某个空心邻域'0(;)U x δ内有定义，A 为定数，若对任给的0ε>，存在正数'()δδ<，使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<，则称函数当趋于0x 时以A 为极限，记作0 lim ()x x f x A →=或()f x A →0()x x →. 2.求函数极限的方法总结 极限是描述函数的变化趋势，以基于图形或直观结合定义可以求出一些简单的函数的极限；但是结构较为复杂的函数的图形不易画出，基于直观也就无法得出极

函数极限的十种求法

函数极限的十种求法 信科2班江星雨20140202250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则： 极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解：lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则 洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。 利用洛必达求极限应注意以下几点： 设函数f(x)和F(x)满足下列条件： （1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大 则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1： 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导（洛必达法则） (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限： 应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件： ①分子、分母为无穷小，即极限为0 ； ②分子上取正弦的角必须与分母一样。 应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件：

高中数学教案：极限与导数函数极限的运算法则

函数极限的运算法则（4月30日） 教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限 教学重点：运用函数极限的运算法则求极限 教学难点：函数极限法则的运用 教学过程： 一、引入： 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o ==→∞→lim ,01lim .若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算. 二 、新课讲授 限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）. 说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf o o x x x x →→= n x x n x x x f x f o o )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用. 三 典例剖析 例1 求)3(lim 2 2x x x +→

例2 求1 12lim 231++-→x x x x 例3 求4 16lim 24--→x x x 分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数 4 162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限. 例4 求1 33lim 22++-∞→x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2 x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。 总结：),(lim ,lim *N k x x C C k o k x x x x o o ∈==→→ )(01lim ,lim *N k x C C k x x ∈==∞→∞→

《数列极限的运算法则》教案(优质课)

《数列极限的运算法则》教案 【教学目标】：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。 【教学重点】：运用数列极限的运算法则求极限 【教学难点】：数列极限法则的运用 【教学过程】： 一、复习引入： 函数极限的运算法则：如果,)(lim ,)(lim 0 B x g A x f x x x x ==→→则[]= ±→)()(lim 0 x g x f x x ＿＿＿ []=→)().(lim 0 x g x f x x ＿＿＿＿，=→) () (lim x g x f x x ＿＿＿＿（B 0≠） 二、新授课： 数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似： 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况。例如，若{}n a ，{}n b ，{} n c 有极限，则：n n n n n n n n n n c b a c b a ∞ →∞ →∞ →∞ →++=++lim lim lim )(lim 特别地，如果C 是常数，那么CA a C a C n n n n n ==∞ →∞ →∞ →lim .lim ).(lim 三、例题： 例1.已知,5lim =∞ →n n a 3lim =∞→n n b ，求).43(lim n n n b a -∞ →

例2.求下列极限： （1）)45(lim n n +∞→； （2）2)11 (lim -∞→n n 例3.求下列有限： （1）1312lim ++∞→n n n （2）1 lim 2-∞→n n n 分析：（1）（2）当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。 例4.求下列极限： （1） )1 1 2171513( lim 2222+++++++++∞ →n n n n n n （2）)39312421( lim 1 1 --∞→++++++++n n n

2019-2020年高二数学函数极限的运算法则教案 上教版

2019-2020年高二数学函数极限的运算法则教案 上教版 教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限 教学重点：运用函数极限的运算法则求极限 教学难点：函数极限法则的运用 教学过程： 一、引入： 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如.若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算. 二 、新课讲授 对于函数极限有如下的运算法则： 0）. 说明：当n x x n x x x f x f o o )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于的情况仍然适用. 三 典例剖析 例1 求 例2 求 例3 求 分析：当时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数在定义域内，

可以将分子、分母约去公因式后变成，由此即可求出函数的极限. 例4 求 分析：当时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。 总结：),(lim ,lim * N k x x C C k o k x x x x o o ∈==→→ )(01lim ,lim *N k x C C k x x ∈==∞→∞→ 例5 求 分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以，就可以运用法则计算了。 四 课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限） （1）； （2） （3）； （4） （5） （6） （7） （8）

