习题
9-1 如图9-9 所示，一质量为700kg 的载货小车以v=1.6m/s 的速度沿缆车轨道下降，轨道的倾角a=15°，运动总阻力系数 f =0.015 ；求小车匀速下降时缆索的拉力。又设小车的制动时
间为t=4s，在制动时小车作匀减速运动，试求此时缆绳的拉力。
图9-9
F T F mg
1
sin 0
F T mg sin F mg sin fmg cos mg (sin f
1
cos )
700 9.8 (sin 15 0 .015 cos15 ) 1676 N
a 1.6
4
0.4 2
m/s
F T 2 F mg sin ma
F T mg sin F ma F T 1 ma
2
1676 700 0.4 1956 N
9-2 小车以匀加速度 a 沿倾角为 a 的斜面向上运动，如图9-10 所示。在小车的平顶上放一重W的物块，随车一同运动，试问物块与小车间的摩擦因数应为多少？
图9-10
y 方向
F N cos W cos F sin 0
F N W F tan W F
N
tan
F
N 1 W tan
x 方向
F N sin F cos W sin ma
F N sin F N cos W sin ma
F N (sin cos ) W sin W
g
a
1 W
tan
(sin cos ) W sin
W
g
a
sin 1
cos
tan
sin
a
g
- 1 -
sin cos sin tan sin a
1 tan g cos tan sin a
1 tan g
1/ cos a
1 tan g
1 a
cos sin g
a
g
(cos sin )
a a cos 分析得
sin g
a
cos
a sin
g
9-3 如图9-11 所示，在曲柄滑道机构中，滑杆与活塞的质量为50kg，曲柄长300mm，绕O轴匀速转动，转速为n=120r/min 。试求当曲柄OA运动至水平向右及铅垂向上两位置时，作用
在活塞上的气体压力。曲柄质量不计。
图9-11
120
2 2 2 2 2
a1 300 (2 ) 4800 πmm/s 4.8πm/s
π
60
F1 ma
1
50 4.8 2 π2369 N
a
2
F2 ma
2
9-4 重物A和B的质量分别为20 kg
m 和40 k g
m ，用弹簧连接，如图9-12 所示。重物A按 A
B
y 的规律作铅垂简谐运动，其中振幅A=10mm，周期T=0.25s 。试求A和B对于支承面
A c os(2 t T)
π
的压力的最大值及最小值。
图9-12
m
A y W
A
F
F m
A y W
A
m
A
y m g
A
m
A
( y g )
F N F W B0
F N W F m y g m
B g m ( ) (m )
B A A B
g m
A
y
(m A m B )g m A A(
2
π
)
T
2
π
2 t
cos(
T
)
- 2 -
60g 20 0.01 (
2 2
ππ
2 t
) cos( ) 0 .25 0.25
588 2 t
1.7cos(8 )
ππ
F max 588 2
0.5
π
714.3 N
F max 588 12.8 2
π461.7 N
9-5 振动筛作振幅A=50mm的简谐运动，当某频率时，筛上的物料开始与筛分开而向上抛起，试求此最小频率。
y A s in( t)
F
N
W my
2
F N m(g y) m[g A sin( t
)]
F N m(g A
min 2 )
抛起时0
F
N min
g A 9.8
0. 05
14 rad/s
9-6 如图9-13 所示。质量为m的小球M，由两根各长l 的杆所支持，此机构以匀角速度绕铅直轴AB转动。如AB=2a，两杆的各端均为铰接，且杆重忽略不计，试求两杆的内力。
图9-13
ml cos 2 F AM cos F
BM
cos
0 F F
AM sin sin
BM
mg
即
F AM F BM ml 2
F
AM F
BM
mgl
a
2
ml( a g)
