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数学试卷 第1页（共24页） 数学试卷 第2页（共24页）
绝密★启用前
黑龙江省哈尔滨市2013年初中升学考试
数 学
本试卷满分120分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题(每小题3分,共计30分)
1.1
3
-的倒数是
( )
A .3
B .3-
C .13
- D .13
2.下列计算正确的是
( )
A .325=a a a +
B .326a a a =
C .236()a a =
D .22()22
a a =
3.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是
( )
等边三角形
平行四边形
正五边形
正六边形
A
B
C
D
4.如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形,则这个几何体的俯视图是
( )
A
B
C
D
(第4题图)
5.把抛物线2(1)y x =+向下平移2个单位,再向右平移1个单位,所得到的抛物线是
( )
A .2(2)2y x =++
B .2(2)2y x =+-
C .22y x =+
D .22y x =-
6.反比例函数12k
y x
-=
的图象经过点(2,3)-,则k 的值为
( )
A .6
B .6-
C .7
2
D .72
-
7.如图,在□ABCD 中,2AD AB =,CE 平分BCD ∠交
AD 边于点E ,且3AE =,则AB 的长为
( ) A .4 B .3 C .
5
2
D .2
8.在一个不透明的袋子中,有2个白球和2个红球,它们只有颜色上的区别,从袋子中随机地摸出一个球记下颜色放回,再随机地摸出一个球,则两次都摸到白球的概率为
( )
A .
116
B .18
C .
14
D .
12
9.如图,在ABC △中,M 、N 分别是边AB 、AC 的中点,则AMN △的面积与四边形MBCN 的面积比为
( )
A .12
B .13
C .14
D .23
(第7题图)
(第9题图
)
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效----------------
10.梅凯种子公司以一定价格销售“黄金1号”玉米种子,如果一次购买10千克以上(不
含10千克)的种子,超过10千克的那部分种子的价格将打折,并依
此得到付款金额y(单位：元)与一次购买种子数量x(单位：千克)
之间的函数关系如图所示,下列四种说法：
①一次购买种子数量不超过10千克时,销售价格为5元/千克；
②一次购买30千克种子时,付款金额为100元；
③一次购买10千克以上种子时,超过10千克的那部分种子的价格
打五折；
④一次购买40千克种子比分两次购买且每次购买20千克种子少花25元钱.
其中正确的个数是()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(每小题3分,共计30分)
11.把98000用科学记数法表示为.
12.在函数
x
y
x
=中,自变量x的取值范围是.
13..
14.不等式组
312,
31
x
x
-
?
?
+
?
＜
≥
的解集是.
15.把多项式22
4ax ay
-分解因式的结果是.
16.一个圆锥的侧面积是2
36πcm,母线长是12cm,则这个圆锥的底面直径
是cm .
17.如图,直线AB与O相切于点A,AC、CD是O的两条
弦,且CD AB
∥,若O的半径为
5
2
,4
CD=,则弦AC的
长为
.
18.某商品经过连续两次降价,销售单价由原来的125元降到
80元,则平均每次降价的百分率为.
19.在ABC
△中,AB=,1
BC=,45
ABC
∠=,以AB为一边作等腰直角三角形
ABD,使90
ABD=,连接CD,则线段CD的长
为.
20.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点
O作OE AC
⊥交AB于E,若4
BC=,AOE
△的面积
为5,则sin BOE
∠的值为.
三、解答题(其中21～24题各6分,25～26题各8分,27～28题各10分,共计60分)
21.(本题6分)
先化简,再求代数式
2
12
2121
a a
a a a a
+
-÷
+--+
的值,其中6tan302
a=-.
22.(本题6分)
如图,在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸
中,有线段AB和直线MN,点A、B、M、N均在小正方形
的顶点上.
