____经济应用基础（一）微积分 课程教案
授课类型_理论课___ 授课时间 2节
授课题目（教学章节或主题）： 第一章 函数
§1.1集合； §1.2实数集；§1.3函数关系；§1.4函数表示法；§1.5建立函数关系的例题
本授课单元教学目标或要求：
理解集合概念，掌握集合的运算性质，了解实数集的特征。
理解函数的概念，掌握函数的表示法和函数定义域、值域的求法。学会根据实际问题建立函数关系的方法。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
基本内容: 集合的概念及其运算性质；实数集的特征；函数的概念及性质；根据实际问
题建立函数关系的方法。
重点：集合的运算性质和函数的特征。
难点：邻域的理解和掌握如何根据实际问题建立函数关系的方法。
本授课单元教学手段与方法：
通过描绘文氏图和讲解第7页例9让学生理解和掌握集合的运算性质。通过作图和用集合的方式表达领域来帮助学生理解邻域的概念。通过讲解第25页例1，让学生掌握根据实际问题建立函数关系的方法。
本授课单元思考题、讨论题、作业：
思考题：库存问题中如何选择最优批量是经济数学中的一个难点与重点。第26页例2可做为一道思考题供学生课后思考。然后，由教师指导解决。 讨论题：将函数732y x =--用分段形式表示，并绘制函数图形。
利用此题让学生了解初等函数与分段函数的区别。
作业：课本第40页 8，9，14，15，23（2）、（7）、（8），28，30。
本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）
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授课类型_理论课___ 授课时间2节
授课题目（教学章节或主题）：
第一章函数
§1.6函数的几种简单性质；§1.7反函数，复合函数；§1.8初等函数；§1.9函数图形的简单组合与变换。
本授课单元教学目标或要求：
（1）了解函数的几种简单性质；
（2）熟悉反函数和复合函数的概念；
（3）熟悉六类基本初等函数的性质及其图形；
（4）了解初等函数的构成。能列出简单实际问题中的函数关系。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
基本内容: 讨论函数的四个性质：单调性、有界性、奇偶性和周期性。
反函数与复合函数的构成。
六类基本初等函数与初等函数的定义。
重点：函数的四个性质，初等函数的构成。
难点：函数有界性的理解，复合函数的结构，初等函数的构成。
本授课单元教学手段与方法：
1.通过定义和例题（课本第31，32页）引导学生了解函数的四个性质。
2.通过复习中学所学的六类基本初等函数内容和讲解复合函数的概念，从而引导出初等函
数的定义。
3.通过对初等函数是如何合成的了解，为今后的复合函数求导打下基础。
本授课单元思考题、讨论题、作业：
思考题：
1.指导学生完成课本第45页的思考题：练习B(1---18). 。
2.分段函数的定义域是如何确定的。
例：
sin,20 (),03
5,3
x x
f x x x
x
-≤<
?
?
=≤<
?
?<<+∞
?
作业：课本第44页48（4）、（7）；51（2）（4）；第45页55（3）、（4）、（6）。本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）
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授课类型_理论课___ 授课时间 2节
授课题目（教学章节或主题）： 第二章 极限与连续
§2.1数列的极限； §2.2函数的极限
本授课单元教学目标或要求：
理解数列概念，掌握数列极限和函数极限的定义；
熟练掌握数列和函数极限的“M -ε”定义和“δ-ε”定义的描述方法，并习惯用无限接近但不一定达到的思维方法； 熟练掌握数列和函数极限的有关定理。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
基本内容: 数列的概念，数列和函数的“M -ε”定义和“δ-ε”定义，数列和函数极
限的有关定理，用数列和函数的“M -ε”定义和“δ-ε”定义求解和证明简单的数列和函数的极限问题，数列和函数极限的几何意义。
通过讲解第49页例1-4让学生理解和掌握数列的概念；通过P50页（1）-（3）引入数列极限的定义；通过通过P53页的例子引入函数极限的定义，分别讲解当±∞→x 时的极限定义和0x x →的定义以及左右极限的定义；讲解有关的极限定理；选讲课本中的有
关例题及习题。
重点：数列和函数的“M -ε”定义和“δ-ε”定义。
难点：数列和函数极限中无限接近并不一定达到的思想及其表示法。
本授课单元教学手段与方法：
首先借助图形直观感受变量的极限概念，让学生对变量在某一变化过程中的极限有感性认识，再引入极限分析上的定义。
本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：证明：
)1n 1
1(2n lin
++
+∞
→=1，x x lin 0
x →不存在，为思考题供学生课后思考。然后，由教师指导解决。
讨论题：用函数的“δ-ε”定义证明
0)1x (21
n lin
=-→
利用此题熟练函数的“δ-ε”定义。
作业：课本第88-89页 1（3）（4），2（1），3，4（2）。
本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）
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授课题目（教学章节或主题）： 第二章 极限与连续
§2.3变量的极限； §2.4无穷大量与无穷小量。
本授课单元教学目标或要求：
（1）理解和掌握变量极限的定义；
（2）理解和掌握有界变量的定义及性质定理； （3）理解和掌握无穷大量与无穷小量的定义和性质； （4）理解和掌握无穷大量与无穷小量的关系； （5）理解和掌握无穷小量阶的比较。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
基本内容: 把前两节中讲授的各种极限统一成变量的极限； 变量极限的性质及定理； 有界变量的定义及性质定理；
无穷大量和无穷小量的定义、关系、性质及定理； 无穷小量阶的比较。
重点：变量极限的性质及定理，无穷小量的性质及阶的比较。 难点：把各种极限定义统一成变量的极限。
本授课单元教学手段与方法：
通过把前两节中的极限过程统一为“某个变化过程中”从而把极限的定义统一为变量的极限定义，反过来一一讨论和理解“某个变化过程中”在各种极限定义中的含义；
本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：
1.指导学生完成课本第96-97页的思考题：练习B(5--12). 。
2.函数2
)1x (1
y -=
在什么变化过程中是无穷大量？又在什么变化过程中是无穷小量？
作业：课本第89-90页8、9题。
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授课类型_理论课___ 授课时间 2节
授课题目（教学章节或主题）： 第二章 极限与连续
§2.5极限的运算法则。
本授课单元教学目标或要求：
（1）理解和掌握极限的四则运算法则；
（2）熟练运用极限的四则运算法则求各种极限值；
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
基本内容: 极限的四则运算法则，加减法法则的证明，无穷小的运算性质， 应用极限的四则运算法则计算函数的极限；
重点：极限的运算法则的应用。
难点：极限的加法和减法运算法则的证明。
本授课单元教学手段与方法：
通过讲解课本中的例题及选讲习题说明极限运算法则的应用。
本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：
1.指导学生完成课本第91页的思考题：练习A (13--14). 。
作业：课本第90页10(1)(4)(8)(9)(14)(19)(21)(22)。 讨论题：
,5x
-1b
ax x 21
x lin
=++→求b ,a 的值.
通过此题加深学生对极限的理解.