《函数极限的运算法则》教案(优质课)

《函数极限的运算法则》教案 【教学目标】：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限 【教学重点】：运用函数极限的运算法则求极限 【教学难点】：函数极限法则的运用 【教学过程】： 一、引入： 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o ==→∞→lim ,01 lim .若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算. 二 、新课讲授 对于函数极限有如下的运算法则： 也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组

成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）. 说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf o o x x x x →→= n x x n x x x f x f o o )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用. 三 典例剖析 例1 求)3(lim 22 x x x +→ 例2 求1 1 2lim 231++-→x x x x 例3 求4 16 lim 24--→x x x 分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.

注意函数4 16 2--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变 成4+x ，由此即可求出函数的极限. 例4 求1 3 3lim 22++-∞→x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。 总结：),(lim ,lim *N k x x C C k o k x x x x o o ∈==→→ )(01lim ,lim * N k x C C k x x ∈==∞→∞ →

极限的运算法则

极限的运算法则 目的要求 1．掌握数列极限与函数极限的运算法则。 2．能运用极限的运算法则，求出较复杂的函数和数列的极限。 3．让学生体验“化归”、“类比”的数学思想方法。 内容分析 1．简单的函数极限可以从函数值的变化趋势中找出，但较为复杂的函数极限，就必须把它“化归”为简单的函数的极限，通过运算而得出。因此，极限的运算法则是我们实现化繁为简的基本手段。 2．教科书中给出了0x x →时，函数f （x ）极限的四则运算法则，我们类似地可以给出当x →∞时，函数f(x)极限的运算法则，即 如果极限)(lim x f x ∞→与)(lim x g x ∞ →都存在，那么 )()(x g x f ±，)()(x g x f ?，) ()(x g x f （当x →∞时）的极限也存在，并且 )(lim )(lim )]()([lim x g x f x g x f x x x ∞→∞ →∞→±=±， )(lim )(lim )]()([lim x g x f x g x f x x x ∞ →∞→∞→?=?， )0)(lim ()(lim )(lim )()(lim ≠=∞ →∞ →∞→∞→x g x g x f x g x f x x x x 。 这些法则，可用类比的方法，直接改变式中的0x x →为x →∞而得出，以便学生理解记忆。 3．对于函数极限的运算法则，教科书只给出结论，不要求证明。 4．在上一节课中，已经给学生讲述了数列与函数的关系，即把数列看成是特殊的函数，根据演绎推理，很自然地得出数列的极限运算法则。进一步地令C b n =（C 为常数），则可推得：n n n n a C a C ∞ →∞→?=?lim )(lim 。 5．极限运算法则可以推广到有限多个数列的情况，让学生感受数学思维的一般规律，养成从特殊到一般，从具体到抽象的归纳思维习惯。 6．教科书中的例1~例5，共包含了0x x →与x →∞两类极限的计算问题。其中，0x x →的函数f （x ）的极限计算时，分f(x)在0x x =处有定义和无定义的两种（例1、例2是有定

归纳函数极限的计算方法

归纳函数极限的计算方法 1. 预备知识 1.1函数极限的εδ-定义]1[ 设函数f 在点0x 的某个空心邻域'0(;)U x δ内有定义，A 为定数，若对任给的 0ε>，存在正数'()δδ<，使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<，则称函数当趋于0 x 时以A 为极限，记作0 lim ()x x f x A →=或()f x A →0()x x →. 2.求函数极限的方法总结 极限是描述函数的变化趋势，以基于图形或直观结合定义可以求出一些简单的函数的极限；但是结构较为复杂的函数的图形不易画出，基于直观也就无法得出极限，本着化繁为简的思想，产生了极限的四则运算法则；由“数列的单调有界准则”和“迫敛准则”产生了两个重要极限和无穷小量的性质—有界函数与无穷小量的积仍是无穷小量；由中值定理得出了罗必达法则.以上也是我们求极限的理论依据，但在个依据下求极限又有各自的技巧. 2.1依据函数极限的迫敛性求极限 函数极限的迫敛性 设0 lim ()lim ()x x x x f x g x A →→==，且在某'0(;)U x δ内有 ()()()f x h x g x ≤≤，则0 lim ()x x h x A →=. 例1求极限]1[lim 0x x x → 解：当0>x 时，有 1]1 [1≤<-x x x 而1)1(lim 0 =-+→x x ,由函数迫敛性可得 1]1 [lim 0=+→x x x 同理可得0-≤<<≤<-x x x x x x x x x x

