《双曲线的定义与标准方程》教学设计
设计理念：
本节课的教学内容选自中等职业教育课程改革国家规划新教材《数学（拓展模块）》第二章第二节双曲线的第一课时：双曲线的定义与标准方程。本着“以服务为宗旨，以就业为导向”的理念，注重数学与专业知识的有机融合，以服装专业“人体双曲线”为主线，贯穿教学始终，采用问题引领的探究式教学法，层层深入，让不同层次的学生都经历概念的形成、发展以及应用过程，渗透数形结合、类比等数学思想方法，同时让学生感受数学的美妙。教材分析：
圆锥曲线广泛应用于生活与科学研究中。在高中阶段，学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。本节课的作用是横向承接椭圆的定义与标准方程的研究，纵向为双曲线的简单性质的学习打下基础。
学情分析：
本节课的授课对象为我校职高二年级服装设计3+2班学生，他们已经初步掌握了椭圆的研究方法，初步具备了利用“曲线与方程”理论来研究具体的二次曲线的能力。但部分同学学习主动性有待于提高，不少学生对数学学习存在一定的畏惧心理，数学知识类比学习、自行探索与推导的能力有待于加强。
教学目标：
知识目标：了解双曲线的定义，知道焦点在x轴与焦点在y轴的两种双曲线的标准方程；
能力目标：
（1）通过定义与标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；
（2）通过双曲线的定义与标准方程在数学上的应用练习，培养学生处理数据、计算的能力以及利用“解析法”解决问题的能力；
情感目标：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题，并借数学的美妙进一步提升学生的专业美感。
教学重点：
双曲线的定义与标准方程
教学难点：
双曲线标准方程的推导
教法分析：
本节课采用问题引领下的探究式教学与分层教学相结合的形式。教师作为课堂教学的组织者和引导者，为学生创设问题情境，导入探究问题；预设问题链，引导学生类比学习；操作生活实验，增加直观感受；演示软件动态，培养定量分析；及时学习评价，实施分层教学。学生充分发挥主观能动性，体会数学学习的价值与乐趣，感受数学的美妙。
学法与教学用具：
学法：椭圆、双曲线都是平面内符合某种条件的点的轨迹。学习本节内容，应注意以下问题：
1、通过拉链实验，观察双曲线的形成过程，类比于椭圆的定义，概括归纳出双曲线的
定义；
2、双曲线的标准方程的推导是一个难点，但其过程完全可以类比于椭圆标准方程的推
导，降低难度，突破难点。
教学用具：红色记号笔、彩色拉链、多媒体幻灯片、展示台。
教学过程设计：
教学
环节
教学过程师生活动设计意图
创设情境
美育培养（约2分钟
）
重温第十六届国际服装节我校学
生走秀的精彩视频。
师：分享观后感，强调
我校展出服装历
来由服装专业的
学生设计制作，每
一届国际服装节
上都有专场展示。
生：享受这美丽的画
面。
重温服装节，活跃
课堂氛围，营造一个愉
悦的学习坏境，培养学
生专业美感，也在无形
之中提升学生的专业
荣誉感。
生活实验
问题导入（约3分钟）
取服装制作中的常用辅料“拉链”，
展开教学实验。
取一条两边长度不等的拉链，将拉
链的两端点分别固定在点
12
,
F F上，把
笔尖M固定在拉连锁口处，随着拉链
逐渐拉开或合拢，笔尖慢慢移动，就会
画出一条曲线。
再将拉链的两个端点交换位置，分
别固定在
21
,
F F上，用同样的方法可以
画出图形的另一部分，即另一支曲线。
将两支曲线放在一起，就得到了实
验的完整结果，引出双曲线。
师：播放录像视频，并
解说操作步骤，提
问：笔尖轨迹会是
一条什么样的曲
线？
生：观察实验，并思考
笔尖轨迹的形成。
师：引出双曲线，进入
课题。
生：了解课题。
该实验源于生活，
也结合专业，以录像视
频为切入点，解决了传
统课堂教学中拉链实
验不易操作的难题；以
拉链实验引出新知识，
让学生体验数学源于
生活，以及数学中“高
深莫测”的双曲线在生
活中的形成过程，增加
数学新知的亲和力。
探究一：双曲线的定义？
拉链实验只是直观的生活实验，将
实验理想化，打开几何画板，转为具体
的数学模型（操作一）。
师：打开几何画板，
提问：平面内满足
什么条件的点的
轨迹叫做双曲
线？
生：观察、思考。
由直观的生活实
验转化为具体的数学
模型，培养学生严谨的
学风和科学的态度。
动态模拟
新知生成（约8分钟）
回顾椭圆的形成过程和定义。
从几何画板中发现：M在运动过
程中，与两定点
12
,
F F的距离的差的绝
对值始终不变（操作二）。
通过实验，类比椭圆定义，得到双
曲线的定义：平面内到两定点
12
,
F F的
距离之差的绝对值为常数（小于
12
F F）
的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫
做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫
做焦距。
师：操作椭圆的形成动
画。
生：口述椭圆定义。
师：强调双曲线形成过
