证明线面垂直的四种方法
直线与平面垂直是空间元素中最重要的关系之一，是建立空间概念的主要支柱，而直 线与平面垂直的证明也常有以下四种方法，下面分类举例解析，供参考。
一、运用直线与平面垂直的判定定理 若一条直线与平面
内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面。
例1如图，正三棱柱 ABC — A I B I C I 的所有棱长都为2, D 为CC i 的中
点，求证 AB i 丄平面ABC 。
证明：由题意知，四边行 ABB 1A 1是正方形，则 AB i 丄 A i B ;取BC 中点E ,连AE , EB ，贝U AE 丄BC,在正三棱柱中，侧面 BB i C i C 丄底面 ABC 故AE 丄面BB i C i C ,又BD 面BB i C i C ，所以AE 丄BD,在正方形BB i C i C 中又D 为CC i 中 点，易证△ BCD ^A BB i E ，得/ EB i B= / DBC ，而/ DBC+ / DBB i =90°，则/ EB i B+ / DBB i =90。，故 EB 丄 BD,又 AE A EB=E, /? BD 丄平面 AEB ,「. BD 丄 AB ,又 A i B n BD=B 故 AB i 丄平面ABD 。
点评：在本题的证明中，多次证明了直线与平面垂直， 其中直线与平面垂直的判定定理 是常用判定方法，必须深刻理解这个定理的内涵与实质。
、运用直线与平面垂直的第二判定定理
若两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 则另一条也垂直于这个平面。
例2 已知a 丄丫，^丄Y,an^ =1，求证：I 丄丫。
证明：如图，要证I 丄丫，则由线面垂直第二判定定理知，只
需证I 平行于丫的一条垂线即可。设仏门丫 =63门丫 =d ，在a
内任取一点 A ，作AQ 丄c 于Q ,贝U AQ 丄丫。同理，在B 内任取一点
贝U BR 丄丫，且AQ // BR 。又
AQ 3, BR 故 AQ //B,由 aQB =l ，得 AQ // I ，而 AQ 丄丫，故 I 丄 丫。
点评：此证法可能不是此题的最简证法，
但说明了一个道理， 每一条路都可能是成功之 路，只是对问题的理解角度不同罢了。
三、运用课本中的已证命题： 如果一条直线垂直于两个平行平面的一个平面，
那么它也 垂直于另一个平面。 Ci
B ，作 BR 丄 d 于 R ,
例3如图，已知ABC —A i B i C i为正三棱柱，D、E分别为AC、A i C i的中点，CF丄C i D于F,求证：CF丄平面B i EA。
证明：???正三棱柱ABC —A1B1C1中，D、E分别是AC、A1C1的中点。??? BB i平行等于DE ???四边形BB i ED是平行四边形，? B i E // BD，又EO平行等于AD,四边形ECDA是平行四边形，? AE // C i D，?平面B i EA //平面BC i D ;在正三棱柱中，由侧面A i C i CA丄底面ABC，又易知BD丄AC,则BD丄平面ACCA，又BD 平面BDC i，?平面BDC i丄平面ACC i A i,且交线为C i D，而CF 平面ACC i A i 且CF丄C i D , ? CF丄平面BDC i,：CF丄平面B i EA。
点评：此题中已知条件较多，围绕证题目标，正确选择解题方案、清晰地表述解题过程
是立体几何证题的重要环节。
例4 如图，四棱锥P-ABCD 中，AB 丄AD , CD丄AD , PA丄底面ABCD , PA=AD-2AB=2 , M为PC的中点，在△ PAD内找一点N，使MN丄平面PBD。解
析：??? M为PC的中点，取PD中点E,贝U ME// CD且
1 i
ME=— CD 又AB// CD且AB— CD ?- ME// AB 且M E=AB 即
2 2
四边形ABME是平行四边形；又PAL AB , AD丄AB, ? AB丄平面
A B
PAB ,因此AB丄AE ,四边形ABME是矩形,又PD丄AB , 由PA=AD
且E为PD中点得PD丄AE , ? PD丄平面ABME。而平面PBD A平面ABME=BE
A _ A
作MNL BE 于F ,则MN 丄平面PBD,其中ME=丄CD=i, MB=AE= 2 , tan / MBE= ,EN=ME?tan
2 V2
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/ EMN= ME tan / MBE=K -==——,即N 为AE中点时，MN 丄平面PBD。
庞2
点评：本题是存在性探索题，首先围绕使结论成立的目标进行论证，然后再确定点的位置，而通过平面与平面垂直，证直线与平面垂直是非常有效的方法。