第十五讲画图凑数法
例1 一只鸡有一个头2只脚，一只兔有一个头4只脚．如果一个笼子里关着的鸡和兔共有10个头和26只脚，你知道笼子里有几只鸡、有几只兔吗？
解：这是古代的民间趣题，叫“鸡兔同笼”问题．见图15－1（1）、（2）、（3）．
① 画10个头：
②每个头下画上两条腿：
数一数，共有20条腿，比题中给出的腿数少26-20=6条腿．
③给一些鸡添上两条腿，叫它变成兔．边添腿边数，凑够26条腿．
每把一只鸡添上两条腿，它就变成了兔，显然添6条腿就变出来3
只兔．这样就得出答案，笼中有3只兔和7只鸡．
例2 一辆自行车有2个轮子，一辆三轮车有3个轮子．车棚里放着自行车和三轮车共10辆，数数车轮共有26个．问自行车几辆，三轮车几辆？
解：发挥想像力和创造力，你可以画一个简图代表车身，见图15－2（1）、（2）、（3）．
① 画10个车身：
②在每个车身下配上两个轮子，它就成了自行车：
③数一数共20个车轮，比题中给出的轮子数少26-20=6个轮子，在自行车下面添轮子，每添一个轮子，这个自行车就成了三轮车．边添边凑数，凑出26个轮子出来．
最后数一数，共有6辆三轮车，4辆自行车．注意，用这种画图凑数法解题，很直观，也比较快，为了使解题速度更快，可以把三个步骤合起来，就能得出答案．
例3 一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿．现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿．问蛐蛐几只，蜘蛛几只？
解：此题要想个更简单的办法，见图15－3（1）、（2）．
①先画10个头，在每个头下写上数字“ 6”，代表6只腿，－－即先假设10只都是蛐蛐，则如：
②数一数，算一算，6×10=60，即共有60条腿，比题中给出的腿数少68-60=8条腿，所以就要在下面再添腿，每在一个头下添2条腿（写个“ 2”），它就变成了一只蜘蛛，共添上8条腿，就使总腿数凑够68条腿了．
最后数一数，共有4只蜘蛛，6只蛐蛐．
解这道题时，我们用数字代表腿数，使我们省去了画“腿”的麻烦．其实，也可以完全省去画图，我们只要把解题想法和算式摘出来就行了！
第一步，先把10只全部看成是蛐蛐，那么一共就有：
6×10=60条腿．
第二步，算一算少了多少条腿？
少了68-60=8条腿．
第三步，把一个蛐蛐给它添上2条腿，使它变成了蜘蛛，可以变成几只蜘蛛呢？
8÷2=4只（蜘蛛），
第四步，再算出蛐蛐的只数出来：
10-4=6只（蛐蛐）．
这样一来，我们就不必借助于画图的直观形象，也可以解这类题目了．如果能这样，我们的思维能力就又提高一步了！特别重要的是，我们这样就可以不用“凑数”的尝试方法了．
例4 笼中有兔又有鸡，数数腿36，数数脑袋11，问几只兔子几只鸡？
解：方法 1：先用画图凑数法解，见图 15－4（1）、（2）、（3）．
① 画11个头：
②再在头下填腿：
③数一数，共有2×11=22条腿．还少36-22=14条腿，每添2条腿，就使一只鸡变成兔．
数一数，共变出了7只兔：14÷2=7．
最后数一数，笼中共有7只兔，4只鸡．
方法2：
①把11只全部看成鸡，共有2×11=22条腿．
②比题中给出的腿数少了36-22=14条腿．
③给一只鸡添2条腿使它变成一只兔，共变成：
14÷2=7只（兔）．
④再算出鸡数为：11-7=4只（鸡）．
例5 今有五分的和一角的两种汽车票，共10张，总钱数是七角五分．问每种各几张？
解：方法1：分步列式法：
若10张全是5分的，钱数应为：
5×10=50分，即5角．
比题中给的钱数少：75-50=25分．
每给一张5分车票加5分，它就变成了1张1角车票了，共变出：
25÷5=5张（1角车票）
5分车票有10-5=5张（5分车票）．
方法2：用画图凑数法．见图15－5（1）、（2）．
① 都画成5分的：
②算一算共5×10=50分（即5角）．
比题中给的钱数少75分-50=25分．
③给有些5分车票加钱，使它变成1角的，凑出总钱数与题目相符合．
最后数一数，可知1角的车票5张，5分的车票5张．
习题十五
1．笼中有兔又有鸡，数数腿三十整，数数脑袋一十一，几只兔子几只鸡？
2．今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
（这是一道古代趣题．雉，即野鸡，“各几何”是各多少的意思．）
3．有一首中国民谣：“一队猎手一队狗，二队排着一起走，数头一共三百六，数腿一共八百九，多少猎手多少狗？”