程中的不变量。引
导学生类比椭圆
定义，给双曲线下
定义。
生：结合椭圆定义的叙
述和实验的发现，
归纳出双曲线的
定义。
师：引导学生完善双曲
线的定义。使之更
加严谨，并提出定
义中的关键词：
差、常数、双曲线。
生：理解把握，做笔记。
通过回顾椭圆相
关知识，既检测了学生
对前面知识的掌握情
况，同时又为下面双曲
线的学习做好铺垫。
通过动画演示，激
发学生的探究兴趣和
欲望，以及体验多媒体
软件教学。实验的发现
即是锻炼学生生活问
题数学化的能力。
定义的完善让学
生感受数学的严谨。
步步深入
方程推导（约10分钟）
引入服装制作立体剪裁中的“人体
双曲线”，进而研究双曲线的标准方程。
探究二：双曲线的标准方程？
类比椭圆标准方程的推导过程，借
助于多媒体，通过建系、设点、列式、
化简方程等工作，推导双曲线的两种标
准方程：
焦点在x轴上：
22
22
1
x y
a b
-=
焦点在y轴上：
22
22
1
y x
a b
-=
()
2220,0
c a b a b
=+>>
师：演示动画，结合专
业加以解说。
生：观察三组曲线。
师：提问三种不同的曲
线如何区分？用
什么来衡量双曲
线的不同？
生：思考，并作答。
师：类比椭圆，多媒体
动态演示，引导学
生建系、设点、列
式、化简方程。
生：了解过程，并回答
一些简单的问题，
体验求曲线方程
的一般步骤，得到
双曲线的标准方
程。
师：就标准方程提出几
点说明。
生：思考、理解并笔记。
flash动画演示，
由定义-构成-意义，引
入“人体双曲线”，将
数学知识对生产生活
的指导形象地呈现给
学生，导入双曲线标准
方程的探究，符合学生
的认知规律。
双曲线标准方程
的推导历经多次移项、
两边平方、整理，是一
难点，多媒体动态演
示，避免了冗长的板书
与大量的课堂耗时，使
学生再一次体验求曲
线方程的一般步骤。掌
握数学学习的一些常
规方法，突破了这一难
点。
通过定义与标准
方程的挖掘与探究，使
学生进一步体验类比
及数形结合等思想方
法的运用，提高学生的
观察与探究能力,真正
达成教学目标的能力
要求。
标准方程的几点
说明帮助学生更好地
把握知识点。
例1 已知双曲线的标准方程为
22
1
14425
x y
-=，
请问：()1a=；b=；
c=；
()2焦点在轴上；
师：述说题意，分析解
题思路，帮助学生
解题。
生：观察、思考、领会、
掌握。
例一，给定双曲线
的标准方程，写出
,,
a b c以及焦点坐标
和焦距。
实战演练
巩固新知（约17分钟）
焦点坐标为；
焦距为.
练习1 捕鱼小达人：请把以下各条鱼
放在对应的渔网中.
例2 已知双曲线的焦点在y轴上，且焦
距为14，双曲线上一点到两个焦点的
距离之差的绝对值等于8，请写出双曲
线的标准方程.
练习2 连连看.
例3 学以致用
立体剪裁中的标准人台号型（身高
160公分/84A）的正视图如图所示，胸
围到臀围的外侧曲线可近似地认为是
“人体双曲线”，现取过A、B的纵截
面，如图建立平面直角坐标系，已知“人
体双曲线”的标准方程为
22
1
121256
x y
-=，
求A、B两点间的距离.
师：说明游戏规则。
生：观察，动脑，完成
游戏1。
师：述说题意，分析思
路，帮助学生解
题，并提出与例1
的联系与区别。
生：理解、已知条件数
学符号化、计算、
表述。
师：指出游戏规则。
生：观察、思考、辨析，
完成游戏2。
师：演示flash评价结
果。
生：体会人机交互、数
学学习的乐趣。
师：分析、引导。
生：思考、动手求解、
不懂问老师或前
后桌讨论交流。
每一例题后均设
置了相同题型的学生
练习，即趣味小游戏：
捕鱼小达人和连连看。
成功者给予一定的奖
励和达人积分。趣味游
戏的环节，既增添了数
学学习的趣味性，同时
又对学生的学习及时
进行评价与指导。
例二，根据,,
a b c
三者中的任意两者以
及焦点位置，求双曲线
的标准方程。
例3结合专业，实
现教学为专业服务，注
重数学与专业知识的
有机结合，培养学生实
践应用能力，并为下一
课时双曲线的性质做
好铺垫。
师：幻灯片演示作业。生：自我评价作业。
课堂练习纸的设置利于课堂展示与评价，通过幻灯片当场批改讲评，实现他评与自评。
总结反思能力提升（约3分钟）
概括本节课的主要内容、重点内
容，并作强调。
（1）相关概念：双曲线的定义；两类
双曲线的标准方程；
（2）思想方法：类比、数形结合。
师：通过提问“今天你
收获了什么？”引
导学生对本堂课
作概括性小结，帮
助学生提纲挈领。
生：完成知识小结表。
培养学生总结、反
思学习过程的能力，以
及归纳、概括和口头表
达能力。
分层作业
理实结合（约2分钟）必做：
1. 动动手：分小组操作拉链实验，体
验双曲线的形成过程；
2. 登陆“奇偶道”多媒体软件系统，
完成本节内容对应的每课一练，并
完成课后反思。
选做：
1．上网查找有关双曲线在现实生活中
的应用；
2．在“奇偶道”中探究影响双曲线开
口的因素；以及椭圆与双曲线的联
系与区别，在系统的分享数学的趣
味（学习交流）区分享自己的探究
成果与学习感受.
