振动的数学分析汇总

《振动的数学分析》

简谐振动的运动学

本节主要讲解 ：根据简谐振动的动力学方程求其运动学方程，并讨论简谐运动的运动学特征。 一 . 简谐振动的运动学方程

由牛顿第二定律知：x m k m F a -== 即：022=+x m k dt x d 再令m k =2

0ω得：020

22=+x dt x d ω

方程02

022=+x dt

x d ω的通解为 ：

⑴

⑴ 式就是简谐振动的运动学方程， 该式又是周期函数，故简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。 二 . 描述简谐振动的物理量 1 . 周期（ T ）

完成一次全振动所用的时间：

对弹簧振子：k

m T π

ω

π

22==

2. 频率（ ）

单位时间内完成的全振动的次数：

的含义：

个单位时间内完成的全振动的次数，即： 圆频率 。

3. 振幅

物体离开平衡位置的最大位移。

振幅可以由初始条件决定。如： t=0 时刻， ，

由⑴式可得：αcos 0A x =, αωsin 00

0A dt

dx v t x -==

=

∴ ⑵

4. 位相和初位相

振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度。但仅知振幅频率还不够，还须知道φ才能完全决定系统的运动状态。

叫简谐振动的相位 。

当

时，

叫 初相位 。

由：

⑶

若：已知初始条件：

，则 ⑶式有：

⑷

⑸

⑷，⑸式中的任意一个即可确定初位相。

相位差 ：两振动相位之差 。

讨论 ：

⑴若 是 的整数倍，则振动同相位；

⑵若 是

奇数倍，则振动相位相反；

⑶若 ，则称 超前 ；

⑷若

，则称

落后

。

相位差的不同，表明二振动有不同程度的参差错落，振动步调不同。

例 1 ：一弹簧振子， 时， 求振动的初位相 。

解 ：

∴ 在第一象限，

例 2 ：讨论振动的位移，速度和加速度之间的关系。

解 ：

设：αωφ+=t x 0，

2

0π

αωφ+

+=t v παωφ++=t a 0

则：

所以：速度的位相比位移的位相超前 2

π 加速度的位相比速度的位相超前

2

π； 加速度的位相比位移的位相超前

。

理解 ： 加速度对时间的积累才获得速度，速度对时间的积累获得位移。 总结 ：

⑴ 简谐振动是周期性运动；

⑵ 简谐振动各瞬时的运动状态由振幅 A 圆频率

及初相位

决定，或者说，由振幅和相位决定。

⑶ 简谐振动的频率是由振动系统本身固有性质决定的，而振幅和初相位不仅决定于系统本身性质，

而且取决于初始条件。

三 . 简谐振动的图象 ：

图线

描述：质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移。

中学里经常做正弦、余弦函数的图象，故不再多讲，请看书。 四 . 简谐振动的矢量表示法 ： 用旋转矢量的投影表示简谐振动。 如图示：

为一长度不变的矢量，

的始点在坐标轴的原点处，记时起点 t=0 时，矢量

与坐标轴的夹角

为

，矢量

以角速度

逆时针匀速转动。

由此可见：⑴匀速旋转矢量在坐标轴上的投影即表示一特定的简谐振动的运动学方程。

⑵矢端的速度大小为

，在 x 轴上的投影为：

⑶矢端沿圆周运动的加速度即向心加速度的大小为：

，在 x 轴上的投影：

总结 ： 旋转矢量、旋转矢量端点沿圆周运动的速度和加速度在坐标轴上的投影等于特定的简谐振动的位移、速度和加速度。因此，用旋转矢量在坐标轴上的投影描述简谐振动的方法叫简谐振动的矢量表示法。

一 . 同方向同频率简谐振动的合成

设质点参与同方向同频率的两个简谐振动：

A v 00ω=0

a

合位移：

令：

∴上式= ⑴

⑴式表明：同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其频率和分振动频率相同。

或者：由简谐振动的旋转矢量法表示：、以频率旋转，、之间的夹角不变，

也以旋转，平行四边形的形状不变。

讨论：

⑴若相位差，即同相位，则：，振幅最大；

⑵若相位差，即反相位，则：，振幅最小；

⑶一般情况下，振幅A 介于与之间。

同方向同频率简谐振动的原理，在光波、声波等的干涉和衍射中很有用。

二. 同方向不同频率简谐振动的合成

若：两振动的周期之比：，n ，m 有最小公倍数，则：二振动合成后仍有周期，但不是简谐振动, 由旋转矢量图可知。

若：周期之比, 不是整数比（如：无理数之比) ，则合振动没有周期性。

为了简单方便，设：

⑵

假如：，则：的周期远大于的周期。

令：

则⑵式就成为：

⑶

⑶式可以看作：振幅按照缓慢变化的，而圆频率等于的准简谐振动。即：振幅有周期变化的简谐振动。

令：叫平均圆频率，

叫调制圆频率。

⑶式就成为：

式即：合振动为圆频率等于平均圆频率的“简谐振动”，其振幅作缓慢的周期变化。

拍：振动方向相同，频率之和远大于频率之差的两个简谐振动合成时，合振动振幅周期变化的现象叫拍。

合振动变化一个周期叫一拍；单位时间内拍出现的次数叫拍频。

不论达到正的最大或负的最大，对加强振幅来说，都是等效的，因此拍的圆频率为调制圆频率的两倍：

∴

∴拍频为：

问题：若二分振动的振幅不同，但初位相仍都为零，则合振动仍会形成拍吗?

三. 互相垂直相同频率简谐振动的合成

二分振动方程如下：

⑷

合成的振动表示：质点既沿轴运动，又沿轴运动，实际上在平面上运动。⑷式中消去时间t ，得质点运动的轨迹：

⑸

此为一椭圆的轨迹方程，椭圆的形状大小及长短轴方位由振幅和以及初位相差所决定。

讨论：

（１）分振动相位相同或相反时

①. 相位相同，即：或

则⑸式成为：

⑹

则⑹式即为：合振动的轨迹为过原点且在一、三象限的直线。合振动任

意一点的位移r 为：

上式表明合振动也是简谐振动，与分振动频率相同，但振幅为

。

②. 相位相反，即：，k 为奇数

则⑸式成为：

⑺

则⑺式即为：合振动的轨迹为过原点，且在二、四象限的直线。合振动任一点的位移为：

上式表明：合振动也是简谐振动，与分振动频率相同。 （２） 相位差为

2

π

时，⑸式成为：

⑻

则⑻式表明：合振动的轨迹为以 和

轴为轴的椭圆。

若2

21π

αα=

-，即 方向的振动比

方向的振动超前

2

π

，即：

??? ?

?

++=2cos 201παωt A x (

)202c o s αω+=t A y

如某一瞬间， ，则：

。经过很短的时

间后，

略大于 0 ， y 将略小于

为正，而

大于 ， 为负，故质点运动到第二象限，即质点沿椭圆逆时针方向运动。反之，若

2

12π

αα=

- 质点沿椭圆顺时针方向运动。

（３）振幅相等，频率相同，相位差为2

π

时

合振动的轨迹为一圆周运动：

总之 ：两振动方向垂直、频率相同的简谐振动，合振动的轨迹为直线、圆或椭圆，轨迹的形状和运动方向由分振动的振幅和相位差决定。

四 . 互相垂直、不同频率简谐振动的合成 利萨如图形

一般来说，互相垂直的分振动频率不同的条件下，合振动的轨迹不能形成稳定的图案。但如果分振动的频率成整数比，则合振动的轨迹为稳定的曲线，曲线的花样和分振动的频率比、初位相有关，得出的图形叫利萨如图形。

