2017-2018学年甘肃省兰州市二十七中高一上学期期中考试数学试卷
一、选择题：（每小题5分,共60分）
1. (2017二十七中)已知集合{}{}{}0,1,2,3,0,1,2,1,2,3U A B ===,则()U C A B 等于（ ）
A.3
B. {}2,3
C.{}3
D.{}0,1,2,3 【答案】C
【解析】根据题给条件{}3U C A =,则(){}
{}{}31,2,33U C A B ==
备注：集合的交并补运算,属于简单题.
2. (2017二十七中)下列各组函数表示相同函数的是（ ）
A.()()2
f x
g x ==
B.()()01,f x g x x ==
C.()() 0 , 0x x f x g x x x ≥?=?-
【答案】C
【解析】A 选项,函数()() f x x x R ∈与()()2
0g x x x =
=≥的定义域不同,对应关系也不同所
以不是相同函数；B 选项,()()1 f x x R =∈与()()0=1 0g x x x =≠ 定义域不同,所以不是相同函数；C 选项,
() 0 0x x f x x x ≥?=?-
0x x g x x x x ≥?==?-
()()1 f x x x R =+∈与()()21
1 11
x g x x x x -=
=+≠--的定义域不同,所以不是相同函数. 备注：本题考察函数基本概念,需要细心讨论,很容易忽略定义域而做错,属于基础题. 3. (2017二十七中)如果112
2
log log 0x y <<,那么（ ）
A.1y x <<
B.1x y <<
C.1x y <<
D.1y x << 【答案】D
【解析】令()12
log f x x =,则由1122
log log 0x y <<可知()()()1f x f y f <<,因为()f x 在定义域上单调递减,
所以1y x <<.
备注：本题考察对数函数的图像及函数性质,需要将函数值与x 通过函数单调性联系起来,要会使用函数单调性,属于基础题.
4. (2017二十七中)三个数20.2720.27,log 0.27,2a b c ===之间的大小关系是（ ） A ．a b c << B.b a c << C. a c b << D.c b a << 【答案】B
【解析】因为20.27200.271,log 0.270,21a b c <=<=<=>,所以b a c <<. 备注：本题考察对数与对数函数及指数和指数函数,属于简单题.
5. (2017二十七中)函数y 的单调增区间是（ ） A.(],1-∞ B.[]0,1 C.[)1,+∞ D.[]1,2 【答案】B
【解析】该函数定义域为[]0,2,因为y =,22t x x =-+在[]0,1x ∈上单调递增,
在[]1,2x ∈上单调递减,根据复合函数同增异减可知y 在[]0,1x ∈上单调递增. 备注：本题考察复合函数单调性,要掌握复合函数及其的单调性的判断依据,属于基础题. 6. (2017二十七中)已知()2154f x x x +=-+则()f x 等于（ ）
A.253x x -+
B.246x x -+
C.2710x x --
D.2710x x -+ 【答案】D
【解析】令1t x =+,则1x t =-,带入原函数得()()()2
21514710f t t t t t =---+=-+,则()2710f x x x =-+.
备注：本题考察换元法求解函数解析式,属于简单题.
7. (2017二十七中)下列函数在()0,+∞上是增函数,并且在定义域上是偶函数的是（ ）
A.23
y x = B.12x
y ??
= ??? C.ln y x = D.1y x =
【答案】A
【解析】A 选项是幂函数且0a >,所以在()0,+∞上是增函数,2
213
3y x x ??
== ???
在定义域R 上为偶函数；B 选
项是指数函数且1
12
a =
<,所以在()0,+∞上单调递减且在定义域内无奇偶性；C 选项为对数函数且1a e =>所以在()0,+∞上是增函数,但其定义域为()0,+∞,故无奇偶性；D 选项为反比例函数,在()0,+∞上是减函数,在定义域上是奇函数.
备注：本题考察基本函数单调性及奇偶性,属于基础题.
8. (2017二十七中)已知函数()538f x ax bx cx =+++,且()310f -=,则函数()3f 的值是（ ） A.6 B.6- C.2 D.18 【答案】A
【解析】设()()538g x f x ax bx cx =-=++,则()g x 在定义域R 上为奇函数.()()()()()338233838g f g f f -=--==-=-?-?=-+??,所以()36f =.
