第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答
2017年9月16日
一、（40分）一个半径为r 、质量为m 的均质实心小圆柱被置于一个半径为R 、质量为M 的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如图所示。重力加速度大小为g 。试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率： （1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动； （2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内
底部附近作无滑滚动。 解： （1）如图，θ为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角。小圆柱受三个力作用：重力，圆筒对小圆柱的支持力和静摩擦力。设圆筒对小圆柱的静摩擦力大小为F ，方向沿两圆柱切点的切线方向（向右为正）。考虑小圆柱质心的运动，由质心运动定理得
sin F mg ma θ-= ①
式中，a 是小圆柱质心运动的加速度。由于小圆柱与圆筒间作无滑滚动，小圆柱绕其中心轴转过的角度1θ（规定小圆柱在最低点时10θ=）与θ之间的关系为
1()R r θθθ=+ ② 由②式得，a 与θ的关系为 22122()d d a r R r dt dt
θθ
==- ③
考虑小圆柱绕其自身轴的转动，由转动定理得
21
2d rF I dt
θ-= ④
式中，I 是小圆柱绕其自身轴的转动惯量
21
2
I mr = ⑤
由①②③④⑤式及小角近似
sin θθ≈ ⑥ 得
22203()
θθ+=-d g
dt R r ⑦
由⑦式知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为
f =
⑧
（2）用F 表示小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小，1θ和2θ分别为小圆柱与圆筒转过的角度（规定小圆柱相对于大圆筒向右运动为正方向，开始时小圆柱处于最低点位置120θθ==）。
对于小圆柱，由转动定理得
2
21
212θ??-= ???d Fr mr dt
⑨
对于圆筒，同理有
222
2()θ=d FR MR dt
⑩
由⑨⑩式得
22122221θθ??
-+=- ???
d d F r R m M dt dt ?
设在圆柱横截面上小圆柱质心到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角θ，由于小圆柱与圆筒间做无滑滚动，有
12()θθθθ=+-R r R ? 由?式得
22212
222()θθθ-=-d d d R r r R dt dt dt
?
设小圆柱质心沿运动轨迹切线方向的加速度为a ，由质心运动定理得 sin F mg ma θ-= ? 由?式得
22()θ
=-d a R r dt
?
由????式及小角近似sin θθ≈，得
22203d M m g
dt M m R r
θθ++=+- ?
由?式可知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为
f =
?
评分参考：第（1）问20分，①②式各3分，③式2分，④式3分，⑤⑥式各2分，⑦式3分，⑧式2分；第（2）问20分，⑨⑩?式各2分，?式3分，???式各2分，?式3分，?式2分。 二、（40分）星体P （行星或彗星）绕太阳运动的轨迹为圆锥曲线
1cos k
r εθ
=+ 式中，r 是P 到太阳S 的距离，θ是矢径SP 相对于极轴SA 的夹角（以逆时针方向为正），22L k GMm =, L 是P 相对于太阳的角动量，113126.6710m kg s G ---=???为引力常量，301.9910kg M ≈?为太阳的质量，
εm 和E 分别为P 的质量
和机械能。假设有一颗彗星绕太阳运动的轨道为抛物线，地球绕太阳运动的轨道可近似为圆，
两轨道相交于C 、D 两点，如图所示。已知地球轨道半径11E 1.4910m R ≈?，彗星轨道近日点A 到太阳的距离为地球轨道半径的三分之一，不考虑地球和彗星之间的相互影响。求彗星 （1）先后两次穿过地球轨道所用的时间； （2）经过C 、D 两点时速度的大小。
已知积分公式()()3/21/2
223
x a a x a C =+-++，式中C 是任意常数。
解：
（1）由题设，彗星的运动轨道为抛物线，故
1, 0E ε== ① 彗星绕太阳运动的轨道方程为：
1cos k
r θ
=+ ②
彗星绕太阳运动过程中，机械能守恒
()2
221022L mr V r E mr
++==& ③ 式中
()Mm
V r G r
=- ④
当彗星运动到近日点A 时，其径向速度为零，设其到太阳的距离为min r ，由③式得 ()2min 2
min min
2L Mm
V r G mr r =-= ⑤ 由⑤式和题给条件得
2E
min 2
23
L R r GMm == ⑥ 由③式得
dr dt =
或
dt = ⑦
设彗星由近日点A 运动到与地球轨道的交点C 所需的时间为t ?，对⑦式两边积分，并利用⑥式得
E E R R r t ?==? ⑧ 对⑧式应用题给积分公式得
3/21/2
E E E E E 22 3333 R t R R R R R ?=??????=
-+-?? ? ??
????=
⑨
由对称性可知，彗星两次穿越地球轨道所用的时间间隔为
2T t =?=⑩
将题给数据代入⑩式得
66.4010s T ≈? ? （2）彗星在运动过程中机械能守恒
2102GMm
m E r
-==v ?
式中v 是彗星离太阳的距离为r 时的运行速度的大小。由?式有
=
v ? 当彗星经过C 、D 处时
C D E r r R == ? 由??式得，彗星经过C 、D 两点处的速度的大小为
C D =v v ? 由?式和题给数据得
4C D 4.2210m/s ==?v v ?
评分参考：第（1）问28分，①式4分，②式2分，③式4分，④式2分，⑤式4分，⑥⑦⑧⑨⑩?式各2分；第（2）问12分，?式4分，????式各2分。
三、（40分）一质量为M 的载重卡车A 的水平车板上载有一质量为m 的重物B ，在水平直公路上以速度0v 做匀速直线运动，重物与车厢前壁间的距离为L （0L >）。因发生紧急情况，卡车突然制动。已知卡
车车轮与地面间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为1μ，重物与车厢底板间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为2μ（21μμ<）。若重物与车厢前壁发生碰撞，则假定碰撞时间极短，碰后重物与车厢前壁不分开。重力加速度大小为g 。
（1）若重物和车厢前壁不发生碰撞，求卡车从制动开始到卡车停止的过程所花的时间和走过的路程、重物从制动开始到重物停止的过程所花的时间和走过的路程，并导出重物B 与车厢前壁不发生碰撞的条件；
（2）若重物和车厢前壁发生碰撞，求卡车从制动开始到卡车和重物都停止的过程所经历的时间、卡车走过的路程、以及碰撞过程中重物对车厢前壁的冲量。 解：
（1）若重物和车厢前壁不发生碰撞。
卡车在水平直公路上做匀减速运动，设其加速度大小为1a 。由牛顿第二定律有
121()M m g mg Ma μμ+-= ①
由①式得
1121()M m
a g M
μμμ+-=
由匀减速运动公式，卡车从制动开始到静止时所用的时间1t 和移动的距离1s 分别为
0011112()M
t a M m g μμμ==+-v v ，22
0011112
2()2M s a M m g μμμ==+-v v ② 重物B 在卡车A 的车厢底板上做匀减速直线运动，设B 相对于地面的加速度大小为2a 。
由牛顿第二定律有
22mg ma μ= ③
由③式得
222mg
a g m
μμ=
=
从卡车制动开始到重物对地面速度为零时所用的时间2t 和重物移动的距离2s 分别为 00222t a g
μ==v v ， 2
2
0022222v v
μ==s a g ④
由于21μμ<，由②④二式比较可知，12t t >，即卡车先停，重物后停。 若21s s L ≤+，重物B 与车厢前壁不会发生碰撞，因此不发生碰撞的条件是
222
000
1221212112()()22[()]2M m L s s a a M m g
μμμμμμ-+≥-=-=+-v v v ⑤ （2）由⑤式知，当满足条件
2
12212112()()2[()]M m L s s M m g
μμμμμμ-+<-=+-v
时，重物B 与车厢前壁必定发生碰撞。
设从开始制动到发生碰撞时的时间间隔为t ，此时有几何条件
21()()s t s t L =+ ⑥
这里又可分为两种情况：12t t t >>（重物在卡车停下后与车厢前壁发生碰撞）和1t t ≤（重物在卡车停下前与车厢前壁发生碰撞）。
（i ）12t t t >>，即卡车A 在1t 时停下，重物B 继续运动，在t 时与车厢前壁发生碰撞。
卡车停下的时间和向前滑动的距离是②给出的1t 和1s ，同时重物相对于地面向前滑动的距离是
[][]22
01212
121202
1121
2
(2)2() 2()s t a t M M m g M m μμμμμμμ'=--+-=
+-v v ⑦ 重物相对于车厢向前滑动的距离是
[][][]22
121200212
11211220
122112(2)2()2()2()()() 2()M M m M
s s g M m g M m M m M g
M m μμμμμμμμμμμμμμμ-+-'-=-
+-+--+=
+-v v v
如果
2121s s L s s '-<<-， 即当
22
1200
1221122112()()()()2[+()]2[()]v v μμμμμμμμμμμ-+-+<<-+-m M M M m L M m g M m g
满足时，在车已停稳后重物仍会向前运动并且撞上车厢前壁。
从制动到重物B 与车厢前壁碰撞前，重物B 克服摩擦力做功。设在碰撞前的瞬间重物B 相对地面的速度为2v ，由动能定理有
22
202111()22m m mg s L μ=-+v v ⑧
由⑧式得
2=
v 设碰撞后瞬间重物B 与卡车A 的速度均为v ，由于碰撞时间极短，碰撞前后动量守恒 2()m m M =+v v ⑨ 由⑨式得
2m m M =
=+v v 碰撞过程中重物B 对车厢前壁的冲量为
0I M =-v ⑩
碰撞后，卡车和重物又一起运动了一段时间
()2
11m t g m M g
μμ'==+v v ? 再移动了一段路程
2
22
12012211112()()222()()M m m s gL g m M g M m μμμμμμμμ??-+'=-??++-??
v v = ? 才最终停止下来（对于卡车而言，这是第二次停下来）。 重物撞上车厢前壁的时间是
0222t g
μ-'=v v ?
