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定积分的简单应用求体 积 Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022
定积分的简单应用(二) 复习： （1） 求曲边梯形面积的方法是什么 （2） 定积分的几何意义是什么 （3） 微积分基本定理是什么 引入： 我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。 1. 简单几何体的体积计算 问题：设由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的平面图形（如图甲） 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V ，如何求V 分析： 在区间[,]a b 内插入1n -个分点，使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，把曲线()y f x =（a x b ≤≤）分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”，如图甲所示。设第i 个“小长条”的宽是1i i i x x x -?=-，1,2,,i n =。这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度是i x ?的小圆片，如图乙所示。当i x ?很小时，第i 个小圆片近似于底面半径为()i i y f x =的小圆柱。因此，第i 个小圆台的体积i V 近似为2()i i i V f x x π=? 该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和：
2221122[()()()]n n V f x x f x x f x x π≈?+?+ +? 这个问题就是积分问题，则有： 22()()b b a a V f x dx f x dx ππ==?? 归纳： 设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π=? 2. 利用定积分求旋转体的体积 （1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数 （2） 分清端点 （3） 确定几何体的构造 （4） 利用定积分进行体积计算 3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积 若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y ，其公式为 2()b a V g y dy π=? 类型一：求简单几何体的体积 例1：给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积 思路： 由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。 解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为,x y 轴建立如图所示的平面直角 坐标系，如图:BC y a =。则该旋转体即为圆柱的体积为： 22300|a a V a dx a x a πππ=?==?
2002 DELTA ELECTRONICS, INC. ALL RIGHTS RESERVED 5-36 當驅動器發生異常（只限OV, OC, OCC 三種） ，而異常自動消失時，此參數允許驅動器自動復歸並以異常前之參數設定運轉。 若發生異常之次數超出08-09設定，驅動器拒絕再啟動，需使用者介入復歸才可以繼續運轉。 08-10 異常再啟動次數自動復歸時間 出廠設定值 600 設定範圍 00 to 60000 sec 此參數設定異常再啟動次數自動復歸時間，若發生異常且再啟動成功之後，於08-10設定時 間之內沒有任何異常發生，則驅動器會將異常次數紀錄復歸為零。 08-11 禁止操作頻率一Up 08-12 禁止操作頻率一Down 08-13 禁止操作頻率二Up 08-14 禁止操作頻率二Down 08-15 禁止操作頻率三Up 08-16 禁止操作頻率三Down 設定範圍 0.00-120.00 Hz 出廠設定值 0.00 此參數設定驅動器禁止運轉之頻率範圍。此功能可以使驅動器不會持續運轉在電機或負載系 統的共振頻率或其他原因禁止運轉之頻率。 此參數設定必須符合08-11≧08-12≧08-13≧08-14≧ 08-15≧08-16之限制。 主頻率命令仍可設定於禁止運轉頻率範圍之內，此時輸出頻率將限制為禁止運轉頻率範圍之下限。 驅動器在作加減速時，輸出頻率仍會經過禁止運轉頻率範圍。 08-17 自動省電運轉 出廠設定值 00 設定範圍 00 無效 01 有效 此參數可設定自動省電運轉功能。
2002 DELTA ELECTRONICS, INC. ALL RIGHTS RESERVED 5-37 70% 輸出電壓 100%頻率 最大可降低正常的輸出電壓 30% 08-18 自動穩壓功能(AVR) 出廠設定值 00 設定範圍 00 開啟AVR 01 取消AVR 02 停車減速時取消AVR 此參數可設定自動穩壓Automatic Voltage Regulation 是否動作。 此參數設為01：取消AVR 時,驅動器以DC Bus 為定值(620VDC)計算輸出電壓，輸出電壓 值將因DC Bus 電壓飄動而飄動，可能造成輸出電流不足、太大或震盪。 此參數設為00：開啟AVR 時，驅動器以實際DC Bus 電壓值計算輸出電壓，輸出電壓將不 因DC Bus 電壓飄動而飄動。 此參數設為02：時,驅動器只在停車減速時取消AVR ，可以在某種程度內加速煞車。 08-19 軟體煞車位準設定 a 出廠設定值 760.0 設定範圍 740V~820VDC 00 Disable 此參數可設定軟體煞車位準設定。 VFD055~150F43A 機種內含煞車晶體，使用者可以選用適當煞車電阻，以達到最佳減速特 性。 煞車晶體的動作準位可以由此參數設定。
定积分的应用
