数列专题3
一、裂项求和法
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.
通项分解（裂项）如：通项为分式结构，分母为两项相乘，型如：1
1
+?n n a a ， }{n a 是0≠d 的等差
数列。
常用裂项形式有：
；111)1(1+-=+n n n n 1111()()n n k k n n k =-++；)1
21121(211)12)(12()2(2+--+=+-n n n n n ；
])2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-n n n n n n n ；
)(1
1b a b
a b a --=+；
)(11n k n k n k n -+=++特别地：n n n
n -+=++111
二、用放缩法证明数列中的不等式
将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法，叫放缩法。
1.常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种： ①
1
n
i
i a
k =<∑（k 为常数）
；②1
()n
i i a f n =<∑；③1
()n
i i a f n =<∏；④1
n
i i a k =<∏（k 为常数）. 放缩目标模型→可求和（积）→等差模型、等比模型、裂项相消模型 2.几种常见的放缩方法
（1）添加或舍去一些项，如：a a >+12
；n n n >+)1(
（2）将分子或分母放大（或缩小）
①
n n n n n 111)1(112--=-< ； 11
1)1(112
+-=+>n n n n n （程度大） ②)11
11(21)1)(1(11112
2+--=+-=- 11111121312111<+=++++++≤+++++++n n n n n n n n n 或21221212121312111==+++≥+++++++n n n n n n n n n ④n n n n n n n ==+++>++++111131211 ⑤平方型：)121 121(21 444412 22+--=-<=n n n n n ； )1 11(41)1(41441)12(122n n n n n n n --=-=-<- ⑥立方型：]) 1(1 )1(1[21)1(112 3+--=- )1() (1 11≥>-≤--b a b a a b a n n ⑧k k k k k 21 111<++=-+； ⑨利用基本不等式，2)1()1(++<+n n n n ，如：4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg (5lg 3log 2 =<=+ （一）放缩目标模型可求和—等比数列或等差数列 例如：（1）求证：)(12 1 212121*32N n n ∈<++++ . （2）求证：)(11 21121121121*32N n n ∈<++++++++ . （3）求证：)(22323222121*32N n n n n ∈<++++++++ . 总结：放缩法证明与数列求和有关的不等式，若1 n i i a =∑可直接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的， 一般要先将通项n a 放缩后再求和. 问题是将通项n a 放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的n b 才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等. 实际问题中，n b 大多是等比模型或裂项相消模型. （1）先求和再放缩 例1.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a n ＋12－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构 成等比数列． (1) 证明：2a = (2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1223 11111 2 n n a a a a a a ++++ <. （2）先放缩再求和 例如：求证：)(2131211* 222N n n ∈<++++ . 例如：函数x x x f 414)(+=，求证：)(21 2 1)()2()1(*1 N n n n f f f n ∈-+>++++ . 例2.设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足 ，且a 1，a 2+5，a 3成等差数列． （1）求a 1的值； （2）求数列{a n }的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有 ． 总结：一般地，形如n n n b a a -=或b a a n n -=（这里1≥>b a ）的数列，在证明 k a a a n <+++1 1121 （k 为常数）时都可以提取出n a 利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型. 练习： 1.设数列}{n a 满足0≠n a ，11=a ，)2()21(11≥+-=--n a a a n a n n n n ，数列}{n a 的前n 项和为n S . （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求证：当2≥n 时，21 <<+n S n n ； （3）试探究：当2≥n 时，是否有 3 5 )12)(1(6<<++n S n n n ？说明理由. （3）形如 1 ()n i i a f n =<∑ 例如：设)1(3221+++?+?=n n S n ，求证： )(2 ) 2(2)1(*N n n n S n n n ∈+<<+. 根据所证不等式的结构特征来选取所需要的不等式，不等式关系：22112 2 2b a b a ab b a +≤ +≤≤+ 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2 b a a b +≤，若放缩成 1)1(+<+n n n ，则得2)1(2)3)(1(12 1 +>++= +<∑=n n n k S n i i n ，就放过“度”了。 总结：形如 1 ()n i i a f n =<∑的数列不等式证明： 设n S 和n T 分别为数列}{n a 和}{n b 的前n 项和，若)(* N n b a n n ∈<，利用不等式的“同向可加性”这一 基本性质，则有n n T S <.要证明不等式 1 ()n i i a f n =<∑，如果记)(n f T n =看作是数列}{n b 的前n 项和，则 )2(1≥-=-n T T b n n n ，11T b =，那么只要证其通项满足n n b a <即可. （二）放缩目标模型—可求积 放缩法证明与数列求积有关的不等式，方法与上面求和相类似，只不过放缩后的n b 是可求积的模型，能求 积的常见的数列模型是n n n C C b 1+=（分式型），累乘后约简为 n i n i C C b 1 11 =+=. 姐妹不等式：)00(>>>++>m a b m a m b a b ，和)00(>>>++ a m b a b ， 记忆口诀：“小者小，大者大”，（解释：看b ，若b 小，则不等号是小于号，反之）。 例如：求证： )(1 21 21 2654321*N n n n n ∈+<-???? . 例如：求证：12)1 21 1()511)(311)(11(+>-++++n n 。 