本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）
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授课类型_理论课___ 授课时间 2节
授课题目（教学章节或主题）： 第二章 极限与连续
§2.6 两个重要的极限
本授课单元教学目标或要求：
掌握极限存在的两个准则;
熟练掌握两个重要的极限以及第一个重要极限的证明过程； 熟练运用两个重要极限来解决实际问题即求极限值。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
基本内容: 极限存在的两个准则; 两个重要的极限以及第一个重要极限的证明过程; 运
用两个重要极限来解决一些函数的极限问题
重点：两个重要极限及其应用。 难点：第一个重要极限的证明。
本授课单元教学手段与方法：
讲解极限存在的两个准则,并举P72页的例1,例2加以说明；给出两个重要的极限内容并给出第一个重要极限的证明;讲解课本中的例题并选讲习题.
本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：求x
x )1
x 1x (
lin
+-∞
→，为思考题供学生课后思考。然后，由教师指导解决。 讨论题：
3x
2arcsinx
lin
x → 利用此题熟练第一个重要极限的应用,同时应用等价无穷小来求极限。
作业：课本第92页20(1)(2)(3),21（1）（7）。
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授课类型_理论课___ 授课时间 4节
授课题目（教学章节或主题）： 第二章 极限与连续
§2.7函数的连续性。
本授课单元教学目标或要求： （1）了解改变量的定义；
（2）理解和掌握函数在一点连续的定义； （3）掌握连续函数的定义；
（4）理解和掌握间断点的定义和种类； （5）掌握连续函数的运算法则;
(6)掌握闭区间上连续函数的性质定理以及其应用; (7)熟练掌握用连续函数的性质求函数的极限.
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
基本内容: 改变量的定义; 函数在一点连续的定义及连续函数的定义； 间断点的定义和种类；连续函数的运算法;
闭区间上连续函数的性质定理及应用. 用连续函数的性质求函数的极限
重点：函数在一点连续的定义,连续函数的运算法则,闭区间上连续函数的性质及应用。 难点：函数在一点连续的定义。
本授课单元教学手段与方法：
1.通过把函数图给出改变量的定义,并说明改变量可正可负;
2.通过连续函数的图形引入函数在某点连续的定义从而给出连续函数的定义；
3.通过间断函数的图形给出间断点的定义和类型;
4.讲解连续函数的运算法则和闭区间上连续函数的性质;
5.讲解用连续函数的性质求函数极限的有关例题及其他类型的例题.
本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：
1.指导学生完成课本第97-98页的思考题：练习B(13-18). 。
2.给)0(f 补充定义一个什么数值,能使)x (f 在0x =处连续?
(1) x
x
1x 1)x (f --+=
; (2) x 1sinxcon )x (f =
作业：课本第92-94页22(2)、23(3)(4)、30(1)(2)、31、33。
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授课类型_理论课___ 授课时间 2节
授课题目（教学章节或主题）： 第二章 极限与连续
小结、习题课：口头简单小结本章所讲的基本内容和方法，并通过一些典型的例题来说明, 例1：用极限的定义证明：0n 1
lin 2
n =∞→
例2：用函数的定义证明：42
x 4
-x lin
22x -=+-→
例3：求x x
)x (f =，x
x )x (=?,当0x →时的左右极限，并说明当0x →时的极限是否存在。
例4：计算下列极限： （1）)2141211(lin n n ++++
∞→ ；（2）x 1sin x lin 2
0x →；（3）x arctanx lin x ∞→；
（4）0xsinx cos2x -1lin
0x =→； （5）)k ()x
1
1(lin kx x 为正整数-∞→
例5：证明方程13x -x 5
=至少有一个根介于1和2之间。
例6：函数??
?
??≤<≤=3
x 1x x
1x x )x (f ，在其定义域内是否连续？
例7：若b a 0,b)ax 1
x 1
x (
lin 2x 、求=--++∞→的值。
先给出例题的题目，让学生思考25分钟左右，然后老师讲解例题。
授课类型_理论课___ 授课时间 2节
授课题目（教学章节或主题）： 第三章 导数与微分
§3.1引出导数概念的例题； §3.2导数概念（一） 本授课单元教学目标或要求：
理解导数概念，会用定义求函数在一点处的导数，会求曲线的切线 理解导数的物理意义及几何意义。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
基本内容: 变速直线运动的速度，平面曲线的切线斜率；导数的定义，一些简单函数的
求导。
重点是导数的定义，难点是理解导数的实际意义是描述变量变化快慢的程度。
通过讲解引例及 例题例1到例6（课本103页、104页）引入概念，让学生理解导数
的定义及利用定义计算函数的导数。
本授课单元教学手段与方法：
从导数在物理和几何上的应用给出导数的定义，引导学生对导数有直观和深刻的认识,利用引例激发学生对学习导数的兴趣。
本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：
例1．求函数f (x )=sin x 的导数. 解: f '(x )h
x f h x f h )
()(lim
-+=→h x h x h sin )sin(lim 0-+=→ 2sin )2cos(21lim 0h
h x h h +?=→
x h h
h
x h cos 2
2sin )2
cos(lim 0=?+=→.
即 (sin x )'=cos x .
用类似的方法, 可求得 (cos x )'=-sin x . 作业：课本第135页 1（2）；3。
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授课题目（教学章节或主题）： 第三章 导数与微分
§3.2导数概念（续）§3.3导数的基本公式与运算法则（一）； 本授课单元教学目标或要求：
熟练掌握导数基本公式、导数的四则运算法则，理解导数与连续的关系。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
基本内容: 左、右导数的概念；导数与连续的关系；求导的基本公式和运算法则。 重点是求导的基本公式和运算法则，
难点是左右导数的求法以分段函数在分界点处可导性的讨论，商与乘积的求导法则。 通过 例题（见课本105页、106页，111页、115页）演示求导法则的应用、熟练求导计算。
本授课单元教学手段与方法：
引导学生根据上节课学的导数的定义，通过演示推导得出基本初等函数的导数公式和运算法则，并通过严格的推理来解决求导问题。
本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：
例1 求函数x y tan =的导数。 解： x x x x x x x x x y 2
2
sec )
(cos )(cos sin cos )(sin )cos sin (
)(tan ='-'='='=' 同理可得：x x 2
csc )(cot -=' 例2求函数x y sec =的导数。 解： x x x
x
x x x x y tan sec cos sin cos )(cos )cos 1(
)(sec 22=='-='='=' 同理可得：（x x x cot csc )(csc -='）
作业：课本135页4；136页12（4）13（9）
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授课题目（教学章节或主题）： 第三章 导数与微分
§3.3导数的基本公式与运算法则（二）； 本授课单元教学目标或要求：
掌握复合函数、隐函数的求导，理解对数函数的求导。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
基本内容为复合函数、隐函数、对数函数的求导。
重点是复合函数求导，难点是隐函数、对数求导的方法。
通过例题 （课本117页、120页、122页）演示复合函数求解过程，特别是将函数正确分解为多个函数的复合的方法，来熟练复合函数的求导。 本授课单元教学手段与方法：
通过例题由易到难、由浅入深让学生掌握复合函数的求导过程。强调隐函数的求导思路以及对数求导法适用的对象。通过思考题来总结和提高本次课讲授的求导方法。
本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：
例1 求曲线x y xy x 2222=-+在2=x 处的切线方程 解： 对方程x y xy x 222
2
=-+两边关于x 求导得：
22222='?-'++y y y x y x 解得：y
x y x y 22)
1(2---=
'
当2=x 时，由所给曲线方程解得：??
