三轮复习精编模拟套题（七）
A. 选择题：本大题共8小题， 每小题5分， 满分40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的． 1. 定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设
{}{}1,2,0,2A B ==， 则集合A B *的所有元素之和为（ ）
A ．0；
B ．2；
C ．3；
D ．6
2. 复数5
4
)
31()22(i i -+等于（ ） A.1+
3i
B.－1+
3i C.1－3i D.－1－3i
3. 把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2
π个单位， 再沿y 轴向下平移1个单位， 得
到的曲线方程是（ ）
A.（1－y ）sin x +2y －3=0
B.（y －1）sin x +2y －3=0
C.（y +1）sin x +2y +1=0
D.－(y +1)sin x +2y +1=0 4. 在区间[]1,1-上随机取一个数x ,cos
2x
π的值介于0到
1
2
之间的概率为（ ） A ．
13 B ．2π C ． 12 D ． 23
5. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 且3S =6， 1a =4， 则公差d 等于
A ．1 B
5
3
C.- 2 D 3 6. 若2log a ＜0， 1()2
b
＞1， 则
( )
A ．a ＞1,b ＞0
B ．a ＞1,b ＜0 C. 0＜a ＜1, b ＞0 D. 0＜a ＜1, b ＜0 7. 若0,0>>b a 且4=+b a ， 则下列不等式恒成立的是 （ ） A ．
2
11>ab B ．111≤+b a
C ．2≥ab
D ．
81
12
2≤+b
a 8. 若函数()f x 的零点与()422x
g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是
A. ()41f x x =-
B. ()2
(1)f x x =-
C. ()1x
f x e =- D. ()12f x In x ??=-
??
?
二、填空题：本大题共7小题， 考生作答6小题， 每小题5分， 满分30分． （一）必做题（９～１２题）
9. 若函数f(x)=a x -x-a(a>0且a ≠1)有两个零点， 则实数a
的取值范围是 .
10. 设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）。
则该几何体的体积为 3
m
11. 某程序框图如图所示， 该程序运行后输出的k 的值是 .
12. 已知︱OA ︱=1， ︱OB ︱=3,OB OA ?=0,点C 在∠AOB 内， 且∠AOC =30°， 设
OC =m OA +n OB (m 、n ∈R )， 则
n
m
等于 （二）选做题（13 ~ 15题， 考生只能从中选做两题）
13. （不等式选讲选做题）不等式2
313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立， 则实数a 的取值范围为
14. （坐标系与参数方程选做题）设直线1l 的参数方程为113x t
y t
=+??
=+?（t 为参数）， 直线
2l 的方程为y=3x+4则1l 与2l 的距离为_______
15. (几何证明选讲选做题） 如图， 已知：ABC △内接于O 圆， 点D 在OC 的延长线上， AD 是⊙O 的切线， 若30B ∠=?，
2=AC ， 则OD 的长为 。
A
C
D B
O
三、解答题：本大题共6小题， 满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. （本题满分12分）
已知函数()()()sin 0,0f x x ω?ω?π=+>≤≤为偶函数， 且其图像上相邻的一个最高
（1）求函数f (x )的解析式；
（2）若 (
))124sin ,31tan f π
αααα
-++=+ 的值。
17．（本题满分12分）
某商场准备在节日期间举行促销活动， 根据市场调查， 该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中， 选出3种商品进行促销活动。 （1）试求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率； （2）商场对选出的商品采用有奖促销， 即在该商品现价的基础上价格提高180元， 同
时允许顾客每购买1件促销商品有3次抽奖的机会， 若中奖， 则每次中奖都可获得奖金100元， 假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的， 试分析此种有奖促销方案对商场是否有利。
18. （本小题满分14分）
一个几何体的三视图如右图所示， 其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.
（Ⅰ）请画出该几何体的直观图， 并求出它的体积；
（Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1? 如何组
拼？试证明你的结论；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱CC 1
平面ABC 所成二面角的余弦值.
正视图 侧视图 俯视图
19. （本小题满分14分）
已知2
)
1x ()x (f -=， )1x (10)x (g -=， 数列{}n a 满足2a 1=，
0)a (f )a (g )a a (n n n 1n =+-+， 1)a )(2n (10
9
b n n -+=
． （Ⅰ）求证：数列{}1a n -是等比数列；
（Ⅱ）当n 取何值时， n b 取最大值， 并求出最大值；
（III ）若1
m 1m m m b t b t ++<
对任意*
N m ∈恒成立， 求实数t 的取值范围．
20. （本小题满分14分）
函数)(2)(23R x x ax x x f ∈+++=
（Ⅰ）若的取值范围求实数上是增函数在a ，，x x f )()(∞+-∞∈。 （Ⅱ）2)(03++==x x x f ，a 曲线时的切线斜率的取值范围记为集合A ， 曲线
)
,(),(2)(22113y x ，Q y x p x x x f 上不同两点++=连线斜率取值范围记为集合
B ， 你认为集合A 、B 之间有怎样的关系， （真子集、相等）， 并证明你的结论。
（Ⅲ）)()(23)(323x f ，x f x x x x ，f a ''+++==是二次函数的导函数时的图象关于轴
对称。 你认为三次函数23)(23+++=x x x x f 的图象是否具有某种对称性， 并证明你的结论。
21. （本小题满分14分）
设直线)1(:+=x k y l 与椭圆)0(32
2
2
>=+a a y x 相交于A 、B 两个不同的点， 与x 轴相交于点C ， 记O 为坐标原点.
