2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理 科 数 学
本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共四页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名 、座号、考生号、县区和科 类填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再涂选其他答案标号，答案不能答在试卷上．
3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不 能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按上述要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
参考公式：
锥体的体积公式：13
V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．
若事件,B A 互斥，则()()()P A B P A P B +=+；若事件,B A 独立，则()()()P AB P A P B =?．
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的．
（1）若复数z 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为（ ）
（A ）35i + （B ）35i - （C ）35i -+ （D ）35i --
（2）已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{
1,2,3}A =，{2,4}B =，则 U A B （）e为（ ） （A ）{
1,2,4} （B ）{2,3,4} （C ）{0,2,4} （D ）{0,2,3,4} （3）设0a >且1a ≠，则“函数()x f x a =在R 上是减函数”是“函数2()(2)g x a x =-在R
上是增函数”的（ ）条件
（A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充分必要 （D ）既不充分也不必要 （4）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…960，
分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间
[1,450]的人做问卷A ，便后落入[451,750]做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，
做问卷B 的人数为（ ）
（A ）7 （B ）9 （C ）10 （D ）15
（5）已知点(,)x y 满足约束条件
{
24
41
x y x y +≤-≥-，则目标函数3z x y =-的取值范围是（ ）
（A ）3[,6]2- （B ）3[,1]2
--
（C ）[1,6]- （D ）3[6,]2
-
（6）执行右面的程序框图，若输入4a =，则输出的n 的
值为（ ）
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
（7）若[,],sin 22ππθθ∈=4，则sin θ=（ ）
（A ）35 （B ）45 （C （D ）34
（8）定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=，且当
31x -≤<-时，2()(2)f x x =-+；当13x -≤<时，
()f x x =，则(1)(2)(3)...(2012)f f f f ++++=（ ）
（A ）335 （B ）338 （C ）1678 （D ）2012
（9）函数cos 622
x x
x y -=-的图像大致为（ ）
（10）已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b
+=>>，双曲线221x y -=的渐近线与椭圆有四个交
点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（ ）
（A ）22182y x += （B ）221126y x += （C ）221164y x += （D ）221205
y x +=
（11）现有16张不同的卡片，其中红、黄、蓝、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡
片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ） （A ）232 （B ）252 （C ）472 （D ）484
（12）设函数1()f x x
=，2()(,R ,0)g x ax bx a b a =+∈≠，若()y f x =的图像与()y g x =的
图像有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ，则下列判断正确的是（ ） （A ）当0a <时，12120,0x x y y +<+>
（B ）当0a <时，12120,0x x y y +>+< （C ）当0a >时，12120,0x x y y +<+< （D ）当0a >时，12120,0x x y y +>+>
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
（13）若不等式|4|2kx -≤的解集为{|13}x x ≤≤，则实数k =________． （14）如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，,E F 分别为线
段11,AA BB 上的点，则三棱锥1D EDF -的体积为__________． （15）设0a >
，若曲线y =
与直线,0x a y ==所围成封闭图
形的面积为2a ，则a =_____________．
（16）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初
始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在
x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP
的坐标为______________．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
（17）（本小题满分12分）
已知向量(sin ,1),cos ,cos 2)(0)2
A x x x A ==>m
n ，函数()f x =?m n 的最大值
为6． （Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）将函数()y f x =的图像向左平移π12
个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩
短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在5[0,]24
π
上的值域．
（18）（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形， ,AB
CD 60,DAB ∠=FC ⊥平面,ABCD AE BD ⊥，
CB CD CF ==．
（Ⅰ）求证BD ⊥平面AED ； （Ⅱ）求二面角F BD C --的余弦值．
（19）（本小题满分12分）
现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34
，命中得1分，没有命中得
0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23
，每命中一次得2分，没有命中得0分．该