利萨如图形的应用：利用利萨如图形的花样判断二分振动的频率比，再由已知频率测量未知频率。

例题 ： 弹簧下面悬挂物体，不计弹簧质量和阻力，证明在平衡位置附近的振动是简谐振动。

解：以弹簧和物块静止时的位置为原点 ，此时弹簧的伸长长

度为 ，设物块处于任一位置 时：

此为简谐振动的动力学微分方程。

阻尼振动

振动系统因受阻力而作振幅减小的运动叫 阻尼振动 。 一 . 阻尼振动的动力学方程

假设：振动速度较小时，摩擦力正比于质点的速率。即：

对物块应用牛顿第二定律：

令

⑴

为二阶线性常系数齐次方程，即阻尼振动的动力学方程。 二 . 阻尼振动方程的解 上述⑴式方程的特征根：

1. 欠阻尼时 即：

，则：

，

通解为： )cos()(αωβ+'=-t Ae t x t

(2)

22ωπωπ=>'=

'T T 说明由于阻力作用振动变慢（与无阻力时相比） 振幅为

随时间的推移，呈指数递减，

越大，振动衰减越快；

越小，振幅衰减越慢。

定义：T Ae

Ae D T t t

'=='+--βββ)

(ln 表示阻尼大小的标志，称对数减缩，即经过一个周期后，振幅的衰减系数。

2. 过阻尼状态 即：

，则方程的通解为：

t

t

e

C e C t x )(2)(12

022

02)(ωββωββ-+----+= ⑶

其中：

、

由初始条件决定。

随时间的推移，质点坐标单调地趋于零。质点运动是非周期的，甚至不是往复的。将质点移开平衡位

置后释放，质点便慢慢回到平衡位置停下来，即过阻尼状态。 3. 临界阻尼状态

即： ，则方程的通解为：

t e t C C t x β-+=)()(21 ⑷ 其中：

、

由初始条件决定。

此种状态，质点仍不往复运动。由于阻力较前者小，质点移开平衡位置释放后，质点很快回到平衡位置并停下来。 如图示。

应用 ：例如：天平的指针最好处于临界阻尼状态。（理想）

电流表、电压表的指针最好处于临界阻尼状态，有时处于欠阻尼状态。 练习题 ：某阻尼振动的振幅经过一周期后减为原来的3

1

，问振动频率比振动系统的固有频率少几分之几？（弱阻尼状态）

受迫振动

振动系统在连续的周期性外力作用下进行的振动叫 受迫振动 。 一 . 受迫振动的动力学方程 设质点受到：弹性力kx -，阻尼力dt

dx

γ

-，周期性外力（驱动力）t F t F ωcos )(0=。 由牛二定律得：t F dt dx kx dt x d m ωγcos 022+--= 令： m k =2

0ω m γβ=2 m F f 00= 上式变为：t f x dt dx dt

x d ωωβcos 202

022=++ ⑴ ⑴式就是受迫振动的动力学方程形式 ，是一个二阶常系数线性非齐次微分方程 。

二 . 受迫振动动力学方程的解 1. 方程的通解（齐次方程的通解）

设：0ωβ<，欠阻尼状态，则与受迫振动动力学方程对应的齐次微分方程的通解为：

其中：220βωω-=

'，

和 由初始条件（初位置与初速度）决定。

2. 特解（非齐次方程）

其中：

、

待定，方法是将)(1t x 代入方程来确定；而

、

是由初始条件来确定的参数。

3. 非齐次方程的通解：

⑵

下面来确定

和

：

代入非齐次方程中得：

利用两角和的正、余弦公式展开得：

()()()t

f t t A t t A t t A ωφωφωωφωφωβωφωφωωcos sin sin cos cos sin cos cos sin 2sin sin cos cos 0120

112=-++---

?????=--=+--?0

sin cos 2sin cos sin 2cos 2

0111202

01112φωφβωφωφωφβωφωA A A f A A A

∴?????+-=--=2

2222001

2204)(2tan ωβωωωωβωφf A ； (3) 讨论 ：受迫振动方程⑴式的解：⑵式由二项之和组成。第一项表示阻尼振动随着时间的增加而趋于零；第二项是简谐振动，振幅为1A ，频率为ω。随着时间的增加，第一项的阻尼振动可忽略不计，质点进行由第二项所决定的与驱动力同频率的振动（称为受迫振动），不是固有的简谐振动。【因为

不是系统固有的频率0ω，而是策动力(即：驱动力)的频率】 ，（3）式中的1A 是受迫振动的振幅，φ是受迫振动的位移相位与驱动力相位之差（因驱动力的初位相为0，这里表示为受迫振动位移初相） 另外，用矢量图法也可求得1A 和φ：由图可知相位矢量落后于 ，而F x φφφ-=，故

0<<-φπ，且有：

????

?????

+-=∴=+---=222220012021222122202204)(4)(2tan ωβωωωβωωωωβωφf A f A A 4. 稳态解的位相

由上图可知：

（

左右等号分别为∞→ω和0→ω时的极限情况）

讨论 ： ① 策动力频率

时：

即：稳定状态振动的位移与驱动力的相位差为零，二者同步。 ②0ωω<时，0cos ,0sin ><φφ ，2

0π

φ->>在第四象限，即：位移的相位落后于驱动力的相位

③0ωω=时，0cos ,1sin =-=φφ ，2

π

φ-

=，即：位移的相位落后于驱动力的相位

2

π。 ④ 0ωω>时，0cos ,0sin <<φφ，2

π

φπ-<<-在第三象限。位移的相位落后于驱动力的相位

⑤

时，1cos ,0sin -→→φφ，πφ-→，即：位移的相位落后于驱动力的相位π，即二

者相位相反。

关于受迫振动位移与驱动力的相位差和驱动力频率的关系如图所示。

三 . 位移共振

利用微分法关于极大值的判据： 对于可导函数在某处，若一阶导数等于 0 ，二阶导数小于 0 ，则该点为函数的极大值点。若一阶导数等于 0 ，二阶导数大于0 ，则该点为函数的极小值点。 由（3）式中的2222200

14)(ωβωω+-=f A ，考虑1A 随ω的变化规律，两边对ω求导得：

ωβωωωβωωω

)2(]4)[(2222

023

22222001--+-=-f d dA 两边对ω再求导得： )

23(]4)[(2)2(]4)[(1222202

3

22222002222202

5

22222002

12βωωωβωωωβωωωβωωω--+-++--+-=--f f d A d 令

01=ω

d dA 可得驻点0=ω或22

2βωω-= 讨论： ①若2

00

ωβ<

<的欠阻尼情况，驻点0=ω对应的02

1

2>ωd A d ，1A 为极小值200ωf ；而驻点

-

2

20

2βωω-=对应的02

12<ω

d A d ，1A 为极大值22

00max 12/βωβ-=f A 这种振动系统受迫振动时，振幅达极大值的现象叫位移共振。综上所述： 位移共振条件：驱动力的圆频率为：2202βωω-=r ⑷

共振的振幅：220012/βωβ

-=f A r

由此可知：位移共振频率小于（并不等于）系统的固有频率0ω，β越大则r ω越小（r A 1也越小），仅当阻尼无限小时，共振频率无限接近于固有频率。当0→β时，∞→r A 1产生极激烈的位移共振。 共振时，位移与驱动力的相位差（F x r φφφ-=）：

将⑷反代入（3）式可得：β

βωφ2202tan --=r （5）

由（5）式知：当0→β时的共振 ，-∞→r φtan 2

π

φ-→r 即位移比驱动力落后

2

π

，而位移比速度也落后

2π

，则驱动力与速度同相位，驱动力做功的功率恒为正。对于2

00ωβ<<的一般情况下的共振，0tan

0π

φ-

>>r 即2

0π

φφ-

>->F x ，又因为2

π

φφ-

=-v x 联立可得：

02

>->F v φφπ

即共振时速度相位比驱动力相位超前一个锐角（并非想象中的始终同相位）

。 若定要保证驱动力与速度始终同相位，即令（3）式中2

πφ-

→可得0ωω→反代入（3）

式可得0

012βωf A =

，显然r A A 11<，此时反倒算不上共振了。事实上能量补充的多少不能只考虑驱

动力与速度相位关系，还应考虑振幅大小（关系到力程长短）、周期的长短、还有耗散阻力做功的情况，共振时虽然驱动力与速度不总是同方向（功率时正时负）但11A A r >且02202ωβωω<-=r ，

