江苏省南通市2017届高三数学第一次模拟考试试题
参考公式：
样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2
211()n
i i s x x n ==-∑，其中1
1n
i i x x n ==∑．
棱锥的体积公式：13
V Sh =棱锥，其中S 为棱锥的底面积，h 为高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．
． 1． 函数2sin(3)3y x π
=-的最小正周期为 ▲ ．
2． 设集合{}13A =，
，{}25B a =+，，{}3A B =，则A
B = ▲ ．
3． 复数2(1+2i)z =，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 ▲ ． 4． 口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．已知摸出
红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概 率为 ▲ ．
5． 如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为 ▲ ．
6． 若实数x ，y 满足243700x y x y x y +??+?
????≤，≤，≥，≥，
则z ＝3x ＋2y 的最大值为 ▲ ．
7． 抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：
则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为 ▲ ． 8． 如图，在正四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，3cm AB =，
11cm AA =，则三棱锥D 1–A 1BD 的体积为 ▲ 3cm ．
9． 在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +=为双曲线
22
22
1(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线，则该双曲线 的离心率为 ▲ ．
10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，
上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为 ▲ 升． 11．在△ABC 中，若2BC BA AC AB CA CB ?+?=?，则
sin sin A
C
的值为 ▲ ． 12．已知两曲线()2sin f x x =，()cos g x a x =，π
(0)2
x ∈，相交于点P ．若两曲线在点P 处的切线
互相垂直，则实数a 的值为 ▲ ．
13．已知函数()4f x x x =+-，则不等式2(2)()f x f x +>的解集用区间表示为 ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(11)A ，，且AB ⊥AC ，则
线段BC 的长的取值范围为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ． 以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，AB
． （1）求cos β的值； （2）若点A 的横坐标为5
13
，求点B 的坐标．
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1 （第8题）
16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，
OP =OC ，PA ⊥PD ．
求证：（1）直线PA ∥平面BDE ； （2）平面BDE ⊥平面PCD ．
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>
，焦点到
相应准线的距离为1． （1）求椭圆的标准方程；
（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线
y =于点Q ，求
2
2
11
OP OQ +的值．
18．（本小题满分16分）
如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点， 点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点C ，D 分别落在 直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P ），再沿直线PE 裁剪． （1）当∠EFP =
4
π
时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积； （2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．
19．（本小题满分16分）
已知函数2()ln f x ax x x =--，a ∈R ．
（1）当3
8
a =时，求函数()f x 的最小值；
（第16题）
A
B
C
O
D
P
E
（第17题）
（2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点； （3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．
20．（本小题满分16分）
已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1k a ，2k a ，…，n k a ，…(12k k <<…n k <<…)成等比数列，
公比为q ．
（1）若11k =，23k =，38k =，求1
a d
的值； （2）当
1
a d
为何值时，数列{}n k 为等比数列； （3）若数列{}n k 为等比数列，且对于任意n *∈N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立，求1a 的取值 范围．
南通市2017届高三第一次调研测试
数学Ⅱ（附加题）
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
已知圆O 的直径4AB =，C 为AO 的中点，弦DE 过 点C 且满足CE =2CD ，求△OCE 的面积．
B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知向量11??
??-??
是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点
11P （，）在矩阵A 对应的变换作用下变为33P '（，），求矩阵A ．
C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，求直线π
()4
θρ=
∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长． D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
求函数3sin y x =+
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出 O
A B
E
D
C
（第21-A 题）
文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
如图，在棱长为2的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，P 为棱C 1D 1的中点， Q 为棱BB 1上的点， 且1(0)BQ BB λλ=≠．
（1）若1
2
λ=，求AP 与AQ 所成角的余弦值；
（2）若直线AA 1与平面APQ 所成的角为45°， 求实数λ的值．
23．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(1)M m ，到焦点F 的距离为2． （1）求抛物线的方程；
（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直 线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求△EAB 面积的最小值．
y = f (x )
（第23题）
y
O
x
F A
B P
E
B
A
D
C 1
（第22题）
A 1
D 1
B 1 C
Q
P
南通市2017届高三第一次调研测试 数学学科参考答案及评分建议
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1． 函数2sin(3)3
y x π
=-的最小正周期为 ▲ ．
【答案】
23
π 2． 设集合{}13A =，
，{}25B a =+，，{}3A B =，则A
B = ▲ ．
【答案】{}135，，
3． 复数2(1+2i)z =，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 ▲ ．
【答案】3-
4． 口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球
的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为
▲ ． 【答案】0.17
5． 如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为 ▲ ．
【答案】5
6． 若实数x ，y 满足243700x y x y x y +??+?
