导数中的不等式证明
导数中不等式的证明是历年的高考中是一个永恒的话题，由于不等式证明的灵活性，多样性，该考点也备受命题者的青睐。本文通过四个方面系统介绍了一些常规的不等式证明的手段
命题角度1 构造函数 命题角度2 放缩法 命题角度3 切线法
命题角度4 二元或多元不等式的证明思路 命题角度5 函数凹凸性的应用
命题角度1 构造函数
【典例1】（赣州市2018届高三摸底考试）已知函数()ln 1
1,()x x ae f x g x bx x e x
=-
=+-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =的一个公共点是()1,1A ，且在点处的切线互相垂直． （1）求,a b 的值；
（2）证明：当时，()2()f x g x x
+≥
． 【解析】（1）1a b ==-； （2）1()x e g x x e x =-
++，()2ln 1
()10x x e f x g x x x x e x
+≥?---+≥， 令()()()2
()1h x f x g x x x
=+-
≥，则 ()ln 1
1x x e h x x x e x
=---+， ()2
221ln 1ln 11x x x e x e
h x x e x x e
-'=-
+++=++， 因为，所以()2ln 10x
x e
h x x e '=
++>， 所以()h x 在[)1.+∞单调递增，()()10h x h ≥=，即ln 1
10x x e x x e x
---+≥， 所以当时，()2
()f x g x x
+≥
． 【审题点津】待证不等式的两边都含有同一个变量，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，应用导数研究其单调性，借助于所构造函数的单调性加以证明.
命题角度2 放缩法
【典例2】（石家庄市2018届高三下学期4月一模考试）已知函数，在
A 1x ≥1x ≥1x ≥()()()x
f x x b e a =+-(0)b >
(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=.
（1）求,a b ；
（2）若0m ≤，证明：2()f x mx x ≥+. 【解析】（1），；
（2）由（1）可知()(1)(1)x f x x e =+-，()(0)0,10f f =-=， 由0m ≤，可得2x mx x ≥+， 令()()()11x g x x e x =+--，则()()22x g x x e '=+-， 当2x ≤-时，()()2220x g x x e '=+-<-<，
当2x >-时，设()()()22x h x g x x e '==+-，则()()30x h x x e '=+>， 故函数()g x '在()2,-+∞上单调递增，
又(0)0g '=，所以当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，当()0,x ∈+∞时，()0g x '>， 所以函数()g x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增， 故()(0)0g x g ≥=，即()()211x x e x mx x +-≥≥+. 故2()f x mx x ≥+.
【方法归纳】函数解析式中含有已知范围的参数，可以考虑借助于常识或已知的范围减少变量，对参数适当放缩达到证明的目标.
【典例3】（成都市2018届高中毕业班二诊理科）已知函数()ln 1,f x x x ax a R =++∈. （1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （2）当*n N ∈时，证明：
222
3
1ln 2ln ln 242
1
n n n
n n n +<+++<++ 【解析】（1）[)1,-+∞；
（2）设数列{}{},n n a b 的前n 项的和分别为,241
n n n n S T n n ==++，则 由于()()111,
2,n n
n S n a S S n -=??=?
-≥??，解得()()112n a n n =++；
同理，()
1
1n b n n =
+，
所以只需证明()()
()
2
1
11
ln 121n n n a b n n n n n +=
<<=
+++. 1a =1b =
由（1）知1a =-时，有ln 1x x x ≥-，即1
ln x x x
-≥. 令11n x n +=
>，则11
ln 1
n n n +>+， 所以()
()()2
2
11111
ln 12121n n n n n n n +>>=-+++++， 所以222
3
111ln 2ln ln 2
2224
n n
n n n ++++>-=++； 再证明
()211ln 1n n n n +<+，亦即1ln n n +，
因为1ln
n
n +==，
所以只需证， 现证明()1
2ln 1x x x x
<-
>. 令()()12ln 1h x x x x x =-+>，则()()2
22
121
10x h x x x x -'=--=-<，
所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，()()10h x h <=， 所以当1x >时，1
2ln x x x
<-恒成立，
令1x =
，则， 综上，()()
()2111
ln 121n n n n n n +<<
+++， 所以对数列{}{}21,ln ,n n n a b n +??
???
?分别求前n 项的和，得
222
3
1ln 2ln ln 242
1
n n n
n n n +<+++<++. 【思路总结】待证数列不等式的一端是n 项之和（或积）的结构，另一端含有变量n 时，可以将它们分别视为两个数列的前n 项的和（或积），从而将不等式的证明转化为两个数列的对应项之间的大小关系的证明.
【典例4】（安徽省安庆市2018届重点中学联考）已知函数()2ln 2
x
x f x e +=
. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）证明：当0x >时，都有()()222ln 1x x f x x e e
+'+<+. 【解析】（1）()()
21ln x
x x x f x xe --'=
，
令()1ln g x x x x =--，则()10g =，
当01x <<时，10,ln 0x x x ->->，所以()()0,0g x f x '>>， 当1x >时，10,ln 0x x x -<-<，所以()()0,0g x f x '<<， 所以函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减； （2）要证明()()222ln 1x x f x x e e +'+<
+，即证()()211ln ln 11x x x x x e ??--+<+ ???
， 令()1ln g x x x x =--，则()()1ln 12ln g x x x '=--+=--， 当210x e <<
时，()
0g x '>，当2
1
x e >时，()0g x '<， 所以函数()g x 在210,e ?? ???上单调递增，在21
,e ??+∞ ???
上单调递减，()22212111g x e e e ≤-+=+，
所以2
1
1ln 1x x x e --≤+
. 要证()()211ln ln 11x x x x x e ??
--+<+ ???
，只需再证()ln 1x x +<即可.
易证ln 1x x ≤-，当且仅当1x =时取等号（证明略），所以()0ln 1x x <+<， 综上所述，当0x >时，都有()()2
22ln 1x x f x x e e +'+<
+. 【思路点睛】对于含有ln x 与x e 型的超越函数，具体解决时须根据两类函数的特点，挖掘结构特征，灵活变形，脑中有“形”，注意重要不等式ln 11x x x e x ≤-?≥+的合理代换.
命题角度3 切线法
【典例5】（2018届安徽省太和中学三模）已知函数()2x f x e x =-.
（1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时，()21
ln 1x e e x x x
+--≥+.
【解析】（1）()2x f x e x =-，()2x f x e x '=-， 由题设得()()12,11f e f e '=-=-，
所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为()()211y e x e =--+-，即()21y e x =-+； （2）令()()g x f x '=，则()2x g x e '=-，
当ln2x <时，()0g x '<，当ln2x >时，()0g x '>，
所以函数()()g x f x '=在(),ln 2-∞上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，
()()()min ln 2ln 222ln 20g x g f '===->，
所以函数()2x f x e x =-在()0,+∞上单调递增，
由于曲线()f x 在1x =处的切线方程为()21y e x =-+，()11f e =-，可猜测函数()f x 的图象恒在切线
()21y e x =-+的上方.
先证明当0x >时，()()21f x e x ≥-+.