师：布置作业。
生：纪录作业。
师：登陆“奇偶道”预
演示。
分层作业体现分
层教学思想，以学生的
不同层次为基点，布置
开放式的作业。
必做作业帮助学
生体验、巩固和运用新
知，通过小组任务培养
学生合作与竞争的意
识。
选做作业借助多
媒体与信息技术培养
学生的信息收集与处
理的能力、观察能力、
自主探究能力，以及用
生：观察、记录。
联系的眼光看问题，形成知识框架。
板书设计
在板书设计中，将黑板分成两个区域，左侧为知识点呈现区，右侧为课堂练习纸“学以致用”幻灯片展示。板书呈现清晰的课堂教学脉络，同时有效引导学生进行自我评价。
教学反思
本节课的教学过程中，以“人体双曲线”为主线，由服装节视频引入，借助于拉链实验、几何画板与Flash 动画，在知识类比与动态演示的过程中，突出重点，突破难点，得到了双曲线的定义与标准方程，例题与练习设置一讲一练，并在学生练习中融入了趣味小游戏，寓教于乐，作业分层布置，因材施教。
以我校自主研发“奇偶道”辅教、助学软件为平台，小组完成拉链实验让学生自行体验双曲线的形成过程，培养学生身体力行，合作与竞争的意识；软件中的每课一练体现大多数同学能较好掌握新知，个别同学还需努力，作为老师也会多关注他们后续的数学学习；而在系统的“分享数学的趣味中”，学生从双曲线建筑谈到双曲线小诗，甚至是双曲线歌曲，数学的美妙，妙不可言。
整个教学过程融入专业学习背景，充分发挥信息技术，实现分层教学理念，取得了良好的教学效益。诚然，由于课堂教学在空间与时间上的局限性，难免存在不足之处，将努力在往后的教学中不断探索改进。
双曲线的定义与标准方程 1、 定义 课堂练习纸 平面内到两定点12,F F 的距离之差的绝对值 “学以致用” 为常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线。 幻灯片展示 2、 标准方程 焦点在x 轴上：22221x y a b -= 焦点在y 轴上：22221y x a b -=
()2220,0c a b a b =+>>
附：
《双曲线的定义与标准方程》课堂练习纸
例3 学以致用
立体剪裁中的标准人台号型（身高160公分/84A ）的正视图如图所示，胸围到臀围的外侧曲线可近似地认为是“人体双曲线”，现取过A 、B 的纵截面，已知“人体双曲线”的标准方程为
22
1121256
x y -=， 求A 、B 两点间的距离.
2.3.1双曲线及其标准方程 教学目标： 1.知识与技能 掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程. 2.过程与方法 教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程. 3.情感、态度与价值观 通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力. 教学重点:双曲线的定义、标准方程及其简单应用 教学难点:双曲线标准方程的推导 授课类型：新授课 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程: 一.情境设置 1.复习提问： (由一位学生口答，教师利用多媒体投影) 问题 1：椭圆的定义是什么？ 问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？ 问题3：如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？ 2.探究新知: (1)演示：引导学生用《几何画板》作出双曲线的图象，并利用课件进行双曲线的模拟实验，思考以下问题。 (2)设问：①|MF 1|与|MF 2 |哪个大？ ②点M到F 1与F 2 两点的距离的差怎样表示？ ③||MF 1|-|MF 2 ||与|F 1 F 2 |有何关系？ （请学生回答：应小于|F 1F 2 | 且大于零，当常数等于|F 1 F 2 | 时，轨迹是以 F 1、F 2 为端点的两条射线；当常数大于|F 1 F 2 | 时，无轨迹） 二.理论建构 1.双曲线的定义 引导学生概括出双曲线的定义： 定义:平面内与两个定点F 1、F 2 的距离的差的绝对值等于常数（小于<|F 1 F 2 |）
的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。（投影） 概念中几个关键词：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ” 2.双曲线的标准方程 现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示） （1）建系 取过焦点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系。 (2) 设点 设M （x ,y ）为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c （c>0），则F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），又设点M 与F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数2a （2a <2c ）. （3）列式 由定义可知,双曲线上点的集合是P={M|||MF 1|－|MF 2||=2a }. 即: （4）化简方程 由学生板演，教师巡视。化简，整理得： 移项，两边平方得 两边再平方后整理得 由双曲线定义知 这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦 ()(), 22 22 2a y c x y c x =+-- ++()()a y c x y c x 22 22 2±=+-- ++()2 22y c x a a cx +-±=-()() 2 2222222 a c a y a x a c -=--) 0,0(1)0(,0,2222 2222222>>=->=->-∴>>b a b y a x b b a c a c a c a c 代入上式整理得设即
练习题 高二一部数学组 刘苏文 2017年5月2日 一、选择题 1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 2 1－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．－1
双曲线及其标准方程 一、教学目标 (一)知识教学点 1.掌握双曲线定义、标准方程； 2.掌握焦点、焦距、焦点位置与方程关系； 3.认识双曲线的变化规律. (二)能力训练点 在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力． (三)学科渗透点 本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识． 二、教材分析 1．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程． (解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．) 2．难点：双曲线的标准方程的推导． (解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比．) 3．疑点：双曲线的方程是二次函数关系吗？ (解决办法：教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决，同时让学生在课外去研究在什么附加条件下，双曲线方程可以转化为函数式．) 三、活动设计 教学方法启发引导式 教具准备三角板、双曲线演示模板、幻灯片 提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结．