(1)在方格纸中画四边形ABCD(四边形的各顶点均在小
正方形的顶点上),使四边形ABCD是以直线MN为对称轴的
轴对称图形,点A的对称点为点D,点B的对称点为点C；
(2)请直接写出四边形ABCD的周长.
23
.(本题
6
分)
(第10题图)
(第17题图)
(第20题图)
(第22题图)
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春雷中学要了解全校学生对不同类别电视节目的喜爱情况,围绕“在体育、新闻、动画、娱乐四类电视节目中,你最喜欢哪一类？(必选且只选一类)”的问题,在全校范围内随机抽取部分
学生进行问卷调查,将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整
的条形统计图,其中最喜欢新闻类电视节目的人数占被抽取人数的10％.请你根据以上信息回答下列问题：
(1)在这次调查中,最喜欢新闻类电视节目的学生有多少名？并补全条形统计图； (2)如果全校共有1200名学生,请你估计全校学生中最喜欢体育类电视节目的学生有多少名？ 24.(本题6分)
某水渠的横截面呈抛物线形,水面的宽为AB (单位：米),现以AB 所在直线为x 轴,以抛物线的对称轴为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为O .已知=8AB 米,设抛物线解
析式为24y ax =-.
(1)求a 的值；
(2)点(1,)C m -是抛物线上一点,点C 关于原点O 的对称点
为点D ,连接CD 、BC 、BD ,求BCD △的面积.
25.(本题8分)
如图,在ABC △中,以BC 为直径作半圆O ,交AB 于点D ,交AC 于点E ,AD AE =. (1)求证：AB AC =；
(2)若4BD =
,BO =求AD 的长.
26.(本题8分)
甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务,甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天,且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作
量相同.
(1)甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？
(2)若甲、乙两队共同工作了3天后,乙队因设备检修停止施工,由甲队单独继续施工,为了不影响工程进度,甲队的工作效率提高到原来的2倍,要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍,那么甲队至少再单独施工多少天？
27.(本题10分)
如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,A 点的坐标为(3,0),以OA 为边作等边三角形OAB ,点B 在第一象限,过点B 作AB 的垂线交x 轴于点C .动点P 从O 点出发沿OC 向C 点运动,动点Q 从B 点出发沿BA 向A 点运动,P ,Q 两点同时出发,速度均为1个单位／秒,设运动时间为t 秒.
(1)求线段BC 的长；
(2)连接PQ 交线段OB 于点E ,过点E 作x 轴的平行线交线段BC 于点F ,设线段
EF 的长为m ,求m 与t 之间的函数关系式,并直接写出自变量t 的取值范围：
(3)在(2)的条件下,将BEF △绕点B 逆时针旋转得到B E F '''△,使点E 的对应点E '落在线段AB 上,点F 的对应点是F ',E F ''交x 轴于点G ,连接PF 、QG ,当t 为何值
时
,23
BQ PF -=
？ (第23题图)
(第24题图)
(第25题图
)
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------答--------------------题--------------------
无--------------------
效---
-------------
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
(第27题图)(第27题备用图)
28.(本题10分)
已知：ABD
△和CBD
△关于直线BD对称(点A的对称点是点C),点E、F分别是线段BC和线段BD上的点,且点F在线段EC的垂直平分线上,连接AF、AE,AE交BD于点G.
(1)如图l,求证：EAF ABD
∠=∠；
(2)如图2,当AB AD
=时,M是线段AG上一点,连接BM、ED、MF,MF的延
长线交ED于点N,1 2
MBF BAF
∠=∠,
2
3
AF AD
=,试探究线段FM和FN之间的数量
关系,并证明你的结论.