设()()()()210h x f x e x x =--->，则()()()22,2x x h x e x e h x e '''=---=-， 当ln2x <时，()0h x ''<，当ln2x >时，()0h x ''>， 所以()h x '在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增， 由()()030,10,0ln 21h e h ''=->=<<，所以()ln 20h '<， 所以存在()00,ln 2x ∈，使得()00h x '=， 所以当()
()00,1,x x ∈+∞时，()0h x '>，当()0,1x x ∈时，()0h x '<，
所以()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 因为()()010h h ==，所以()0h x ≥，即()()21f x e x ≥-+，当且仅当1x =时取等号， 所以当0x >时，()221x e x e x -≥-+， 变形可得()21
x e e x x x
+--≥，
又由于ln 1x x ≥+，当且仅当1x =时取等号（证明略）， 所以()21ln 1x e e x x x
+--≥+，当且仅当1x =时取等号.
【审题点津】切线放缩法值得认真探究，若第一小题是求曲线的切线方程，就要注意是否运用切线放缩法进行放缩解决问题.
命题角度4 二元或多元不等式的解证思路
【典例6】（皖南八校2018届高三第三次联考）若,,x a b 均为任意实数，且()()2
2
231a b ++-=，则
()
()2
2
ln x a x b -+-的最小值为
.A .18B .1C .19D -
【解析】由于,a b 均为任意实数，且()()22
231a b ++-=，所以动点(),P a b 到定点()2,3C -的距离为定值1，亦即动点(),P a b 的轨迹是以
()2,3C -为圆心，半径1r =的圆，
()()22
ln x a x b -+-(),P a b 与动点
(),ln Q x x 的距离，而(),ln Q x x 的轨迹是曲线
ln y x =，
如图，1PQ CQ PC CQ ≥-=-，当且仅当,,C P Q 共线， 且点P 在线段CQ 上时取等号，以C 为圆心作半径为r 的圆 与ln y x =相切，切点是(),ln Q x x ，此时的公切线与半径 垂直，
ln 31
12x x x
-?=-+，即()()ln 13x x x =--+，结合函数 ln y x =与()()13y x x =--+的图象可知()1,0Q ，所以
1321PQ CQ PC CQ ≥-=-≥，
故()()22
ln x a x b -+-的最小值为()
2
3211962=-正确答案为D .
【审题点津】多元代数表达式的最值问题要根据其整体的结构特征，结合多元各自变化的规律，转化为多个动点之间的对应关系，进而化“动”为“静”解决问题. 【变式训练】（2018年湖北省高三4月调考）设()
()
2
2
22x D x a e a
a -+-+，其中 2.71828e ≈，则D
的最小值为
.2A .3B .21C .31A
【解析】()()
2
2
2x x a e a
-+-表示点(),x P x e 与点(,2Q a a 之间的距离PQ ，而点(),x P x e 的轨
迹是曲线x y e =，点(,2Q a a 的轨迹是曲线()240y x y =≥， 如图所示，又点(,2Q a a 到直线0x =的距离为a ， 自然想到转化为动点Q 到抛物线准线1x =-的距离， 结合抛物线的概念可得()
()
2
2
22x D x a e a
a =
-+-+
11PQ QH PQ QF =++=++，所以11D PQ QF PF =++≥+，当且仅当,,P Q F 共线，
又以F 为圆心作半径为r 的圆与x
y e =相切，切点是(),x
P x e ，此时的公切线与半径垂直，11
x
x e e x ?=--，
即0x =
，所以min PF =
min 1D .正确答案为C .
【能力提升】（2018年甘肃省高中毕业班第一次诊断性考试）对于任意0,b a R >∈，不等式
()()2
2
2
2ln 1b a b a m m --+--≥-????????恒成立，则实数m 的最大值为
.A .2B .C e .3A 【答案】B .
命题角度4 二元或多元不等式的解证思路
【典例7】（2018年安庆市二模）已知函数()2ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切
线方程为2y x =.
（1）求实数,a b 的值；
（2）设()()()()21212,,0F x f x x mx m R x x x x =-+∈<<分别是函数()F x
的两个零点，求证：
0F '
<.
【解析】（1）1,1a b ==-；
（2）()2ln f x x x x =+-，()()1ln F x m x x =+-，()1
1F x m x
'=+-， 因为12,x x 分别是函数()F x 的两个零点，所以()()11
221ln 1ln m x x m x x +=???+=??
，
两式相减，得12
12
ln ln 1x x m x x -+=
-，
1212ln ln 1x x F m x x -'
=+=-，
要证明0F '
<
，只需证
12
12
ln ln x x x x -<
-. 思路一：因为120x x <<
，只需证1122ln ln ln 0x x x x -?->.
令()0,1t =
，即证12ln 0t t t -+>.
令()()12ln 01h t t t t t =-+<<，则()()2
22121
10t h t t t t
-'=--=-<，
所以函数()h t 在()0,1上单调递减，()()10h t h >=，即证1
2ln 0t t t
-+>.
由上述分析可知0F '
<.
【规律总结】这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把12,x x 转化为t 的函数，常把12,x x 的关
系变形为齐次式，设12111222
,ln ,,x x x x
t t t x x t e x x -=
==-=等，构造函数来解决，可称之为构造比较函数法. 思路二：因为120x x <<
，只需证12ln ln 0x x -， 设(
))22ln ln 0Q x x x x x =-<<，则 ()
21
10Q x x
x '=
==<，
所以函数()Q x 在()20,x 上单调递减，()()2
0Q x Q x >=，即证2ln ln
x x ->. 由上述分析可知0F '
<.
【规律总结】极值点偏移问题中，由于两个变量的地位相同，将待证不等式进行变形，可以构造关于1
x （或2x ）的一元函数来处理．应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明．此乃
主元法.
思路三：要证明
0F '
<，只需证
12
12ln ln x x x
x --即证
12
12
ln ln x x x x --.
【规律总结】极值点偏移问题中，如果等式含有参数，则消参，有指数的则两边取对数，转化为对数式，通过恒等变换转化为对数平均问题，利用对数平均不等式求解，此乃对数平均法.
【知识拓展】对于0,0,
a b a b >>≠，则2ln ln a b b a b a +->-，其中ln ln b a
b a
--称之为对数平均数.简证如下：不妨设(
)1b ax x =>，只需证明
112ln x x x
+->()21ln 1x x x -<<+. 【典例8】（A 10联盟2018年高考最后一卷）已知函数()()2,,,x f x e g x ax bx a b R ==+∈.
（1）当0b =时，方程()()0f x g x +=在区间()0,+∞上有两个不同的实数根，求a 的取值范围；
（2）当0a b =>时，设12,x x 是函数()()()F x f x g x =-两个不同的极值点，
证明：
()12
ln 22
x x a +<. 【解析】（1）因为()()0f x g x +=，所以2
0x
e ax +=，即2x
e a x
-=，
设()()20x
e h x x x
=>，则()()32x
x e h x x -'=，
所以()h x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，
()()2
24
e h x h ≥=，当0x →时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞，
要使方程()()0f x g x +=在区间()0,+∞上有两个不同的实数根，则24e a ->，解得2
4
e a <-，
故a 的取值范围是2,4e ?
?-∞-? ??；
【一题多解】本题也可以变形为x e ax x =-，转化为过原点的直线y ax =与函数x
e y x
=-图象有两个交
点问题，应用数形结合思想求解，直线与曲线相切对应所求范围的界点.
（2）由题意，()2x F x e ax ax =--，()2x F x e ax a '=--， 因为12,x x 是函数()()()F x f x g x =-两个不同的极值点，
不妨设12x x <，()()120,0F x F x ''==，即1
2
1220,20x x e ax a e ax a --=--=，
两式相减得12
12
2x x e e a x x -=-.
