第一章集合与充要条件 1.1 集合的概念 第一节集合与元素 教学目标： 1．理解集合的概念；理解集合中元素的性质． 2．理解“属于”关系的意义；知道常用数集的概念及其记法． 3．引导学生发现问题和提出问题，培养独立思考和创造性地解决问题的意识． 教学重点： 集合的基本概念，元素与集合的关系． 教学难点： 正确理解基本概念 教学过程： [新授]： 1．集合的概念 （1）一般地，把一些能够确定的对象看成一个整体，我们就说，这个整体是由这些对象的全体构成的集合（简称为集）． （2）构成集合的每个对象都叫做集合的元素． （3）集合与元素的表示方法：一个集合，通常用大写英文字母A,B,C,…表示，它的元素通常用小写英文字母a,b,c,…表示． 2．元素与集合的关系 （1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A”． （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a?A．读作“a不属于A”．3．集合中元素的特性 （1）确定性（2）互异性（3）无序性： 4．集合的分类 （1）有限集（2）无限集 5．常用数集 自然数集N；正整数集N＋或N*；整数集Z；有理数集Q；实数集R． 6．空集?（不能写成{?}） [巩固]： 例1：判断下列语句能否构成一个集合，并说明理由． （1）小于10的自然数的全体；（2）某校高一（2）班所有性格开朗的男生； （3）英文的26个大写字母；（4）非常接近1的实数． [点评]：组成集合的对象是确定的，对于一个对象是否是集合中元素，只有两种结果：是或不是，出现形容词修饰的对象不能组成集合． 练习1：判断下列语句是否正确： （1）由2，2，3，3构成一个集合，此集合共有4个元素； （2）所有三角形构成的集合是无限集； （3）周长为20cm的三角形构成的集合是有限集；
充要条件与反证法 ●知识梳理 1.充分条件：如果p ?q ，则p 叫q 的充分条件，原命题（或逆否命题）成立，命题中的条件是充分的，也可称q 是p 的必要条件. 2.必要条件：如果q ?p ，则p 叫q 的必要条件，逆命题（或否命题）成立，命题中的条件为必要的，也可称q 是p 的充分条件. 3.充要条件：如果既有p ?q ，又有q ?p ，记作p ?q ，则p 叫做q 的充分必要条件，简称充要条件，原命题和逆命题（或逆否命题和否命题）都成立，命题中的条件是充要的. 4.反证法：当直接证明有困难时，常用反证法. ●点击双基 1.ac 2 ＞bc 2 是a ＞b 成立的 A.充分而不必要条件 B.充要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析：a ＞b ac 2＞bc 2，如c =0. 答案：A 2.（2004年湖北，理4）已知a 、b 、c 为非零的平面向量.甲：a 2b =a 2c ，乙：b =c ，则 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析：命题甲:a 2b =a 2c ?a 2（b －c ）=0?a =0或b =c . 命题乙:b =c ，因而乙?甲，但甲乙. 故甲是乙的必要条件但不是充分条件. 答案：B 3.（2004年浙江，8）在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞2 1”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：在△ABC 中，A ＞30°?0＜sin A ＜1sin A ＞ 2 1，sin A ＞ 2 1?30°＜A ＜150°? A ＞30°. ∴“A ＞30°”是“sin A ＞2 1”的必要不充分条件. 答案：B 4.若条件p :a ＞4，q :5＜a ＜6，则p 是q 的______________. 解析：a ＞45＜a ＜6，如a =7虽然满足a ＞4，但显然a 不满足5＜a ＜6. 答案：必要不充分条件 5.（2005年春季上海，16）若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2 －4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2 +bx +c ＞0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：若a ＞0且b 2－4ac ＜0，则对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0，反之，则不一定成立.