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浅谈定积分的应用 **** **** （天津商业大学经济学院，中国天津 300134) 摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。 关键词 定积分 定积分的应用 求旋转体体积 变力做功 The Application of Definite Integral **** **** (Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134，China) Abstract:Definite integral in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definition of defi nite integral and geometric meaning, and through the example analysis of the definite integral in the higher mathe matics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, through the analysis can be seen that the use of definite integral to solve some practical problems is very convenient and accurate. Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for the body of revolution, volume change forces work 0、前言 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。 微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展[1-5] 。本文将举例介绍定积分在 的我们日常学习和生活当中的应用。 1定积分的基本定理和几何意义 1.1、定积分的定义 定积分就是求函数)(x f 在区间[]b a ,中图线下包围的面积。即由0=y ，a x =， b x =,()x f y =所围成图形的面积。 定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是： 如果)(x f 是[]b a ,上的连续函数，并且有())(' x f X F =，那么 ()()()1)(Λa F b F dx x f b a -=?
定积分的简单应用 一：教学目标 知识与技能目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 过程与方法 情感态度与价值观 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解：2 01y x x x y x ?=??==? =??及，所以两曲线的交点为 （0，0）、（1，1），面积S=1 1 20 xdx x dx = -? ?，所以 ?1 2 0S =(x -x )dx 321 3 023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 2 x y =y x A B C D O
巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2 y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x = 以及x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯 形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标， 直线4y x =-与 x 轴的交点． 解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的 面积． 解方程组2, 4 y x y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线2y x = 的交点的坐标为（8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2 4 8 8 4 4 2[2(4)]xdx xdx x dx =+--? ? ? 334 82822044 2222140||(4)|23 x x x =+-=. 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图， 再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限． 例3.求曲线], [sin 320π∈=x x y 与直线,,3 20π==x x x 轴所围成的图形面积。
1 序言 感謝您採用台達高性能?迷你型交流馬達驅動器 VFD-M 系列。VFD-M 係採用高品質之元件、材料及融合最新的微電腦控制技術製造而成。 本手冊提供給使用者安裝、參數設定、異常診斷、排除及日常維護本交流馬達驅動器相關注意事項。為了確保能夠正確地安裝及操作本交流馬達驅動器，請在裝機之前，詳細閱讀本使用手冊，並請妥善保存及交由該機器的使用者。 以下為特別需要注意的事項： 實施配線，務必關閉電源。 在交流馬達驅動器內部的電子元件對靜電特別敏感，因此不可將異物置入交流馬達驅動器內部或觸摸主電路板。 切斷交流電源後，交流馬達驅動器數位操作器指示燈未熄滅前，表示交流馬達驅動器內部仍有高壓十分危險，請勿觸摸內部電路及零組件。 交流馬達驅動器端子 務必正確的接地。 絕不可將交流馬達驅動器輸出端子 U/L1，V/L2，W/L3 連接至AC 電源。