????≤，≤，≥，≥，
则z ＝3x ＋2y 的最大值为 ▲ ．
【答案】7
7． 抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：
则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为 ▲ ． 【答案】20
8． 如图，在正四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，3cm AB =，
（第5题）
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1 （第8题）
11cm AA =，则三棱锥D 1–A 1BD 的体积为 ▲ 3cm ．
【答案】
32
9． 在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +=为双曲
线22
221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 ▲ ．
10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，
上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为 ▲ 升． 【答案】
13
22
11．在△ABC 中，若2BC BA AC AB CA CB ?+?=?，则
sin sin A
C
的值为 ▲ ．
12．已知两曲线()2sin f x x =，()cos g x a x =，π
(0)2
x ∈，相交于点P ．若两曲线在点P 处的切线
互相垂直，则实数a 的值为 ▲ ．
13．已知函数()4f x x x =+-，则不等式2(2)()f x f x +>的解集用区间表示为 ▲ ．
【答案】(2)(2)-∞-+∞，
，
14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(11)A ，，且AB ⊥AC ，则
线段BC 的长的取值范围为 ▲ ．
【答案】
二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ．
以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，AB
． （1）求cos β的值； （2）若点A 的横坐标为
5
13
，求点B 的坐标． 【解】（1）在△AOB 中，由余弦定理得，
2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-?∠，所以
222
cos 2OA OB AB AOB OA OB +-∠=
? ……………2分
222
11352115+-==??，
即3
cos 5
β=
． ………………………………………………………………………6分 （2）因为3
cos 5
β=
，π(0)2β∈，，
所以4
sin 5
β==． …………………………………………8分
因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得，5
cos 13α=，
因为α
为锐角，所以12
sin 13
α． ……………………10分
所以()5312433
cos cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=?-?=-，………………12分 ()1235456
sin sin cos cos sin 13513565
αβαβαβ+=+=?+?=
． 所以点3356
()6565
B -
，． …………………………………………………………14分 16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，
OP =OC ，PA ⊥PD ．
求证：（1）直线PA ∥平面BDE ； （2）平面BDE ⊥平面PCD ．
【证明】（1）连结OE ，因为O 为平行四边形ABCD 对
角线的交点，所以O 为AC 中点． 又因为E 为PC 的中点，
所以OE ∥PA ． ……………………4分 又因为OE ?平面BDE ，PA ?平面BDE ，
（第15题）
（第16题）
A
B
C
O
D
P
E
所以直线PA ∥平面BDE ． ……………………………………………………6分 （2）因为OE ∥PA ，PA PD ⊥，所以OE PD ⊥． ………………………………8分
因为OP OC =，E 为PC 的中点，所以OE PC ⊥． …………………………10分 又因为PD ?平面PCD ，PC ?平面PCD ，PC
PD P =，
所以OE ⊥平面PCD ． …………………………………………………………12分 又因为OE ?平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD ． ……………………14分
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>
，焦点到
相应准线的距离为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线
y =于点Q ，求
2
2
11
OP OQ +的值． 【解】（1
）由题意得，c a =，2
1a c c
-=， …………2分
解得a 1c =，1b =．
所以椭圆的方程为2
212
x y +=． …………………………………………………4分
（2）由题意知OP 的斜率存在．
当OP 的斜率为0
时，OP =
，OQ =22
111OP OQ +=． …………6分 当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y kx =．
由22
12x y y kx ?+=???=?
，，
得()22212k x +=，解得2
2221x k =+，所以222221k y k =+，
所以22
222
21
k OP k +=+． ………………………………………………………………9分
因为OP OQ ⊥，所以直线OQ 的方程为1
y x k
=-．
由1y y x
k ?=??=-??
得x =，所以2222OQ k =+． ………………………………12分 所以
222221*********
k OP OQ k k ++=+=++． 综上，可知
22
111OP OQ +=． ……………………………………………………14分
（第17题）
18．（本小题满分16分）
如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点， 点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点C ，D 分别落在 直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P ），再沿直线PE 裁剪． （1）当∠EFP =
4
π
时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积； （2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由． 【解】（1）当∠EFP =
4
π
时，由条件得 ∠EFP =∠EFD =∠FEP =4
π． 所以∠FPE =
2
π
．所以FN ⊥BC ， 四边形MNPE 为矩形．…… 3分 所以四边形MNPE 的面积
S=PN MN ?=2 m 2
．………… 5分
（2）解法一：
设<<2EFD θθπ
∠=（0），由条件，知∠EFP =∠EFD =∠FEP =θ．
所以22
sin sin PF=
θθ
=
π-22（）， 2
3sin NP=NF PF θ
-=-2， 2
3tan ME θ
=-
． ………………………………………………………………8分 由230sin 230tan <<2θθθ?->?2??-
>???π??，，0，得2sin 32tan 3<<.2θθθ?2>??
?
>???π??
*，，（）0 所以四边形MNPE 面积为
1
()2S=NP ME MN +
122(3)(3)22sin tan +θθ??=--???2??
22
6tan sin 2=θθ
-
-
A
B
C
D
F
E
P
M
N
（第18题）
2222(sin cos )
6tan 2sin cos =θθθθθ
+--
3
6(tan )tan θθ
=-+ ………………………………………………………12分
66-=-≤． 当且仅当3tan tan =θθ
，即tan 3
=θθπ
时取“=”．………………14分 此时，*（）成立． 答：当3
EFD π
∠=
时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，
最大值为6- m 2
． …………………………………………………………16分 解法二：
设BE t = m ，3<<6t ，则6ME t =-．
因为∠EFP =∠EFD =∠FEP ，所以PE =PF
t BP =-． 所以21323t BP=t --（），2
13333323t NP=PF=PE=t BP =t t ------+
-（）（）． ………8分 由2
23<<613023133023t t
t t
t t ?
??-?>?-??--+
>?-?
，
，（），（）
得2
3<<612310.t t t t ??>??-+
所以四边形MNPE 面积为
1
()2
S=NP ME MN +
2
113362223t t +t t ??-=-+-???-??
（）（）（） 233067
23t t t -+=
-（）
…………………………………………………………12分 3
26323t +
t ??=--??-??