充分条件和必要条件 解释：如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B，A就是B的充分必要条件（简称：充要条件）。简单地说，满足A，必然B；不满足A，必然不B，则A是B的充分必要条件。（A可以推导出B，且B也可以推导出A） 例如： 1. A=“三角形等边”；B=“三角形等角”。 2. A=“某人触犯了刑律”；B=“应当依照刑法对他处以刑罚”。 3. A=“付了足够的钱”；B=“能买到商店里的东西”。例子中A都是B的充分必要条件：其一、A必然导致B；其二，A是B发生必需的。 区分：假设A是条件，B是结论 由A可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的充要条件（充分且必要条件） 由A可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的充分不必要条件 由A不可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的必要不充分条件 由A不可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的不充分不必要条件 简单一点就是：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件 如果能由结论推出条件，但由条件推不出结论。此条件为必要条件 如果既能由结论推出条件，又能有条件推出结论。此条件为充要条件 例子：1.充分条件：由条件a推出条件b，但是条件b并不一定能推出条件a， 天下雨了，地面一定湿，但是地面湿不一定是下雨造成的。 2.必要条件：由后一个条件推出前一个条件，但是前一个条件并一定能推出后一个条件。我们把前面一个例子倒过来：地面湿了，天下雨了。 我这里在简单说下哲学上的充分条件和必要条件 1. 充分条件是指根据提供的现有条件可以直接判断事物的运行发展结果。充分条件是事物运行发展的必然性条件，体现必然性的哲学涵。如父亲和儿子的关系属于亲情关系吗？答必然属于。 2. 必要性条件。事物的运行发展有其规律性，必要性条件是指一些外在或在的条件符合该
充要条件（教材分析） 充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结 论之间的逻辑关系，目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础。在 教材中，这节内容被安排在数学选修2-1第一章中“常用逻辑用语”的第二节。除 了教学位置的前移之外，新教材中与充要条件相关联的知识体系也作了相应的扩充。 在“充要条件”这节内容前，还安排了“四种命题”这一节内容作为必要的知识铺 垫，为学生学习充要条件打下基础，也便于老师讲透充要条件这一基本数学概念。 显然，教材的这种处理，充分说明充要条件这一内容在整个高中数学体系中的基础 性和重要性，新教学大纲把教学目标定位在“掌握充要条件的意义”。 从教材编写角度看，新旧教材最大的差异在于对“充分条件”和“必要条件” 定义的处理上，旧教材中“充分条件”和“必要条件”是以如下方式分别定义的， “一般地，如果A成立，那么B成立，即A?B，这时我们就说条件A是B成立的充 分条件，也就是说，为使B成立，具备条件A就足够了。”“一般地，如果B成立， 那么A成立，即B?A，或者，如果A不成立，那么B就不成立，这时我们就说，条 件A是B成立的必要条件。也就是说，要使B成立，就必须A成立。因为‘B?A’ A?’是等价的，所以，如果A不成立，那么B就一定不成立，和它的逆命题‘B 也就是说，要使B成立，A就必须成立。”与旧教材大段枯燥难懂的表述相比，新教 材的定义显得更简洁精炼，“一般地，如果已知p?q，那么我们说，p是q的充分 条件，q是p的必要条件。”与定义表述的繁简成鲜明对照的是，新教材的例题、练 习题、习题数均大幅增加，是旧教材的两倍。显然，新教材的编写者在数学概念的 处理上贯彻了“淡化形式，注重实质”这一新的教学观，因此淡化了对定义的纯文 字叙述，而更注重学生从感性上去领悟，让学生在解题实践中加深理解。当然，一 次性给出定义也存在一定的不足，学生在判断条件与结论的逻辑关系之前，还必须 先分清何者是条件，何者是结论，这增加了学生理解上的困难。 ·1·
《充要条件证明题》 1、数列{}n x 满足：2 * 110,()n n n x x x x c n N +==-++∈ 证明：数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c < 证明：必要条件：当0c <时，2 1n n n n x x x c x +=-++=-++?<= 得：数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c < 2、设数列12,,n a a a 中的每一项都不为0.证明，{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n N ∈，都有1223111 111n n n n a a a a a a a a +++++= . 证明：先证必要性 设数列{},0,n a d d =的公差为若则所述等式显然成立， 若0d ≠，则 1223132 12112233 12231111111111 1()1111111(()()())1111()n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a d a a a a a a d a a a a a a a a d a a d a a ++++++++++---= +++=-+-++--= -= 11 .n n a a += 再证充分性. 证法1：（数学归纳法）设所述的等式对一切n +∈N 都成立，首先，在等式 122313 112 a a a a a a += ① 两端同乘123132123,2,,,a a a a a a a a a +=即得所以成等差数列， 记公差为21,.d a a d =+则