(图1)(图2)
(第28题图)
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2.【答案】C
【解析】解答：A ．2a 和3a 不是同类项，不能合并，故此选项错误； B ．32
32
5
a a a
a +==，故此选项错误；
C ．236()a a =，故此选项正确；
D ．2
24
a a ?? ???=故此选项错误；故选：C ．
【提示】分别根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进
行逐一计算即可
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法 3.【答案】D
【解析】解答：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形； B ．是中心对称图形，不是轴对称图形； C ．是轴对称图形，不是中心对称图形；
D ．是轴对称图形，又是中心对称图形； 故选D ．
【提示】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，
图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分
重合
【考点】轴对称图形与中心对称图形 4.【答案】A
【解析】解：从上面看，下面一行左面是横放2个正方体，上面一行右面是一个正方体,
故选A
【提示】从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫
做俯视图．根据图中正方体摆放的位置判定则可 【考点】简单组合体的三视图 5.【答案】D
【解析】解：抛物线2(1)y x =+的顶点坐标为(1,0)-，∵向下平移2个单位，∴纵坐标变
为2-，∵向右平移1个单位，∴横坐标变为110-+=，∴平移后的抛物线顶点坐标为(0,2)-，∴所得到的抛物线是22y x =-．故选D ．
【提示】先写出平移前的抛物线的顶点坐标，然后根据向下平移纵坐标减，向右平移横
坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可 【考点】二次函数图象，几何变换 【提示】点在曲线上，则点的坐标满足曲线解析式，反之亦然 【考点】反比例函数的图象上的点的坐标特征 7.【答案】B
【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB DC =，AD C B ∥，∴DEC BCE ∠=∠，
∵CE 平分DCB ∠，∴DCE BCE ∠=∠，∴DEC BCE ∠=∠，∴DE DC AB ==，∵22AD AB CD ==，CD DE =，∴2AD DE =，∴3AE DE ==，∴
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3DC AB DE ===，故选B ．
【提示】平边四边形的对边平行且相等，等腰三角形判定，两直线平行内错角相等，综
合运用这三个性质是解题的关键
【考点】平行四边形的性质及等腰三角形判定与性质 8.【答案】C
故选
C ．
【提示】概率的计算一般是利用树状图或列表把所有等可能性的情况列出，然后再计算
某一事件的概率,其关键是找出所有的等可能性的结果 【考点】求概率，列表法与树状图法 9.【答案】B
【提示】利用相似三角形的判定和性质是解题的关键 【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理 10.【答案】D
【解析】解答：由010x ≤≤时，付款5y x =相应千克数，得数量不超过10千克时，销售价格为5元/千克①是正确；
当30x =代入 2.525y x =+，100y =，故②是正确；
由（2）10x >时，付款 2.525y x =+相应千克数，得每千克2.5元，故③是正确；
当40x =代入 2.525y x =+ ,125y =，当20x =代入 2.52575y x =+=，两次共150元，两种相差25元，故④是正确； 四个选项都正确，故选D ．
【提示】得到超过10千克的费用的计算方式是解决本题的关键点，010x ≤≤时，付款
5y x =相应千克数；数量不超过10千克时，销售价格为5元/千克；（2）10x >时，
付款 2.525y x =+相应千克数，超过10千克的那部分种子的价格 【考点】一次函数的应用
第Ⅱ卷
二、填空题 11.【答案】49.810?
【解析】将98000用科学记数法表示为49.810?故答案为：49.810?
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数学试卷 第13页（共24页） 数学试卷 第14页（共24页）
【提示】科学记数法的表示形式为10n a ?的形式，其中1|10|a ≤<，n 为整数．确定n 的
值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数 【考点】科学记数法——表示较大的数 12.【答案】3x ≠- 【解析】式子3
x
y x =
+在实数范围内有意义，∴30x +≠，解得3x ≠- 【提示】根据分式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可 【考点】分式意义的条件 13.
