第四讲应用题综合（下）
1、巩固包含与排除和抽屉原理的解题方式。
2、复习前一讲内容。
3、培养学员发现数学中的美，激发学员学习探索的意识。
有重叠部分的若干对象的计数问题。能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合文氏图理解两个对象和三个对象的容斥原理；灵活处理具有一些不确定性的计数问题，以及其他形式酌重复计数问题。
抽屉原理：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。
讲演者：
得分：
森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜，白菜和青草中的一种或者几种，爱吃萝卜的小白兔中有12只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中有23只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃萝卜，如果三种食物都爱吃的小白兔又有五只，那么这群小白兔共有多少只？
【解析】
萝卜
①
②③
④
⑤⑥⑦
白菜青草
爱吃萝卜的小白兔中不爱吃白菜的部分是①③，共12只。爱吃白菜的小白兔中有23只不爱吃青草，所以②⑤是23只。爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃萝卜，所以⑥⑦是34只。三种都喜欢的小白兔有5只，所以④是5只。以上4部分正好构成小白兔的全部，所以将它们相加即可，共有12＋23＋34＋5=74只。
解答：这群小白兔共有74只。
讲演者：
得分：
从1到99这99个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的和都不等于100？最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于5？
【解析】解析：（1）将99个自然数分成50组：（1，99），（2，98），（3，97），……，（49，51），50，每组中取出一个数，则这50个数中每两个数的和都不等于100，满足要求。
（2）将99个自然数如下分组：（1，6），（2，7），（3，8），（4，9），（5，10）；（11，16），（12，17），（13，
18），（14，19），（15，20），……，（91，96），（92，97），（93，98），（94，99），95；在每组中选取一个数，满足题目的要求。
解答：50个；50个
五年级一班有46名学生参加数学，语文，文艺三项课外小组，其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，既参加数学小组又参加语文小组的有10人，参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的3.5倍，还是三项小组都参加的人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数等于三项小组都参加的人数的2倍，求参加文艺小组的人数。
【解析】
数学
①
②③
④
⑤⑥⑦
语文文艺
设三项都参加的，也就是④为“1”，则参加文艺小组的人数是“7”。即参加数学也参加文艺小组的人是③④，数量是“2”。即参加文艺小组也参加语文小组的人是④⑥，数量是“2”。根据容斥原理可以算出③④⑥是“3”，从而⑦是“4”。参加了数学小组或语文小组的人数通过容斥原理不难求的，为24＋20－10=34，所以⑦有46－34=12人，它对应“4”，所以“1”是3人，于是参加文艺小组的有3×7=21人。
解答：参加文艺小组的人数是21人。
四年级一班有22人参加语文竞赛，32人参加数学竞赛，27人参加英语竞赛，其中同时参加语文竞赛和数学竞赛的有12人，同时参加语文竞赛和英语竞赛的有14人，同时参加数学竞赛和英语竞赛的有15人。请问：四年级一班参加竞赛的总人数最少是多少？
【解析】根据容斥原理：参加竞赛的人数=22＋32＋27－12－14－15＋三科都参加的人数=40＋三科都参加的人数。所以问题转化为求至少有多少人三科都参加。
画文氏图：语文
①
②③
④
⑤⑥⑦
数学英语
对参加语文竞赛的人来说，还参加其他竞赛的人数是12＋14－④，它显然不能多于22人，所以④至少要有4人。如果参加三科竞赛的人数是4的话，有：
语文
8 10
4
9 11 2
数学英语
此时参加竞赛的人数最少，为44人。
解答：四年级一班参加竞赛的总人数最少是44人。
在阳光明媚的一天下午，甲，乙，丙，丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了
80盆，丁浇了90盆，请问：
（1）恰好被三人浇过的花最少有多少盆？
（2）恰好被一个人浇过的花最多有多少盆？
【解析】方法一：（1）所有的花共被浇了30＋75＋80＋90=275次。要使被3个人浇过的花最少，而被浇的总数还能达到275次，那么要让被4人浇过的尽可能地多。被4人都浇过的花最多是30盆，然后还剩下100－30=70盆花，共被浇了275－4×30=155次，这70盆花若都是只被2人浇过，则共只被浇了70×2=140次，不足155次，因此至少有155－140=15盆花被3人浇过。
下面给出一个实现的可能。