4．把99粒棋子放在两种型号的17个盒子里，每个大盒子里放12粒，每个小盒子里放5粒，恰好放完．问大、小盒子各多少个？
5．数学竞赛试卷共有10道题，做对一题得10分，做错一题扣2分．小明最终得了76分．问他做对了几题，做错了几题？
6．鸡和兔共100只，兔的脚数比鸡的脚数多40只．问鸡、兔各几只？
7．鸡兔共有脚140只；若将鸡数与兔数互换，则脚数变为160只脚；问原有鸡兔各几只？
习题十五解答
1．解：用画图凑数法，见图15－6（1）、（2）、（3）．
①先画11个示意头：
②在每个头下面画上两条腿，就是11×2=22（条）腿．
比题中给出的腿数少30-22=8条腿．
③给有的鸡添上两条腿，使它变成兔，边添腿边数数，凑够30条腿为止．
数一数，共有4只兔，7只鸡．
2．解：这道题因为数字较大，画图太麻烦，就用分步列算式的方法解：
①把35个头全看成是鸡，共有2×35=70条腿．
②比题中给出的腿数少了94-70=24条腿．
③给一只鸡添上2条腿使它变成一只兔，共变成24÷2=12只兔．
④再算出有35-12=23只鸡．
3．解：人有两条腿一个头，狗有四条腿一个头，采用分步列式法解这道题：
①全看成人：
2×360=360×2=720条腿．
②比题中腿数少了：
890-720=170条腿．
③给“人”添腿变成“狗”：
170÷2=85只狗．
④再求出人数：360-85=275个人．
4．解：因为盒子数较大，画省略图．见图15—7（1）、（2）．
①算一算，共放了多少粒棋子？
17×5=85粒．
②比题中给出的棋子数少多少？
99-85=14粒．
③换盒子：把小盒里的棋子倒在大盒子里，同时往大盒子里再加
12-5=7粒（棋子）
凑出99粒棋子，只需换出
14÷7=2个（大盒子）．
④再算出小盒子数：
17-2=15个（小盒子）．
5．解：用画图凑数法，见图15—8（1）、（2）．
①用“点”代表题，点下写“10”表示这道题做对了．
数一数，10道都做对了应当得：10×10=100分．
②但是小明只得了76分，说明他有的题做错了，因做错一道题不但不能得10分，还要扣2分所以就要从满分中减去10+2=12分，得100-12=88分，以下类推：
数一数，有8道做对了，得80分；有2道题做错了扣 4分，总分=得分-扣分，即：80-4=76分．
6．解：若兔50只，鸡50只，兔脚比鸡脚多：
（4-2）×50=100只，多了！
若兔40只，鸡60只，兔脚比鸡脚多：
40×4-60×2=40只，对了！
因此有兔40只，鸡60只．
7．解：若鸡和兔各25只，则共有25×2+25×4=150只脚．
若鸡20只，兔30只，总脚数：
20×2+30×4=160只．
若鸡30只，兔20只，总脚数为：
30×2+20×4=140只．
可见原有鸡30只，兔20只．
【小学五年级奥数讲义】作图法解题 一、专题简析： 用作图的方法把应用题的数量关系提示出来，使题意形象具体，一目了然，以便较快地找到解题的途径，它对解答条件隐蔽、复杂疑难的应用题，能起化难为易的作用。 在解答已知一个数或者几个数的和差、倍差及相互之间的关系，求其中一个数或者几个数问题等应用题时，我们可以抓住题中给出的数量关系，借助线段图进行分析，从而列出算式。 二、精讲精练 例题1 五（1）班的男生人数和女生人数同样多。抽去18名男生和26名女生参加合唱队后，剩下的男生人数是女生的3倍。五（1）班原有男、女生各多少人？ 练习一 1、两根电线一样长，第一根剪去50厘米，第二根剪去180厘米后，剩下部分，第一根是第二根长度的3倍。这两根电线原来共长多少厘米？
2、甲、乙两筐水果个数一样多，从第一筐中取出31个，第二筐中取出19个后，第二筐剩下的个数是第一筐的4倍。原来两筐水果各有多少个？ 例题2同学们做纸花，做了36朵黄花，做的红花比黄花和紫花的总数还多12朵。红花比紫花多几朵？ 练习二 1、奶奶家养了25只鸭子，养的鸡比鸭和鹅的总数还多10只。奶奶家养的鸡比鹅多几只？ 2、批发部运来一批水果，其中梨65筐，苹果比梨和香蕉的总数还多24筐。运来的香蕉比苹果少多少筐？
例题3 甲、乙、丙、丁四个小组的同学共植树45棵，如果甲组多植2棵，乙组少植2棵，丙组植的棵数扩大2倍，丁组植树棵数减少一半，那么四个组植的棵数正好相同。原来四个小组各植树多少棵？ 图中实线表示四个小组实际植树的棵数： 练习三 1、甲、乙、丙、丁四个数的和是100，甲数加上4，乙数减去4，丙数乘以4，丁数除以4后，四个数就正好相等。求这四个数。 2、甲、乙、丙三人分113个苹果，如果把甲分得的个数减去5，乙分得的个数减去24，丙把分得的个数送给别人一半后，三人的苹果个数就相同。三人原来各分得苹果多少个？