?==02y x 或???==4
2
y x
对于点（2，0）所求切线斜率2
122)
1(20
20
21-=---=
'=====y x y x y
x y x y k
故所求切线方程为12
1
+-
=x y ， 对于点（2，4），所求切线斜率2
522)
1(24
24
22=
---=
'=====y x y x y
x y x y k 故所求切线方程为12
5
-=
x y 作业：课本137页18（11）（12）（18）138页21（1）
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授课题目（教学章节或主题）： 第三章 导数与微分
§3.4高阶导数 §3.5微分 本授课单元教学目标或要求：
知道高阶导数概念，会求函数的高阶导数;
理解解微分概念，会求函数的微分,理解微分的应用。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
基本内容为高阶导数的定义、高阶导数的计算、微分的概念及几何意义、微分的运算法则、微分的应用。
重点是二阶导数和微分的求法，难点为微分的几何意义与微分的应用。 例题用课本127页、131页、134页中例。 本授课单元教学手段与方法：
引导学生反复利用一阶导数来求二阶导数，从微分的实际应用给出微分的定义，让学生认识到微分可以用作近似计算，从解决问题出发给出微分的定义。
本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：
例1 已知x y 2arctan = ，求)1(y '' 解： 2
412
)2(arctan x x y +='='
2
22)41(16)412(
x x
x y +-
='+='' 25
16)41(16)1(1
2
2-
=+-
=''=x x x
y 例2 设隐函数2
2
3
2y x xy y ++=，求dy
解： 2
2
3
2y x xy y ++=两端对x 求微分得：2
2
3
)2()(dy x d xy d dy ++= 即：ydy xdx xdy ydx dy y 2432
+++= 从而dx x
y y x
y dy --+=2342
作业:课本140页34（1）42（5）（7）
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授课类型 理论课 授课时间 2 节
授课题目（教学章节或主题）：
第四章 中值定理，导数的应用 §4.1 中值定理
本授课单元教学目标或要求：
理解罗尔定理和拉格朗日定理的条件和结论，
会应用拉格朗日定理解决一些数学问题
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
基本内容：罗尔定理，罗尔定理、拉格朗日中值定理的证明，定理的几何意义。 . 拉格朗日中值定理的应用 重点：拉格朗日中值定理
难点：拉格朗日中值定理及其应用
本授课单元教学手段与方法：
采用发现法引导学生从几何图形上发现罗尔定理与拉格朗日中值定理的结论，通过例子和随堂练习强化所学内容的理解
本授课单元思考题、讨论题、作业：
1、当()f x =()()()()2345x x x x ----时，问()f x '=0有几个实根（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
2、下列函数中，在区间[]1,1-上满足洛尔定理条件的是（ ）
A 、()x
f x e =， B 、()2
1f x x =-， C 、()ln f x x =， D 、()f x x =
作业：P193：1，2，4，6
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授课题目（教学章节或主题）：
第四章 中值定理，导数的应用
§4.1 中值定理；§4.2未定式的定值法------罗必达法则 本授课单元教学目标或要求：
了解柯西中值定理，会用洛必达法则求不定式的极限；
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
基本内容：柯西中值定理及证明， 洛必达法则及证明 ，洛必达法则的推论
柯西中值：如果函数f ( x )及F (x ) 在闭区间[a , b ]上连续,，在开区间 (a , b ) 内可导,，且F '(x ) (a , b ) 内的每一点处均不为零。那么在(a , b )内至少有一点ξ ，使等式
)
()
()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=--
成立。
罗必达法则
一、罗必达法则（1）
0型 设(1) 当0x x →时)(x f 和)(x F 的极限为0;
(2) 在点0x 的某些邻域内,)(x f '及)(x F '都存在,且0)(≠'x F ; (3) )()(lim
x F x f x x ''→存在,(或为∞), 则)
()
(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→
（证明见书P151） 推论 若0x x →时，
)
()(x F x f ''仍为00
型,且)(x f '，)(x F '仍满足罗必塔法则条件，则:
)
()
(lim )()(lim )()(lim
000
x F x f x F x f x F x f x x x x x x ''''=''=→→→ 讲解书例1到例14中部分例 增加例1 求x
x
x sin cos 1lim 0-→
解: 所求极限为0
型,运用罗必达法则,得: 0c o s s i n l i m )(s i n )c o s 1(l i m s i n c o s 1l i m
000==''-=-→→→x
x
x x x x x x x
注1 运用罗必达法则求极限时,能简化的,要进行简化,并要注意每次应用前要切实检查仍为待定型极限.
例2 求)1(61
2lim 0-+-→x x x x e e xe 解: )1(612lim 0-+-→x x x x e e xe =x
x x x x x e e e xe 1lim
)1(612lim 00→→-+- =1622lim
0?-+→x
x
x x x e e xe e =6
1
612lim
0=+→x x
重点及难点：洛必达法则的应用
本授课单元教学手段与方法：
采用求解教学方法帮助学生解决极限计算问题，通过大量例子巩固和提高运算技能和技巧的教学方法，使学生熟练掌握未定式极限的求法。
本授课单元思考题、讨论题、作业：
1、011
lim ()1x
x x e →-- 2、1x → 3、2
01cos 2lim
3x x
x →-
作业：P194：8（1）（3）（4）
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授课类型 理论课 授课时间 2 节
授课题目（教学章节或主题）：
第四章 中值定理，导数的应用
§4.2未定式的定值法------罗必达法则（续） 本授课单元教学目标或要求：
会用洛必达法则求不定式的极限；
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
. 基本内容：罗必达法则 (II) 设
(1) 当∞→x 时)(x f 和)(x F 的极限为0;
(2) 当0,>>M M x 时, )(x f '和)(x F '都存在,且0)(≠'x F ;
(3) )()(lim x F x f x ''∞→存在,(或为∞), 则)
()
(lim )()(lim x F x f x F x f x x ''=∞→∞→
二、
∞
∞型 1.罗必达法则(III)设
(1) 当0x x →时,∞→∞→)(,)(x F x f ;
(2) 在点0x 的某一去心邻域内,)(x f '及)(x F '都存在,且0)(≠'x F (3) )()(lim
x F x f x x ''→存在,(或为∞), 则)
()
(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→
2. 罗必达法则(IV)设
(1) 当∞→x 时,∞→∞→)(,)(x F x f ;
(2) 当0,>>M M x 时, )(x f '和)(x F '都存在,且0)(≠'x F ; (3) )()(lim
x F x f x ''∞→存在,(或为∞), 则)
()
(lim )()(lim x F x f x F x f x x ''=∞→∞→
例1 求)0,0(sin ln sin ln lim 0
>>+
→p l px
lx
x
解: 所求极限为
∞
∞
型,运用罗必达法则(III),得:
lx
px p px lx l px
px p lx lx
l px lx x x x sin cos sin cos lim sin cos sin cos lim sin ln sin ln lim
000+++→→→== lx px
px lx p l x x sin sin lim cos cos lim 00+
+→→=
lx px
p
l x sin sin lim
10+→??=
1cos cos lim 0=?==
+→l
p p l lx l px p p l x 三、其它待定型00,1,0,,0∞∞-∞∞?∞ 它们总可以通过适当的变换为00型或∞
∞
型,然后再运用罗必达法则. 重点：罗必达法则的应用
难点：其它待定型0
,1,0,,0∞∞-∞∞?∞
化为
00型或∞
∞
型的极限计算 例2 求x x x ln lim 2
+
→ 解: 所求极限为∞?0型,故可化为:
0l i m 2
12l i m l n l i m l n l i m 2
0310202
0=-=-==+
+++→--→-→→x x x x x x x x x x x 一般的,有0,0ln lim 0
>=+
→αα
x x x
本授课单元教学手段与方法：
采用求解教学方法帮助学生解决极限计算问题，通过大量例子巩固和提高运算技能和技巧的教学方法，使学生熟练掌握除
00型或∞
∞
型外的未定式极限求法。 本授课单元思考题、讨论题、作业：
1、11lim(sin cos )t t t t →∞+
2、x
x x sin 1
)cos (lim 0→ 3、x
x x x x ln ln lim 2++∞→
作业：P194：8（6）（7）（8）（11）
本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 同济大学《高等数学》第四、五版
经济应用基础（一）微积分 课程教案
授课类型 理论课 授课时间 2 节
授课题目（教学章节或主题）： 第四章 中值定理，导数的应用 §4.3函数的增减性
本授课单元教学目标或要求：
1. 掌握用导数判定函数单调性的方法，会求函数的单调区间。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
定理4.3 设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间),(b a 内可导，
（1） 如果在),(b a 内0)(>'x f ，则)(x f 在[]b a ,上单调增加（↗）; （2） 如果在),(b a 内0)(<'x f ，则)(x f 在[]b a ,上单调减少（↘）.