要证()12
ln 22
x x a +<，即证明12
22x x e a +<， 只需证12122
12x x x x e e e x x +-<-，即12
122
12
1x x x x e e x x ---<
-，亦即()121221210x x x x x x e e ----+>. 令
12
02
x x t -=<，只需证当0t <时，不等式2210t t te e -+>恒成立， 设()()2210t t Q t te e t =-+<，则
()()()221221t t t t Q t t e e e t e '=+-=+-，
易证()10t t e t +<<，所以()0Q t '<，
所以()Q t 在(),0-∞上单调递减，()()00Q t Q >=，即2210t t te e -+>. 综上所述，
()12
ln 22
x x a +<成立. 【审题点津】函数的拐点偏移问题的证明思路可以根据类似的结构特征，适当变形为两个变量之差（或比值）的关系，整体换元，构造函数，借助于导数的应用解决问题.
【典例9】（2018届合肥三模）已知函数()21
2
x f x e x ax =--有两个极值点12x x ， (为自然对数的底数).
（1）求实数a 的取值范围； （2）求证：()()122f x f x +>.
解析：（1）由于()212
x f x e x ax =--，则()x f x e x a '=--， 设()()x g x f x e x a '==--，则()1x g x e '=-.
e
令()10x g x e '=-=，解得0x =.
所以当() 0x ∈-∞，
时，()0g x '<；当()0,x ∈+∞时，()0g x '>. 所以()()min 01g x g a ==-.
①当1a ≤时，()()0g x f x '=≥，所以函数()f x 单调递增，没有极值点；
②当1a >时，()min 10g x a =-<，且当x →-∞时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞. 此时，()()x g x f x e x a '==--有两个零点12x x ，，不妨设12x x <，则120x x <<， 所以函数()21
2
x f x e x ax =--有两个极值点时，实数a 的取值范围是()1,+∞；
【答案速得】函数()f x 有两个极值点实质上就是其导数()f x '有两个零点，亦即函数x y e =与直线y x a =+有两个交点，如图所示，显然实数a 的取值范围是()1,+∞.
（2）由（1）知，12x x ，为()0g x =的两个实数根，120x x <<，()g x 在() 0-∞，
上单调递减. 下面先证120x x <-<，只需证()()210g x g x -<=. 由于()2
220x g x e x a =--=，得2
2x a e x =-，
所以()2
2
2
2222x x x g x e x a e e x ---=+-=-+.
设()()20x x h x e e x x -=-+>，则()1
20x x h x e e
'=-
-+<， 所以()h x 在()0 +∞，
上单调递减， 所以()()00h x h <=，()()220h x g x =-<，所以120x x <-<.
由于函数()f x 在()1 0x ，
上也单调递减，所以()()12f x f x >-. 要证()()122f x f x +>，只需证()()222f x f x -+>，
即证2
2
2
220x x e e x -+-->.
设函数()()220x x k x e e x x -=+--∈+∞，，
，则()2x x k x e e x -'=--. 设()()2x x x k x e e x ?-'==--，则()20x x x e e ?-'=+->，
所以()x ?在()0+∞，
上单调递增，()()00x ??>=，即()0k x '>. 所以()k x 在()0+∞，
上单调递增，()()00k x k >=. 故当()0x ∈+∞，
时，220x x e e x -+-->，则2
2
2
220x x e e x -+-->， 所以()()222f x f x -+>，亦即()()122f x f x +>.
【规律总结】本题是极值点偏移问题的泛化，是拐点的偏移，
依然可以使用极值点偏移问题的有关方法来解决.只不过需要挖掘出拐点偏移中隐含的拐点的不等关系，如本题中的120x x <-<，如果“脑中有‘形’”，如图所示，并不难得出.
命题角度5 函数凹凸性的应用
【典例10】（2018届合肥三模）已知函数()22f x x x a =---有零点12x x ，，函数()()212g x x a x =-+-有零点34x x ，，且3142x x x x <<<，则实数a 的取值范围是
9.24A ??-- ???
， 9. 04B ?
?- ??? ，
().2 0C - ， ().1 D +∞ ，
解析：思路1：因为()()()1g x f x a x =+-，如图所示， 结合函数图象，则()()()()1111110g x f x a x a x =+-=-<，
()()()()2222110g x f x a x a x =+-=->，
若0a >，则11x >，不适合题意，则0a <；当0a <时，121x x <<，所以()120f a =--<，即2a >-，
所以实数a 的取值范围是()2 0-，
.正确答案为C . 【评注】同理，()()()()3333101g x f x a x a x =+-=>-，()()()()4444101g x f x a x a x =+-=<-，所以341x x <<，
故()120g a =--<，即2a >-，所以实数a 的取值范围是()2 0-，
. 思路2：因为函数()22f x x x a =---有零点12x x ，，所以22x x a --=的解分别为12x x ，，
因为函数()()212g x x a x =-+-有零点34x x ，，所以22x x ax --=的解分别为34x x ，， 令()22h x x x =--，①若0a ≥，如图，总有13x x ≤，不适合题意；
②若0a <，如图，总有31x x <，欲使42x x <2149129
a a a a ++++++<
， 所以24929a a a a +++204929a a a a <+++ 491a +，所以2a >-.
所以实数a 的取值范围是()2 0-，
.正确答案为C . 思路3：因为函数()22f x x x a =---有零点12x x ，，
所以22x x a --=的解分别为12x x ，，
因为函数()()212g x x a x =-+-有零点34x x ，，
所以21x a x
--=的解分别为34x x ，，
令()()22
2,1h x x x u x x x
=--=--，两个函数的交点的坐标分别为()()()1,0,1,2,2,0----，如图所示，
结合函数图象，欲使3142x x x x <<<，则20a -<<，所以实数a 的取值范围是()2 0-，
.正确答案为C . 思路4：（特例法）令2a =-，则函数()2f x x x =-有零点1201x x ==，，函数()22g x x x =+-有零点3421x x =-=，，此时满足3142x x x x <<<，因此排除B ；
再令1a =-，则函数()21f x x x =--有零点121515
x x -+=
=
，，函数()22g x x =-有零点3422x x =-=，， 此时满足31421515
22x x x x -+=-<=<=
=
<，因此排除A ，D ； 所以实数a 的取值范围是()2 0-，
.正确答案为C . 命题角度5 函数凹凸性的应用
【考法点拨】不等式恒成立问题中，许多试题的几何背景是曲线与切线静态或动态的上下位置关系，进而应用曲线的凸凹性可获得思路自然、过程简洁的图解.