运用画图法提高学生解决问题能力的总结 本课题采用对比研究法，在对五年级五个班进行问卷测试[附调查问卷1份]，现对实验班503、504和平行班501、505之间的比较。 [评析]通过对比发现实验班在对解决问题喜爱程度上大大高于非实验班。 通过第二题的比较分析发现在碰到自己不会解的解决问题选用画图法的实验班明显高于非实验班。 在对学生进行第3题看线段图编应用题的测试中发现：
实验班503班按线段图义编对的有29人，5人没有编对，另外14人理解为看图提出问题，其中有2人没有提对问题，提成“白橡皮和黑橡皮一共有多少块？”实验班504班按线段图义编对的有27人，5人没有编对，另外15人理解为看图提出问题，其中有1人没有提对问题，提成“白橡皮和黑橡皮一共有多少块？”非实验班501班按线段图义编对的有7人，2人没有编对，另外38人理解为看图提出问题，其中有20人没有提对问题，提成“白橡皮和黑橡皮一共有多少块？”“黑橡皮比白橡皮多多少块？”甚至还有学生提成“黑橡皮占白橡皮的几分之几？” 非实验班505班按线段图义编对的有18人，2人没有编对，另外30人理解为看图提出问题，其中有12人没有提对问题，提成出的错误问题和非实验班501班雷同。 通过这一题的比较发现实验班的学生识图、读图能力高于其他班。 在对第4题列式解决问题的测试中发现： 实验班503班用画图法来解题的有30人，其中23人线段图画的很规范。做对次题的学生有40人。 实验班504班用画图法来解题的有31人，其中19人线段图画的很规范。做对次题的学生有39人。 非实验班501班用画图法来解题的有3人，其中2画对，但不规范。做对次题的学生有24人。 非实验班505班用画图法来解题的有2人，其中1画对，但不规范。做对次题的学生有34人。 通过这一题的比较发现实验班的学生碰到解决问题有意识用画图来解决的人明显要多，从这到题目显示实验班比非实验班的学生解体题能力要强。 六、反思与展望 通过平行班之间的比较发现实验班的学生无论从对解决问题的喜爱程度上还是读图能力，画图能力及意识和解决问题能力上都高于非实验班。从用画图法提高学生解决问题的能力上来讲在本课题中有所体现。
第12讲画图解题 【专题简析】 小朋友，你喜欢小动物吗？每只动物都只有一个头，可腿的条数却有多有少。把不同的动物关在一个笼子里，告诉我们它们的头的个数和腿的条数，我们怎样知道笼子里的小动物各有几只呢？下面就向小朋友介绍一种“画图凑数法”，这种方法会给我们解答这类问题带来方便。 用“画图凑数法”解这类问题时，先假设全部是腿数少的动物，这样所画的腿数一定比条件中说的腿数少，再根据两种动物腿数的差，用少的腿数除以腿数差，就得到腿数多的动物的只数。 【例题1】 鸡和兔在同一个笼子里，一共有3个头8条腿，你知道有几只鸡、几只兔吗？ 思路导航：题中说一共有3个头，一定是3只小动物，用图表示如下：“”，给每个小动物 画上两条腿。如果有3只鸡，只能有6条腿，比题目条件中的8条腿少了2条腿。又根据兔有4条腿，再给1个小动物添上2条腿，就有1个小动物是4条腿了。 有4条腿的是兔；2条腿的是鸡，从图中看出有1只兔，2只鸡 解：有2只鸡，1只兔 练习1 1.一只蛐蛐有6条腿，一只蜘蛛有8条腿，如果蛐蛐和蜘蛛共有3只，腿共有22条，你知道有几只蛐蛐、几只蜘蛛吗？ 2.自行车和三轮车共有3辆，共有8个轮子，你知道有几辆自行车、几辆三轮车吗？
3.一只乌龟有4条腿，一只仙鹤有2条腿，如果乌龟和仙鹤共有5只，共有14条腿，你知道有几只乌龟，几只仙鹤吗？ 【例题2】 鸡兔同笼，共10个头、26条腿，笼里有几只鸡、几只兔？ 思路导航：我们可以用“”表示头，用“/”表示一条腿，先把它们全部看作是腿较少的动物，也就是全部画成鸡。 从图中可以看出，10只鸡有20条腿，而条件中说共有26条腿，显然少画了26-20=6（条）。由于一只兔比一只鸡多2条腿，6÷2=3.所以我们应该在3只鸡的图上再分别加上2条腿，使它们称为兔子的表示图。 从图中可以看出，笼中有3只兔子，7只鸡 解：笼里有7只鸡，3只兔 练习2 1.鸡兔同笼，共有8个头，共有22条腿，有几只鸡，几只兔？ 2.蛐蛐和蜘蛛共12只，共有82条腿，它们各有几只？ 3.鸡兔同笼，共有9个头，28条腿，笼中的鸡兔各有多少只？