总结：形如 n i i n f a 1 )(==的数列不等式证明：设n A 和n B 分别为数列}{n a 和}{n b 的前n 项积，若 n n b a <<0，利用不等式的“正数同向可乘性”这一基本性质，则有n n B A <.要证明不等式 n i i n f a 1 )(==， 如果记)(n f B n =看作是数列}{n b 的前n 项积，则)2(1 ≥= -n B B b n n n ，11B b =，那么只要证其通项满足n n b a <<0即可. 例3.已知数列}{n a 满足3 2 1=a ，)(322*1N n a a a n n n ∈--= +. （1）求证：}1 1 { -n a 是等差数列，并求出}{n a 的通项n a ； （2）证明：对于*N n ∈，1 1 321+ （二）添加或舍去一些正项（或负项） 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证 明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。 例如：已知)(12* N n a n n ∈-=，求证： )(312*1 32 21N n a a a a a a n n n ∈+++<-+ . 例4.已知数列}{n a 的各项为正数，其前n 项和2 )2 1( +=n n n a S S 满足. （I ）求)2(1≥-n a a n n 与之间的关系式，并求}{n a 的通项公式； （II ）求证 .211121<+++n S S S 例5.已知数列 ：满足： ， ，记 . (I )求证：数列是等比数列； (I I )若 对任意 恒成立，求t 的取值范围； (III)证明: . （三）固定一部分项，放缩另外的项 例6.设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1， 21212 33 n n S a n n n +=---，n ∈N *. （1）求a 2的值； （2）求数列{a n }的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有12 11174 n a a a +++ <. 练习： 2.设100 13 12 11+ ++ + = s ，则s 的整数部分是（ ） A.17 B.18 C.19 D.20 3.已知}{n a 是各项都为正数的数列，n S 为其前n 项和，且11=a ， )1 (21n n n a a S + =. （I ）求数列}{n a 的通项n a ； （II ）求证：)1 1 1(2)1(1312121+-<++++n n S S n S S . 数列专题3 一、裂项求和法 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：通项为分式结构，分母为两项相乘，型如：1 1 +?n n a a ， }{n a 是0≠d 的等差 数列。 常用裂项形式有： ；111)1(1+-=+n n n n 1111()()n n k k n n k =-++；)1 21121(211)12)(12()2(2+--+=+-n n n n n ； ])2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=+-n n n n n n n ； )(1 1b a b a b a --=+； )(11n k n k n k n -+=++特别地：n n n n -+=++111 二、用放缩法证明数列中的不等式 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法，叫放缩法。 1.常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种： ① 1 n i i a k =<∑（k 为常数）；②1 ()n i i a f n =<∑；③1 ()n i i a f n =<∏；④1 n i i a k =<∏（k 为常数）. 放缩目标模型→可求和（积）→等差模型、等比模型、裂项相消模型 2.几种常见的放缩方法 （1）添加或舍去一些项，如：a a >+12 ；n n n >+)1( （2）将分子或分母放大（或缩小） ①n n n n n 111)1(112--=-< ； 11 1)1(112+-=+>n n n n n （程度大） ②)11 11(21)1)(1(11112 2+--=+-=- 11111121312111<+=++++++≤+++++++n n n n n n n n n 或21221212121312111==+++≥+++++++n n n n n n n n n ④n n n n n n n ==+++>++++111131211 ⑤平方型：)121 121(21 44441222+--=-<=n n n n n ； )1 11(41)1(41441)12(12 2n n n n n n n --=-=-<- ⑥立方型：])1(1 )1(1[21) 1(112 3+--=- )1() (1 11≥>-≤--b a b a a b a n n ⑧k k k k k 21 111<++=-+； ⑨利用基本不等式，2)1()1(++<+n n n n ，如：4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg (5lg 3log 2 =<=+ （一）放缩目标模型可求和—等比数列或等差数列 例如：（1）求证： )(12 1 212121*32N n n ∈<++++ . 分析：不等式左边可用等比数列前n 项和公式求和。 解析：左边=12112 11) 211(2 1<-=--n n 表面是证数列不等式，实质是数列求和。 （2）求证： )(11 21 121121121*32N n n ∈<++++++++ . 分析：左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求和，将通项放缩为等比数列。 解析：∵n n 21121<+，∴左边12112 11) 21 1(2 12121212132<-=--=++++ n ∈<++++++++ . 分析：注意到n n n n n 22<+，将通项放缩为错位相减模型。 解析：∵n n n n n 22<+，∴左边22 2 2223222132<+-=++++ 总结：放缩法证明与数列求和有关的不等式，若1 n i i a =∑可直接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的， 一般要先将通项n a 放缩后再求和. 问题是将通项n a 放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的n b 才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等. 实际问题中，n b 大多是等比模型或裂项相消模型. （1）先求和再放缩 例1.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a n ＋12－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构 成等比数列． (1) 证明：2a = (2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有 1223 111 11 2 n n a a a a a a ++++ <. 解析： (1)当n ＝1时，4a 1＝a 22－5，∴a 2 2＝4a 1＋5.∵a n ＞0，∴2a = (2)当n ≥2时，4S n －1＝a n 2－4(n －1)－1，①；4S n ＝a n ＋12－4n －1，② 由②－①，得4a n ＝4S n －4S n －1＝a n ＋12－a n 2－4，∴a n ＋12＝a n 2＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2.