射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击． （Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率；
（Ⅱ）求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX ．
A
B
C
D F
E
（20）（本小题满分12分）
在等差数列{}n a 中，345984,73a a a a ++==．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中落入区间2(9,9)m m 内的项的个数记为{}n b ，求数列{}n b
的前m 项和m S ．
（21）（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线2:2C x py =(0)p >的焦点，M 是抛物线C 上 位于第一象限内的任意一点，过,,M F O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线 的距离为34
．
（Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点?M 若存在，求出点M 的坐标；
若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若点M 1:4
l y kx =+与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，l 与
圆Q 有两个不同的交点,D E ，求当122
k ≤≤时，22||||AB DE +的最小值．
（22）（本小题满分13分）
已知函数ln ()x x k f x e
+=（k 为常数， 2.71828...e =是自然对数的底数），曲线()y f x = 在点
(1,(1))f 处的切线与x 轴平行．
（Ⅰ）求k 的值；
（Ⅱ）求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）设2()()'()g x x x f x =+，其中'()f x 是()f x 的导函数．证明：对任意0x >，
2()1g x e -<+．
2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学参考答案
一、选择题
二、填空题
（13）2 （14）16 （15）49
（16）(2sin 2,1cos 2)--
三、解答题
（17）解：（Ⅰ）()=?f x m n
sin cos cos 22
12cos 2)2sin(2)
A x x x
A x x A x π=+=+=+6
因为 0A >，
由题意知 6A =．
（Ⅱ）由（I ）()6sin(2)f x x π=+6
将()y f x =的图象向左平移π12
个单位后得到
6sin[2()]6sin(2)y x x πππ=++=+1263
的图象；
再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的12
倍，纵坐标不变，得到
6sin(4)y x π=+3
的图象．
因此
()6sin(4)g x x π=+3
，
因为
5[0,]x π∈24
，
所以
74[,]x πππ+∈336
，
所以
1sin(4)[,1]2
x π+∈-3，
所以()g x 在5[0,]π24
上的值域为[3,6]-．
（18）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 为等腰梯形，AB CD ，60DAB ∠=，
所以 120ADC BCD ∠=∠=． 又 CB CD =， 所以 30CDB ∠=
因此 90ADB ∠=，AD BD ⊥， 又 AE BD ⊥，且AE AD A =，,AE AD ?平面AED ，
所以 BD ⊥平面AED ．
（Ⅱ）解法一：
由（I ）知AD BD ⊥，所以AC BC ⊥，又FC ⊥平面ABCD ，
因此 ,,CA CB CF 两两垂直．以C 为坐标原点，分别以,,CA CB CF 所在的直
线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，不妨设1CB =，则，
(0,0,0)C ，(0,1,0)B ，1(,,0)2
D -，(0,0,1)F ，
因此 33(,,0)2
BD =-，(0,1,1)BF =-． 设平面BDF 的一个法向量为(,,)x y z =m ， 则 0BD =?m ，0BF =?m ，
所以 x ==，取1z =，
则 (,1,1)=m ．
又平面BDC 的法向量可以取为(0,0,1)=n ，
所以 cos ,
||||
<>===?m n m n m n
所以二面角F BD C --．
解法二：
取BD 的中点G ，连结,CG FG ，由于CB CD =，
所以CG BD ⊥．
又FC ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ，
所以FC BD ⊥．
由于FC
CG C =，,FC CG ?平面FCG ，
所以BD ⊥平面FCG ，故BD FG ⊥． 所以FGC ∠为二面角F BD C --的平面角．
在等腰三角形BCD 中，由于120BCD ∠=， 因此12
CG CB =，又CB CF =，
所以
CF ==，
故 cos FGC ∠=,
因此 二面角F BD C --．
（19）解：（Ⅰ）记“该射手恰好命中一次”为事件A ；“该射手设计甲靶命中”为事件B ；“该射
手第一次射击乙靶命中”为事件C ；“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ． 由题意知，3()4P B =，2()()3
P C P D ==，
由于A BCD BCD BCD =++，根据事件的独立性与互斥性得 ()()()()(
)P A P B C D
BC D
B C D P B C D P BC D P B C D =++=++
333222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)433433433
=?-?-+-??-+-?-?
736
=
（Ⅱ）根据题意，X 的所以可能取值为0,1,2,3,4,5．
根据事件的独立性和互斥性得
3221(0)()(1)(1)(1)43
336
P X P BCD ===-?-?-=，
3221(1)()(1)(1)43312
P X
P BCD ===?-?-=，
3221(2)()()(1)(1)24339
P X
P BCD P BCD ==+=-??-?=，
3221(3)()()(1)24333
P X P BCD P BCD ==+=??-?=
3221(4)()(1)4339
P X P BCD ===-??=
3221(5)()4333
P X
P BCD ===??=
故X 的分布列为
所以1111114101234536
12
9
3
9
312
EX =?+?+?+?+?+?=． （20）解：（Ⅰ）因为{}n a 是一个等差数列，
所以3454384a a a a ++==，即428a =．
所以，数列{}n a 的公差947328
9945
a a d --=
==-， 所以，*4(4)289(4)98()n a a n d n n n =+-=+-=-∈N
（Ⅱ）对*m ∈N ，若 299m m n a <<，
则 298998m m n +<<+，因此 121919m m n --+≤≤， 故得 2199m m m b -=-
于是 123...m m S b b b b =++++
35212121
(999...9)(199...9)9(181)19181199
109180
m m m m
m m --+=++++-++++?--=-
---?+=
（21）解：
（Ⅰ）依题线段OF 为圆Q 的弦，由垂径定理知圆心Q 的纵坐标4
Q p
y =
， 又Q 到抛物线准线2p y =-的距离为32424
Q p p p
y +=+=，所以1p =. 所以22x y =为所求.