三角形内心充要条件的证明 三角形内心充要条件的表述如下： 在如下三角形ABC中，则O为ABC ?内心的充要条件是： ?+?+?= a OA b OB c OC 图示1(r为内接圆半径) 下面证明： ?充分性： 充分性表述成，若O为ABC ?所在平面内的点，当满足条件：?+?+?=时，O即为ABC a OA b OB c OC ?的内心。 证明：
0 ()()0 ()0 ()() a OA b OB c OC a OA b OA AB c OA AC a b c OA b AB c AC a b c OA b AB c AC ?+?+?=? ?+?++?+=? ++?+?+?=? ++?=-?+? 11 () () (|b c OA BA CA a b c a b c bc bc OA BA CA a b c c a b c b bc BA CA OA a b c c b bc BA OA a b c BA ?= ?+?++++? = ??+??++++? = ?+++? = ?++这一步最为关键) ||| CA CA + ||BA BA 即为BA 方向的单位向量，|| CA CA 即为CA 方向单位向量，所以||||BA CA BA CA + 即为以BA 和CA 构成角的角平分线。 (原因如下图所示： 1||BA e BA =，2||CA e CA =，12e e e =+，向量12e e +即为以1e 和2e 为边构 成的平行四边形的对角线，由于1e 和2e 为单位向量，即构成的平行四边形为菱形，所以12e e +即e 为以1e 和2e 构成角的角平分线)
解析充要条件的三种常用判断方式 1.利用集合间的相互关系进行判断． 若一个命题的条件和结论所描述的对象形成一个集合，则可用集合间的相互关系来判定充分条件，必要条件．设P ，Q 分别为命题p,q 所描述的对象形成的集合． (1).若q p Q P 是则称,?的充分条件． (2).若P Q ?，则称p 是q 的必要条件． (3).若P Q ?，则称p 是q 的必要非充分条件． (4) .若Q P ?,则称p 是q 的充分非必要条件． (5).若Q P =，则称p 是q 的充要条件． (6).若φ=?Q P ，则称p 是q 成立的既不充分也不必要条件． (7).若A B ,??且B A ，则称p 是q 成立的既不充分也不必要条件． 例１． 条件A ：()()01 4B ,041≥-+≥+-x x x x ：结论，则判断条件是结论的什么条件． 解：由于A 的解集是：M ＝(][)+∞?-∞-,14,，而B 的解集是：N=(]()+∞?-∞-,14,， 显然N ?M ，于是A 是B 的必要非充分条件． 2.利用互为逆否命题的等价性进行判断． 由于互为逆否命题是相互等价的，当我们正面对命题进行判断较为困难时，可将其转化为逆否命题来判断． 例3．,:,:B A x q B x A x p ????或的是说明q p 什么条件． 解：原命题等价于判断B x A x p B A x q ∈∈??∈?且是::的什么条件． 易见：B A x B x A x B x A x B A x ?∈?∈∈∈∈??∈且及 且,， 故p q p q ?????是即的充要条件．所以p 是q 的充要条件． 例4．,5:,23:≠+≠≠y x q y x p 且的是说明q p 什么条件． 解：原命题等价于判断23:5:==?=+?y x p y x q 或是的什么条件． 显然.,q p p q ??????所以p 是q 的既不充分也不必要条件．
盐城市文峰中学美术生高中数学复习教学案 §1集合与充要条件 【考点及要求】： 1.了解集合含义，体会“属于”和“包含于”的关系，全集与空集的含义； 2.了解并掌握集合之间交，并，补的含义与求法； 3.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，会判断充分条件、必要条件与充要条件. 【基础知识】： 1.集合中元素与集合之间的关系：文字描述为 和 符号表示为 和 2.常见集合的符号表示：自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 3.集合的表示方法1 2 3 4.集合间的基本关系：1)相等关系：_________A B B A ???且 2)子集：A 是B 的子集，符号表示为______或B A ? 3) 真子集：A 是B 的真子集，符号表示为_____或____ 5.不含任何元素的集合叫做 ，记作 ，并规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的 6.若已知全集U ，集合A U ?，则U C A = . 7.________A A ?=，_________A ??=，__________A A ?=， _________A ??=，_________U A C A ?=，_________U A C A ?=， 8.若A B ?，则____,___A B A B ?=?= 9.若q p ?,则p 是q 的 条件, q 是p 的 条件. 10.若q p ?,且p q ?,则p 是q 的 条件. 【基本训练】： 1.{}a a a ,202-∈，则a 的值等于_________. 2.若全集{}4,3,2,1,0=U ,且{}3,2=A C U ,则A 的真子集有 个. 3.集合{}{}02,12<-=>=x x x B x x A ，则______=?B A . 4.1>x 是x x >2的_____________ 条件. 【典型例题讲练】 例1.已知集合{}{} 03)32(,082222≤-+--=≤--=m m x m x x B x x x A （1） 若[]4,2=?B A ，求实数m 的值；