四、教学过程 (一)复习提问 1．椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书) 平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．教师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数； (3)常数2a＞|F1F2|． 2．椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书) (二)双曲线的概念 把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？ 1．简单实验(边演示、边说明) 如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支． 注意：常数要小于|F1F2|，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．2．设问 问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？ 请学生回答，不能．强调“在平面内”． 问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？
1. 1.3双曲线及其标准方程 课前预习学案 一、预习目标 ①双曲线及其焦点,焦距的定义。 ②双曲线的标准方程及其求法。 ③双曲线中a，b，c的关系。 ④双曲线与椭圆定义及标准方程的异同。 二、预习内容 ①双曲线的定义。 ②利用定义推导双曲线的标准方程并与椭圆的定义、标准方程和推导过程进行李类 比。 ③掌握a，b，c之间的关系。 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容 课内探究学案 一、教学过程 前面我们学习过椭圆，知道“平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆”。 下面我们来考虑这样一个问题？ 平面内与两定点F1，F2的距离差为常数的点的轨迹是什么？ 我们在平面上固定两个点F1，F2，平面上任意一点为M，假设|F1F2|=100,|MF1|＞|MF2|且|MF1|－|MF2|=50不断变化|MF1|和|MF2|的长度，我们可以得出它的轨迹为一条曲线。 若我们交换一下长度，|MF1|＜|MF2|且|MF1|－|MF2|=－50时，可知它的轨迹也是一条曲线 那么由这个实验我们得出一个结论： “平面内两个定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线。” 但大家思考一下这个结论对不对呢？ 我们知道在椭圆定义里，到两定点的距离和为一个常数，这个常数（必须大于|F1F2|）那么这里差的绝对值为一个常数，这个常数和|F1F2|有什么关系呢？ 下面我们来看一个试验，当|MF1|－|MF2|=0时，M点的轨迹为F1，F2的中垂线； 随着|MF1|-|MF2|的不断变化，呈现出一系列不同形状的双曲线； 当|F1F2|即和|F1F2|长度相等时，点的轨迹为以F1，F2为端点的两条射线； 若|MF1|-|MF2|＞100 时，就不存在点M。 那么由以上的一些试验我们可以得出双曲线的准确定义： 定义：平面内与两定点F1，F2的距离差的绝对值为非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹是双曲线。定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫双曲线的焦距。
2．2 双曲线 2．2.1 双曲线及其标准方程 【课标要求】 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 【核心扫描】 1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点 ) 自学导引 1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F 1F 2|”，那么“常数等于|F 1F 2|”，“常数大于|F 1F 2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？ 提示 (1)若“常数等于|F 1F 2|”时，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线F 1A ，F 2B (包括端点)，如图所示． (2)若“常数大于|F 1F 2|”(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 想一想：如何判断方程x a 2－y b 2＝1(a >0，b >0)和y a 2－x b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点 的位置？ 提示 如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 名师点睛 1．对双曲线定义的理解 (1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在． (2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上． (3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)． (4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．” 2．双曲线的标准方程 (1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程． (2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，
双曲线及其标准方程 一.教学目标: （1）知识与技能：理解双曲线的定义并能独立推导标准方程； （2）过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比及数形结合等 思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力； （3）情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学 生用联系的观点认识问题。 二.教学重点:双曲线的定义 三.教学难点:双曲线方程的推导 四.教学过程: (一)复习回顾 (二)双曲线的定义: 1.问题:若把椭圆定义中”距离之和”改为”距离之差”,那么动点的轨迹是什么?它的方程是怎么样的呢? 2. 双曲线的定义: 平面内与两定点的距离的差的绝对值是常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距． 3.简单演示(使用几何画板). 4. （*） 注意：①（*）式中是差的绝对值，在条件下： 时为双曲线的一支（含的一支）； 时为双曲线的另一支（含的一支）. ②当时，表示两条射线. ③当时，不表示任何图形. (三).双曲线标准方程的推导: 现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导