所以，从卡车制动到车和重物都停下所用的总时间为
(i)02022
2
21221021()() m m
t t t g g M m g g g M m g μμμμμμ??-''=+=+=--??++??
=
v v v v v v ?
卡车移动的总路程则为
22
2(i)
112021112
11121[()()]=+2()[()]()M m M m m L s s s m M M m g m M μμμμμμμμμ++-'=-++-+v ? （ii ）1t t ≤，即卡车还未停下，重物就与车厢前壁发生碰撞 由⑨式的推导可知，条件1t t ≤可写成
2
120
2112()()2[()]v μμμμμ-+≤+-m M M L M m g
由匀减速运动学公式，⑥式成为
22020111
()22
v v -=-+t a t t a t L
解得碰撞发生的时间
=
=t 在碰撞前的瞬间，卡车A 的速度1
'v 和重物B 的速度2'v 分别为
1
010v v v '=-=-a t a
，2020v v v '=-=-a t a ?
由碰撞前后动量守恒，可得碰撞后重物B 和卡车A 的共同速度'v 为
2100m M m M μ''+'==-+=-v v v v v ?
由冲量定理和以上两式得碰撞过程中重物B 对车厢前壁的冲量为
1
()I M '''=-=v v ?
卡车运动时间为碰撞前后的两段时间之和，由t =?式可得
(ii)011t t g g
μμ'
=+
=v v ? 卡车总路程等于碰前和碰后两段路程之和
22(ii)
20101111222mL s t a t g g M m
μμ'=++=-+v v v ?
[另解，将卡车和重物视为一个系统，制动过程中它们之间的摩擦力和碰撞时的相互作用力
都是内力，水平外力只有地面作用于卡车的摩擦力
1)M m g μ+（。在此力作用下系统质心做加速度大小为g 1μ的匀减速运动，从开始到卡车和重物都停止时所经历的时间为
(ii)01t g
μ=v
?
系统质心做匀减速运动的路程为
20
12c x =g μ?v
设制动前卡车和重物的质心分别位于1x 和2x ；制动后到完全停下卡车运动了路程(ii)1s ，两个
质心分别位于(ii)111x x s '=+和(ii)
2
21+x x s L '=+。于是有 2(II)
0121211()=2c Mx mx Mx mx M m s mL
x M m M m M m g
μ''++++?-==+++v
由此解得
2(ii)
0112mL s g M m
μ=-+v ? ]
评分参考：第（1）问10分，①②③④⑤式各2分；第（2）30分，⑥式2分，⑦⑧⑨⑩?????式各2分，?????式各2分。
四、（40分）如俯视图，在水平面内有两个分别以O 点与O 1点为圆心的导电半圆弧内切于M 点，半圆O 的半径为2a ，半圆O 1的半径为a ；两个半圆弧和圆O 的半径ON 围成的区域内充满垂直于水平面向下的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为B ；其余区域没有磁场。半
径OP 为一均匀细金属棒，以恒定的角速度ω 绕O 点顺
时针旋转，旋转过程中金属棒OP 与两个半圆弧均接触良好。已知金属棒OP 电阻为R ，两个
半圆弧的电阻可忽略。开始时P 点与M 点重合。在t （π
0t ω
≤≤）时刻，半径OP 与半圆O 1
交于Q 点。求
（1）沿回路QPMQ 的感应电动势；
（2）金属棒OP 所受到的原磁场B 的作用力的大小。 解：
（1）考虑从初始时刻0t =至时刻π
02t ω
≤≤
，金属棒OP 扫过的磁场区域的面积为 11O QO OPM O QM S S S S ?=--扇形扇形 ①
式中，OPM S 扇形、1O QM S 扇形和1O QO S ?分别是扇形OPM 、扇形O 1QM 和1O QO ?的面积。由几何关系得
2OPM 1
()(2)2S t a ω=扇形 ②
12O QM 1
(2)2S t a ω=扇形 ③
1O QO (sin )(cos )S a t a t ωω?= ④ 由①②③④式得
21
(2sin2)2S t t a ωω=- ⑤
通过面积S 的磁通量为
BS φ= ⑥ 由法拉第电磁感应定律得，沿回路QPMQ 的感应电动势为 d dt
φ
ε=-
⑦ 式中，负号表示感应电动势沿回路逆时针方向（即沿回路QPMQ ）。由⑤⑥⑦式得 2π
(1cos2), 02
t a B t εωωω=--≤≤
⑧
1
当
ππ2t ωω≤≤时，沿回路QPMQ 的感应电动势与π
2t ω
=
时的一样，即 2π
2,
π2
a B t εωω=-≤≤ ⑨ （2）在t 时刻流经回路QPMQ 的电流为 1
i R ε
= ⑩
式中
12L
R R
a
= ? 这里，L 为PQ 的长。由几何关系得 π
22cos , 02
L a a t t ωω=-≤≤ ? π
2,
π2
L a t ω=≤≤ ?
半径OP 所受到的原磁场B 的作用力的大小为
F iLB = ? 由⑧⑩???式得
322π(1cos2), 02a B F t t R ωωω=-≤≤ ?
由⑨⑩???式得
324π
, π.2a B F t R ωω=≤≤ ?
评分参考：第（1）问22分，①②③④⑤式各2分，⑥⑦式各4分，⑧⑨式各2分；
第（2）问18分，⑩式4分，???式各2分，?式4分，??式各2分。
五、（40分）某种回旋加速器的设计方案如俯视图a 所示，图中粗黑线段为两个正对的极板，其间存在匀强电场，两极板间电势差为U 。两个极板的板面中部各有一狭缝（沿OP 方向的狭长区域），带电粒子可通过狭缝穿越极板（见图b ）；两细虚线间（除开两极板之间的区域）既无电场也无磁场；其它部分存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面。在离子源S 中产生的质量为m 、带电量为q （0q >）的离子，由静止开始被电场加速，经狭缝中的O 点进入磁场区域，O 点到极板右端的
距离为D ，到出射孔P 的距离为bD （常数b 为大于2的自然数）。已知磁感应强度大小在零到max B 之间可调，离子从离子源上方的O 点射入磁场区域，最终只能从出射孔P 射出。假设如果离子打到器壁或离子源外壁则即被吸收。忽略相对论效应。求 （1）可能的磁感应强度B 的最小值； （2）磁感应强度B 的其它所有可能值； （3）出射离子的能量最大值。 解：
（1）设离子从O 点射入磁场时的速率为v ，由能量守恒得
21
2qU m =v ①
由①式得
v ② 设离子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r ，有
2
qB m r =v v ③
由②③式得
r ④
图a
图b
若
2bD r >
或 22
D bD r << 则离子只能打到器壁或离子源外壁被吸收，不能从P 射出。若离子从O 射出后只运动半个圆周即从P 射出，则
2
bD
r =
⑤ 将⑤式代入④式得，电子能够从P 出射，可能的磁感应强度B 的最小值为
min B =⑥
（2）若
2
D r <
则离子将穿过上极板进入电场区域，被减速到零后，又重新反向加速至进入时的速率，从进入处再回到磁场区域。设这样的过程进行了k 次，然后离子将绕过两极板右端从下极板进入电场区域被加速，再穿过上极板进入磁场时能量增加到2qU ，运动半径增加到
1r = ⑦ 这样加速n 次后，离子做圆周运动的半径n r 为
n r = ⑧ 当满足条件
)2
n bD
kr r k r +== ⑨ 或
r =
时，离子可从P 处射出。另一方面，显然有1k ≥，且
22(1)kr D k r ≤<+ ⑩
解得
2(1)2D D
r k k
<≤+ ?
由⑨⑩?式有
)
)
2(1)
2
2D bD D k k k k
+<
≤++ ?
解得
222
(1)1[(1)]1b k n b k b --≤<-+- ? 由④?式可得
max
22
D a k r ≤
=
≡
?
式中max r 是当max B B =时由④式定出的。因此k 为不大于
2
a 的最大自然数2a ??
????
2a k ??
????
≤ ?
由④⑨式知，磁感应强度B 的其它所有可能值为
B ==
?
式中 {}{}{}2222222222222222
222
2
2
2221(1)1(1)(1)1212
2(1)21(1)2(1)212(1)23
(1)31
(1)3(1)313(1)2
(1)1(1)(1)1
(1)2222
2k n
b b b b b b b b b b b b b b a a a a a b b b b b ----+------+-+-----+-+-????????????----+-+??????????????????