（I ）证明：2
2
2
313k
k a +>； （II ）若OAB ?=求,2的面积取得最大值时的椭圆方程.
2010三轮复习精编模拟套题（七）参考答案及详细解析
1-8 DBCACDDA 9. }1|{>a a 10. 4 11. 4 12.3 13. (,1][4,)-∞-+∞U 14. 5
10
3 15.
4 一、选择题 1.答案：D
【解析】[解题思路]根据A B *的定义， 让x 在A 中逐一取值， 让y 在B 中逐一取值，
xy 在值就是A B *的元素
[解析]：正确解答本题,必需清楚集合A B *中的元素， 显然， 根据题中定义的集合运算知A B *={}4,2,0， 故应选择D 2.答案： B
【解析】解法一：)4
sin
4
(cos
2222π
π
i i +=+，
故（2+2i ）4=26（cos π+i sin π）=－26， 1－
)3
sin
3
(cos
23π
π
i i -=，
故3
5sin
35cos 2)31(5
5
ππi i +=
-.
于是i i i i i 31)2
321(22)35sin 35(cos
2)
31()22(565
4
+=--=+-=-+ππ, 所以选B.
解法二：原式=i i i i i 2
3
212
)2321()2(21)2321(2)1(1622554--=
+--=+--+
i i i
314)
31(4314+-=--=+-=
∴应选B
解法三：2+2i 的辐角主值是45°， 则（2+2i ）4的辐角是180°；1－
3i 的一个辐角是
－60°， 则（1－3i ）5的辐角是－300°， 所以5
4
)
31()
22(i i -+的一个辐角是480°， 它在第二象限， 从而排除A 、C 、D ， 选B. 3. 答案：C
【解析】将原方程整理为：y =
x cos 21+， 因为要将原曲线向右、向下分别移动2
π
个单
位和1个单位， 因此可得y =
)
2
cos(21π
-+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0.
评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解， 可直接化为：（y +1）cos （x －2
π）+2（y +1）－1=0， 即得C 选项.
4.答案：A
【解析】在区间[-1， 1]上随机取一个数x,即[1,1]x ∈-时,要使cos
2
x
π的值介于0到
21之间,需使223x πππ-≤
≤-或322x πππ≤≤∴213x -≤≤-或213
x ≤≤， 区间长度为32
， 由几何概型知cos 2x π的值介于0到21之间的概率为3
1
232
=.故选A.
5.答案：C
【解析】∵3133
6()2
S a a ==+且3112 =4 d=2a a d a =+∴.故选C 6.答案：D
【解析】由2log 0a <得0,a <<由1()12
b
>得0b <， 所以选D 项。 7．答案：D
8.答案：A
【解析】()41f x x =-的零点为x=4
1
,()2(1)f x x =-的零点为x=1, ()1x f x e =-的零点为x=0, ()12f x In x ??=- ???的零点为x=2
3.现在我们来估算()422x
g x x =+-的零点， 因为g(0)= -1,g(
21)=1,所以g(x)的零点x ∈(0, 2
1),又函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 只有()41f x x =-的零点适合， 故选A 。
B. 填空题
9.答案： }1|{>a a
【解析】设函数(0,x
y a a =>且1}a ≠和函数y x a =+,则函数f(x)=a x
-x-a(a>0且a ≠1)
有两个零点, 就是函数(0,x
y a a =>且1}a ≠与函数y x a =+有两个交点,由图象可知当
(0,1),而直线y x a =+所过的点（0， a ）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a 的取值范围是}1|{>a a .
