振动理论(1)
前言
陈永强
北京大学力学系
课程要求
●先修课程
?数学分析、线性代数、理论力学、材料力学?数学物理方法
●限选课
●上课时间与地点
?1~16周双周周三7~8节三教208
?1~16周每周周五3~4节三教208
●什么是振动
●振动的破坏作用和利用●振动研究简史
●振动的分类
●振动力学的主要任务●本课程的主要内容
●参考书
振动漫谈
●什么是振动？
?高中物理已经讲过关于振动的现象，这里我们是要把振动
作为认识结构动力响应的基础和基本特征来理解
?系统围绕平衡位置作周期性的往复运动
?从运动学的观点：某些物理量(位移、速度、加速度)在某一
数值附近随时间的变化关系
?有质量和弹性的物体均具有振动的能力
?大多数的结构和机器都会经历振动，因而在设计中必须考
虑振动的特性
?机械振动：机械系统中的振动
?振荡：电磁振动
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?
1962年，我国发射自行设计的地地战略导弹的运载火箭时，由于对箭体在飞行中的弹性振动认识不足，导致控制火箭飞行姿态的姿态稳定系统工作不正常，导弹在空中失去控制而落地坠毁。(DF-2, 弹体的横向固有振动，稳定性，谢光选)?载人航天卫星：在发射阶段
有效抑制整体耦合振动，降
低低频振动振幅，改善了低
频振动环境
振动应用
航天工程
长征三号甲发射
●
起飞、着陆过程
中的振动问题、
噪声问题
●飞行过程中的噪
声控制
●机翼、发动机颤
振
●…振动应用
航空工程
振动应用车辆工程
列车自身的动力
系统、传动系统
的振动
高速行驶对环境
的振动影响（路
基、桥梁）
乘员的舒适性、
噪声
…
振动应用土木工程
振动的隔离、
减振…
振动应用计算机工程
吸振
煤筛coal screen
振动台
?振动台按工作原理可以分为电动台、机械台、液压台三种。
?电动台：以输出激振力为主要规格。台面尺寸小,运行成本及价格比较高。常用于电工、电子元器件等产品的高频、高加速度振动试验。
?机械台以最大负载为主要规格。最大加速度一般可达10g。台面尺寸大。噪音较大，也不能作随机振动。常用于电工、电子、光学仪器等产品的整机振动试验。
?液压台以输出激振力为主要规格。最大加速度一般可达10g。配以水平滑台可以作水平振动。配以随机控制仪可以作随机振动。噪音较大，运行成本及价格比较高。常用于汽车等产品的整车振动试验；建筑、水利工程的地震模拟振动试验。
以上三种振动台在失真度、横向振动、均匀度等方面都可达到一定的精度指标，满足相应的标准。
?还有以电磁铁原理工作的振动台（常称作振动器）
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●集激振系统、测试系统和软件分析系统
●现在通常可以做到三向六自由度，采用8个或6作动器●频率低,载重大,振幅大
液压式振动台
振动的利用和破坏作用
●振动的作用具有双重性
?消极方面：
影响仪器设备功能，降低机械设备的工作精度，加剧构件磨损，甚至引起结构疲劳破坏
?积极方面：
通讯事业设备工作的基础
利用振动的设备和工业
乐器
破坏作用的例子
?颤振：大气紊流和其他振源都会使飞机等飞行器产生振动
（舒适性，机载仪表）
?自激振动：输电线的舞动
?1940年美国塔可马(Tacoma Narrows)吊桥在中速风载作用下
，因桥身发生扭转振动和上下振动造成坍塌事故
?1972年日本海南的一台66×104kW汽轮发电机组，在试车
过程中发生异常振动而全机毁坏；
?步兵在操练时，不能正步通过桥梁，以防发生共振现象造
成桥梁坍塌
Tacoma Narrows Bridge 1940
振动研究简史
●公元前1000多年，中国商代铜铙已有十二音律中的九律，并有五度谐和音程的概念。
●在战国时期，《庄子 徐无鬼》中记载了同频率共振现象。
?为之调瑟，废于一堂，废于一室。鼓宫宫动，鼓角角动，
音律同矣。夫改调一弦，于五音无当也，鼓之，二十五弦皆动。
振动研究简史
●宋代科学家沈括的共振实验
?我国宋代科学家沈括，剪一个小纸人放在弦线上，弹动发
生共振的弦，纸人就跳跃颤动，弹动别的弦，纸人却不动。这个实验比欧洲所做的同样实验早好几个世纪。
●晋代张华对共振现象的解释和消除共振的方法
?晋中朝有人蓄铜澡盘，晨夕恒鸣如人叩。乃问张华。华曰
：'此盘与洛阳钟宫商相应。宫中朝暮撞钟，故声相应耳。
可错令轻，则韵乖，鸣自止也。'如其言，后不复鸣。
?故事发生在西晋国都洛阳。皇家宫殿里朝暮撞钟，当地某
人家中悬挂的乐器"铜澡盘"（今称作"钱"）就根应地产生共振（共鸣）。张华不仅知道它共呜的原因，而且还知这消除它的方法：把铜盘周围稍微钝去一点，它就不再和宫中的钟声共鸣了。现在我们知道，把铜盘稍微锉小一点，也就改变了它的固有振动频率，所以不再发生共鸣了。
振动研究简史
●唐代曹绍夔消除共振
?洛阳有僧，房中磬子夜辄自鸣。僧以为怪，惧而成疾。求
术士，百方禁之，终不能已。夔与僧善，来问疾，僧具以告。俄击斋钟，复作声。绍夔笑曰：“明日可设盛馔，当为除之。”僧虽不信绍夔言，冀其或效，乃具馔以待之。
夔食迄，出怀中锉，鑪磬数处而去，其声遂绝。僧苦问其所以，夔云：“此磬与钟律合，击彼此应。”僧大喜，其疾亦愈。
振动研究简史
●振动在古代军事上的应用
?穿井城内，五步一井，傅城足，高地，丈五尺，下地，得
泉三尺而止。令陶者为罂，容四十斗以上，固幎之以薄皮革，置井中，使聪耳者伏罂而听之，审知穴之所在，凿穴迎之。
?在当时人们为防御敌人攻城，设计了一种地下声源探测装
置。具体的方法是，沿城墙根每隔一定距离挖上一口井，挖到地下水位以下约两尺为止，然后在井下放置一个容量七八十升的陶瓮，瓮口蒙上皮革，做为地下共鸣箱。让听觉灵敏的人伏在瓮口仔细听，当有敌人挖坑道攻城时，就可以根据陶瓮响声的大小来确定敌人的方向位置，以便出兵迎击。
振动与波动习题与答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】