如将定理中的闭区间换成其它各种区间（包括无限区间），定理3.1的结论仍成立，使定理4.3结论成立的区间，就是函数的单调区间。
讲解书例1，例2 增加下例
例3 确定函数3
3
3x
x y -=的单调区间。 解： 函数的定义域为),3()3,3()3,(+∞---∞ 3±=x 为函数的间断点。
2
22224222322)3()
3)(3()3(9)3()2()3(3x x x x x x x x x x x x y --+=
--=----=' 令0='y 得：3,3,0321=-==x x x
用0,3,3±±=x 分定义成如下区间，列表讨论如下：
所以函数的单调减少区间为),3[],3,(+∞--∞，
单调增加区间为：]3,3(),3,3(),3,3[---
.
本授课单元教学手段与方法：
采用呈现法，通过图形示例，引导学生发现函数的单调性与导数符号的关系。 本授课单元思考题、讨论题、作业：
1、下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（
）．
A ．sin x
B ．e x
C ．x 2
D ．3 - x 2、确定函数32()29123f x x x x =-+-的单调区间 2、 求证 ： )1(1
1
ln
>+->
x x x x
作业：P195：9（1）（5）（6）；10
本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 《高等数学》―――同济大学第五版
经济应用基础（一）微积分 课程教案
授课类型 理论课 授课时间 2 节
授课题目（教学章节或主题）： 第四章 中值定理，导数的应用 §4.4函数的极值
本授课单元教学目标或要求：
理解函数的极值概念，掌握用导数求函数的极值的方法
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
基本内容：函数极值的定义，函数取得极值的必要条件与充分条件 函数极值的定义
定义4.1 设函数)(x f 在0x 的某一邻域内有定义，对于该邻域内（除0x 外）的任一x ，
)1(如果都有)()(0x f x f <，则称)(0x f 是)(x f 的极大值； )2(如果都有)()(0x f x f >，则称)(0x f 是)(x f 的极小值.
函数的极大值与极小值称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点。
定理4.4 （极值的必要条件）
设函数)(x f 在0x 处可导，如果)(x f 在0x 处取得极值，则0)(0='x f 使0)(0='x f ，则称0x 为函数)(x f 的一个驻点 .
定理4.5（极值存在的一阶充分条件）
设函数)(x f 在0x 处连续，在),(),(0000δδ+-x x x x （δ为某个正数）上可导 （1）如果在0)(>'x f ， )(x f '由正变负，则0x 是)(x f 的一个极大值点；
（2）如果在0)(<'x f ，)(x f '由负变正，则0x 是)(x f 的一个极小值点； （3）如果
)(x f '不变，则0x 不是)(x f 的极值点.
例1 求函数32)1()2()(-+=x x x f 的极值。 解： 函数的定义域为),(+∞-∞且在),(+∞-∞内可导，
)45()1)(2()(2
+-+='x x x x f ，令0)(='x f 得：1,5
4
,2321=-
=-=x x x 用1,5
4
,2321=-=-=x x x 分定义域),(+∞-∞成如下区间，讨论如下：
高等数学测试（第三章） 一. 选择题（每小题3分，共30分） 1．下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是（ ） A ．x y e = B ．ln y x = C ．21y x =- D ．2 1 1y x = - 2．曲线3(y x = 3．已知函数f A ．一个 4．设函数(f x ） A 5．如果0()f x 'A ．0()f x C ．0()f x 6A . C . 7．若在[]1,1-A 8．曲线1=y 9．设()x f '在点0x 的某个邻域内存在，且()0x f 为()x f 的极大值，则()() =-+→h x f h x f h 000 2lim （ ） A ．０ B ．１ C ．２ D ．-２ 10．设()x f 在点3=x 的某个邻域内有定义，若()() () 133lim 2 3 -=--→x f x f x ，则在3=x 处（ ）
A . ()x f 的导数存在且()03≠'f B . ()x f 的导数不存在 C . ()x f 取得极小值 D . ()x f 取得极大值 二. 填空题（每小题3分，共15分） 11．函数ln(1)y x =+在[0,1]上满足拉格朗日定理的ξ=________． 12．函数4 y x = 13．函数()f x 14．曲线()f x 15．函数()f x 三. 计算题（16．（5 18．（5，讨论其
四. 应用题（每题10分，共20分） 20.（10分）某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成咋样的长方形才能使这间小屋的面积最大？ 21.（10 是多少？ 五. 证明题（ 22.（10
Course Description of Feng Lin 1.《微积分1,2》，刘建亚，中国高等教育出版 Calculus 1、2 Edited by Liu Jianya, Published by China Higher Education Press This course introduces the bisic concepts and methods of calculus and how to make use of them in dealing with practical issues. It also introduces the knowledge about how to use computer to solve calculus problems. 2.《线性代数》刘建亚主编高等教育出版社 Linear Algebra Edited by Liu Jianya, Published by China Higher Education Press This course introduces the basic principles, theories and methods of Linear Algebra and introduces the application of the knowledge in practical problems. 3.《概论统计》袁荫堂主编中国人民大学出版社 Probability Statistics Edited by Yuan Yintang, Published by China People University Press This course introduces the knowledge of elementary Probability and the practical application of Mathematical Statistics. 4.《统计学》袁卫、庞皓、曾五一、贾俊平主编高等教育出版社 Statistics Edited by Yuan Wei & Pang Hao & Zeng Wuyi & Jia Junping, Published by China High Education Press This course introduces the basic theories and methods of Statistics, practical application of national economy statistics, and the application of computer in this field. 5.《国际贸易学》范爱军主编山东人民出版社 International Trade Edited by Fan Aijun, Published by Shandong People’s Publish ing House This course is mainly about the basic theories and policies of international trade, including international division of labor and international market, international value and world market price, theory of free trade and protective trade, different kinds of international trade policies and measures, WTO and regional economic integration, international trade service, international technological service and IPR, etc. 6．《现代国际商务函电》梁树新主编，人民邮电出版社 Contemporary Correspondence in International Business Edited by Liang Shuxin, Published by People’s Posts and Telecommunications Press This course mainly introduces ways and technique in writing all kinds of English business correspondences used by companies which are in business communication with foreign companies and introduces the latest knowledge about international business marketing and business talks. 7．《国际商务谈判》肖云南主编清华大学出版社、北京交通大学出版社 International Business Negotiations Edited by Xiao Yunnan Published by Tsinghua University Press & Beijing Jiaotong University Press