甲浇了第1～30盆，乙浇了第1～75盆，丙浇了第1～55和76～100盆，丁浇了1～45和第56～100盆。
（2）假设所有的花都只被1个人浇过，则共被浇了100次，还差了275－100=175次，因此必定有一些花被4人、3人、2人浇过，才能消耗掉这多出来的175次，而且为了尽快地消耗掉，应该让被4人、3人浇过的花尽可能地多。被4人浇过的最多有30盆，还多出175－（4－1）×30=85次。85÷（3－1）=42…1，因此还需要42盆花换成被3人浇过，1盆花换成被2人浇过，那么被1个人浇过的花最多有100－30－42－1=27盆。
下面给出一个实现的可能。甲浇了第1～30盆，乙浇了第1～75盆，丙浇了第1～73和第76～82盆，丁浇了第1～72和第83～100盆。
方法二：（1）设被1个人浇的有a盆，被2个人浇的有b盆，被3个人浇的有c盆，被4个人浇的有d盆，则有
a＋2b＋3c＋4d=30＋75＋80＋90=275
① a＋b＋c＋d≤100
②①－②×2，得c＋2d－a≥75
再根据a≥0，d≤30，可得c≥15
（2）②×3－①，得2a＋b－d≤25，再根据b≥0，d≤30，可得2a≤55，a≤27
构造方法同方法一。
解答：（1）恰好被三人浇过的花最少有15盆。（2）恰好被一个人浇过的花最多有27盆。
从1至50这50个自然数中至少选出多少个数，才能保证其中必有两个数互质？
【解析】将1至50中每相邻的两个数分为一组：（1，2），（3，4），……，一共25组，每组内的两个数都是互质。取全部的偶数，它们中没有那两个数互质，再取出一个奇数就能满足要求。
解答：26个。
任选7个不同的数，请说明：其中必有2个数的和或者差是10的倍数。
【解析】解答：按除以10的余数分类，构造如下6个抽屉（0），（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5）
求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a，b，c，d，e，f，使得（a－b）×（c－d）×（e －f）是105的倍数。
【解析】一个数除以7 的余数只有0，1，2，3，4，5，6这7种情况，所以8个数中必有两个数除以7的余数相同。取出两个数，设为a、b，则a－b是7 的倍数。再考虑剩余的6个数，同理，一个数除以5的余数只有5种可能，所以6个数中必有两个数除以5的余数相同。取出两个数，设为c、d，则c－d是5的倍数。再考虑剩下的4个数，同理可得e－f是3的倍数。
所以此时（a－b）×（c－d）×（e－f）是105的倍数。
甲，乙，丙三人都在读同一本故事书，书中有100个故事，已知甲读了85个故事，乙读了70个故事，丙读了62个故事。请问：
(1)甲，乙，丙三人都读过的故事最少有多少个?
(2)如果每个人都是从某一个故事开始，按顺序连续往后读，那么甲，乙，丙三人都读过的故事最少有多少个？
【解析】（1）三个人共读了85＋70＋62=217（个）故事，若每个故事都被读了2次，则共被读了100×2=200次。因此至少有217－200=17（个）故事被读了3次。
（2）若甲读了前面85个故事，乙读了前面70个故事，丙读了后面62个故事，则三人都读过的故事有32个。下面来说明32确实是最少
对甲来说，无论他从第几个故事开始读，第16至第85个故事他一定读过，考虑这70个故事，对乙来说，他至少读了其中的70－15=55个；对丙来说，他至少读过其中62－15=47个，所以无论乙和丙在这70个故事里面怎么读，他们共同读过的数目不少于55＋47－70=32个。所以三个人都读过的数目不少于32。因为32个是可以达到的，所以三人都渡过的故事最少32个。
解答：（1）3次；（2）32个。
森林里住着100只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜，其中爱吃萝卜的小白兔数量是爱吃
白菜的小白兔数量的2倍，而不爱吃白菜的小白兔数量是不爱吃萝卜的小白兔数量的3倍，他们当中
有多少只小白兔既不爱吃萝卜有不爱吃白菜？
【解析】
爱吃萝卜的爱吃白菜的
①②③
有小白兔100只，所有①②③一共是100只，设不爱吃萝卜的小白兔，也就是②的数量为1份，那么
①是3份，因为爱吃萝卜的小白兔是爱吃白菜的2倍，所以爱吃白菜的小白兔有（3－1）÷（2－1）
=2份，从而全部的小白兔一共有五份，而它对应100只兔子，所以每份是20只。而爱吃萝卜又矮吃白
菜的小白兔恰好有一份，所以有20只。
解答：有20只小白兔既不爱吃萝卜有不爱吃白菜。
从1至30这30个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除。请问：最多能取出多少个数？
【解析】把每两个7的倍数之间的6个数分成3组，所有7的倍数分成1组，29，30各单独做为1组，一共是15组，如下分组：（1，6），（2，5），（3，4）；（8，13），（9，12），（10，11）；（15，20），（16，19），（17，18）；（22，27），（23，26），（24，25），（7，14，21，28），29，30。
解答：15个。
将同学们编为两组，做脑筋急转弯的游戏，一组出题，另一组回答，轮流进行。同学们有很多这样的题目，谨举两例，抛砖引玉。
在中国，哪个村庄最大？【脑筋急转弯答案：石家庄】
马在哪里不需腿也能走？【脑筋急转弯答案：象棋盘上】
这种训练，对数学审题和逻辑思维能力的培养非常有效。