第五课时：§充要条件 教学目的：①知识目标：理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的意义；能够判断给定的两个命题的充要关系。 ②能力目标：能够利用本节知识解决和代数、几何、三角等高中数学有关的问题； ③情感目标：进一步培养逻辑思维能力，理解数学的严谨性。 教学重点、难点及其突破：高考对本节内容的考查，主要是以代数、几何、三角等高中数学的各个方面内容为载体，判断两个命题间的充要关系，这也就是节课的重点，也是难点。学习中要注意各知识点的联系。 教学方法：讲授法。 高考要求及学法指导：基本的逻辑知识是人们认识和研究问题不可缺少的工具．高考中主要考查命题与命题之间的逻辑关系以及判断是非的能力和推理能力，这里尤其要重视反证法的应用。 教学过程： 一、知识点复习： （一）判断命题充要条件有如下三种常用方法： 1、定义法； 2、等价法：即利用与非B非A；B A与非A非B；A B与非B非A的等价关系，对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题，一般运用等价法： 3、利用集合间的包含关系判断命题之间的充要关系，设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B：(1)若A B，则p是q成立的充分条件．(2)若A=B，则p是q成立的充要条件．(3)若A B，则p是q成立的充分不必要条件．(4)若A B，且B A，则p是q成立的既不充分也不必要条件．（二）四种命题 1、一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是： 原命题：若p则q(p q)； 逆命题：若q则p(q)； 否命题：若则 () 逆否命题：若则 () 2、四种命题的关系 3、一个命题的真假与其它三个命题的真假有如下四条关系： (Ⅰ)原命题为真，它的逆命题不一定为真； (Ⅱ)原命题为真，它的否命题不一定为真； (Ⅲ)原命题为真，它的逆否命题一定为真； (Ⅳ)逆命题为真，否命题一定为真； （三）充要条件 1、如果p成立则q成立，即，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．如果p成立则q成立，且q成立则p成立，即，则称p是q的充分必要条件． 2、充要关系的判断我们常用推出符号“”来判断两个命题之间的充要关系。 (1)且，则p是q的充分非必要条件； (2)且，则p是q的必要非充分条件； (3)且，则p是q的既非充分也非必要条件； (4)且(即)，则p是q的充要条件． 5、对充分必要条件理解
充要条件中的基本关系2012-08-29、30 1. 已知R b a ∈,，则“00>>b a 且”是“00>>+ab b a 且” 2. 02≥++c bx ax 对R x ∈?恒成立的充要条件是 0,0≤?>且a 或 0,0≥==c b a 3. 直线0=++C By Ax 与圆()()22 2r b y a x =-+-()0>r 相切的充要条件是 r B A C Bb Aa =+++22 4. B A >是B A sin sin >的 （B A =？） 5. 3,221>>x x 是{6 52121>>+x x x x 的 条件。 6. ABC ?中，B A cos sin >是ABC ?为锐角三角形的 条件. 必 要不充分 7. 写出ABC ?为锐角三角形的一个充要条件： 8. 写出ABC ?为钝角三角形的一个充要条件： 9. 写出ABC ?为直角三角形的一个充要条件： C B A c o s c o s c o s 10. ABC ?中，c b a ,,是三边长，则222b a c +=是ABC ?为直角三角形的 充要条件吗？ 11. b a , 0<吗？（锐角？） 12. ⊥的充要条件是0=?. 13. 已知条件p : k =3，条件q ：直线y=kx +2与圆x 2+y 2=1相切，则p 是q 的 条件 14. 000≤+≤≤n m n m 则， 或若. 写出其逆命题、否命题、逆否命题.
15. 如果一个命题的否命题是“若0x y +≤，则0x ≤或0y ≤”，则这个命题 的逆命题为________________ 16. 在ABC ?中，“0>?AC AB ” 是 “ABC ?为锐角三角形” 17. 设命题p ：关于x 的不等式21110a x b x c ++>与22220a x b x c ++>的解集相同， 命题q ：111222a b c a b c ==，则命题q 是p 的_________条件 18. 已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的 必要条件，q 是s 的必要条件．现有下列命题： ①s 是q 的充要条件； ②p 是q 的充分条件而不是必要条件； ③r 是q 的必要条件而不是充分条件； ④?p 是?s 的必要条件而不是充分条件； ⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件． 则正确命题序号是 19. 已知p ：23≤-x ，q ：()()011≤--+-m x m x ，若?p 是?q 的充分 而不必要条件，求实数m 的取值范围． 42≤≤m 20. 求证：关于x 的一元二次不等式012>+-ax ax 对于一切实数x 都成立 的充要条件是40<+-ax ax 对于一切实数x 都成立”推出“40<+-ax ax 对于一切实数x 都成立”. 21. 已知全集U ＝R ，非空集合A ＝??????????x |x －2x －(3a ＋1)<0，B ＝?????? ????x |x －a 2－2x －a <0. (1)当a ＝12时，求(?U B )∩A ； (2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的