周期长，总的看做功多（由数学分析知），这没有实质性的矛盾！

②若2

ωβ=

（仍属于欠阻尼）情况，则只有一个驻点022

2

=-=βωω且对应的02

1

2=ωd A d 考察0>ω时

01

<ω

d dA 故1A 为减函数。在0=ω时，函数取最大值200ωf ③若2

0ωβω>

>（仍属于欠阻尼）情况，也只有一个驻点0=ω（因2202βωω-=

根号下

为负数不能开方），对应的02

1

2<ω

d A d ，1A 为极大值200ωf ④若0ωβ=的临界阻尼情况，仍然也只有一个驻点0=ω（因2202βωω-=

根号下为负数不

能开方），对应的02

1

2<ωd A d ，1

A 为极大值200ωf ⑤若0ωβ>的过阻尼情况，仍然还是只有一个驻点0=ω（因2202βωω-=

根号下为负数不

能开方），对应的02

1

2<ωd A d ，1

A 为极大值200ωf ；以上③④⑤的情况函数的单调性类似， 1A 都为减函数，只不过对于同样的0f 、0ω、ω而言，β越大，1A 应该越小。

综上所作①→

四 . 受迫振动的能量转换

由于弹簧弹性力是保守力，动能和势能互相转化，不影响总机械能。如果阻力做负功，使机械能损失。 那么驱动力做功如何呢？下面我们来分析： t F F ωcos 0=所以，稳定态振动时位移为：

()φω+=t A x cos 0

)2

cos()sin(00π

φωωφωω++=+-==

?

t A t A dt dx x 当

与

同相位时，

做功恒为正，不同相位时，做功时正时负。

讨论：

0→β时，若与 同相位2

02

π

φπ

φ-

=?=+

，则机械能增加，振幅增大，直到无穷。

若不同相位，则开始时振幅增大，后来稳定在某一值（此时驱动力正负功相抵消）。

0>β时，若（4）、（5）满足，则发生共振，否则是一般的受迫振动，但无论怎样最后都是振

幅稳定的机械振动。当稳定时，包括驱动力做功时正时负（其总功为正）的情况，驱动力做功与耗散阻力做功相抵消，稳定时机械能也不变。

数学分析知识点总结

数学分析知识点总结 数学分析是数学中最重要的一门基础课，是几乎所有后继课程的基础，在培养具有良好素养的数学及其应用方面起着特别重要的作用。下面是小编整理的数学分析知识点总结，欢迎来参考！ 从近代微积分思想的产生、发展到形成比较系统、成熟的“数学分析”课程大约用了300 年的时间，经过几代杰出数学家的不懈努力，已经形成了严格的理论基础和逻辑体系。回顾数学分析的历史，有以下几个过程。从资料上得知，过去该课程一般分两步：初等微积分与高等微积分。初等微积分主要讲授初等微积分的运算与应用，高等微积分才开始涉及到严格的数学理论，如实数理论、极限、连续等。上世纪50 年代以来学习苏联教材，从而出现了所谓的“大头分析”体系，即用较大的篇幅讲述极限理论，然后把微积分、级数等看成不同类型的极限。这说明了只要真正掌握了极限理论，整个数学分析学起来就快了，而且理论水平比较高。在我国，人们改造“大头分析”的试验不断，大体上都是把极限分成几步完成。我们的做法是：期望在“初高等微积分”和“大头分析”之间，走出一条循序渐进的道路，而整个体系在逻辑上又是完整的。这样我们既能掌握严格的分析理论，又能比较容易、快速的接受理论。 我们都知道，数学对于理学，工学研究是相当重要。在中国科技大学计算机应用硕士培养方案中，必修课：组合数学、算法

设计与分析，高级计算机网络、高级数据库系统，人工智能高级教程现代计算机控制理论与技术。山西大学通信与信息系统硕士培养方案中，专业基础课： （1）矩阵理论 （2）随机过程 （3）信息论与编码 （4）现代数字信号处理 （5）通信网络管理：其中有运筹学内容，属于数学。 （6）模糊逻辑与神经网络是研究非线性的数学。 大连理工大学微电子和固体电子硕士培养方案中，必修课：工程数学，专业基础课：物理、半导体发光材料、半导体激光器件物理西北大学经管学院金融硕士培养方案中，学位课：中级微观经济学（数学）中级宏观经济学中国市场经济研究经济分析方法（数学）经济理论与实践前沿金融理论与实践必须使用数学的研究专业有：理工科几乎所有专业，分子生物学，统计专业，（理论、微观）经济学，逻辑学而这些数学的基础课就有一门叫做数学分析的课程！数学是所有学科的基础，可以说自然学科中的所有的重大发现和成就都离不开数学的贡献，而数学分析是数学中的基础！基础中的基础！ 正因为如此，我深刻地认识到基础的重要性。经过本学期，我已学习了极限理论，单变量微积分等知识，其中极限续论是理论要求最高的，积分学是计算要求最高的部分。两者均是我学习

减数分裂知识点归纳

减数分裂和有性生殖知识点归纳 一、减数分裂的概念 1、范围：凡是进行有性生殖的生物； 2、时期：在从原始的生殖细胞发展到成熟的生殖细胞的过程中； 3、特点：细胞连续分裂两次，而染色体只复制一次； 4、结果：新产生的生殖细胞中的染色体数目比原始生殖细胞中的数目减少了一半。 （注：原始生殖细胞既可进行有丝分裂，又可进行减数分裂） 二、减数分裂的一般过程（动物） 分裂间期：染色体复制 前期Ⅰ：联会、四分体（非姐妹染色单体交叉、互换）减数第一次分裂（Ⅰ）中期Ⅰ：四分体排在赤道板上 减后期Ⅰ：同源染色体分离（非同源染色体自由组合） 数末期Ⅰ：染色体、DNA数目减半 分间期Ⅱ：短暂，遗传物质不复制 裂前期Ⅱ：（对二倍体生物而言，已无同源染色体）减数第二次分裂（Ⅱ）中期Ⅱ：非同源染色体排在赤道板上 后期Ⅱ：着丝点断裂，姐妹染色单体分开 末期Ⅱ：DNA数目再减半 三、精子的形成过程 四、卵细胞的形成过程 五、精子、卵细胞产生过程的异同： 1、相同点：①都是性细胞（配子）②都经减数分裂产生 2、不同点：①卵原细胞两次分裂为不均质分裂（极体均质），精原细胞的分裂为均质分裂； ②1个卵原细胞产生1个卵细胞，1个精原细胞产生4个精子；

