第五节
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
[知识能否忆起]
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β；
(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α
1－tan 2α.
3．常用的公式变形
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ???
?α±π
4. [小题能否全取]
1．(2011·福建高考)若tan α＝3，则sin 2α
cos 2α的值等于( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
解析：选D
sin 2αcos 2α＝2sin αcos α
cos 2α
＝2tan α＝2×3＝6.
2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( ) A ．－2
2
B.22
C.
3
2
D ．1
解析：选B 原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝22
. 3．已知sin α＝2
3，则cos(π－2α)等于( )
A ．－5
3 B ．－19
C.19
D.53
解析：选B cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－1
9.
4．(教材习题改编)若cos α＝－4
5，α是第三象限角，则sin ????α＋π4＝________ 解析：由已知条件sin α＝－1－cos 2α＝－3
5，
sin ????α＋π4＝22sin α＋22cos α＝－7210. 答案：－7210
5．若tan ????α＋π4＝2
5，则tan α＝________. 解析：tan ????α＋π4＝tan α＋11－tan α＝25， 即5tan α＋5＝2－2tan α. 则7tan α＝－3，故tan α＝－3
7.
答案：－3
7
1.两角和与差的三角函数公式的理解：
(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则
后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．
(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．
(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α
＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．
2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对
角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
三角函数公式的应用
典题导入
[例1] (2011·广东高考)已知函数f (x )＝2sin ????
13x －π6，x ∈R . (1)求f ????5π4的值；
(2)设α，β∈???0，π2，f ???3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝6
5，求cos(α＋β)的值． [自主解答] (1)∵f (x )＝2sin ????
13x －π6， ∴f ????5π4＝2sin ????5π12－π6＝2sin π4
＝ 2. (2)∵α，β∈????0，π2，f ????3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝6
5， ∴2sin α＝10
13，2sin ????β＋π2＝65. 即sin α＝513，cos β＝3
5.
∴cos α＝1213，sin β＝4
5
.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213×35－513×45＝16
65
.
由题悟法
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
以题试法
1．(1)已知sin α＝3
5
，α∈????π2，π，则cos 2α
2sin ???
?α＋π
4＝________.
(2)(·济南模拟)已知α为锐角，cos α＝55
，则tan ????π4＋2α＝( ) A ．－3 B ．－1
7
C ．－4
3
D ．－7
解析：(1)cos 2α
2sin ????α＋π4＝cos 2α－sin 2α
2
???
?22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，
∵sin α＝35，α∈????π2，π，∴cos α＝－45. ∴原式＝－7
5
.
(2)依题意得，sin α＝255，故tan α＝2，tan 2α＝2×21－4
＝－4
3，所以tan ????π4＋2α＝1－431＋43＝－17
. 答案：(1)－7
5 (2)B
三角函数公式的逆用与变形应用
典题导入
[例2] (·德州一模)已知函数f (x )＝2cos 2x
2－3sin x .
(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；
(2)若α为第二象限角，且f ????α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α
的值． [自主解答] (1)∵f (x )＝2cos 2x
2－3sin x ＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ????x ＋π3， ∴周期T ＝2π，f (x )的值域为[－1,3]．
(2)∵f ????α－π3＝13，∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－1
3. ∵α为第二象限角，∴sin α＝223
.
∴cos 2α
1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23
＝1－22
2
.