充分条件、必要条件、充要条件 三维目标 知识与技能： 1、理解充分条件、必要条件及充要条件的概念；理解“ ”的含义。 2、初步掌握充分、必要条件及充要条件的判断方法。 3、在理解定义的基础上，能对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系。 过程与方法 1、培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性。 2、培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律。 3、培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中。 情感态度价值观 1、通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受。 2、通过对命题的四种形式及充分条件，必要条件的相对性，培养同学们的辩证唯物主义观点。 3、通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神。 教学重点 知识方面：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义。在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系。 方法技能方面： 1、培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性。 2、培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律。 教学难点 ⑴在中q 是p的必要条件的理解； ⑵如何判断p是q的什么条件； ⑶判断命题条件与结论间关系时，条件p的确定 教学设计 一、创设情境，引入新课 思考1：当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈．”那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？为什么？【因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于说明你是她的孩子】 思考2：这在数学中是一层什么样的关系呢？【充分条件与必要条件】 二、复习回顾
普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1 集合法判断充要条件 讲课人：王美珍 教学目标： 知识目标：（1）熟记并理解集合法判断充分、必要条件的口诀； （2）掌握集合法判断充分、必要条件的技巧。 能力目标：培养学生的阅读理解能力、逻辑推理能力和归纳总结的能力。 情感目标：让学生感受“在生活中数学地思维”，增加对学习逻辑知识的兴趣和信心，克服畏惧感，激发求知欲。 教学重难点： 教学重点：集合法判断充要条件。 教学难点：理解集合法判断充要条件的口诀。 课型：新授课教学方法：讲练结合教学法（配合多媒体辅助教学手段） 教具：多媒体、投影仪 复习引入: 充分条件、必要条件、充要条件的定义: 若p ?q ，则p是q成立的充分条件 若q ?p，则q是p成立的必要必要条件 若p ?q，且q?/p 则q是p成立的必要充分不必要条件
若p ?/q，且q?p则q是p成立的必要必要不充分条件 若p ?q，则q是p成立的必要充要条件 思考： 1、在前面我们已经学习了用定义来判断充分条件、 以及充要条件，那么是否有更简便的方法可以去判断这几类条件呢？ 2、若命题p代表的是集合A，命题q代表的是集合B判断下列各题中命题p是命题q的什么条件，并研究此时集合A与集合B之间的关系？ （1）p：（x－2）（x－3）＝0，q：x－2＝0 （2）p：x＞3，q：x＞0； （3）p：a＞b，q：a＋c＞b＋c； （3）p：x＝3，q：x2＝9． （4）p:x＋y≠－2, q：x≠-1且y≠-1 解答：（1）p是q的必要不充分条件且B A (2)p是q的充分不必要条件，且A B (3)p是q的充要条件且B=A (4)p是q的既不充分也不必要条件，且B A，A B 讲解新课: 从集合与集合的关系看充分条件、必要条件: 一般情况下若条件甲为x∈Ａ，条件乙为x∈Ｂ 1)若A B，则甲是乙的充分不必要条件
命题及其关系、充要条件 编稿：周尚达审稿：张扬责编：张希勇 目标认知 学习目标： 1. 理解命题的概念，了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的 相互关系. 2. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 重点： 四个命题与充分必要条件的理解与判定 难点： 充要条件的判定 知识要点梳理 知识点一：命题 1. 命题的定义： 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题。 要点诠释： 1. 不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“”，“2不一定大于3”。 2. 只有能够判断真假的陈述句才是命题。祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、 “p是有理数吗？”、“共产党万岁！”等。 3. 语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键。一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模 棱两可。命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素 的确定性。 2. 命题的表达形式： 命题可以改写成“若，则”的形式，或“如果，那么”的形式。其中是命