??
????
2
2- ?
（3）离子被电场加速了1n +次后，其出射能量为
(1)E n qU =+ ?
对于满足?式的k ，n 可以取到最大值为2[(1)]2b k b -+-，再由?式，可得出射离子的能量最大值为
2
max max
(1)(1)12b b a E n qU qU -+????
????=+=-??????????????
?
评分参考：第（1）问12分，①②③④⑤⑥式各2分；第（2）问23分，⑦⑧式各2分，⑨式4分，??????式各2分，?式3分；第（3）问5分，?式3分，?式2分。
六、（40分）1914年，弗兰克-赫兹用电子碰撞原子的方法使原子从低能级激发到高能级，从而证明了原子能级的存在。加速电子碰撞自由的氢原子，使某氢原子从基态激发到激发态。该氢原子仅能发出一条可见光波长范围（400nm 760nm ）内的光谱线。仅考虑一维正碰。 （1）求该氢原子能发出的可见光的波长； （2）求加速后电子动能k E 的范围；
（3）如果将电子改为质子，求加速质子的加速电压的范围。
已知1240nm eV hc =?，其中h 为普朗克常数，c 为真空中的光速；质子质量近似为电子质量的1836倍，氢原子在碰撞前的速度可忽略。 解：
（1）由氢原子的能级公式
213.6eV
, 1,2,
n E n n =-= ①
可得氢原子的能级图如图所示。
可见光光子能量的上限1E '和下限2
E '分别为 11
1240nm eV
3.10eV 400nm hc
E λ?'=
== ②
2
2
1240nm eV
1.63eV 760nm
hc
E λ?'==
= ③
要能观察到可见光范围内的光谱线，发生跃迁的两能级的能量之差应在可见光的能量范围
1.63eV ~3.10eV ④
内。要仅能观察到一条可见光范围内的光谱线，由氢原子的能级图可知，只能将氢原子激发到第二激发态，即能级
3n = ⑤ 氢原子第二激发态（3n =）到第一激发态（2n =）的能量差为
3232( 1.51eV)( 3.4eV) 1.89eV E E E =-=---= ⑥ 氢原子从第二激发态跃迁到第一激发态所发出的可见光的波长为
32
656nm hc
E λ=
= ⑦ （2）要使氢原子能激发到能级3n =，需要提供的能量至少为
3131( 1.51eV)(13.60eV)12.09eV E E E =-=---= ⑧
设电子质量为e m ，电子碰撞前后的速度分别为1v 和2v ，氢原子碰撞前后的速度分别为10
u ≈-13.6
-3.40
-1.51
-0.850ev
（由题意）和2u ，电子因激发氢原子而损失的能量为E ?（被氢原子吸收为激发能）。由动量和能量守恒有
e 1e 22m m Mu =+v v ⑨
222e 1e 22111222m m Mu E =++?v v ⑩
由⑨⑩式消去2u ，得
222e e 2e 12e e 1()2()20m M m m m m M M E +-+-+?=v v v v ?
此式是关于2v 的一元二次方程。注意到2v 为实的常量，故方程?的系数应满足条件
222
e 1e e e e 1(2)4()[()2]0m m M m m m M M E --+-+?≥v v ?
化简得
2
e e 11(1)2k m E m E M ≡≥+?v ?
要使原子从基态仅激发到第二激发态，E ?应满足
3141E E E ≤?< ? 式中31E 已由⑧式给出，而
4141(0.85eV)(13.60eV)12.75eV E E E =-=---= ? 由???式得
e e 31k 41(1)(1)m m
E E E M M
+≤<+ ?
由?式和题给条件得
k 12.10eV 12.76eV E ≤< ? （3）如果将电子改为质子，?式成为
p p 3141(1)(1)k m m E E E M
M
+
≤<+
?
式中p m 为质子的质量。由?式和题给条件得
k 24.17eV 25.49eV E ≤< ? 设加速质子的加速电压为V 。由
k eV E = （e 为质子电荷） 和?式得
24.17V <25.49V V ≤ ?
评分参考：第（1）问14分，①②③④⑤⑥⑦式各2分；第（2）问20分，⑧⑨式各2分，⑩式各3分，?式2分，?式4分，?式2分，?式1分，??式各2分；第（3）问6分，???式各2分。
七、（40分）如气体压强-体积图所示，摩尔数为ν的双原子理想气体构成的系统经历一正循环过程（正循环指沿图中箭头所示的循环），其中自A 到B 为直线过程，自B 到A
为等温过程。双原子理想气体的定容摩尔热容为52R ， R
为气体常量。
（1）求直线AB 过程中的最高温度；
（2）求直线AB 过程中气体的摩尔热容量随气体体积变化的关系式，说明气体在直线AB 过程各段体积范围内是吸热过程还是放热过程，确定吸热和放热过程发生转变时的温度c T ； （3）求整个直线AB 过程中所吸收的净热量和一个正循环过程中气体对外所作的净功。 解：
（1）直线AB 过程中任一平衡态的气体压强p 和体积V 满足方程 0
000
00
222
V V P P P V P V -
-=
-- 此即
000
3
2P P P V V =
- ① 根据理想气体状态方程有
PV RT ν= ②
式中T 是相应的绝对温度。由①②式得
2
20000
000013392416P P PV T V PV V V R V RV R ννν??-??=-+=-+ ? ?
????
③ 由③式知，当
03
4V V = ④
时，气体达到直线AB 过程中的最高温度 00
max 916PV T R
ν=
⑤ （2）由直线AB 过程的摩尔热容量m C 的定义有
m dQ C dT ν= ⑥ 由热力学第一定律有
dU dQ PdV =- ⑦ 由理想气体内能公式和题给数据有
P 0P
52
V R
dU C dT dT νν== ⑧ 由①⑥⑦⑧⑨式得
0m 0053
122V P P dV dV C C R P V dT V dT νν??=+=+- ?
??
⑨ 由③式两边微分得
0002(34)
RV dV
dT P V V ν=
- ⑩ 由⑩式代入⑨式得
0m 02124342
V V R
C V V -=
- ?
由⑥⑩?式得，直线AB 过程中， 在V 从
02V 增大到03
4
V 的过程中，m 0C >，0dT dV >，故0dQ dV >，吸热 ? 在V 从03
4V 增大到02124V 的过程中，m 0C <，0dT dV <，故0dQ dV >，吸热 ?
在V 从
02124
V 增大到0V 的过程中，m 0C >，0dT dV <，故0dQ
dV <，放热 ?
由???式可知，系统从吸热到放热转折点发生在
c 021
24
V V V ==
处。由③式和上式得
2000
c 001335264P PV T V PV R V R νν??=
-+= ???
? （3）对于直线AB 过程，由⑥⑩式得 0m
0000
212421644V V dT V
dQ C dV P dV P dV dV V V ν-??
===- ???
?
将上式两边对直线过程积分得，整个直线AB 过程中所吸收的净热量为 0
00
200000
0/2/22162133448V V V V V
V Q P dV P V PV V V ????
=-
=-= ? ??
????直线 ? 直线AB 过程中气体对外所作的功为
00000013
()()2228P V W P V PV =+-=直线 ?
等温过程中气体对外所作的功为
000
/2
/2
0000
ln 222
V V V V V PV
dV W PdV P V =
=
=-?
?
等温 ?
一个正循环过程中气体对外所作的净功为
003ln2
()82W W W PV =+=-直线等温 ?
评分参考：第（1）问10分，①②式各3分，④⑤式各2分；第（2）问20分，⑥⑦⑧⑨⑩?????式各2分；第（3）问10分，?????式各2分。
八、（40分）菲涅尔透镜又称同心圆阶梯透镜，它是由很多个同轴环带套在一起构成的，其迎光面是平面，折射面除中心是一个球冠外，其它环带分别是属
于不同球面的球台侧面，其纵剖面如右图所示。这样的结构可以避免普通大口径球面透镜既厚又重的缺点。菲涅尔透镜的设计主要是确定每个环带的齿形（即它所属球面的球半径和球心），各环带都是一个独立的（部分）球面透镜，它们的焦距不同，但必须保证具有共同的焦点（即图中F 点）。已知透镜材料的折射率为n ，从透镜中心O （球冠的顶点）到焦点F 的距离（焦距）为f （平行于光轴的平行光都能经环带折射后会聚到F 点），相邻环带的间距为d （d 很小，可忽略同一带内的球面像差；d 又不是非常小，可忽略衍射效应）。求 （1）每个环带所属球面的球半径和球心到焦点的距离； （2）该透镜的有效半径的最大值和有效环带的条数。 解：
（1）考虑单个球面的折射。如图，设某一与光轴距离为h 的光线平行于光轴Z 从折射率为n 的介质中射向半径为R 、球心位于C 点的球面，入射点为球面上的A 点，CA 为球面半径，入射角为α，球面外是空
气，折射角为β，折射线与Z 轴交点为F 。由A 作Z 轴的垂线，垂足为O 。由折射定律，有 sin sin n βα=， ① 在ACF ?中，由正弦定理有
α
βsin AF
sin CF = ② 在AOF ?中，由勾股定理有 22OF AO AF +=
③
F
Z
22AO CO CA +==R ④
又
OF CF CO -=，h =AO ，f =OF ， ⑤ 由①②③④⑤式得
2
2
CF f
h n += ⑥
R ==⑦
在制作给定焦点和焦距的菲涅尔透镜时，应按⑥⑦式来确定各环带球面的球心位置和球半径，即对第k （0,1,2,
k =）个环带球台，其球心在光轴上与焦点的距离应为
C F k =⑧ 球半径则为
k R =⑨
特别地，位于透镜中心的环带（0k =）球心与焦点距离为
0C F nf = ⑩ 球半径为
0(1)R n f =- ?
