荆门市实验高中高三数学测试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合{}(,)|A x y y x ==，(,)|1y B x y x ??
==???
?
，则A 、B 的关系为
( )
A ．A
B =
B ．A
B =A
C ．B A =B
D ．A B =φ
2
则样本在区间上的频率为（其中+） ( )
A ．0.5 B. 0.7 C. 0.25 D. 0.05
3．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ( )
A ．至少有1个白球，都是白球
B ．至少有1个白球，至少有1个红球
C ．恰有1个白球，恰有2个白球
D ．至少有1个白球，都是红球 4．由约束条件021y x
y x t x t ≤≤??
≤-??≤≤+?
所确定的区域面积为S ，记()S f t =(01)t ≤≤，则()f t =
( )
A ．212
t t -++
B ．222t t -+
C ．2112
t -
D ．
21
(2)2
t - 5．已知双曲线22
221x y a b
-=和椭圆22221(0,0)x y a m b m b +=>>>的离心率互为倒数，那么
以,,a b m 为边的三角形一定是 ( )
A ．等腰三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．直角三角形 6．设一个正多面体的面数为F ，顶点数为V ，若F+V=8，且它的各条棱长都等于4，则这多面体的外接球的球面面积是 ( )
A ．12π
B ．24π
C ．16π
D ．28π 7．下列判断中错误的个数是 ( )
（1）命题“若q 则p ”与命题“若p ?
则q ?
”互为逆否命题；
（2）“22am bm <”是“a b <”的充要条件；
（3）在ABC ?中，若1sin 2A <
，则6
A π<； （4）命题“1{1,2}4{1,2}??或”为真命题
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，沿对角线BD 将△ABD 折起，使A 点在平面 BCD 内的射影落在BC 边上，若二面角C —AB —D 的平面
角大小为θ，则sin θ的值等于 ( )
A ．
43 B ．47 C ．773 D ．3
4
A
(A)
9.已知(4,3)OA =，函数2
()f x x mx n =++的图象按向量OA 平移得到的图象，恰与直线
480x y +-=相切于点(1,4)T ，则()y f x =的解析式为( )
A ．2
()21f x x x =++
B ．2
()22f x x x =++
C ．2()22f x x x =+-
D ．2
()2f x x x =+
10. 函数3
2
()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则(1)(1)f f -+的值一定 ( ) A. 等于0 B.大于0 C.小于0 D.小于或等于2-
11、如图,在杨辉三角中,斜线l 的上方,从1开始箭头所
示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10,……，记其前n 项和为n S ,则19S 等于 ( ) A ．129 B ．172 C ．228 D ．283
12. 12月，全世界爆发＂禽流感＂，科学家经过深入的研究，终于发现了一种细菌M 在杀死＂禽流感＂病毒N 的同时能够自身复制．已知１个细菌MD 在杀死１个病毒N 后，变成了２个细菌M ，那么１个细菌M 和个＂禽流感＂病毒N 最多可生成细菌M 的数值是( )
A ．1024
B ．
C ．
D ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）
13．过点P 和曲线1
()f x x x
=-
(0x >)相切的直线与2y x =平行，则此直线方程为 14．已知数列{}n a 的通项公式为31n a n =+，则在456
(1)(1)(1)x x x +++++的展开式中，
含3x 的项的系数是数列{}n a 中的第 项。 15．已知0a b >>，则2
16
()
a b a b +
-的最小值为 。
16．点P 是双曲线)0,0(1:22221>>=-b a b
y a x C 和圆2
2222:b a y x C +=+的一个交点，
且12212F PF F PF ∠=∠，其中21,F F 是双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的离心率
为 。
1
荆门市实验高中高三数学测试卷
考号：＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿＿
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13． 14． 15． 16．
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（12分）已知锐角△ABC 中，三个内角为A 、B 、C ，两向量)sin cos ,sin 22(A A A p +-=，
A A A 与若),sin 1,cos (sin +-=是共线向量。
（I ）求∠A 的大小；（II ）求函数y=2sin 2B+cos(32
C B