第10章 振动与波动 一. 基本要求 1. 掌握简谐振动的基本特征，能建立弹簧振子、单摆作谐振动的微分方程。 2. 掌握振幅、周期、频率、相位等概念的物理意义。 3. 能根据初始条件写出一维谐振动的运动学方程，并能理解其物理意义。 4. 掌握描述谐振动的旋转矢量法，并用以分析和讨论有关的问题。 5. 理解同方向、同频率谐振动的合成规律以及合振幅最大和最小的条件。 6. 理解机械波产生的条件。 7. 掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系。 8. 了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。 9. 理解惠更斯原理和波的叠加原理。掌握波的相干条件。能用相位差或波程差概念来分析和确定相干波叠加后振幅加强或减弱的条件。 10. 理解驻波形成的条件，了解驻波和行波的区别，了解半波损失。 二. 内容提要 1. 简谐振动的动力学特征 作谐振动的物体所受到的力为线性回复力，即 取系统的平衡位置为坐标原点，则简谐振动的动力学方程（即微分方程）为 2. 简谐振动的运动学特征 作谐振动的物体的位置坐标x 与时间t 成余弦（或正弦）函数关系，即 由它可导出物体的振动速度 )sin(?+ωω-=t A v 物体的振动加速度 )cos(?+ωω-=t A a 2 3. 振幅A 作谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值，振幅的大小由初始条件确定，即 4. 周期与频率 作谐振动的物体完成一次全振动所需的时间T 称为周期，单位时间内完成的振动次数γ称为频率。周期与频率互为倒数，即 ν= 1T 或 T 1=ν 5. 角频率(也称圆频率）ω 作谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与周期、频率的关系为 ω π = 2T 或 πν=ω2 6. 相位和初相 谐振动方程中（?+ωt ）项称为相位，它决定着作谐振动的物体的状态。t=0时的相位称为初相，它由谐振动的初始条件决定，即 应该注意，由此式算得的?在0~2π范围内有两个可能取值，须根据t=0时刻的速度方向进行合理取舍。
第七章振动测试 一、填空题 1 振弦式传感器是以作为敏感元件，其与其的大小，因而弦的能表征的大小。 2 振弦式传感器中，将待测力作用在，改变弦的大小，因而弦的变化能表征的大小。 3 振弦式传感器主要由、、、、等组成。 4 振弦式传感器中，待测力通过改变弦的张紧力。激励器供给弦使弦。拾振器将弦的转换成的电信号输出。振弦把的变化转换成的变化。 5 振弦式传感器中，激励振弦自由振动的方式有和两种。 6 振弦式传感器的间歇激励中，只有和，既作为，又作为。 7 采用电流法连续激励的振弦式传感器中，传感器与组成振荡器。作为振荡器的正反馈网络。 8 采用电磁法连续激励的振弦式传感器中有两套线圈和永久磁铁，一个作，一个作。 9 振筒式压力传感器结构上主要有、、、。 10 振筒压力传感器中，激励线圈和拾振线圈通过耦合，与和反馈网络组成一个以为谐振频率的系统。 11 振筒式压力传感器中，若让它的振动频率越高，器振也越。因而，通常振筒总是在它下振动。 12 振筒式传感器中振筒振动起来后，由于振筒是磁路中的一部分，它的振动改变了磁路中的大小，引起的变化，在拾振线圈中产生。 13 振筒式压力传感器中，在振筒材料、尺寸一定情况下，只与振筒刚度有关，而这时的刚度只与筒壁有关。故与成单值函数关系，这时测量的变化，即可确定筒内的。 14 振筒式传感器中的振筒换成，激励器和拾振器放在，就
成为振管式传感器，用于测量。当振管振动时，随之振动，当发生变化时，系统发生变化，即可确定。 15 普通振膜式传感器是由、、、组成，其中的、拾振器和，再加上组成振荡系统。 16 振膜式传感器中，压力膜片受力，使压力膜片支架上固定着的支撑支架张角改变，振膜发生变化，因而振膜的发生变化。 17 将普通振膜式传感器中的取消，用代替和，并直接固定在上，就成为压电陶瓷振膜式传感器。 二、判断题 1 的惯性拾振器，其幅频特性曲线会出现“共振峰”。 2 用接触式拾振器测振时，须考虑拾振器质量对被测件运动加速度和固有频率的影响。 3 稳态正弦激振和脉冲激振都是宽带激振。 4 脉冲激振实验时，锤头垫的材料愈硬，则有效激振频率范围愈宽。 5 实验测得构件的共振频率就是其固有频率，且这时响应与激振力的相位差总是90 °。 6 进行绝对激振试验对，激振器一定要与地基牢固地固定在一起， 7 电动式激振器所产生的激振力与线圈所产生的电动力相等。 8 在机械结构振动参数测定实验中，若加大激振力，则所测得的构件的固有频率也变大。 9 阻抗头可以同时测定激振力和被测构件激振点处的响应。 10 在位移响应的虚、实频曲线中，只有虚频曲线包含幅频、相频信息。因此，常用虚频曲线来求阻尼比和固有频率。 11 由于互易法是用两只传感器互相比较来校准灵敏度的，故属于比较校准法。 三、选择题 1 阻抗头是测量振动系统 ( ) 的拾振器。 （ A ）振动位移（ B ）振动加速度（ C ）激振力（ D ）激振力及响应
冲击和振动 作者: Jonas Steibert 文件名: Shock and Vibration Basic.doc
1. 什么是冲击和振动？ 3 1.2 怎样保护产品以防受到冲击和振动？3 2. 何时冲击？3 2.1 产品易碎性的判定 3 2.2 产品可能遇到的情况判定 4 2.3 振动 5 3. 减震材料 6 3.1 多孔聚乙烯EPE 8 3.1.1 模压材料9 3.1.2 挤压材料9 3.2 多孔聚丙烯EPP 11 3.3 多孔聚苯乙烯EPS 12 3.4 聚亚安酯PU 13 3.5 纤维减震材料15 作者: Jonas Steibert 文件名: Shock and Vibration Basic.doc