（
）6-≤ 当且仅当32
323
t =
t --（）
，即=3+3t +时取“=”． ………14分 此时，*（）成立． 答：当点E 距B
点3时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，
最大值为6- m 2
． …………………………………………………………16分
19．（本小题满分16分）
已知函数2()ln f x ax x x =--，a ∈R ．
（1）当3
8
a =时，求函数()f x 的最小值；
（2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点； （3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．
【解】（1）当38a =时，23
()ln 8
f x x x x =--．
所以(32)(2)
31()144x x f x x x x
+-'=--=，（x>0）． ……………………………2分
令()0f x '=，得2x =，
当(02)x ∈，时，()0f x '<；当(2)x ∈+∞，时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(02)，上单调递减，在(2)+∞，上单调递增．
所以当2x =时，()f x 有最小值1(2)ln 22
f =--．………………………………4分
（2）由2()ln f x ax x x =--，得2
121()210ax x f x ax x x x
--'=--=>，
． 所以当0a ≤时，2
21()<0ax x f x x
--'=
， 函数()f x 在(0+)∞，上单调递减，
所以当0a ≤时，函数()f x 在(0+)∞，上最多有一个零点．……………………6分
因为当0a -1≤≤时，(1)1<0f a =-，2
21e e ()>0e e
a f -+=， 所以当0a -1≤≤时，函数()f x 在(0+)∞，上有零点．
综上，当0a -1≤≤时，函数()f x 有且只有一个零点． ………………………8分 （3）解法一：
由（2）知，当0a ≤时，函数()f x 在(0+)∞，上最多有一个零点．
因为函数()f x 有两个零点，所以>0a ． ………………………………………9分
由2
()ln f x ax x x =--，得221
()(0)ax x f x x x
--'=>，，令2()21g x ax x =--．
因为(0)10g =-<，2>0a ，
所以函数()g x 在(0)+∞，上只有一个零点，设为0x ．
当0(0)x x ∈，时，()0()0g x f x '<<，；当0()x x ∈+∞，
时，()0()0g x f x '>>，． 所以函数()f x 在0(0)x ，上单调递减；在0()x +∞，
上单调递增．
要使得函数()f x 在(0+)∞，上有两个零点，
只需要函数()f x 的极小值0()0f x <，即2
00ln 0ax x x --<． 又因为2
00
0()210g x ax x =--=，所以002ln 10x x +->， 又因为函数()2ln 1h x =x x +-在(0+)∞，上是增函数，且(1)0h =， 所以01x >，得0
1
01x <
<． 又由2
0210ax x --=，得22000111112()()24
a x x x =+=+-， 所以01a <<． ……………………………………………………………………13分 以下验证当01a <<时，函数()f x 有两个零点．
当01a <<时，21211()10a a
g a a a a -=--=>，
所以01
1x a
<<
． 因为222
11e e ()10e e e e a a
f -+=-+=>，且0()0f x <．
所以函数()f x 在01
()e
x ，上有一个零点．
又因为2242222
()ln (1)10a f a a a a a a =----=>≥（因为ln 1x x -≤），且0()0f x <．
所以函数()f x 在02
()x a
，上有一个零点．
所以当01a <<时，函数()f x 在12
()e a
，内有两个零点．
综上，实数a 的取值范围为(1)0，． ……………………………………………16分 下面证明：ln 1x x -≤．
设()1ln t x x x =--，所以11
()1x t x x x
-'=-
=
，（x>0）． 令()0t x '=，得1x =．
当(01)x ∈，时，()0t x '<；当(1)x ∈+∞，时，()>0t x '． 所以函数()t x 在(01)，上单调递减，在(1)+∞，上单调递增． 所以当1x =时，()t x 有最小值(1)0t =． 所以()1ln 0t x x x =--≥，得ln 1x x -≤成立． 解法二：
由（2）知，当0a ≤时，函数()f x 在(0+)∞，上最多有一个零点．
因为函数()f x 有两个零点，所以>0a ． ………………………………………9分
由2()ln 0f x ax x x =--=，得关于x 的方程2ln x x a x
+=，（x>0）有两个不等 的实数解． 又因为ln 1x x -≤，
所以22
2
ln 211(1)1x x x a x x x +-==--+≤，（x>0）． 因为x>0时，21(1)11x
--+≤，所以1a ≤．
又当=1a 时，=1x ，即关于x 的方程2ln x x a x
+=有且只有一个实数解． 所以<<1a 0． ……………………………………………………………………13分 （以下解法同解法1）
20．（本小题满分16分）
已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1k a ，2k a ，…，n k a ，…(12k k <<…n k <<…)成等比数列，
公比为q ．
（1）若11k =，23k =，38k =，求1
a d
的值； （2）当
1
a d
为何值时，数列{}n k 为等比数列； （3）若数列{}n k 为等比数列，且对于任意n *∈N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立，求1a 的取值 范围．
【解】（1）由已知可得：1a ，3a ，8a 成等比数列，所以2111(2)(7)a d a a d +=+， ………2分
整理可得：2143d a d =．因为0d ≠，所以14
3
a d =． ……………………………4分 （2）设数列{}n k 为等比数列，则2213k k k =．
又因为1k a ，2k a ，3k a 成等比数列，
所以[][][]2
111312(1)(1)(1)a k d a k d a k d +-+-=+-． 整理，得21213132132(2)(2)a k k k d k k k k k k --=---+． 因为2213k k k =，所以1213213(2)(2)a k k k d k k k --=--． 因为2132k k k ≠+，所以1a d =，即1
1a d
=．………………………………………6分 当
1
1a d
=时，1(1)n a a n d nd =+-=，所以n k n a k d =．
又因为1111n n n k k a a q k dq --==，所以11n n k k q -=． 所以1111n
n n n k k q q k k q
+-==，数列{}n k 为等比数列． 综上，当
1
1a d
=时，数列{}n k 为等比数列．………………………………………8分 （3）因为数列{}n k 为等比数列，由（2）知1a d =，11(1)n n k k q q -=>．
1111111n n n n k k a a q k dq k a q ---===，11(1)n a a n d na =+-=．
因为对于任意n *∈N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立． 所以不等式1111112n n na k a q k q --+>，
即111112n n k q a n k q -->+，111111110222n n n n k q q n
a k q k q --+<<=+恒成立．……………………10分
下面证明：对于任意的正实数(01)εε<<，总存在正整数1n ，使得1
1
n n εq <． 要证
1
1
n n εq <，即证11ln ln ln n n q ε<+． 因为11ln e 2
x x x <≤，则11
2
2111ln 2ln n n n =<，
解不等式1211ln ln n n q ε<+，即11222
11()ln ln 0n q n ε-+>，
可得1
2
1n >
2
1n >．
不妨取201n ??
=+??????
