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【典型题】高中必修二数学下期末模拟试题(附答案)(1)

一、选择题

1．如图，在ABC ?中，已知5AB =，6AC =，1

BD DC =

，4AD AC ?=，则AB BC ?=

A ．-45

B ．13

C ．-13

D ．-37

2．设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则（） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，//m β，则//αβ C ．若//m n ，n α⊥，则m α⊥

D ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥

3．已知()()()sin cos ,02

f x x x π

ω?ω?ω?=+++＞，

＜，()f x 是奇函数，直线

2y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为

，则（） A ．()f x 在3,88ππ??

???

上单调递减 B ．()f x 在0,4π??

???

上单调递减 C ．()f x 在0,

4π??

???

上单调递增 D ．()f x 在3,88ππ??

?上单调递增 4．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的1

是较小的两份之和，则最小的一份为（） A ．

B ．103

C ．

D ．

116

5．已知集合，则

A ．

B ．

C ．

D ．

6．已知{}n a 的前n 项和2

41n S n n =-+，则1210a a a ++

+=（）

A ．68

B ．67

C ．61

D ．60

7．要得到函数23sin 23y x x =+2sin 2y x =的图象（） A ．向左平移3

个单位 B ．向右平移3

个单位 C ．向左平移

个单位 D ．向右平移

个单位

8．已知()20191

1,02log ,0x x f x x x ?+≤?=??>?

，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得

()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（

） A ．(0,1) B ．[-2,0)

C ．(]2,0-

D ．（0,1）

9．已知1sin 34

πα??-= ???，则cos 23πα??

+= ???（）

A ．5

B ．

C ．78

D ．

10．函数()lg ||f x x x =的图象可能是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

11．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（）

A ．①③

B ．②③

C ．①④

D ．②④

12．若函数()(1)(0x

f x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则

()log ()a g x x k =+的图象是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

二、填空题

13．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，若22n

n n S a =-，则n S =__________．

14．已知两个正数,x y 满足4x y +=,则使不等式14

m x y

+≥

恒成立的实数m 的范围是

__________

15．设a ，b ，c 分别为ABC ?内角A ，B ，C 的对边.已知

233a b c

，则222

a c

b ac

+-的取值范围为______. 16．若21cos 3

4πα??-

= ?

，则sin 26πα?

?+= ???________． 17．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____.

18．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1DD 、DC 上靠近点D 的三等分点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是______.

19．已知函数42,0()log ,0

x x f x x x ?≤=?>?，若1

[()]2f f a =-，则a 的值是________.

20．若a 10=

12，a m =2

，则m =______．三、解答题

21．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，且2AE EB =，M 是线段CE 上一动点.

（1）若M 是线段CE 的中点，AM mAB nAD =+，求m n +的值；（2）若9,43AB CA CE =?=，求()

2MA MB MC +?的最小值.

22．在ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ?=，

cos 3

B =，3b =，求：

（1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值.

23．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P

（34

--，

）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=

，求cos β的值． 24．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[)13,14，第二组[)14,15，???，第五组[]

17,18.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.按上述分组方法得到的频率分布直方图.

（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；

（2）设m,n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知[)[]

,13,1417,18.m n ∈?求事件“1m n ->”发生的概率. 25．已知函数()e cos x

f x x x =-．

（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2

上的最大值和最小值．

26．某校高一()1班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．

(1)求分数在[)50,60的频数及全班人数；

(2)求分数在[)80,90之间的频数，并计算频率分布直方图中[)80,90间矩形的高； (3)若要从分数在[)80,100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷

中，至少有一份分数在[

)90,100之间的概率．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】

先用AB 和AC 表示出2

A A

B B

C AB C AB ?=?-，再根据，1

BD DC =

用用AB 和AC 表示出AD ，再根据4AD AC ?=求出A AB C ?的值，最后将A AB C ?的值代入2

A A

B B

C AB C AB ?=?-，，从而得出答案．【详解】

()