③精子的形成需变形，卵细胞的形成不变形。 六、配子种类（只考虑非同源染色体的自由组合，不考虑交换） （1）可能产生精子的种类：2n种 1个精原细胞（2）实际产生精子的种类：2种 （含n对同源染色体）（同一个次级精母细胞产生的两个精子是相同的） 1个雄性个体（含n对同源染色体）产生精子的种类：2n种 （1）可能产生卵细胞的种类：2n种 1个卵原细胞（2）实际产生卵细胞的种类：1种 （含n对同源染色体）（1个卵原细胞只能产生一个卵细胞） 1个雌性个体（含n对同源染色体）产生卵细胞的种类：2n种 七、减数分裂中染色体、DNA数目变化曲线图 有丝分裂与减数分裂曲线的区别： 有丝分裂：起点与终点（染色体或DNA）数目相同； 减数分裂：起点（染色体或DNA数目）是终点的两倍。 DNA与染色体曲线的区别： DNA曲线有斜线（间期复制），染色体曲线没有斜线。 如图，BC段和JK段为斜线，则该图为DNA变化曲线； 曲线起点为A和I，终点为G和P， 则A→G为减数分裂，I→P为有丝分裂，G→I为受精作用。 如图，图中没有斜线，因此为染色体变化曲线； 起点为A和E，终点为E和K， 则A→E为有丝分裂，E→K为减数分裂， 八、通过图像、曲线判断分裂方式、所处时期——三看识别法（二倍体生物） 一看同源→有同源染色体：有丝分裂和减数第一次分裂，无同源染色体：减数第二次分裂 二看特殊行为→有联会或同源染色体分离等特殊行为的是减数第一次分裂， 没有特殊行为的是有丝分裂 三看是否均等分裂→均等：初（次）级精母细胞或第一极体 不均等：初（次）级卵母细胞 九、同源染色体的特点 ①来源：一条来自父方，一条来自母方 ②形态、大小一般相同 ③行为：减数分裂过程中一定两两配对（即联会）

小学数学分数知识点总结

小学数学（分数）知识点总结 1、分数的意义 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。 在分数里，中间的横线叫做分数线;分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份;分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。 把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。 2、分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。 3、分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。 4、比较分数的大小: ⑴分母相同的分数，分子大的那个分数就大。 ⑵分子相同的分数，分母小的那个分数就大。 ⑶分母和分子都不同的分数，通常是先通分，转化成通分母的分数，再比较大小。 ⑷如果被比较的分数是带分数，先要比较它们的整数部分，整数部分大的那个带分数就大;如果整数部分相同，再比较它们的分数部分，分数部分大的那个带分数就大。

5、分数的分类 按照分子、分母和整数部分的不同情况，可以分成：真分数、假分数、带分数 ⑴真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。 ⑵假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。 ⑶带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。 6、分数和除法的关系及分数的基本性质 ⑴除法是一种运算，有运算符号;分数是一种数。因此，一般应叙述为被除数相当于分子，而不能说成被除数就是分子。 ⑵由于分数和除法有密切的关系，根据除法中“商不变”的性质可得出分数的基本性质。 ⑶分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数(0除外)，分数的大小不变，这叫做分数的基本性质，它是约分和通分的依据。 7、约分和通分 ⑴分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。 ⑵把一个分数化成同它相等但分子、分母都比较小的

(完整版)数学分析知识点总结第二章

第二章 1数列极限的概念 定义（1）；设{n a }为数列，a 为定数。若对任给的的正数， 总存在正整数n.使得当n f N 时，有|a n -a|0.?N,当n ≥N 时，有|a n -a|N 时，N=100，自然N=|0|也成立，所以，N 不是唯一确定的。 1. 定义（1）；0.a;){a }n ??f U 任给若在（之外数列中的项至多有有限个。则称数列{a }n 收敛于a 。定义1的否定：存在00?p ，若在N a;){a }{a } a.n ?（之外的数列中的项有无穷多个，则称数列不收敛于，而不能说明N {}a 无极限。 注意：定义1 通常用来说明数列无极限，而定义1 的否定只说明{a }a {a }n n 不收敛于，而不能说明无极限。 定义（2）：若lima 0,{a }n n x →∞ =则称为无穷小数列。 定理2.1；数列{a n }收敛于a 的充要条件是： {}n a a -为无穷小数列。定义{a }0N n N a |n n ?M M f f f 满足：对，总存在正整数，始得当时，有|成立 则称数列{a }lima n n x →∞ =∞发散与无穷大，记坐。 注意：无穷大数列只是无极限的一种。随记坐n lim ,{a }n x a →∞=∞但仍为发散数列，无极限给定数列，得到数列{b }n 。则数列{}n a 与

振动诊断标准

第十章参考标准 为了方便现场诊断查找使用，我们把收集到的各类有代表性的诊断标准，按照国际标准化组织、国际电工委员会、相关国家标准和诊断对象分类列出，同时把属于同类设备的有关标准排列在一起，它们在数值上可能有些差异，我们可以根据诊断对象的具体情况参照选用。在每个标准后面，以“注”的形式简要说明了该标准的主要特点、约束条件及应用范围。 第一节国际标准化组织（ISO）的相关标准文件 一、可予采用的国际标准 ISO 1925机械振动——平衡——名词术语 ISO 1940（全部）机械振动——刚性转子的平衡品质要求 ISO 2017-1机械振动与冲击——弹性安装系统——第一部分：主动与被动隔离的应用 ISO 2041振动与冲击——名词术语 ISO 2954旋转与往复机器的机械振动——对振动烈度测量仪的要求 ISO 5348 机械振动与冲击——加速度计的机械安装 ISO 7919（全部），非往复机械的振动——在转轴上的测量及评价准则 ISO 8528-9由往复式内内燃机驱动的交流发电机组——第九部分：机械振动的测量与评定 ISO 8569机械振动与冲击——振动与冲击对室内敏感设备影响的测量与评价 ISO 10816（全部），机械振动——在非旋转部件上测量和评价机器的机械振动 ISO 11342：1998，机械振动——挠性转子机械平衡的方法与准则 ISO 13372，机器的状态监测及诊断——名词术语 ISO 13373-1，机器的状态监测及诊断——振动状态监测与诊断——第一部分：总则 ISO 13379，机器的状态监测及诊断——数据解释及诊断技术的一般指南ISO 14694，工业风机——平衡品质与振动水平技术要求

八年级数学数据分析知识点归纳与例题

八年级数学《数据的分析》知识点归纳与经典例题 1．解统计学的几个基本概念 总体、个体、样本、样本容量是统计学中特有的规定，准确把握教材，明确所考查的对象是解决有关总体、个体、样本、样本容量问题的关键。 2.平均数 当给出的一组数据，都在某一常数a 上下波动时，一般选用简化平均数公式' x x a =+，其中a 是取接近于这组数据平均数中比较“整”的数;?当所给一组数据中有重复多次出现的数据，常选用加权平均数公式。 3.众数与中位数 平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量。平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适。中位数与数据排列有关，个别数据的波动对中位数没影响；当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述。 4.极差 用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值。 5.方差与标准差 用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，计算公式是 s 2 = 1n [(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2 ]； 方差和标准差都是反映一组数据的波动大小的一个量，其值越大，波动越大，也越不稳定或不整齐。 【能力训练】 一、填空题：

1．甲、乙、丙三台包装机同时分装质量为400克的茶叶.从它们各自分装的茶叶中分别随机抽取了10盒，测得它们的实际质量的方差如下表所示： 2.甲、乙、丙三台机床生产直径为60mm 的螺丝，为了检验产品质量，从三台机床生产的螺丝中各抽查了20个测量其直径，进行数据处理后，发现这三组数据的平均数都是60mm ， 它们的方差依次为S 2甲=，S 2乙=，S 2 丙=.根据以上提供的信息，你认为生产螺丝质量最好的是__ __机床。 3.一组数据：2，-2，0，4的方差是 。 4．在世界环境日到来之际，希望中学开展了“环境与人类生存”主题研讨活动，活动之一是对我们的生存环境进行社会调查，并对学生的调查报告进行评比。初三(3)班将本班50篇学生调查报告得分进行整理(成绩均为整数)，列出了频率分布表，并画出了频率分组 频率 ～ ～ ～ ～ ～ 合计 1 根据以上信息回答下列问题: (1)该班90分以上(含90分)的调查报告共有________篇； (2)该班被评为优秀等级(80分及80分以上)的调查报告占_________%； (3)补全频率分布直方图。 5．据资料记载，位于意大利的比萨斜塔1918～1958这41年间，平均每年倾斜1.1mm ；1959～1969这11年间，平均每年倾斜1.26mm ，那么1918～1969这52年间，平均每年倾斜约_________(mm)(保留两位小数)。 6.为了缓解旱情，我市发射增雨火箭，实施增雨作业，在一场降雨中，某县测得10个面积相等区域的降雨量如下表: 区域 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 降雨量(mm) 10 12 13 13 20 15 14 15 14 14 则该县这10个区域降雨量的众数为________(mm)；平均降雨量为________(mm)。 7.一个射箭运动员连续射靶5次，所得环数分别是8，6，10，7，9，则这个运动员所得环数的标准差为________。 8．下图显示的是今年2月25日《太原日报》刊登的太原市2002年至2004年财政总收入完成情况，图中数据精确到1亿元，根据图中数据完成下列各题： (1)2003年比2002年财政总收入增加了_______亿元； (2)2004年财政总收入的年增长率是_______；(精确 到1％) (3)假如2005年财政总收入的年增长率不低于2004年 甲包装机 乙包装机 丙包装机 方差 （克2 ） 31．96 7．96 16．32 根据表中数据，可以认为三台包装机 中， 包装机包装的茶叶质量最稳 定。