∵a n ＞0，∴a n ＋1＝a n ＋2， ∴当n ≥2时，{a n }是公差d ＝2的等差数列．∵a 2，a 5，a 14构成等比数列， ∴a 52＝a 2·a 14，(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3. 由(1)可知，4a 1＝a 22－5＝4，∴a 1＝1.∵a 2－a 1＝3－1＝2，∴{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (3) 1223 111 1 n n a a a a a a ++++ ＝ 1111 133557 2121n n ++++ ???(-)?(+) ＝ 1111111 112335572121n n ???????????-+-+-++- ? ? ? ???-+?????????? ＝11112212 n ???-< ?+??. 总结：（3）问左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩，表面是证数列不等式，实质是数列求和。 （2）先放缩再求和 例如：求证：)(2131211* 222N n n ∈<++++ . 分析：左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消模型后求和，保留第一项，从第二项开始放缩。 解析：∵ )2(111)1(112≥--=- n n n n ∴左边)111()3121()211(1n n --++-+-+< )2(21 11≥<-+=n n 当1=n 时，不等式显然也成立. 例如：函数x x x f 414)(+=，求证：)(212 1)()2()1(* 1 N n n n f f f n ∈-+>++++ . 分析：此题不等式左边不易求和，此时根据不等式右边特征，先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子，分母如果同时存在变量时，要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式，如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。 例2.设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足 ，且a 1，a 2+5，a 3成等差数列． （1）求a 1的值； （2）求数列{a n }的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有 ． 解：（1）在2S n =a n+1﹣2n+1+1中，令n=1得：2S 1=a 2﹣22+1，令n=2得：2S 2=a 3﹣23+1， 解得：a 2=2a 1+3，a 3=6a 1+13，又2（a 2+5）=a 1+a 3，解得a 1=1 （2）由2S n =a n+1﹣2n+1+1，得a n+2=3a n+1+2n+1，又a 1=1，a 2=5也满 足a 2=3a 1+21， 所以a n+1=3a n +2n 对n ∈N*成立，∴a n+1+2n+1=3（a n +2n ），又a 1=1，a 1+21=3，∴a n +2n =3n ，∴a n =3n ﹣2n ； （3）分析：（3）左边不能直接求和，考虑将通项放缩后求和。利用指数函数的单调性放缩为等比模型。 （法二）∵a n =3n ﹣2n =（3﹣2）（3n ﹣1+3n ﹣2×2+3n ﹣3×22+…+2n ﹣1）≥3n ﹣1，∴ ≤ ， ∴+++…+≤1+++…+=＜； （法三）∵a n+1=3n+1﹣2n+1＞2×3n ﹣2n+1=2a n ，∴＜?，， 当n ≥2时， ＜? ， ＜? ， ，… ＜? ， 累乘得：＜?，∴+++…+≤1++×+…+×＜＜． 总结：一般地，形如n n n b a a -=或b a a n n -=（这里1≥>b a ）的数列，在证明 k a a a n <+++1 1121 （k 为常数）时都可以提取出n a 利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型. 练习： 1.设数列}{n a 满足0≠n a ，11=a ，)2()21(11≥+-=--n a a a n a n n n n ，数列}{n a 的前n 项和为n S . （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求证：当2≥n 时， 21 <<+n S n n ； （3）试探究：当2≥n 时，是否有 3 5 )12)(1(6<<++n S n n n ？说明理由. （3）形如 1 ()n i i a f n =<∑ 例如：设)1(3221+++?+?=n n S n ，求证： )(2 ) 2(2)1(*N n n n S n n n ∈+<<+. 根据所证不等式的结构特征来选取所需要的不等式，不等式关系：22112 2 2b a b a ab b a +≤ +≤≤+ 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2 b a a b +≤，若放缩成 1)1(+<+n n n ，则得2)1(2)3)(1(12 1 +>++= +<∑=n n n k S n i i n ，就放过“度”了。 总结：形如 1 ()n i i a f n =<∑的数列不等式证明： 设n S 和n T 分别为数列}{n a 和}{n b 的前n 项和，若)(* N n b a n n ∈<，利用不等式的“同向可加性”这一 基本性质，则有n n T S <.要证明不等式 1 ()n i i a f n =<∑，如果记)(n f T n =看作是数列}{n b 的前n 项和，则 )2(1≥-=-n T T b n n n ，11T b =，那么只要证其通项满足n n b a <即可. （二）放缩目标模型—可求积 放缩法证明与数列求积有关的不等式，方法与上面求和相类似，只不过放缩后的n b 是可求积的模型，能求 积的常见的数列模型是n n n C C b 1+=（分式型），累乘后约简为 n i n i C C b 1 11 =+=. 姐妹不等式：)00(>>>++>m a b m a m b a b ，和)00(>>>++ a m b a b ， 记忆口诀：“小者小，大者大”，（解释：看b ，若b 小，则不等号是小于号，反之）。 例如：求证： )(1 21 21 2654321*N n n n n ∈+<-???? . 例如：求证：12)1 21 1()511)(311)(11(+>-+ +++n n 。 总结：形如 n i i n f a 1 )(==的数列不等式证明：设n A 和n B 分别为数列}{n a 和}{n b 的前n 项积，若 n n b a <<0，利用不等式的“正数同向可乘性”这一基本性质，则有n n B A <.要证明不等式 n i i n f a 1 )(==， 如果记)(n f B n =看作是数列}{n b 的前n 项积，则)2(1 ≥= -n B B b n n n ，11B b =，那么只要证其通项满足n n b a <<0即可. 例3.已知数列}{n a 满足3 2 1=a ，)(322*1N n a a a n n n ∈--= +. （1）求证：}1 1 { -n a 是等差数列，并求出}{n a 的通项n a ； （2）证明：对于*N n ∈，1 1 321+ （二）添加或舍去一些正项（或负项） 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。 例如：已知)(12* N n a n n ∈-=，求证： )(312*1 32 21N n a a a a a a n n n ∈+++<-+ . 