题的条件，是命题的结论。 知识点二：四种命题 （一）四种命题的形式 原命题：“若，则”； 逆命题：“若，则”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置； 否命题：“若非，则非”，或“若，则”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定； 逆否命题：“若非，则非”，或“若，则”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定。 要点诠释： 对于一般的数学命题，要先将其改写为“若，则”的形式，然后才方便写出其他形式的命题。 （二）四种命题之间的关系 （1）互为逆否命题的两个命题同真同假； （2）互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系。
充分条件和必要条件的判定 在选修1-1第一章中出现的充分必要条件的判定这节中，我发现同学们对于判定哪一个是哪一个的充分不必要条件等等的判定，存在很大的问题，甚至思路完全是混乱的，这里，我们探讨一下如何判定充分条件和必要条件，以及如何快速的判定各种条件。我们用如下的例题举例： {} q x x <<，问P是Q的什么条件？ :16 <<，{} p x x :35 分析：根据定义，我们发现，当X满足了P，就一定会满足Q。也就是说P可以推出Q。反过来，当X满足了Q，它不一定会满足P，也就是说Q不能推出P。所以P是Q的充分条件，Q不是P的充分条件，P不是Q的必要条件。 所以，P是Q的充分不必要条件。 但是这样去分析，每道题都会占用大量的时间，充分分析一遍，必要分析一遍，不好分析也就罢了，还容易出现错误，所以我们需要一个快速判定的方法。 我们如果将刚才的两个集合画在韦恩图中，我们会发现：P 所代表的范围包含在Q所包含的范围中，也就是说P是Q的子集。 我们发现，当在一个集合的子集中取一个值时，这个值一定是在原集合中的。也就是说，满足子集的数满足原集合，但是反过来，满足原集合的数就不一定会满足子集和。我们在
这里，将子集称作小集合，将原集合称作大集合。于是就有了这样一句话： ①小集合是大集合的充分不必要条件。 拿刚才的P和Q来说，P明显是Q的子集。也就是说，小集合是P，大集合是Q，所以我们可以直接说：P是Q的充分不必要条件。 另外同理我们可以推出来剩下的三个条件判定： ②大集合是小集合的必要不充分条件。 ③两个相等的集合一个是一个的充要条件。 ④两个不存在子集关系的集合一个是一个的既不充分也不必要条件。 这样一总结，是不是就很好判定了呢？
例谈充要条件的证明问题 充要条件是本章的一个重要内容，也是高考及其他考试的一个热点。证明p 是q 的充要条件，，即要证明命题“p q ?”为真，又要证明命题“q p ?”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性。以下两例，供参考。 例1 已知数列{}n a 的前n 项和为(0n n S aq b a =+≠，q 是不等于0和1的常数），求证数列{}n a 为等比数列的充要条件是0a b +=。 分析：证明充分性就是证明条件能推出结论，证明必要性则是证明结论能推出条件。 证明：（1）先证充分性。 ∵0a b +=， ∴n n n S aq b aq a =+=-。 ∵1n n n a S S -=-1()() n n aq a aq a -=---1(1)(1)n a q q n -=->， ∴11 (1)(1)n n n n a a q q a a q q +--=-(1)q n =>， 又∵1a aq a =-，22a aq aq =-， ∴221 a aq aq q a aq a -==-。 故数列{}n a 是公比为q 的等比数列。 （2）再证必要性
∵数列{}n a 为等比数列， ∴1(1)1n n a q S q -=-1111n a a q q q =---。 ∵n n S aq b =+， ∴11a a q =--，11a b q =-。 ∴0a b +=。 综上所述，数列{}n a 为等比数列的充要条件是0a b +=。 评注：证明充要条件，首先要找到条件和结论，如本题“证明数列{}n a 为等比数列的充要条件是0a b +=”说的很明白，条件是0a b +=，结论是数列{}n a 为等比数列。充分性和必要性要逐一证明，并有必要的文字说明。 例2 已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是3322 0a b ab a b ++--=。
判断充要条件的四种常用方法 徐宜昌 一、定义法 定义法即借助“?”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着是充分，即： 1. 若p ?q 但q p ? /，则p 是q 的充分但不必要条件； 2. 若q p p q ??但/，则p 是q 的必要但不充分条件； 3. p ?q 且q ?p ，则p 是q 的既充分又必要条件，即充要条件； 4. p q q p ??//且，则p 是q 的既不充分又不必要条件。 特别要注意，若p ?q ，则有以下说法是等价： ①p 是q 的充分条件； ②q 是p 的必要条件； ③p 的一个必要条件是q ； ④q 的一个充分条件是p 。 例1. αβαβαβ+>>???>>?? ? 442 2是的什么条件？并说明理由。 解：由αβαβαβ>>????+>>?? ? 224 4，但反之不成立。 不妨取αβαβαβ==+>>?? ?1544，，显然满足，但不满足αβαβαβ>>???+>>?? ?224 4 ，即 ?>>?? ?/αβ2 2 。 由定义（即箭头方向）可知，αβαβαβ+>>?? ?>>?? ?442 2 是的必要但不充分条件。 二、传递性法 根据充要关系的传递性来判断的方法叫传递法。 充分条件具有传递性，若A A A A A n n 1231?????-…，则A A n 1?，即 A A n 1是的充分条件。 必要条件也有传递性，若A A A A A n n 1231?????-…，则A A n ?1，即 A A n 1是的必要条件。 当然充要条件也有传递性。因此，对于较复杂的（连锁式）充要关系的判断可用连锁式的传递图示法来解答最为适宜。 例2. 若A 、B 都是C 的充要条件，D 是A 的必要条件，B 是D 的必要条件，则D 是C 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