（2）当f 不变而h 取某一值m h 时，图中CAF ∠成为直角，这意味着光线的入射角达到全反射的临界角C α。在此情况下有
C 1sin n α=?
由?式得
m h = ?
这就是透镜能够达到的最大有效半径。透镜的最大有效环带数m k
的最
大整数
m k = ?
评分参考：第（1）问27分，①式5分，②③④⑤⑥⑦⑧式各2分，⑨式4分，⑩?式各2分；第（2）问13分，?式5分，??式各4分。
第届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
第23届全国中学生物理竞赛复赛试卷 一、（23分）有一竖直放置、两端封闭的长玻璃管，管内为真空，管内有一小球自某处自由下落（初速度为零），落到玻璃管底部时与底部发生弹性碰撞．以后小球将在玻璃管内不停地上下跳动。现用支架固定一照相机，用以拍摄小球在空间的位置。每隔一相等的确定的时间间隔T 拍摄一张照片，照相机的曝光时间极短，可忽略不计。从所拍到的照片发现，每张照片上小球都处于同一位置。求小球开始下落处离玻璃管底部距离（用H 表示）的可能值以及与各H 值相应的照片中小球位置离玻璃管底部距离的可能值。 二、（25分）如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l ，两端和中心处分别固连着质量为m 的小球B 、D 和C ，开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为M 的小球A ，以一给定速度0v 沿垂直于杆DB 的方间与右端小球B 作弹性碰撞。求刚碰后小球A,B,C,D 的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。 三、（23分）有一带活塞的气缸，如图1所示。缸内盛有一定质量的气体。缸内还有一可随轴转动的叶片，转轴伸到气缸外，外界可使轴和叶片一起转动，叶片和轴以及气缸壁和活塞都是 绝热的，它们的热容量都不计。轴穿过气缸处不漏气。 如果叶片和轴不转动，而令活塞缓慢移动，则在这 种过程中，由实验测得，气体的压强p 和体积V 遵从以下的过程方程式 图1 其中a ,k 均为常量, a ＞1（其值已知）。可以由上式导出，在此过程中外界对气体做的功为 式中2V 和1V ,分别表示末态和初态的体积。 如果保持活塞固定不动，而使叶片以角速度ω做匀角速转动，已知在这种过程中，气体的压强的改变量p ?和经过的时间t ?遵从以 图2 下的关系式 式中V 为气体的体积，L 表示气体对叶片阻力的力矩的大小。 上面并没有说气体是理想气体，现要求你不用理想气体的状态方程和理想气体的内能只与温度有关的知识，求出图2中气体原来所处的状态A 与另一已知状态B 之间的内能之差（结果要用状态A 、B 的压强A p 、B p 和体积A V 、B V 及常量a 表示） 四、（25分）图1所示的电路具有把输人的交变电压变成直流电压并加以升压、输出的功能，称为整流倍压电路。图中1D 和2D 是理想的、点接触型二极管（不考虑二极管的电容），1C 和2C 是理想电容器，它们的电容都为C ，初始时都不带电，G 点接地。现在A 、G 间接上一交变电源，其电压A u ，随时间t 变化的图线如图2所示．试
第 27 届全国中学生物理竞赛复赛试卷 本卷共九题，满分 160 分．计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤．只写出最后结果的不能得分．有数字计算的题．答案中必须明确写出数值和单位．填空题把答案填在题中的横线上，只要给出结果，不需写出求解的过程． 一、（ 15 分）蛇形摆是一个用于演示单摆周期与摆长关系的实验仪器（见图）．若干个摆球位于同一高度并等间距地排成一条直线，它们 的悬挂点在不同的高度上，摆长依次减小．设重 力加速度 g = 9 . 80 m/ s2 , 1 ．试设计一个包含十个单摆的蛇形摆（即求 出每个摆的摆长），要求满足： ( a ）每个摆的 摆长不小于 0 . 450m ，不大于1.00m ; ( b ） 初始时将所有摆球由平衡点沿 x 轴正方向移动 相同的一个小位移 xo ( xo <<0.45m ) ，然后同 时释放，经过 40s 后，所有的摆能够同时回到初 始状态． 2 ．在上述情形中，从所有的摆球开始摆动起，到它们的速率首次全部为零所经过的时间为________________________________________. 二、（ 20 分）距离我们为 L 处有一恒星，其质量为 M ，观测发现其位置呈周期性摆动，周期为 T ，摆动范围的最大张角为△θ．假设该星体的周期性摆动是由于有一颗围绕它作圆周运动的行星引起的，试给出这颗行星的质量m所满足的方程． 若 L=10 光年， T =10 年，△θ = 3 毫角秒， M = Ms （Ms为太阳质量），则此行星的质量和它运动的轨道半径r各为多少？分别用太阳质量 Ms 和国际单位 AU （平均日地距离） 作为单位，只保留一位有效数字．已知 1 毫角秒=1 1000角秒，1角秒= 1 3600 度，1AU=1.5×108km, 光速 c = 3.0 ×105km/s.
第35届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题（上海交大） 1、（35分） 如图，半径为R 、质量为M 的半球静置于光滑水平桌面上，在半球顶点上有一质量为m 、半径为r 的匀质小 球。某时刻，小球收到微扰由静止开始沿半球表面运动。在运动过 程中，小球相对半球的位置由角位置θ描述，θ为两球心连线与竖直线的夹角。己知小球绕其对称轴的转动惯量为225 mr ，小球与半球间的动摩擦因数为μ，假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力。重力加 速度大小为g 。 （1）（15分）小球开始运动后在一段时间内做纯滚动，求在此过程中，当小球的角位置为θ1时，半球运动的速度大小1()M V θ和加速度大小1()M a θ； （2）（15分）当小球纯滚动到角位置θ2时开始相对于半球滑动，求θ2所满足的方程（用半球速度大小2()M V θ和加速度大小2()M a θ以及题给条件表示）； （3）（5分）当小球刚好运动到角位置θ3时脱离半球，求此时小球质心相对于半球运动速度的大小3()m v θ 2、（35分） 平行板电容器极板1和2的面积均为S ，水平固定放置，它们之间的距离为 d ，接入如图所示的电路中，电源的电动势记为U 。不带电的导体薄平板3（厚 度忽略不计）的质量为m 、尺寸与电容器极板相同。平板3平放在极板2的 正上方，且与极板2有良好的电接触。整个系统置于真空室内，真空的介电 常量为0ε。合电键K 后，平板3与极板1和2相继碰撞，上下往复运动。假设导体板间的电场均可视为匀强电场；导线电阻和电源内阻足够小，充放电时间可忽略不计；平板3与极板1或2碰撞后立即在极短时间内达到静电干衡；所有碰撞都是完全非弹性的。重力加速度大小为g 。 （1）（17分）电源电动势U 至少为多大？ （2）（18分）求平板3运动的周期（用U 和题给条件表示）。 已知积分公式 ( 2ax b C =+++，其中a >0，C 为积分常数。
全国中学生物理竞赛集锦（光学） 第21届预赛2004.9.5 一、（15分）填空 1．d ．一个可见光光子的能量的数量级为_________J 。 2．已知某个平面镜反射的光能量为入射光能量的80％。试判断下列说法是否正确，并简述理由。 a ． 反射光子数为入射光子数的80％； b ．每个反射光子的能量是入射光子能量的80％。 六、（15分）有一种高脚酒杯，如图所示。杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O 下方玻璃中的C 点，球面的半径R ＝1.50cm ，O 到杯口平面的距离为8.0cm 。在杯脚底中心处P 点紧贴一张画片，P 点距O 点6.3cm 。这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯底方向观看，将看到画片上的景物。已知玻璃的折射率n 1＝1.56，酒的折射率n 2＝1.34。试通过分析计算与论证解释这一现象。 第21届复赛 四、(20分)目前，大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地排列在一条直线上的长条状，通常称为激光二极管条．但这样的半导体激光器发 出的是很多束发散光束，光能分布很不集中，不利于传输和应用．为了解决这个问题，需要根据具体应用的要求，对光束进行必需的变换（或称整形）．如果能把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细的平行光束，对半导体激光的传输和应用将是非常有意义的．为此，有人提出了先把多束发散光会聚到一点，再变换为平行光的方案，其基本原理可通过如下所述的简化了的情况来说明． 如图，S 1、S 2、S 3 是等距离（h ）地排列在一直线上的三个点光源，各自向垂直于它们的连线的同一方向发出半顶角为α =arctan ()41的圆锥形光束．请使用三个完全相同的、焦距为f = 1.50h 、半径为r =0.75 h 的圆形薄凸透镜，经加工、 组装成一个三者在同一平面内的组合透镜，使三束光都能全部投射到这个组合透镜上，且经透镜折射后的光线能全部会聚于z 轴（以S 2为起点，垂直于三个点光源连线，与光束中心线方向相同的射线）上距离S 2为 L = 12.0 h 处的P 点．（加工时可对透镜进行外形的改变，但不能改变透镜焦距．） 1．求出组合透镜中每个透镜光心的位置． 2．说明对三个透镜应如何加工和组装，并求出有关数据． 第20届预赛 一、（20分）两个薄透镜L 1和L 2共轴放置，如图所示．已知L 1的焦距f 1=f , L 2的焦距f 2=—f ，两透镜间距离也是f ．小物体位于物面P 上，物距u 1 ＝3f ．