由题悟法
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
以题试法
2．(1)(·赣州模拟)已知sin ???α＋π6＋cos α＝435，则sin ???α＋π3的值为( ) A.4
5 B.35 C.3
2
D.35
(2)若α＋β＝3π
4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．
解析：(1)由条件得
32sin α＋32cos α＝435
， 即12sin α＋32cos α＝4
5. ∴sin ????α＋π3＝4
5
. (2)－1＝tan 3π
4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，
∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β. ∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2， 即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 答案：(1)A (2)2
角 的 变 换
典题导入
[例3] (1)(·温州模拟)若sin α＋cos α
sin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
(2)(·江苏高考)设α为锐角，若cos ????α＋π6＝45，则sin ????2α＋π
12的值为________． [自主解答] (1)由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1
tan α－1
＝3，
两角和差的正弦余弦正切公式练习题 知识梳理 1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin( a±3 = sin_a cos B±cos_osin 3 cos(a? 3 = cos _ocos_3sin 一 o (sin 3 tan a±a n 3 tan (a±3 = . 1?tan a an 3 2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 a= 2sin_ a os_a 2 ■ 2 2 ■ 2 cos 2a= cos a — sin a= 2cos a — 1 = 1 一 2sin a 3. 有关公式的逆用、变形等 (1)ta n a±an 3= tan( a±3(1 ?tan_ a an_ 3. 4. 函数 f(M = asin a+ bcos o(a, b 为常数)，可以化为 f( a = a 2 + b 2 sin(a+ ?，其中 tan 一、选择题 1.给出如下四个命题 ②存在实数a,3 ,使等式 cos( ) cos cos sin sin 能成立； ③公式tan( ) tan an 成立的条件是 k —(k Z)且 k —(k Z)； 1 tan tan 2 2 ④不存在无穷多个 a 和3,使 sin( )sin cos co s ，sin ； 其中假命题是 ( ) A.①② B.②③ C. ③④ D. ②③④ 2 .函数 y 2sin x(sin x cosx)的最大值是 ( ) A. 1 . 2 B. .. 2 1 C. 、2 D. 2 ①对于任意的实数a 和3,等式cos( )cos cos sin sin 恒成立； tan 2 2ta n a 1 tan 2 a 2 (2)cos a= 1 + cos 2a 2 sin 2 a= 1 — COS 2a 2 - 2 (3)1 + sin 2 a= (sin a+ cos c), 1 — sin 2 a= (sin a — cos a )2 , sin a±cos a= 2sin a±4t .
两角和差的正弦余弦正切公式练习题 知 识 梳 理 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. cos(αβ)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β. tan(α±β)＝tan α±tan β 1tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α. cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α 1－tan 2α . 3．有关公式的逆用、变形等 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1tan_αtan_β)． (2)cos 2α＝ 1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2 . (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝ 2sin ? ?? ?? α±π4. 4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中tan φ＝b a 一、选择题 1．给出如下四个命题 ①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβ αβαtan tan 1tan ?-+an 成立的条件是)(2 Z k k ∈+≠ππα且)(2 Z k k ∈+≠ππβ； ④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是 （ ） A ．21+ B ．12- C ．2 D ． 2
《两角和与差的余弦公式》教学设计 一、教材地位和作用分析： 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。 二、教学目标： 1、知识目标： ①、使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式； ②、使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导； ③、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。 2、能力目标： ①、培养学生逆向思维的意识和习惯； ②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识； ③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标： ①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美； ②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。 三、教学重点和难点： 教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用。 教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用。 四、教学方法： 创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作用的
和谐统一。 由此我决定采用以下的教学方法：创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。 学法指导： 1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。) 2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。 五、教学过程