§1-2 函数极限的运算规则

第1章 函数的极限和连续函数 8 §1-2 函数极限的运算规则·单调有界原理 1.极限的运算规则 记号“(,)x c c c -+→”和“(,)x →∞+∞-∞”都称为极限过程.若把它们统一地表示成“x →?”，则各种形式的函数极限，都具有像数列极限那样的运算 规则.要证明它们，也属于高等微积分（证明在第二篇中）. 设在同一个极限过程中，有极限)(lim x f x ? →和)(lim x g x ? →. ⑴ lim[()]lim ()x x c f x c f x →? →? =（c 为常数）； （齐次性） ⑵ lim[()()]lim ()lim ()x x x f x g x f x g x →? →? →? ±=±； （可加性） ⑶ lim[()()]lim ()lim ()x x x f x g x f x g x →? →? →? =?； （乘积的极限等于极限的乘积） ⑷ lim ()()lim lim ()0()lim () x x x x f x f x g x g x g x →? →?→?→? ??=≠???? ； （商的极限等于极限的商） ⑸ 若()()f x g x ≤，则lim ()lim ()x x f x g x →? →? ≤； （极限运算的单调性） ⑹ 若()()()f x h x g x ≤≤，且lim ()lim ()x x f x g x C →? →? ==，则也有极限lim ()x h x C →? =. （夹挤规则） 根据夹挤规则，若lim ()0x f x →? =，且)(x g 在极限过程?→x 中是有界变量(())g x B ≤， 则应直接写成 lim[()()]0x f x g x →? = 因为 0()()()0()f x g x B f x x ≤≤→→?且lim ()()0lim[()()]0x x f x g x f x g x →? →? =??= 而不能写成 []lim ()()lim ()lim ()0x x x f x g x f x g x →? →? →? =?=[逻辑错误!] 例如函数1sin y x x =（图1-15），应当直接写成 01 lim sin 0x x x →=(因为1sin 1x ≤) 而不能写成 00011 lim sin lim limsin 0x x x x x x x →→→=?= 因为不存在极限01 limsin x x →(图1-10). 例3 设有多项式 2012()(0)n n n P x a a x a x a x a =+++ +≠ 则 2012lim ()lim lim()lim()lim()n n x c x c x c x c x c P x a a x a x a x →→→→→=+++ + 2012(lim )(lim )(lim )n n x c x c x c a a x a x a x →→→=+++ +

高三数学教案：数列极限的运算法则

数列极限的运算法则（5月3日） 教学目标：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。 教学重点：运用数列极限的运算法则求极限 教学难点：数列极限法则的运用 教学过程： 一、复习引入： 函数极限的运算法则：如果,)(lim ,)(lim 0 B x g A x f x x x x ==→→则[]=±→) ()(lim 0 x g x f x x ＿＿＿ []=→)().(lim 0 x g x f x x ＿＿＿＿，=→) () (lim x g x f x x ＿＿＿＿（B 0≠） 二、新授课： 数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似： 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 推广：上面法则可以推广到有限．． 多个数列的情况。例如，若{}n a ，{}n b ，{}n c 有极限， 则：n n n n n n n n n n c b a c b a ∞ →∞ →∞ →∞ →++=++lim lim lim )(lim 特别地，如果C 是常数，那么CA a C a C n n n n n ==∞ →∞ →∞ →lim .lim ).(lim 二.例题： 例1.已知,5lim =∞ →n n a 3lim =∞ →n n b ，求).43(lim n n n b a -∞ → 例2.求下列极限： （1）)45(lim n n + ∞ →； （2）2)11 (lim -∞→n n 例3.求下列有限： （1）1312lim ++∞→n n n （2）1 lim 2-∞→n n n 分析：（1）（2）当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限， 上面的极限运算法则不能直接运用。