1.什么是冲击和振动？ 冲击和振动指的是一种环境，在这种环境下产品处于运输当中，或处于包装箱的装卸过程中。 1.2 怎样保护产品以防受到冲击和振动？ 为了保护产品，可在冲击和振动有发生可能性的几个地方采取措施。但为了减少冲击和振动发生的可能性，还有些问题需要考虑。产品是否易碎？产品价值是多少？产品是怎样运输的？产品的体积估计有多大？这些都是在选择包装材料前需要考虑的问题。 2. 何时冲击？ 当产品的包装箱突然以某种方式掉落，冲击就会发生。大多数时间冲击都发生在意外事件中，但冲击也会在列车更换装运车厢或产品/包装箱的野蛮装卸过程中发生。 2.1 产品易碎性的判定 确定产品需要多大减震量的第一步是确定产品自身所能承受的机械冲击量，对于这一判定有一些常用术语，其中“易碎性”和“G因数”是最常用的。 易碎性通常用单位“G”表示，表明产品在不被损坏的条件下所能承受的最大负加速度。产品越易碎，其G因数越小。 [ G是加速度的单位，其值等于重力加速度：1g=9.81m/s2 。 负加速度是“负的加速度”，指在制动，减速到0，物体下落撞击地面时。 抗冲击垫物作用是通过压缩，延长速度v（m/s）降低的时间t (s)，从而减小负加速度a (m/s2)：A= v / t 给定质量m（kg）所承受的负加速度a (m/s2) 越小，产品所受的撞击力F (N)就越小： F= m * a] 理论上，易碎性的判定是将产品置于一系列剧烈度递增的冲击中（负加速度）以找出足以破坏产品的最小冲击力。产品在不被损坏条件下所能承受的最大负加速度，即为产品的G因数。 作者: Jonas Steibert 文件名: Shock and Vibration Basic.doc
旋转机械振动与故障诊断研究综述 丄、八 1．前言 工业生产离不开回转机械，随着装置规模不断扩大，越来越多的高速回转机械应用于工业生产，诸如高速离心压缩机、汽轮机发电机组。动态失稳造成的重大恶性事故屡见不鲜。急剧上升的振动可在几十秒之内造成机组解体, 甚至祸及厂房，造成巨大的经济损失和人员伤亡。此外，机械振动可能降低设备机械性能，加速机械零部件的磨损，发出的噪声损害操作者的健康。但是振动也能合理运用，如工业上常用的振动筛、振动破碎等都是振动的有效利用。工程技术人员必须认真对待机械振动问题，当机组产生有害的振动时，及时分析原因，坚持用合理的振动测试标准，采取科学的防治措施。 2．旋转机械振动标准 旋转机械分类： I类：为固定的小机器或固定在整机上的小电机，功率小于15KW U类：为没有专用基础的中型机器，功率为15~75KW刚性安装在专用基础上功率小于300KW的机器。 川类：为刚性或重型基础上的大型旋转机械，如透平发电机组。 W类：为轻型结构基础上的大型旋转机械，如透平发电机组。 机械振动评价等级： 好：振动在良好限值以下，认为振动状态良好。 满意：振动在良好限值和报警值之间，认为机组振动状态是可接受的（合格），可长期运行。 不满意：振动在报警限值和停机限值之间，机组可短期运行，但必须加强监测并采 取措施。 不允许：振动超过停机限值，应立即停机。 3．振动产生的原因 旋转机械振动的产生主要有以下四个方面原因，转子不平衡，共振，转子不对中和
机械故障。 4．旋转机械振动故障诊断 4.1 转子不平衡振动的故障特征 当发生不平衡振动时，其故障特征主要表现在如下方面： 1 ）不平衡故障主要引起转子或轴承径向振动，在转子径向测点上得到的频谱图, 转速频率成分具有突出的峰值。 2 ）单纯的不平衡振动，转速频率的高次谐波幅值很低，因此在时域上的波形是一个正弦波。 3 ）转子振幅对转速变化很敏感，转速下降，振幅将明显下降。 4 ）转子的轴心轨迹基本上为一个圆或椭圆，这意味着置于转轴同一截面上相互垂直的两个探头，其信号相位差接近90°。 4.2 旋转机械振动模糊诊断 4.2.1 振动模糊诊断基本原理 振动反映了系统状态及变化规律的主要信息，统计资料表明：机械设备的故障有67 % 左右是由于振动引起的，并且能从振动和振动辐射出的噪声反映出来。回转机械的振动信息尤其明显，且振动诊断具有快速、简便、准确和在线诊断等一系列优点，所以振动诊断法是旋转机械状态识别和故障诊断的最有效、最常用的方法。 但是，由于机械系统本身的复杂性以及所摄取的振动信号强烈的模糊性，使故障之间没有清晰的界限，这时利用传统的振动频谱分析，对一个故障可能有多个征兆来表现，一个征兆也可能有多个故障原因的复杂现象，往往难定两者的对应关系进行指导维修。振动模糊法，将模糊数学与振动诊断相结合，利用模糊综合评判技术，较好地处理了回转机械故障的不确定性问题。 4.2.2 旋转机械振动模糊诊断法的实现 隶属函数的确定
1-1一个物体放在水平台面上，当台面沿铅垂方向作频率为5 Hz的简谐振动时，要使物体不跳离平台，对台面的振幅应有何限制? 解：物体与桌面保持相同的运动，知桌面的运动为 ， x=A sin10πt； 由物体的受力分析，N = 0（极限状态） 物体不跳离平台的条件为：； 既有， , 由题意可知Hz，得到，mm。 1-2有一作简谐振动的物体，它通过距离平衡位置为cm及cm 时的速度分别为20 cm/s及cm/s，求其振动周期、振幅和最大速度。解： 设该简谐振动的方程为；二式平方和为 将数据代入上式： ； 联立求解得 A=10.69cm；1/s；T=s 当时，取最大，即： 得：
答：振动周期为2.964s；振幅为10.69cm；最大速度为22.63m/s。 1-3 一个机器内某零件的振动规律为 ，x的单位是cm，1/s 。这个振 动是否为简谐振动?试求它的振幅、最大速度及最大加速度，并用旋转矢量表示这三者之间的关系。 解： 振幅A=0.583 最大速度 最大加速度 1-4某仪器的振动规律为。此振动是否为简谐振动?试用x- t坐标画出运动图。 解：因为ω1=ωω2=3ω,ω1≠ω2.又因为T1=2π/ω T2=2π/3ω，所以，合成运动为周期为T=2π/3ω的非简谐运动。两个不同频率的简谐振动合成不是简谐振动，当频率比为有理数时，可合称为周期振动，合成振动的周期是两个简谐振动周期的最小公倍数。 1-5已知以复数表示的两个简谐振动分别为和，试求它们的合成的复数表示式，并写出其实部与虚部。 解：两简谐振动分别为，， 则：=3cos5t+3isin5t =5cos(5t+)+3isin(5t+) 或； 其合成振幅为：=
奥 申 检 测 振动试验理论基础与方法培训 主讲人：洪城明 上海奥申检测科技有限公司 培训目的： （1）基本了解振动试验相关的基础理论（2）掌握理解振动试验相关的核心理论 （3）了解振动试验设备结构、功能，掌握其主要参数范围 （4）了解振动试验传感器关键参数、掌握核查方法与使用注意点（5）理解并掌握正弦振动、随机振动的试验方法（6）理解并掌握冲击试验方法 （7）了解夹具要求、开发验证过程，掌握共振搜寻确认方法（8）掌握GMW17010对零件振动试验的要求、流程和方法