第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列 x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2221 11(1) (2)n n n ??+++ ?+??=0； (2) lim n →∞2! n n =0. 证：（1）因为 22222 2111 112 (1) (2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=， 所以，由夹逼定理得
习题 3-1 1. 验证函数()f x =在区间[0,4]上满足罗尔定理的条件，并求出使得结 论成立的点ξ。 解：显然函数()f x =[0,4]上连续，在(0,4)上可导，且有(0)(4)0f f == 所以函数在区间[0,4]上满足罗尔定理，则有()0 f ξ'= =，83 ξ= 。 2. 验证函数3 ()1f x x =-在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理的条件，并求出使 得结论成立的ξ。 解：函数3 ()1f x x =-在区间[1,2]上连续，在(1,2)上可导，则满足拉格朗日中值定理，则 有2(2)(1) 321 f f ξ-=-，即ξ= 3. 函数4 ()1f x x =-与2 ()g x x =在区间[1,2]上是否满足柯西中值定理的所有条 件，如满足，求出满足定理的数值ξ。 解：函数4 ()1f x x =-与2 ()g x x =在区间上连续，在区间(1,2)上可导，则满足柯西中值 定理，则有3 (2)(1)4(2)(1)2f f g g ξξ -=-，即ξ= 4. 若4次方程432 012340a x a x a x a x a ++++=有4个不同的实根，证明 3201234320a x a x a x a +++= 的所有根皆为实根。 证明：设432 01234()f x a x a x a x a x a =++++，()0f x =的四个实根分别为1234,,,x x x x ， 且1234x x x x <<<，则函数()f x 在1[,](1,2,3)i i x x i +=上满足罗尔定理的条件，则在 1(,)i i x x +内至少存在一点i ξ，使得()0i f ξ'=。 这说明方程32 01234320a x a x a x a +++=至少有3个实根，而方程为3次方，则最多也只
第三章习题 3-1 1、对函数x y sin ln =在区间]6 5,6[ π π上验证罗尔定理 解答：（1、区间]6 5,6[ π π上连续 ； （2）函数x y sin ln =在区间)6 5,6(π π上可导； （3）、2ln 6sin ln )6(-==π πf ，2ln 6 5sin ln )65( -==π πf 所以满足Rolle 定理的条件。且由0sin cos == 'x x y 解得)6 5,6(4π ππξ∈= 2、证明：函数02=++=r qx px y 在任意区间上应用lagrange 中值定理求得的点ξ总是该区间的中点 证明：（1）02=++=r qx px y 在任意],[b a 上连续 ；02=++=r qx px y 在),(b a 上可导；所以满足lagrange 定理的条件。且由02=+='q px y 解得),(2 b a b a ∈+=ξ 所以求得的点ξ总是该区间的中点 3、证明：方程033 =+-c x x 在区间]1,0[内不可能有两个不同的实数根 证明：用反证法，设方程033 =+-c x x 在区间]1,0[内有两个不同的实数根21,x x （1）、函数c x x x f +-=3)(3在],[2x x x 连续 ；（2）、函数c x x x f +-=3)(3 在),(2x x x 可导；（3）、0)()(21==x f x f ， 所以满足Rolle 定理的条件，于是存在]1,0[),(21?=∈x x ξ。使0)(='ξf 但是由033)(2 =-='x x f 解得根为),(121x x x ?±=。矛盾 所以方程033 =+-c x x 在区间]1,0[内不可能有两个不同的实数根 4、若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中 b x x x a <<<<21，证明：在),(31x x 内至少存在一点ξ，使得0)(=''ξf :证明：由于函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中 b x x x a <<<<21，所以函数)(x f 分别在区间],[21x x 与],[32x x 上满足Rolle 定理的条 件，于是存在),(21x x ∈λ。使0)(='λf ，也存在),(32x x ∈?。使0)(='?f
____经济应用基础（一）微积分 课程教案 授课类型_理论课___ 授课时间 2节 授课题目（教学章节或主题）： 第一章 函数 §1.1集合； §1.2实数集；§1.3函数关系；§1.4函数表示法；§1.5建立函数关系的例题 本授课单元教学目标或要求： 理解集合概念，掌握集合的运算性质，了解实数集的特征。 理解函数的概念，掌握函数的表示法和函数定义域、值域的求法。学会根据实际问题建立函数关系的方法。 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容: 集合的概念及其运算性质；实数集的特征；函数的概念及性质；根据实际问 题建立函数关系的方法。 重点：集合的运算性质和函数的特征。 难点：邻域的理解和掌握如何根据实际问题建立函数关系的方法。 本授课单元教学手段与方法： 通过描绘文氏图和讲解第7页例9让学生理解和掌握集合的运算性质。通过作图和用集合的方式表达领域来帮助学生理解邻域的概念。通过讲解第25页例1，让学生掌握根据实际问题建立函数关系的方法。 本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：库存问题中如何选择最优批量是经济数学中的一个难点与重点。第26页例2可做为一道思考题供学生课后思考。然后，由教师指导解决。 讨论题：将函数732y x =--用分段形式表示，并绘制函数图形。 利用此题让学生了解初等函数与分段函数的区别。 作业：课本第40页 8，9，14，15，23（2）、（7）、（8），28，30。 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 《高等数学》―――同济大学第五版
经济应用基础（一）微积分课程教案 授课类型_理论课___ 授课时间2节 授课题目（教学章节或主题）： 第一章函数 §1.6函数的几种简单性质；§1.7反函数，复合函数；§1.8初等函数；§1.9函数图形的简单组合与变换。 本授课单元教学目标或要求： （1）了解函数的几种简单性质； （2）熟悉反函数和复合函数的概念； （3）熟悉六类基本初等函数的性质及其图形； （4）了解初等函数的构成。能列出简单实际问题中的函数关系。 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容: 讨论函数的四个性质：单调性、有界性、奇偶性和周期性。 反函数与复合函数的构成。 六类基本初等函数与初等函数的定义。 重点：函数的四个性质，初等函数的构成。 难点：函数有界性的理解，复合函数的结构，初等函数的构成。 本授课单元教学手段与方法： 1.通过定义和例题（课本第31，32页）引导学生了解函数的四个性质。 2.通过复习中学所学的六类基本初等函数内容和讲解复合函数的概念，从而引导出初等函 数的定义。 3.通过对初等函数是如何合成的了解，为今后的复合函数求导打下基础。 本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题： 1.指导学生完成课本第45页的思考题：练习B(1---18). 。 2.分段函数的定义域是如何确定的。 例： sin,20 (),03 5,3 x x f x x x x -≤< ? ? =≤< ? ?<<+∞ ? 作业：课本第44页48（4）、（7）；51（2）（4）；第45页55（3）、（4）、（6）。本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 《高等数学》―――同济大学第五版
