三、函数的最值与导数
知识梳理
（1）设函数f(x)在[a,b]上连续，在（a,b ）内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤
①求函数y=f(x)在（a,b ）内的极值；
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
（2）①根据最值的定义，求在闭区间[a,b]上连续，开区间（a,b ）,内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断使f’(x)=0成立的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点的函数值进行比较，就可判定最大（小）值。
②定义在开区间（a,b ）上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点。 基础练习1
1、下列说法正确的是( )
A.函数的极大值就是函数的最大值
B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值
D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
2、函数y =f (x )在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′(x ) ( ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能
3、函数x
x
y ln =
的最大值为（ ） A ．1
-e B ．e C ．2
e D ．3
10
4、 已知]1,3
1[,126)(3
-∈+-=x x x x f ，则函数的最大值为______，最小值为______。
5．函数2cos y x x =+在区间[0,]2
π
上的最大值是 。
例题讲解
例1．已知函数a x x x f +-=2
3
62)(在[－2，2]上有最小值－37， （1）求实数a 的值；（2）求)(x f 在[－2，2]上的最大值。
变式练习1
1 函数32
()26(f x x x m m =-+为常数） 在[22]-，上有最大值3，那么此函数在[22]-，上的最小值为
2、已知函数?(x)=2ax ―x 3,x ∈(0,1], a>0
(1) 若f(x)在x ∈(0,1] 上是增函数,求a 的取值范围; (2) 求f(x)在区间(0,1]上的最大值
3（2019新课标3文）20．（12分）已知函数32
()22f x x ax =-+.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）当0 解：（1）2 ()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3 a x = . 若a >0，则当(,0) ,3a x ??∈-∞+∞ ???时，()0f x '>；当0,3a x ?? ∈ ??? 时，()0f x '<．故 ()f x 在(,0),,3a ??-∞+∞ ???单调递增，在0,3a ?? ??? 单调递减； 若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增； 若a <0，则当,(0,)3a x ??∈-∞+∞ ???时，()0f x '>；当,03a x ?? ∈ ??? 时，()0f x '<．故 ()f x 在,,(0,)3a ??-∞+∞ ???单调递增，在,03a ?? ??? 单调递减. （2）当03a <<时，由（1）知，()f x 在0,3a ?? ???单调递减，在,13a ?? ??? 单调递增，所 以()f x 在[0,1]的最小值为32327a a f ?? =-+ ??? ，最大值为(0)=2f 或(1)=4f a -.于是 3227a m =-+，4,02,2,2 3.a a M a -< 32,02,27 ,2 3. 27 a a a M m a a ?-+< 当02a <<时，可知3227a a -+单调递减，所以M m -的取值范围是8,227?? ??? . 当23a ≤<时，327a 单调递减，所以M m -的取值范围是8 [,1)27 . 综上，M m -的取值范围是8 [,2)27 . 4（2019新课标3理）20. （12分）已知函数()32 2.f x x ax b =-+（1）讨论()f x 的单调 性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[]0,1的最小值为-1,且最大值为1？若存在，求出,a b 的值；若不存在，说明理由。 解：（1）2 ()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3 a x =. 若a >0，则当(,0) ,3a x ??∈-∞+∞ ???时，()0f x '>；当0,3a x ?? ∈ ??? 时，()0f x '<．故() f x 在(,0),,3a ??-∞+∞ ???单调递增，在0,3a ?? ??? 单调递减； 若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增； 若a <0，则当, (0,)3a x ? ?∈-∞+∞ ???时，()0f x '>；当,03a x ?? ∈ ??? 时，()0f x '<．故() f x 在, ,(0,)3a ? ?-∞+∞ ???单调递增，在,03a ?? ??? 单调递减. （2）满足题设条件的a ，b 存在. （i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0， 1b =-． （ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1． （iii ）当0 =- + ???，最大值为b 或2a b -+． 若3 127 a b -+=-，b =1，则a =，与0 若3 127