奥 申 检 测 1.1振动试验目的 在实验室内模拟一连串实际的振动现象，测试产品在寿命周期中，是否能承受运输、储存或使用过程的振动环境的考验。 1.2应用 （1）耐久测试——获得临界使用条件，确定产品设计和功能的使用边界、制定要求标准。 （2）质控测试——考核产品耐振动性能是否达标、提前筛检出不良品，确认质量和提升产品的可靠性。 （3）失效分析——模拟失效环境，分析失效模式，助力改进。 1.3测试原理 通过振动硬件（振动台、夹具、控制器、传感器），按照目标振动条件输入振动参数，对目标施加外部振动激励，目标产生振动响应，通过采集和分析响应信号，分析目标振动状态和耐振性。 2测试硬件 2.1振动试验台 2.1.1分类 振动试验设备分机械振动试验台、电液振动试验台、电动振动试验台、模拟汽车运输试验台。 （1） 机械式振动试验台：适宜于低频定振试验或低频定位移扫频试验。 （2） 电液式振动试验台：适宜于低频定振试验或中低频扫频试验及随机试验和冲击实验。 （3） 电动式振动试验台：适宜于任何形式的给定信号的振动及冲击试验。 （4） 模拟汽车运输试验台：可代替实际跑车试验 2.1.2电动振动台结构（振动台-振动发生器、控制器、功放、冷却器） 2.1.3电动振动台原理 励磁线圈如图示2-2在振动台台体内建立磁场，励磁线圈与直流电源相连，在环行气隙里产生一个高磁通量。动圈部件，包括台面、骨架和驱动线圈，悬挂在振动台的环行气隙里，当交流电流通过驱动线圈时，电磁力会在驱动线圈的绕组上产生，使得台面产生向上和向下的往复移动，如图示2-2中双向箭头处显示。台面的移动量取决于振动控制器输出的驱动信号的大小和频率以及扩展台面（如果有的话）的质量、所加的负载质量和台面悬挂系统的刚度。
振动与波动题库 一、选择题（每题3分） 1、当质点以频率ν 作简谐振动时，它的动能的变化频率为（ ） （A ） 2v （B ）v （C ）v 2 （D ）v 4 2、一质点沿x 轴作简谐振动，振幅为cm 12，周期为s 2。当0=t 时, 位移为cm 6，且向x 轴正方向运动。则振动表达式为（ ） (A) ） （3cos 12.0π π- =t x （B ） ） （3cos 12.0π π+=t x （C ） ） （32cos 12.0π π- =t x （D ） ） （32cos 12.0π π+ =t x 3、 有一弹簧振子，总能量为E ，如果简谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的四倍，则它的总能量变为 （ ） （A ）2E （B ）4E （C ）E /2 （D ）E /4 4、机械波的表达式为()()m π06.0π6cos 05.0x t y +=，则 （ ） （Ａ） 波长为100 ｍ （Ｂ） 波速为10 ｍ·ｓ-1 （Ｃ） 周期为1/3 ｓ （Ｄ） 波沿x 轴正方向传播 5、两分振动方程分别为x 1=3cos (50πt+π/4) ㎝ 和x 2=4cos (50πt+3π/4)㎝，则它们的合振动的振幅为（ ） (A) 1㎝ （B ）3㎝ （C ）5 ㎝ （D ）7 ㎝ 6、一平面简谐波，波速为 μ=5 cm/s ，设t= 3 s 时刻的 波形如图所示，则x=0处的质点的振动方程为 （ ） (A) y=2×10－ 2cos (πt/2－π/2) (m) (B) y=2×10－ 2cos (πt + π) (m) (C) y=2×10－ 2cos(πt/2+π/2) (m) (D) y=2×10－ 2cos (πt －3π/2) (m) 7、一平面简谐波，沿X 轴负方向 传播。x=0处的质点 的振动曲线如图所示，若波函数用余弦函数表示，则该波的初位相为（ ） （A ）0 （B ）π (C) π /2 (D) － π /2 8、有一单摆，摆长m 0.1=l ，小球质量g 100=m 。设小球的运动可看作筒谐振动，则该振动的周期为（ ） (A) 2π （B ）32π （C ）102π （D ）52π 9、一弹簧振子在光滑的水平面上做简谐振动时，弹性力在半个周期内所做的功为 [ ] (A) kA 2 （B ）kA 2 /2 （C ）kA 2 /4 （D ）0
第10章振动与波动 一.基本要求 1. 掌握简谐振动的基本特征，能建立弹簧振子、单摆作谐振动的微分方程。 2. 掌握振幅、周期、频率、相位等概念的物理意义。 3. 能根据初始条件写出一维谐振动的运动学方程，并能理解其物理意义。 4. 掌握描述谐振动的旋转矢量法，并用以分析和讨论有关的问题。 5. 理解同方向、同频率谐振动的合成规律以及合振幅最大和最小的条件。 6. 理解机械波产生的条件。 7. 掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系。 8. 了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。 9. 理解惠更斯原理和波的叠加原理。掌握波的相干条件。能用相位差或波程差概念来分析和确定相干波叠加后振幅加强或减弱的条件。 10. 理解驻波形成的条件，了解驻波和行波的区别，了解半波损失。 二. 内容提要 1. 简谐振动的动力学特征作谐振动的物体所受到的力为线性回复力，即 取系统的平衡位置为坐标原点，则简谐振动的动力学方程（即微分方程）为 2. 简谐振动的运动学特征作谐振动的物体的位置坐标x与时间t成余弦（或正弦）函数关系，即 由它可导出物体的振动速度) =t A v - ω + ω sin(? 物体的振动加速度) =t A a2 cos(? - + ω ω 3. 振幅A 作谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值，振幅的大小由初始条件