《复变函数与积分变换》作业参考答案 习题1： 4、计算下列各式 (1) ； (3) ； (5) 12 z += ，求2z ，3z ，4z ； (7) 解：(1) --； (3) 3(23i 41288+====++； (5) 2 13214422z --+= ==-+， 321113 1224 z z z -++--=?= ?==-， 4312z z z =?=-． (7) 因为1cos isin ππ-=+，所以 22cos isin 6 6 k k ππ ππ ++=+， 即 0k =时，01cos isin i 6 6 22 w π π =+= +； 1k =时，133cos isin i 66 w ππ=+=； 2k =时，2551cos isin i 6622w ππ=+=-+； 3k =时，3771cos isin i 662 w ππ=+=； 4k =时，499cos isin i 66 w ππ=+=-； 5k =时，511111cos isin i 662 w ππ=+=-．
习题2： 3、下列函数在何处可导？何处解析？在可导点求出其导数． (2) 2 ()i f z x y =-； (4) ()sin ch icos sh f z x y x y =+ (6) ()az b f z cz d += +。 解：(2) 因为2 (,)u x y x =，(,)v x y y =-， 2x u x '=，0y u '=，0x v '=，1y v '=-． 这四个一阶偏导数都连续，故(,)u x y 和(,)v x y 处处可微，但柯西-黎曼方程仅在1 2 x =-上成立，所以()f z 只在直线1 2x =-上可导，此时1122 ()21x x f z x =-=-'==-，但复平面上处处不解析． (4) 因为(,)sin ch u x y x y =，(,)cos sh v x y x y =， cos ch x u x y '=，sin sh y u x y '=，sin sh x v x y '=-，cos ch y v x y '=． 这四个一阶偏导数都连续，故(,)u x y 和(,)v x y 处处可微，且满足柯西-黎曼方程，所以()f z 在复平面内解析，并且 ()()i i i i iz iz ()i cos ch isin sh cos isin 22 cos isin cos isin 2222cos 22 y y y y x x y y y y x x y x y x e e e e f z u v x y x y x x e e e e x x x x e e e e e e z -------+-+-'''=+=-=? -?=-++=?+?++===． (6) 02 0()()1()lim lim ()lim ()()()z z z f z z f z a z z b az b z z c z z d cz d ad bc ad bc cz c z d cz d cz d ?→?→?→?? +?-+?++=-????+?++?? --== +?+++ 所以，()f z 在除d z c =- 外处处解析，且2()()ad bc f z cz d -'=+． 4、指出下列函数的奇点． (1) 22 1(4) z z z -+； (2) 222 (1)(1)z z z +++．
第三章 导数与微分 同步练习 一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim =--→x f x f x x ，则)0(f '= 。 2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。 3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则 1 =x dx dy = 。 4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。 5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将 。 6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为 。 7、已知x x y ln =，则)10(y = 。 8、已知2arcsin )(),232 3( x x f x x f y ='+-=，则：0 =x dx dy = 。 9、设1 111ln 2 2++-+=x x y ，则y '= 。 10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。 11、已知()x ke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dy x d 。 二、选择 1、设f 可微，则=---→1 ) 1()2(lim 1 x f x f x （ ） A 、)1(-'-x f B 、)1(-'f C 、)1(f '- D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→) ()2(lim 000 x f x x f x x （ ） A 、 41 B 、4 1 - C 、1 D 、-1 3、设?? ???=≠=0001arctan )(x x x x x f ，则)(x f 在0=x 处（ ） A 、不连续 B 、极限不存在 Ｃ、连续且可导 Ｄ、连续但不可导 ４、下列函数在[]1,1-上可微的有（ ） Ａ、x x y sin 3 2+= Ｂ、x x y sin =
中国海洋大学本科生课程大纲 一、课程介绍 1.课程描述： 复变函数与积分变换是理工科有关专业学生继微积分课程之后的又一门数学基础课。本课程介绍单自变量复变函数的极限、连续、积分、级数、留数等基本概念，着重介绍解析函数的理论和方法，以及傅里叶和拉普拉斯变换。通过学习掌握复变函数和积分变换的基本理论和方法，为学习有关的后续专业课程（自动控制原理，信号与系统等）和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 2.设计思路： 通过本课程的学习，不仅能学到复变函数与积分变换的基本理论以及工程技术中的常用数学方法，同时还可以巩固和复习微积分的基础知识，为学习后续的有关课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的基础。课程内容的选取基于学生“掌握了高等数学中的微积分基本理论和方法”。 课程内容包括两个部分：复变函数与积分变换。复变函数介绍单自变量复变函数的极限、连续、积分、级数、留数等基本概念，着重介绍了解析函数的理论和方法；积分变换包括傅里叶变换和拉普拉斯变换及相关的应用。 - 5 -
3.与其他课程的关系： 本课程是微积分理论在复数域的推广。高等数学中的重要概念如导数、积分、级数等，在本课程中都有相应的定义，但又显示出新的特点。因此，学好高等数学是学习本课程的前提。本课程又是一门重要的基础课，与工程力学、电子技术、自动控制等课程有密切联系，是解决这些课程中出现的有关问题，例如平面场、频谱分析等的有力工具。 先修课程：高等数学（I或II或III）、线性代数。 后置课程：自动控制原理、信号与系统、数字信号处理等。 二、课程目标 学生通过本课程的学习，掌握复变函数与积分变换的基础概念、基础理论与基础方法，为学习后课程及进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。同时，通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题和逻辑推理能力、基础的运算和自学能力，特别注意培养学生具有较强的综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。 三、学习要求 要完成所有的课程任务，学生必须： （1）按时上课,上课认真听讲，积极参与课堂讨论、回答随堂提问。 （2）及时复习总结。本课程与微积分联系紧密，有些内容是微积分相关内容在复数领域的延伸，在学习的过程中及时地复习和总结是掌握新知识的有效方法。 （3）按时完成常规练习作业。这些作业要求学生按书面形式提交，只有按时提交作业，才能掌握课程所要求的内容。延期提交作业需要提前得到任课教师的许可。 - 5 -