本题在放缩时舍去了22-k ，从而使和式得到了化简。 例4.已知数列}{n a 的各项为正数，其前n 项和2 )2 1( +=n n n a S S 满足. （I ）求)2(1≥-n a a n n 与之间的关系式，并求}{n a 的通项公式； （II ）求证 .211121<+++n S S S 例5.已知数列 ：满足： ， ，记 . (I )求证：数列是等比数列； (I I )若 对任意 恒成立，求t 的取值范围； (III)证明: . 解：（Ⅰ）证明：由得 ① ② ∴ 即，且 ∴数列是首项为 ，公比为的等比数列． （Ⅱ）由(Ⅰ)可知 ∴ 由得，易得是关于的减函数 2231++= +n n n a a a 2 2 222321+-=-++=-+n n n n n a a a a a 2 )1(4122311++=+++= ++n n n n n a a a a a 12411211+-?=+-++n n n n a a a a n n b b 4 11=+411211 1=+-=a a b {}n b 414 1 12 4 1)41(411+-===-n n n n n a a b 14421-?+=n n n a n n t a 4?≤1 441 24)14(421-+ = -?+≥n n n n n t 14412-+ n n n ∴，∴ （Ⅲ） ∴ ＝ 得证 （三）固定一部分项，放缩另外的项 例6.设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1， 21212 33 n n S a n n n +=---，n ∈N *. （1）求a 2的值； （2）求数列{a n }的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有12 11174 n a a a +++ <. 解：(1)依题意，2S 1＝a 2－ 13－1－2 3，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4. (2)当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－2 3 (n －1)， 两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－2 3 ，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)， 即111n n a a n n +-=+.又21121a a -=，故数列n a n ?? ????是首项为111a =，公差为1的等差数列， 所以n a n ＝1＋(n －1)×1＝n .所以a n ＝n 2. (3)当n ＝1时，1171<4 a =；当n ＝2时，1211157 1444a a + =+=<； 当n ≥3时， 21111111n a n n n n n =<=-(-)-， 此时 12111n a a a +++＝2221111111111 11+<1434423341n n n ??????++++++-+-++- ? ? ?-?????? ＝1117171+4244 n n +-=-<. 综上，对一切正整数n ，有121117 4 n a a a + ++<. 此题采用了保留前2项，从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，需根据 具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰到好处。 练习：2.设100 13 12 11+ ++ + = s ，则s 的整数部分是（ ） A.17 B.18 C.19 D.20 分析：不能直接求和式s ，须将通项 n 1 放缩为裂项相消模型后求和. 思路：为了确定s 的整数部分，必须将s 的值放缩在相邻的两个整数之间. 4 31441 214412=-+≤ -+ n n 43≥t n n n n n a 4 3 2143214142+<-+=-+?=)4 3 4343(2)432()432()432(2221n n n n a a a ++++=++++++<+++ 4 32)41(124 11)41 (1432+<-+=--? +n n n n n 3.已知}{n a 是各项都为正数的数列，n S 为其前n 项和，且11=a ， )1 (21n n n a a S + =. （I ）求数列}{n a 的通项n a ； （II ）求证： )1 1 1(2)1(1312121+-<++++n n S S n S S . 放缩法典型例题 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列的前项的和，满足，试求： （1）数列的通项公式； （2）设，数列的前项的和为，求证： 解：（1）由已知得，时，，作差得： ，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以 （2），所以 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这 里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和． 二．先放缩再求和 1．放缩后成等差数列，再求和 例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且. (1) 求证：； (2)求证： 解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得 ∴ 所以，， 所以 （2）因为，所以，所以 ； 2．放缩后成等比数列，再求和 例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：； （2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜． 解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，． 当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是 ．（2）∵，，，∴公比． ∴．． ∴．3．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列满足：，．求证： 证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：． 令，所以，两式相减得： ，所以，所以， 故得． 4．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．j （1）求a4、a5，并写出a n的表达式； （2）令，证明，n=1,2,…. （2）因为， 数列中裂项求和的几种常见模型 数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识的掌握，又注重数学思想与方法的运用。而此类问题大多涉及数列求和，所以数列求和方法是学生必须掌握的，主要的求和方法有：公式法、拆项重组法、并项求和法，裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等等，而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种，也是出现频率最高，形式最多的一种。下面就例举几种裂项求和的常见模型，以供参考。 模型一：数列{}n a 是以d 为公差的等差数列，且 ) ,3,2,1(0,0 n a d n ，则 )1 1(111 1 n n n n a a d a a 例1已知二次函数()y f x 的图像经过坐标原点，其导函数为' ()62f x x ，数列 {}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N 均在函数()y f x 的图像上。