，则当10n n >时，原式得证． 所以111
02
a <
≤，所以12a ≥，即得1a 的取值范围是[)2+∞，． ……………16分 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
已知圆O 的直径4AB =，C 为AO 的中点，弦DE 过点C 且满足CE =2CD ，求△OCE 的面积． 【解】设CD x =，则2CE x =．
因为1CA =，3CB =，
由相交弦定理，得CA CB CD CE ?=?，
（第21-A 题）
所以21322x x x ?=?=，所以x =2分 取DE 中点H ，则OH DE ⊥．
因为222235
4()28
OH OE EH x =-=-=，
所以OH =
．…………………………………………………………………………6分
又因为2CE x ==，
所以△OCE 的面积1122S OH CE =?= …………………………10分 B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知向量11??
??-??
是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点
11P （，）在矩阵A 对应的变换作用下变为33P '（，），求矩阵A ． 【解】设a b c d ??
=????
A ， 因为向量11??
??-??
是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量，
所以111(1)111a b c d -????????
=-=????????--????????．所以11a b c d -=-??-=?，． ………………………………4分 因为点11P
（，）在矩阵A 对应的变换作用下变为33P '（，）， 所以1313a b c d ??????
=????????????．所以+3+3a b c d =??=?，． …………………………………………………8分
解得1a =，2b =，2c =，1d =，所以1221??
=????
A ．………………………………10分 C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，求直线π
()4
θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长． 【解】解法一：
在4sin ρθ=中，令π4θ=，得π
4sin 4
ρ=AB = …………………10分 解法二：
以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．
直线π
()4
θρ=
∈R 的直角坐标方程为y x =①， ………………………………………3分 曲线4sin ρθ=的直角坐标方程为2240x y y +-=②． ……………………………6分 由①②得00x y =??=?，，或22x y =??=?，
，
……………………………………………………………8分
所以(00)(22)A B ，，，，
所以直线π
()4
θρ=
∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长AB = ………………10分 D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
求函数3sin y x =+
【解】3sin y x x =++…………………………………………2分
由柯西不等式得
222222(3sin (34)(sin cos )25y x x x =+++=≤，……………………………8分
所以max 5y =，此时3
sin =5
x ．
所以函数3sin y x =+5． …………………………………10分
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
如图，在棱长为2的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，P 为棱C 1D 1的中点，Q 为棱BB 1上的点， 且1(0)BQ BB λλ=≠． （1）若1
2
λ=
，求AP 与AQ 所成角的余弦值； （2）若直线AA 1与平面APQ 所成的角为45°， 求实数λ的值．
【解】以{}
1AB AD AA ，，为正交基底，建立如图所示空
间直角坐标系A xyz -．
（1）因为=(1
22)AP ，，，=(201)AQ ，，，
所以cos =
||||AP AQ AP AQ AP AQ ?<>，
．
所以AP 与AQ
．………………………………………4分 （2）由题意可知，1=(002)AA ，，
，=(202)AQ λ，，． 设平面APQ 的法向量为n ()x y z =，，
， 则00AP AQ ??=???=??，，n n 即220220x y z x z λ++=??+=?
，
．
令2z =-，则2x λ=，2y λ=-．
所以n (222)λλ=--，，．…………………………………………………………6分 又因为直线1AA 与平面APQ 所成角为45°， 所以|cos
||||
AA AA ?n n
=
=
可得2540λλ-=，又因为0λ≠，所以4
5
λ=
． ……………………………10分 23．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(1)M m ，到焦点F 的距离为2． （1）求抛物线的方程；
（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直 线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求△EAB 面积的最小值． 【解】（1）抛物线22(0)x py p =>的准线方程为
2
p
y =-
， 因为(1)M m ，，由抛物线定义，知
12
p
MF =+， 所以122
p
+
=，即2p =， 所以抛物线的方程为24x y =．……………………………………………………3分 （2）因为214y x =
，所以1
2
y x '=． 设点2()04t E t t ≠，，，则抛物线在点E 处的切线方程为21
()42
t y t x t -=-．
令0y =，则2t x =，即点(0)2
t
P ，．
y = f (x )
（第23题）
y
O
x
F A
B P
E
因为(0)2t P ，，(01)F ，
，所以直线PF 的方程为2()2
t
y x t =--，即20x ty t +-=． 则点2
()4
t E t ，到直线PF
的距离为d =
=
．…………………5分
联立方程2
4
20x y x ty t ?=???+-=?