数据分析知识点

数据分析知识点 一、选择题 1．如图是成都市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（） A．极差是8℃B．众数是28℃C．中位数是24℃D．平均数是26℃【答案】B 【解析】 分析：根据折线统计图中的数据可以判断各个选项中的数据是否正确，从而可以解答本题． 详解：由图可得， 极差是：30-20=10℃，故选项A错误， 众数是28℃，故选项B正确， 这组数按照从小到大排列是：20、22、24、26、28、28、30，故中位数是26℃，故选项C 错误， 平均数是：202224262828303 25 77 ++++++ =℃，故选项D错误， 故选B． 点睛：本题考查折线统计图、极差、众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，能够判断各个选项中结论是否正确． 2．甲、乙、丙三个不同品种的苹果树在同一地区进行对比试验，从每个品种的苹果树中随机各抽取10棵，对它们的产量进行统计，绘制统计表如下： 品种甲乙丙 平均产量/(千克/棵)9090

若从这三个品种中选择一个在该地区推广，则应选择的品种是() A．甲B．乙C．丙D．甲、乙中任选一个【答案】A 【解析】 【分析】 根据平均数、方差等数据的进行判断即可． 【详解】 根据平均数、方差等数据的比较可以得出甲品种更适在该地区推广． 故选：A 【点睛】 本题考查了平均数、方差，掌握平均数、方差的定义是解题的关键． 3．某单位招考技术人员，考试分笔试和面试两部分，笔试成绩与面试成绩按6:4记入总成绩，若小李笔试成绩为80分，面试成绩为90分，则他的总成绩为（） A．84分B．85分C．86分D．87分 【答案】A 【解析】 【分析】 按照笔试与面试所占比例求出总成绩即可. 【详解】 根据题意，按照笔试与面试所占比例求出总成绩： 64 ?+?=（分） 809084 1010 故选A 【点睛】 本题主要考查了加权平均数的计算，解题关键是正确理解题目含义. 4．甲、乙两名同学分别进行6次射击训练，训练成绩（单位：环）如下表 对他们的训练成绩作如下分析，其中说法正确的是（） A．他们训练成绩的平均数相同B．他们训练成绩的中位数不同

广州中考数学分析报告知识点汇总

近几年来广州市中考数学科试卷特点通过对近几年来广州市中考数学科试卷分析，我认为具有如下特点： 1、试题覆盖面广，涵盖了主要知识点，对初中必考的基础知识一般以选择题、填空题的形式进行考查，对初中知识的核心、主干内容以解答题的形式加以考查，以重点知识为主线组织全卷内容。 2、注重基础知识、基本技能的考查，难易安排有序，层次合理，有助于考生较好地发挥思维水平。 3、重视思想方法、数学能力的考查，包括对数形结合、归纳概括、转化思想、分类思想、函数与方程思想等内容的考查，很好地突出了试题的选拔功能。 4、重视从题目中获取信息能力的考查，通过阅读图表或从文字信息中识别出数学问题的背景，把各种数学语言有机地融合，恰当地转换，从而解决问题。 5、强化应用意识、创新思维的考查，体现在试题内容着力加强与社会实际和学生生活的联系，注重考查学生在具体情境中运用所学知识分析和解决问题的能力。突出对应用问题的考查，从学生熟悉的生活背景和广州市当年发生的重大事件入手，让学生深切地感受到“数学就在身边”。 根据以上分析，我们在复习备考中要做到下面几个要求： 1、重视基本知识和基本技能的训练，重视概念问题的教学，把各个概念的各种“变式题”训练到位，多收集新题型，与现在的教育改革接轨。

2、坚持教学方法的改进，课堂上多运用“启发式”、“探究式”、“讨论式”等教学方法，多设计和提出适合学生发展水平的具有一定探究性的问题，创设问题情境，进行“一题多解”、“一题多变”的训练，培养学生的发散思维和创新意识。 3、以学生为主体着眼于能力的提高，多让学生动手操作，积极引导和鼓励学生大胆思维，勇于发表自己观点，让学生拥有更多的参与思考、讨论交流的机会。教学中尽量避免包办代替式的单纯模仿式的教学，重视学生个性发展，培养学生创造能力。 4、注重数学思想方法的教学，要求学生不要用单一的思维方式去思考问题，应多方位、多角度、多层次地进行思考，形成一定的数学思维。 5、强化过程意识，避免让学生死记硬背公式、定理，重视数学概念、公式、定理的提出、形成、发展过程，让学生真正理解所学知识。 6、重视实际应用性问题的教学，联系社会生活实际和学生的生活实际，选取有时代性的地方特色的复习教材、资料，让学生在“做数学”的过程中，领悟数学的实际意义，最终提高学生的数学应用意识和学习的自学性。 7、培养学生独立思考能力，多把适当的问题抛给学生，多听学生的见解，使学生通过自己的的独立思考，创造性地解决问题。 8、重视数学语言的教学，要求应用数学语言准确，规范书写，熟练运用符号、文字、图表语言，逐步形成数学演绎推理能力。 2012-3-18 附《初中数学定义、定理、公理、公式汇编》

4第四章 机械振动

- 81 - 第二篇振动与波 振动和波动是物质的基本运动形式。 在力学中有机械振动和机械波 在电学中有电磁振荡和电磁波 声是一种机械波 光则是电磁波 量子力学又叫波动力学。 第四章 机械振动 教学时数：6学时 本章教学目标 了解简谐振动的动力学特征，掌握描述简谐振动的重要参量，理解简谐振动的运动学方程，知道弹簧振子的动能和势能随时间变化的规律；了解简谐振动的合成，掌握同方向、同频率谐振动的合成方法，能够求相关问题的合振动方程，了解同方向不同频率简谐振动的合成，了解阻尼振动、受迫振动、共振的含义。 教学方法：讲授法、讨论法等 教学重点：掌握同方向、同频率谐振动的合成方法，能够求相关问题的合振动方程 机械振动：物体在某固定位置附近的往复运动叫做机械振动，它是物体一种普遍的运动形式。例如活塞的往复运动、树叶在空气中的抖动、琴弦的振动、心脏的跳动等都是振动。 广义地说，任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化都可以叫做振动。例如交流电路中的电流、电压，振荡电路中的电场强度和磁场强度等均随时间