A =A A

B B

C AB C AB AB C AB ?=?-?-，

∵1

BD DC =

， ∴111B C ?C B 2

AD A A AD AD A AD A -=-=-+（），整理可得：1

AB 3

AD AC +＝，

221

A A 433

AD AC AB C C ∴??+=＝

∴ A =-12AB C ?，

∴2

=A =122537AB BC AB C AB ??---=-．，故选：D ．【点睛】

本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．

2．C

解析：C 【解析】【分析】

根据空间线面关系、面面关系及其平行、垂直的性质定理进行判断．【详解】

对于A 选项，若//m α，//n α，则m 与n 平行、相交、异面都可以，位置关系不确定；

对于B 选项，若l α

β=，且//m l ，m α?，m β?，根据直线与平面平行的判定定理

知，//m α，//m β，但α与β不平行；

对于C 选项，若//m n ，n α⊥，在平面α内可找到两条相交直线a 、b 使得n a ⊥，

n b ⊥，于是可得出m a ⊥，m b ⊥，根据直线与平面垂直的判定定理可得m α⊥；对于D 选项，若αβ⊥，在平面α内可找到一条直线a 与两平面的交线垂直，根据平面与

平面垂直的性质定理得知a β⊥，只有当//m a 时，m 才与平面β垂直．故选C ．【点睛】

本题考查空间线面关系以及面面关系有关命题的判断，判断时要根据空间线面、面面平行与垂直的判定与性质定理来进行，考查逻辑推理能力，属于中等题．

3．A

解析：A 【解析】【分析】

首先整理函数的解析式为()4f x x πω??

++ ??

?，由函数为奇函数可得4π?=-，

由最小正周期公式可得4ω=，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可. 【详解】

由函数的解析式可得：()4f x x πω??

++ ??

?，

函数为奇函数，则当0x =时：()4

k k Z π

?π+

=∈.令0k =可得4

?=-

因为直线2y =与函数()f x 的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2

π 结合最小正周期公式可得：

ππ

，解得：4ω=.

故函数的解析式为：()2sin 4f x x =.

当3,88x ππ??∈ ???时，34,22x ππ??∈ ???

，函数在所给区间内单调递减；当0,

4x π??

∈ ??

时，()40,x π∈，函数在所给区间内不具有单调性；据此可知，只有选项A 的说法正确. 故选A . 【点睛】

本题主要考查辅助角公式的应用，考查了三角函数的周期性、单调性，三角函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4．A

解析：A 【解析】【分析】

设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，可得345127()a a a a a ++=+，

5100S =，求出3a ，根据等差数列的通项公式，得到关于d 关系式，即可求出结论.

【详解】

设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，依题意可得，15535()

51002

a a S a +=

==， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556

d =

， 1355522033

a a d ∴=-=-

=. 故选:A. 【点睛】

本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.

5．D

解析：D 【解析】试题分析：由

得

，所以

，因为

，所以

，故选D.

【考点】一元二次不等式的解法，集合的运算

【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.

6．B

解析：B 【解析】【分析】

首先运用11,1,2

n n n S n a S S n -=?=?-≥?求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可

得到答案．【详解】

当1n =时，112S a ==-；

当2n ≥时，()

()()2

141141125n n n a S S n n n n n -??=-=-+----+=-??

，故2,1

25,2n n a n n -=?=?-≥?

；

所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >. 因此，

()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S ++

+=-+++++=-=-?-=.

故选：B ．【点睛】

本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.

7．C

解析：C 【解析】【分析】

化简函数223sin 23y x x =+-. 【详解】

依题意2

ππ23sin 232sin 22sin 236y x x x x ??????=+=+=+ ? ????

???，故只需将函数2sin 2y x =的图象向左平移

个单位.所以选C. 【点睛】

本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数图象变换的知识，属于基础题.

8．C

解析：C 【解析】【分析】

画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】

()20191

02log ,0x x f x x x ?+≤?=??>?

，画出函数图像，如图所示：

根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .

【点睛】

本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.

9．C

解析：C 【解析】由题意可得：1

sin sin cos 326

64ππππααα????????-=-+=+=

? ? ???????????，则217cos 2cos 22cos 121366168πππααα??????+=+=+-=?-=- ? ? ?

??????