，
，消元，得2222(216)0t y t y t -++=． 因为2242(216)464(4)0t t t ?=+-=+>，
所以1y =
，2y =，
所以221212222164(4)
1122t t AB y y y y t t ++=+++=++=+=
． ………………7分 所以△EAB
的面积为32
2
2
214(4)1(4)
22t t S t
t
++=
?=
?． 不妨设3
2
2
(4)()x g x x +=
(0)x >，则12
2
22
(4)
()(24)x g x x x
+'=-．
因为(0x ∈时，()0g x '<，所以()g x
在(0上单调递减；
)x ∈+∞上，()0g x '>，所以()g x
在)+∞上单调递增．
所以当x =
时，3
2
min 4)
()g x =
=
所以△EAB
的面积的最小值为10分
黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 （ ） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p
高三文科数学模拟试题 满分：150分 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题 满分50分 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数31i i ++（i 是虚数单位）的虚部是（ ） A ．2 B ．1- C ．2i D ．i - 2．已知集合{3,2,0,1,2}A =--，集合{|20}B x x =+<，则()R A C B ?=（ ） A ．{3,2,0}-- B ．{0,1,2} C ． {2,0,1,2}- D ．{3,2,0,1,2}-- 3．已知向量(2,1),(1,)x ==a b ，若23-+a b a b 与共线，则x =（ ） A ．2 B ． 12 C ．1 2 - D ．2- 4．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那 么这个几何体的表面积为（ ） A ．4π B ． 3 2 π C .3π D .2π 5．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6 π 个单位，得到函数 () y g x =的图象，则它的一个对称中心是（ ） A ．(,0)2π - B . (,0)6π- C . (,0)6π D . (,0) 3π 6．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ） A ．10- B ．3- C ． 4 D ．5 7. 已知圆22 :20C x x y ++=的一条斜率为1的切线1l ，若 与1l 垂直的直线2l 平分该圆，则直线2l 的方程为（ ） A. 10x y -+= B. 10x y --= C. 10x y +-= D. 10x y ++= 8．在等差数列{}n a 中，0>n a ，且301021=+++a a a Λ， 则65a a ?的最大值是( ) A ． 94 B ．6 C ．9 D ．36 正视图 侧视图 俯视图 1k k =+结束 开始 1,1 k s ==5?k < 2s s k =- 输出s 否 是
徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测 数学I 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．已知集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则集合A B 中元素的个数为 ▲ ． 2．已知复数2(12i)z =-（i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ ． 3．为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为 ▲ ． 4．运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ ． 5．从集合{0,1,2,3}A =中任意取出两个不同的元素， 则这两个元素之和为奇数的概率是 ▲ ． 6．若函数4()2x x a f x x -=?为奇函数，则实数a 的值为 ▲ ． 7．不等式2 2 21x x --<的解集为 ▲ ． 8．若双曲线22 2142 x y a a - =-的离心率为3，则实数a 的值为 ▲ ． 9．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若13579+10a a a a a +++=，2282=36a a -，则10S 的值为 ▲ ． 10．函数()sin()(0,0)f x A x A ω?ω=+>>的图象如图所示，则(1)(2)(2018)f f f ++ + 的值为 ▲ ． 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试 时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置 作答一律无效。 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 S ←0 For I From 1 To 9 S ←S + I End For Print S （第4题）
2017年高职高考数学模拟试题 数 学 本试卷共4页，24小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考 生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的 答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题 卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并 交回。 一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，满分75分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知集合{1,1},{0,1,2},M N =-=则M N =U （ ） A ．{0 } B.{1 } C.{0,1，2 } D.{-1,0,1,2 } 2 、函数y = 的定义域为（ ） .(2,2).[2,2].(,2).(2,)A B C D ---∞-+∞ 3、设a ，b ，是任意实数，且a
一、选择题： 1. 10i 2-i = A. -2+4i B. -2-4i C. 2+4i D. 2-4i 解：原式10i(2+i) 24(2-i)(2+i) i = =-+.故选A. 2. 设集合{}1|3,| 04x A x x B x x -?? =>=
A. 10 10 B. 15 C. 310 10 D. 35 解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D ∥1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B 与BE 所成的角。在1A BE ?中由余弦定理易得1310 cos A BE ∠=。故选C 6. 已知向量()2,1,10,||52a a b a b =?=+=，则||b = A. 5 B. 10 C.5 D. 25 解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++||5b ∴=。故选C 7. 设323log ,log 3,log 2a b c π===，则 A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. b c a >> 解：322log 2log 2log 3b c <<∴> 2233log 3log 2log 3log a b a b c π<=<∴>∴>> .故选A. 8. 若将函数()tan 04y x πωω??=+> ? ? ? 的图像向右平移6 π个单位长度后，与函数tan 6y x πω?? =+ ?? ? 的图像重合，则ω的最小值为 A ．1 6 B. 14 C. 13 D. 12 解：6tan tan[(]ta )6446n y x y x x π ππππωωω??? ?=+?????? →=-=+ ? +? ????向右平移个单位 1 64 ()6 62k k k Z π π ωπωπ += ∴=+∈∴ - ， 又min 1 02 ωω>∴=.故选D 9. 已知直线()()20y k x k =+>与抛物线 2:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的焦点，