- 82 - 作周期性的变化，因此都可以称为振动。 §4—1 简谐振动的动力学特征 简谐振动是振动中最基本最简单的振动形式，任何一个复杂的振动都可以看成是若干个或是无限多个谐振动的合成。 定义：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移z(或角位移口)随时间f 按余弦(或正弦)规律变化，即 x = A cos(ωt + φ0) 则这种振动称之为简谐振动。 研究表明，作简谐振动的物体(或系统)，尽管描述它们偏离平衡位置位移的物理量可以千差万别，但描述它们动力学特征的运动微分方程则完全相同。 一、弹簧振子模型 将轻弹簧(质量可忽略不计)一端固定，另一端与质量为m 的物体相连，若该系统在振动过程中，弹簧的形变较小(即形变弹簧作用于物体的力总是满足胡克定律)，那么，这样的弹簧——物体系统称为弹簧振子。 如图所示，将弹簧振子水平放置，使振子在水平光滑支撑面上振动。以弹簧处于自然状态(弹簧既未伸长也未压缩的状态)的稳定平衡位置为坐标原点，当振子偏离平衡位置的位移为x 时，其受到的弹力作用为 F= - kx 式中k 为弹簧的劲度系数，负号表示弹力的方向与振子的位移方向相反。即振子在运动过程中受到的力总是指向平衡位置，且力的大小与振子 偏离平衡位置的位移成正比，这种力就称之为线性回复力。 如果不计阻力(如振子与支撑面的摩擦力，在空气中运动时受到的介质阻力及其 2=-x d m kx

振动常用术语

振动常用术语 1. 机械振动 物体相对于平衡位置所作的往复运动称为机械振动。简称振动。 例如，机器箱体的颤动、管线的抖动、叶片的摆动等都属于机械振动。 振动用基本参数、即所谓“振动三要素” —振幅、频率、相位加以描述。 3. 振幅 3.1 振幅 振幅是物体动态运动或振动的幅度。 振幅是振动强度和能量水平的标志，是评判机器运转状态优劣的主要指标。 3.2 峰峰值、单峰值、有效值 振幅的量值可以表示为峰峰值（pp）、单峰值（p）、有效值（rms）或平均值（ap）。峰峰值是整个振动历程的最大值，即正峰与负峰之间的差值；单峰值是正峰或负峰的最大值；有效值即均方根值。 只有在纯正弦波(如简谐振动)的情况下，单峰值等于峰峰值的1/2，有效值等于单峰值的0.707倍，平均值等于单峰值的0.637倍；平均值在振动测量中很少使用。它们之间的换算关系是：峰峰值＝2×单峰值＝2×21/2×有效值。此换算关系并无多大的实用价值，只是说明振幅在表示为峰峰值、峰值、有效值时，数值不同、相差很大。 3.3 振动位移、振动速度、振动加速度 振幅分别用振动位移、振动速度、振动加速度值加以描述、度量，三者相互之间可以通过微分或积分进行换算。在振动测量中，除特别注明外，习惯上，振动位移的量值为峰峰值，单位是微米[μm]或密耳[mil]；振动速度的量值为有效值，单位是毫米/秒[mm/s]或英寸/秒[ips]；振动加速度的量值是单峰值，单位是重力加速度[g]或米/秒平方[m/s2]，1[g] = 9.81[m/s2]。 可以认为，在低频范围内，振动强度与位移成正比；在中频范围内，振动强度与速度成正比；在高频范围内，振动强度与加速度成正比。因为频率低意味着振动体在单位时间内振动的次数少、过程时间长，速度、加速度的数值相对较小且变化量更小，因此振动位移能够更清晰地反映出振动强度的大小；而频率高，意味着振动次数多、过程短，速度、尤其是加速度的数值及变化量大，因此振动强度与振动加速度成正比。 也可以认为，振动位移具体地反映了间隙的大小，振动速度反映了能量的大小，振动加速度反映了冲击力的大小。 在实际应用中，大型旋转机械的振动用振动位移的峰峰值[μm]表示，用装在轴承上的非接触式电涡流位移传感器来测量转子轴颈的振动；一般转动设备的振动用振动速度的有效值[mm/s]表示，用手持式或装在设备壳体上靠近轴承处的磁电式速度传感器或压电式加速度传感器（如今主要是加速度传感器）来测量；齿轮和滚动轴承的振动用振动加速度的单峰值[g]表示，用加速度传感器来测量。

减数分裂知识点总结

高二生物减数分裂知识点 一、减数分裂得概念 1、范围:凡就是进行有性生殖得生物； 2、时期：在从原始得生殖细胞发展到成熟得生殖细胞得过程中; 3、特点:细胞连续分裂两次,而染色体只复制一次; 4、结果:新产生得生殖细胞中得染色体数目比原始生殖细胞中得数目减少了一半。 （注：原始生殖细胞既可进行有丝分裂,又可进行减数分裂） 二、减数分裂得一般过程(动物) 分裂间期：染色体复制 前期Ⅰ:联会、四分体(非姐妹染色单体交叉、互换) 减数第一次分裂(Ⅰ)中期Ⅰ:四分体排在赤道板上 减后期Ⅰ:同源染色体分离（非同源染色体自由组合) 数末期Ⅰ:染色体、DNA数目减半 分间期Ⅱ：短暂，遗传物质不复制 裂前期Ⅱ:(对二倍体生物而言，已无同源染色体) 减数第二次分裂(Ⅱ) 中期Ⅱ：着丝点排在赤道板上 后期Ⅱ:着丝点断裂，姐妹染色单体分开 末期Ⅱ:DNA数目再减半 三、精子得形成过程 四、卵细胞得形成过程 五、精子、卵细胞产生过程得异同: 1、相同点:①都就是性细胞(配子）②都经减数分裂产生 ２、不同点:①卵原细胞两次分裂为不均质分裂(极体均质),精原细胞得分裂为均质分裂; ②1个卵原细胞产生１个卵细胞,１个精原细胞产生4个精子; ③精子得形成需变形,卵细胞得形成不变形。 六、配子种类(只考虑非同源染色体得自由组合,不考虑交换) （1)可能产生精子得种类:２n种 １个精原细胞(2)实际产生精子得种类:2种 (含ｎ对同源染色体）（同一个次级精母细胞产生得两个精子就是相同得) １个雄性个体(含n对同源染色体）产生精子得种类:2n种 （1)可能产生卵细胞得种类:2ｎ种 1个卵原细胞(2)实际产生精子得种类:１种 (含ｎ对同源染色体）（1个卵原细胞只能产生一个卵细胞） １个雌性个体（含n对同源染色体）产生卵细胞得种类:2n种 七、减数分裂中染色体、DNA数目变化曲线图 八、通过图像、曲线判断分裂方式、所处时期——三瞧识别法(二倍体生物) 九、同源染色体得特点、判断程序 １、特点:①来源:一条来自父方，一条来自母方 ②形态、大小一般相同 ③行为：减数分裂过程中一定两两配对(即联会) 2、判断程序

数学分析知识点汇总

第一章实数集与函数 §1实数 授课章节：第一章实数集与函数——§1实数 教学目的：使学生掌握实数的基本性质． 教学重点： (1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性； (2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具） 教学难点：实数集的概念及其应用． 教学方法：讲授．（部分内容自学） 教学程序： 引言 上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始． [问题]为什么从“实数”开始． 答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质． 一、实数及其性质

1、实数 (,q p q p ?≠??????有理数:任何有理数都可以用分数形式为整数且q 0)表示，也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示.无理数:用无限十进不循环小数表示. {}|R x x =为实数--全体实数的集合． [问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定： 01(1)9999n n a a --0,a =则记表示为无限小数，现在所得的小数之前加负例： 2.001 2.0009999→； 利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？ 2、两实数大小的比较 1）定义1给定两个非负实数01.n x a a a =，01.n y b b b =. 其中 3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-； ；