备注：本题考察函数奇偶性,但需要构造函数进行转换,属于中档题. 9. (2017二十七中)函数()()2
ln 1f x x x
=--
的零点所在的大致区间是（ ） A.()01， B.()1,2 C.()2,3 D.()3,4 【答案】C
【解析】该函数定义域为()1,+∞,所以A 选项排除；该函数在定义域上单调递增,且()()2
2ln8ln 210,3ln 2033
e f f -=-<=-
=>,所以()f x 的零点所在的区间是()2,3. 备注：本题考察函数零点,需要掌握估算,计算要求较高,属于中档题. 10. (2017二十七中)函数x x e y x
=
的图像的大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】该函数定义域为 0
0x
x x
e x x e y x
e x ?>?=
=?-
,在(),0x ∈-∞上单调递减,在()0,x ∈+∞上单调递增. 备注：本题考察函数图像,根据单调性即可判断,但是需要将函数写成分段函数,属于中档题.
11. (2017二十七中)若函数()(), 1
251,1x a x f x a x x ?>?=?-+≤??
是R 上的减函数,则实数a 的取值范围是（ ）
A.2,15?? ???
B.1,12??????
C.21,52??
???
D.2,5??+∞ ???
【答案】C
【解析】
()(), 1
251,1x
a x f x a x x ?>?=?
-+≤??
在R 上是减函数,在(),0x ∈-∞上单调递减,
()()210
01
log 21221a
a a a a
?-
∴<
12. (2017二十七中)已知偶函数()f x 与奇函数()g x 的定义域都是()2,2-,它们在[)0,2上的图像分别为
()()1,2所示,则关于x 的不等式()()0f x g x <成立的x 的取值范围为（ ）
(1) (2)
A.()()2,11,2--
B.()()1,00,1-
C.()()2,10,1--
D.()()1,01,2-
【答案】D
【解析】设()()()h x f x g x =,则()()()()()()h x f x g x f x g x h x -=--=-=-
()h x ∴在()2,2-上是奇函数,由图像可知,()()()0h x f x g x =<时在[)0,2上的解为()1,2x ∈
又
()h x 在()2,2-上是奇函数,()()()0h x f x g x ∴=<时在(]2,0-上的解为()1,0x ∈-
备注：本题考察函数图像与函数的奇偶性,可结合根据图像进行分析,最后解得答案,属于中档题. 二、填空题 （每小题5分,共20分）
13. (2017二十七中)集合{}{}2|9,|03A x x B x Z x =≤=∈≤<,则A B =_________. 【答案】{}0,1,2 【解析】
{}{}{}{}2|9|33,|030,1,2A x x x x B x Z x =≤=-≤≤=∈≤<=,{}0,1,2A
B ∴=.
备注：本题考集合的基本运算,属于简单题.
14、(2017二十七中)函数1+1x y a -=(0a >且1a ≠)图象恒过定点_________. 【答案】()1,2
【解析】对于任意0a >且1a ≠,当1x =时,2y =,所以函数的图像恒过定点()1,2.
备注：本题考函数恒过定点问题,主要需要掌握的是理解定点,什么是定点以及需要用到哪个公式,属于简单题.
15、(2017二十七中)已知()f x 在R 上是奇函数,且()()4f x f x +=,当()0,2x ∈时,()33x f x -=,则()7f =
_________.
【答案】19
- 【解析】()0,2x ∈又
)在R 上是奇函数
备注：本题考函数的奇偶性以及周期性,需要掌握函数周期的应用,属于中档题.
16、(2017二十七中)对于任意实数x ,符号[]x 表示x 的整数部分,即[]x 是不超过x 的最大整数,这个函数
[]x 叫做“取整函数”,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用.那么[][][][][]33333log 1log 2log 3log 81log 82+++
++ 的值为_________.
【答案】208
【解析】33333log 10,log 31,log 92,log 273,log 814=====,()[]30 031 39log 2 927 3 27814 81243x x f x x x x x ≤
∴==≤
[][][][][]33333log 1log 2log 3log 81log 82011621835441208∴+++
++=?+???+?+?=
备注：本题考对数的运算以及对新概念的理解,对计算和理解能力要求较强,属于中档题. 三、解答题：（10分+12分*5=70分） 17. (2017二十七中)计算下列各式的值 （
1）10
1
2
23
31220.0064254-????
+?-- ? ?????
（2）7log 2log lg 25lg 47+++ 【答案】（1）25-
；（2）15
4
【解析】（1）1
122
331220.0064254-????+?-- ? ?????
1310.442=+?-
25
=-
（2）7log 2log lg 25lg 47+++ ()34
3
3
log lg 25423
=+?+ 34
33log 3log 322=-++ 31512244
=
-++= 备注：本题考对数和指数的基本计算,属于简单题.