-)取最大值时，∠B 的大小
18．（12分）现有10条活鱼养在一水池中，其中有6条鲫鱼，4条鲤鱼，某人每天随机从
水池中取出3条鱼进行观察，
（1）若此人将3条鱼一次取出，求取出的3条鱼中两种鱼均出现的概率； （2）若此人将3条鱼分三次取出，每次取出一条鱼观察后又放回水池中，求第
二次、第三次均取到鲤鱼的概率。
19．（12分）如图，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直， ∠ABC=90°，BC=2，AC=32，且AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C. （1）求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小； （2）求顶点C 到侧面A 1ABB 1的距离； （3）求异面直线1A C 与1BC 所成的角。
20．（12分）已知函数32
()f x ax bx c =++的图象过点(0,1)，且在1x =处的切线方程为
21y x =-
（1） 求()f x 的解析式；
（2） （2）若()f x 在[0,]m 上有最小值19
27
，求实数m 的取值范围。
A B C 1A 1B 1C
21．（12分）已知抛物线2
2x y =的焦点为F ，准线为l ，过l 上一点P 作抛物线的两条切
线，切点分别为,A B ，现某学习小组在研究讨论中提出如下三个猜想：
（1）直线PA PB ⊥恒成立； （2）直线AB 恒过定点F ；
（3）等式2
FA FB FP ?=λ中的λ恒为常数。请你一一进行验证。
22．（14分）设{}n a 、{}n b 为两个数列,记1231
n
i
n n i a
a a a a S ==+++=∑(*∈N n )
(1)求证:
)(11
1
1
+-==-+=∑∑i i n i i n n i
n
i i b b S b S b
a
(2)设数列{}n a 满足
11
=∑=n i i a ,01
=∑=n
i i a ,求证:①2
1
≤
i S ,(n i ,3,2,1=)； ②)11(211
n i a n
i i -≤∑=(n i ,3,2,1=)；
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17、解：(1)=(2－2sinA,cosA+sinA)，=(sinA －cosA,1+sinA)，
∵//∴（2－2sinA ）(1+sinA)－(cosA+sinA)(sinA －cosA)=0;―――――2分
化简得：23
sin 4
A =
―――――――――――――――――――――――――3分 ∴△ABC 为锐角三角形，sinA=2
3
∠A=60° ――――――――――――――6分
（2）y=2sin 2B+cos(23B c -)=2sin 2B+cos(2
3B
A B ---π)=2sin 2B+cos(2B －60°)
=1－cos2B+cos(2B －60°) =1+sin(2B －30°)―――――――――――――――10分
当B=60°时取最大值2―――――――――――――――――――――――――12分 18、解：(1)记“一次取出3条鱼，其中两种鱼均出现”为事件A,――――――――2分
则122164643
104
()5
C C C C P A C ?+?==――――――――――――――――――――――6分 （2）记“每次取出鱼后放回，在三次取鱼中，第二次、第三次均取到鲤鱼”为事件B ，“每次
取出鱼后放回，第一次取到鲫鱼，第二次、第三次均取到鲤鱼”为事件B 1，“每次取出鱼后放回，三次均取到鲤鱼”为事件B 2，则2164()()1010P B =?，324
()()10
P B =－10分 ∴21244
()()()(
)1025
P B P B P B =+==
―――――――――――――――――――12分 19、（1）取AC 中点D 连A 1D ，则易知A 1D ⊥底面ABC ，取AB 中点E ，连1,DE A E ，
可得DE//BC 且DE 2
1
=BC ，∴DE ⊥AB ，由三垂线定理可得A 1E ⊥AB ，∴∠A 1ED 为侧面
A 1AB
B 1与底面AB
C 的所成二面角的平面角
∵A 1D=,3DE=1 ∴
A 1ED=60°，面A 1AB
B 1与底面ABC
的所成二面角为60°―4分 （2）设C 到侧面
A 1AB
B 1的距离为h
，∴h S D A S V B AA
ABC ABC A ?=
?=??-1
13
1311
又∵3,222
1,22111
==∴=?==??D A h E A AB S S AB A ABC
即顶点C 到侧面A 1ABB 1的距离为3.－8分
（3）取D 点为坐标原点，过D 点垂直于DC 的直线为x 轴，DC 为y 轴，1DA 为z 轴建
立空间直角坐标系。易得：1A 、
C 、1C 、(,33
B ，
∴1
(0,AC =
，1(BC =， ∴11
,COS AC BC <>1111||
||
AC BC AC BC
?=?21
== ∴异面直线1A C 与1BC 所成的角为arccos
21
――――――――――――――12分 20、解：∵2
()32f x ax bx '=+，∴(1)322f a b '=+=
又(0)1,(1)1f f ==， ∴1c =，1a b c ++=，∴2,2,1a b c ==-=
∴3
2