【知识拓展】一般地，对于函数的定义域内某个区间D 上的不同 的任意两个自变量的值，
①总有（当且仅当时，取等号）， 则函数在D 上是凸函数，其几何意义：函数()f x 的图象上的 任意两点所连的线段都不落在图象的上方.()0f x ''<，则()f x '单调 递减，()f x 在D 上为凸函数； ②总有（当且仅当时，取等号）， 则函数在D 上是凹函数，其几何意义：函数()f x 的图象上的
任意两点所连的线段都不落在图象的下方.()0f x ''>，则()f x '单调递增，()f x 在D 上为凹函数. 【典例11】（安徽省太和中学2018届5月质检）已知函数()()1ln f x x x =+，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y ax b =+．
（1）求证：1x >时，()f x ax b >+；
)(x f 21,x x 1212()()
(
)22
x x f x f x f ++≥12x x =)(x f 1212()()
(
)22
x x f x f x f ++≤12x x =)(x f
（2）求证：()()2*2
ln 2ln 2ln7
23...2,1632
n n n n n -++++>≥∈-N ． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()1
ln x f x x x
+'=+，
又()12f '=，()10f =，所以该切线方程为()21y x =-．
设()()()1ln 221F x x x x x =+-+>，则()1
ln 1F x x x
'=+-， 令()()g x F x '=，则()22111x g x x x x
-'=
-=， 当1x >时，()0g x '>，所以()()g x F x '=在()1,+∞上单调递增，
又()10g =，所以()()0g x F x '=>，即()F x 在()1,+∞上单调递增，
所以()()10F x F >=，故1x >时，()f x ax b >+； （2）由（1）知：当1x >时，()()1ln 21x x x +>-.
令()2212,x n n n N =->≥∈，则()()()2221ln 223n n n -->-， 所以
()()()222ln 22211
3
11111
n n n n n n n ->
==----+-+， 所以()222
ln 211111111
1111 (3)
3243546211n
k k k n n n n =-????????????>-+-+-+-++-+- ? ? ? ? ? ?---+????????????
∑
， 化简可得()22
2
ln 211132
13
212n
k k k n n n
=->+
-->--+∑
，得证. 【方法归纳】本题()()()1ln 1f x x x x =+>，其()1ln x f x x x +'=+
，()21
0x f x x
-''=>，说明函数()()()1ln 1f x x x x =+>为凹函数，因此有()()1ln 21x x x +>-.此类问题实质上，第（1）小题的研究正是为
第（2）小题的解决而服务的，呈现“层层递进”的特点.
【典例12】（成都市2018届高中毕业班二诊文科）已知函数()ln 1,f x x x ax a R =++∈.
（1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （2）当()1,x ∈+∞时，证明：
()
21ln x
e x x x x e
-<<-. 【解析】（1）由()0f x ≥，得1
ln a x x
-≤+恒成立， 令()1ln u x x x =+
，则()22111x u x x x x
-'=-=，
所以()u x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()u x 的最小值为()()min 11u x u ==，
所以1a -≤，即1a ≥-，故a 的取值范围是[)1,-+∞； （2）有（1）知1a =-时，有ln 1x x x ≥-， 所以1
ln x x x
-≥. ①要证
()1ln x e x x e -<，可证()()11
1x
e x x x e x
--<>，只需证1x e x -≥， 易证1x e x ≥+（证明略），所以1x e x -≥； ②要证2ln x x x <-，可证ln 1x x <-，
易证ln 1x x ≤-（证明略），由于1,10x x >->，所以()211x x x x x -<-=-， 所以2ln x x x <-，
综上所述，当()1,x ∈+∞时，证明：
()
21ln x
e x x x x e
-<<-. 【方法归纳】若第（1）小题是探求参数的范围问题，第（2）小题的解决往往运用第（1）小题所求范围的界点对于的不等关系进行放缩，此类问题实质就是应用函数凸凹性进行切线放缩法. 【典例13】（咸阳市2018届三模）已知函数()ln f x x x =，()()22
a x x g x -=
.
（1）若()()f x g x <在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）求证：()()()22212111111n n n n ????
??
+++????
??
+++??????????
??【解析】（1）()()f x g x <等价于()2ln 02
a x x x x --
<，即()1ln 02a x x x -?
?-
， 记()()1ln 2
a x h x x -=-
，则()1222a ax
h x x x -'=-=，
当0a ≤时，()0h x '>，()h x 在()1,+∞上单调递增，由()10h =，()()10h x h >=， 所以()0xh x >，即()()f x g x <不恒成立；
当02a <<时，221,1,x a
a ?
?>∈ ???
时，()0h x '>，()h x 单调递增，()()f x g x <不恒成立；
当2a ≥时，()1,x ∈+∞，()0h x '<，()h x 在()1,+∞上单调递减，()()10h x h <=，所以()0xh x <，即
()()f x g x <恒成立；
故()()f x g x <在()1,+∞上恒成立，实数a 的取值范围是[)2,+∞；
（2）当2a =时，()()f x g x <在()1,+∞上成立，即ln 1x x <-， 令()
2
1,1,2,,1k
x k n n =+
=+，则()()
22
ln 111k k
n n ??+
k k n n n n n =??????
??
+=+++??????
??
++++??????????????
??
∑ ()
()
()
()()
()2
2
2
2
11
2
1
212
11121n n n
n n n n n n +<
+
++
==
<+++++，
所以()()()22212111111n e n n n ??????
+++
??
+++????????????
【方法归纳】当2a =时，ln y x =，由于1
y x
'=在()0,+∞上单调递减，所以ln y x =为凸函数，则切线在函数ln y x =的图象的上方，所以ln 1x x <-.
【典例14】（福建泉州市2018年5月质检）函数的图像与直线相切．
（1）求的值；
（2）证明：对于任意正整数，()1
122!!
n
n n n n n n e n e
n ++?<
【解析】（1）． 设直线与曲线相切于点．依题意得： ()00000
2ln 1121y x y x ax a x ?
?=??
=++???+=+??，整理得，，……（*） 令，． 所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减．当
时，取得最小值，
所以，即()ln 11
x
x x +≥
+. ()()ln 1f x x ax =++2y x =a n ()f x '1
1
a x =
++2y x =()y f x =()00,P x y ()000
ln 101x x x +-=+()()ln 11
x
g x x x =+-
+()()()2211111x g x x x x '=-=+++0x >()0g x '>()g x 10x -<<()0g x '<()g x 0x =()g x ()00g =()0g x ≥
故方程（*）的解为，此时． （2）①要证明()1
2!!
n n
n n n e
n +?<
，即证()()()112n n n n e n n n n +?<
+++，
只需证1
12
12
ln ln ln
1n n n n n n n n n n n
e
n n n n n n
n
+++++++<
??<++++. 由（1）知，，即， 因此，，…，． 上式累加得：，得证； ②要证明
()12
2!
!
n n
n n e
n +
12n n
n n n n n e
++++
只需证1
212
12
1
ln ln ln
2
n n n n n n n n n n e n n
n n n
n ++++++++?
. 令，则()1111
x
h x x x -'=
-=++． 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.当时，取得最大值，即，．
由得：
，，…，． 上式累加得：，得证；
【审题点津】第（2）小题待证不等式的证明途径只有从第（1）小题的探究切线的过程中挖掘，这是切线放缩法的拓展运用.
【典例15】（石家庄市2018届高中毕业班一模）已知函数()()()(0)x f x x b e a b =+->在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=.
（1）求,a b ；
（2）若方程()f x m =有两个实数根12,x x ，且12x x <，证明：21(12)
11m e x x e
--≤+
-. 00x =1a =()0g x ≥()ln 11
x
x x +≥
+11ln 11
??+> ?+??n n 221ln 121??+>> ?++??n n n 1ln 11??
+>> ?++??n n n n n n 12ln 1111
??
?
?????+
?+??+>
? ? ???+?
???????n n n n n n ()()ln 1=+-x x h x 0x >()0h x '<()h x 10x -<<()0h x '>()h x 0x =()h x ()00h =()0h x ≤()ln 1+≤x x ()ln 1+≤x x 11ln 1??+< ???n n 22ln 1??+< ???n n ln 1??+< ???n n
n n
12121
ln 1112??++++??????+
?+??+<=
? ? ???????