18. (2017二十七中)已知集合{}|212A x a x a =-≤≤+,集合ln 5|
x B x y ?-??=??? ,若A B A = ,求实数
a 的取值范围. 【答案】()1,3 【解析】
y x =
则5010x x ->??->?即15x <<,{}||15B x y x x ??
∴==<
A B A =,211
25a a ->?∴?
+
备注：本题考集合基本计算以及求解函数定义域,属于基础题.
19. (2017二十七中)已知函数幂函数()()()2157m f x m m x m N --=-+∈为偶函数 （1）求12f ??
???
的值；
（2）若()()21f a f a +=,求实数a 的值.
【答案】（1）16；（2）1a =-或1
3a =-
【解析】（1）()f x 为幂函数,2571m m ∴-+=即2x =或3x =
又
()f x 是偶函数,3m ∴=,则()4f x x -=
则4
111622f -????
== ? ?????
（2）
()f x 是偶函数,()()f x f x ∴=,
()()21f a f a +=,21a a ∴+=即1a =-或1
3
a =-
备注：本题考幂函数函数及函数奇偶性,需要掌握如果一个函数是偶函数则()()f x f x =,属于基础题.
20. (2017二十七中)已知()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≤时,()22f x x x =+
（1）现在已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象,如图所示,请补出完整函数()f x 的图象,并根据图象写出函数()f x 的增区间；
（2）写出函数()f x 的解析式；
（3）若方程()0f x m -=有四个解,求m 的取值范围. 【答案】（1）略；（2）()222,02,0x x x f x x x x ?+≤?
=?-≥??
；（3）()1,0-
【解析】（1）如图所示,()f x 的增区间为[]1,0-和[)1,+∞；
（2）当0x ≥时,0x -≤,则()()()2
222f x x x x x -=-+-=-, ()f x 是定义在R 上的偶函数,()()f x f x ∴-=
0x ∴≥时
()()22f x f x x x =-=-
即()222,02,0x x x f x x x x ?+≤?
=?-≥??
；
（3）若方程()0f x m -=有四个解,则()f x m =有四个解,即()f x 与y m =的图像有四个不同交点,
由()f x 图像可知当10m -<<时满足条件,即m 的取值
范围为()1,0-.
备注：本题考察函数奇偶性,函数图像以及方程与函数的关系,属于中档题. 21. (2017二十七中)函数()21ax b
f x x +=
+是定义域在()1,1-上奇函数,且1225
f ??= ??? （1）确定函数()f x 的解析式；
（2）用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数； （3）解不等式()()10f t f t -+<. 【答案】（1
（2）略；（3）10,2??
???
【解析】（1）
()f x 是定义在()1,1-上的奇函数且12
25
f ??= ???
（2）任取()12,1,1x x ∈-,且12x x <,
则()()()()()()()()22121212112212122222221212121111111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x --+---=-==++++++, ()12,1,1x x ∈-,121x x ∴<,则1210x x ->
()()()()()()
12121222121011x x x x f x f x x x --∴-=
<++即()()12f
x f x <
()f x ∴在()1,1-上单调递增；
（3）由()()10f t f t -+<得()()1f t f t -<-
()f x 是定义在()1,1-上的奇函数,()()()1f t f t f t ∴-<-=-
又
()f x 在()1,1-上单调递增,111t t ∴-<-<-<即1
02
t <<
∴不等式()()10f t f t -+<的解为10,2??
???
.
备注：本题考察函数奇偶性和函数单调性的综合应用,需要记住奇函数如果在0x =处有定义,则()0f x =,属于中档题.
22. (2017二十七中)据研究,提高跨河大桥的车辆通行能力可有效改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到
200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.
研究表明：当20200x ≤≤时,车流速度是v 车流密度x 的一次函数. （1）当0200x ≤≤时,求函数()v x 的表达式；
（2）当车流密度x 为多大时,车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位：辆/小时）()()f x x v x =可以达到最大,并求出最大值.（精确到1辆/小时）.
【答案】（1（2）当车流速度100x =时,车流量可以达到最大值3333辆/小时
【解析】（1）当20200x ≤≤时,根据题意可设()v x kx b =+则02006020k b k b =+??=+?,解得13200
3k b ?
=-???
?=??
（2）由（1）知()()()2
2 60, 020
1200110000100, 202003333x x f x x v x x x x x ≤
==?-+=--+≤≤??, 则当车流速度100x =时,车流量可以达到最大值10000
33333
≈（辆/小时）.