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20 n m T 对所有n N 都成立的最小正整数m ； （2006年湖北省数学高考理科试题） 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2 +bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2 －2x. 又因为点(,)()n n S n N 均在函数()y f x 的图像上，所以n S ＝3n 2 －2n. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2 －2n ）－ )1(2)132 n n （ ＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12 －2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N ） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知13 n n n a a b ＝ 5)1(6)56(3 n n ＝)1 61 561(21 n n ， 数列求和的基本方法和技巧 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积 数列放缩法 1. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为s n ，且1a =2，*1,4N n a a s n n n ∈?=+，（1）求数列{}n a 的 通项公式；（2）设数列? ?????21n a 的前n 项和为n T ，求证：21＜＜T 44n +n n 。 2. 已知数列{}n a 和{}n b 满足()()* 3212N n a a a a n b n ∈=Λ。若{}n a 为等比数列，且21 =a ，236b b +=。 （1）求数列n a 和n b 。 （2）设数列() *11N n b a c n n n ∈-=。记数列{}n c 的前n 项和n s 。 （1）求n s ；（2）求正整数k ，使得对任意实数*N n ∈均有n k s s ≥。 3. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为s n ，满足：() *22N n n a s n n ∈-=。 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}()n n n T a b ,2log 2+=为数列??????+2n n a b 的前n 项和，求证21≥n T 。 4.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为s n ，且n s 满足()() *222,033N n n n s n n s n n ∈=+--+-。（1）求1a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有 ()()()3 1＜1111112211++++++n n a a a a a a Λ。 练习：1.设数列{}()Λ,3,2,1=n a n 的前n 项和满足,21a a s n n -=且321,1,a a a +成等差数列。 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列? ?????n a 1的前n 项和为n T ，求使得10001＜1-n T 成立的n 的最小值。 求数列前N 项和的七种方法 点拨: 核心提示：求数列的前n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。 1. 公式法 等差数列前n 项和： 11()(1) 22 n n n a a n n S na d ++= =+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。 等比数列前n 项和： q=1时，1n S na = ( )1111n n a q q S q -≠= -，，特别要注意对公比的讨论。 其他公式： 1、)1(211+==∑=n n k S n k n 2、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 3、21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利 用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(2 1 1++=+n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 n n 8= ，即n ＝8时，501)(max =n f 2. 错位相减法 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的 通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1) 1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 数列求和—裂项相消专题 裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达到求和的目的. 常见的裂项相消形式有： 1. 111(1)1 n a n n n n ==-++ 1111()(2)22 n a n n n n ==-++ ┈┈ 1111()()n a n n k k n n k = =-++ 2n p a An Bn C ?= ++（分母可分解为n 的系数相同的两个因式） 2. 1111()(21)(21)22121n a n n n n = =--+-+ 1111()(21)(23)22123n a n n n n = =-++++ 1111()(65)(61)66561 n a n n n n ==--+-+ 3. 1111(1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ??= =-??+++++?? 4. 111211(21)(21)2121n n n n n n a ---==-++++ +1+1211(21)(21)2121 n n n n n n a ==-++++ 122(1)111(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n a n n n n n n -++-==?=-++?+ =-┈┈ 1 2 = 1 k = 1.在数列{}n a 中，11211++???++++= n n n n a n ，且1 2+?=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项的和. 2.已知数列{}n a 是首相为1，公差为1的等差数列， 21n n n b a a +=?，n S 为{}n b 的前n 项和，证明： 1334 n S ≤<. 用放缩法处理数列和不等问题（教师版） 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 数列求和 ------裂项相消法 引例：教材P47 什么是裂项相消法？什么时候使用？ 思考1： 变式： 思考2：在裂项的过程中，是怎样把项裂开的？关键是什么？怎样相互抵消的？ 1.???? 