2 標準規格 115系列： 型號 VFD- M 002 004 007 馬達輸出額定功率(kW) 0.2 0.4 0.75 馬達輸出額定功率(HP) 0.25 0.5 1.0 額定輸出容量(kVA) 0.6 1.0 1.6 額定輸出電流(A) 1.6 2.5 4.2 最大輸出電壓(V) ¨J 輸 出 最高輸出頻率(Hz) 0.1~400Hz 機型重量kg/Unit 2.2/1.5 2.2/1.5 2.2/1.5 額定輸入電流(A) 6 9 16 容許電壓變動範圍 單相電源100~120VAC 電 源 容許頻率變動 50/60Hz ±5% 230系列： 型號 VFD- M 004 007 015 022 037 055 馬達輸出額定功率(kW) 0.4 0.75 1.5 2.2 3.7 5.5 馬達輸出額定功率(HP) 0.5 1.0 2.0 3.0 5.0 7.5 額定輸出容量(kVA) 1.0 1.9 2.7 3.8 6.5 9.5 額定輸出電流(A) 2.5 5.0 7.0 10 17 25 最大輸出電壓(V) 對應輸入電壓 輸 出 最高輸出頻率(Hz) 0.1~400Hz 機型重量kg/Unit 2.2/1.5 2.2/1.5 2.2/1.5 2.2 3.2 3.2 額定輸入電流(A) 6.3/2.9 11.5/7.6 15.7/8.8 27/12.5 19.6 28 單相機種三相輸入電流 3.2 6.3 9.0 12.5 - - 單/三相電源 三相電源 容許電壓變動範圍 180~264VAC 電 源 容許頻率變動 50/60Hz ±5% 460系列： 型號 VFD- M 007 015 022 037 055 075 馬達輸出額定功率(kW) 0.75 1.5 2.2 3.7 5.5 7.5 馬達輸出額定功率(HP) 1.0 2.0 3.0 5.0 7.5 10 額定輸出容量(kVA) 2.3 3.1 3.8 6.2 9.9 13.7 額定輸出電流(A) 3.0 4.0 5.0 8.2 13 18 最大輸出電壓(V) 對應輸入電壓 輸 出 最高輸出頻率(Hz) 0.1~400Hz 機型重量kg/Unit 1.5 1.5 2.0 3.2 3.2 3.3 額定輸入電流(A) 4.2 5.7 6.0 8.5 14 23 單相機種三相輸入電流 - - - - - - 三相電源 容許電壓變動範圍 342?528VAC 電 源 容許頻率變動 50/60Hz ±5%
§1.7 定积分的简单应用（一） 一：教学目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 解：201y x x x y x ?=??==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积 S=1 1 20 xdx x dx = -? ?，所以 ?1 20S =(x -x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S. 解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图阴影部分的面积． 解方程组2, 4 y x y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线2y x = 的交点的坐标为（8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2 4 8 8 4 4 2[2(4)]xdx xdx x dx =+--? ? ? 33482822044 2222140||(4)|3323 x x x =+-=. 例3.求曲线],[sin 3 20π ∈=x x y 与直线,,3 20π ==x x x 轴所围成的图形面积。 答案： 2 33 2320 = -=? ππo x xdx S |cos sin ＝ 练习 1、求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积。 答案：3 32 33323132 23 1= -+=--? |))x x x dx x x S （－＋（＝ 2、求由抛物线342-+-=x x y 及其在点M （0，－3） 2 x y =y x = A B C D O
例3 求由曲线及轴所围图形的面积。 解画草图，曲线与的交 点是，取为积分变量， 时，， 时，， 所以， 例4求由圆与直线及曲线所围图形的面积。 解画草图，取为积分变量，
例5 求抛物线与其在点处的法线所围成图形的面积。 解先求出法线方程，画出草图，再求出法线与抛物线的两个交点 ，所以， 例6 求曲线的一条切线，使得该切线与直线及曲线所围成的图形的面积 A 为最小。 解（1）关键是找出目标函数，即所围面积与切点 坐标间的函数关系。设为曲线上 任一点，则此点处的切线方程 为 , 于是所求面积
= （2）下面求 A 的最小值： 令得。又当，时；当时，。 故当时，A 取极小值，也是最小值，从而得到切线方程 参数方程的情形 按直角坐标情形分析，参数方程相当于积分时把积分变量做了变换。不用记公式。 由连续曲线，轴及直线、 所围图形的面积为 其中 例7求摆线的一拱与轴所围成的平面图形的面积。
解如图，对应与图中摆线的一拱，的变化范围为，参数t 的变化范围为。故所求面积为
= 2. 极坐标情形 设曲线的极坐标方程为 连续，由曲线及射线 所围曲边扇形 的面积 为 （记住） 例8 求双纽线所围成的平面图形的面积。
解由于双纽线的图形和极轴与极点都对称，因此只需求出区间上部分面积再 4 倍即可 1. 平行截面面积已知的立体体积 设空间立体被垂直于轴的平面所截，截面面积为，且立体在 之间，则体积元素，立体体积 例9 一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面成交角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积。 解取这平面与圆柱体的底面的交线
定积分的简单应用 【学习目标】 1.会用定积分求平面图形的面积。 2.会用定积分求变速直线运动的路程 3.会用定积分求变力作功问题。 【要点梳理】 要点一、应用定积分求曲边梯形的面积 1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积： ()[()()]b b a a S f x dx f x g x dx ==-?? 2.如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线 ()y f x =(0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积： ()()[()()]b b b a a a S f x dx f x dx g x f x dx = =-=-? ?? 3．由三条直线,(),x a x b a c b x ==<<轴及一条曲线()y f x =（不妨设在区间[,]a c 上 ()0f x ≤，在区间[,]c b 上()0f x ≥）围成的图形的面积： ()c a S f x dx = + ? ()b c f x dx ? ＝()c a f x dx -?＋()b c f x dx ?. 4. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()f x f x ≥及直线x a =，x b =()a b <围