画图凑数法 知识要点 小朋友，你喜欢小动物吗?每只小动物都只有一个头，可腿的条数却有多有少。把不 同的动物关在一个笼子里，告诉我们它们头的个数和腿的条数，我们怎样知道小动物各有几只呢？下面介绍一种“画图凑数法”，这种方法会给我们解答这类问题带来方便。 哪吒智闯水晶宫---水神和火神 哪吒回到海里，感到有些饿又有些口渴，他想去东海龙王的 水晶宫弄点喝的，哪吒来到水晶宫，这里好吃的好喝的真是琳琅 满目，哪吒感叹道：“这么多美味的东西，不过我不稀罕，等我 取回宝贝们，我一定回家让母亲给我做我最喜欢吃的豆沙包。”， 哪吒喝完水刚想离开，听到有人在争吵，跑过去一看，原来是水 神和火神两兄弟在争吵，只见火神气的满脸通红，水神气的满脸 碧绿，他俩见到哪吒，便拉他过去评理，哪吒费了好大的劲才弄 明白，原来哥俩为了一个问题在争吵，“有蛐蛐和蜘蛛一共5只， 又知道它们一共有36条腿，那么有几只蛐蛐，几只蜘蛛？”哪 吒没空管闲事，便说明自己来是为了取回自 己的宝贝混天绫，解救百姓于水火之中，火 神和水神拍着胸脯说：“你帮我们分个胜负， 我们帮你去藏宝阁取出来。”哪吒想得到火 神和水神的帮助，于是答应了，他眼睛滴溜 溜一转，就算出来了有3只蛐蛐，2只蜘蛛。 水神和火神信服的点点头，随后就替哪吒去 藏宝阁取回了混天绫，哪吒靠自己的智慧又 取回了一件宝贝。 典题解析 例1，鸡兔同笼，共8个头，20条腿。笼里有几只鸡？几只兔？
练习1：1、鸡兔同笼，共5个头，16条腿。笼里有几只鸡？几只兔？ 2、鸡兔同笼，共8个头，22条腿。笼里有几只鸡？几只兔？ 3、鸡兔同笼，共14个头，38条腿。笼里有几只鸡？几只兔？ 例2，蛐蛐和蜘蛛共15只，腿有100条，蛐蛐和蜘蛛各有多少只？ 练习2：1、蛐蛐和蜘蛛共8只，腿有54条，蛐蛐和蜘蛛各有多少只？ 2、蛐蛐和蜘蛛共12只，腿有182条，蛐蛐和蜘蛛各有多少只？
小学六年级奥数教案—23图解法 本教程共30讲 图解法 有许多应用题，其中的数量关系比较复杂，而通过画图可以把数量之间的关系变得直观明了，从而达到解题目的。这种通过画图帮助解题的方法就是图解法。 我们通过下面几道例题来讲解在各种类型的应用题中如何使用图解法解题。 例1甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1 盘。问：小强已经赛了几盘？分别与谁赛过？ 分析与解：这道题按照常规思路似乎不太好解决，我们画个图试试。用五个点分别表示参加比赛的五个人，如果某两人已经赛过，就用线段把代表这两个人的点连结起来。 因为甲已经赛了4盘，除了甲以外还有4个点，所以甲与其他4个点都有线段相连（见左下图）。 因为丁只赛了1盘，所以丁只与甲有线段相连。 因为乙赛了3盘，除了丁以外，乙与其他三个点都有线段相连（见右上图）。 因为丙赛了2盘，右上图中丙已有两条线段相连，所以丙只与甲、乙赛过。 由上页右图清楚地看出，小强赛过2盘，分别与甲、乙比赛。 例2 一群人在两片草地上割草，大的一片草地比小的正好大1倍。他们先全体在大的一片草地干了半天，下午留下一半人在大草地上继续
干，收工时正好把草割完；另一半人到小草地上干，收工时还余下一块，这块再用1人经1天也可割完。问：这群干活的人共有多少位？ 分析与解：本题有多种解法，其中利用图解法十分简洁。 设一半人干半天的工作量为1份。因为在大草地上全体人干了半天，下午一半人又干了半天，正好割完，所以大草地的工作量是3份。由题意，小草地 因为下午有一半人在小草地上干了半天，即干了1份，所以小草地没干完的是 例3 A，B两地间有条公路，甲从A地出发步行到B地，乙骑摩托车从B地同时出发，不停顿地往返于A，B两地之间。80分钟后他们第一次相遇，又过了20分钟乙第一次超越甲。求甲、乙速度之比。 分析与解：在行程问题中，通常先画出运行图，这样直观清晰，可以帮助我们分析各个量之间的关系。依照题意画运行图如下：
用画图法解决问题 1．看图填空。 (1)正方形的边长是（），它的面积是（）。 (2)正方形变成长方形后，面积增加了（），大长方形的宽是（）。 (3)小长方形的长是（），宽是（）。 (4)大长方形的长是（），宽是（）。 2. 从一张长20米、宽15米的长方形纸上剪下一个最大的正方形，剩余部分的面积是多少平方米？（先在图上画一画，再解答） 3. 张老师家有一块长方形菜地，如果长增加5米，面积就增加50平方米；如果宽增加3米，面积就增加60平方米。这块长方形菜地的面积是多少平方米？ 4．一块长方形的花布，如果长减少5分米或宽减少3分米，面积都比原来减少45平方分米，原来这块花布的面积是多少平方分米？（先分别在图中画出长减少和宽减少的部分，再解答）