求数列的前n 项和.11111,,,,,13243546n(n +2)222222224142434 2.,,,,,.41142143141n n n ?????-?-?-?- 求数列的前项和222235721 3..(12)(23)(34)[(1)]n n S n n +=++++???+ 求和∑求和：k n n k+1k k=12 4.S =(2-1)(2-1)2n n a a =若数列{}，,可以用裂项相消法求数列前n 项和？11n(n +) 小结：什么是裂项相消法？什么时候使用裂项相消法？在使用的过程当中应当注 意什么？裂项相消法运用的数学思想是什么？ 你是否有新的感受呢？请用一句话总结一下前面的内容。 思维拓展： 思考3：裂项相消法最大的成功--实现了消项，运用错位相减法也是消项，是不 是可以考虑用裂项法相消法可以求等比数列的和吗？可以求{}g 等差等比的和吗？试试看。 在等比数列{}(1)n a q 1中， 试一试：用裂项相消法 练习： 2*1122:{},().(1) 1111(2) .(1)(1)(1)3n n n n n a n S n n n N a n a a a a a a =+∈+++<+++ 例题数列的前项和为求；证明：对一切正整数，有2335721.2222n n n S +=++++ 求和211111-=++++L n n S a a q a q a q 211111-=++++L n n n qS a q a q a q a q 1(1)1-=-n n a q S q 11 (1)-=-n n q S a a q 121321* {},,,,,2.(){}(21)3()(){}.n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n b n N b n T a -----?=∈ 已知数列满足：是首项、公差均为的等差数列 Ⅰ求数列的通项公式； Ⅱ令，求数列的前项和 高中数列放缩法技巧大全 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+ 数列中裂项求和的几种常见模型 数列中裂项求和的几种常见模型 数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识的掌握，又注重数学思想与方法的运用。而此类问题大多涉及数列求和，所以数列求和方法是学生必须掌握的，主要的求和方法有：公式法、拆项重组法、并项求和法，裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等等，而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种，也是出现频率最高，形式最多的一种。下面就例举几种裂项求和的常见模型，以供参考。 模型一：数列{}n a 是以d 为公差的等差数列，且),3,2,1(0,0 =≠≠n a d n ，则 )1 1(111 1++-=n n n n a a d a a 例1已知二次函数()y f x = 的图像经过坐标原点，其导函数为 '()62f x x =-，数列{}n a 的前 n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x = 的 图像上。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1 1 n n n b a a += ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20 n m T <对所有n N * ∈都成立的最小 正 整 数 m ； （2006年湖北省数学高考理科试题） 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2 +bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2 －2x. 又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x = 的图像上，所以n S ＝3n 2 －2n. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[])1(2)132---n n （ ＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12 －2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *∈） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知13+= n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)1 61 561( 21+--n n ， 数列难题放缩法的技巧 一、基本方法 1.“添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3 －b 3 ＝a 2 －b 2 ，求证143 ＜＋＜a b 。 例2. 已知a 、b 、c 不全为零，求证： a a b b b b c c c ac a a b c 22222232 ++++++++++＞（） [变式训练]已知* 21().n n a n N =-∈求证： *12 231 1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 2. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分 母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。 例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：12＜＋＋＜a b c b a c c a b +++。 3. 裂项放缩 若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例4. 已知n ∈N*，求n 2n 13 12 11＜…+ ++ + 。 例5. 已知* N n ∈且)1n (n 3221a n +++?+?=Λ，求证：2 )1(2)1(2 +< <+n a n n n 对所有正整数n 都成立。 4. 公式放缩 利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。 例6. 已知函数1212)(+-=x x x f ，证明：对于* N n ∈且3≥n 都有1 )(+>n n n f 。 例7. 已知2x 1)x (f +=，求证：当a b ≠时f a f b a b （）（）-<-。 5. 换元放缩 对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目 数列求与—裂项相消专题 裂项相消得实质就是将数列中得每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,以达到求与得目得、 常见得裂项相消形式有: 1、 111(1)1n a n n n n = =-++ 1111()(2)22 n a n n n n ==-++ ┈┈ 1111()()n a n n k k n n k = =-++ 2n p a An Bn C ?= ++(分母可分解为n 得系数相同得两个因式) 2、 1111()(21)(21)22121 n a n n n n ==--+-+ 1111()(21)(23)22123 n a n n n n ==-++++ 1111()(65)(61)66561n a n n n n ==--+-+ 3、 1111(1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ??==-??