. 本题选择C 选项.

10．D

解析：D 【解析】【分析】

分析函数()y f x =的定义域、奇偶性及其在()0,1上的函数值符号，可得出结论. 【详解】

函数()lg f x x x =的定义域为{}

0x x ≠，定义域关于原点对称，

()()lg lg f x x x x x f x -=--=-=-，函数()y f x =为奇函数，排除A 、C 选项；

当01x <<时，lg 0x <，此时()lg 0f x x x =<，排除B 选项. 故选：D. 【点睛】

本题考查由函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查推理能力，属于中等题.

11．C

解析：C 【解析】【分析】

用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性. 【详解】

对于①，连接AC 如图所示，由于//,//MN AC NP BC ，根据面面平行的性质定理可知平面//MNP 平面ACB ，所以//AB 平面MNP .

对于②，连接BC 交MP 于D ，由于N 是AC 的中点，D 不是BC 的中点，所以在平面

ABC 内AB 与DN 相交，所以直线AB 与平面MNP 相交.

对于③，连接CD ，则//AB CD ，而CD 与PN 相交，即CD 与平面PMN 相交，所以

AB 与平面MNP 相交.

对于④，连接CD ，则////AB CD NP ，由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .

综上所述，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④. 故选：C 【点睛】

本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.

12．A

解析：A 【解析】【分析】

由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】

∵函数()(1)x

f x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，

∴f (0)=0，∴k =2，经检验k =2满足题意，又函数为减函数，所以01a <<，所以g (x )=log a (x +2)

定义域为x >?2，且单调递减，故选A . 【点睛】

本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

二、填空题

13．【解析】分析：令得当时由此推导出数列是首项为1公差为的等差数列从而

得到从而得到详解：令得解得当时由）得两式相减得整理得且∴数列是首项为1公差为的等差数列可得所以点睛：本题考查数列的通项公式的求法是中

解析：*

2()n n S n n N =∈

【解析】

分析：令1n =，得12a =，当2n ≥ 时，1

1122n n n S a ---=-，由此推导出数列{}2n n

a 是首项为1公差为

的等差数列，从而得到()1

12n n a n -+＝，从而得到n S . 详解：令1n =，得1

1122a a =-，解得12a = ，

当2n ≥ 时，

由22n n n S a =-），得1

1122n n n S a ---=-，

两式相减得(

)()

111

22,n

n n n n n n a S S a a

---=-=--- 整理得

111222n n n n a a ---=，且1

11,2

a = ∴数列{}2n n a

是首项为1公差为12 的等差数列， ()111,22

n n

a n ∴

=+- 可得()1

12,n n a n -=+ 所以()1

2221222.n

n n n

n n S a n n -??=-=+-=???

点睛：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合

理运用．

14．【解析】【分析】由题意将代入进行恒等变形和拆项后再利用基本不等式求出它的最小值根据不等式恒成立求出m 的范围【详解】由题意知两个正数xy 满足则当时取等号；的最小值是不等式恒成立故答案为【点睛】本题考查解析：9

m ≤

【解析】【分析】

由题意将4x y +=代入

x y

+进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m 的范围．【详解】

由题意知两个正数x ，y 满足4x y +=，

则14559144444x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+=，当4y x x y =时取等号； 14x y ∴+的最小值是94

，

不等式

14m x y +≥恒成立，94

m ∴≤．故答案为9

m ≤．【点睛】

本题考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合理拆项再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证．

15．【解析】【分析】把已知式用正弦定理化边为角由两角和的正弦公式和诱导公式化简可求得即角从而得角的范围注意由余弦定理可得结论【详解】因为所以所以即又所以则因为所以而故故答案为：【点睛】本题考查正弦与余弦

解析：()

()0,2

【解析】【分析】

把已知式用正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式化简，可求得cos C ，即

C 角，从而得B 角的范围，注意2

B π

≠

，由余弦定理可得结论．

【详解】

因为

2cos cos a B C

，所以()

()2cos cos cos cos 0a C B B C =?≠，

所以()

2sin cos cos A B C C B =，

即()2sin cos A C C B A +=，又sin 0A >，所以cos 2

C =，则6

C π

，因为cos 0B ≠，所以50,

,226B πππ????