江苏省2020届高三第三次调研测试 1． 已知集合{1023}U =-，，，，{03}A =， ，则U A = ▲ ． 2． 已知复数i 13i a z +=+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3． 右图是一个算法流程图．若输出y 的值为4，则输入x 的值为 ▲ ． 4． 已知一组数据6，6，9，x ，y 的平均数是8，且90xy =，则该组数据的方差为 ▲ ． 5． 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为 ▲ ． 6． 已知函数2220()20x x x f x x x x ?-=?---的解集为 ▲ ． 7． 已知{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ．若324a a -=，416a =，则3S 的值为 ▲ ． 8． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221y x a b -=（00a b >>，）的右准线与两条渐近线分别交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为4 ab ，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 9． 已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB =3 cm ，BC =1 cm ，CD =2 cm ．将此直角梯形绕AB 边所在 的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 ▲ cm 3 ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线sin 2y x =与1tan 8y x =在() 2 ππ，上交点的横坐标为α， 则sin 2α的值为 ▲ ． 11．如图，正六边形ABCDEF 中，若AD AC AE λμ=+（λμ∈，R ），则λμ+的值为 ▲ ． 12．如图，有一壁画，最高点A 处离地面6 m ，最低点B 处离地面 m ．若从离地高2 m 的C 处观赏它，则 离墙 ▲ m 时，视角θ最大． 13．已知函数2()23f x x x a =-+，2()1 g x x =-．若对任意[]103x ∈，，总存在[]223x ∈，，使得12()() f x g x ≤成立，则实数a 的值为 ▲ ． （第3 题） F （第11题） A （第12题）
高考数学模拟试题 （第一卷） 一、选择题：（每小题5分，满分60分） 1、已知集合A={x|x 2+2ax+1=0}的真子集只有一个，则a 值的集合是 A ．（﹣1，1）； B ．(﹣∞,﹣1)∪[1，+∞]； C ．{﹣1，1}； D ．{0} 2、若函数y=f(x)的反函数y=f －1(x)满足f －1(3)=0，则函数y=f(x+1)的图象必过点： A ．（0，3）； B ．（－1，3）； C ．（3，－1）； D ．（1，3） 3、已知复数z 1,z 2分别满足| z 1+i|=2，|z 2－3－3i|=3则| z 1－z 2|的最大值为： A ．5； B ．10； C ．5+13； D ．13 4、数列 ,4 3211,3211,211++++++ ……的前n 项和为： A ．12+n n ； B ．1+n n ； C ．222++n n ； D ．2+n n ； 5、极坐标方程ρsin θ=sin2θ表示的曲线是： A ．圆； B ．直线； C ．两线直线 D ．一条直线和一个圆。 6、已知一个复数的立方恰好等于它的共轭复数，则这样的复数共有： A ．3个； B ．4个； C ．5个； D ．6个。 7、如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 是异面直 线AC ，A 1D 的公垂线，则EF 和ED 1的关系是： A ． 异面； B ．平行； C ．垂直； D ．相交。 8、设(2－X)5=a 0+a 1x+a 2x+…+a 5x 5, 则a 1+a 3+a 5的值为： A ．－120； B ．－121； C ．－122； D ．－243。 9、要从一块斜边长为定值a 的直角三角形纸片剪出一块圆形纸片，圆形纸片的最大面积为： A ．2 πa 2； B ．24223a π-； C ．2πa 2； D ．2)223(a π- 10、过点（1，4）的直线在x,y 轴上的截距分别为a 和b(a,b ∈R +)，则a+b 的最小值是： A ．9； B ．8； C ．7； D ．6； 11、三人互相传球，由甲开始发球并作为第一次传球。经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有： A ．6种； B ．8种； C ．10种； D ．16种。 12、定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x －2)，若f(x)在[﹣2，0]上递增，则 A ．f(1)>f(5.5) ; B ．f(1) 高三数学模拟试卷 选择题（每小题5分，共40分） 1．已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,2,3}，N ＝{3,4,5}，则M ∩(eU N )＝（ ） A. {1,2} B.｛4,5｝ C.｛3｝ D.｛1,2,3,4,5｝ 2. 复数z=i 2(1+i)的虚部为（ ） A. 1 B. i C. -1 D. - i 3．正项数列{a n }成等比，a 1+a 2=3，a 3+a 4=12,则a 4+a 5的值是（ ） A. -24 B. 21 C. 24 D. 48 4．一组合体三视图如右，正视图中正方形 边长为2，俯视图为正三角形及内切圆， 则该组合体体积为（ ） A. 23 B. 43 π C. 23+ 43 π D. 5434327π+ 5．双曲线以一正方形两顶点为焦点，另两顶点在双曲线上，则其离心率为（ ） A. 22 B. 2+1 C. 2 D. 1 6．在四边形ABCD 中，“AB u u u r =2DC u u u r ”是“四边形ABCD 为梯形”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7．设P 在[0,5]上随机地取值，求方程x 2+px +1=0有实根的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 8．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(x ∈R ,A >0,ω>0,|φ|<2 π ) 的图象（部分）如图所示，则f (x )的解析式是（ ） A ．f (x )=5sin( 6πx +6π) Ｂ．f (x )=5sin(6πx -6π) Ｃ．f (x )=5sin(3πx +6π) Ｄ．f (x )=5sin(3πx -6 π ) 二、填空题：（每小题5分，共30分） 9.直线y =kx +1与A （1,0），B （1,1）对应线段有公 共点，则k 的取值范围是_______. 10．记n x x )12(+ 的展开式中第m 项的系数为m b ，若432b b =，则n =__________. 11．设函数 3 1 ()12 x f x x -=--的四个零点分别为1234x x x x 、、、，则 1234()f x x x x =+++ ； 12、设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ 11.2 1 1 lim ______34 x x x x →-=+-. 14. 对任意实数x 、y ，定义运算x *y =ax +by +cxy ，其中 x －5 y O 5 2 5 南京市2018届高三年级第三次模拟考试 数 学 2018.05 注意事项： 1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸． 上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位 置上） 1．集合A ＝{x| x 2＋x －6＝0}，B ＝{x| x 2－4＝0}，则A ∪B =▲________． 2．已知复数z 的共轭复数是－z ．若z (2－i)＝5，其中i 为虚数单位，则－z 的模为▲________． 3．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为▲________． 4．根据如图所示的伪代码，可知输出S 的值为▲________． 5．已知A ，B ，C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A 与B 在相邻两天值班的概率为▲________． 6．若实数x ，y 满足?????x －y －3≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0， 则y x 的取值范围为▲________． 7. 已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题： ①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β； ②若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β； ③若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β； ④若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β． 其中真命题为▲________（填所有真命题的序号）． S ←1 I ←1 While I ＜8 S ←S ＋2 I ←I ＋3 End While Print S (第3题图) (第4题图) 高三数学高考模拟题 (一) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高三数学高考模拟题（一） 一. 选择题（12小题，共60分，每题5分） 1. 已知集合{}{} M N x x x x Z P M N ==-<∈=?13302，，，，又|，那么集合 P 的子集共有( ) A. 3个 B. 7个 C. 8个 D. 16个 2. 函数y x =-的反函数的图象大致是( ) A B C D 3. 已知直线l 与平面αβγ、、，下面给出四个命题： ()//(),()()////12314若，，则若，若，，则若，，则l l l l l ααββαββγαγγγββ αβαβ⊥⊥⊥⊥⊥?⊥⊥? 其中正确命题是( ) A. (4) B. (1)(4) C. (2)(4) D. (2)(3) 4. 