????
n n n n n n n
【解析】（1）1a b ==；
（2）由（1）可知()()()11x f x x e =+-， (0)0,(1)0f f =-=，()()21x f x x e '=+-， 设()f x 在()1,0-处的切线方程为()h x ，易得()1()11h x x e ??=-+ ???，
令()()()F x f x h x =-， ()()()1()1111x F x x e x e ?
?=+---+ ???
，
则()1()2x F x x e e
'=+-，
当2x ≤-时，()11()20x F x x e e
e
'=+-≤-<， 当2x >-时，
设()1()()2x G x F x x e e
'==+-，则()()30x G x x e '=+>， 故函数()F x '在()2,-+∞上单调递增，
又(1)0F '-=，所以当(),1x ∈-∞-时，()0F x '<，当()1,x ∈-+∞时，()0F x '>， 所以函数()F x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增， 故()(1)0F x F ≥-=，即()()f x h x ≥，所以11()()f x h x ≥， 设()h x m =的根为1x '，则111me
x e
'=-+
-， 又函数()h x 单调递减，故111()()()h x f x h x '=≥，故11x x '≤，
再者，设()y f x =在()0,0处的切线方程为()y t x =，易得()t x x =， 令，， 当时，()()2220x T x x e '=+-≤-<， 当时，
令()()()22x H x T x x e '==+-，则()()30x H x x e '=+>， 故函数在上单调递增，
又，所以当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以()(0)0T x T ≥=，即()()f x t x ≥，所以22()()f x t x ≥， 设的根为，则，
()()()()()11x T x f x t x x e x =-=+--()()22x T x x e '=+-2x ≤-2x >-()T x '()2,-+∞(0)0T '=(),0x ∈-∞()0T x '<()0,x ∈+∞()0T x '>()T x (),0-∞()0,+∞()t x m =2x '2x m '=
又函数单调递增，故，故，
又，所. 【能力提升】结合函数的凸凹性应用切线放缩法证明不等式 必须做到“脑中有形”，结合示意图易得1122x x x x ''≤<≤，
显然2121x x x x ''-≤-.脑海中有这样的示意图，我们的思路不就清晰了吗？
()t x 222()()()t x f x t x '=≥22x x '≥11x x '≤2121(12)1111me m e x x x x m e e
-??''-≤-=--+=+
?--?
?
函数与导数解答题之数列型不等式证明 例1.已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈ (1)讨论函数)(x f 的单调性; (2)证明:*1111ln(1)()23n n N n + +++>+∈ (3)证明:()*ln 2ln 3ln 4ln 5ln 12,2345n n n N n n ???<≥∈ (4)证明:()*22222ln 2ln 3ln 4ln 5ln 112,23452n n n n n N n n +?????
例3．已知函数()x f x e ax a =--（其中,a R e ∈是自然对数的底数， 2.71828e =…）. （1）当a e =时，求函数()f x 的极值；（II ）当01a ≤≤时，求证()0f x ≥； （2）求证：对任意正整数n ，都有2111111222n e ??????+ +???+< ??? ???????. 例4.设函数()ln 1f x x px （1）求函数()f x 的极值点； （2）当p ＞0时，若对任意的x ＞0，恒有0)(≤x f ，求p 的取值范围； （3）证明：).2,()1(212ln 33ln 22ln 2222222≥∈+--<+++n N n n n n n n 例5.已知函数()ln 1f x x x =-+? (1)求()f x 的最大值; (2)证明不等式:()*121n n n n e n N n n n e ??????+++<∈ ? ? ?-???? ??
1.函数2ln 2)(x x x f -=，求函数)(x f y =在]2,2 [上的最大值 2.. 已知f(x)=e x -ax- （1）求f(x)的单调增区间； （2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围； （3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 3. 已知函数f(x)=x 2e -ax (a ＞0),求函数在［1，2］上的最大值. 4.已知x ＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x 的一个极值点． (1)求a 的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)若直线y ＝b 与函数y ＝f(x)的图象有3个交点，求b 的取值范围． 5. (2010年全国)已知函数 f(x)＝x3－3ax2＋3x ＋1. (1)设a ＝2，求 f(x)的单调区间； (2)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围． 不等式的证明： 一、函数类不等式证明 函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式 ()()f x g x >（()()f x g x <） 的问题转化为证明 ()()0f x g x ->（()()0f x g x -<），进而构造辅助函数 ()()()h x f x g x =-，然后利用导数证明函数()h x 的单调性或证明函数()h x 的最小 值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。 一、利用题目所给函数证明 【例1】 已知函数 x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有 x x x ≤+≤+- )1ln(1 1 1 【绿色通道】1 111)(+- =-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(m a x ==f x f ，因此，当1->x 时， 0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证） ， 现证左令11 1 )1ln()(-+++=x x x g ， 2 2)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即011 1 )1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1 ,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、直接作差构造函数证明 【例2】已知函数 .ln 2 1)(2 x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数3 3 2)(x x g = 的图象的下方； 【绿色通道】设)()() (x f x g x F -=，即x x x x F ln 2 132)(2 3--= ，
利用导数证明不等式的两种通法 吉林省长春市东北师范大学附属实验学校 金钟植 岳海学 利用导数证明不等式是高考中的一个热点问题，利用导数证明不等式主要有两种通法，即函数类不等式证明和常数类不等式证明。下面就有关的两种通法用列举的方式归纳和总结。 一、函数类不等式证明 函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式()()f x g x >（()()f x g x <）的问 题转化为证明()()0f x g x ->（()()0f x g x -<），进而构造辅助函数 ()()()h x f x g x =-，然后利用导数证明函数()h x 的单调性或证明函数()h x 的最小值（最 大值）大于或等于零（小于或等于零）。 例1 已知(0, )2 x π ∈，求证：sin tan x x x << 分析：欲证sin tan x x x <<，只需证函数()sin f x x x =-和()tan g x x x =-在(0,)2 π 上 单调递减即可。 证明： 令()sin f x x x =- ，其中(0,)2 x π ∈ 则/ ()cos 1f x x =-，而(0,)cos 1cos 102 x x x π ∈?