∈ ? ??

???

，

而2222cos a c b B ac +-=，故()

()2220,2a c b ac

+-∈.

故答案为：()

()0,2．

【点睛】

本题考查正弦与余弦定理的应用，考查运算求解能力.本题是一个易错题，学生容易忽略

cos B 不能等于0.

16．【解析】【分析】根据诱导公式将三角函数式化简可得再由诱导公式及余弦的二倍角公式化简即可得解【详解】因为化简可得即由诱导公式化简得而由余弦的二倍角公式可知故答案为:【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数解析：

【解析】

【分析】

根据诱导公式,将三角函数式21

cos 3

4πα??-= ??

?化简可得1sin 64

πα??-= ???,再由诱导公式及余弦的二倍角公式,化简sin 26πα?

+ ??

即可得解. 【详解】因为21cos 3

πα??-

= ??

? 化简可得1cos 624ππα

?--= ???,即1cos 264ππα????--= ????

???

由诱导公式化简得1sin 64πα?

?-= ??

而sin 26πα?

cos 22

6π

πα??=-- ???

cos 2cos 233ππαα???

?=-=- ? ?????

cos 26πα?

?=- ??

由余弦的二倍角公式可知cos 26πα

?- ??

? 212sin 6πα?

?=-- ??

1248

??=-?= ???

故答案为: 78

【点睛】

本题考查了诱导公式在三角函数化简中的应用,余弦二倍角公式的简单应用,属于中档题.

17．【解析】设正方体边长为则外接球直径为【考点】球【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时可恢复为长方体利用长方体的体对角线为外接球的直径求出球的半径；（2）直棱解析：

π 【解析】

设正方体边长为a ，则226183a a =?= ，外接球直径为344279233,ππ

π3382

R a V R ====?=. 【考点】球

【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.

18．【解析】【分析】连接可得出证明出四边形为平行四边形可得可得出异面直线与所成角为或其补角分析的形状即可得出的大小即可得出答案【详解】连接在正方体中所以四边形为平行四边形所以异面直线与所成的角为易知为等解析：60

【解析】【分析】

连接1CD ，可得出1//EF CD ，证明出四边形11A BCD 为平行四边形，可得11//A B CD ，可得出异面直线EF 与11A C 所成角为11BA C ∠或其补角，分析11A BC ?的形状，即可得出

11BA C ∠的大小，即可得出答案.

【详解】

连接1CD 、1A B 、1BC ，

113

DE DF DD DC ==，1//EF CD ∴，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D AD ，//AD BC ，11//A D BC ∴，所以，四边形11A BCD 为平行四边形，11//A B CD ∴，所以，异面直线EF 与11A C 所成的角为11BA C ∠. 易知11A BC ?为等边三角形，1160BA C ∴∠=.

故答案为：60. 【点睛】

本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线法，选择合适的三角形求解，考查计算能力，属于中等题.

19．-1或2【解析】【分析】根据函数值的正负由可得求出再对分类讨论代入解析式即可求解【详解】当时当当所以或故答案为:或【点睛】本题考查求复合函数值认真审题理解分段函数的解析式考查分类讨论思想属于中档题

解析：-1或2 【解析】【分析】

根据函数值的正负，由1

[()]02

f f a =-<，可得()0f a >，求出()f a ，再对a 分类讨论，代入解析式，即可求解. 【详解】

当0x ≤时，()0,f x >1

[()]02

f f a =-

<， 411

[()]log (()),()22

f f a f a f a ∴==-∴=，

当41

0,()log ,22

a f a a a >==∴=，当1

0,()2,12

a f a a ≤==∴=-，所以1a =-或2a =. 故答案为:1-或2. 【点睛】

本题考查求复合函数值，认真审题理解分段函数的解析式，考查分类讨论思想，属于中档题.