成图形的面积： 1212[()()]()()b b b a a a S f x f x dx f x dx f x dx =-=-??? 要点诠释： 研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义： ① 当平面图形的曲边在x 轴上方时，容易转化为定积分求其面积； ② 当平面图形的一部分在x 轴下方时，其在x 轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）； 要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 （1）画出图形； （2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限； （3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； （4）写出平面图形面积的定积分表达式； （5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。 要点三、定积分在物理中的应用 ① 速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间 [,]a b 上的定积分，即()b a S v t dt =?. ②变力作功 物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W = ()b a F x dx ? . 要点诠释： 1. 利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情 况是解决问题的关键。应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。 2. 求变力作功问题，要注意找准积分变量与积分区间。 【典型例题】 类型一、求平面图形的面积 【高清课堂：定积分的简单应用 385155 例1】 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【思路点拨】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
4.1键盘操作■键盘布局
4-2
?键盘指示 键盘上共有5位七段LED监视器，一个LCD监视器和八个运行指示灯。其中LED可显示功能代码及当前功能代码对应的参数值，LCD可用中英文双语分别显示当前变频器的运行状态，及相关的功能代码对应的参数值。指示灯标明参数的单位，是否正在运行及运转方向等。 监视器LED监视器设定状态：显示功能代码或代码内容 停机状态：显示运行状态 故障状态：显示故障信息 LCD监视器设定状态：显示功能代码及代码内容 运行状态：显示运行状态 故障状态：显示故障信息 状态指示灯RUN 变频器处于运行状态时，此指示灯点亮。FWD 正转指示。在参数设定状态，指示端子Fud，F/r的状态。运行时，指示当前的运行方向。REV 反转指示。在参数设定状态，指示端子 REV,F/r的状态。运行时，指示当前运行方向。TRIP TRIP:故障指示。变频器发生故障时，此灯点 亮并闪烁。 功能指示灯FUN 指示设定参数（代码内容）与非设定参数（功 能代码）。当用户按PRG进入参数设定状态后， FUN点亮，指示或两键的操作对象。当用 户退出参数设定后，FUN灯自动熄灭。 单位指 示灯 Hz: 赫兹; Sec:秒; %:百分比
4.2参数修改 4.2.1变频器工作状态： 变频器共有四种工作状态（如图4-2所示）： 图4-3 四种工作状态切换图停机状态 运行状态 故障状态 运 行 设 定 状 态 故障信号 停 机 设 定 状 态 参数设定状态 RUN RUN STOP RESET STOP RESET STOP RESET PRG PRG PRG PRG [1]:运行状态：输出端子有电压,按键可查看设定频率、输出频率、输出电流、输出电压等。按“PRG”键进入设定状态，可查看所有参数，但只能在线修改一部分参数（详细情况参见功能码表说明）；按“STOP/RESET”键，变频器停止进入停机设定状态，此时可对绝大部分参数进行修改。 [2]:设定状态：本系列变频器提供两种设定状态：运行设定状态：变频器正在运行中，部分参数是不可修改的（详细情况参见功能码表）；停机设定状态，变频器待机，对所有可修改的参数都可进行修改。变频器在运行或停止时，按“PRG”键，可进入设定状态，当监视器显示内容为功能代码时，按“PRG”可返回到变频器原来所在状态。(注意：在运行设定状态，按“STOP”键变频器停止运行，进入停机设定状态；在停机设定状态，按RUN键变频器启动，进入运行设定状态。) [3]:故障状态：变频器在运行时，如果有外部设备或变频器内部出现故障或误操作，则变频器输出相关的故障代码，并封锁PWM输出。用户可通过STOP/RESET键进行复位，待消除故障后，再按“RUN”键运行变频器。注意：除必须复位外，变频器在故障状态参数查看或设置同设定状态参数查看或设置。 [4]:停机状态：变频器已经上电，但不执行任何操作，按“PRG”可进入参数设定状态进行参数设定；按“RUN”键可启动变频器，进入运行状态。 4-4
定积分的简单应用 海口实验中学陈晓玲 一、教材分析 “定积分的简单应用”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2－2第一章1.7的内容。从题目中可以看出，这一节教学的要求就是让学生在充分认识导数与积分的概念，计算，几何意义的基础上，掌握用积分手段解决实际问题的基本思想和方法，在学习过程中了解导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的实用价值以及数学在实际应用中的强大生命力。在整个高中数学体系中，这部分内容也是学生在高等学校进一步学习数学的基础。 二、教学目标（以教材为背景，根据课标要求，设计了本节课的教学目标） 1、知识与技能目标： （1）应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程问题； （2）学会将实际问题化归为定积分的问题。 2、过程与方法目标： 通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。 3、情感态度与价值观目标： 通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识运用于生活的意识。 三、教学重点与难点 1、重点：应用定积分解决平面图形的面积和变速直线运动的路程问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值。 2、难点：将实际问题化归为定积分的问题。 四、教学用具：多媒体 五、教学设计