《充要条件》教学反思 11月20日上午第三节，我在高二（12）班开了《充要条件》这节课。 这节课我的教学目标是首先要让学生充分理解充要条件的含义能判断一些简单的充要条件其次是要让学生加深理解概念，熟悉概念,并会巧妙运用。重点在于充要条件的判断和运用。 在教学过程中，首先先复习上节课学习过的充分条件，必要条件的定义及简单应用，然后由几个实例让学习判其是结论成立的既充分又必要的条件，引出充要条件的概念。由于学生上节课学习过了充分、必要条件，对充要条件的概念的理解也水到渠成。然后让学生思考例3，从中判断是否充要条件，其中（2）题不是，引出总结充分、必要条件的四种结果。然后讲解例4，写出证明充要条件的关键两个步骤，并强调应注意事项。再给出一个相关练习，让学生强化解题过程。做后点评，然后让学生思考在判断四种结果中，其四种命题的真假情况，其中只有充要条件四种命题才都是真的，可以说两个条件等价。从中贯彻等价转换思想。而且开发了另一种充要条件判断的方法。最后给出三个练习，分别是对充要条件的判断、知道充要条件求参数、求一个条件的充要条件。让学习练习后讲评。 经过听课老师们的评课以及自己的深入反思，我总结如下： 这节课是在对教材充分理解的基础上进行的，重难点突出，过渡自然，教态从容自如，课堂气氛活跃，学生很配合，自己掌控课堂的气氛能力相比以前有了很大的进步。需要改进的地方如下： 1、对于学生的提问评价方面，提问学生可以让学生到黑板上板书，如果是口头回答的话，应把其说明的板书在黑板上，这样有利于对学生优点、不足的点评。特别是有多种方法的，可进行比较优化。 2、在总结充分、必要条件的4种结果时，可在后面注上谁能推出谁，谁不能推出谁，使学生更加明确结果，理解更加清晰。 3、对课堂节奏的把握上，让学生思考是必要的，而且应该有一定的间给学生思考，但是思考的时间要把握好，太少学生思考不充分，太多又影响上课的节奏，会影响后面的练习无法完成。
怎样判断和证明有关充要条件问题 判断充要条件常用下面三种方法： 1．定义法：通过定义借助于推出方向判断． 2．等价法：利用原命题与其逆否命题等价，逆命题与其否命题等价来判断；对于条件或结论是不等关系的命题，一般运用等价法． 3．利用集合间的包含关系判断，若A B ?，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若 A B =，则A 是B 的充要条件． 例1．（1）下列四组条件中，甲是乙的充分不必要条件的是（ ）． A ．甲：a >b ；乙： 1a <1 b B ．甲：ab <0；乙：||a b +<||a b - C ．甲：a b =；乙：a b +=．甲：0101 a b <3”是“方程22 133 x y k k -=-+表示双曲线”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：（1）D ．命题A 、C 不是充分条件；命题B 是充要条件． （2）A ．利用集合间的包含关系判断． （3）A ．利用集合间的包含关系判断． （4）A ．由2 44 c b -<12b -+知顶点与坐标原点在同侧，且开口向上，故P 与L 有两个公共点．
充要条件的判断策略 充要条件是高中数学“常用逻辑用语”中的重要概念，它的应用贯穿于数学的各个分支，在其他学科以及生产实践中都有着广泛的应用。同时，充要条件也是高中数学中的一个难点，亦是高考中常考不衰的热点题型。为此，本文针对充要条件的判断，分类解析，并归纳出相应的解题思路，以供参考。 1、利用定义判断 （1）若q p ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； （2）若q p ?且q /?p ，则p 是q 的充分而不必要条件； （3）若p /?q 且q ?p ，则p 是q 的必要而不充分条件； （4）若q p ?且?q p ，则p 是q 的充要条件； （5）若p /?q 且q /?p ，则p 是q 的即不充分也不必要条件。 例1判断下列各题中，p 是q 的什么条件。 （1）0)3)(2(:;02:=--=-x x q x p 。 （2）p ：四边形的四边相等；q ：四边形是正方形。 解：（1）0)3)(2(0)2(=--?=-x x x ；0)3)(2(=--x x /?0)2(=-x （当3=x 时，“?”不成立）。 ∴p 是q 的充分而不必要条件。 （2）四边形是正方形?四边形的四边相等； 四边形的四边相等 四边形是正方形（当四边形是内角不为直角的菱形时，“?”不成立）。 ∴p 是q 的必要而不充分条件。 2、利用真值表判断 “或”、“且”、“非”是三个最基本的逻辑联结词。“或”的含义是：一真必真，都假才假；“且” 的含义是：一假必假，都真才真。 由于复合命题是由简单命题与逻辑联结词“或”、“且”、“非”等构成的，因此利用真值表判断充要条件时，关键是能够将一个复合命题写成逻辑联结词“或”、“且”、“非”连接的与之等价的复合命题的形式。 例2判断命题2 2b a ≠是b a ≠或b a -≠的什么条件。 解：22b a ≠即b a ≠且b a -≠。 由真值表知：q p ∧真p ?真q p ∨?真，但q p ∨真/?q p ∧真。 ∴22b a ≠是b a ≠或b a -≠的充分而不必要条件。 3、利用集合间的包含关系判断 设满足条件p 的元素构成集合A ，满足条件q 的元素构成集合B 。 ?