学生给出双曲线的方程的推导． 标准方程的推导: (1).建系设点:取过焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴(如图所示)建立直角坐标系,设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是，那么的坐标分别是．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值为. (2)点的集合:由定义可知，双曲线就是集合：}． (3)代数方程, , (4)化简方程:将这个方程移项，使式子两边平衡,再两边平方得：,移项整理两边平方可得: (我们可以仿照椭圆的标准方程的处理方式把式子美化,使其简洁易记) 由双曲线定义，即，所以设，代入上式得：．即,这就是焦点在轴上的双曲线的标准方程． 两种标准方程的比较(引导学生归纳)： (1) 表示焦点在x轴上的双曲线,焦点是: ,这里. (2) 表示焦点在y轴上的双曲线,焦点是: ,这里.(只需将(1)方程的x,y互换即可得到) 强调指出： (1)双曲线标准方程中的”标准是指的是双曲线的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上(这从建立直角坐标系可以看出来).(2)双曲线标准方程中，，但不一定大于；(3)如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．(4)双曲线标准方程中的关系是，不同于椭圆方程中． (四).例题分析: 练习:写出下列双曲线的焦点坐标: (1)(2)(3)(4) 例1. 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. 解: 根据双曲线的焦点在轴上，设它的标准方程为： ,所以所求双曲线的标准方程为: (五)小结
高二数学选修1-1 2.2.1双曲线及其标准方程学案 一、学习任务： 1.掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形． 2.会根据条件求双曲线的标准方程. 3.会区别双曲线与椭圆定义及标准方程的异同。 二、探究新知： 问题1、把椭圆的定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹是什么？ 我们把平面内与两个 F 1、F 2的距离的 _______ _ 等于常数（ ）的点的轨迹叫做双曲线， 这两个 叫做双曲线的焦点， 叫做双曲线的焦距。 问题2、将定义中的常数设为2a （1）、当2a ＜︱F 1F 2︱时，轨迹是 （2）、当2a ＞︱F 1F 2︱时，轨迹是 （3）、当2a=︱F 1F 2︱时，轨迹是 （4）、当2a=0 时，轨迹是__________________________________ （5）、将定义中的“绝对值”去掉,动点轨迹是什么? 例如|MF 1|-|MF 2|=2a ，表示哪支呢？ 而|MF 2|-|MF 1|=2a 呢？ 1．双曲线的标准方程： 类似于椭圆求标准方程，推导双曲线标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程 1）、以 为 轴，以 为 轴，建立直角坐标系XOY ，则F 1、F 2的坐 标分别是F 1 、F 2 。 2)、设M(x,y)是双曲线上的任意一点, 由双曲线的定义有:- 1MF = ，（＊） 由两点距离公式有：1MF 2= ； 由（＊）式化简得到焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为： ； 类似的得到焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为： . 2．双曲线的标准方程的特点： （1）标准方程左边的两项用 号连接; （2）c b a ,,的关系： ，而椭圆标准方程中c b a ,,的关系是： 。 3.焦点的位置:椭圆的标准方程看出椭圆的焦点位置由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2 x 项的系数是正的，那么焦点在 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在 轴上。 自学检查 1.(1）、已知：116 922=-y x 求：a=_ ,b= ,c=_ ，焦点坐标是 ； (2)、已知：125 144 2 2=-x y 求：a=_ ,b=_ ,c=_ ， 焦点坐标是 ； （3）、已知822 2 =-y x ，则a = ,b = , =c . 焦点坐标是 。 2、已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到21,F F 的距离之差的绝对值等于6，则双曲线标准方程是______________________。 3、已知A （2，－3），B （－4，－3），动点P 满足|PA|-|PB|=6，则P 点轨迹分别是（ ） A ）双曲线 B ）两条射线 C ）双曲线的一支 D ）一条射线 4、设双曲线19 162 2=-y x 上的点P 到一焦点)0,5(的距离为15，则P 点到另一焦点)0,5(-的距离是（ ） A ）7 B ）23 C ）5或23 D ）7或23 5、双曲线22 13x y m m -=+的一个焦点为（2，0） ，则m=（ ） A ）12 B ）1或3 C D 6、若方程14132 2++-k y k x =1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) (A)(31-, 41) (B)(41-, 31) (C)( 31,41-) (D)(-∞,4 1-)∪(31 ,+∞) 7、求适合下列条件的双曲线的标准方程。 (1）、焦点在x 轴上，5,3==c a ； (2）、焦点为(0,-6),(0,6),经过点(2,-5); 巩固训练 1．已知顶点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，为双曲线的是( ) A ．|PF 1|－|PF 2|＝3 B ．|PF 1|＋|PF 2|＝6 C ．||PF 1|－|PF 2||＝4 D ．||PF 1|－|PF 2||＝3 2、已知双曲线221169 x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为 10，则 点P 到右焦点的距离为_______ ． 3.设21,F F 是双曲线 22 11620 x y -=的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点1F 的距离是9，则点P 到2F 的距离是__________ 4.已知方程 22 121x y m m -=++表示双曲线,则m 的取值范围是_________________ 5.椭圆 22214x y a +=与双曲线22 12 x y a -=有相同的焦点，则a 的值=____________ 6.（1）已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和? ?? ??94，5，求双曲线的标准方程； （2）求与双曲线x 216－y 2 4 ＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程. 拓展延伸： 1.已知双曲线22 163 x y -=的焦点21,F F ，点M 在双曲线上，且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2MF 的距离是___________ 2.设P 为双曲线22 112 y x -=上的一点，1,2F F 是该双曲线两个焦点，若12:3:2PF PF =则12PF F 的面积是_______________ 三、本节课收获：???? ? ????
2．3．1双曲线及其标准方程第一课时 《双曲线及其标准方程》 一．教学目标 ?知识与技能目标 了解双曲线的定义，几何图形，标准方程 ?过程与方法目标 类比椭圆的定义，标准方程，得到双曲线的定义，标准方程，并注意两者的比较 ?情感与态度目标 体会运动变化的观点，数形结合的思想方法 二．教材分析： 1、教学分析：学生已经掌握曲线与方程的基础，通过实例给出双曲线的定义，进而去推导双曲线的标准方程，由于前面学习了椭圆的相关知识，这一块对于学生来说是比较熟悉的内容，可让他们自行推导，课本的例1很好的结合了双曲线的定义来考察学生对概念理解的程度，例2将双曲线应用在实际生活当中，后面的探究内容可以充分发挥出学生的主导地位，分析和发现轨迹方程的求法。 2．教学重点：双曲线的定义，标准方程 3．教学难点：双曲线标准方程的推导 三、教学过程： （一）导入新课 1．回顾椭圆的定义，标准方程