确定，即 4. 周期与频率 作谐振动的物体完成一次全振动所需的时间T 称为周期，单位时间内完成的振动次数γ称为频率。周期与频率互为倒数，即 ν = 1T 或 T 1=ν 5. 角频率(也称圆频率）ω 作谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与周期、频率的关系为 ω π=2T 或 πν=ω2 6. 相位和初相 谐振动方程中（?+ωt ）项称为相位，它决定着作谐振动的物体的状态。t=0时的相位称为初相，它由谐振动的初始条件决定，即 应该注意，由此式算得的?在0~2π范围内有两个可能取值，须根据t=0时刻的速度方向进行合理取舍。 7. 旋转矢量法 作逆时针匀速率转动的矢量，其长度等于谐振动的振幅A ，其角速度等于谐振动的角频率ω，且t=0时，它与x 轴的夹角为谐振动的初相?，t=t 时刻它与x 轴的夹角为谐振动的相位?ω+t 。旋转矢量A 的末端在x 轴上的投影点 的运动代表着质点的谐振动。 8. 简谐振动的能量 作谐振动的系统具有动能和势能，其 动能 )(sin ?+ωω==t A m m E k 22222 12 1v 势能 )(cos ?+ω==t kA kx E p 2222 12 1 机械能 22 1 kA E E E p k =+= 9. 两个具有同方向、同频率的简谐振动的合成 其结果仍为一同频率的简谐振动，合振动的振幅 初相 2 2112211?+??+?= ?cos cos sin sin tan A A A A （1）当两个简谐振动的相差),,,( 210212±±=π=?-?k k 时，合振动振幅最大，为 21A A +，合振动的初相为1?或2?。
机车传动轴振动分析与仿真优化Vibration Analysis of Commercial Vehicle Driveline 摘要:机车传动轴的振动及噪声直接影响了整车传动的平稳性与乘坐的舒适性,甚至影响到整车的可靠性。作为商用车制造厂,必须对传动轴的振动情况进行研究并对传动轴系进行合理的布置与设计,从根本上控制产生振动与噪声的因素。为了尽快解决某车型传动系振动带来的汽车传动轴中间支承横梁开裂的问题,本文应用了国内外的一些研究成果,从理论和试验两方面分析了某重型机车传动系振动的原因和机理,提出解决措施,并对传动系进行了优化设计。同时,本文还从系统论的观点出发,对传动系振动问题寻求最优解决方案。 关键词:传动轴系振动分析仿真优化 Abstract:The NVH of commercial-vehicle driveline directly affects easiness andsafety of the whole vehicle.In order to reduce the vibration and noise,it isnecessary for the vehicle manufacture to research the NVH of driveline and tocarry out rational layout and design to the driveline which is the fundamentalways of all.In this paper,some research results of the domestic and foreign havebeen applied to analyze the vibration of driveline theoretically andexperimentally.Furthermore,the vehicle chassis intermediate mounting crossmember abruption problem due to the vibration of driveline has been resolvedby optimizing the driveline layout.Based on system theory,this thesis givesout the optimal solution to the driveline vibration. Keywords: Vehicle Drive line;Vibration Analysis;Optimization 第一章引言 1.1课题背景和实际意义 机车是一个复杂的多自由度“质量—刚度—阻尼”振动系统,是由多个具有固有振动特性的子系统组成,如车身的垂直振动、纵向角振动和侧倾振动、发动机曲轴
旋转机械振动与故障诊断研究综述 1．前言 工业生产离不开回转机械，随着装置规模不断扩大，越来越多的高速回转机械应用于工业生产，诸如高速离心压缩机、汽轮机发电机组。动态失稳造成的重大恶性事故屡见不鲜。急剧上升的振动可在几十秒之内造成机组解体,甚至祸及厂房，造成巨大的经济损失和人员伤亡。此外，机械振动可能降低设备机械性能，加速机械零部件的磨损，发出的噪声损害操作者的健康。但是振动也能合理运用，如工业上常用的振动筛、振动破碎等都是振动的有效利用。工程技术人员必须认真对待机械振动问题，当机组产生有害的振动时，及时分析原因，坚持用合理的振动测试标准，采取科学的防治措施。 2．旋转机械振动标准 ●旋转机械分类： Ⅰ类：为固定的小机器或固定在整机上的小电机，功率小于15KW。 Ⅱ类：为没有专用基础的中型机器，功率为15~75KW。刚性安装在专用基础上功率小于300KW的机器。 Ⅲ类：为刚性或重型基础上的大型旋转机械，如透平发电机组。 Ⅳ类：为轻型结构基础上的大型旋转机械，如透平发电机组。 ●机械振动评价等级： 好：振动在良好限值以下，认为振动状态良好。 满意：振动在良好限值和报警值之间，认为机组振动状态是可接受的（合格），可长期运行。 不满意：振动在报警限值和停机限值之间，机组可短期运行，但必须加强监测并采取措施。 不允许：振动超过停机限值，应立即停机。 3．振动产生的原因 旋转机械振动的产生主要有以下四个方面原因，转子不平衡，共振，转子不对中和
机械故障。 4．旋转机械振动故障诊断 4.1转子不平衡振动的故障特征 当发生不平衡振动时，其故障特征主要表现在如下方面： 1 ）不平衡故障主要引起转子或轴承径向振动，在转子径向测点上得到的频谱图, 转速频率成分具有突出的峰值。 2 ）单纯的不平衡振动，转速频率的高次谐波幅值很低，因此在时域上的波形是一个正弦波。 3 ）转子振幅对转速变化很敏感，转速下降，振幅将明显下降。 4 ）转子的轴心轨迹基本上为一个圆或椭圆，这意味着置于转轴同一截面上相互垂直的两个探头，其信号相位差接近90°。 4.2旋转机械振动模糊诊断 4.2.1 振动模糊诊断基本原理 振动反映了系统状态及变化规律的主要信息，统计资料表明：机械设备的故障有67 % 左右是由于振动引起的，并且能从振动和振动辐射出的噪声反映出来。回转机械的振动信息尤其明显，且振动诊断具有快速、简便、准确和在线诊断等一系列优点，所以振动诊断法是旋转机械状态识别和故障诊断的最有效、最常用的方法。 但是，由于机械系统本身的复杂性以及所摄取的振动信号强烈的模糊性，使故障之间没有清晰的界限，这时利用传统的振动频谱分析，对一个故障可能有多个征兆来表现，一个征兆也可能有多个故障原因的复杂现象，往往难定两者的对应关系进行指导维修。振动模糊法，将模糊数学与振动诊断相结合，利用模糊综合评判技术，较好地处理了回转机械故障的不确定性问题。 4.2.2旋转机械振动模糊诊断法的实现 隶属函数的确定
