概率论知识点总结
第一章 随机事件及其概率
第一节 基本概念
随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。
随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。
不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。
、
样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.
样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示.
一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）
包含关系：若事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称B 包含A ，记为A B ?或B A ?。 相等关系：若A B ?且B A ?，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。 ）
事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 的和事件。记为 A ∪B 。
事件的积：称事件“事件A 与事件B 都发生”为A 与B 的积事件，记为A∩ B 或AB 。
事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为 A －B 。 用交并补可以表示为B A B A =-。
互斥事件：如果A ，B 两事件不能同时发生，即AB ＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时B A ?可记为A ＋B 。
对立事件：称事件“A 不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。对立事件的性质：
Ω=?Φ=?B A B A ,。
事件运算律：设A ，B ，C 为事件，则有 ·
（1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA
（2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC
（3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C) A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）对偶律（摩根律）：B A B A ?=? B A B A ?=?
第二节 事件的概率 概率的公理化体系： #
（1）非负性：P(A)≥0； （2）规范性：P(Ω)＝1
（3）可数可加性： ????n A A A 21两两不相容时
++++=????)()()()(2121n n A P A P A P A A A P
概率的性质： （1）P(Φ)＝0
（2）有限可加性：n A A A ??? 21两两不相容时
~
)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=???
当AB=Φ时P(A ∪B)＝P(A)＋P(B) （3）)(1)(A P A P -=
（4）P(A －B)＝P(A)－P(AB)
（5）P （A ∪B ）＝P(A)＋P(B)－P(AB)
第三节 古典概率模型 #
1、设试验E 是古典概型, 其样本空间Ω由n 个样本点组成,事件A 由k 个样本点组成.则定义事件A 的概率为n
k
A P =
)( 2、几何概率：设事件A 是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为)
()
()(Ω=
μμA A P 假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可.
第四节 条件概率
条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B).
)
()
()|(B P AB P B A P =
|
乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)
全概率公式：设n A A A ,,,21 是一个完备事件组，则P(B)=∑P(i A )P(B|i A ) 贝叶斯公式：设n A A A ,,,21 是一个完备事件组,则
∑==
)
|()()
|()()
()
()|(j j i i i i A B P A P A B P A P B P B A P B A P
第五节 事件的独立性
两个事件的相互独立：若两事件A 、B 满足P(AB)= P(A) P(B)，则称A 、B 独立，或称A 、B 相互独立. }
三个事件的相互独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，P(ABC)= P(A) P(B)P(C)，则称A 、B 、C 相互独立
三个事件的两两独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，则称A 、B 、C 两两独立
独立的性质：若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 均相互独立
总结：1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用， 应牢固掌握。3.独立性是概率论中的最重要概念之一，应正确理解并应用于概率的计算。
第二章 一维随机变量及其分布
、
第二节 分布函数
分布函数：设X 是一个随机变量，x 为一个任意实数，称函数}{)(x X P x F ≤=为X 的分布函数。如果将X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x)的值就表示X 落在区间
],(x -∞内的概率
分布函数的性质：（1）单调不减；（2）右连续；（3）1)(,0)(=+∞=-∞F F
第三节 离散型随机变量
离散型随机变量的分布律：设k x (k=1,2, …)是离散型随机变量X 所取的一切可能值，称
k k p x X P ==}{为离散型随机变量X 的分布律，也称概率分布.
当离散性随机变量取值有限且概率的规律不明显时，常用表格形式表示分布律。 分布律的性质：（1）10≤≤k p ；（2）
1=∑k
p
~
离散型随机变量的概率计算：
（1）已知随机变量X 的分布律，求X 的分布函数；
∑≤=
≤=x
x k
k x
P x X P x F )(}{)(
（2）已知随机变量X 的分布律, 求任意随机事件的概率； （3）已知随机变量X 的分布函数，求X 的分布律
)0()(}{--==k k k x F x F x X P
三种常用离散型随机变量的分布： 、
1.（0－1）分布：参数为p 的分布律为p X P p X P -====1}0{,}1{
2.二项分布：参数为n ，p 的分布律为k
n k k n p p C k X P --==)1(}{，n k ,,2,1,0 =。例如
n 重独立重复实验中，事件A 发生的概率为p ，记X 为这n 次实验中事件A 发生的次数，则X ～B （n ，p ）
3.泊松分布：参数为λ的分布率为λλ-=
=e k k X P k
!
}{， ,2,1,0=k 。例如记X 为某段事
件内电话交换机接到的呼叫次数，则X ～P （λ）
第四节 连续型随机变量
连续型随机变量概率密度f(x)的性质 （1）f(x)≥0 / （2）
1)(=?
+∞
∞
-dx x f ，0)(}{===?a
a
dx x f a X P
（3）?=≤≤=≤<=<≤=<
dx x f b X a P b X a P b X a P b X a P )(}{}{}{}{
（4）?
∞
-=
'=x
dx x f x F x F x f )()(),()(
连续型随机变量的概率计算：
（1）已知随机变量X 的密度函数，求X 的分布函数；?
∞
-=
x
dx x f x F )()(
（2）已知随机变量X 的分布函数，求X 的密度函数；)()(x F x f '= （3）已知随机变量X 的密度函数, 求随机事件的概率；?
=
< a dx x f b X a P )(}{ : （4）已知随机变量X 的分布函数，求随机事件的概率；)()(}{a F b F b X a P -=<< 三种重要的连续型分布： 1．均匀分布：密度函数??? ??≤≤-=else b x a a b x f 0 1)(，记为 X ～U[a ，b]. 2. 指数分布：密度函数?? ?≤>=-00 )(x x e x f x λλ，记为X ～E （λ） 3. 正态分布：密度函数2 22)(21)(σμσ π--= x e x f ，记为),(~2 σμN X N （0，1）称为标准正态分布.标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布，然后再计算概率. / )( )( )()(}{σ μ σ μ