减数分裂知识点总结

高二生物减数分裂知识点 一、减数分裂的概念 1、范围：凡是进行有性生殖的生物； 2、时期：在从原始的生殖细胞发展到成熟的生殖细胞的过程中； 3、特点：细胞连续分裂两次，而染色体只复制一次； 4、结果：新产生的生殖细胞中的染色体数目比原始生殖细胞中的数目减少了一半。（注：原始生殖细胞既可进行有丝分裂，又可进行减数分裂） 二、减数分裂的一般过程（动物） 分裂间期：染色体复制 前期Ⅰ：联会、四分体（非姐妹染色单体交叉、互换）减数第一次分裂（Ⅰ）中期Ⅰ：四分体排在赤道板上 减后期Ⅰ：同源染色体分离（非同源染色体自由组合）数末期Ⅰ：染色体、DNA数目减半 分间期Ⅱ：短暂，遗传物质不复制 裂前期Ⅱ：（对二倍体生物而言，已无同源染色体）减数第二次分裂（Ⅱ）中期Ⅱ：着丝点排在赤道板上 后期Ⅱ：着丝点断裂，姐妹染色单体分开 末期Ⅱ：DNA数目再减半 三、精子的形成过程 四、卵细胞的形成过程

五、精子、卵细胞产生过程的异同： 1、相同点：①都是性细胞（配子）②都经减数分裂产生 2、不同点：①卵原细胞两次分裂为不均质分裂（极体均质），精原细胞的分裂为均质分裂； ②1个卵原细胞产生1个卵细胞，1个精原细胞产生4个精子； ③精子的形成需变形，卵细胞的形成不变形。 六、配子种类（只考虑非同源染色体的自由组合，不考虑交换） （1）可能产生精子的种类：2n种 1个精原细胞（2）实际产生精子的种类：2种 （含n对同源染色体）（同一个次级精母细胞产生的两个精子是相同的）1个雄性个体（含n对同源染色体）产生精子的种类：2n种 （1）可能产生卵细胞的种类：2n种 1个卵原细胞（2）实际产生精子的种类：1种 （含n对同源染色体）（1个卵原细胞只能产生一个卵细胞） 1个雌性个体（含n对同源染色体）产生卵细胞的种类：2n种 七、减数分裂中染色体、DNA数目变化曲线图 八、通过图像、曲线判断分裂方式、所处时期——三看识别法（二倍体生物） 九、同源染色体的特点、判断程序 1、特点：①来源：一条来自父方，一条来自母方 ②形态、大小一般相同 ③行为：减数分裂过程中一定两两配对（即联会） 2、判断程序

人教版初中数学数据分析知识点训练及答案

人教版初中数学数据分析知识点训练及答案 一、选择题 1．某地区汉字听写大赛中，10名学生得分情况如下表： 那么这10名学生所得分数的中位数和众数分别是（） A．85和85 B．85.5和85 C．85和82.5 D．85.5和80 【答案】A 【解析】 【分析】 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，可得答案． 【详解】 把这组数据从小到大排列，处于中间位置的两个数都是85，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是85； 在这一组数据中85出现的次数最多，则众数是85； 故选：A． 【点睛】 此题考查众数与中位数的意义．解题关键在于掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 2．某单位招考技术人员，考试分笔试和面试两部分，笔试成绩与面试成绩按6:4记入总成绩，若小李笔试成绩为80分，面试成绩为90分，则他的总成绩为（） A．84分B．85分C．86分D．87分 【答案】A 【解析】 【分析】 按照笔试与面试所占比例求出总成绩即可. 【详解】 根据题意，按照笔试与面试所占比例求出总成绩： 64 ?+?=（分） 809084 1010

故选A 【点睛】 本题主要考查了加权平均数的计算，解题关键是正确理解题目含义. 3．在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（） A．9.7m，9.9m B．9.7m，9.8m C．9.8m，9.7m D．9.8m，9.9m 【答案】B 【解析】 【分析】 将这7个数据从小到大排序后处在第4位的数是中位数，利用算术平均数的计算公式进行计算即可． 【详解】 把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m，因此中位数是9.7m， 平均数为：(9.59.69.79.79.810.110.2)79.8 ++++++÷=m， 故选：B． 【点睛】 考查中位数、算术平均数的计算方法，将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数就是这组数据的中位数，平均数则是反映一组数据的集中水平． 4．某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分． 学生 类型人数时间010 t ≤＜1020 t ≤＜2030 t ≤＜3040 t ≤＜40 t≥ 性别男73125304女82926328 学初中25364411

机床常见振动形式及对加工影响

机床常见振动形式及对加工影响 机床工作时产生的振动，不仅会影响机床的动态精度和被加工零件的质量，而且还要降低生产效率和刀具的耐用度，振动剧烈时甚至会降低机床的使用性能，伴随振动所发出的噪音会影响机床工人的健康。随着我国机床工业的飞速发展，机床的振动问题也就更加引起人们的重视。 一般的说，机床工作时所产生的振动基本上有两大类： 1）受迫振动； 2）自激振动。例如在车床、铣床和磨床上，经常见到回转主轴系统的受迫振动，其频率取决于回转主轴系统的转速（在铣削时还与铣刀的齿数有关）。在机床上发生的自激振动类型较多，例如有回转主轴（或与工件、或与刀具联系）系统的扭转或弯曲自激振动；机床床身、立柱、横梁等支撑件的弯曲或扭摆自激振动；还有工作台等移动部件在低速运行时所发生的张弛摩擦自激振动（通称爬行）等等。通常把金属切削过程中表现为刀具与工件之间强烈的相对振动的这种自激振动称为“颤振”。 机床工作时发生振动是常见的。机床振动不仅歪曲了工件的几何形状和尺寸，而且还将在已加工表面上留下振纹，降低了精度和表面光洁度，加剧了金属表面层的冷硬情况，振动时刀具的耐用度也将急剧下降，甚至导致刀刃的崩坏，这个问题对于性质较脆的硬质合金刀具和陶瓷刀具来说尤为严重。机床发生振动后，往往迫使操作工人降低切削用量，因而限制了机床的生产率。此外，在机床自动线中，只

要有一台机床发生振动而被迫暂停运转，就会破坏生产的节律，引起生产过程的混乱。可见机床振动是必须引起注意的一个重要问题。随着科学技术的飞跃发展，对机床零件的制造精度和表面质量提出了更高的要求，从而使机床振动问题的研究成为研制、生产和使用机床等部门必须面对的重大课题，研究机床振动的目的在于探究机床振动的原因，谋求防止和消除机床振动的方法，以研制抗振性更佳的机床。

振动筛的几种运动轨迹

振动筛的几种运动轨迹 振动筛分设备的动力源振动电机可产生圆形、椭圆形、直线形、复合形运动方式。 振动筛分设备一向利用振动电机作为简单可靠而有效的动力。振动电机在振动机体上不同的安装组合形式，可产生不同的振动轨迹，从而有效完成各种作业。 直线型振动：振动体(振动箱体和物料)的振动轨迹在水平面及垂直面上的投影都是直线者，其振动形式称为直线型振动。此类型的振动筛即被称为直线振动筛或直线筛。将两台相同型号的振动电机安装在振动设备机体上，使两个振动电机转轴处于互相平行的位置，运行时两台振动电机转向相反，则两台振动电机运转必然同步，机体产生直线型振动。 圆或椭圆振动：振动体的振动轨迹在水平面上的投影是一条直线，而在垂直面上的投影为一圆或椭圆者，其振动形式称为圆或椭圆型振动。此类振动筛即被称为圆振动筛或圆振筛。通常将一台振动电机安装在振动机械的机体上，即可产生这种运动。圆形或椭圆形振动发生在与振动电机转轴相垂直的平面上，其形式则看振动电机与整机重心的相对位置而定。 复合振动：振动体的振动是由两组激振系统产生的，其振动形式称为复合振动。一般有双频复合型及双幅复合型两种形式。某些特殊性能的振动筛分设备，使用两台不同型号不同转速的振动电机，分装于筛分设备的受料端和出料端，使受料端呈现大振幅低频率的振动，同时出料端呈现小振幅高频率的振动，筛分设备的中部重叠两种振动，使筛分设备起到更有效的筛分作用。 旋振动又称三维振动：振动体的振动轨迹在水平面上的投影是一圆或椭圆，其振动形式称为旋振动。此类振动筛即被称为旋振筛。旋振动又可分为平旋型振动、涡旋型振动和复旋型振动三种形式。当振动体的振动轨迹在垂直面上的投影为一水平直线者，其振动形式称为平旋型振动；当振动体的轨迹在垂直面上的投影为一斜直线者，其振动形式称为涡旋型振动；当振动体的振动轨迹在垂直面上的投影为一圆或椭圆者，其振动形式称为复旋型振动。通常由立式振动电机激振的振动设备产生旋