【解析】原式==
【提示】先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次
根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变 【考点】二次根式的运算 14.【答案】21x -≤＜ 【解析】解：312x -<① 由①得，1x <，31x +≥② 得2x ≥-
故此不等式组的解集为：21x -≤＜
．故答案为：21x -≤＜ 【提示】熟知同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到的原则是解答此
题的关键，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集． 【考点】解一元一次不等式组 15.【答案】(2)(2)a x y x y +-
【解析】22224(4)(2)(2)ax ay a x y a x y x y -=-=+- 【提示】先提取公因式法然后考虑应用公式法来因式分解
【考点】提取公因式法和应用公式法因式分解 16.【答案】6
【解析】设底面半径为cm r ，36ππ12r =?，
解得3cm r =底面圆的直径为2236cm r =?=，故答案为：6． 【考点】弧长和扇形面积
【提示】根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键
【考点】垂径定理，勾股定理，切线的性质 18.【答案】20%
【解析】设平均每次降价的百分率为
x ，根据题意得：2125(1)80x -=，解得
1
0.120%x ==，2 1.8x
=-（不合题意，舍去）．故答案为：20%
【提示】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求
解．
【考点】一元二次方程的应用 19.
【解析】当点D 与C 在AB 同侧，BD AB ==作CE BD ⊥于E ，CD BD =，
数学试卷 第15页（共24页） 数学试卷 第16页（共24页）
ED =
由勾股定理CD =D 与C 在AB
异侧，BD AB ==135∠=?BDC ， 作DE BC ⊥于E ，2BE ED ==，3EC =
，由勾股定理CD =
【提示】双解问题，画等腰直角三角形ABD ，使90∠?=ABD ，分两种情况，点D 与C
在AB 同侧，点D 与C 在AB 异侧，考虑要全面 【考点】解直角三角形，钝角三角形的高 20.【答案】
3
5
【解析】由AOE △的面积为5，找此三角形的高，作OH AE ⊥于E ，得OH BC ∥，AH BH =，
由三角形的中位线∵4BC =∴2OH =，从而5AE =，连接CE ，由AO OC =，OE AC ⊥得OE 是AC 的垂直平分线，∴AE CE =，在直角三角形EBC 中，4BC =，
【提示】本题利用三角形的面积计算此题考查了矩形的性质、垂直平分线的性质以及勾
股定理及解直角三角形，注意数形结合思想的应用，此题综合性较强，难度较大． 【考点】线段垂直平分线的性质，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形 2(1)12a a -+=
3
3
【提示】利用除式的分子利用完全平方公式分解因式，除法变乘法的法则，同分母分式
的减法法则计算，再利用特殊角的三角函数值求出a 的值代入进行计算即可，考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键
【考点】①分式的通分，分式的约分，除法变乘法的法则，完全平方公式，特殊角 22.【答案】（1）
【解析】（1）正确画图
【提示】根据轴对称图形的性质，利用轴对称的作图方法来作图，利用勾股定理求出AB 、
BC 、CD 、AD 四条线段的长度，然后求和即可最 【考点】轴对称图形，勾股定理，网格作图 23.【答案】（1）5名
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（2）264名
补全条形图如图所示
11
【考点】条形统计图，用样本估计总体 24.【答案】（1）1
4
a =
（2）BCD △的面积为15平方米
11154224OB DF OB CE +=??∴BCD △的面积为15平方米
【提示】首先得出B 点的坐标，进而利用待定系数法求出a 继而得二次函数解析式，首
先得出C 点的坐标，再由对称性得D 点的坐标，由 BCD BOD BOC S S S =+△△△求出 【考点】二次函数综合题
25.【答案】（1）证明：连接CD 、BE ∵BC 为半圆O 的直径．
数学试卷 第19页（共24页） 数学试卷 第20页（共24页）
【提示】连接CD 、BE ，利用直径所对圆周角90?、证明ADC AEB △≌△得AB AC =，
利用OBD ABC △∽△得
BD BO
BC AB
=
得4BC =再求10AB =从而6AD AB BD =-=此题利用相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用 【考点】圆周角定理，全等三角形的性质，相似三角形的判定
26.【答案】（1）甲队单独完成此项任务需30天，乙队单独完成此项任务需20天 （2）甲队至少再单独施工3天
【考点】分式方程的应用，一元一次不等式的应用． 27.【答案】（1）BC = （2）13
22
m t =
+，(03)t << ''∠=BE F ∴GE GA '=QE BE '=QE GA '=∴12∠=∠
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即90∠=?QGA
∵EF OC ∥
BF BE BC BO =，333BF m =，333
322BF m t ==+
，313322BC CF -=-，3CP CO OP t =-=-
3133322633
t
CF t CP CB CA --=== ∵FCP BCA ∠=∠∴FCP BCA △∽△．
PF CP AB CA =，32t PF -=∵3
3
2BQ PF QG -= ∴33312332322t t t -??