教学环节教学设计师生 互动 设计意图 一、 创设情境 引出新课1、生活实例： 实例1：国家大剧院的主题构造 类似半球的构造，如何计算建造时中间玻璃段的使用面积？ 边缘的玻璃形状属于曲边梯形，要计算使用面积可以通过计算 曲边梯形的面积实现。 实例2：一辆做变速直线运动的汽车，我们如何计算它行驶的 路程？ 2、复习回顾： 如何计算曲边梯形的面积？ 3、引入课题： 定积分的简单应用 学生:观 察。 教师：启 发，引导 学生：思 考，回 忆。 学生：疑 惑，思 考，感 受。 教师：启 发，引 导。 学生：复 习，回忆 老师：引 入课题 数学源于生活，又服 务于生活。 通过对国家大剧院的 观察，创设问题情境，体 验数学在现实生活中的 无处不在，激发学生的学 习热情，引导他们积极主 动的参与到学习中来。 启发学生把物理问题 与数学知识联系起来，训 练学生对学科间的思维 转换和综合思维能力。 学生感受定积分的工 具性作用与应用价值。 在生活实例的启发 下，引导学生把所学知识 与实际问题联系起来，回 忆如何计算曲边梯形面 积。 这是这节课的知识基 础。 引入本节课的课题。 哎呀，里程表坏了，你 能帮我算算我走了多 少路程吗? x y o y f(x) = a b A ?=b a dx x f A) (
第六章 定积分的应用 （A ） 1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）221x y = 与822=+y x （两部分都要计算） 2）x y 1= 与直线x y =及2=x 3）x e y =，x e y -=与直线1=x 4）θρcos 2a = 5）t a x 3cos =，t a y 3sin = １、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的 面积
２、求对数螺线θρae =()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积 ３、求由曲线x y sin =和它在2π =x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 ４、由3x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体 的体积 ５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形 的立体体积 ６、计算曲线()x y -= 33 3上对应于31≤≤x 的一段弧的长度 ７、计算星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =的全长
８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ） 成正比，即：kS =→F （k 是比例常数），如果把弹簧原长拉伸6cm ， 计算所作的功 ９、一物体按规律3ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0 =x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功 １０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？ １１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边 与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力 １２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处 有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力 (B) 1、设由抛物线()022>=p px y 与直线p y x 2 3=+ 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积
1.7.1定积分在几何中的应用 教材分析 这一节的教学要求是让学生在充分认识导数与积分的概念、计算、几何意义的基础上，掌握用积分解决实际问题的基本思想和方法.在学习过程中，理解导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的使用价值以及数学在实际应用中的强大作用.在整个高中数学体系中，这部分内容也是进一步学习高 等数学的基础.教学方法是“问题诱导一一启发讨论一一探索结果”、“直观观察一一抽象归纳一一总结规 律”的一种研究性教与学的方法，过程中注重“诱、思、探、练”的结合，从而引导学生转变学习方式采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究地学习，形成师生互动的教学氛围.探究式的学习方法能 够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究. 课时分配 本课时是定积分应用部分的第一课时，主要解决的是平面图形的面积问题 教学目标 重点：应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值. 难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数 知识点：应用定积分解决平面图形的面积. 能力点：通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法. 教育点：在解决问题的过程中体会定积分的价值 自主探究点：探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法. 考试点：应用定积分解决平面图形的面积. 易错易混点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数 拓展点：链接咼考. 教具准备实物投影机和粉笔. 课堂模式基于问题驱动的诱思探究. 一、创设情境 1、求曲边梯形的思想方法是什么？（以直代曲，无限逼近） 2、定积分的几何意义是什么？ o - - cos 二-(-cosO) =2 , 若f(x)^O则表示面积 sin xdx = -cosx =f "sin xdx=—cosx ?=—cos2x —(—cosn) =-2，若f (x)兰0则表示面积相反数