高二数学上册 7.7《极限的运算法则》教案 沪教版

7.7 (2)极限的运算法则 一、教学内容分析 本小节的教学内容是在理解无穷数列极限的概念的基础上学习数列极限的运算性质及四个重要的极限，鉴于高二学生现有的数学基础，教材采取从实际的例子引入，给出数列极限的运算性质及四个重要极限的结论，然后通过例题加以说明的方式. 教学重点是数列极限的运算性质，教学中要强调运算性质成立的条件是两个数列的极限都存在. 教学难点是数列极限的运算性质及四个重要极限结论的灵活运用，会进行恒等变形，运算性质可从两个数列推广到有限个数列，注意有限与无限的本质区别. 二、教学目标设计 掌握数列极限的运算性质，会利用这些性质计算数列的极限. 知道数列极限的四个重要结论，并会用它们来求有关数列的极限； 会运用式的恒等变形，把分子、分母极限不存在的分式转化为若干个极限存在的数列的代数和，从而求出极限，提高观察，分析以及等加转换的能力. 三、教学重点及难点 重点：数列极限的运算性质. 难点：数列极限的运算性质及重要极限的灵活运用. 四、教学流程设计 五、教学过程设计 课堂小结并布置作业 实例 引入 极限概念 数列极限的结论 运用与深化（例题分析，巩固练习） 极限的运算性质

一、复习回顾 1、数列极限的定义. 2、已知1 23-= n n a n 试判断数列{}n a 是否有极限，如果有，写 出它的极限. 二、讲授新课 1、实例引入 计算由抛物线x y =2 ，x 轴以及直线x=1所围成的区域 面积S ：26) 12)(1(lim lim n n n S S n n n --==∞→∞ → 2、数列极限的运算性质 （1）数列极限的运算性质 如果B b A a n n n n ==∞ →∞ →lim ,lim ，那么 （1）B A b a b a n n n n n n n ±=±=±∞ →∞ →∞ →lim lim )(lim ； （2）B A b a b a n n n n n n n ?=?=?∞ →∞ →∞ →lim lim )(lim ； （3）B A b a b a n n n n n n n ==∞ →∞ →∞→lim lim lim ； （2）的推论：若C 是常数，则A C a C b C n n n n n ?=?=?∞ →∞ →∞ →lim lim )(lim 说明：1、运算性质成立的条件 2、在数列商的极限中，作为分母的数列的项及其极 限都不为零. （2）常用的数列极限的几个结论 （1）对于数列{}n q ，当1

高三数学总复习 函数极限的运算法则教案

湖南师范大学附属中学高三数学总复习教案：函数极限的运算 法 教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限 教学重点：运用函数极限的运算法则求极限 教学难点：函数极限法则的运用 教学过程： 一、引入： 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o ==→∞→lim ,01 lim .若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算. 二 、新课讲授 对于函数极限有如下的运算法则： 如果B x g A x f o o x x x x ==→→)(lim ,)(lim ，那么 B A x g x f o x x +=+→)]()([lim B A x g x f o x x ?=?→)]()([lim )0()()(lim ≠=→B B A x g x f o x x 也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）. 说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf o o x x x x →→=

n x x n x x x f x f o o )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用. 三 典例剖析 例1 求)3(lim 2 2 x x x +→ 例2 求1 1 2lim 231++-→x x x x 例3 求4 16 lim 24--→x x x 分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数 4 162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ， 由此即可求出函数的极限. 例4 求1 3 3lim 22++-∞→x x x x