导数大题中不等式的证明 1.使用前面结论求证（主要） 2.使用常用的不等关系证明，有三种：()ln 1x x +<，sin ,x x
恒成立，求实数λ的最小值． 3、已知,ln 2)(),0()(bx x x g a x a x x f +=>- =且直线22-=x y 与曲线)(x g y =相切． （1）若对),1[+∞内的一切实数x ，不等式)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当a=1时，求最大的正整数 k ，使得对Λ71828.2](3,[=e e 是自然对数的底数）内的任意 k 个实数k x x x x ,,,,321Λ都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤++-Λ成立； （3）求证：)12ln(1 4412 +>-∑ =n i i n i )(* ∈N n
导数与不等式的证明 1.【2013湖南文科】已知函数f （x ）= x e x 2 1x 1+-. （Ⅰ）求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）证明：当f （x 1）=f （x 2）(x 1≠x 2)时，x 1+x 2＜0. 【解析】 (Ⅰ) .)123)12)1()1)11()('2 22 222x x x xe x x e x x e x x f x x x ++--?=+?--+?-+-=（（（ ; )(,0)(']0-02422单调递增时，，（当x f y x f x =>∞∈∴0时f(x) < f(-x)即可。 ]1)1[(11111)()(22 22x e x x e e x x e x x x f x f x x x x ---+=++-+-=----。 1)21()('0,1)1()(22--=?>---=x x e x x g x x e x x g 令。 ,04)21()('1)21()(222<-=-=?--=x x x xe e x x h e x x h 令 0)0()(0)(=0, 存在唯一的s , 使. (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为, 证明: 当时, 有. (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2x ln x ＋x ＝x (2ln x ＋1)，令f ′(x )＝0 ，得x = 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： 2 l ()n f x x x =()t f s =()s g t =2>e t 2ln ()15ln 2 g t t <<
用导数证明和式不等式-典型 （1）若护（工）=『J 上再減睛It求宾畫以杓取恒范 寵 (町证明车等式t 2n 1 L 1 I lii J J 1H^ In 4 hi(” +1) n , 1 1 1 < —+ l + - + —— 2 2 3 n 解析： :郭问圖利斛出 来看第二问? 1. 读者朋友们一起来思考这样一个命题逻辑：第二问单独出一道证明题行不行？ 当然行? 2. 为什么不那样出呢？ 因为那样出的话，难度太大. 3. 为什么出在本题的第二问的位置？ 因为这样命题使得学生解题相对容易一些. 4. 为什么会容易一些呢？ 因为题干和第一问，为我们顺利解决第二问提供帮助.这些内容可作为梯子，为我们搭桥、铺路. 5. 从第1问能得到什么结论呢？ '"|加 < 数特（打=—■—luz 在［人炖）上対城函
6. 这个结论对解决第 2问有什么帮助呢？ 第2问是证明不等式，我们希望能够通过第 1问得到不等式? 通过函数的单调性，我们可以得到什么样的不等式呢？ di 沿-1） 小如取= 2,则鸭（.工）= -- - Inx 凶为卩（工）在仏是内诚函数， 所以貯（1）=山 即——-hi^
导数与不等式证明 作差证明不等式 1. （优质试题湖南，最值、作差构造函数） 已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)若，求证：≤≤x ． 解：(1)函数f (x )的定义域为(－1，+∞),， 由 得：，∴x ＞0,∴f (x )的单调递减区间 为(0，+∞). (2)证明：由(1)得x ∈(－1，0)时，， 当x ∈(0，+∞)时，，且 ∴x ＞－1时，f (x )≤f (0)，∴≤0，≤x 令 ，则 ， ∴－1＜x ＜0时，，x ＞0时，，且 ∴x ＞－1时，g (x )≥g (0)，即≥0 ∴≥ ，∴x ＞－1时， ≤≤x ． 2. （优质试题湖北20，转换变量，作差构造函数，较容易） 已知定义在正实数集上的函数 ，x x x f -+=)1ln()()(x f 1->x 11 1+-x )1ln(+x 1 111)(+-=-+= 'x x x x f 0)(<'x f ????? -><+- 1 01x x x 0)(>'x f 0)(<'x f (0)0f '=x x -+)1ln()1ln(+x 111 )1ln()(-++ +=x x x g 2 2)1()1(111)(+=+-+= 'x x x x x g 0)(<'x g 0)(>'x g 0)0(='g 11 1 )1ln(-+++x x ) 1ln(+x 1 11+- x 1 11+- x )1ln(+x 2 1()22 f x x ax = +
，其中．设两曲线，有公 共点，且在该点处的切线相同． ⑴用表示，并求的最大值； ⑵求证：当时，． 解：⑴设与在公共点处的切线相 同． ，，由题意，． 即由得：，或（舍 去）． 即有． 令，则．于是 当，即时，； 当，即 时，． 故在为增函数，在为减函数， 于是在的最大值为． ⑵设， 则． 2()3ln g x a x b =+0a >()y f x =()y g x =a b b 0x >()()f x g x ≥()y f x =()(0)y g x x =>0 ()x y ，()2f x x a '=+∵23()a g x x '=0 ()()f x g x =0 ()()f x g x ''=2 2000200123ln 2 32x ax a x b a x a x ?+=+????+=?? ，， 20032a x a x +=0 x a =03x a =-2222215 23ln 3ln 22 b a a a a a a a = +-=-2 25()3ln (0)2 h t t t t t =->()2(13ln )h t t t '=-(13ln )0t t ->13 0t e <<()0h t '>(13ln )0t t -<1 3 t e >()0h t '<()h t 1 3(0)e ，1 3()e ∞,+()h t (0)+， ∞123 33()2 h e e =2 21()()()23ln (0)2 F x f x g x x ax a x b x =-= +-->()F x '23()(3)2(0)a x a x a x a x x x -+=+-=>
二轮专题 （十一） 导数与不等式证明 【学习目标】 1. 会利用导数证明不等式. 2. 掌握常用的证明方法. 【知识回顾】 一级排查：应知应会 1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题．比如要证明对任意∈x [b a ,]都有)()(x g x f ≤，可设)()()(x g x f x h -=，只要利用导数说明)(x h 在[b a ,]上的最小值为0即可． 二级排查：知识积累 利用导数证明不等式，解题技巧总结如下： （1）利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式. （2）多用分析法思考. （3）对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式. （4）常用方法还有隔离函数法，max min )()(x g x f ≥，放缩法（常与数列和基本不等式一起考查），换元法，主元法，消元法，数学归纳法等等，但无论何种方法，问题的精髓还是构造辅助函数，将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题. （5）建议有能力同学可以了解一下罗必塔法则和泰勒展开式，有许多题都是利用泰勒展开式放缩得来. 三极排查：易错易混 用导数证明数列时注意定义域.
【课堂探究】 一、作差（商）法 例1、证明下列不等式： ①1+≥x e x ②1ln -≤x x ③x x 1-1ln ≥ ④1x 1)-2(x ln +≥ x )1(≥x ⑤)2 ,0(,2sin ππ∈>x x x 二、利用max min )()(x g x f ≥证明不等式 例2、已知函数.2 2)(),,(,ln )1(1)(e x e x g R b a x a b x ax x f +-=∈+-+-= （1）若函数2)(=x x f 在处取得极小值0，求b a ,的值； （2）在（1）的条件下，求证：对任意的],[,221e e x x ∈，总有)()(21x g x f >.
“导数证明不等式问题”练习题答案 1.设L 为曲线C:ln x y x =在点(1,0)处的切线. (I)求L 的方程; (II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C 在直线L 的下方. 解: (I)设ln ()x f x x =,则21ln ()x f x x -'=.所以(1)1f '=.所以L 的方程为1y x =-. (II)令()1()g x x f x =--,则除切点之外,曲线C 在直线l 的下方等价于()0 g x >(0,1)x x >≠. ()g x 满足(1)0g =,且221ln ()1()x x g x f x x -+''=-=. 当01x <<时,210x -<,ln 0x <,所以()0g x '<,故()g x 单调递减; 当1x >时,210x ->,ln 0x >,所以()0g x '>,故()g x 单调递增. 所以,()(1)0g x g >=(0,1x x >≠). 所以除切点之外,曲线C 在直线L 的下方. 又解:()0g x >即ln 10x x x -->变形为2ln 0x x x -->,记2()ln h x x x x =--,则2121(21)(1)()21x x x x h x x x x x --+-'=--==, 所以当01x <<时,()0h x '<,()h x 在(0,1)上单调递减; 当1x >时,()0h x '>,()h x 在(1,+∞)上单调递增. 所以()(1)0h x h >=.)