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式 ①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C (α－β)) ②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C (α＋β)) ③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S (α－β)) ④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S (α＋β)) ⑤tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β(T (α－β)) ⑥tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β(T (α＋β)) (2)公式变形 ①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．二倍角公式 (1)公式 ①sin 2α＝2sin_αcos_α， ②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α， ③tan 2α＝ 2tan α 1－tan 2α . (2)公式变形 ①cos 2 α＝1＋cos 2α2，sin 2 α＝1－cos 2α2 ； ②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin )4(π α±. 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．(×) (4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β 可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意
二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础) 【学习目标】 1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系. 2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用． 3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用. 【要点梳理】 要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 2sin 22sin cos ()S αααα=? 22222cos 2cos sin () 2cos 112sin C αααααα =-=-=- 22 2tan tan 2()1tan T αα αα = - 要点诠释： (1)公式成立的条件是：在公式22,S C αα中，角α可以为任意角，但公式2T α中，只有当 2 k π απ≠ +及()4 2 k k Z π π α≠ + ∈时才成立； (2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其它如4α是2α的二倍、 2α是4 α 的二倍、3α是 32 α 的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 如：2 cos 2 sin 2sin α α α=； 1 1 sin 2sin cos ()2 2 2 n n n n Z α α α ++=∈ 2．和角公式、倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：
二倍角的正弦、余弦、正切 王业奇
α 1tan tan 二、提出问题：若β = α 让学生板演得下述二倍角公式：
一、例题： 例一、（公式巩固性练习）求值： 1．sin22 30’cos22 30’=4 2 45sin 21= 2．=-π 18 cos 22 224cos = π 3．=π -π8 cos 8sin 22 224cos - =π- 4．=ππππ12 cos 24cos 48 cos 48 sin 8 2 16sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin 4=π=ππ=πππ 例二、 1．5555(sin cos )(sin cos )12121212ππππ +- 2 25553 sin cos cos 121262 πππ=-=-=
2．=α-α2sin 2cos 44 α=α -αα+αcos )2 sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222 3． =α+-α-tan 11tan 11α=α -α 2tan tan 1tan 22 4．=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+ 例三、若tan = 3，求sin2 cos2 的值。 解：sin2 cos2 = 57 tan 11tan tan 2cos sin cos sin cos sin 22 22222=θ +-θ+θ=θ+θθ-θ+θ 例四、 条件甲：a =θ+sin 1，条件乙：a =θ +θ2 cos 2sin ， 那么甲是乙的什么条件？ 解：= θ+sin 1a =θ +θ2)2 cos 2(sin 即a =θ +θ|2 cos 2sin | 当 在第三象限时，甲 乙；当a > 0时，乙 甲 ∴甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件。 例五、（P43 例一） 已知),2 (,135sin ππ ∈α= α，求sin2，cos2，tan2的值。 解：∵),2 (,135sin ππ ∈α=α ∴1312 sin 1cos 2-=α--=α ∴sin2 = 2sin cos = 169 120 -
一、知识回顾 1、填表:(表一） 角α ?0 ?30 ?45 ?60 ?90 ?120 ?135 ?150 ?180 角α的弧度制 αsin αcos 2、两角和与差的正余弦公式 （ 1 ） 差 角 的 正 余 弦 : ｓ ｉ ｎ ( = ;)cos(βα-= ; (２）和角的正余弦 ：s ｉn(（ = ；ｃｏs ( = ; 3、牛刀小试(不查表求下列式子的值) (1）sin15; (２)cos 75； (3)sin 75 问题１:你能由两角差的余弦公式推出两角和的余弦公式吗? [] cos()cos ()cos cos()sin sin()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ +=--=-+-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴+=- C αβ+ 问题2 ：你能由两角和与差的余弦公式推出两角和与差的正弦公式吗？ sin()cos ()cos ()22cos( )cos sin()sin 22sin cos cos sin ππαβαβαβππ αβαβ αβαβ ???? +=-+=-+???? ???? =-+-=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ∴+=+ S αβ+
[]sin()sin ()sin cos()cos sin()sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=- sin()sin cos cos sin αβαβαβ∴-=- S αβ- 二、知识应用 1． 已知3cos 5α=-，(,)2παπ∈,求cos()4 π α-的值。 2. 已知sin α=＼f(2,3)，α∈(错误!,π)，cos β=－错误!，β∈(π，错误!)．求si ｎ(α－β），cos(α＋β），t ａn(α＋β）. ３． 已知 4π<α<4π3，0＜β<4π，cos(4π+α)＝-53,s ｉn （4π3+β）=13 5， 求si ｎ(α+β）的值． ４． 已知2π<α<β＜4π3，cos(α－β)=1312，si ｎ（α+β）＝-5 3,求sin2α的值.