+++++?? 4、 111211(21)(21)2121 n n n n n n a ---==-++++ +1+1211(21)(21)2121 n n n n n n a ==-++++ 122(1)111(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n a n n n n n n -++-==?=-++?+ 5、 =┈┈ 12= 1k = 1、在数列{}n a 中,1 1211++???++++= n n n n a n ,且12+?=n n n a a b ,求数列{}n b 得前n 项得与、 2、已知数列{}n a 就是首相为1,公差为1得等差数列,2 1n n n b a a +=?,n S 为{}n b 得前n 项与,证明:1334 n S ≤<、 数列综合应用（1） ————用放缩法证明与数列和有关的不等式 一、备考要点 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中， 是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决 这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 二、典例讲解 1．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足 12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11 +=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和 为n B ，求证：2 1 ③．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列{}n a 满足：11=a ， )3,2,1()21(1 =+=+n a n a n n n ．求证： 1 1213-++-≥>n n n n a a ④．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中， 若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数）， 则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的 总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的 逆序数63=a ． （1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （2）令n n n n n a a a a b 11+++=，证明： 32221+<++ 数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习） 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 数列求和的三种特殊求法 例1、已知数列{a n }的通项公式为a n =12-n +3n ，求这个数列的前n 项和 例2、求下列数列的前n 项和： （1）211，412 ，813，……n n 2 1+，…… （2）1，211+，3211++……n +??+++3211…… （3）5，55，555．……，55……5，……（4）0.5,0.55,0.555，……，0.55……5，…… 例3、已知数列的的通项，求数列的前n 项和： （1） )1(1+=n n a n （2）) 2(1 +=n n b n （3）{a n }满足a n =1 1 ++n n ，求S n （4）求和：+?+?=5343122 2n S ……+)12)(12()2(2+-n n n （5）求和) 2)(1(1 43213211+++??+??+??= n n n S n 例4、求数列ΛΛ,,,3,2,3 2 n na a a a （a 为常数）的前n 项和n S 。 练习：求和： 21，223，32 5，……n n 21 2-，…… 知识演练： 1. （2009年广东第4题）已知等比数列}{n a 满足)3(2,,2,1,02525≥=?=>-n a a n a n n n 且Λ， 则当1≥n 时，=+++-1221212log log log n a a a Λ A ．)12(-n n B ．2 )1(+n C ．2n D ．2 )1(-n 2. （2010年山东第18题）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =211 n a -(n ∈N * )，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 3. （2005年湖北第19题）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且 .)(,112211b a a b b a =-= （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设n n n b a c = ，求数列}{n c 的前n 项和T n 小结：数列求和的方法 分组求和，裂项相消（分式、根式），错位相减（差比数列） 数列求和的思维策略： 从通项入手，寻找数列特点 数列求和专题复习 一、公式法 1.等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2.等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3.常见数列求和公式： )1(211+==∑=n n k S n k n ；)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n ；2 1 3)]1(21[+==∑=n n k S n k n 例1：已知3 log 1log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 例2：设n S n +???+++=321，+∈N n ,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 二、倒序相加法 似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法。如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法. 例3：求ο ο ο ο ο 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2 2++???+++的值 例4：求2222 2 2222222123101102938101 ++++++++L 的和． 变式1：已知函数() x f x = （1）证明：()()11f x f x +-=；（2）求128910101010f f f f ?? ?????? ++++ ? ? ? ????????? L 的值. 三、裂项相消法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1）)()1(n f n f a n -+= （2）οοο οο n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）1 1 1)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-= n n n n n a n （5）]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++= n n n n n n n a n (6) n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1 1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++= -则 例5：求数列 ???