本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
1
a b
形式的，这里我们知识点拨
教学目标
分数裂项计算
把较小的数写在前面，即a b <，那么有
1111()a b b a a b
=-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1
(1)(2)
n n n ?+?+，1(1)(2)(3)n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)
n n n n n n n =-?+?+?+++
1111
[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)
n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）11
a b a b a b a b a b b a
+=+=+??? （2）
2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
【例 1】
11111
1223344556
++++=????? 。 例题精讲
【巩固】 111
(101111125960)
+++
???
【巩固】 22
2210998
5443
++
+
+=????
【例 2】 111
1
11212312100+++
+
++++++
【例 3】 111
1133557
99101+++
+=????
【巩固】 计算：111125133557
2325??
?++++
=
???????
【巩固】 251251251
251251
488121216
2000200420042008
+++
+
+
?????
【巩固】 计算：
3245671
255771111161622222929
++++++=??????
【例 4】 计算：11111111
()1288244880120168224288
+++++++?=
【巩固】 11111111
612203042567290
+++++++=_______
【巩固】 111111
136********
++++++=
【巩固】 计算：
111111111
2612203042567290
--------
＝ 【巩固】 11111
104088154238++++= 。
【例 5】 计算：
111
1
135357579
200120032005
+++
+
????????
【例 6】 7
4.50.16
1111181
315356313 3.75 3.23
?+???+++= ???-?
【例 7】 计算：1111
1
123420
261220
420
++++
+
【巩固】 计算：11111
20082009
201020112012
18
54108180270
++++= 。
【巩固】 计算：
11224
26153577
++++= ____。
【巩固】 计算：1111111315356399143195
++++++
【巩固】 计算：1511192997019899
2
612
20
30
97029900
+++++
+
+= ．
【例 8】
111
123234789
+++
?????? 【巩固】 计算：111
1232349899100+++??????
【巩固】 计算：111
1
135246357
202224
+++
+
????????
【巩固】 4444
(135357939597959799)
++++
????????
【巩固】 999897
1
123234345
99100101
+++
+
????????
【例 9】
11111
123423453456678978910
+++???++
???????????????
【巩固】 333
(1234234517181920)
+++
?????????
【例 10】 计算：
57
19
123234
8910
++
+
=?????? ．
【巩固】 计算：57
1719
1155234345
891091011
?++
+
+????????（）
【巩固】 计算：
345
12
124523563467
10111314
+++
+
????????????
【例 11】12349 223234234523410 +++++
?????????
【例 12】
123456 121231234123451234561234567 +++++
?????????????????????
【巩固】计算：2399
3!4!100!
+++= .
【例 13】
23450
1(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250) ++++
?++?++++?+++++++?+++
【巩固】
234100
1(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100) ++++
?++?++++?++++++?+++
【巩固】 2310
1112(12)(123)(1239)(12310)-
---
?++?++++++?++++（）
【例 14】 222222111111
31517191111131
+++++=------ .
【巩固】 计算：2222221111
11
(1)(1)(1)(1)(1)(1)2345
4849
-
?-?-?-??-
?-=
【巩固】 计算：
2
2
22222
2
357
15
122334
78++++
????
【巩固】 计算：2222222222315171
1993119951
3151
71
1993119951
++++++++
++=----- ．
【巩固】 计算：222222
22
2222
13243598100213141
991
+++++++
+=---- ．
【巩固】 计算：222
212350133557
99101
+++
+=???? ．
【例 15】56677889910 56677889910 +++++ -+-+
?????
【巩固】365791113 57612203042 ++++++
【巩固】计算：132579101119
3457820212435
++++++++=
【巩固】12379111725 3571220283042 +++++++
【巩固】111112010263827 2330314151119120123124 +++++++++
【巩固】
354963779110531
1 6122030425688??
??
-+-+--÷ ?
??
??
??
【巩固】计算：5791113151719
1
612203042567290
-+-+-+-+
【巩固】 11798175
451220153012
++++++
【例 16】 22222222
122318191920122318191920
++++++??++
????
【巩固】 11112007111
(......)(......)120072200620062200712008120062200520061
++++-+++???????
【例 17】 计算：
11
111
1
2345
98995152
99
+++
+++
+
=???
【例 18】 计算：
246
12
335357
357911
++++
=???????
【例 19】 计算：2
834
11
1222222133557
1719135357
171921??+
+++-+++= ?????????????