§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式 一、教学目标 以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ++=-． （二）公式推导： ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα =+=+=； ()22cos 2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-． ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+= =--． 升降幂公式 2 )cos (sin 2sin 1ααα±=±
αα2cos 22cos 1=+αα2sin 22cos 1=-2 2cos 1cos 2α α+=22cos 1sin 2α α-=}}升幂降角公式 降幂升角公式
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》复习学案 自主梳理1．(1)两角和与差的余弦 cos(α＋β)＝_____________________________________________， cos(α－β)＝_____________________________________________. (2)两角和与差的正弦 sin(α＋β)＝_____________________________________________， sin(α－β)＝_____________________________________________. (3)两角和与差的正切(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π 2，k∈Z) tan(α＋β)＝_____________________________________________， tan(α－β)＝_____________________________________________. 其变形为：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中 ?? ? ??cos φ＝， sin φ＝， tan φ＝ b a， 角φ称为辅助角（考试只要求特殊角）． 【基础自测】 1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于 () A. 1 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 3 2 2．已知cos???? α－ π 6＋sin α＝ 43 5，则sin? ? ? ? α＋ 7π 6的值是 () A．－ 23 5 B. 23 5C．－ 4 5 D. 4 5 3．函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的最小正周期是 () A. π 2B．πC．2πD．4π4．设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是 () A.???? π 3， π 2 B.? ? ? ? π 3，π C.???? π 3， 4π 3 D.? ? ? ? π 3， 3π 2 5．已知向量a r ＝(sin x，cos x)，向量b r ＝(1，3)，则|a r ＋b r |的最大值为() A．1 B. 3 C．3 D．9 【考点巩固】 探究点1给角求值问题(三角函数式的化简、求值) 例 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
半角的正弦、余弦和正切 学习目标： 1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程； 2. 掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单三角函数式的化简、求值和证明恒等式. 学习重点： 掌握半角的正弦、余弦、正切公式的结构特点，灵活用公式． 学习难点：半角与倍角公式之间的内在联系及运用公式时正负号的选取． 知识链接： 1. 复习二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α= ； cos 2α= = = ； tan 2α= . 一、预习案： 问题1：若7cos 25α=，且α为锐角，则sin 2 α= ， cos 2α = ，tan 2α = . 1?在α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2α代α即得2sin 2 α= 2?在1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2α代α即得2cos 2 α= 3?以上结果相除得2tan 2α= 半角公式：sin 2 α= （1） cos 2α= （2） tan 2α = = = （3） 问题2：半角公式的特点及使用公式时应该注意什么问题？
问题3：你能根据上面的公式解答下列问题吗？ 1、求值：（1）sin15 （2）cos15 （3）tan 8π 二、学习案： 例1：已知sin θ＝45，且5π2＜θ＜3π，求cos θ2和tan θ2 的值． 跟踪训练：已知sin φcos φ＝60169，且π4＜φ＜π2 ，求sin φ，cos φ的值． 例2：化简： 1. (1＋sin α＋cos α)? ????sin α2－cos α22＋2cos α (180°＜α＜360°) 2.cot tan 1tan tan .222αααα????-+? ??????? 跟踪训练： 化简： 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin αααααααα +---+--+-
“二倍角的正弦、余弦、正切”教学设计 设计理念：根据皮亚杰的认知发展理论，在个体从出生到成熟的发展过程中，智力发展可以分为具有不同的质的四个主要阶段：激活原有认知结构、构建新的认知结构、尝试新的认知结构、发展新的认知结构。发展的各个阶段顺序是一致的，前一阶段总是达到后一阶段的前提。阶段的发展不是间断性的跳跃，而是逐渐、持续的变化。皮亚杰的认知发展阶段论为发展性辅导中学生智力发展水平的评估和诊断，提供了重要的理论依据。 教学内容：《普通高中课程标准实验教科书（数学）》必修4（人教A版），第三章、第一节、第145－148页。 “二倍角的正弦、余弦、正切”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式，它既是两角和的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简和证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角公式的推导知道：二倍角公式的内涵是“揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律”，通过推导还让学生了解高中数学中由“一般”到“特殊”的化归数学思想，因此这节课也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。 