++???++,1 1, ,3 21, 2 11n n 的前n 项和. 例6：在数列{}n a 中，1 1211++ ???++++= n n n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项的和. 放缩法证明数列不等式 主要放缩技能： 1.211111111(1)(n 1)1n n n n n n n n -=<<=-++-- 2221144112()141(21)(21)21214 n n n n n n n <===--+--+- ==>= ==<= =<= == =< = = 5. 121122211(21)(21)(22)(21)(21)2121 n n n n n n n n n n ---<==-------- 6. 111 22(1)11(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n +++++-==-+?+??+? 例1.设函数2*2()1x x n y n N x -+=∈+的最小值为n a ，最大值为n b ， 且n c =（1）求n c ；（2）证明： 4444123111174n c c c c ++++ < 例2.证明：1611780<+ ++< 例3.已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s ，且12n n n a s a + =，*n N ∈； （1）求证：数列{} 2n s 是等差数列； （2）解关于数列n 的不等式：11()48n n n a s s n ++?+>- （3）记312311112,n n n n b s T b b b b = = ++++，证明：312n T << 例4. 已知数列{}n a 满足：n a n ?????? 是公差为1的等差数列，且121n n n a a n ++=+； （1） 求n a ；（2 12n na +++< 例5.在数列{}n a 中，已知1112,2n n n n a a a a a ++==-； （1）求n a ；（2）证明：112233(1)(1)(1)(1)3n n a a a a a a a a -+-+-++-< 例6. 数列{}n a 满足：11122,1()22 n n n n n a a a n a ++==++； （1）设2n n n b a =，求n b ；（2）记11(1)n n c n n a +=+，求证：12351162 n c c c c ≤++++< 数列求和裂项法错位相减法分组求和法 Modified by JEEP on December 26th, 2020. 数列求和的三种特殊求法 例1、已知数列{a n }的通项公式为a n =12-n +3n ，求这个数列的前n 项和 例2、求下列数列的前n 项和： （1）211，412，813，……n n 21+，…… （2）1，211+，3211 ++…… n +??+++3211 …… （3）5，55，555．……，55……5，……（4）,,，……，……5，…… 例3、已知数列的的通项，求数列的前n 项和： （1） )1(1+= n n a n （2）) 2(1 +=n n b n （3）{a n }满足a n = 1 1++n n ，求S n （4）求和：+?+?= 5 34 3122 2 n S ……+) 12)(12()2(2 +-n n n （5）求和) 2)(1(1 43213211+++??+??+??=n n n S n 例4、求数列 ,,,3,2,32n na a a a （a 为常数）的前n 项和n S 。 练习：求和：21，223，325，……n n 2 1 2-，…… 知识演练： 1. （2009年广东第4题）已知等比数列}{n a 满足 )3(2,,2,1,02525≥=?=>-n a a n a n n n 且 ，则当1≥n 时，=+++-1221212log log log n a a a A ．)12(-n n B ．2)1(+n C ．2n D ．2)1(-n 2. （2010年山东第18题）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n = 2 11 n a -(n ∈N * )，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 3. （2005年湖北第19题）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且 .)(,112211b a a b b a =-= （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设n n n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n 小结：数列求和的方法 分组求和，裂项相消（分式、根式），错位相减（差比数列） 数列求和的思维策略： 从通项入手，寻找数列特点 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列的前项的和，满足，试求： （1）数列的通项公式； （2）设，数列的前项的和为，求证： 解：（1）由已知得，时，，作差得： ，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以 （2），所以 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这 里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和． 二．先放缩再求和 1．放缩后成等差数列，再求和 例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且. (1) 求证：； (2)求证： 解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得 ∴ 所以，， 所以 （2）因为，所以，所以 ； 2．放缩后成等比数列，再求和 例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：； （2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设 ，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜． 解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，． 当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是 ．（2）∵，，，∴公比． ∴．． ∴． 3．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列满足：，．求证： 证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：． 令，所以，两式相减得： ，所以，所以， 故得． 4．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数 ．j （1）求a4、a5，并写出a n的表达式； （2）令，证明，n=1,2,…. （2）因为，(完整版)放缩法典型例题
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