10答案：4 11.答案：4
【解析】对于0,1,1k s k ==∴=， 而对于1,3,2k s k ==∴=， 则
2,38,3k s k ==+∴=， 后面是113,382,4k s k ==++∴=， 不 符合条件时输出的
4k =．
12.答案：3
【解析】1,.0,OA OB OAOB
===u u u r u u u r u u u r u u u r
点C 在AB 上， 且AOC ∠30o =。
设A 点坐标为(1， 0)， B 点的坐标为(0，
3)， C 点的坐标为(x ， y)=(
3
4
，
)， (,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r ， 则∴ m=43， n=41， m n
=3 13．答案：(,1][4,)-∞-+∞U
【解析】因为2
4314313x x x x a a -≤+--≤+--≤-对对任意x 恒成立， 所以
22343041a a a a a a -≥-≥≥≤-即，解得或
14.答案：
5
10
3 【解析】由题直线1l 的普通方程为023=--y x ， 故它与与2l 的距离为5
10
310
|24|=
+。 15.答案：4
【解析】连结OA ， 则0
602=∠=∠CBA COA ， 且由OA OC =知COA ?为正三角形， 所以2=OA 。 又因为AD 是⊙O 的切线， 即AD OA ⊥， 所以42==OA OD C. 解答题 16.
()()(
)()(1)sin sin ,2sin cos 0cos 00,.2
2
,,21,cos 2
f x x x x T
T T f x x ω?ω?ω??π
π
??ππω∴-+=+?=∴=≤≤
∴=
==∴=∴=∴=Q 为偶函数，恒成立又设其最小正周期为则
()2sin 2cos 212sin cos 2sin 22sin cos ,sin 1tan 1cos 2455
sin cos ,12sin cos ,2sin cos ,3999
ααααα
ααααα
αααααα-++=
==++
+=∴+=∴=-∴=-
Q 原式又原式
17.本小题考查随机变量的分布列、数学期望及在实际问题中的应用
解：（1）从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中， 选出3种商品， 一共有
39C 种不同的选法， 选出的3种商品中， 没有日用商品的选法有35C 种， 所以选
出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为 .4237
4251139
35=-=-=C C P ……
（4分） （2）顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量ξ， 其所有可能的取值为0，
100， 200， 300。 （单元：元）
ξ=0表示顾客在三次抽奖中都没有获奖， 所以8
1
)21()0(3=
==ξP ，
同理可得 ,8
3)21()21()200(,83)21()21()100(2
23213=?===?==C P C P ξξ
.8
1
)21()300(3===ξP
于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是
.1801508
1
3008320083100810<=?+?+?+?=ξE …………（11分）
故促销方案对商场有利。
18. 解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示， 它是有一条
侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD 是边长为6的正方形， 高为CC 1=6， 故所求 体积是 72663
12
=??=
V ------------------------4分 （Ⅱ）依题意， 正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，
故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的 正方体， 其拼法如图2所示. ------------6分
证明:∵面ABCD 、面ABB 1A 1、面AA 1D 1D 为全等的
正方形， 于是D D AA C A ABB C ABCD C V V V 1111111---== ，
故所拼图形成立.---8分 （Ⅲ）以C 为原点， CD 、CB 、CC 1所在直线分别为x 、y 、
z 轴建立直角坐标系（如图3）， ∵正方体棱长为6，
则E （0， 0， 3）， B 1（0， 6， 6）， A （6， 6， 0）.
设向量n =（x ， y ， z ）， 满足n ⊥1EB ， n ⊥1AB
于是???=+-=+066036z x z y ， 解得??
???-==z y z
x 21. ---12分
取z =2， 得n =（2， -1， 2）. 又=1BB （0， 0， 3
2
1812|
|||,cos 111==>=
2 3 .------14分 19. 解：（I ）∵0)a (f )a (g )a a (n n n 1n =+-+， 2 n n )1a ()a (f -=， )1a (10)a (g n n -=， ∴01)-(a 1)-10(a )a a (2n n n 1n =+-+． 即01)-9a -(10a )1a (n 1n n =-+． 又2a 1=， 可知对任何* N n ∈， 01≠-n a ， 所以 10 1 a 109a n 1n += +．…………2分 A B C D D 1 A 1 B 1 C 1 图2 ∵10 91a 1 101a 1091a 1a n n n 1n =--+=--+， ∴{}1a n -是以11a 1=-为首项， 公比为10 9 的等比数列．………4分 （II ）由（I ）可知1a n -=1 n )10 9( - （*N n ∈）． ∴n n n )10 9 )(2n ()1a )(2n (109b +=-+=． )2 n 11(109) 10 9)(2n ()109 )(3n (b b n 1 n n 1n ++=++= ++．