教学目标：根据新课程标准的要求、本节教材的特点和学生对三角函数的认知特点，我们把本节课的教学目标确定为： 1、能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解它们的内在联系，从中体会数学的化归思想和数学规律的发现过程。 2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对二倍角公式的正用、逆用、变形使用，提高三角变形的能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。 3、通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新意识和数学情感，提高数学素养。 学情分析：我们的学生从认知角度上看，已经比较熟练的掌握了两角和与差的三角函数的基础上。从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。从能力上看，学生主动学习能力、探究的能力、较弱。
课时跟踪检测（二十四） 两角差的余弦函数两角和与差的正弦、 余弦函数 一、基本能力达标 1．已知α∈? ????0，π2，cos α＝3 3，则cos ? ????α＋π6＝( ) A.12－66 B ．1－66 C ．－12＋66 D ．－1＋6 6 解析：选A ∵α∈? ????0，π2，cos α＝33，∴sin α＝63， ∴cos ? ????α＋π6＝cos αcos π6－sin αsin π 6 ＝33×32－63×12＝12－66 . 2．满足cos αcos β＝3 2 －sin αsin β的一组α，β的值是 ( ) A ．α＝13π12，β＝3π4 B ．α＝π2，β＝π 3 C ．α＝π2，β＝π6 D ．α＝π3，β＝π 4 解析：选B ∵cos αcos β＝3 2 －sin αsin β， ∴cos αcos β＋sin αsin β＝32，即cos(α－β)＝3 2， 经验证可知选项B 正确． 3．在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．三者都有可能 解析：选C ∵sin A sin B ＜cos A cos B ， ∴cos A cos B －sin A sin B ＞0，∴cos(A ＋B )＞0，
∴A ＋B ＜90°，∴C ＞90°，∴△ABC 是钝角三角形． 4．已知3cos x －sin x ＝－6 5，则sin ? ?? ??π3－x ＝ ( ) A.45 B ．－45 C.35 D ．－3 5 解析：选D 3cos x －sin x ＝2? ?? ??sin π3cos x －cos π 3sin x ＝2sin ? ????π3－x ＝－65，故sin ? ?? ??π3－x ＝－3 5. 5．已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，sin(α＋β)＝3 5，则sin β 等于( ) A ．0 B ．0或2425 C.2425 D ．±24 25 解析：选C 由0<α<π2<β<π得，π2<α＋β<3π 2 ， 又sin α＝35，sin(α＋β)＝35，∴cos α＝45，cos(α＋β)＝－4 5， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α] ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35×45－? ????－45×35＝24 25. 6．sin 15°＋cos 165°的值是________． 解析：原式＝sin(45°－30°)＋cos(120°＋45°) ＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋cos 120°cos 45°－sin 120°sin 45° ＝22×32－22×12－12×22－32×22＝－22.答案：－22 7．设a ＝2cos 66°，b ＝cos 5°－3sin 5°，c ＝2(sin 47°sin 66°
§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式（1）教案 珠海市田家炳中学：温世明 一、知识与技能 1. 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；理解化归思想在推导中的作用。 2. 能正确运用（顺向、逆向、变形运用）二倍角公式求值、化简、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力； 3.揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，并培养学生综合分析能力. 4.结合三角函数值域求函数值域问题。 二、过程与方法 1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识. 2.通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力；通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。 三、情感、态度与价值观 1.通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力. 2.引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质. 四、教学重、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 五、学法与教学用具 学法：研讨式教学，多媒体教学； 六、教学设想： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和（差）的正弦、余弦和正切公式， ()βαβαβαsin sin cos cos cos =±；()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±； ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan ±= ±． (二) 复习练习： （三）公式推导： 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可）， ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+= ()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢 ？
《两角和与差的正弦、余弦函数》教学设计 商州区中学秦明伟 一、学情分析 本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角和与差的正弦、余弦公式建立了良好的知识基础。 二、教学内容分析 本节内容是北师大版教材必修4第三章《三角恒等变换》第二节，推导得到两角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源头。 由于向量工具的引入，教材选择了两角差的余弦公式作为基础，这样处理使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算，大大地降低了思考的难度，也更易于学生接受。 从知识产生的角度来看，在学习了《三角函数》及《平面向量》后再学习由这些知识推导出的新知识也更符合知识产生的规律，符合人们认知的规律。从知识的应用价值来看，重视数学知识的应用，是新教材的显著特点，课本中丰富的生活实例为学生用数学的眼光看待生活、体验生活即数学理念，体验用数学知识解决实际问题，有助于增强学生的数学应用意识。 基于上述分析，本节课的教学重点是引导学生通过合作、交流，探索两角差的余弦公式，进而推导得到其余的和差公式，为后续简单的恒等变换的学习打好基础。
三、教学三维目标 1、知识目标 通过两角差的余弦公式的探究，让学生探索、发现并推导其他和（差）角公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题。 2、能力目标 通过利用向量推导两角和与差的正弦、余弦公式及公式的具体运用，使学生深刻体会联系变化的观点，让学生自觉的利用联系的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力及学生逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标 使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。 四、教学重点、难点 重点：探索得到两角差的余弦公式，理解两角和与差的正弦、余弦公式的推导。 难点：探索过程的组织和适当引导，并能灵活运用公式。 五、教学过程 导入新课
两角和差的正弦余弦正切公式练习题 一、选择题 1．给出如下四个命题 ①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβ αβαtan tan 1tan ?-+an 成立的条件是)(2 Z k k ∈+≠ππα且)(2 Z k k ∈+≠ππβ； ④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是 （ ） A ．21+ B ．12- C ．2 D ． 2 3．当]2 ,2[π π- ∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的 （ ） A ．最大值为1，最小值为－1 B ．最大值为1，最小值为2 1- C ．最大值为2，最小值为－2 D ．最大值为2，最小值为－1 4．已知)cos(,3 2 tan tan ,7)tan(βαβαβα-= ?=+则的值 （ ） A ．2 1 B ． 2 2 C ．2 2- D ．2 2± 5．已知 =-=+=-<<<αβαβαπαβπ 2sin ,53 )sin(,1312)cos(,432则 （ ） A ．6556 B ．－6556 C ．5665 D ．－56 65 6． 75sin 30sin 15sin ??的值等于 （ ） A ． 4 3 B ． 8 3 C ．8 1 D ． 4 1 7．函数)4 cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+= +=π π其中为相同函数的是 （ ） A ．)()(x g x f 与 B ．)()(x h x g 与 C ．)()(x f x h 与 D ．)()()(x h x g x f 及与 8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++=== 则,8 1 tan ,51tan ,21tan 等于 （ ）
马鞍山中加双语学校数学组学引用清教学设计 学科： 数学 年级： 高一 授课时间： 一课时 主备人：朱坤坤 总课题 第三章 三角恒等变换 课时 1 课 题 3．1．3二倍角的正弦、余弦和正切公式 课型 新授课 教学目标 知识与技能： 会以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、 余弦和正切公式 理解推导过程，了解它们的内在联系，并能运用上述公式进行简单的恒等变换. 过程与方法： 引导学生积极参与到推导过程当中 情感态度价值观： 树立辩证思维的能力，培养学生创新能力。 教学重点 以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式 教学难点 二倍角的理解及其灵活运用 教 学 内 容 操作细则 一、引入新课及学习目标展示［3分钟］ 1. 引入新课：一、复习准备： 大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -． 2.学习目标展示［2分钟］ 1，会借助于两角和的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式 2，灵活运用二倍角公式进行简单的恒等变换. 二、自学指导［30分钟］ 我们已经知道两角和的正弦、余弦、正切公式 ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -． 导入部分： 激发学生学习兴趣，使学生对本节课要学内容有大概了解 使学生对本节课所学内容和要达到的目标有清晰的了解
两角和差正余弦公式的证明 两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。 由角, 的三角函数值表示的正弦或余弦值, 这正是两角和差的正余弦公式的功能。换言之, 要推导两角和差的正余弦公式, 就是希望能得到一个等式或方程, 将或与, 的三角函数联系起来。 根据诱导公式, 由角的三角函数可以得到的三角函数。因此, 由和角公式容易得到对应的差 角公式, 也可以由差角公式得到对应的和角公式。又因为 , 即原角的余弦等于其余角的正弦, 据此, 可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。因此, 只要解决这组公式中的一个, 其余的公式将很容易得到。 (一) 在单位圆的框架下推导和差角余弦公式 注意到单位圆比较容易表示, 和, 而且角的终边与单位圆的交点坐标可 与, 的三角以用三角函数值表示, 因此, 我们可以用单位圆来构造联系 函数值的等式。 1. 和角余弦公式 使, 和, 并作角, 中作单位圆在直角坐标系, 如图所示1) 方法( 于点A, 终边交于点B；角始边为, 终边交的始边为角, 交 于点。从而点始边为A, B, 终边交, C和于点C；角D的坐标分别为 ,。, , 由两点间距离公式得 ； 。 注意到, 因此。 注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架, 利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段, 从而得到我们所要的等式。注意, 公式中的和为任意角。 2. 差角余弦公式
