华中师范大学
二零一四年研究生入学考试试题 院系、招生专业：数学与统计学学院 考试时间：元月5日上午
考试科目代码级名称：717数学分析
一、计算题（共4小题，总计40分）
1.求极限()1ln(1)01lim[]x x
x x x e +→+ 2.求极限21112lim []n n n i j i j n n
n →+∞==+∑∑，这里[]?表示取整. 3.计算积分22
2L xdy ydx x y -+?，其中L 为平面内任意一条不过原点的正向光滑封闭曲线.
4.求极限22222225
01lim ln(1)r x y z r x y z dxdydz r +→++≤+++
???
二、（20分）设22(,)(0,0)(,)0,,(,)(0,0)x y x y f x y x y ?+≠?=??≠?
，讨论 (,),(,)x y f x y f x y 在点(0,0)的连续性，偏导数的存在性，可微性及偏导函数的连续性.
三、（15分）设()f x 在[0,1]上可导，(0)0,(1)1,0,0f f a b ==>>为常数.
（1）证明：存在(0,1)ξ∈，使得()a f a b
ξ=+； （2）证明：存在(0,1)内两个互异的点12,ξξ，使得12'()'()
a b a b f f ξξ+=+ .
四、（10分）证明：方程31cos()x y xy ++=在(0,0)的某个邻域内可以
唯一确定隐函数()y f x =，并求'(0)f 的值.
五、（15分）求幂级数2
1(1)1n n n x n +∞
=-+∑的收敛域及和函数()S x ，并计算 2
1(1)31n n n n +∞
-=-+∑. 六、（15分）证明：含参量反常积分0xy xe dx +∞
-?在[,)δ+∞上一致收敛. 七、（15分）设点000(,,)M x y z 是椭球面23
2
123y z x ++=上位于第一卦限的点，S 是该椭球面在000(,,)M x y z 处的切平面被三个坐标面所截得的三角形上侧，求000(,,)M x y z 使曲面积分23S
xdydz ydzdx zdxdy
++??为最小，并求此最小值.
八、（14分）设D 为2有界区域，其边界L 光滑，函数(,)u x y 和(,)v x y 在D D L =上具有一阶连续偏导数，在D 上具有二阶连续的偏导数
（1）D L u v u v dxdy ds n n u v u v →→????=?????，其中n →为L 的外法线方向，f n →??和g n →??分别是(,)f x y 和(,)g x y 沿n →
的方向导数，22222222,u u v v u v x y x y ?????=+?=+????； （2）利用（1）证明：若在D 内，0u ?=，
即(,)u x y 为D 上的调和函数，00(,)x y 为D 的内点，(,)lnr,r g x y ==
001ln (,)ln 2L r u u x y u r ds n n π→→????=?-?????????
? （3）证明：若在D 内，0u ?=，R C 是D 内以00(,)x y 为圆心，R 为半径的任意圆周，则001
(,)(,)2L u x y u x y ds R π=?.
1.(36)计算题: (1) n n n n n n )12()1(1lim
-+∞→
(2) dxdydz z y x t t
z y x t ???≤++→+++22222224
0sin 1lim (3) 求曲线积分?+-L
y x ydx xdy 229,其中L 为平面内任意一条不经过原点的正向光滑封闭简单曲线.
2.(15)设函数)(x f 在),0[+∞上具有连续的导函数,且)(lim
x f x '∞→存在有限,10<<α,是一个常数,证明:
)(αx f 在),0[+∞上一致连续. 3.(15)设)(x f 和)(x g 在],[b a 上连续且在),(b a 内可导,试证:在),(b a 内存在点ξ,
使得)
()]()([)()]()([ξξf a g b g g a f b f '-='-. 4.(20)证明:函数项级数∑∞
=-=
1)(n nx ne x f 在),0(+∞上收敛,但不一致收敛,而和 函数)(x f 在),0(+∞上可以任意次求导.
5.(20)证明:方程
)s i n (2xy y x =+在原点的某个邻域内可以唯一确定隐函数)(x f y =,并)0(y '计算的值.
6.(14)证明:若函数)(x f 在],[b a 上无界,则必存在],[b a 上的某点,使得)(x f 在该点的任何邻域内无界.
7.(12)设函数u 在),0[+∞上连续可微且+∞<'+?
dx x u x u ))()((22,试证: (1)存在),0[+∞中的子列∞=1}{n n x 使得当∞→n
时, +∞→n x 且0)(→n x u (2)存在某常数0>C
,使得21022},0[)))()((()(sup dx x u x u C x u x ?∞++∞∈'+≤ 8.(18)设3R ?Ω为有界闭区域,且具有光滑边界+∞<<Ω?T 0,.(1)设v u ,是Ω上
具有连续二阶偏导数的函数,试证:dS n u v dxdydz v u dxdydz u v ????????Ω?ΩΩ??+
??-=?,
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2008年研究生入学考试试题（数学分析）