汕头市金山中学2020级高一第一学期期末考试数学科参考答案
19.【解】（1）原式3441
12992
=
--+=； （2）28lg 492lg 722log 49lg 282lg 2lg 72(1lg 5)22=
===+-+-+b b
b a b
． 20.【解】（1）∵全集U =R ，集合{
}
2
|80{|08}A x x x x x =-<=<<，
11|3{|12}93x
B x x x ????
??=≤≤=-≤≤?? ???????
，
{|18}A B x x ∴=-≤<，
{|0U
x A x =≤或8}x ，
(){|10}U B x x A ∴=-≤≤；
（2）∵{|12}B x x =-≤≤，集合{}|32,,C x a x a a R B
C B =-≤≤∈=，∴B C ?，
∴323122a a a a -
-≤-??≥?
，解得12a ≤≤. ∴实数a 的取值范围是[1,2].
21.【解】（1）已知2,
0πα?
∈?
??
?
，3
cos 5
α=
，所以24sin 1cos 5
αα
，sin 4
tan cos 3
ααα=
=， 所以
sin 4cos tan 4
16sin cos tan 1
αααααα++==--. （2）因为2247sin 22sin cos ,cos 22cos 12525ααααα===-=-
，所以724sin 2sin cos 2cos sin 244422522550πππααα????-=-=--?=-
? ???
??. 22. 【解】（1）先求矩形PMON 面积的最大值：设BOP θ∠=，0,2πθ?
?∈ ??
?
， 则2cos ,2sin PM PN ==θθ，
2sin 2PAOON S PM PN =?=θ，
∴当22
=
π
θ，即4
π
θ=
时，max 2S =
此时，PM MO ==
4
π
θ=
.
（2）过Q 点作QS OB ⊥垂足为S ，设,,42BOQ ??∠=∈
??
?ππαα 在Rt QOS 中，有2sin ,2cos QS OS ==αα，
则2cos ,2sin RQ RM ==αα
∴)1
2cos 2sin 2sin cos sin c (s 1o 2
PQRM S αααααα=
+=+--梯形
令sin cos 4t ?
?=-=
- ??
?πααα，
∵,42??
∈
???
ππα，∴(0,1)t ∈， 此时22sin cos 1t =-αα
，则2
21
22QPMR
S t t ??=-+=--+ ? ??
?，
当t =
时，QPMR S 的最大值为12
∴方案裁剪出内接五边形ONPQR 面积最大值为252
m ，即利用率1
2522ππ
+
=。
23．【解】（1）当t e =-时，不等式()0f x ≥，即为(
)(
)
10x
x
e e e +-≥， 也就是x e e ≥，解得1≥x ，所以，不等式()0
f x ≥的解集为[)1,+∞； （2）不等式()1()141x
x x f x e e e <++
-+即为()21(1)141
x x x
x
x t e t e e e e +++<++-+， 化简，即()
()2
1
4
11x x
t e e
<
-
++对任意x ∈R 恒成立，
记()
()
2
1
4
()()11x
x h x x R e e =
-
∈++. 由于当x ∈R 时，()10,11x e ∈+，则2
1()24(3,0)1x h x e ??=--∈-??+??
. 所以，max 3t =-.
（3）由于函数()
2
()
1()1111x x x x
f x e t t
g x e e e
+-=
==++++是“可构造三角形函数”，
首先，必有0t ≥才能保证()0>g x ；其次，必需max min ()2()g x g x <，
而当01t ≤<时，1
()111
x x x
e t t g x e e +-==+++是R 上的增函数，则()g x 的值域为(),1t ， 由1
1212
t t ≤?
≤<； 当1t =时，()1g x =，符合题意；
而当1t >时，1
()111
x x x
e t t g x e e +-==+++是R 上的减函数，则()g x 的值域为()1,t ， 由212t t ≤?<≤； 综上，1,22t ??∈???
?
.