2．提出问题： 平面内到两定点的距离的差为常数的点的轨迹是什么？ 3．实验探究上述问题 学生动手实验 P ．52拉链演示 4．多媒体演示 （二）推进新课 1．双曲线的定义： 平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 即以曲线上的点M 满足：a MF MF 221=-（a 为定值，a F F 221>） 思考：（1）若a F F 221=，点M 的轨迹是什么？ （2）若a F F 221<，点M 的轨迹是什么？ 2．双曲线标准方程的推导 以焦点在x 轴的双曲线为例，类比椭圆标准方程的推导过程，按求曲线方程的一般步骤求解。 得到双曲线的标准方程为12222=-b y a x 说明： （1）12222=-b y a x 或12222=-b x a y 均称为双曲线的标准方程； （2）c b a ,,三者的关系：222b a c +=，注意与椭圆中c b a ,,三者关
圆锥曲线教案双曲线的定义及其标准方程教案 教学目标 1．通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，双曲线的标准方程的探索推导过程． 2．在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，培养学生会合情猜想，进一步提高分析、归纳、推理的能力． 3．培养学生浓厚的学习兴趣，独立思考、勇于探索精神及实事求是的科学态度． 教学重点与难点 双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点．定义中的“差的绝对值”，a与c的关系的理解是难点． 教学过程 师：椭圆的定义是什么椭圆的标准方程是什么 (学生口述椭圆的两个定义，标准方程，教师利用投影仪把椭圆的定义、标准方程和图象放出来．) 师：椭圆的两个定义虽然都是由轨迹的问题引出来的，但所采用的方法是不同的．定义二是在认识上已经把椭圆和方程统一起来，在掌握了坐标法基础上利用坐标方法建立轨迹方程．这是通过方程去认识轨迹曲线．定义中设定的常数 2a，|F1F2|=2c，它们之间的变化对椭圆有什么影响 生：当a=c时，相应的轨迹是线段F1F2．当a＜c时，轨迹不存在．这是因为a、c的关系违背了三角形中边与边之间的关系． 师：如果把椭圆定义中的“平面内与两个定点F1、F2的距离的和”改写为“平面内与两个定点F1、F2的距离的差”，那么点的轨迹会怎样它的方程又是怎样的呢 (师生共同做一个简单的实验，请同学们把准备好的实验用具拿出来，一起做实验．教师把教具挂在黑板上，同时板书：平面内与两个定点F1、F2的距离之差为常数的点的轨迹是什么曲线边画、边操作、边说明．) 师：做法是：适当选取两定点F1、F2，将拉锁拉开一段，其中一边的端点固定在F1处，在另一边上截取一段AF2(＜F1F2)，作为动点M到两定点F1和F2距离之
§2.3.1双曲线及其标准方程 海南华侨中学王芳文 1．教学背景 1.1 学生特征分析 我授课班级是海南侨中理科班，方法储备上，学生经过学习，已经基本适应高中数学学习规律，但是学习方法还是停留在简单模仿，反复练习层次上，对知识的生成与发展，区别与联系认识不深，缺少抽象概括及分析综合能力。 知识储备上，学生已经系统的学习了直线方程，圆的方程以及椭圆的相关知识，学生熟知椭圆的定义，会根据题目条件求简单的椭圆的标准方程。但是由于接触学习椭圆的时间还相对较短，对椭圆的基本性质了解不深，而且理性思维比较欠缺，且计算能力的短板约束使得在处理直线与椭圆等综合问题时还存在困难。把新问题转化为已解决问题的能力有待提高，缺乏选择、调整解决问题策略的能力。 1.2教师特点分析 自己教学中的优势：注重问题引导、思路分析、善于与信息技术的整合、善于鼓励学生，能对学生进行有效指导。 不足：课堂教学语言相对不够准确简练、板书不够清晰美观。 1.3 学习内容分析 1、内容分析：学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。从高考大纲要求和课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点。而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。 2、例题分析： 温故：帮助学生复习椭圆的定义，提出问题。 探究：如图，实验操作：1.取一条拉链，拉开一部分；
双曲线的标准方程 （第一课时） （一）教学目标 掌握双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程，能根据条件求简单的双曲线标准方程． （二）教学教程 【复习提问】 由一位学生口答，教师板书． 问题1：椭圆的第一定义是什么？ 问题2：椭圆的标准方程是怎样的？ 【新知探索】 1．双曲线的概念 如果把上述定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程双是怎样的呢？ （1）演示 如图，定点、是两个按钉，是一个细套管，点移动时， 是常数，这样就画出双曲线的一支，由是同一个常数，可以画出双曲线的另一支． 这样作出的曲线就叫做双曲线． （2）设问
①定点、与动点不在同一平面内，能否得到双曲线？ 请学生回答，不能．指出必须“在平面内”． ②到与两点的距离的差有什么关系？ 请学生回答，到与的距离的差的绝对值相等，否则只表示双曲线的一支，即是一个常数． ③这个常是否会大于或等？ 请学生回答，应小于且大于零．当常数时，轨迹是以、 为端点的两条射线；当常数时，无轨迹． （3）定义 在此基础上，引导学生概括出双曲线的定义： 平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程 现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导． （1）建系设点 取过焦点、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立在直角坐标系（如图）．
设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，则、，又设点与、的距离的差的绝对值等于常数． （2）点的焦合 由定义可知，双曲线上点的集合是 （3）代数方程 （4）化简方程 由一位学生演板，教师巡视， 将上述方程化为 移项两边平方后整理得： 两边再平方后整理得： 由双曲线定义知即，∴， 设代入上式整理得： 这个方程叫做双曲线的标准方程．它所表示的双曲线的焦点在轴上，焦点是、，这里． 如果双曲线的焦点在轴上，即焦点，，可以得到方程 这个方程也是双曲线的标准方程． 教师应当指出： （1）双曲线的标准方程与其定义可联系起来记忆，定义中有“差”，则方程“－”号连接，