20．5【解析】

解析：5 【解析】

5,52a m ==== 三、解答题

21．（1）43；（2）75

- 【解析】【分析】【详解】

（1）因为M 是线段CE 的中点，

所以()

11112222

AM AC AE AD AB AE =

+=++ 112151

223262

AB AB AD AB AD =

+?+=+，故514

623

m n +=

+=. （2）1,3

CA AB AD CE CB BE AD AB =--=+=--

2211

4()33

3CA CE AB AD AD AB AB AB AD AD ???=--?--=+?+ ???

221

AB AD =

+ 222211

94333

AB AD AD +=?+= ||4, 4AD AD BC =?==

故5CE =；

设ME t =，则()505MC t t =-≤≤，

()()222MA MB MC ME EA ME EM MC +?=+++?

()()33535ME MC t t t t =?=--=-

为二次函数开口向上，故最小值在对称轴处取得，即52t =时，()

MA MB MC +?=-. 所以()

2MA MB MC +?的最小值为75

-. 22．（1）3,2a c ==；（2）2327

【解析】

试题分析：（1）由2BA BC ?=和1

cos 3

B =

，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=. 解

，即可求出a ，c ；（2）在ABC ?中，利用同角基本关系得

sin 3

B =

由正弦定理，得2

sin sin 9

c C B b =

，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此27

cos 1sin 9

C C =-=

，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果.

（1）由2BA BC ?=得，

，又1

cos 3

B =

，所以ac=6. 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+. 又b=3，所以2292213a c +=+?=. 解

，得a=2，c=3或a=3，c=2.

因为a>c,∴ a=3，c=2.

（2）在ABC ?中，2212

sin 1cos 1()33

B B =-=-= 由正弦定理，得22242

sin sin 339

c C B b =

=?=

，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1(

)99

C C =-=-=.

于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=1724223

393927

?+?=

. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换. 23．（Ⅰ）4

5；（Ⅱ）5665- 或1665

. 【解析】【分析】

分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得sin α，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得cos α，再根据同角三角函数关系得()cos αβ+，最后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式求结果. 【详解】

详解：（Ⅰ）由角α的终边过点3

4,55P ??-- ???得4

sin 5

α=-，所以()4

sin πsin 5

αα+=-=

. （Ⅱ）由角α的终边过点34,55P ??-- ???得3

cos 5

α=-，由()5sin 13αβ+=

得()12

cos 13

αβ+=±

. 由()βαβα=+-得()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++，

所以56cos 65β=-

或16

cos 65

β=

. 点睛：三角函数求值的两种类型

(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 24．（1）29人；（2）35

．【解析】【分析】

（1）根据频率分布直方图，良好即第二三两组，计算出第二三两组的频率即可算出人数；

（2）结合频率分布直方图，计算出[)[]

13,1417,18，

两组的人数，1m n ->即两位同学来自不同的两组，利用古典概型求解概率即可. 【详解】

（1）由直方图知，成绩在[14,16)内的人数为：500.20500.3829?+?=（人），所以该班成绩良好的人数为29人；

（2）由直方图知，成绩在[13,14)的人数为500.063?=人；成绩在[17,18]的人数为500.042?=人；.

事件“1m n ->”发生即这两位同学来自不同的两组，此题相当于从这五人中任取2人，求这两人来自不同组的概率

其概率为11

232

563

105

C C P C ===. 3(1)5

P m n ->=

【点睛】

此题考查用样本的频率分布估计总体分布；利用频率直方图求相关数据；古典概型及其概率的计算．

25．(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2

π-. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式

00y f f x 中即可；（Ⅱ）设()()h x f x ='，求()h x '，根据()0h x '<确

定函数()h x 的单调性，根据单调性求函数的最大值为()00h =，从而可以知道

()()0h x f x '=<恒成立，所以函数

()f x 是单调递减函数，再根据单调性求最值.

试题解析：（Ⅰ）因为()e cos x

f x x x =-，所以()()()e cos sin 1,00x

f x x x f -''=-=.

又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()

0,0f 处的切线方程为1y =. （Ⅱ）设()()e

cos sin 1x

h x x x =--，则

()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x =--=-'-.

当π0,

2x ??

∈ ??

时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2??????

上单调递减.

所以对任意π0,

2x ??