（Ⅱ）假设存在点0(M x ，20
)2
x ，又(0F ，1)2，设(Q Q x ，1)4.22x y =变形为22x y ='y x ?=
因为直线MQ 为抛物线的切线，故020
00124'|MQ x x Q
x k y x x x =-===-，解得00124Q x
x x =+，
即001(24x
Q x +，1)4
.
又取FM 中点0(2
x N ，2
1)4x +，由垂径定理知FM QN ⊥，
所以0(FM QN x =?，201)2x -?01(4x -
，20)4
x 0
=0x ?=，所以存在
M 1).
（Ⅲ）依题M 1)
，圆心Q 1)4，圆Q
的半径||r OQ ===
圆心Q 到直线14y kx =+
的距离为|
d ==
， 所以，222
2
2
222725272||4()43232(1)8(1)k k DE r d k k ??+=-=-= ?++??
. 又联立222120124
x y
x kx y kx =???--=?=+??， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则有，1212212
x x k
x x +=???=-??. 所以，222221212||(1)[()4](1)(42)AB k x x x x k k =++-=++. 于是，
2
22224222
22792511||||(1)(42)46(2)4828(1)
1k AB DE k k k k k k k ++=+++=+++≤≤++? 记29251
1()46(4)4814
f x x x x x =+++≤≤+?，
225251'()866088
(1)f x x x =+->->+?，所以()f x 在1[4，4]上单增，
所以当14
x =，()f x 取得最小值min 131()()4
2
f x f ==， 所以当12k =时，22||||AB DE +取得最小值132
.
（22）解：
（Ⅰ）1ln '()x
x k
x f x e
--=，依题意，1'(1)01k f k e -==?=为所求. （Ⅱ）此时1ln 1
'()x
x x f x e --=(0)x >
记1()ln 1h x x x =--，211'()0h x x
x =--<，所以()h x 在(0，)+∞单减，又(1)0h =，
所以，当01x <<时，()0h x >，'()0f x >，()f x 单增；
当 1x >时，()0h x <，'()0f x <，()f x 单减. 所以，增区间为（0，1）；
减区间为（1，)+∞.
（Ⅲ）21()()'()(1ln )x x g x x x f x e x x x +=+=?--，先研究1ln x x x --，再研究1x x e
+.
① 记()1ln ,0i x x x x x =-->，'()ln 2i x x =--，令'()0i x =，得2x e -=， 当(0x ∈，2)e -时，'()0i x >，()i x 单增； 当2(x e -∈，)+∞时，'()0i x <，()i x 单减 .
所以，22max ()()1i x i e e --==+，即21ln 1x x x e ---≤+.
② 记1(),0x x j x x e +=>，'()0x x j x e
=-<，所以()j x 在(0,)+∞单减，
所以，()(0)1j x j <=，即11x x e
+<
综①、②知，2211()(1ln )(1)1x x x x g x x x x e e e e
--++=--≤+<+.
另解
依题意知关于x 的多项式32()1h x ax bx =+-有二重根，不妨设二重根为1x ，另一根为2x ， 则上述多项式可以分解为 212()()()h x a x x x x =--， 展开对比x 系数得 112(2)0ax x x +=， 由于0a <，且显然10x ≠，故必有 122x x =-， 又展开对比常数项得 2121ax x =，
从而解得 122x x =-=
又1y x
=，易得 212y
y =-=
从而 12120;0x x y y +=>+=<．
2012山东卷理科16题
（16）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的
初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆 在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，
OP 的坐标为 ．
解答：标记字母如图，显然2BP =，所以2rad PCB ∠=，所以2rad PCM π∠=-2
又1PC =，在PCM ?中，
sin sin(2)cos 2PM PC PCM π=∠=-=-2
；
cos cos(2)sin 2CM PC PCM π=∠=-=2
.
于是，
2sin 2OA OB AB OB CM =-=-=-.
1cos2AP AM PM =+=-；
即(2sin 2OP =-，1cos 2)- 注意，直线
OP 与圆C 并不相切
.