设cos ()31233 x x x =-∈-，且，，则ππ 等于( ) A B C D ....±±±± ππππ 18929518 5. 设a b c a b c =+=-=sin cos cos 1313221426 2 2 ，，，则、、之间的大小关系是( ) A b c a B c a b C a c b D c b a ....>>>>>>>> 6. ()15+x n 展开式的系数和为a x n n ，()572+展开式的系数和为 b a b a b n n n n n n ，则lim →∞-+234等于( ) A B C D ....- --12131 71 7.椭圆 x y M 22 4924 1+=上有一点，椭圆的两个焦点为F F MF MF MF F 121212、，若，则⊥?的面积是( ) A. 96 B. 48 C. 24 D. 12 8. 已知椭圆x y t 22 1221 1+-=()的一条准线的方程为y =8，则实数t 的值为( ) A. 7和－7 B. 4和12 C. 1和15 D. 0 9. 函数y x x x =+2sin (sin cos )的单调递减区间是( ) A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z .[].[].[].[]28278 27821588 58 3878 ππππ ππππππ ππ ππππ-+∈++∈-+ ∈+ +∈，，，， 10. 如图在正方体ABCD －A B C D 1111中，M 是棱DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A B 11上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角( ) A. 是π4 B. 是π 3 C. 是π 2 D. 与P 点位置有关 1 A 11. 在平面直角坐标系中，由六个点O(0，0)、A(1，2)、B(－1，－2)、C(2，4)、D(－2，－1)、E(2，1)可以确定不同的三角形共有( ) 高三数学模拟试题 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}1Z x x x ≤∈，，B ＝{}02x x ≤≤，则A I B ＝ ． 答案：{0，1} 考点：集合的运算 解析：∵A ＝{}1Z x x x ≤∈， ∴A ＝{﹣1，0，1} ∵B ＝{}02x x ≤≤ ∴A I B ＝{0，1} 2．已知复数z ＝(1＋2i)(a ＋i)，其中i 是虚数单位．若z 的实部与虛部相等，则实数a 的值为 ． 答案：﹣3 考点：复数的运算 解析：z ＝(1＋2i)(a ＋i)＝a ﹣2＋(2a ＋1)i 由z 的实部与虛部相等得：a ﹣2＝2a ＋1，解得a 的值为﹣3． 3．某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是 ． 答案：18 考点：系统抽样方法 解析：根据系统抽样的定义和方法，所抽取的4个个体的编号成等差数列，已知 其中三个个体的编号为5，31，44，故还有一个抽取的个体的编号为18． 4．3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖，甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是 ． 答案：13 考点：古典概型 解析：甲、乙两人同时各抽取1张奖券共有6种不同的情况，其中两人都未抽得 特等奖有2种情况，所以P ＝2 6 ＝13 ． 5．函数2()log (1)f x x x =+-的定义域为 ． 答案：[0，1) 考点：函数的定义域 解析：由题意得：0 10x x ≥??->? ，解得0≤x ＜1，所以函数的定义域为[0，1)． 6．下图是一个算法流程图，则输出的k 的值为 ． 答案：3 考点：算法初步 解析：n 取值由13→6→3→1，与之对应的k 为0→1→2→3，所以当n 取1时， 2020届高三模拟考试试卷(五) 数 学 (满分160分，考试时间120分钟) 2020．1 参考公式： 锥体的体积公式V ＝1 3Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高． 样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝ 1 n (x i －x －)2，其中x －＝ 1n x i . 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． (第3题) 1. 已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{x|x 2＞0}，则A ∩B ＝________． 2. 若复数z 满足z·i ＝1－i(i 是虚数单位)，则z 的实部为________． 3. 如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是________． 4. 函数y ＝2x －1的定义域是________． 5. 已知一组数据17，18，19，20，21，则该组数据的方差是________． 6. 某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为________． 7. 已知函数f(x)＝???1 x －1，x ≤0， －x 23 ，x ＞0， 则f(f(8))＝________． 8. 函数y ＝3sin(2x ＋π 3)，x ∈[0，π]取得最大值时自变量x 的值为________． 9. 在等比数列{a n }中，若a 1＝1，4a 2，2a 3，a 4成等差数列，则a 1a 7＝________． 10. 已知cos （π 2 －α） cos α ＝2，则tan 2α＝________． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，过A 作x 轴的垂线与C 的一条渐近线交于点B.若OB ＝2a ，则C 的离心率为________． 12. 已知函数f(x)＝|lg(x －2)|，互不相等的实数a ，b 满足f(a)＝f(b)，则a ＋4b 的最小值为________． 13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2－2ax ＋y 2－2ay ＋2a 2－1＝0上存在点P 到点(0，1)的距离为2，则实数a 的取值范围是________． 14. 在△ABC 中，∠A ＝π3，点D 满足AD →＝23AC →，且对任意x ∈R ，|xAC →＋AB →|≥|AD → － AB → |恒成立，则cos ∠ABC ＝________． 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分) 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，cos B ＝33 . (1) 若A ＝π 3 ，求sin C 的值； (2) 若b ＝2，求c 的值． 16.(本小题满分14分) 如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，AP ＝AD ，点M ，N 分别是线段PD ，AC 的中点．求证： (1) MN ∥平面PBC ； (2) PC ⊥AM. 2020年高考模拟试题 理科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为 A.5 B.4 C.3 D.2 2、复数在复平面上对应的点位于 A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3、小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点 到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为 A. 14 17B.13 16 C.15 16 D. 9 13 4、函数的部分图象 如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为 A. B. C. D. 5、已知，，，则 A. B. C. D. 6、函数的最小正周期是 A.π B. π 2C. π 4 D.2π 7、函数y=的图象大致是A．B．C．D． 8、已知数列为等比数列，是是它的前n项和,若，且与2的等差中 项为，则 A.35 B.33 C.31 D.29 9、某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有 A.24种 B.18种 C.48种 D.36种 10如图，在矩形OABC中，点E、F分别在线段AB、BC 上，且满足，，若 （），则 A.2 3 B . 3 2 C. 1 2 D.3 4 11、如图，F1，F2分别是双曲线C：(a，b＞0)的左右 焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交 于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若 |MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是 A. B. C. D. 12、函数f（x）＝2x|log0.5x|－1的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上 13、设θ为第二象限角，若，则sin θ＋cos θ＝__________ 14、(a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=_________ 15、已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a= ln y x x =+()1,1() 221 y ax a x =+++ 高三数学模拟试题及答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设集合≤ ≤ , ≤ ≤ ，则 2. 