双曲线的定义及标准方程 题型一、圆锥曲线的标准方程 例1、讨论 19252 2 =-+ -k y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9 课时作业(十) [学业水平层次] 一、选择题 1．方程x 22＋m －y 2 2－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围( ) A ．－2＜m ＜2 B ．m ＞0 C ．m ≥0 D ．|m |≥2 【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0. ∴－2＜m ＜2. 【答案】 A 2．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( ) A.x 29－y 2 16＝1 B.y 29－x 2 16＝1 C.x 29－y 2 16＝1(x ≤－3) D.x 29－y 2 16＝1(x ≥3) 【解析】 由题意知，轨迹应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16， ∴P 点的轨迹方程为x 29－y 2 16＝1(x ≥3)． 【答案】 D 3．(2014·福州高级中学期末考试)已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( ) A.x 22－y 2 3＝1 B.x 23－y 2 2＝1 C.x 24－y 2 ＝1 D ．x 2 －y 2 4＝1 【解析】 由? ?? |PF 1|· |PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(25)2 ， ?(|PF 1|－|PF 2|)2＝16， 即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C. 【答案】 C 4．已知椭圆方程x 24＋y 2 3＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( ) A.2 B. 3 C ．2 D ．3 【解析】 椭圆的焦点为(1,0)，顶点为(2,0)，即双曲线中a ＝1，c ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝2 1＝2. 【答案】 C 二、填空题 5．设点P 是双曲线x 29－y 2 16＝1上任意一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝10，则|PF 2|＝________. 【解析】 由双曲线的标准方程得a ＝3，b ＝4. 于是c ＝ a 2＋ b 2＝5. (1)若点P 在双曲线的左支上， 2.2.1《双曲线及标准方程》教学案 教学目标： 1.通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，体会双曲线标准方程的探索推导过程. 2.使学生在学会知识的过程中，进一步熟练用坐标法建立曲线方程，培养学生等价转化、数形结合等数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力. 3.通过对定义与方程的探索、评价，优化学生的思维品质，培养学生运动变化、辨证统一的思想. 教学重点与难点： 双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点. 定义中“差的绝对值”、a 与c 的大小关系的理解与标准方程的建立是难点. 教学过程： 一、课题导入 师：椭圆的定义是什么？ (学生口述椭圆的定义，教师利用CAI 课件把椭圆的定义和图象放出来.) 师：椭圆定义是由轨迹的问题引出来的，我们把满足几何条件｜PF 1｜+｜PF 2｜=2a (常数)(2a >｜F 1F 2｜)的动点P 的轨迹叫椭圆.下面，我们来做这样一个实验： (同学分组实验：利用拉链演示双曲线的生成过程，导入课题) 师：通过这个实验，我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线，这是一类什么曲线呢？这就是我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”(板书课题) 二、定义探究 师：我们知道满足几何条件｜PF 1｜+｜PF 2｜=2a (常数)的动点P 的轨迹是椭圆，那双曲线应该是点P 满足什么几何条件的轨迹呢？ (引导学生从刚才的演示实验中寻找答案： ｜PF 1｜-｜PF 2｜=2a 或｜PF 2｜-｜PF 1｜=2a ) 师：是不是有以上规律呢？为了更直观的体现我们刚才的实验过程，下面我们来验证一下. (播放双曲线flash 生成动画，验证几何条件) 师：实验证明当点P 满足以上几何条件时，我们得到的轨迹确实是双曲线，如果 ｜PF 1｜＞｜PF 2｜，则得到曲线的右支，如果｜PF 2｜＞｜PF 1｜则得到曲线的左支， 能否用一个等式将两几何条件统一起来呢？ （引导学生思考，此时只需在|1PF |-|2PF |=2a 左边加上绝对值） 双曲线及其标准方程 学习目标：掌握双曲线的定义及标准方程，进一步理解坐标法的思想； 学习重点：了解双曲线的定义； 学习难点：双曲线标准方程的推导过程； 学习过程： 一、复习与问题： 1、复习：椭圆的定义 椭圆的标准方程： 2、问题：平面内与两定点的距离的和等于常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹叫做椭圆，平面内与两定点的距离的差为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？ 二、双曲线的定义： 双曲线的定义：把平面内 的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 合作探究：试说明在下列条件下动点M 的轨迹各是什么图形？ ),,2,2,(212121都为正常数是两定点，c a c F F a MF MF F F ==- （1）当21MF MF -=2a 时，点M 的轨迹 （2）当12MF MF -=2a 时，点M 的轨迹 （3）当2a =2c 时，动点M 的轨迹 （4）当2a >2c 时，动点M 的轨迹 （5）当2a =0时，动点M 的是轨迹 三、双曲线的标准方程： 1、焦点在x 轴上的双曲线的标准方程 建系： 设点： 若焦距为2c (c >0),则1F ，2F ，又设点M 与两焦点的距离差的绝对值等于常数2a ，由双曲线的定义得： （整理过程） 由曲线与方程的关系知所求方程为双曲线的标准方程， 双曲线的标准方程 它所表示的双曲线的焦点在 ，焦点坐标为 2、焦点在y 轴上的双曲线的标准方程 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为 ， 它所表示的双曲线的焦点在 ，焦点坐标为 思考:如何根据双曲线的标准方程确定焦点的位置？ 四、典例剖析 例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于8，则求双曲线的标准方程. 变式1、已知双曲线的焦点为F1(0,-5), F2(0,5)，双曲线上一点P 到F1、F2的距离的差等于6，求双曲线的方程. 例2、求适合下列条件的双曲线的标准方程 1、焦点为（0，--6）,（0，6）,且经过点（2，5） 2、焦点在x 轴上， 3、经过两点 ），（），， （372B 267A --）， （经过点25A ,52-=a 《双曲线及其标准方程》教学设计 《双曲线及其标准方程》教学设计 一、设计理念 1.课标解读： 《普通高中数学课程标准》（实验）中指出：（1）高中数学课程应设立“数学探究”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的 条件，以激发学生的数学学习兴趣。（2）高中数学课程应注重提高学生的数学思 维能力，在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、 归纳类比、抽象概括、符号表示、运算求解、反思与建构等思维过程，提高学生 对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断的能力（3）高中数学课程实施 应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，删减繁琐的计算、人为技巧化的 难题和过分强调细枝末节的内容。