2.Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，； (Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域． 解⑴证明：()2e 2 x x f x x -=+ ()()()22224e e 222x x x x f x x x x ??-' ?=+= ?+++?? ∵当x ∈()()22,-∞--+∞，时，()0f x '> ∴()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增 ∴0x >时， ()2e 0=12x x f x ->-+， ∴()2e 20x x x -++> ⑵ ()()()24e 2e x x a x x ax a g x x ----'= () 4e 2e 2x x x x ax a x -++= ()322e 2x x x a x x -??+?+ ?+??= [)01a ∈， 由(1)知，当0x >时，()2e 2x x f x x -= ?+的值域为()1-+∞，，只有一解． 使得2e 2 t t a t -?=-+，(]02t ∈， 当(0,)x t ∈时()0g x '<，()g x 单调减；当(,)x t ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调增 ()()()222e 1e e 1e 22 t t t t t t a t t h a t t t -++?-++===+ 记()e 2t k t t =+，在(]0,2t ∈时，()()() 2e 102t t k t t +'=>+，∴()k t 单调递增 ∴()()21e 24h a k t ??=∈ ??? ，． 3.设函数． x x 2f (x)x 2 -=+e 0x >(2)20x x e x -++>[0,1)a ∈2x =(0)x e ax a g x x -->（）()g x ()h a ()h a ()1x f x e -=-
导数中的不等式证明问题 一、常见基本题型： （1） 结合问题之间的联系，利用函数的单调性证明； （2） 构造新的函数，求导，结合函数的单调性去证。 例1：已知函数()ln f x x =，21()22g x x x = -． （1）设/()(1)()h x f x g x =+-（其中/()g x 是()g x 的导函数），求()h x 的最大值； （2）证明: 当0b a <<时，求证：()(2)2b a f a b f a a -+-< ； 解:（1）/()(1)()ln(1)2h x f x g x x x =+-=+-+,1x >- 所以 1()111 x h x x x -'=-=++． 当10x -<<时，()0h x '>；当0x >时，()0h x '<． 因此，()h x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减． 因此，当0x =时，()h x 取得最大值(0)2h =； （2）当0b a <<时，102b a a --< <． 由（1）知：当10x -<<时，()2h x <，即ln(1)x x +<． 因此，有()(2)ln ln 1222a b b a b a f a b f a a a a +--??+-==+< ??? ． 例2：已知221()ln ,02 f x x a x a =->. （I ）求函数f （x ）的最小值； （II ）（i ）设0t a <<，证明：()()f a t f a t +<-； （ii ）若12()()f x f x =，且12,x x ≠证明：122.x x a +> 解：（Ⅰ）f '(x )＝x －a 2x ＝(x ＋a )(x －a )x ． 当x ∈(0，a )时，f '(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增． 当x ＝a 时，f (x )取得极小值也是最小值f (a )＝ 1 2a 2－a 2ln a ． （Ⅱ）（ⅰ）设g (t )＝f (a ＋t )－f (a －t )，则 当0＜t ＜a 时，
一题多解专题三：利用导数证明不等式问题 1.构造函数证明不等式的方法 (1)对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式,构造函数f(x),使原不等式成为形如 f(a)>f(b)的形式. (2)对形如f(x)>g(x),构造函数F(x)= f(x)-g(x). (3)对于(或可化为)A x x f ≥),(21的不等式,可选1x (或2x )为主元,构造函数),(2x x f (或 ),(1x x f ). 2.利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形. (2)构造新的函数h(x). (3)对h(x)求导. (4)利用)(x h '判断h(x)的单调性或最值. (5)结论. 例：设b a R b a b ax x x x f ,,,(1)1ln()(∈++++ +=为常数），曲线)(x f y =与直线 x y 2 3 = 在(0，0)点相切. (1)求b a ,的值. (2)证明：当20< 利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 技巧精髓 1、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点 也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得 不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 一、利用题目所给函数证明 例1】已知函数f (x) =ln(x ? 1) -X ,求证：当x ? -1时，恒有 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 1 g(x) = ln(x ? 1)1,从其导数入手即可证明。 x十1 1 x 绿色通道】f(X) 1 = x+1 x+1 ???当T：：：x”：0时，f(x)?0,即f (x)在x?(T,0)上为增函数 当x 0时，f (x) ：：：0,即f (x)在x ? (0/::)上为减函数 故函数f(x)的单调递增区间为(-1,0)，单调递减区间(0, 于是函数f (x)在(-1「：)上的最大值为f (x),因此，当X ? -1时， f (x) _ f (0) =0 ,即ln(x 1) -x _0 ???In(x 1) _ x (右面得证)， 1 1 1 现证左面，令g(x)二ln(x 1) 1, 则g (xp x+1 x+1 (x + 1) x 2 (x 1) 当x (-1,0)时,g(x) ：：0;当x (0,：：)时,g (x) 0 ,即g(x)在(-1,0)上为减函数，在X- (0, V)上为增函数， 故函数g(x)在(-1, ?：：)上的最小值为g(x)min二g(0) =0 , . 1 ???当x -1 时,g(x) - g(0) =0 ,即ln(x 1) 导数与函数不等式 考点1不等式的证明 考法1比较法 考向1求商比较法 1.（2014·福建卷·理科）已知函数()x f x e ax =-（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-. （Ⅰ）求a 的值及函数()f x 的极值； （Ⅱ）证明：当0x >时，x e x < 2. 解析：（Ⅰ）()x f x e a '=-，(0)11f a '=-=-，2a =.()2x f x e x =-，()2x f x e '=-，令()0f x '=，ln 2x =，极小值为(ln 2)22ln 2f =-，无极大值. （Ⅱ）2 x x e <，等价于21x x e <，令2()x x g x e =，22()x x x g x e -+'=，220x x -+=，0x =或2x =，当0x >时，24 ()(2)1g x g e ≤= <，所以，x e x <2. 2.（2018·全国卷Ⅱ·理科）已知函数2()x f x e ax =-. （Ⅰ）若1a =，证明：当0x ≥时；()1f x ≥； 解析：当1a =时，()1f x ≥等价于2 1x e x -≥，2110x x e +-≤．设函数21 ()1x x g x e +=-， 则222(1)(21) ()x x x x x x g x e e -+--+'==．当1x ≠时，()g x '0<，所以()g x 在(0,) +∞单调递减．而(0)0g =，当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥． 考向2 求差比较法： 1.（2013·北京卷·理科）设l 为曲线C ：ln x y x =在点(1,0)处的切线. （Ⅰ）求l 的方程； （Ⅱ）证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方. 解析：（Ⅰ）1y x =-. 导 数 的 应 用 --------利用导数证明不等式 教学目标：1、进一步熟练并加深导数在函数中的应用并学会利用导数证明不等式 2、培养学生的分析问题、解决问题及知识的综合运用能力； 教学重点：利用导数证明不等式 教学难点：利用导数证明不等式 教学过程： 一、复习回顾 1、利用导数判断函数的单调性； 2、利用导数求函数的极值、最值； 二、新课引入 引言：导数是研究函数性质的一种重要工具．例如：求函数的单调区间、求函数的最大（小）值、求函数的值域等等．然而，不等式是历年高考重点考查的内容之一.尤其是在解答题中对其的考查，更是学生感到比较棘手的一个题.因而在解决一些不等式问题时，如能根据不等式的特点，恰当地构造函数，运用导数证明或判断该函数的单调性, 出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题．