第24届全国中学生物理竞赛复赛试卷 （本题共七大题，满分160分） 一、（20分）如图所示，一块长为m L 00.1=的光滑平板PQ 固定在轻质弹簧上端，弹簧的下端与地面固定连接。平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间（图中未画出竖直导轨），从而只能地竖直方向运动。平板与弹簧构成的振动系统的振动周期s T 00.2=。一小球B 放在光滑的水平台面上，台面的右侧边缘正好在平板P 端的正上方，到P 端的距离为m h 80.9=。平板静止在其平衡位置。水球B 与平板PQ 的质量相等。现给小球一水平向右的速度0μ，使它从水平台面抛出。已知小球B 与平板发生弹性碰撞，碰撞时间极短，且碰撞过程中重力可以忽略不计。要使小球与平板PQ 发生一次碰撞而且只发生一次碰撞，0μ的值应在什么范围内？取2 /8.9s m g = 二、（25分）图中所示为用三角形刚性细杆AB 、BC 、CD 连成的平面连杆结构图。AB 和CD 杆可分别绕过A 、D 的垂直于纸面的固定轴转动，A 、D 两点位于同一水平线上。BC 杆的两端分别与AB 杆和CD 杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。当AB 杆绕A 轴以恒定的角速度ω转到图中所示的位置时，AB 杆处于竖直位置。BC 杆与CD 杆都与水平方向成45°角，已知AB 杆的长度为l ，BC 杆和CD 杆的长度由图给定。求此时C 点加速度c a 的大小和方向（用与CD 杆之间的夹角表示） 三、（20分）如图所示，一容器左侧装有活门1K ，右侧装有活塞B ，一厚度可以忽略的隔板M 将容器隔成a 、b 两室，M 上装有活门2K 。容器、隔板、活塞及活门都是绝热的。隔板和活塞可用销钉固定，拔掉销钉即可在容器内左右平移，移动时不受摩擦作用且不漏气。整个容器置于压强为P 0、温度为T 0的大气中。
最近十年初中应用物理知识竞赛题分类解析专题13--热和能 一、选择题 典例3（2011上海第25界初中物理竞赛）当物体中存在温度 差时，热量会从温度高的地方向温度低的地方传递。对于一 长度为L 、横截面积为S 的均匀金属棒，当两端的温度差稳 定为△T 时，△t 时间内从高温端向低温端传递的热量△Q 满足关系式： t L T kS Q ??=?.；其中k 为棒的导热系数。如图所示，长度分别为L 1、L 2，导热系数分别为k 1、k 2，的两个横截面积相等的细棒在D 处紧密对接，两金属棒各自另一端分别与温度为400开、300开的恒定热源良好接触。若L 1∶L 2=1∶2，k 1∶k 2=3∶2，则在稳定状态下，D 处的温度为 （ ） A ．375开 B ．360开 C ．350开 D ．325开 解析：设在稳定状态下，D 处的温度为T ，则对于长度为L 1的细棒，()11 400-k S T Q t L ?=?，对于长度为L 2的细棒，()22 300k S T Q t L -?=?，联立解得T=375K ，选项A 正确。 .答案：A
【点评】此题考查热传递及其相关知识。 典例4．（2011上海第25界初中物理竞赛复赛）将一功率为P=500瓦的加热器置于装有水的碗中，经过分钟后，碗中水温从T 1=85℃上升到T 2=90℃，之后将加热器关掉分钟，发现水温下降℃。试估算碗中所装水的质量。 解答：加热器在2分钟内所供应的总热量，等于水温升高所吸收的热量，加上散失到周围环境的热量，即Pt=cm (T 2-T 1)+Q 若水温变化不大，则散失到周围环境的热量与时间成正比。因此加热器关掉1分钟，从热水散失的热量等于Q/2，此热量等于热水温度下降℃所放出的热量，即Q/2=cm△T 从以上两式可以解得Pt=cm (T 2-T 1+2△T) m= ()212Pt c T T T -+?=()35001204.210 5.0+2 1.0????kg=。 【点评】此题考查热量、能量守恒定律及其相关知识。 【竞赛实战训练】 1．(2009全国初中应用物理知识竞赛题)炎热无风的夏天，小宇走在被晒得发烫的柏油路上，看见前面的路面已被一辆洒水车洒水淋湿了。他认为走在淋湿了的路面上一定比走在干燥的路面上感到凉爽，于是赶快走过去，结果在洒过水的路面上，他却感到更加闷热了。你认为产生这种感觉的主要原因是( ) A ．洒水车中的水经过曝晒后，内能增大，温度很高
第27届全国中学生物理竞赛决赛试题及答案 一、（25分）填空题 1．一个粗细均匀的细圆环形橡皮圈，其质量为M，劲度系数为k，无形变时半径为R。现将它用力抛向空中，忽略重力的影响，设稳定时其形状仍然保持为圆形，且在平动的同时以角速度ω绕通过圆心垂直于圆面的轴线匀速旋转，这时它的半径应为。 2．鸽哨的频率是f。如果鸽子飞行的最大速度是u，由于多普勒效应，观察者可能观测到的频率范围是从到。（设声速为V。） 3．如图所示，在一个质量为M、内部横截面积为A 的竖直放置的绝热气缸中，用活塞封闭了一定量温 度度为 T的理想气体。活塞也是绝热的，活塞质量 以及活塞和气缸之间的摩擦力都可忽略不计。已知 大气压强为 p，重力加速度为g，现将活塞缓慢上提，当活塞到达气 缸开口处时，气缸刚好离开地面。已知理想气体在缓慢变化的绝热过程中pVγ保持不变，其中p是气体的压强，V是气体的体积，γ是一常数。根据以上所述，可求得活塞到达气缸开口处时气体的温度为。
4．（本题答案保留两位有效数字）在电子显微镜中，电子束取代了光束被用来“照射”被观测物。要想分辨101.010m -?（即原子尺度）的结构，则电子的物质波波长不能大于此尺度。据此推测电子的速度至少需被加速到 。如果要想进一步分辨121.010m -?尺度的结构，则电子的速度至少需被加速到 ，且为使电子达到这一速度，所需的加速电压为 。 已知电子的静止质量 319.110kg e m -=?，电子的电量 191.610C e -=-?，普朗克常量346.710J s h -=??，光速813.010m s c -=??。
二、（20分）图示为一利用传输带输送货物的装置，物块（视为质点）自平台经斜面滑到一以恒定速度v运动的水平长传输带上，再由传输带输送到远处目的地，已知斜面高 2.0m h=，水平边长 4.0m L=，传输带宽 2.0m d=，传输带的运动速度 3.0m/s v=。物块与斜面间的摩擦系数 10.30 μ=。物块自斜面顶端下滑的初速度为零。沿斜面下滑的速度方向与传输带运动方向垂直。设斜面与传输带接触处为非常小的一段圆弧，使得物块通过斜面与传输带交界处时其速度的大小不变，重力加速度2 10m/s g=。 1．为使物块滑到传输带上后不会从传输边缘脱离，物块与传输带之 间的摩擦系数 2 μ至少为多少？ 2．假设传输带由一带有稳速装置的直流电机驱动，与电机连接的电源的电动势200V E=，内阻可忽略；电机的内阻10 R=Ω，传输带空载（无 输送货物）时工作电流 02.0A I=，求当货物的平均流量（单位时间内输送货物的质量），稳定在640kg/s 9 η=时，电机的平均工作电流等于多少？假设除了货物与传输带之间的摩擦损耗和电机的内阻热损耗外，其它部分的能量损耗与传输带上的货物量无关。
第28届全国中学生物理竞赛决赛 实验试题一试卷及答卷 直流电源特性的研究 一、 题目： 一直流待测电源x E ，开路电压小于2V 。 （1） 利用所给仪器，自组电压表、并测量待测电源x E 的开路电压； （2） 利用所给仪器，测量待测电源x E 的短路电流。 二、 仪器： 直流待测电源x E ，六位电阻箱二台，标称值350欧姆的滑线变阻器一台，标称值3V 直流电压源E 一台，准确度等级0.5级指针式100微安直流电流表1A 一台，准确度等级0.5级指针式多量程直流电流表 2A 一台，准确度等级1.5级指针式检流计G 一台，开关、导线若干。 三、 说明： 1、 待测电源x E 具有非线性内阻，不适合用U I -曲线外推法测量； 2、 测量中需要的电压表用100微安指针式直流电流表1A 和电阻箱自组； 3、 标称值3V 直流电压源E 由两节1号干电池、15欧姆保护电阻串联构成； 4、 所画测量电路中的待测电源x E 、3V 直流电压源E 、电流表1A 、电流表2A 需用“+”和“-”标明其正负极性； 5、 检流计G 两接线端子上并联两个保护二级管，作为平衡指示器使用时，可以不使用串联保护电阻。 如果测试中需要用检流计G 判断电流是否为0时，应说明检流计G 指示为0的判断方法或者判断过程。 四、 要求： 1、 （7分）利用所给器材，测量100微安电流表内阻，并将100微安电流表改装成2.00V 量程的电压表。 要求画出测量内阻的电路图，简述测量原理，给出测量结果；画出自组电压表的示意图，并标明元件的数值。 2.1（5分）画出测量待测电源x E 的开路电压的电路图，简述测量待测电源x E 开路电压的原理和步骤。 2.2（6分）连接电路、测量并记录必要的数据，标明待测电源x E 开路电压的测量值。 3.1（5分）画出测量待测电源x E 短路电流的电路图，并简述测量待测电源x E 短路电流的原理和步聚。 3.2（7分）连接电路、测量并记录必要的数据，写出待测电源x E 短路电流的测量值。 实验试题一答题纸： 1（7分）利用所给器材，测量100微安电流表内阻，并将100微安电流表改装成2.00V 量程的电压表。要 求画出测量内阻的电路图，简述测量原理，给出测量结果；画出自组电压表的示意图，并标明元件的
第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题 一、（15分）一半径为R 、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为0v (00≠v ). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小为g . 二、（20分）一长为2l 的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m 的小物块D 和一质量为m α（α为常数）的小物块B ，杆可绕通过小物块B 所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动. 一质量为m 的小环C 套在细杆上（C 与杆密接），可沿杆滑动，环C 与杆之间的摩擦可忽略. 一轻质弹簧原长为l ，劲度系数为k ，两端分别与小环C 和物块B 相连. 一质量为m 的小滑块A 在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D ，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短. 碰撞 时滑块C 恰好静止在距轴为r （r >l ）处. 1. 若碰前滑块A 的速度为0v ，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量； 2. 若碰后物块D 、C 和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A 的速度0v 应满足的条件.