东北大学 研究生考试试卷 考试科目：机械振动理论基础及应用 课程编号： 阅卷人： 考试日期： 2012.06 姓名：黄孙进 学号： 1100487 注意事项 1．考前研究生将上述项目填写清楚 2．字迹要清楚，保持卷面清洁 3．交卷时请将本试卷和题签一起上交 东北大学研究生
摘要 机械振动理论是研究机械振动的理论、技术及设备的一门的学科。它是机械振动学、振动利用工程等的理论基础。其理论应用在人类生活与生产等各个方面均获得广泛应用，并已扩展到生物工程与社会经济等众多领域，目前它日趋完善，由于该学科所涉及的有关技术与工农业生产及人类生活联系十分密切，已正真成为人类生产活动与生活过程中一种不可缺少的理论与必要的机制。 本文主要简要的介绍了如下几方面： (1) 介绍了机械振动的基本理论，振动的简史，振动的模型和振动的分类。 (2) 机械振动理论基础在新兴课程振动利用工程中的应用，以及非线性动力学在机械振动中的应用。 (3) 机械振动的实际应用。 关键词：机械振动理论基础；非线性振动；振动利用；机械振动的应用
目录 摘要 ...................................................................... I 绪论 (1) 第1章机械振动简介 (2) 1.1 机械振动发展简史 (2) 1.2 机械振动系统的模型 (3) 1.3 机械振动的种类 (4) 第二章机械振动理论基础衍生分支学科—振动利用工程 (6) 2.1“振动利用工程”的概念和理论框架 (6) 2.1.1提出了“振动利用工程”的概念 (6) 2.1.2构建了该学科的理论框架 (6) 2.1.3完善了该学科某些分支的理论 (7) 2.2振动利用工程中的若干新工艺理论与技术 (7) 2.3非线性动力学理论在振动机械中的应用 (8) 2.3.1提出了惯性力项为非线性力学新模型 (8) 2.3.2提出了不对称的软式的分段线性的非线性的力学模型 (10) 2.3.3构建了带有间隙的滞回非线性的力学模型 (12) 2.3.4构建了振动机分段慢变与双参数慢变的非线性动力学模型 (15) 2.3.5研究了大长度振动机弹性弯曲的理论 (15) 第三章机械振动应用状况 (16) 3.1振动时效 (16) 3.2利用微振动的台阵记录研究浅部S波速度结构。 (16) 展望 (21)
机械振动学学习报告 摘要：简述了机械振动学的发展历程，振动利用中的若干新工艺理论与技术，振动机械及其相关技术的应用与发展，介绍了振动在人类生活工作中起到了非常重要的作用。通过对具体实例——单电机振动给料机的计算分析，得出机械振动对机器工作性能的影响。并介绍了单自由度、多自由度的线性振动系统振动的基本理论和隔振的基本原理。关键词：机械振动；振动给料机；线性振动系统 Abstract：This paper describes the development course of study of mechanical vibration and the utilization of some new technology theory and technology. The vibration has played a very important role in human life and work. By analyzing the practical example-single motor , vibrating feeder calculation and analysis of mechanical vibration machine has influence on the performance. And introduced the single-degree-of-freedom, multi-freedom system vibration of the linear vibration of the basic theory and the basic principle of vibration isolation. Keywords：Mechanical vibration; Vibrates the feeding machine; Linear vibration system 第一章绪论 1.1振动振动学的发展 振动振动学科是20世纪后半期逐渐形成和发展起来的一门新学科。目前正处在迅速发展过程中，由于该学科所涉及的有关技术与工业生产及人类生活联系十分密切，它能为社会创造重大的经济效益和社会效益，能为人类生活提供极大的方便和良好的服务，目前已成为人类生产活动与生活过程中一种不可缺少的手段与必要的机制。国内以闻邦椿院士为首的科研团队一直以极大的精力从事这一领域的研究，在振动利用工程这一学科的多个领域取得了一系列的研究成果，促进了该学科的形成与发展。自然界和人类社会中的某一个量随时间或大或小的变化即称为振动。振动是物质世界运动的一种基本形式，物质世界中的每一个物体及其中的每一个分子都始终处于振动之中。毫无例外，人类自身的每一器官也每时每刻都处在振动之中，例如，心脏的搏动、血液的循环、肺部的张缩呼吸、脑细胞的思维以及耳膜的振动和声带的振动等，前面所列举的这些振