∈ ??

?有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2

??????

上单调递减.

因此()f x 在区间π0,2?

?????

上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ

??=- ???.

【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过()f x '不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()h x f x ='，再求()h x '，一般这时就可求得函数()h x '的零点，或是

()0h x '>(()0h x '<)恒成立，这样就能知道函数()h x 的单调性，再根据单调性求其最

值，从而判断()y f x =的单调性，最后求得结果. 26．（1）2，25；（2）0.012；（3）0.7. 【解析】【分析】

(1)先由频率分布直方图求出[)50,60的频率，结合茎叶图中得分在[)50,60的人数即可

求得本次考试的总人数；(2)根据茎叶图的数据，利用(1)中的总人数减去[

)50,80外的人数，即可得到[)50,80内的人数，从而可计算频率分布直方图中[

)80,90间矩形的高；

(3)用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意得基本事件个数，利用古典概型概率

计算公式即可求出结果．【详解】

(1)分数在[)50,60的频率为0.008100.08?=，

由茎叶图知：

分数在[

)50,60之间的频数为2，

∴全班人数为

250.08

=． (2)分数在[)80,90之间的频数为25223-=；

频率分布直方图中[

)80,90间的矩形的高为

100.01225

÷=． (3)将[)80,90之间的3个分数编号为1a ，2a ，3a ，[)90,100之间的2个分数编号为

高中数学必修2综合测试题

正视图侧视图俯视图 2 1 1 高中数学必修2综合测试题文科数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.若直线1=x 的倾斜角为α，则=α( )． A ．0 B.3 π C ．2π D ．π 2．已知直线1l 经过两点)2,1(--、)4,1(-，直线2l 经过两点)1,2(、)6,(x ，且21//l l ，则=x （ )． A ．2 B ．－2 C ．4 D ．1 3.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )． A ．π25 B ．π50 C ．π125 D ．π200 4.若方程02 2 =++++k y x y x 表示一个圆,则k 的取值范围是( ) A.21> k B.21≤k C. 2 1 0<

高中数学必修2测试题附答案

数学必修2 一、选择题 1、下列命题为真命题的是（） A. 平行于同一平面的两条直线平行； B.与某一平面成等角的两条直线平行； C. 垂直于同一平面的两条直线平行； D.垂直于同一直线的两条直线平行。 2、下列命题中错误的是：（） A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β； B. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β； C. 如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β； D. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l ⊥γ. 3、右图的正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’ 中,异面直线AA ’与BC 所成的角是（） A. 300 B.450 C. 600 D. 900 4、右图的正方体ABCD- A ’B ’C ’D ’ 中，二面角D ’-AB-D 的大小是（） A. 300 B.450 C. 600 D. 900 5、直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（） A.a=2,b=5; B.a=2,b=-5; C.a=-2，b=5 D.a=-2，b=-5 6、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（） A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 7、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（） A 4x+3y-13=0 B 4x-3y-19=0 C 3x-4y-16=0 D 3x+4y-8=0 8、正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（） A.3 a π; B. 2 a π; C.a π2; D.a π3. A B D A ’ B ’ D ’ C C ’

人教版高中数学必修二测试卷

高中数学必修二检测题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间90分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 、一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为4∶9，则此棱锥的侧棱被分成上下长度两部分之比为（） A ．4∶9 B ．2∶1 C ．2∶3 D ．2∶5 2 、如果实数x ，y 满足22 (2)3x y -+=，那么y x 的最大值是（） A 、3 B 、3- C 、33 D 、33 - 3 、已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 4 、如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（） A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:9 5 、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为（）俯视图主视图侧视图 A.24πcm 2，12πcm 3 B.15πcm 2，12πcm 3 C.24πcm 2，36πcm 3 D.以上都不正确 6 、棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．平行或相交 D ．不相交

7 、直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（） A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1) D ．(2,1) 8 、两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（） A ．4 B C D 9、直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（） (A)2 2 (B)4 (C)2 4 (D)2 10、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11AC 与1B C 成60角 11 、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ?M ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有 A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 12 、点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（） (A) 11<<-a (B) 10<-