5．植物园有一块空地长85米，宽50米，现进行规划，把这块地的长增加了20米，宽增加到85米，这块地的面积新增了多少平方米？（在下图中画出增加的部分，再解答） 6．光明小学有一块边长8米的正方形草坪，四周有一个宽1米的花圃，在花圃里栽牡丹花，每棵占地1平方米，一共要栽多少棵？（先在图上画一画，再解答） 7. 人民剧场原来有座位40排，每排28个座位。扩建后，增加了5排，每排增加了4个座位，扩建后比原来多坐多少人？ 8. 一个正方形，如果它的边长增加5米，所形成的的正方形比原来正方形的面积多95平方米，原来正方形的边长是多少米？（先画出示意图，再解答）
参考答案 1．看图填空。 (1)正方形的边长是（5米），它的面积是（25平方米）。 (2)正方形变成长方形后，面积增加了（10平方米），大长方形的宽是（5米）。 (3)小长方形的长是（5米），宽是（2米）。 (4)大长方形的长是（7米），宽是（ 5米）。 2. 从一张长20米、宽15米的长方形纸上剪下一个最大的正方形，剩余部分的面积是多少平方米？（先在图上画一画，再解答） 20－15＝5（米） 15×5＝75（平方米） 答：剩余部分的面积是75平方米。 3. 张老师家有一块长方形菜地，如果长增加5米，面积就增加50平方米；如果宽增加3米，面积就增加60平方米。这块长方形菜地的面积是多少平方米？ 示意图： 长方形的宽：50÷5＝10（米）；长方形的长：60÷3＝20（米） 长方形菜地的面积：20×10＝200（平方米）
第十五讲画图凑数法 例l 一只鸡有一个头2只脚，一只兔有一个头4只脚．如果一个笼子里关着的鸡和兔共有10个头和26只脚，你知道笼子里有几只鸡、有几只兔吗? 解：这是古代的民间趣题，叫“鸡兔同笼”问题．见图 15-1(1)、(2)、(3)． ①先画10个头： ②每个头下画上两条腿： 数一数，共有20条腿，比题中给出的腿数少26-20=6条腿． ③给一些鸡添上两条腿，叫它变成兔．边添腿边数，凑够26条腿．． 每把一只鸡添上两条腿，它就变成了兔，显然添6条腿就变出来3只兔．这样就得出答案，笼中有3只兔和7只鸡． 例2 一辆自行车有2个轮子，一辆三轮车有3个轮子．车棚里放着自行车和三轮车共10辆，数数车轮共有26个．问自行车几辆，三轮车几辆7 ． 解：发挥想像力和创造力，你可以画一个简图代表车身，见图15—2(1)、(2)、(3)．①先画10个车身： ②在每个车身下配上两个轮子，它就成了自行车： ③数一数共20个车轮，比题中给出的轮子数少26-20=6个轮子，在自行车下面添轮子，每添一个轮子，这个自行车就成了三轮车．边添边凑数，凑出26个轮子出来．
最后数一数，共有6辆三轮车，4辆自行车．注意，用这种画图凑数法解题，很直观，也比较快，为了使解题速度更快，可以把三个步骤合起来，就能得出答案．例3 一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿．现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿．问蛐蛐几只，蜘蛛几只? 解：此题要想个更简单的办法，见图15—3(1)、(2)． ①先画10个头，在每个头下写上数字“6”，代表6只腿，——即先假设10只都是蛐蛐，则如t ②数一数，算一算，6×10=60，即共有60条腿，比题中给出的腿数少68-60=8条腿，所以就要在下面再添腿，每在一个头下添2条腿(写个“2”)，它就变成了一只蜘蛛，共添上8条腿，就使总腿数凑够68条腿了． 最后数一数，共有4只蜘蛛，6只蛐蛐．解这道题时，我们用数字代表腿数，使我们省去了画“腿”的麻烦．其实，也可以完全省去画图，我们只要把解题想法和算式摘出来就行了! 第一步，先把10只全部看成是蛐蛐，那么一共就有： 6×10=60条腿．第二步，算一算少了多少条腿? 少了68-60=8条腿．’ 第三步，把一个蛐蛐给它添上2条腿，使它变成了蜘蛛，可以变成几只蜘蛛呢? 8÷2=4只(蜘蛛)． 第四步，再算出蛐蛐的只数出来： 10-4=6只(蛐蛐)． 这样一来，我们就不必借助于画图的直观形象，也可以解这类题目了．如果能这样，我们的思维能力就又提高一步了!特别重要的是，我们这样就可以不用“凑数”的尝试方法了．例4 笼中有兔又有鸡，数数腿36，数数脑袋11，问几只兔子几只鸡? 解：方法1：先用画图凑数法解，见图15—4(1)、(2)、(3)． ①先画11个头：’ ②再在头下填腿：