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定积分的简单应用 一：教学目标 知识与技能目标 1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边 梯形的思想方法； 2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做 功）。 过程与方法 情感态度与价值观 二：教学重难点 重点曲边梯形面积的求法 难点定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线?Skip Record If...?和?Skip Record If...?所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢- 6 -
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢- 6 - 解：?Skip Record If...?，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=?Skip Record If...?，所以?Skip Record If...??Skip Record If...?=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四 个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 巩固练习 计算由曲线?Skip Record If...?和?Skip Record If...?所围成的图形的面积. 例2．计算由直线?Skip Record If...?，曲线?Skip Record If...?以及x 轴所围 图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线?Skip Record If...?与曲线?Skip Record If...?的交点的横坐标，直线?Skip Record If...?与 x 轴的交点． 解：作出直线?Skip Record If...?，曲线?Skip Record If...?的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积． 解方程组?Skip Record If...? 得直线?Skip Record If...?与曲线?Skip Record If...?的交点的坐标为（8,4) . 2x y =y x = A B C D O
§1.7定积分的简单应用（二课时） 一：教学目标 知识与技能：初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；让学生深刻理解定积 分的几何意义以及微积分的基本定理。 过程与方法：进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方 法 情感态度与价值观：体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）， 培养学生唯物主义思想。 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程：（第一课时） 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解：2 01y x x y x ?=?==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积 S=1 20 0x dx = -? ? ，所以 ?1 20S =x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 巩固练习 计算由曲线3 6y x x =-和2 y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =- ，曲线y = x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形 2 x y =y x A B C D O
第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、 旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均 值等）。 教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面 面积为已知的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6.1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) ( 是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A)( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以
[a , b ]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A )( . 一般情况下, 为求某一量U , 先将此量分布在某一区间[a , b ]上, 分布在[a , x ]上的量用函数U (x )表示, 再求这一量的元素dU (x ), 设dU (x )=u (x )dx , 然后以u (x )dx 为被积表达式, 以[a , b ]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U )(. 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法). §6. 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为 dx x f x f S b a ?-=)]()([下上. 类似地, 由左右两条曲线x =?左(y )与x =?右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为 ?-=d c dy y y S )]()([左右??. 例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积.