2004级物理学类培养方案 一、培养目标 培养有社会主义觉悟、品德高尚、专业厚实、知识结构合理、综合素质良好的德智体美全面发展的物理专业和科学教育专业的专门人才，能胜任中等学校的教学、相应专业机构的科学研究、管理等单位和部门的工作。 基本要求 1、坚持党的基本路线，热爱社会主义祖国，拥护党的领导，掌握马列主义、毛泽东思想和邓小平理论的基本原理，热爱教育事业，具有为人民服务的良好的思想品德。 2、熟悉教育法规，学会并能够初步运用教育学、心理学基础理论以及网络教育技术，具有良好的教师职业素养和从事中等学校教学的基本能力。 物理学专业：具有物理学科领域的基本知识、基本理论以及实验研究的初步能力；并且初步掌握解决问题的方法；了解物理学科的前沿、发展动态及应用前景。 科学教育专业：具有物理学科领域以及化学、生物、地理等自然科学领域的基本知识、基本理论以及实验研究的初步能力；并且初步掌握解决问题的方法；了解自然科学各学科的前沿、发展动态及应用前景。 3、了解现代科学技术和人文社会科学的发展及成就；具有宽广的知识面，具有宽厚的文化修养；有健康的审美取向和人际交往能力。 4、具有独立获取信息的能力、自我更新知识、自我调控的能力和较强的思维能力；具有创新精神和初步的创新能力；具有初步的科学研究和实际工作能力，具备国际意识、市场意识、竞争意识、效率意识等现代社会意识。 5、能熟练地使用一门外语；能应用计算机进行教学设计和信息处理；熟练掌握普通话。 6、具有一定的体育和军事基本知识，具有良好的心理素质和健康的体魄。 二、毕业学分及授予学位 最低毕业学分为：160。 学生修满教学计划规定的各类课程学分，完成教学计划规定的各种实验环节，德、体毕业鉴定合格者准予毕业。符合《中华人民共和国学位条例》规定者，授予理学学士学位。 三、学科大类必修课及专业必修课 学科大类必修课：高等数学、力学、热学、电磁学、光学、原子物理学、普通物理实验等 物理学专业必修课：理论力学、电动力学、量子力学、热力学与统计物理、近代物理实验、模拟电子技术、固体物理、中学物理教材教法、中学物理实验与教学技能基本训练、人文社会科学基础等。 科学教育专业必修课：普通化学、普通生物学、自然地理、中学科学教材教法、科技史等。
1 / 10 第三章 中值定理与导数的应用 1. 验证拉格朗日中值定理对函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上的正确性。 解：函数()ln f x x =在区间[1,]e 上连续，在区间(1,)e 内可导，故()f x 在[1,]e 上满足 拉格朗日中值定理的条件。又x x f 1 )(= '，解方程,111,1)1()()(-=--= 'e e f e f f ξξ即得),1(1e e ∈-=ξ。因此，拉格朗日中值定理对函数()ln f x x =在区间[1,]e 上是正确的。 2．不求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程0)(' =x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。 解：函数上连续，分别在区间[3,4][2,3],2],,1[)(x f 上在区间(3,4)(2,3),2),,1(可导， 且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====。由罗尔定理知，至少存在),2,1(1∈ξ),3,2(2∈ξ ),4,3(3∈ξ使),3,2,1( 0)(=='i f i ξ即方程'()0f x =有至少三个实根。又因方程 '()0f x =为三次方程，故它至多有三个实根。因此，方程'()0f x =有且只有三个实根， 分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内。 3．若方程 011 10=+++--x a x a x a n n n Λ有一个正根,0x 证明: 方程0)1(1211 0=++-+---n n n a x n a nx a Λ必有一个小于0x 的正根。 解：取函数()1 011n n n f x a x a x a x --=+++L 。0()[0,]f x x 在上连续，在0(0,)x 内可导， 且0(0)()0,f f x ==由罗尔定理知至少存在一点()00,x ξ∈使'()0,f ξ=即方程 12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=L 必有一个小于0x 的正根。 4．设,11<<<-b a 求证不等式： .arcsin arcsin b a b a -≥-
习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限； 点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0; 在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）. 解：（1）s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.
解：点(4，-3，5)到x 轴，y 轴，z 轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 22204(3)552s =+-+= 222(44)(30)(50)34x s =-+--+-= 2224(33)541y s =+-++= 2224(3)(55)5z s =+-+-=. 6. 在z 轴上，求与两点A （-4，1，7）和B （3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M （0，0，z ），则 222222(4)1(7)35(2)z z -++-=++-- 解得 149 z = 即所求点为M （0，0， 149）. 7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证：()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图7-1 图7-1 9. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v 解：
第三章 微分中值定理与导数的应用 一、要求： 1、罗尔定理，拉格朗日定理应用； 2、洛必达法则； 3、函数单调性、极值、最值、凹凸性、拐点的判断，函数图形的描绘； 4、简单不等式证明； 5、最值在实际问题中的应用。 二、练习 1. 在区间 [ 1,1] 上满足罗尔定理条件的函数是 ( ). A. 1 B. f ( x ) | x | C. f ( x) 1 x 2 D. f ( x ) x 2 2 x 1 . f ( x) x 2 2. 函数 f ( x) arctan x 在 [ 0 ,1] 上满足拉格郎日中值定理的 值是 ( ). A. 4 B. 4 1 C. 1 D. 4 . 1 1 3. 4 设函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3) ，则方程 f ( x ) 0 有 个零点，这些零点 所在的范围是 ；. 3. 设函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3) ，则方程 f ( x ) 0 有 个零点，这些零点所在 的范围是 . 4. 函数 f ( x ) ln x x 2在(0, ) 内的零点的个数为 . e 5. 曲线 6. 函数 y xe x 的拐点 ，凹区间 ，凸区间 . y ln x 1 x 2 的单调 区间 . 7. 曲线 f ( x) e x 的渐近线为 . x 1 8. 计算： 5 x 4 x 1 1 (1 2 （2） lim ( cos x ) （1） lim x 1 x x ) （3） lim tan 2 x x 1 x e 1 x 0 arctan x x (1 x 2 )1 / 3 1 ； 1 （ 4） lim ； （5） lim （6） lim (csc x ) ； x 0 x ln(1 2 x 2 ) x cos x 1 x 0 x （ 7） lim x 3 (sin 1 1 sin 2 ) ；（ ） lim (tan x ) 2 x ；（ 9） lim x ； e x x 2 x 8 x ln x x 2 9. 证明 2 arctan x arcsin 2 x x 1 . 2 1 x
第三章 中值定理与导数的应用 1. 验证拉格朗日中值定理对函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上的正确性。 解：函数()ln f x x =在区间[1,]e 上连续，在区间(1,)e 内可导，故()f x 在[1,]e 上满足 拉格朗日中值定理的条件。又x x f 1 )(= '，解方程,111,1)1()()(-=--= 'e e f e f f ξξ即得),1(1e e ∈-=ξ。因此，拉格朗日中值定理对函数()ln f x x =在区间[1,]e 上是正确的。 2．不求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程0)(' =x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。 解：函数上连续，分别在区间[3,4][2,3],2],,1[)(x f 上在区间(3,4)(2,3),2),,1(可导， 且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====。由罗尔定理知，至少存在),2,1(1∈ξ),3,2(2∈ξ ),4,3(3∈ξ使),3,2,1( 0)(=='i f i ξ即方程'()0f x =有至少三个实根。又因方程 '()0f x =为三次方程，故它至多有三个实根。因此，方程'()0f x =有且只有三个实根， 分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内。 3．若方程 011 10=+++--x a x a x a n n n 有一个正根,0x 证明: 方程0)1(1211 0=++-+---n n n a x n a nx a 必有一个小于0x 的正根。 解：取函数()1 011n n n f x a x a x a x --=++ +。0()[0,]f x x 在上连续，在0(0,)x 内可导， 且0(0)()0,f f x ==由罗尔定理知至少存在一点()00,x ξ∈使'()0,f ξ=即方程 12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=必有一个小于0x 的正根。 4．设,11<<<-b a 求证不等式： .arcsin arcsin b a b a -≥-