()221f x x x =-+―――――――――――――――――――――――――4分 （2）∵22()646()3f x x x x x '=-=-，∴当2[0,]3x ∈时，()0f x '≤，2[,)3
x ∈+∞时，
()0f x '≥，∴()f x 在2[0,]3上单调减，在2
[,)3
+∞上单调增。――――――――6分
又∵3222219
()2()2()133327
f =?-?+=，所以
①当203m <<时，()f x 在[0,]m 上单调减，故min ()()f x f m =219
()327f >=，故
2
03
m <<不合题意―――――――――――――――――――――――――――9分
②当2
3
m ≥时，32min 22219()()2()2()133327f x f ==?-?+=，适合题意。
综上可得，实数m 的取值范围为：2
3
m ≥―――――――――――――――――12分
21、（1）由212y x =，对其求导得：'
y x =，
设22
1212(,),(,)22
x x A x B x ，则直线,PA PB 的斜率分别为12,PA PB k x k x ==， ∴直线PA 的方程为2111()2x y x x x -=-，即2
112
x y x x =-， 同理：直线PB 的方程为2222x y x x =-，∴可解得点P 的坐标为1212
(,)22x x x x +，
又点P 在准线12y =-上，∴121
22
x x =-，即121x x =-，
∵121PA PB k k x x ?==-，∴PA PB ⊥，猜想（1）成立。――――――――――4分
（另解：设01(,)2P x -，则点P 在直线,PA PB 上，∴21102
2
20
122
122
x x x x x x ?-=-????-=-??，∴12,x x 是方程20210t x t --=的两根，故121x x =-，∴121PA PB k k x x ?==-，∴PA PB ⊥，猜想
（1）成立）
（2）直线AB 的斜率2
2
21
12212
22
AB
x x x x k x x -
+==-， ∴直线AB 的方程为21121()22x x x y x x +-=-，又121x x =-，∴12122x x y x +=+， 显然直线AB 过焦点1
(0,)2
F ，猜想（2）成立。―――――――――――――8分
（3）22111111(,)(0,)(,)2222x x FA x x =-=-，22222211(,)(0,)(,)2222x x FB x x =-=-， ∵222222121212121211
(1)(1)(1)44
FA FB x x x x x x x x x x ?=+--=+--+
2222121212121211
[2()1]1[12()1]
44x x x x x x x x x x =++-++=-+--++121
1()4
x x =--+，
又12121212111
(,)(0,)(,)(0,)(,1)2222222x x x x x x x x FP +++-=-=-=-，
∴22121
()14
FP x x =++，
所以2
0FA FB FP ?+=恒成立，λ为常数1-。―――――――――――――――12分 22、（Ⅰ）证明：n n b a b a b a b a ++++ 332211 =n n n n n n b S S b S S b S S b S S b S )()()()(112132321211-----+-++-+-+ ┈┈┈┈2分 =n n n n n b S b b S b b S b b S b b S +-++-+-+---)()()()(11433322211 =∑-=+-+
11
1)(n i i i
i
n n b b
S b S ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分
（Ⅱ）（1）在n 个数n a a a ,,,21 中，设正数之和为A ，负数之和为B ，则A+B=0，A-B=1，
∴21=
A ，2
1
-=B ，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分 所以，A S B i ≤≤，即).,2,1(2
1
n i S i =≤┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9分
（2）由题意，0=n S ，又由题（Ⅰ）知：)11
1(1111+-+?=∑∑-==i i S n S i
a n i i n n
i i ┈┈11分
)111(21)111(111
1+-≤+-≤∑∑-=-=i i i i S n i n i i ，∴)1
1(211n i
a n
i i -≤∑=┈┈┈┈┈┈┈14分
（2）证法 2 设n a a a ,,,21 中，正数集为M ，负数集为N ，则111
(1)12i j i j n
j j i i i i a M a N a M a N a a a a a i i j n
n =∈∈∈∈=+≤+=-∑∑∑∑∑┈┈┈┈┈┈┈11分 又
)11(211-=+≥+∑∑∑∑
∈∈∈∈n
a n a j a i a N a j M a i N a j M
a i j i j i ┈┈┈┈┈┈┈13分
∴)1
1(21)11(211n i a n n
i i -≤≤--∑=，即)11(211n i
a n i i -≤∑=┈┈┈┈┈┈┈14分