五年级奥数讲义：作图法解题 图形具有直观性,用作图的方法可以将复杂应用题的数量关系直观地表示出来,使题目的已知条件和所求问题一目了然,并借助直观的图形进行分析、推理,进而很快找到解决问题的策略.这种方法我们称为作图法解题,特别是对解答条件复杂、数量关系不明显的应用题,能起到化难为易的作用. 例题选讲 例1:鸡与兔同笼共100只,一共有240只脚鸡与兔各多少只? 【分析与解答】这是鸡兔同笼问题,我们在前几讲已学会用其它方法解答,现在用作图法来解答,让同,学们体会一下这种方法的作用.图1中两个长方形的总面积表示的是鸡与兔脚的总个数,宽表示每只鸡与兔的脚的个数.则长就是要求的鸡与兔的只数.仔细观察图2,阴影部分的面积表示鸡与兔多出的脚,它应该等于总面积减空白面积,即240—2 x 100=40(只),那么阴影部分的长,也就是兔的只数应为40÷(4—2)=20(只),鸡的只数就是1OO-20=80(只)． 例2:甲、乙两车同时从A、B两地相向开出,第一次相遇时离A地有90千米,然后各按原速度继续行驶,到达目的地后立即沿原路返回,第二次相遇时离B地70千米处,求A、B两地的路程. 【分析与解答】求A、B两地的路程,题中既没有给出甲、乙 的速度,也没有给出相遇时间,解答比较困难.下面我们借助 线段图来帮助分析.从图上可以看出,甲、乙两车从出发到第一次相遇共行驶了一个全程,当两车共行驶1个全程时,甲车行驶了90千米.从第一次相遇到第二次相遇,甲、々两车又共行驶了2个全程.因此从出发到第l二次相遇甲、乙两车共行驶了3个全程,那么甲车就行驶了3个90千米,即90×3=270千米,而甲车比全程多行70千米.所以A、B的距离为270—70=200(千米). 练习与思考 1.有10分和20分的邮票共18张,总面值为2．80元.请问：10分和20分的邮票各有几张? 2.张红与李明同时从甲、乙两地相向而行,第一次两人相遇时离乙地400米.然后两人继续步行,各自到达目的地后立即返回,第二次相遇时离甲地200米,求甲、乙两地的距离.
11 画图法解决问题 学习目标: 1.让学生初步学会画线段图，掌握画图的基本技巧，并知道用线段图可以帮助 理解题意。 2、学会用线段图分析数量关系，进而解决实际问题，初步渗透数形结合的思想。 3、让学生感受数学与实际生活的联系，增强学习兴趣，养成良好的思维、解题习惯。 教学重点: 1、初步掌握画线段图的技巧 2、引导学生运用画线段图分析数量关系，进而解决实际问题。 教学难点： 1、初步学会画线段图，并学会用线段图分析数量关系。 2、渗透数形结合的思想。 教学过程： 一、情境体验 师：同学们能从图中获取哪些信息？ 生：教室里面的同学们在打扫卫生，有的同学在扫地，有的同学在擦桌椅。师：有几个同学在扫地呢？ 生：图中告诉我们扫地的有7人。 师：擦桌椅的有几人呢？ 生：擦桌椅的是扫地的2倍。 师：2倍怎么理解呢？我们可以用线段图来表示，从线段图中可以很清楚地看出数量关系。 师：怎样算擦桌椅的人数呢？ 生：可以用乘法计算得到7×2=14人。 师：画图法是解决数学问题的重要方法之一，运用画图法来解题，可以使题中数量关系更清楚明朗，今天我们就来学习用画图法解决问题。
二、思维探索（建立知识模型） 展示例1 例1：小明比小英小5岁，小方比小明大2岁。那么小英和小方相差几岁？师：有几个小朋友比年龄呀？ 生：三个。 师：他们的年龄有什么关系？ 生：小明比小英小，小方比小明大。 师：小明比小英小，说明小英比小明？ 生：比小明大。 师：小方和小英都比小明大，那么小方和小英谁大呢？相差几岁呢？ 生1：小英大。 生2：小方大。 师：同学们的意见不统一，所以这类题目有个好方法，就是画线段图。 师：都跟小明比并且小明最小，我们就以小明为基准，先画出小明的年龄（如图），用这条线段表示小明的年龄。 师：小方比小明大2岁，线段比小明的长还是短？ 生：长。 师：对，要长出一部分，多出来的部分表示2岁。 师：然后画小英，还是和小明作比较，比小明长还是短？ 生：比小明的长，要多出来5岁。 师：5岁和2岁应该哪个长？ 生：5岁的长。 师：没错，那么多出来的部分表示5岁。注意，我们线段的起点都是对齐的。这样看图，小英和小方谁大，她们相差几岁呢？ 生：3岁。 小结：画图解题时，应根据题意找到基准量，根据已知条件的数量关系画图，再进行观察分析，找出答案，最后列式解答。 三、思维拓展 展示例2