三、（25分）一质量为m 、长为L 的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内自由转动. 杆在水平状态由静止开始下摆， 1. 令m L λ= 表示细杆质量线密度. 当杆以角速度ω绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内转动时，其转动动能可表示为 k E k L αβγλω= 式中，k 为待定的没有单位的纯常数. 已知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和单位都相等时才相等. 由此求出α、β和γ的值. 2. 已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随质心平动的参考系）中的动能之和，求常数k 的值. 3. 试求当杆摆至与水平方向成θ角时在杆上距O 点为r 处的横截面两侧部分的相互作用力. 重力加速度大小为g . 提示：如果)(t X 是t 的函数，而))((t X Y 是)(t X 的函数，则))((t X Y 对t 的导数为 d (())d d d d d Y X t Y X t X t = 例如，函数cos ()t θ对自变量t 的导数为 dcos ()dcos d d d d t t t θθθθ= 四、（20分）图中所示的静电机由一个半径为R 、与环境绝缘的开口（朝上）金属球壳形的容器和一个带电液滴产生器G 组成. 质量为m 、带电量为 q 的球形液滴从G 缓慢地自由掉下（所谓缓慢，意指在G 和容器口之间总 是只有一滴液滴）. 液滴开始下落时相对于地面的高度为h . 设液滴很小，容器足够大，容器在达到最高电势之前进入容器的液体尚未充满容器. 忽略G 的电荷对正在下落的液滴的影响.重力加速度大小为g . 若容器初始电势为零，求容器可达到的最高电势max V .
第28届全国中学生物理竞赛决赛试题 一、（15分）在竖直面将一半圆形光滑导轨固定在A 、B 两点，导轨直径AB =2R ，AB 与竖直方向间的夹角为60°，在导轨上套一质量为m 的光滑小圆环，一劲度系数为k 的轻而细的光滑弹性绳穿过圆环，其两端系与A 、B 两点，如 图28决—1所示。当圆环位于A 点正下方C 点时，弹性绳刚好为原长。现将圆环从C 点无初速度释放，圆环在时刻t 运动到C'点，C'O 与半径OB 的夹角为θ，重力加速度为g .试求分别对下述两种情形，求导轨对圆环的作用力的大小：（1） θ=90°（2）θ=30° 二、（15分）如图28决—2所示，在水平地面上有一质量为M 、长度为L 的小车，车两端靠近底部处分别固定两个弹簧，两弹簧位于同一直线上，其原长分别为l 1和 l 2，劲度系数分别为k 1和k 2；两弹簧的另一端分别放着 一质量为m 1、m 2的小球，弹簧与小球都不相连。开始时，小球1压缩弹簧1并保持整个系统处于静止状态，小球2被锁定在车底板上，小球2与小车右端的距离等于弹簧2的原长。现无初速释放小球1，当弹簧1的长度等于其原长时，立即解除对小球2的锁定；小球1与小球2碰撞后合为一体，碰撞时间极短。已知所有解除都是光滑的；从释放小球1到弹簧2达到最大压缩量时，小车移动力距离l 3.试求开始时弹簧1的长度l 和后来弹簧2所达到的最大压缩量Δl 2 . 图28决—2
三、（20分）某空间站A 绕地球作圆周运动，轨道半径为 r A =6.73×106m.一人造地球卫星B 在同一轨道平面作圆周运 动，轨道半径为r B =3r A /2，A 和B 均沿逆时针方向运行。现从空间站上发射一飞船（对空间站无反冲）前去回收该卫星， 为了节省燃料，除了短暂的加速或减速变轨过程外，飞船在往返过程中均采用同样形状的逆时针椭圆转移轨道，作无动力飞行。往返两过程的椭圆轨道均位于空间站和卫星的圆轨道平面，且近地点和远地点都分别位于空间站和卫星的轨道上，如图28决—3所示。已知地球半径为R e =6.38×106m ，地球表面重力加速度为g =9.80m/s 2.试求： （1）飞船离开空间站A 进入椭圆转移轨道所必须的速度增量Δv A ，若飞船在远地点恰好与卫星B 相遇，为了实现无相对运动的捕获，飞船所需的速度增量Δv B . （2）按上述方式回收卫星，飞船从发射到返回空间站至少需要的时间，空间站 A 至少需要绕地球转过的角度。 图28决—3
全国初中物理竞赛精选题及答案 初中物理知识要点一览与初中物理基本概念概要 （一）初中物理知识要点一览 速度：V（m/S）?v=?S：路程/t：时间? 重力G?（N）?G=mg（?m：质量；?g：9.8N或者10N?） 密度：ρ?（kg/m3）?ρ=?m?（m：质量；?V：体积?） 合力：F合?（N）?方向相同：F合=F1+F2?；?方向相反：F合=F1—F2?方向相反时,F1>F2? 浮力：F浮?(N)?F浮=G物—G视?（G视：物体在液体的重力?） 浮力：F浮?(N)?F浮=G物?（此公式只适用?物体漂浮或悬浮?） 浮力：F浮?(N)?F浮=G排=m排g=ρ液gV排?（G排：排开液体的重力?；m排：排开液体的质量?；ρ液：液体的密度?；?V排：排开液体的体积?(即浸入液体中的体积)?） 杠杆的平衡条件：?F1L1=?F2L2?（?F1：动力?；L1：动力臂；F2：阻力；?L2：阻力臂?） 定滑轮：?F=G物?S=h?（F：绳子自由端受到的拉力；?G物：物体的重力；?S：绳子自由端移动的距离；?h：物体升高的距离） 动滑轮：?F=?（G物+G轮)/2?S=2?h?（G物：物体的重力；?G轮：动滑轮的重力） 滑轮组：?F=?（G物+G轮）?S=n?h?（n：通过动滑轮绳子的段数）机械功：W?（J）?W=Fs?（F：力；?s：在力的方向上移动的距离?）有用功：W有?=G物h? 总功：W总?W总=Fs?适用滑轮组竖直放置时? 机械效率:?η=W有/W总?×100%?