定积分的简单应用导 学案
定积分的简单应用导学案 学科：高二数学课型：新授课课时：2课时编写时间：2013－3－15 编写人：邓朝华审核人：陈平班级：姓名： 【导案】 【学习目标】 1．熟练掌握应用定积分求解平面图形的面积问题。 2．掌握应用定积分解决变速直线运动的路程和变力做功等问题。 3．培养学生的建模水平和解决实际问题的能力。 【学习重难点】 重点：应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力做功等问题使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值。 难点：将实际问题化归为定积分的问题。 【学案】 1．计算平面图形面积的一般步骤 在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先____________，再借助 ________________直观确定出____________________以及积分的____________。 2．变速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a, b]上的定积分，即s=____________________________. 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢10
3．变力作功 （1）恒力F的作功公式 一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所作的功为____________。 （2）变力F(x)的作功公式 如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(a＜b)，那么变力F(x)所作的功为W=________________。 4．例题分析 【例1】计算由曲线y2=x, y=x2所围图形的面积S。 【例2】计算由直线y=x-4，曲线 以及x轴所围图形的面积S. 【例3】一辆汽车的速度-时间曲线如图所示。求汽车在这1min行驶的路程。 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢10
台达VFD-M系列变频器常用参数： 一：与参数相关的功能键： 该系列变频器面板上的ENTER键可用于参数修改确认保存功能。 MODE键为功能切换键，在待机或运行时可用于切换要显示的频率、电流等值，也可切换到参数界面。 二：控制回路端子功能： （注：M0~M5只有SNK拉电流模式，不可以使用外部电源。） RA/RB-RC：多功能指示输岀继电器接点. M0~M2-GND：正转、反转、异常复位. M3~M5-GND：多段速指令输入. AVI-+10V-GND（0~10VDC）：外接调速电位器（3~5千欧姆）. AVI-GND（0~10VDC）：模拟电压输入. ACI-GND（4~20mA）：模拟电流输入. MO1（接正极）-MCM（接负极）：多功能光耦合输出接点. AFM-GND（0~10vDC）：模拟输岀 三：常用参数： *1*P00/P142：主频/第二频率来源： 《00：面板按键 01：AVI：DC0~10v 02：ACI：DC4~20mA 03：RS485通讯 04：面板电位器》 *2*P01：运转指令來源： 《00：面板 01/02：外部端子（二线式模式1时端子M0、M1作正、反转功能；二线式模式2时M0作启动功能，M1作正反转切换功能；三线式模式时M0作启动功能，M2接常闭作停止功能，M1作正反转切换功能。） 03/04：通讯》 *3*P02：停车方式： 《00：减速刹车 01：自由运转》 *4*P03/08：最高/最低操作频率 *5*P10/P11：第一加/减速时间
*6*P12/p13：第二加/减速时间 *7*P24：禁止反转功能： 《00：可反转 01：禁止反转》 *8*P26/p27：加速/运转中过电流检岀位准：《20~200%》 *9*P38：多功能端子M0、M1、功能： 《02：三线式运转》 *10*P39/P40/P41/P42：多功能端子M2/M3/M4/M5功能： 《14/15：频率递增/减 28：频率指令來源由P00切换到P142》 *11*P43/P44：模拟输岀端子AFM（DC0~10V输岀）信号/增益（0~200%）选择：《00/01：模拟频率/输岀电流 02：PID回授信号输岀 03：输岀功率》 *12*P45/P46：M01/RELAY输岀端子功能： 《00：运行中指示 07：故障指示 22/23：随正转/反转命令闭合 24：零速含停机闭合》 *13*P52：电机额定电流 *14*P59：电子热动电驿动作时间：《30~300秒》 *15*P58：电子热动驿选择： 《00：以标准电机动作 01：以特殊电机动作 02：不动作》 *16*P60：过转矩检岀功能： 《00：不检测 01/02：定速运行中检测，oL2动作后继续/停止运行 03/04：加速运行中检测，oL2动作后继续/停止运行》 *17*P61：过转矩检岀准位：《30~200%额定电流》 *18*P62：过转矩检岀时间：《0.1~10秒》