仍然在单位圆的框架下, 用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段, 也可以得到我们希望的三角等式。这就是 (方法2) 如图所示, 在坐标系中作单位圆, 并作角和, 使角和 终边交于点。, , , 的始边均为交于点C角终边交于点A角从而 。的坐标为B, A点,． 由两点间距离公式得 。 由余弦定理得 。 从而有。 注记：方法 2 中用到了余弦定理, 它依赖于是三角形的内角。因此, 还需 的情形。容易验证要补充讨论角和的终边共线, 以及大于, 公式在以上情形中依然成立。 在上边的证明中, 用余弦定理计算的过程也可以用勾股定理来进行。也可以用向量法来证明。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式专题复习 一、知识要点： 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)():sin()sin cos cos cos S αβαβαβαβ±±=±； (2)():cos()cos cos sin sin C αβαβαβαβ±±=； (3)()tan tan :tan()1tan tan T αβαβαβαβ ±±±=. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)(2):sin 22sin cos S αααα=α； (2)2222(2):cos2cos sin 2cos 112sin C αααααα=-=-=-； (3)(2)22tan :tan 21tan T αααα =-. 3．常用的公式变形 (1)tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±； (2)221cos 21cos 2cos ,sin 22 αααα+-==； (3)221sin 2(sin cos ),1sin 2(sin cos )αααααα+=+-=-,sin cos )4π ααα±=±. 4．函数()sin cos (,f x a x b x a b =+为常数),可以化为())),f x x x ?θ=+=-其中()?θ可由,a b 的值唯一确定． 两个技巧 (1)拆角、拼角技巧：(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等． 【双基自测】
1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为14 的是( )． A ．22cos 112π- B ．20 12sin 75- C.0 202tan 22.51tan 22.5- D ．00sin15cos15 2．0000 sin 68sin 67sin 23cos68-=( ) A ．2- B.2．1 3．(2011·福建)若tan 3,α=则2sin 2cos αα =( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 4．已知2sin ,3 α=则cos(2)πα-=( )． A ．．19- C.195．(2011·辽宁)设1sin(),43 πθ+=则sin 2θ= ( )． A ．79- B ．19- C.19 D.79 6．0000tan 20tan 4020tan 40++=________. 7．若2tan(),45 πα+=则tan α=t________. 考向一 三角函数式的化简与求值 [例1] 求值：①00 00cos15sin15cos15sin15 -+；②00sin 50(1). [例2] 已知函数()2sin(),36 x f x x R π=-∈.
二倍角的正弦、余弦和正切公式 一、教学目标 以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ()tan tan tan αβαβ++=． 的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可）， sin 2sin cos αα=； 22cos sin ααα=-； 思 否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？2cos 2αα=； 2cos 21αα=-． tan 2α= 注意：2例1、已知5sin 2,,1342ππαα= <<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由,42π π α<<得22π απ<<． 又因为5sin 2,13α=12cos 213α===-． 于是512120sin 42sin 2cos 221313169 ααα??==??-=- ???； 225119cos 412sin 21213169αα??=-=-?= ??? ；120sin 4120169tan 4119cos 4119169 ααα- ===-． 例２、已知1tan 2,3α=求tan α的值．
解：22tan 1tan 21tan 3 ααα==-，由此得2tan 6tan 10αα+-= 解得tan 2α=-+tan 2α=-- （四）小结：
【课题】 1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式（一） 【教学目标】 知识目标： 理解两角和与差的正弦公式与余弦公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的计算和化简． 能力目标： 学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高． 【教学重点】 本节课的教学重点是两角和与差的正弦公式与余弦公式． 【教学难点】 难点是公式的推导和运用． 【教学设计】 在介绍新知识之前，首先利用特殊角的三角函数值，让学生认识到 cos(6030)cos60cos30?-?≠?-?， 然后提出如何计算cos()αβ-的问题．利用矢量论证cos()αβ-的公式，使得公式推导过程简捷．教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上．例1和例2 都是两角和与差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点．推广π sin()cos 2αα-=时， 用到了换元的思想，培养学生的整体观念和变换的思维．公式sin()αβ+的推导过程是，首 先反向应用例3中的结论π cos()sin 2αα-=，然后再利用公式cos()αβ-，最后整理得到公 式．教学关键是引导学生将()αβ+看做整体，这样才能应用公式π cos()2α-．逆向使用公式， 培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视．得到这些公式后，要强调公式cos()αβ-是最基本的公式，要求学生理解其他公式的推导过程，同时将公式sin()αβ±和公式cos()αβ±相对比进行记忆．要帮助学生总结公式中角α和角β以及函数名称排列的特点和符号的特点，教会学生利用这些特点记忆公式．抓住特点进行强化记忆的记忆能力培养是数学课程的一项重要任务．例4利用 156045?=?-?求解，还可以利用154530?=?-?求解．例5通过逆向使用公式来巩固知识， 这种方法在三角式的变形中经常使用．例6是三角证明题．教材给出了两种证明方法，体现了正向与逆向使用公式的思路．教学中要强调这两种使用方法，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，培养学生的数学思维能力． 【教学备品】 教学课件．两课时 【课时安排】