第26卷第4期 Vol. 26 No. 4 2007 振 动与冲击 JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCK 运用小波分析方法进行结构模态参数识别 朱宏平，翁顺 (1.华中科技大学土木工程与力学学院，武汉430074) 摘要结构的模态参数反映了结构自身特性，是基于动态特性的结构损伤识别和健康评估的重要因子。本文首 先介绍了环境激励下基于小波分析的模态参数识别方法，针对土木工程结构的前几阶自振频率处于低频区域以及环境激 励下结构响应信号信噪比很低的特点，着重论述了采用小波方法抑制原始测量信号中的高频成分（即噪音），从而突出结 构低频特性的降噪处理方法的基本原理。通过比较传统傅里叶变换、短时傅里叶变换和小波变换三种方法对一实际高层 建筑结构现场测试信号的处理结果以及有限元分析结果，认为小波分析方法可以更精确、更有效地识别工程结构的模态 参数。 关键词：傅里叶变换，短时傅里叶变换，小波变换，降噪，模态参数 中图分类号：TN911.6; TU311.4 文献标识码：A 在高层建筑抗震、抗风、健康监测及损伤诊断等研 究中，结构模态参数是非常重要的设计参数之一，基于 环境激励的模态参数识别方法越来越受到人们的重 视[1] 。目前国内外在结构模态参数识别方面的研究方 法有很多，主要可以分为：①频域方法：它是建立在频 响函数的理论基础上的，频域法的最大优点是利用频 域平均技术，最大限度地抑制了噪声影响，使模态定阶 问题容易解决，但也存在着如功率泄露、频率混叠、离 线分析等问题)②时域方法:是直接利用响应的时域信 号进行模态参数识别。与频域法相比，时域法对于分 离密集模态有更好的效果;③小波分析法[2( :比短时傅 里叶变换具有更好的时频窗口特性，克服了傅里叶变 换中时-频分辨率恒定的弱点，因此它能在具有足够 时间分辨率的前提下分析信号中的短时高频成分，又 能在很好的频率分辨率下估计信号中的低频。④基于 H HT 变换的非平稳信号的处理方法：它以瞬时频率 为基本量，以固有模态信号为基本信号，用于非平稳 信号处理;⑤基于模拟进化的模态参数识别的方法： 该方法实现了基于达尔文进化理论的整体优化算法 用于识别线性振动结构的模态参数。基于模拟进化 的模态参数识别方法用于测试噪音是很可靠的，但该 方法用于识别更复杂模态的现实问题上，还需要更进 一步研究。 本文针对实际工程，对环境激励下的高层建筑振 动响应信号采用小波方法进行分析[3 ( ，有效地识别高 层建筑固 有模态参数，并同传统傅里叶变换、短时傅里 叶变换的结果相比较，证实了小波分析方法在处理随 基金项目：国家自然科学基金（50378041)和教育部新世纪优秀人才基金 (2004年）资助 收稿日期：2006 -06 -21修改稿收到日期:2006 -07 -27 第一作者朱宏平博士，教授，博士生导师,1965年11月生 机信号方面的优 越性。由于环境激励下的振动测试信 号信噪比低[4(，对信号分析造成一定的干扰，本文用小 波分析方法对测试信号进行降噪处理，结果表明小波 方法能有效抑制噪音，还原真实信号，提取更多有用 信息。 1小波分析方法基本理论 傅里叶变换的实质是把波形分解成许多不同频率 正弦 波的叠加，是傅里叶级数在连续情况下的推广，函 数!") "L 1 ($)的傅里叶变换为： %(!) = fV ! /( ( D ⑴ J — A 短时傅里叶变换在傅里叶分析基础上引入时域信 息的最初尝试，它的基本思想是:把信号划分成许多小 的时间间隔，用傅里叶变换分析每一个时间间隔，以便 确定该时间间隔存在的频率。以高斯函数g a (/)= 为窗的短时傅里叶变换可定义为[;( ：
1.机械振动： （1）：机械振动即物体（或物体的一部分）在某一中心位置两侧所做的往返的运动 （2）：回复力F 回：指向“平衡”位置的合力叫回复力 （3）：振动位移x ：都以“平衡”位置为位移的起点 （4）：振幅A ：振动物体离开“平衡”位置的最大距离，振幅越大，振动的能量就越大 （5）：振动的周期T ：指完成一次全振动的时间；周期表示振动的快慢，周期小表示振动的快 （6）：振动的频率f ：指单位时间内完成振动的次数；频率大，表示振动的快。单位为：赫兹（Hz ） （7）：T= f 1；振动的周期T 的大小与振幅的大小无关：对于同一个振动系统，当振动的振幅变大时，其 周期将保持不变，所以物体振动的周期又叫固有周期 （8）:平衡位置：振动的中心位置，是假冒的“平衡”，F 合不一定为0，如：单摆的“平衡”位置的加速度 为：02 2 ≠= =?==m F R v R v a m F F 指向圆心的合力 向心向心指向圆心的合力 2：简谐振动： （1）：回复力F 回和位移x 成正比，但它们的方向相反；F 回＝-kx x 为物体离开“平衡”位置的位移 负号表示回复力F 回和位移x 的方向相反 回复力就是一个指向“平衡”位置的合力 （2）：对于同一个振动系统，当振动的振幅变大时，其周期仍保持不变 （3）：简谐振动的x-t 图像：是一条正弦或余弦曲线 （4）：振动的周期T 的大小与振幅的大小无关（所以把它叫国有周期）。弹簧振子的T 与小球的质量、 弹簧的劲度序数有关；单摆的T 与摆长、重力加速度g 有关 3.单摆 （1）：当单摆的摆角小于80时，单摆的振动可以看做简谐振动 （2）：单摆振动时，也可以把它看做圆周运动R m R m m F F T R v 2 222 ） （向心指向圆心的合力πω====(多多从不同的角度分析问题) （3）：单摆的回复力由重力在切线方向的分力提供。当摆角小于80时，L x ≈ θsin ， mg F L x -=回复力（如右图） （3）：当单摆的摆角小于80时，g L T π 2= L 为物体摆动时的圆心（悬点）到物体重心的距离
振动/冲击/落下试验标准 目录 1.0 可靠度试验目的 振动试验概述冲击试验概述落下试验概述 2.0 试验项目与试验条件 2.1 试验程序 振动轴向辨别 测试件摆放安置 加速规正确填贴固定方式 振动试验条件 冲击试验条件 落下方式及顺序要求 落下试验条件 试验完成检查项目 试验报告 3.0 试验环境要求 二级实验室环境要求ISO/IEC 17025(1999) 一般测试实验室环境要求CNS 1.可靠度试验目的 近年来由于工业之高度发展，技术不断更新，各种产品系统结构日益复杂且更形精密，一系统往往由数千个零组件所组成，要是在使用中突然坏了一个零件，轻则导致系统功能不能尽善尽美的发挥，重则造成整个系统丧失功能，产生不可预期的后果。 因此产品必须经得起各种环境的考验，并要保证产品于正式生产后能安全可靠且经久耐用的在客户手中使用，就必须在研究发展期间将可靠度设计于产品质量中，所以试验的工作是不可少的，试验是评估系统可靠度的一种方法，也是最重要的一个阶段，利用过程中的各项数据及现象来评估可靠度相较于纸上谈兵式的理论推导要准确许多，左证资料越多，对所估计的可靠度信心也就越大，但不作试验或没有试验到某些程度以上的试验，并不代表产品系统不可靠，而是根本不知道产品可靠度的程度。 1.1 振动试验概述 振动测试的目的，在于实验室中作一连串可控制的振动仿真，测试产品在寿命周期中，是否