三年级数学思维训练基础第十一讲用画图法解决和差问题 姓名 和差应用题的基本“数学格式”是：已知大、小二数的和与差，求此二数，同样，用画图法表示大、小二数的数量关系可表示为： 例1小军和他爸爸今年的年龄之和是42岁，年龄之差是26岁。小军与他爸爸今年各多少岁？ 例2 三年级一班有学生49人，其中女生比男生少5人。这个班男、女生各多少人？ 例3 哥哥今年14岁，妹妹今年8岁，当兄妹俩岁数的和是42岁时，俩人各应该是多少岁？ 爸爸： 小军： 女： 男： 若干年后哥哥：
若干年后妹妹： 例4 方方和圆圆共有图书70本，如果方方给圆圆5本，那么圆圆就比方方多4本。问：方方和圆圆原来各有图书多少本？？ 现在方方： 现在圆圆： 例5 甲的书比乙多9本，比丙多2本，乙、丙共有书47本。问：甲、乙、丙各有多少本书？ 甲： 乙： 丙： 练习十一 （要求画出线段图） 1、一农业技术员做良种对比试验。选两块大小相同、水土完全一样的土地，一块种良种小麦，一块种非良种小麦。结果共收获884千克，良种小麦比非良种小麦多收156千克。求良种与非良种小麦的产量分别是多少千克？ 良种小麦： 非良种小麦：
2、水果店一天卖出苹果和梨共386千克，梨比苹果少卖84千克。苹果和梨各卖多少？ 梨： 苹果： 3、弟弟今年15岁，姐姐今年20岁。当姐弟俩岁数的和是75岁时，两人各多少岁？ 若干年后姐姐： 若干年后弟弟： 4、两堆石子相差16粒，如果混在一起，那么可以重新分成数量都是28粒的三堆。求原来两堆石子各有多少粒？ 第一堆： 第二堆： 5、红红与兰兰共有61本书，红红给了兰兰5本书，兰兰自己又新买了3本书，红红现在比兰兰少2本书。问：两人原来各有几本书？ 现在红红： 现在兰兰：
《解决问题的策略一画图法（1）》教学案例 一、教材定位。 （一）教学内容： 苏教版小学义务教育课程标准实验教科书四年级数学下册第89至90页例 题、“试一试”和“想想做做”。 （二）教学目标： 1.知识与技能方面：要使学生在解决实际问题的过程中学会画直观示意图的 方法，整理相关信息，进而借助直观图发现条件与问题之间的数量关系，确定解决问题的正确思路。 2.过程与方法上：要使学生在对解决实际问题过程的反思中，进一步体验画直观示意图的的优势，感受画图整理信息是解决问题的常用策略。 3.情感态度与价值观取向中：要使学生进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，发展形象思维和抽象思维，提高学好数学的自信心。 （三）教学重点：体验解题策略的价值，能正确解决问题。 （四）教学难点：学会画图法整理数据，分析数量关系，明确解题思路。 （五）教学用具:多媒体课件、学生尺、米尺。 二、教学过程： （一）温故知新，揭示策略。（大约5分钟） 【这一环节设计，意图检测学生画图的能力，巩固长方形面积的计算方法，为新知学习做好充分准备，同事抓准时机，自然导入新课。】 开头语：同学们，今天老师想请大家当一回设计师，看哪位同学图画得漂亮，解决问题又快又对，那他（她）就是最棒的设计师。 出示练习：先画一幅长30厘米、宽20厘米的长方形的示意图，再求它的面积。 1.学生练习，指名板演。 2.交流展示，共同回顾。 答问：画图时要注意什么（长画得稍长些，宽画得稍短些）怎样求这个长方形的面积（指名口答）长方形的长、宽和面积有什么关系你会用哪些关系式来表达这三者的关系 3.巧妙谈话，明确任务。 谈话：刚才你们画出了长方形的示意图，也解答了简单的求长方形面积的问题。这
第10课时用画图法解题 一、教学目标 1.培养学生根据题意画图的能力，使其初步掌握这种方法。 2.教会学生画图的方法， 阿凡提和巴依老爷是邻居.阿凡提家有6只羊，巴依家有12只羊.一天，巴依把自己家的羊卖了6只，又偷来阿凡提家的6只羊，和自家剩下的6只羊混在一起，关在自家羊圈里，每边关3只(如图).但聪明的阿凡提把羊重新排了一下，牵回了被巴依偷的6只羊，而且每边仍是3只.你知道阿凡提是怎样排的羊吗? 本节课主要内容：我们在解决很多应用题的时候都需要通过画图来解决，学生根据题意画图的能力，也决定了他的解题能力，这种能力需要从小培养.那么在本节课中我们将通过一些典型例题来引导孩子学习画图的方法,让学生会用画直观图的方法来解决鸡兔同笼和排队问题.会用画线段图的方法来解决简单的倍数问题.