功率:P?（w）?P=?w/t?(W：功;?t：时间) 压强p?（Pa）?P=?F/s?(F：压力;?S：受力面积） 液体压强：p?（Pa）?P=ρgh?（ρ：液体的密度；?h：深度【从液面到所求点的竖直距离】?） 热量：Q?（J）?Q=cm△t?（c：物质的比热容；?m：质量?；△t：温度的变化值?） 燃料燃烧放出的热量：Q（J）?Q=mq?（m：质量；?q：热值）? 串联电路?电流I（A）?I=I1=I2=……?电流处处相等? 串联电路?电压U（V）?U=U1+U2+……?串联电路起分压作用? 串联电路?电阻R（Ω）?R=R1+R2+……? 并联电路?电流I（A）?I=I1+I2+……?干路电流等于各支路电流之和（分流）? 并联电路?电压U（V）?U=U1=U2=……? 并联电路?电阻R（Ω）1/R?=1/R1?+1/R2?+……? 欧姆定律：?I=?U/I? 电路中的电流与电压成正比,与电阻成反比? 电流定义式?I=?Q/t?（Q：电荷量（库仑）；t：时间（S）?） 电功：W?（J）?W=UIt=Pt?（U：电压；?I：电流；?t：时间；?P：电功率?） 电功率：?P=UI=I2R=U2/R?（U:电压；?I：电流；?R：电阻?） 电磁波波速与波?长、频率的关系：?C=λν?（C：波速（电磁波的波速是不变的,等于3×108m/s）；?λ：波长；?ν：频率?） （二）初中物理基本概念概要 一、测量
第28届全国中学生物理竞赛复赛试题 一、（20分）如图所示，哈雷彗星 绕太阳S沿椭圆轨道逆时针方 向运动，其周期T为年，1986 年它过近日点P0时与太阳S的 距离r0=，AU是天文单位，它等 于地球与太阳的平均距离，经过一段时间，彗星到达轨道上的P 点，SP与SP0的夹角θP=°。已知：1AU=×1011m，引力常量G=×10－11Nm2/kg2，太阳质量m S=×1030kg，试求P到太阳S的距离r P及彗星过P点时速度的大小及方向（用速度方向与SP0的夹角表示）。 二、（20分）质量均匀分布的刚性杆AB、 CD如图放置，A点与水平地面接触，与 地面间的静摩擦系数为μA，B、D两点与 光滑竖直墙面接触，杆AB和CD接触处 的静摩擦系数为μC，两杆的质量均为m， 长度均为l。 1、已知系统平衡时AB杆与墙面夹角为θ，求CD杆与墙面夹角α应该满足的条件（用α及已知量满足的方程式表示）。 2、若μA=，μC=，θ=°。求系统平衡时α的取值范围（用数值计算
求出）。 三、（25分）在人造卫星绕星球运行的过程中，为了保持其对称转轴稳定在规定指向，一种最简单的办法就是让卫星在其运行过程中同时绕自身的对称轴转，但有时为了改变卫星的指向，又要求减慢或者消除卫星的旋转，减慢或者消除卫星旋转的一种方法就是所谓消旋法，其原理如图所示。 一半径为R，质量为M的薄壁圆筒，， 其横截面如图所示，图中O是圆筒的对 称轴，两条足够长的不可伸长的结实的 长度相等的轻绳的一端分别固定在圆筒 表面上的Q、Q′（位于圆筒直径两端） m的小球， 处，另一端各拴有一个质量为 2 正常情况下，绳绕在圆筒外表面上，两小球用插销分别锁定在圆筒表面上的P0、P0′处，与卫星形成一体，绕卫星的对称轴旋转，卫星自转的角速度为ω0。若要使卫星减慢或者停止旋转（消旋），可瞬间撤去插销释放小球，让小球从圆筒表面甩开，在甩开的整个过程中，从绳与圆筒表面相切点到小球的那段绳都是拉直的。当卫星转速逐渐减小到零时，立即使绳与卫星脱离，解除小球与卫星的联系，于是卫星转动停止。已知此时绳与圆筒的相切点刚好在Q、Q′处。
2016全国初中物理竞赛复赛试题(含答案） 初中物理是义务教育的基础学科，一般从初二开始开设这门课程，教学时间为两年。一般也是中考的必考科目。随着新高考/新中考改革，学生的综合能力越来越重要，录取方式也越来越多，三位一体录取方式十分看重学生的课外奖项获取。万朋教育小编为初中生们整理了2016年全国初中物理竞赛试卷和答案，希望对您有所帮助。 第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷 本卷共8题，满分160分。 一、（17分）设有一湖水足够深的咸水湖，湖面宽阔而平静，初始时将一体积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放，释放时物块的下底面和湖水表面恰好相接触。已知湖水密度为ρ；物块边长为b ，密度为'ρ，且ρρ<'。在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下，求物块从初始位置出发往返一次所需的时间。 解： 由于湖面足够宽阔而物块体积很小，所以湖面的绝对高度在物块运动过程中始终保持不变，因此，可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向 建立坐标系，以下简称x 系. 设物块下底面的坐标为x ，在物块未完全浸没入湖水时，其所受到的浮力为 2b f b x g ρ= ( x b ≤) (1) 式中 g 为重力加速度.物块的重力为 3 g f b g ρ'= (2) 设物块的加速度为a ，根据牛顿第二定律有
3 g b b a f f ρ'=- (3) 将(1)和(2)式代入(3)式得 g a x b b ρρρρ'?? =- - ?'? ? (4) 将x 系坐标原点向下移动/b ρρ' 而建立新坐标系，简称X 系. 新旧坐标的关 系为 X x b ρρ ' =- (5) 把(5)式代入(4)式得 g a X b ρρ=-' (6) (6)式表示物块的运动是简谐振动. 若0X =，则0a =，对应于物块的平衡位置. 由(5)式可知，当物块处于平衡位置时，物块下底面在x 系中的坐标为 0x b ρρ ' = (7) 物块运动方程在 X 系中可写为 ()()cos X t A t ω?=+ (8) 利用参考圆可将其振动速度表示为 ()()sin V t A t ωω?=-+ (9) 式中ω为振动的圆频率 'g b ρωρ= (10) 在(8)和(9)式中 A 和?分别是振幅和初相位，由初始条件决定. 在物块刚被释 放时，即0t =时刻有x =0，由(5)式得
第34届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题(2017) 一、(35分)如图,质量分别为 、 的小球 、 放置在光滑绝缘水平面上,两球之间用一原长为 , 劲度系数为 .的绝缘轻弹簧连接. (1) 时,弹簧处于原长,小球 有一沿两球连线向右的初速度 ,小球 静止.若运动过程中弹簧始终处于弹性形变范围内,求两球在任一时刻 的速度. (2)若让两小球带等量同号电荷,系统平衡时弹簧长度为 ,记静电力常量为 .求小球所带电荷量和两球与弹簧构成的系统做微振动的频率(极化电荷的影响可忽略). 二、(35分)双星系统是一类重要的天文观测对象.假设某两星体均可视为质点,其质量分别为 和 ,一 起围绕它们的质心做圆周运动,构成一双星系统,观 测到该系统的转动周期为 .在某一时刻, 星突然 发生爆炸而失去质量 .假设爆炸是瞬时的、相对 于 星是各向同性的,因而爆炸后 星的残余体 星的瞬间速度与爆炸前瞬间 星 的速度相同,且爆炸过程和抛射物质 都对 星没 有影响.已知引力常量为 ,不考虑相对论效应. (1)求爆炸前 星和 星之间的距离 ; (2)若爆炸后 星和 星仍然做周期运动,求该运动的周期 ; (3)若爆炸后 星和 星最终能永远分开,求 和 三者应满足的条件. 三、(35分)熟练的荡秋千的人能够通过在秋千板上适时站起和蹲下使秋千越荡越高.一质量 为 的人荡一架底板和摆杆均为刚性的秋千, 底板和摆杆的质量均可忽略,假定人的质量集 中在其质心.人在秋千上每次完全站起时起质 心距悬点 的距离为 ,完全蹲下时此距离变为 .实际上,人在秋千上站起和蹲下过程都是在一段时间内完成的.作为一个简单的模型,假设人在第一个最高点 点从完全站立的姿 势迅速完全下蹲,然后荡至最低点 , 与 的高度差为 ;随后他在 点迅速完全站l 0 a b 爆炸前瞬间 爆炸后瞬间
第十三届全国中学生物理竞赛复赛试题 1.如图所示，有一由匀质细导线弯成的半径为α的圆线和一内接等边三角形的电阻丝组成的电路（电路中各段的电阻值见图）。在圆线圈平面内有垂直纸面向里的均匀磁场，磁感应强度B随时间t均匀减小，其变化率的大小 为一已知常量k。已知2r 1＝3r 2 。求：图中AB两点的电势差U A -U B 。 2.长度为4毫米的物体AB由图所示的光学系统成像，光学系统又一个直角棱镜、一个汇聚透镜和一个发散透镜组成，各有关参数和几何尺寸均标示于图上，求：像的位置；像的大小，并作图说明是实像还是虚像，是正立还是倒立的。 3.如图所示，四个质量均为m的质点，用同样长度且不可伸长的轻绳连接成菱形ABCD，静止放在水平光滑的桌面上。若突然给质点A一个历时极短CA 方向的冲击，当冲击结束的时刻，质点A的速度为V，其他质点也获得一定 的速度，∠BAD＝2α（α<π/4）。求此质点系统受冲击后所具有的总动量和总能量。