1.理解命题的概念． 2.了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、 否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义. ★备考知考情 常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一， 考查形式以选择题为主，试卷多为中低档题目， 命题的重点主要有两个： 一是命题及其四种形式，主要考查命题的四种形式及命题的真假判断； 二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断，这也是历年高考命题的重中之重．命题的热点是利用关系或条件求解参数范围问题，考查考生的逆向思维. 一、知识梳理《名师一号》P4 知识点一命题及四种命题 1、命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 注意： 命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感叹句 都不是命题。 2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系． (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关．注意：(补充) 1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题
（1）充分条件： q p ? 则p 是q 的充分条件 即只要有条件p 就能充分地保证结论q 的成立， 亦即要使q 成立，有 p 成立就足够了，即有它即可。 （2）必要条件： q p ? 则q 是p 的必要条件 q p ??q p ??? 即没有q 则没有p ，亦即q 是p 成立的必须要有的条件，即无它不可。 (补充)（3）充要条件 q p ?且q p ?即p q ? 则 p 、q 互为充要条件（既是充分又是必要条件） “p 是q 的充要条件”也说成“p 等价于q ”、 “q 当且仅当 p ”等 (补充)2、充要关系的类型 （1）充分但不必要条件 定义：若q p ?，但p q ?/， 则p 是q 的充分但不必要条件； （2）必要但不充分条件 定义：若p q ?，但q p ?/， 则p 是q 的必要但不充分条件 （3）充要条件 定义：若q p ?，且p q ?，即p q ?， 则p 、q 互为充要条件； （4）既不充分也不必要条件 定义：若q p ?/，且p q ? /， 则p 、q 互为既不充分也不必要条件． 3、判断充要条件的方法：《名师一号》P6特色专题
充分条件与必要条件充要条件 教学目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念.(重点) 2.会用充分不必要条件，必要不充分条件、充要条件.既不充分也不必要条件表达命题间的关系.(重点) 3.会求问题成立的充分条件、必要条件、充要条件，会证明充要条件.(难点、易错点) 教材整理1 充分条件与必要条件 阅读教材P9～P10部分，完成下列问题. 充分条件与必要条件 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若p是q的必要条件，则q是p的充分条件.() (2)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.() (3)x＞a2＋b2(a＞0，b＞0)是x＞2ab的充分条件.() 【答案】(1)√(2)×(3)√ 教材整理2 充要条件 阅读教材P11～P12部分，完成下列问题. 充要条件 1.推出关系：p?q，且q?p，记作p?q. 2.简称：p是q的充分必要条件，简称充要条件. 3.意义：p?q，则p是q的充要条件或q是p的充要条件，即p与q互为充要条件.
课堂练习 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件.( ) (2)若p 是q 的充要条件，则命题p 和q 是两个相互等价的命题.( ) (3)q 不是p 的必要条件时，“p ?/q ”成立.( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ 例题分析 判断下列各题中p 是q 的什么条件？ (1)p ：α＝π3，q ：cos α＝12； (2)在△ABC 中，p ：a ＞b ，q ：sin A ＞sin B ； (3)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是平行四边形. 【精彩点拨】 根据定义法，集合法，等价法作出判断. 【自主解答】 (1)∵α＝π3?cos α＝12，cos α＝12?/α＝π3， ∴p 是q 的充分条件. (2)∵由正弦定理a sin A ＝b sin B ， 知a ＞b ?sin A ＞sin B ，sin A ＞sin B ?a ＞b ， ∴p 是q 的充要条件. (3)∵????? 四边形的对角线相等D ?/四边形是平行四边形，四边形是平行四边形D ? /四边形的对角线相等， ∴p 是q 的既不充分也不必要条件. 小结 充分、必要、充要条件的判断方法 1.定义法 若p ?q ，q ?/p ，则p 是q 的充分条件； 若p ?/q ，q ?p ，则p 是q 的必要条件；