（3）高中数学课程提倡实现信息技术与课程内 容的有机整合，整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质；提倡利用信息技 术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，加强数学教学与信息技术的结合。（4）高中数学课程应建立合理、科学的评价体系；评价既要关注学生数学学习的结果，也要关注数学学习的过程；过程性评价应关注对学生理解数学概念、数学思想等 过程的评价，关注对学生在学习过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流 的意识的评价。 基于课表理念的指导，本节课教学方法选择以问题探究、练习为主、以讲授法辅。教学过程侧重知识的自主建构和应用，重视信息技术在教学中的辅助作用。 2.高考解读： 解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题是解析几何的基本特点和性质。因此，在解题的过程中计算占了很大的比例，对 运算能力有较高的要求，但计算要根据题目中曲线的特点和相互之间的关系进行，所以曲线的定义和性质是解题的基础。解析几何试题除考查概念与定义、基本元 素与基本关系外，还突出考查函数与方程的思想、数形结合的思想等思想方法。 3.教材解读： 本节课的教学内容是《数学选修2-1》第二章《圆锥曲线与方程》§ 3.1“双曲线及其标准方程”，教学课时为1课时。圆锥曲线是一个重要的 几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有 着广泛的应用，同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材，而双 曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种，作为最后一种圆锥曲线来学习充分 考虑到了知识学习由易到难的教学要求。双曲线可以与椭圆类比学习，主 要内容是：①探求轨迹（双曲线）；②学习双曲线概念；③推导双曲线标准 § 2.3双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程 课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线． 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为________________________________________________________________________． 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹__________． (2)双曲线的焦点和焦距 双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做__________________，两焦点间的距离叫做__________________． 2．双曲线的标准方程 (1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是______________________，焦点F 1__________，F 2__________. (2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F 1__________，F 2__________. (3)双曲线中a 、b 、c 的关系是________________． 一、选择题 1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．若ax 2＋by 2＝b(ab<0)，则这个曲线是( ) A ．双曲线，焦点在x 轴上 B ．双曲线，焦点在y 轴上 C ．椭圆，焦点在x 轴上 D ．椭圆，焦点在y 轴上 3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B .x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1 D .x 22－y 22＝1 4．双曲线x 2m －y 23＋m ＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( ) A .12 B ．1或3 C .1＋22 D .2－12 5．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．圆 《 2.2.1 双曲线及其标准方程》 教学设计 《2.2.1 双曲线及其标准方程》 教学设计 教学目标： （1）理解双曲线的定义，掌握双曲线标准方程. （2）通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生观察问题、探究问题、归纳问题的能力. （3）亲历双曲线及其标准方程的获得过程，体会数学的理性与严谨，感受数学美的熏陶. 教学重点：理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程. 教学难点：双曲线标准方程的推导与化简. 教学方法：启发式与探究式相结合. 教学过程与操作设计： （一）创设情景，引入课题 1、知识回顾 问题1：椭圆的定义是什么？ 问题2：若把椭圆定义中的“与两定点的距离之和”改为“距离之差”，这时轨迹又是什么呢？ 也就是：平面内与两定点 F、2F距离的差等于一个非零常数的点的轨迹是 1 什么图形？ 【设计意图】 通过一个知识冲突的教学情景，由和到差，不仅加强新旧知识的联系，而且通过学生类比和与差，促进学生思考，激发他们的求知欲望． 2、观察动画、动手作图 取出生活中常见的一条拉链，随着拉链的拉开闭合，通过观察，引导学生思考拉链拉开的两部分长度的内在联系．通过播放这个拉链的演示实验，让学生观察动画，了解双曲线的画法，再由学生画另一支曲线．最后教师给出这两条曲线合起来叫双曲线，其中每一条叫双曲线的一支，顺利引入课题． 【设计意图】 通过观察动画和动手作图，使学生从空洞的数学分析转化为感受图形的实际变化．这一环节使学生体会双曲线定义的获得过程，培养了学生观察、归纳能力． （二）探究发现，挖掘新知 1、定义的归纳 （1）提出问题1：这条曲线上的点满足的条件?同样使学生找到另一条曲线上的点满足的条件． 提出问题2：用一个数学式子表达这两条曲线上的点满足的条件． 根据讨论总结出：1、（1）|MF1|-|MF2|=|F2F|= 2a (2)|MF2|-|MF1|=|F1F|= 2a 2、| |MF1|-|MF2| | = 2a 2a是定值, 2a< |F1F2|. 通过以上分析，由学生归纳双曲线定义． 【设计意图】 通过自主探究，体会双曲线任一点所满足的条件，提高学生分析问题、归纳问题的能力． （2）通过椭圆和双曲线的定义的学习,知道它们是满足一定条件的点的轨迹,让学生发现两个定义的区别.教师总结学习定义的作用,可以用来判断曲线的形状． 【设计意图】 通过师生、生生的交流合作，使学生理解双曲线定义．学会利用定义判断曲线形状． 2、标准方程的推导 （1）学习了双曲线定义后给出两组图片,一组是学生熟悉的热电厂冷却塔和广州新电视塔,它们的外形与轴截面的交线是双曲线.另一组是飞机导航的双曲线定位法和创建的双曲线型交通结构. 【设计意图】 这些图片使学生感受到数学美，体会数学的实用性，对双曲线进一步形成清晰的感性认知，为推导双曲线标准方程的理性认知打下基础．（2）了解了双曲线的定义后，我们下面来研究一下双曲线的标准方程怎样推导，请大家类比椭圆方程的推导过程,说出双曲线标准方程推导步骤是什么（请学生回答教师给予点评） 【设计意图】双曲线及其标准方程练习题
《2.2.1双曲线及标准方程》教学案
双曲线及其标准方程--导学案
《双曲线及其标准方程》教学设计
2.3.1 双曲线及其标准方程
高中数学——双曲线教案设计
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