专题——求参数取值范围一般方法
概念与用法
恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。题型特点大多以已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。这样的题型会出现于代数中的不等式里也会出现在几何里。就常考题型的一般题型以及解题方法，我在这里做了个小结。
题型以及解题方法
一，分离参数
在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max
f x ，则()max
a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()min
a f x ≤，转化为函数求最值。
例1、已知函数()lg 2a f x x x ??
=+- ???
，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。
解：根据题意得：21a x x
+->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：2
3a x x
>-+在[)2,x ∈+∞上恒成立，
设()2
3f x x
x
=-+，则
()2
3924f x x ?
?=--+
??
?
当2x =时，()
max
2
f x = 所以2a >
例2．已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范围。
分析：在不等式中含有两个变量a 及x ，其中x 的范围已知（x ∈R ），另一变量a 的范围即为所求，故可考虑将a 及x 分离。 解：原不等式即：4sinx+cos2x<45-a -a+5 要使上式恒成立，只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。 f(x)=
4sinx+cos2x=-2sin 2x+4sinx+1=-2(sinx -1)2+3≤3,
∴45-a -a+5>3即45-a >a+2 上式等价于
??
?
??->-≥-≥-2)2(450
4502a a a a 或
??
?≥-<-0
4502a a ，解得
≤5
4a<8.
说明：注意到题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1-2sin 2x,故若把sinx 换元成t,则可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。
二，变主换元
在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x 看成是主元（未知数），而把另一个变量a 看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。 例3．对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个字母：x 及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题。 解：不等式即(x -1)p+x 2-2x+1>0,设f(p)= (x -1)p+x 2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：
?
?
?>>-)2(0)2(f f 即??
???>->+-0
10342
2x x x 解得：?
??-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3.
例4、若不等式()2
211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。
解：设()()()2
121f m m x x =---，对满足2m ≤的m ，()0f m <恒成立，
()()()()()()2221210202021210x x f f x x ?----<-
∴∴??
<---
解得：112
2
x -+<<
三，利用二次函数根的分布
例5.设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞)时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。
分析：题目中要证明f(x)≥a 恒成立，若把a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+∞)时恒大于0的问题。
解：设F(x)= f(x)-a=x 2-2ax+2-a. ⅰ)当?=4（a -1)(a+2)<0时，即-2 ⅱ）当?=4（a -1)(a+2) ≥0时由图可得以下充要条件： ???? ??? -≤--≥-≥?,12 20)1(0a f 即 ?? ? ??-≤≥+≥+-,1030)2)(1(a a a a 得-3≤a ≤-2; 综合可得a 的取值范围为[-3，1] 四，利用集合与几何之间的关系 在给出的不等式中，若能解出已知取 值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：[]()(),,m n f a g a ?????，则()f a m ≤且()g a n ≥，不等式的解即为实数a 的取值范围。 例6、当1,33x ?? ∈ ??? 时，log 1 a x <恒成立，求实数a 的 取值范围。 解：1log 1a x -< （1） 当1a >时， 1 x a a <<，则问题转化为11,3,3a a ???? ? ? ????? 311 3 a a ≥?? ∴?≤?? 3 a ∴≥ （2） 当01a <<时，1a x a <<，则问题转化为11,3,3a a ????? ? ? ????131 3a a ? ≤??∴??≥??103a ∴<≤ 综上所得：103 a <≤或3a ≥ 五，几何中的求参 要确定变量k 的范围，可先建立以k 为函数的目标函数)(t f k =，从而使这种具有函数背景的范围问题迎刃而解。 的范围。 轴上截得在求若若两点相交于与的直线的焦点，过点是给定抛物线一个参数的范围） 、（双参数且已知其中例m y l ],9,4[,.B ,A C l F C F ,4x y :C 72∈==λλ ]. 34 ,43[]43,34[k m ].916,169[2 14k 1y y (y y y y y y )1(y y y y , y y x 1(1x )y ,x 1()y ,1x (AF FB , k m )1x (k y l 22 21212 1 21121121 2121122Y --∈-=∈-+=-+-=????-=-=+?-=???-=-=-?--=-=-=?-=所求得：，由韦达定理代入整理）由）得由方程为：解：（略解）设直线λ λλλλλλλλλλ 小练一下 1．已知函数]4,0(,4)(2 ∈--=x x x ax x f 时0)( 2.已知不等式(1)21x m x -<-对()0,3x ∈恒成立，求实数m 的取值范围。 3.已知不等式(1)21x m x -<-对()0,3m ∈恒成立，求实数x 的取值范围。 4.已知不等式2220x ax -+>对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围。 5.已知不等式2220x ax -+>对[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围。 6.已知不等式2 220x ax -+>对[]1,2x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围。 7.对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2 >-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。
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