F AM2a
2
ml(a g)
F BM2a
9-7 为了使列车对于钢轨的压力垂直于路基，在轨道弯曲部分的外轨比内轨稍高，如图9-14
- 3 -
所示。试以下列数据求外轨高于内轨的高度，即超高h。轨道的曲率半径r=300m，列车速度v=60km/h，轨距b=1.435m。
图9-14
2
v
m mg sin mg
h
b
2
v b (60
1000
3600
2
) 1 .435
h 0 .136 m 136 mm
g 300 9.8
9-8 球磨机是利用在旋转筒内的锰钢球对于矿石或煤块的冲击同时也靠运动时的磨剥作用
而磨制矿石粉或煤粉的机器，如图9-15 所示。当圆筒匀速转动时，带动钢球一起运动，待转至
一定角度 a 时，钢球即离开圆筒并沿抛物线轨迹下落打击矿石。已知当54 40' 时钢球脱离圆筒，可得到最大的打击力。设圆筒内径D=3.2m，试求圆筒应有的转速。
图9-15
a D
2
2
mg cos ma m D
2
2
2g cos
D
n 60
2
π
30
π
2g cos
D
30 2
π
1.8cos 54
3.2
40
17 .97 r/ min
9-9 质量为10kg 的物体在变力 F 98(1 t ) ( 单位为N)的作用下运动。设物体的初速度为v0=200mm/s，且力的方向与速度的方向相同，试问经过多少秒后物体停止运动？停止前走了多少路程？
ma F
10a 98(1 t)
a 9 .8(1 t)
- 4 -
v 2
v0 9.8(t t
/ 2)
v 2 2
v0 9 .8(t t / 2) 0.2 9.8(t t
/ 2) 令v 0 得t 2 .02 s
s
1.9
2 3 0 .2t 4 .9t t
3
s 6.935 m
9-10 一人造卫星质量为m，在地球引力作用下，在距地面高h 处的圆形轨道上以速度为v 运行。设地面上的重力加速度为g，地球半径为R，试求卫星的运行速度及周期与高度h 的关系。
F f Mm
2 x
x 时，F mg ，即R
Mm M
mg f f g
2 2
R R
故
F mg 2
R
2 x
F ma m
2 v2 v
m
x
得mg 2 v 2
R
m
2
x x
2
gR
x
v 2
v
2
gR
x
2
gR
R h
v
2
gR
x
2
gR
R h
- 5 -
T 2 R
π(
v
h) (
2
π
R
2
R
h)
g
h
3 R(1 )
R
2
π
g
3
9-11 一物体重W，以初速度v
0 与水平成 a 角抛出，设空气阻力可认为与速度的一次方成正比，F C=kWv。试求物体能达到的最大高度及此时所经过的水平距离。
m
d v
d F mg kWv mg v
y
x F kWv
m
C x x C y y
d t d t
d v
d t
x kgv
x d v
d t
y ( 1)
kv g
y
d v
x d
kg v
x t
dv
y d
g t
(kv 1)
y
1
v
v
y
k x
ln kgt ln kgt
1 v
x0
v
y0
k
v x v 0e
x kgt v
y
(v
y0
1
k
)e kgt
1
k
x v v
x | 0 (1 e
0 kgt t x kgt
e
kg kg
)
y
1
(v )
y 1
k
kgt
(1 e )
t
kg k
当0
v 时，
y e kgt
1
k(v
y0
1
k
)
1
kv
y0
1 kgt ln
1
kv
y0
1
t
ln( kv y0 1)
kg
故
- 6 -
1 (v
)
y 0
k
y [1 kg
1 k(v y 0
1 k
)
] k 1
2 g ln(
kv y 0
1)
(1 k kv ) kv
1
y 0 kv 0
y
ln(
2
2
g
1 kv
k g
y0
y0
1)
v
1
y kv 0
ln(
y0
2
kg k g
1)
v sin
1 0
ln( kv
2
kg
k g
sin 1)
当 y 0
时
s 2g
2
v s i 2n )(
s i n
0 ( kv 0
1)
- 7 -