第三章 微分中值定理习题课 一、判断题（每题3分） 1.函数)(x f 在0x 点处可导，且在0x 点处取得极值，那么0)(0='x f .（√） 2.函数)(x f 在0x 点处可导，且0)(0='x f ，那么)(x f 在0x 点处取得极值.（× ） 3.若0x 是()f x 的极值点，则0x 是()f x 的驻点. ( ×) 4.函数()x f 在区间()b a ,内的极大值一定大于极小值 . (×) 5.若()0,(,)f x x a b ''>∈,则()f x '在(,)a b 内单调增加 . （ √ ） 6.0()0f x '=且0()0f x ''<是函数()y f x =在0x 处取得极大值的充要条件.( ×) 7.函数()arctan f x x x = 的图形没有拐点. （ √ ） 8.因为函数y = 0x =点不可导，所以()0,0点不是曲线y = .（ × ） 二、选择题（每题3分） 1.下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的是（ D ）. A ．x e B ．ln x C ．x D ．21x - 2．对于函数()2 11f x x =+，满足罗尔定理全部条件的区间是（D ）. （A ）[]2,0-； （B ）[]0,1； （C ）；[]1,2- （D ）[]2,2- 3. 设函数()()()12sin f x x x x =--，则方程()0f x '=在 (0,)π内根的个数（ D ） (A) 0个 ; (B)至多1个; (C) 2个; (D)至少3个. 4．已知函数3 ()2f x x x =+在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，使得该定理成立的ξ=（ D ）. （A ）1 3 （B 1（C ） 12 （D 1 5.若函数)(),(x g x f 在区间),(b a 上的导函数相等，则该两函数在),(b a 上（ C ）. A.不相等 B .相等 C.至多相差一个常数 D.均为常数 6.arcsin y x x =- 在定义域内( B ).
2008级本科学生转专业有关考试信息 一、所有专业面试均为专业综合，不设具体范围。 二、部分考试科目考试信息： 1、《综合英语》考试信息： 《新编英语教程（1）》，主编李观仪，2008年7月第二版，上海外语教育出版社；《新编英语教程（2）》，主编李观仪，2008年7月第二版，上海外语教育出版社；考试范围：两册书全部章节 考试形式：闭卷 2、《初级韩国语》考试信息： 《初级韩国语》第一册，主编牛林杰，2007年7月第5版，北京大学出版社；考试范围：第一册全部章节 考试形式：开卷 3、《新闻基础理论》考试信息： 《理论新闻传播学导论》，主编童兵，第一版，中国人民大学出版社 考试范围：全部章节 考试形式：闭卷 4、《新闻写作》考试信息： 《新闻写作教程》，主编刘明华，中国人民大学出版社 考试范围：全部章节 考试形式：闭卷 5、《普通物理》考试信息： 《普通物理（1）》（第五版），编著者：程守洙，高等教育出版社； 考试范围：第1--4章，力学部分。 考试形式：闭卷 6、行政管理专业《管理学原理》考试信息： 《管理学原理与方法》，主编周三多，第四版，复旦大学出版社； 考试范围：第一章、第二章、第三章 考试形式：闭卷 7、《微观经济学》考试信息： 《微观经济学》，主编高鸿业，第三版，中国人民大学出版社； 考试范围：全部章节 考试形式：闭卷 8、《微积分（1）》考试信息： 《微积分（1）》，主编刘建亚，第一版，高等教育出版社； 考试范围：全部章节 考试形式：闭卷 9、商学院有关专业《管理学》考试信息： 《管理学原理与方法》，主编周三多，第四版，复旦大学出版社 考试范围：全部章节 考试形式：闭卷 10、《基础化学》考试信息： 《高三化学-新课标》，王天开
高等数学(二教学大纲 课程代码： 课程名称：高等数学(二 周学时：5 学分：10 一、课程性质与教学目的 1.课程性质：全校公共数学基础课 2.教学目的： 高等数学课程是高等学校各专业学生一门必修的重要的基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高素质专门人才服务的。 通过本课程的学习，要使学生获得极限、一元函数微积分学、向量代数和空间解析几何、多元函数微分学、无穷级数、常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后续课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。 二、基本要求 要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。 三、教学内容 第一章函数、极限、连续 1．理解函数的概念，掌握函数的表示方法。 2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3．理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4．掌握基本初等函数的性质及其图形。 5．会建立简单应用问题中的函数关系式。
6．理解极限的概念，理解函数左、右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 7．掌握极限的性质及四则运算法则。 8．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 9．理解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。 10．理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。 11．了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理和介值定理），并会应用这些性质。 计划学时：16 第二章一元函数微分学 1．理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，了解微分在近似计算中的应用。 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。 4．会求分段函数的一阶、二阶导数。 5．会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 6．理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西定理。 7．了解并会用泰勒中值定理。 8．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
第三章 习题3-1 1． 设s = 12gt ２，求2 d d t s t =． 解： 2 2221 2 1 4()(2) 2lim lim 2 2 t t t g g ds s t s dt t t t →→=- ?-==-- 2 1 lim (2)22 t g t g →=+= 2． 设f (x )= 1 x ，求f '(x 0) (x 0≠0)． 解：1 211()()()f x x x x --'''=== 0020 1 ()(0)f x x x '=- ≠ 3．（1）求曲线2y x =上点（2，4）处的切线方程和法线方程； （2）求过点（3，8）且与曲线2y x =相切的直线方程； （3）求x y e =上点（2，2 e ）处的切线方程和法线方程； （4）求过点（2，0）且与x y e =相切的直线方程。 解：略。 4． 下列各题中均假定f ′(x 0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么： (1) 0 lim x ?→00()() f x x f x x -?-?=A ; (2) f (x 0)=0, 0 lim x x →0() f x x x -＝A ； (3) 0lim h →00()() f x h f x h h +--=A ． 解：(1)0000000()()[()]() lim lim ()x x f x x f x f x x f x f x x x →-→--+--'=-=-- 0()A f x '∴=- (2)0 00000 ()()() lim lim ()x x x x f x f x f x f x x x x x →→-'=-=---