机械振动的概念

第一章绪论 1-1 机械振动的概念 振动是一种特殊形式的运动，它是指物体在其平衡位置附近所做的往复运动。如果振动物体是机械零件、部件、整个机器或机械结构，这种运动称为机械振动。 振动在大多数情况下是有害的。由于振动，影响了仪器设备的工作性能；降低了机械加工的精度和粗糙度；机器在使用中承受交变载荷而导致构件的疲劳和磨损，以至破坏。此外，由于振动而产生的环境噪声形成令人厌恶的公害，交通运载工具的振动恶化了乘载条件，这些都直接影响了人体的健康等等。但机械振动也有可利用的一面，在很多工艺过程中，随着不同的工艺要求，出现了各种类型利用振动原理工作的机械设备，被用来完成各种工艺过程，如振动输送、振动筛选、振动研磨、振动抛光、振动沉桩等等。这些都在生产实践中为改善劳动条件、提高劳动生产率等方面发挥了积极作用。研究机械振动的目的就是要研究产生振动的原因和它的运动规律，振动对机器及人体的影响，进而防止与限制其危害，同时发挥其有益作用。 任何机器或结构物，由于具有弹性与质量，都可能发生振动。研究振动问题时，通常把振动的机械或结构称为振动系统（简称振系）。实际的振系往往是复杂的，影响振动的因素较多。为了便于分析研究，根据问题的实际情况抓住主要因素，略去次要因素，将复杂的振系简化为一个力学模型，针对力学模型来处理问题。振系的模型可分为两大类：离散系统（或称集中参数系统）与连续系统（或称分布参数系统），离散系统是由集中参数元件组成的，基本的集中参数元件有三种：质量、弹簧与阻尼器。其中质量（包括转动惯量）只具有惯性；弹簧只具有弹性，其本身质量略去不计，弹性力只与变形的一次方成正比的弹簧称为线性弹簧；在振动问题中，各种阻力统称阻尼，阻尼器既不具有惯性，也不具有弹性，它是耗能元件，在有相对运动时产生阻力，其阻力与相对速度的一次方成正比的阻尼器称为线性阻尼器。连续系统是由弹性元件组成的，典型的弹性元件有杆、梁、轴、板、壳等，弹性体的惯性、弹性与阻尼是连续分布的。严格的说,实际系统都是连续系统，所谓离散系统仅是实际连续系统经简化而得的力学模型。例如将质量较大、弹性较小的构件简化为不计弹性的集中质量；将振动过程中产生较大弹性变形而质量较小的构件，简化为不计质量的弹性元件；将构件中阻尼较大而惯性、弹性小的弹性体也可看成刚体。这样就把分布参数的连续系统简化为集中参数的离散系统。 例如图1-1（a）所示的安装在混凝土 基础上的机器，为了隔振的目的，在基础下 面一般还有弹性衬垫，如果仅研究这一系统 在铅垂方向的振动，在振动过程中弹性衬垫 起着弹簧作用，机器与基础可看作一个刚体， 起着质量的作用，衬垫本身的内摩擦以及基 础与周围约束之间的摩擦起着阻尼的作用 （阻尼用阻尼器表示，阻尼器由一个油缸和 活塞、油液组成。活塞上下运动时，油液从 间隙中挤过，从而造成一定的阻尼）。这样图1-1（a）所示的系统可简化为1-1（b）所示的

振动基础理论-状态监测

1.结合实际工作，综合论述开展设备监测诊断工作的八个固定工作程序。 开展设备监测诊断工作的八个固定工作程序为： （1）定监测对象 （2）定监测参数 （3）定监测仪器和设备 （4）定监测点 （5）定监测周期 （6）定监测标准 根据不同的设备，参照国内外已发布的通用标准，或结合实际工作经验制定适合本单位特点的判别标准。 通常情况下，判别标准有三类：一是绝对标准、二是相对标准、三是类比判断标准。 （7）定监测规程 （8）定监测人员 2.在振动监测中，振动传感器的选择十分重要。阐述选择振动传感器应注意的问题。 （1） 测量范围 测量范围又称量程，是保证传感器有用的首要指标，因为超量程测量不仅意味着测量结果的不可靠，而且还可能造成传感器的损坏。 （2） 频响范围 所选传感器的工作频响范围应覆盖整个需要测试的信号频段并略有超出，也就是说应使传感器工作在线性区：其下限频率低于所测信号的低频段，上限频率高于所测信号的高频段。 （3） 信噪比 一般而言，总是希望传感器的灵敏度尽量高，以便检测微小信号，但外界噪声的混入也相应地影响增大，因此要求传感器的信噪比要高，以便在充分放大被测信号的同时，能最有效地抑制噪声信号。 （4） 稳定性 对于长期工况监测，尤其是在线式测量的传感器，要求时间稳定性好，信号漂移越小越好。对于水下、高温等特殊工作环境，还应考虑传感器的环境稳定性。 此外，传感器的工作方式、外形尺寸、重量等也是需要考虑的因素。 3.分析旋转机械转子不平衡故障原因，如何综合分析诊断转子不平衡故障？ 转子质量偏心及转子部件缺损是导致转子不平衡的两种因素。转子质量偏心是由于转子的制造误差、装备误差、材质不均匀等原因造成。转子部件缺损是指转子在运行中由于腐蚀、磨损或受疲劳应力作用，使转子叶轮、叶片局部损坏、脱落等原因造成。转子轴系允许最大不平衡量的计算方法： G —平衡等级 m —允许不平衡量 U-不平衡量 M-转子质量 r-平衡半径 计算: e=G/ω 不平衡量：U=M.e 允许的最大不平衡质量：m=U/r M r m M U e == =G/ω U=M.e m=U/r 对转子不平衡故障进行综合分析应把握以下特征： （1）振动的时域波形为正弦波；

数学分析知识点总结(微分方程)

2.7．微分方程初步 2.7.1 概说 涉及到量的变化率满足的制约关系，通常是含有导数的方程——微分方程。 简单例子： （1）放射性物质，在每一时刻t ，衰变的速率dm dt - （由于是减少，因此 0dm dt <，速率为标量，是正值）正比于该放射性物质尚存的质量，因此质量应满足一下微分方程。 dm km dt - = （2）质量为m 的物体自由落体，取坐标轴沿竖直方向指向地心，下落距离()y y t =应该满足牛顿第二定律F ma =，即 22d y mg m dt = （3）质量为m 的跳伞员下落，所受空气阻力正比下降的速度，取坐标轴沿竖直方向指向地心，则t 时刻下降距离()y y t =满足 22dy d y mg k m dt dt -= （1）如下图所示，钢球在以水平光滑杆上，受到弹力而来回整栋，原点位置为O ，钢球在 t 时刻的坐标()x x t =满足微分方程 ()22d x kx m dt -= 如果钢球还受到一个与速度成正比，方向与速度相反的阻尼力的作用，那么它所满足的微分方程是 22dx d x kx h m dt dt --= 总结：最简单的一阶微分方程是 ()dx f t dt = 其中t 是自变量，上述方程的一般解应该是 ()x f t dt C =+?

最简单的n 阶方程 ()n n d x f t dt = 它等价于说11n n d x dt --是()f t 的原函数，即 11()n n d x f t dt C dt --=+? 则再次积分，一直积分下去得到 1 11()(1)! n n n t x f t dt dt C C t C n --=++ ++-??