4.在一个半径为R的导体球外，有一个半径为r的细圆环，圆环的圆心与导体球心的连线长为a（a>R），且与环面垂直，如图所示。已知环上均匀带电，总电量为q，试问： 1.当导体球接地时，球上感应电荷总电量是多少？ 2.当导体球不接地而所带总电量为零时，它的电势如何？ 3.当导体球的电势为V O 时，球球上总电荷又是多少？ 4.情况3与情况1相比，圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何？ 5.情况2与情况1相比，圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何？ 〔注〕已知：装置不变时，不同的静电平衡 带电状态可以叠加，叠加后仍为静电平衡状 态。 5、有一个用伸缩性极小且不漏气的布料制作的气球（布的质量可忽略不计）， 直径为d＝2.0米，球内充有压强P 1.005×105帕的气体，该布料所能承受 的最大不被撕破力为f m ＝8.5×103牛/米（即对于一块展平的一米宽的布料，沿布面而垂直于布料宽度方向所施加的力超过8.5×103牛时，布料将被撕 破）。开始时，气球被置于地面上，该处的大气压强为P ao ＝1.000×103帕， 温度T ＝293开，假设空气的压强和温度均随高度而线性地变化，压强的变 化为α p ＝-9.0帕/米，温度的变化为α T ＝-3.0×10-3开/米，问该气球上升到 多高时将撕破？假设气球上升很缓慢，可以为球内温度随时与周围空气的温度保持一致，在考虑气球破裂时，可忽略气球周围各处和底部之间空气压强的差别。 6.有七个外形完全一样的电阻，已知其中6个的阻值相同，另一个的阻值不同，请按照下面提供的器材和操作限制，将那个限值不同的电阻找出，并指出它的阻值是偏大还是偏小，同时要求画出所用电路图，并对每步判断的根据予以论证。 提供的器材有：1电池；2一个仅能用来判断电流方向的电流表（量程足够），它的零刻度在刻度盘的中央，而且已知当指针向右偏时电流是由哪个接线柱流入电流表的；3导线若干 操作限值：全部过程中电流表的使用不得超过三次。
2019年全国初中应用物理竞赛复赛试题 注意事项： 1.请在密封钱内填写所在地区、学校、姓名和考号. 2.用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔书写 3.本试卷共有六个大题，满分为100分. 电机来发电。该发种电机铭牌部分数据如下表所示，根据表中的数据求： (1)在允许的连续运行时间内，发电机以额定 功率输出，能够提供的电能是多少度? (2)己知汽油的热值是q=4.6xl07J/kg ，密度是 0.71 x 103kg/m 3，设该汽油机的效 率为35%，则该 汽油发电机油箱的容积至少需要多大? (3)汽油发电机将内能转化为电能的效率是多 少? 二、(16分)长期以来，我国北方地区域镇居民的冬季来暖计量一般都按住宅面积收费，导致用户节能意识差，造成严重的资源浪费。作为建筑节能的一项基本措施，近几年部分地区试点以热量表作为计量收费的依据和于段， 经测算可节能约20%---30%。 如图2所示，一个完整的热量表由以下三 个部分组成：一只被体流量计，用以测量经热 交换的热水流量；一对用铅电阻制作的温度传 感器，分别测量供暖进水和回水温度；一低功 耗的单芯片计算机，根据与其相连的流量计和 温度传感器提供的流量和温度数据，利用热力 学公式可计算出用户从热交换系统获得的热 量，通过液晶显示器将测量数据和计算结果显 示出来。 以下是某用户家中的热量表的部分参数，已知水的比热容取4.2xl03J/(kg·C)，天然气的燃烧值约为 8X 10 7J/m 3。 (1)试通过以上数据计算该型号热量表能测量的最大供热功率是多少? (2)在一次要查看热量表记录情况时，通过逐次点按热量表上的信息显示按钮，液晶显示器逐项循环显示出了下列数据： 根据这些数据推算，求此次查看时该用户家平均每小时从暖气中得到的热量约为多少J?到此次查看时为止，该用户从这套供暖系统得到的总能量相当于完全燃烧了多少m 3的天然气?
全国中学生物理竞赛真题汇编---热学 1.（19Y4） 四、（20分）如图预19-4所示，三个绝热的、容积相同的球状容器A 、B 、C ，用带有阀门K 1、K 2的绝热细管连通，相邻两球球心的高度差 1.00m h =．初始时，阀门是关闭的，A 中装有1mol 的氦（He ）,B 中装有1mol 的氪（Kr ）,C 中装有lmol 的氙（Xe ），三者的温度和压强都相同．气体均可视为理想气体．现打开阀门K 1、K 2，三种气体相互混合，最终每一种气体在整个容器中均匀分布，三个容器中气体的温度相同．求气体温度的改变量．已知三种气体的摩尔质量分别为 31He 4.00310kg mol μ--=?? 在体积不变时，这三种气体任何一种每摩尔温度升高1K ，所吸收的热量均为 3/2R ，R 为普适气体常量． 2．（20Y3）（20分）在野外施工中，需要使质量m ＝4.20 kg 的铝合金构件升温；除了保温瓶中尚存有温度t ＝90.0oC 的1.200kg 的热水外，无其他热源。试提出一个操作方案，能利用这些热水使构件从温度t 0＝10.0oC 升温到66.0oC 以上(含66.0oC)，并通过计算验证你的方案． 已知铝合金的比热容c ＝0.880×103J ·(k g·oC)－1 ， 水的比热容c ＝ 4.20×103J ·(kg ·oC)－1 ，不计向周围环境散失的热量． 3．（22Y6）(25分)如图所示。两根位于同一水平面内的平行的直长金属导轨，处于恒定磁场中。 磁场方向与导轨所在平面垂直．一质量为m 的均匀导体细杆，放在导轨上，并与导轨垂 直，可沿导轨无摩擦地滑动，细杆与导轨的电阻均可忽略不计．导轨的左端与一根阻值为 尺0的电阻丝相连，电阻丝置于一绝热容器中，电阻丝的热容量不计．容器与一水平放置的开口细管相通，细管内有一截面为S 的小液柱(质量不计)，液柱将l mol 气体(可视为理想气体)封闭在容器中．已知温度升高1 K 时，该气体的内能的增加量为5R ／2(R 为普适气体常量)，大气压强为po ，现令细杆沿导轨方向以初速V 0向右运动，试求达到平衡时细管中液柱的位移． 4．（16F1）20分）一汽缸的初始体积为0V ，其中盛有2mol 的空气和少量的水（水的体积可以忽略）。平衡时气体的总压强是3.0atm ，经做等温膨胀后使其体积加倍，在膨胀结束时，其中的水刚好全部消失，此时的总压强为2.0atm 。若让其继续作等温膨胀，使体积再次加倍。试计算此时： 1.汽缸中气体的温度； 2.汽缸中水蒸气的摩尔数； 3.汽缸中气体的总压强。 假定空气和水蒸气均可以当作理想气体处理。 5．（17F1）在一大水银槽中竖直插有一根玻璃管，管上端封闭，下端开口．已知槽中水银液面以上的那部分玻璃管 的长度ｌ＝76ｃｍ，管内封闭有ｎ＝1．0×10－3 ｍｏｌ的空气，保持水银槽与玻璃管都不动而设法使玻璃管内空气的温度缓慢地降低10℃，问在此过程中管内空气放出的热量为多少?已知管外大气的压强为76ｃｍＨｇ，每摩尔空 气的内能Ｕ＝ＣＶＴ，其中Ｔ为绝对温度，常量ＣＶ＝20．5Ｊ·（ｍｏｌ·Ｋ）－1 ，普适气体常量Ｒ＝8．31Ｊ·（ｍ ｏｌ·Ｋ）－1 31Kr 83.810kg mol μ--=??31Xe 131.310kg mol μ--=??
第21届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 一、开始时U 形管右管中空气的体积和压强分别为 V 2 = HA （1） p 2= p 1 经过2小时，U 形管右管中空气的体积和压强分别为 A H H V )(2?-=' （2） 2 2 22 V V p p '=' （3） 渗透室下部连同U 形管左管水面以上部分气体的总体积和压强分别为 HA V V ?+='11 （4） H g p p Δ22 1ρ+'= （5） 式中ρ 为水的密度，g 为重力加速度．由理想气体状态方程nRT pV =可知，经过2小时，薄膜下部增加的空气的摩尔数 RT V p RT V p n 1111 - ''= ? （6） 在2个小时内，通过薄膜渗透过去的分子数 A nN N ?= （7） 式中N A 为阿伏伽德罗常量． 渗透室上部空气的摩尔数减少，压强下降．下降了?p V ΔnRT p = ? （8） 经过2小时渗透室上部分中空气的压强为 p p p ?-='00 （9） 测试过程的平均压强差 [])(2 1 10 10p p ()p p p '-'+-=? （10） 根据定义，由以上各式和有关数据，可求得该薄膜材料在0℃时对空气的透气系数 11111s m Pa 104.2---?=?= tS p Nd k （11） 评分标准： 本题20分．(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式各1分，(6)式3分，(7)、(8)、(9)、(10) 式各2分，(11) 式4分． 二、如图，卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，地心位于轨道椭圆的一个焦点O 处，设待测量星体位于C 处．根据题意，当一个卫星运动到轨道的近地点A 时，另一个卫星恰好到达远地点B 处，只要位于A 点的卫星用角度测量仪测出AO 和AC 的夹角α1，位于B 点的卫星用角度测量仪测出BO 和BC 的夹角α2，就可以计算出此时星体C 与地心的距离OC ． 因卫星椭圆轨道长轴的长度