能承受运送或使用的振动环境的考验，也能确定产品设计及功能的要求标准。振动测试的精义在于确认产品的可靠度及提前将不良品在出厂前筛检出来，并评估其不良品的失效分析以其成为一个高水平、高可靠度的产品。 举凡货物、商品在送达客户途中，都必须经过不同的搬运过程才会送达用户手中。在此过程中将有不同状态之振动产生，造成产品不同程度的损坏。对于产品有任何的损坏都不是厂商及客户所愿意乐见，然而运送过程所发生的振动却是难以避免的。若一味地提高包装成本，必将带来不必要之浪费，反之脆弱的包装却造成产品的高成本，丧失其市场竞争力。 1.2 冲击试验概述 冲击试验主要以仿真装备及组件在使用与运输过程中，可能遭遇的冲击效应为主，并透过冲击波于瞬间瞬时能量交换，分析产品承受外界冲击环境之能力，试验之目的在于了解其机械结构弱点及特定功能之退化情形，属于破坏性实验的一种,有助于了解产品的结构强度及外观抗冲击、跌落等特性,若另实施产品破坏性试验，更能有效预估产品的可靠度及监控生产线产品制造的一致性。 1.3 落下试验概述 包装落下试验是针对包装完成的产品，试验其包装材的防振、包覆保护能力及产品本身的抗跌落程度是否足够，届以判断相关的包装设计、材料选择及改善要点，包装落下试验有助于消费者采购包装材料时，依据所接受之包装落下试验项目判断是否已合乎己用，并将未来会遭遇的环境应力一并考虑其中，进而要求包装材料之所需强度依据。 2.0 试验项目与试验条件 本标准规定实施时，依规定类别施加各类不同振动模态于产品上，用以界定产品之可靠度价值及损坏边界程度。 2.1 试验程序 (1)外观检验： A.测试件以实际制品或试制品为之，若采用试制品时其尺度、质量、构造及功能必须与制品同等为准。 B.外观不得有变形、刮伤、锈痕及污痕。 功能检验： A.每件应至少测试一循环测试时间。 B.每一循环测试应包含测试程序及测试程序(test program) ；各测试单元不得有功能不符及超过许可差量的状况，并依序测试各按钮、旋钮、开关、指示灯及调整器的功能。 (3)取样件数：依据实际制品可提供之最大测试数量进行，或依下列参考值进行测试件取样，并注意取样件数分配需以平均并随机落点于各产线、班别、人员等方式进行，避免因取样技术误差失去试验结果参考价值。
大学物理振动和波动 知识点总结 1．简谐振动的基本特征 （1）简谐振动的运动学方程: cos()x A t ??=+ （2）简谐振动的动力学特征: F kx =- 或 2220d x x d t ?+= （3）能量特征： 222111222 k p E E E mv kx KA =+=+=， k p E E = （4）旋转矢量表示: 做逆时针匀速转动的旋转矢量A 在x 轴上的投影点的运动可用来表示简谐振动。 旋转矢量的长度A 等于振动的振幅,旋转矢量的角速度等于谐振动的角频率,旋转矢量在0t =时刻与坐标轴x 的夹角为谐振动的初相。 2．描述简谐振动的三个基本量 （1）简谐振动的相位：t ω?+，它决定了t 时刻简谐振动的状态；其中：00arctan(/)v x ?ω=- （2）简谐振动的振幅：A ，它取决于振动的能量。其中：A =（3）简谐振动的角频率：ω，它取决于振动系统本身的性质。 3．简谐振动的合成 (1)两个同方向同频率简谐振动的合成: 合振动的振幅：A =合振幅最大： 212,0,1,2....k k ??π-==；合振幅最小：21(21),0,1,2....k k ??π-=+= （2）不同频率同方向简谐振动的合成：当两个分振动的频率都很大，而两个频率差很小时，产生拍现象，拍频为21ννν?=-；合振动不再是谐振动，其振动方程为 21 21 0(2cos 2)cos 222x A t t ννννππ-+= （3）相互垂直的两个简谐振动的合成：若两个分振动的频率相同，则合成运动的轨迹一般为椭圆；若两个分振动的频率为简单的整数比，则合成运动的轨迹为李萨如图形。 （4）与振动的合成相对应，有振动的分解。 4．阻尼振动与受迫振动、共振：
第七章 多自由度系统的复模态理论基础 §7.1 概述 当多自由度系统的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵都是实对称正定阵，且满足下列条件之一： ] []][[][]][[][]][[][]][[] []][[][]][[111111M K C C K M C M K K M C M C K K C M ------=== （7－1） 则在系统的主模态空间中，系统的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵是完全 解耦的。当结构的阻尼矩阵可以假设为比例阻尼或者满足上面的解耦条件时，可以采用实模态理论进行振动分析，即用实模态构成的模态坐标变换式对方程进行坐标变换，使方程解耦后，采用模态叠加法进行动力学响应计算。 但是对于一般的线性阻尼系统，系统的振动方程无法用实模态矩阵进行解耦。要仿照结构的实模态分析理论对结构用模态叠加法进行分析，就必须采用所谓的复模态理论在复模态空间来对结构进行解耦。本章介绍一种状态空间的复模态理论。 §7.2复模态的概念 线性多自由度有阻尼系统的自由振动方程为： }0{}]{[}]{[}]{[=++x k x c x m （7－2） 设其解为： t e x λψ}{}{= （7－3） 代入方程（7－2）得到： }0{})]{([}]){[][][(2==++ψλψλλD k c m （7－4） 矩阵)]([λD 称为系统的特征矩阵。方程（7－4）是一个“二次特征值” 问题，要（7－4）式有非零解的充要条件为： 0][][][)]([2=++=k c m D λλλ （7－5） 上方程是一个关于λ的n 2次代数方程，有n 2个特征根)2,2,1(n i i =λ，