然后用函数单调性去解决不等式的一些相关问题，可使问题迎刃而解. 因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题． 下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用． 三、新知探究 1、利用导数得出函数单调性来证明不等式 例1：当x>0时,求证：x 2x 2 -＜ln(1+x) . 证明：设f(x)= x 2x 2-－ln(1+x) (x>0), 则f '(x)=2x 1x -+． ∵x>0,∴f '(x)<0,故f(x)在（0，+∞）上递减， 所以x>0时,f(x) 文档 导数大题中不等式的证明 1.使用前面结论求证（主要） 2.使用常用的不等关系证明，有三种：()ln 1x x +<，sin ,x x 文档 3、已知,ln 2)(),0()(bx x x g a x a x x f +=>- =且直线22-=x y 与曲线)(x g y =相切． （1）若对),1[+∞内的一切实数x ，不等式)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当a=1时，求最大的正整数 k ，使得对Λ71828.2](3,[=e e 是自然对数的底数）内的任意 k 个实数k x x x x ,,,,321Λ都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤++-Λ成立； （3）求证：)12ln(1 4412 +>-∑ =n i i n i )(* ∈N n 4、已知函数)1ln()(2 x ax x f +-= （1）当5 4 = a 时，求函数)(x f 在),0(+∞上的极值； （2）证明：当0>x 时，x x <+)1ln(2 ； （3）证明：e n <+++)11()311)(211(4 44Λ 为自然对数的底数）e n N n ,2,(≥∈* . 利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 技巧精髓 1、 利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点， 也是近几年高考的热点。 2、 解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得 不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 一、利用题目所给函数证明 【例1】 已知函数f(x) ln(x 1) x ，求证：当x 1时，恒有 1 1 In (x 1) x x 1 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 g(x) 1 ln(x 1) 1,从其导数入手即可证明。 x 1 【绿色通道】 1 f (x) 1 x x 1 x 1 ???当 1 x 0 时，f (x) 0 ,即 f (x)在 x (1,0)上为增函数 当x 0 时，f (x) , 即 f (x)在 x (0, )上为减函数 故函数f (x)的单调递增区间为(1,0)，单调递减区间(0, ) 图象的下方; 于是函数f(x)在(1,)上的最大值为f(x) max f(0) 0，因此，当x 1 时，f (x) f (0) 0， 即 ln(x 1) x 0 ???ln(x 1) x (右面得证)， 现证左面，令g(x) In(x 1) 1 门1 ，则g (x) 1 (x 1)2 x (x 1)2 当 x ( 1,0)时,g (x) 0;当x (0, )时,g (x) 0 , 即g(x)在x ( 1,0)上为减函数，在 x (0, )上为增函数, 故函数 g(x)在(1,)上的最小值为 g (x) min g(0) 0 , 【警示启迪 1 )十1 1 1 1) 1 ，综上可知，当x 1时，有 1 ln (x 1) x 1 x 1 】如果f (a)是函数f(x)在区间上的最大(小)值，则有 f(x) x 1 时，g(x) g(0) 0 , 即 ln(x f (a)(或 f (x) f (a)), 那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过 2、直接作差构造函数证明 1 2 【例2】已知函数f (x) x ln x.求证：在区间 2 0就可得证. (1, )上，函数f (x)的图象在函数g(x) - x 3的 3 训练目标 (1)利用导数处理与不等式有关的题型；(2)解题步骤的规范训练． 训练题型 (1)利用导数证明不等式；(2)利用导数解决不等式恒成立问题及存在性问题； (3)利用导数证明与数列有关的不等式． 解题策略 (1)构造与所证不等式相关的函数；(2)利用导数求出函数的单调性或者最值再 证明不等式；(3)处理恒成立问题注意参变量分离. 1.已知函数f (x )＝x 2 －ax －a ln x (a ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值； (2)在(1)的条件下，求证：f (x )≥－x 33＋5x 2 2－4x ＋11 6. 2．(2016·烟台模拟)已知函数f (x )＝x 2 －ax ，g (x )＝ln x ，h (x )＝f (x )＋g (x )． (1)若函数y ＝h (x )的单调减区间是? ?? ??12，1，求实数a 的值； (2)若f (x )≥g (x )对于定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围． 3．(2016·山西四校联考)已知f (x )＝ln x －x ＋a ＋1. (1)若存在x ∈(0，＋∞)，使得f (x )≥0成立，求a 的取值范围； (2)求证：在(1)的条件下，当x >1时，12x 2＋ax －a >x ln x ＋1 2成立． 4.已知函数f (x )＝(2－a )ln x ＋1 x ＋2ax . (1)当a <0时，讨论f (x )的单调性； (2)若对任意的a ∈(－3，－2)，x 1，x 2∈[1,3]，恒有(m ＋ln 3)a －2ln 3>|f (x 1)－f (x 2)|成立，求实数m 的取值范围． 5．(2017·福州质检)设函数f (x )＝e x －ax －1. (1)当a >0时，设函数f (x )的最小值为g (a )，求证：g (a )≤0； (2)求证：对任意的正整数n ，都有1n ＋1＋2 n ＋1 ＋3 n ＋1 ＋…＋n n ＋1 <(n ＋1) n ＋1 . 导数中的不等式证明 【考点点睛】 放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。尽管如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻！ 放缩法的合理运用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。 命题角度1 构造函数 命题角度2 放缩法 命题角度3 切线法 命题角度4 二元或多元不等式的证明思路 命题角度5 函数凹凸性的应用 在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界. 【考点突破】 命题角度1 构造函数 【典例1】（赣州市2018届高三摸底考试）已知函数()ln 1 1,()x x ae f x g x bx x e x =- =+-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =的一个公共点是()1,1A ，且在点A 处的切线互相垂直． （1）求,a b 的值； （2）证明：当1x ≥时，()2()f x g x x +≥ ． 【解析】（1）1a b ==-； （2）1()x e g x x e x =- ++，()2ln 1 ()10x x e f x g x x x x e x +≥?---+≥， 令()()()2 ()1h x f x g x x x =+-≥，则 ()ln 1 1x x e h x x x e x =---+， ()2221ln 1ln 11x x x e x e h x x e x x e -'=- +++=++， 利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期: ? 利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 趣题引入 已知函数x x x g ln )(= 设b a <<0， 证明:2ln )()2 ( 2)()(0a b b a b g a g -<+-+< 分析:主要考查利用导数证明不等式的能力。 证明:1ln )(+='x x g ，设)2 ( 2)()()(x a g x g a g x F +-+= 2 ln ln )2()(21)2( 2)()(''''x a x x a g x g x a g x g x F +-=+-=?+-=' 当a x <<0时 0)(<'x F ，当a x >时 0)(>'x F ， 即)(x F 在),0(a x ∈上为减函数，在),(+∞∈a x 上为增函数 ∴0)()(min ==a F x F ,又a b > ∴0)()(=>a F b F , 即0)2 ( 2)()(>+-+b a g b g a g 设2ln )()2(2)()()(a x x a g x g a g x G --+-+= )ln(ln 2ln 2 ln ln )(x a x x a x x G +-=-+-='∴ 当0>x 时,0)('利用导数证明不等式的常见题型
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