计算： A. B.- C. 2 D. -2 3. 已知是奇函数，当时，，则 A. 2 B. 1 C. D. 4. 已知向量 ,则的充要条件是 A. B. C. D. 6. 已知函数，则下列结论正确的是 A. 此函数的图象关于直线对称 B. 此函数的最大值为1 C. 此函数在区间上是增函数 D. 此函数的最小正周期为 8. 已知、满足约束条件， 若，则的取值范围为 A. [0，1] B. [1，10] C. [1，3] D. [2，3] 第二部分非选择题共100分 二、填空题本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分。 一必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。 9. 已知等比数列的公比为正数，且，则 = . 10. 计算 . 11. 已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线方程为 . 12. 若 n的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 . 13. 已知 依此类推，第个等式为. 二选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的只算前一题得分。 14. 坐标系与参数方程选做题已知曲线C的参数方程为θ为参数，则曲线C上的点到直线3 -4 +4=0的距离的最大值为 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题满分12分 某连锁超市有、两家分店，对该超市某种商品一个月30天的销售量进行统计：分店的销售量为200件和300件的天数各有15天; 分店的统计结果如下表： 销售量单位：件 200 300 400 天数 10 15 5 1根据上面统计结果，求出分店销售量为200件、300件、400件的频率; 2已知每件该商品的销售利润为1元，表示超市、两分店某天销售该商品的利润之和，若以频率作为概率，且、两分店的销售量相互独立，求的分布列和数学期望. 19.本小题满分14分 已知数列中，，且当时，， . 记的阶乘 ! 1求数列的通项公式;2求证：数列为等差数列; 3若，求的前n项和. 20.本小题满分14分 已知椭圆：的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为 . 1求椭圆的方程; 2设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹的方程; 3设O为坐标原点，取上不同于O的点S，以OS为直径作圆与相交另外一点R，求该圆面积的最小值时点S的坐标. 21.本小题满分14分 2019年高三数学模拟试题 1. 已知集合{2,0,1,7}A =，{|7,}B y y x x A ==∈，则A B = ． 【答案】{0,7} 2. 已知复数z =(i 为虚数单位)，则z z ?= ． 【答案】 3. 一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组的频数分别为10，5，7，6，第5组的频率为0.1，则第6组的频数为 ． 【答案】8 4. 阅读下列程序，输出的结果为 ． 【答案】22 5．将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1，2，3的 3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则1，2号 盒子中各有1个球的概率为 ． 【答案】2 9 6．已知实数x ，y 满足1 32 y x x x y ≤-?? ≤??+≥? ，则y x 的取值范围是 ． 【答案】]3 2,31[- 7．如图所示的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，2AB =， 3AD =， 点E 为棱CD 上一点，若三棱锥E PAB -的体积为4，则PA 的长为 ． 【答案】4 8.从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是________ 14 B 答案： 3 2 9.在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且2a =， cos cos A b C c B -=，则 122 b c -的最大值是 答案：10.已知圆C 的方程为22 (1)1x y ++=，过y 轴正半轴上一点(0,2)P 且斜率为k 的直线l 交 圆C 于A B 、两点，当ABC △的面积最大时，直线l 的斜率k =________ 答案：1或7 11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是 11,AA CC 的中点，给出下列命题：①BN 平面1MND ；②平 面MNA ⊥平面ABN ；③平面1MND 截该正方体所得截面的面积为6；④三棱锥ABC N -的体积为3 2 =-ABC N V 。其中是真命题的个数是 答案：1 12.已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '。当0x ≥时，不等式 ()()1 xf x f x '+>。若对x ?∈R ，不等式 ()()--x x x e f e axf ax e ax >恒成立，则正整数a 的最大值是 答案：0a e << 【解析】因为()()1xf x f x '+>，即()()10xf x f x '+->， 令()()1F x x f x =-????，则()()()10F x xf x f x ''=+->， 又因为()f x 是在R 上的偶函数，所以()F x 是在R 上的奇函数， 所以()F x 是在R 上的单调递增函数， 又因为()()--x x x e f e axf ax e ax >，可化为()()11x x e f e ax f ax ??->-?????? ， 即()()x F e F ax >，又因为()F x 是在R 上的单调递增函数， 所以-0x e ax >恒成立，令()-x g x e ax =，则()-x g x e a '=， 所以()g x 在(),ln a -∞单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增， 2019-2020高考数学模拟试题含答案 一、选择题 1．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为( ) A ．10组 B ．9组 C ．8组 D ．7组 2．已知向量a v ，b v 满足a =v ||1b =v ，且2b a +=v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值 为（ ） A ． 2 B ． 3 C D ． 4 3．设双曲线22 22:1x y C a b -=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别 交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ?=u u u u v u u u u v ，22MF NF =u u u u v u u u u v ，则双曲 线C 的离心率为( ). A B C D 4．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4 D ．20i x 4 5．已知P 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，12F F ， 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．43y x =± B ．34 y x =? C ．3 5y x =± D ．5 3 y x =± 6．若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(22)-， B ．(2)(2)-∞-?+∞， ， C ．(22]-， D ．(2]-∞， 8．已知函数()(3)(2ln 1)x f x x e a x x =-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()f x 在 (1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,)e +∞ B ．2(,2)e e C ．2(2,)e +∞ D ．22(,2)(2,)e e e +∞U 9．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ） 高三数学模拟试题（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．已知x x x f 2)(2 -=，且{}0)(<=x f x A ，{} 0)(>'=x f x B ，则B A I 为（ ） A ．φ B ．{}10< 2019届高三年级第二次模拟考试(十) 数学 (满分160分，考试时间120分钟) 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 已知集合A ＝{x|1高三数学模拟试题及答案word版本
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