……………………………5分 当n=7时， 1b b 7 8 =， 78b b =； 当n<7时， 1b b n 1 n >+， n 1n b b >+； 当n>7时， 1b b n 1 n <+， n 1n b b <+． ∴当n=7或n=8时， n b 取最大值， 最大值为78 8710 9b b ==．……8分 （III ）由1 m 1m m m b t b t ++< ， 得0])3m (910t 2m 1[t m <+-+ （*） 依题意（*）式对任意* N m ∈恒成立， ①当t=0时， （*）式显然不成立， 因此t=0不合题意．…………9分 ②当t<0时， 由 0) 3m (910t 2m 1>+-+， 可知0t m <（*N m ∈）． 而当m 是偶数时0t m >， 因此t<0不合题意．…………10分 ③当t>0时， 由0t m >（*N m ∈）, ∴ 0) 3m (910t 2m 1<+-+ ∴)2m (10)3m (9t ++>． （* N m ∈）……11分 设) 2m (10)3m (9)m (h ++= （* N m ∈） ∵) 2m (10)3m (9)3m (10)4m (9)m (h )1m (h ++-++= -+ =0)3m )(2m (1 109<++?- , ∴ΛΛ>>->>>)m (h )1m (h )2(h )1(h ． ∴m)(h 的最大值为56 )1(h = ． 所以实数t 的取值范围是5 6 t >．…………………………………13分 21. （I ）解：依题意， 直线l 显然不平行于坐标轴， 故.11 )1(-= +=y k x x k y 可化为 将x a y x y k x 消去代入,311 222=+-= ， 得 .012 )31(222=-+-+a y k y k ① ………………………… 3分 由直线l 与椭圆相交于两个不同的点， 得 3)31 ( ,0)1)(31(4422222>+>---= ?a k a k k 整理得， 即.3132 2 2 k k a +> …………………………………………………… 5分 （II ）解：设).,(),,(2211y x B y x A 由①， 得2 21312k k y y += + 因为212,2y y CB AC -==得， 代入上式， 得.3122 2k k y +-= ……………8分 于是， △OAB 的面积 ||2 3 ||||21221y y y OC S =-?= .23 | |32||331||32 =<+= k k k k ………………11分 其中， 上式取等号的条件是.3 3 ,132 ± ==k k 即 ……………………12分 由.33 ,31222 2±=+-= y k k y 可得 将3 3 ,3333,3322=-=-== y k y k 及这两组值分别代入①， 均可解出.52=a 所以， △OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是.532 2 =+y x ………………14分 20. （Ⅰ）123)(2)(223++='+++=ax x x f x ax x x f 得Θ （1 分） 若3301242<<-<-=?a a 即时 对于上单调递增在有R x f x f R x )(0)(∴>'∈ （3分） 若30 1242±==-=?a a 即时 对于0)3 (0)(,=-'≥'∈a f x f R x 当且仅当有 故f(x)在R 上单调递增 （4分） 若△> 0， 显然不合 综合所述， [] 3,3,)(-∈a a R x f 取值范围为上是增函数在 （5分） （Ⅱ）A B ? (6分) 证明： 2)(3++=x x x f Θ 有[)∞+=≥+=',1113)(2A x x f 故 （7分） 设PQ 斜率K ， 则2 1213 2312121) ()()()(x x x x x x x x x f x f k --+-=--= =2 12 2212121) 1)((x x x x x x x x -+++- （8分） 143)2(12 2 2212 2 2121+++=+++=x x x x x x x （9分） 02 0121221≠=+=≠x x x x x x 有故若Θ 若0020222121≠≠-==+x x x x x 得有 04 3)2(2 2 221>++x x x Θ 得),1(1+∞=∴>B k 故 A B ? （10分） （Ⅲ）的图象具备中心对称23)(23+++=x x x x f （11分） 证明1， 由1163)(2-=++='x x x x f 对称轴 现证中心对称图象关于点)3,1()(-C x f （12分） 设),()3,1(),(,)(),(00y x N C y x M x f y y x M 对称的点为关于且图象上任意一点是-= 则???????=+-=+3 2 12 00 y y x x 得???-=--=y y x x 6200 23)(02 0300+++=x x x x f Θ ) (66 )23()44(3)6128(2)2()2(3)2(000 2323223x f y y y x x x x x x x x x x x x ==+-=++++-=-++++++-=+--+--+--=即 故M 关于点图象也在函数对称的点)(),()3,1(00x f y y x N C =- 对称图象关于点函数)3,1()(-=∴C x f y （14分） 证明2： 设),()(n m x f y 图象的对称中心= 则把得到平移图象按向量,),()(n m b x f y --== 是奇函数即图象关于原点对称)(,)(x g y x g y == (12分 ) n m x f x g -+=)()(Θ 2 23)163()33(2)2(3)33(2)()(3)(2322322322323-+++++++++=-+++++++++=-++++++=m m m x m m x m x n m x m mx x m xm m x x n m x m x m x )(x g 是奇函数的充要条件是 ? ??=-=?? ?=-+++=+31 0230 332 3n m n m m m m 得 中心对称的图象关于点)3,1()(-=∴x f y （14分）
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