-=?- ???
∴1t =∴当1t =时，332BQ PF QG -= 【提示】由AOB △为等边三角形得30∠=∠=?ACB OBC 由此3CO OB AB OA ====，
在Rt ABC △中，AC 为6，从而33BC =，过点Q 作QN OB ∥交x 轴于点N ，先证AQN △为等边三角形，从而3NQ NA AQ t ===-，3(3) NON t t =--=
2PN t t t =+=，再由POE PNQ △∽△后对应边成比例计算得31
22
OE t =-再由
EF BE =易得出m 与t 之间的函数关系式，先证AE G '△为等边三角形，再证
90∠=?QGA 通过两边成比例夹角相等得FCP BCA △∽△再用含t 的式子表示BQ 、PF 、QG 通过解方程求出
【考点】等边三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，直角三角形的判定，三角形
内角和，等腰三角形判定，一元一次方程
28.【答案】（1）证明：如图1连接FE 、FC ∵点F 在线段EC 的垂直平分线上
∴FE FC =∴12∠=∠∵ABD △和CBD △关于直线BD 对称，
∴AB CB =，43∠=∠， BF BF =
∴ABF CBF △≌△∴2BAF ∠=∠，FA FC =∴FE FA =，1BAF ∠=∠ ∴56∠=∠∵1180180∠+∠=?∠+∠=?，BEF BAF BEF ∵
360∠+∠+∠+∠=?BAF BEF AFE ABE ∴180∠+∠=?AFE ABE 又∵
56180∠+∠+∠=?AFE
∴5634∠+∠=∠+∠∴54∠=∠ 即EAF ABD ∠=∠ （2）7
2
FM FN =
证明：如图2由（1）可知EAF ABD ∠=∠ 又∵AFB GFA ∠=∠∴AFG BFA △∽△ ∴AGF BAF ∠=∠
又∵12MBF BAF ∠=∠，12
MBF AGF ∠=∠ 又∵AGF MBG BMG ∠=∠+∠ ∴MBG BMG ∠=∠∴BG MG = ∵AB AD =∴ADB ABD EAF ∠=∠=∠ 又∵FGA AGD ∠=∠∴AGF DGA △∽△
GF AG AF AG GD AD ==∵23AF AD =2
3
GF AG AG GD ∴== 设2GF a =，3AG A =．∴9
2
GD a =
∴5
2
FD a =∵CBD ABD ∠=∠，ABD ADB ∠=∠
∴CBD ADB ∠=∠∴BE AD ∥．∴BG EG GD AG =，2
3
EG AG BG GD ==
设2EG k =∴3BG MG k ==过点F 作FQ ED ∥交AE 于Q
数学试卷 第23页（共24页）
数学试卷 第24页（共24页）
2FN QE 2
【提示】连接FE 、FC ，先证ABF △、CBF △全等，得FEC BAF ∠=∠，通过四边形
角形线段之间的比例关系、平行线分线段成比例定理等重要知识点，难度较大 【考点】三角形全等的判断和性质，相似三角形的判断和性质，平行线分线段成比例定
理，轴对称性质，三角形四边形内角和，线段的垂直平分线性质