【教学思路】首先老师要引导学生读故事，然后画出如左下图的简易图，开始的时候是12只羊，每边3只，中间是房子所以不放.阿凡提把自己家的6只羊都牵走了，这样就只剩下6只羊来重新 排列，而且还必须每边3只.具体排法如右下图： 在数学的海洋中，有时解决一些问题你是否发现只要我们多动手，动手摆一摆、动手画出直观图，就可以很轻松的解决问题呢！画图的方法有很多，如画线段图、画直观图等，究竟这些方法应该怎样应用呢？下面就让我们通过一些数学问题来体会画图法的妙用吧！ 小朋友们，我们所学习的排队问题一般可以通过画图来解决，我们不妨来试一试. 二年级同学外出参观，二(1)班34人排成一行，从左向右数，小雪是第8个，从右向左数，小芹是第9个，那么从小雪数到小芹一共有多少个同学? 很多数学问题，都可 以用画图法来解决，
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/c011670401.html, 小学数学教学中运用画图法解决问题的基本策略 作者：黄仲重 来源：《读写算》2013年第34期 教学实践中，不同学生在解决数学问题时存在显著差异。有的学生理解能力强，抽象水平高，直接通过文字阅读就能清晰理解数量关系，构建起数学模型，顺利解决问题。但也有不少学生理解能力较弱，抽象水平低，需要借助直观，才能较好地理解题意、解决问题。这时，画图就成为这部分学生解决问题的重要依杖。 作为数学教师，应该有意识地在解决数学问题过程中培养学生画图的意识和能力，让学生借助直观的示意图或线段图，将题目中蕴含的数量关系以直观形象的方式表示出来，让学生能根据遇到的题目，灵活运用学过的画图方法来解决. 一、对运用画图法解决数学问题的价值思考 1.、画图能把学生的兴趣与数学学习相结合 小学生特别喜欢画画，如果您是一位细心的老师或家长，一般都能从这个年龄段学生的书包里发现一本或几本有图或画的本子，这是课间或闲暇时一个学生或几个学生一起交流和活动的场所。游戏本或画画本，里面画满了只有学生们才能读懂的游戏规则和游戏过程。兴趣是最好的老师，既然学生们这么喜欢画画，喜欢用图画表达各自不同的想法，我就利用他们擅长画画的特点，把“图”与数学学习相结合，激发他们的数学学习兴趣，让他们用自己喜爱的方式画图，通过生动有趣的原生态图形，使数学与图形结合，以画促思，最终化复杂为简单，化抽象为直观，从而更好地寻找问题的答案。同时，让他们在尝试中体会到画图解题的快乐，体验用画图法解题带来的成功感和价值感。 2、画图是学生数学学习“有形”的语言 作为中低段的数学老师，经常有这样的感触：有些学生能把一些数学题做出来，但对解题的思路总说不清楚，而且越说越糊涂，想在这个年段渗透一些数形结合思想、对应思想、转化思想等，更是难上加难。而画图法，却是一座桥梁，它让学生把图当做“有形”的语言，把想法说出来，把思路理清楚，从而顺利解决数学问题。当然也要认真对待每一位学生的图画“作品”，不管是“力作”还是“劣作”，都是学生不同的解读和表达。教师在对图的解读过程中解读 学生，以此来不断地完善和提高学生的解题能力。让我们借着画图这座“桥”，使所有的学生都在图画过程中感受解决问题的魅力所在。 3、指导学生画图也是教师提高自身专业素养的重要途径
作图法解题 专题简析： 用作图的方法把应用题的数量关系提示出来，使题意形象具体，一目了然，以便较快地找到解题的途径，它对解答条件隐蔽、复杂疑难的应用题，能起化难为易的作用。 在解答已知一个数或者几个数的和差、倍差及相互之间的关系，求其中一个数或者几个数问题等应用题时，我们可以抓住题中给出的数量关系，借助线段图进行分析，从而列出算式。 例1.五（1）班的男生人数和女生人数同样多。抽去18名男生和26名女生参加合唱队后，剩下的男生人数是女生的3倍。五（1）班原有男、女生各多少人？ 变式训练 1.两根电线一样长，第一根剪去50厘米，第二根剪去180厘米后，剩下部分，第一根是第二根长度的3倍。这两根电线原来共长多少厘米？ 2.甲、乙两筐水果个数一样多，从第一筐中取出31个，第二筐中取出19个后，第二筐剩下的个数是第一筐的4倍。原来两筐水果各有多少个？ 3.哥哥现存的钱是弟弟的5倍，如果哥哥再存20元，弟弟再存100元，二人的存款正好相等。哥哥原来存有多少钱？ 例2.同学们做纸花，做了36朵黄花，做的红花比黄花和紫花的总数还多12朵。红花比紫花多几朵？ 变式训练 1.奶奶家养了25只鸭子，养的鸡比鸭和鹅的总数还多10只。奶奶家养的鸡比鹅多几只？ 2.批发部运来一批水果，其中梨65筐，苹果比梨和香蕉的总数还多24筐。运来的香蕉比苹果少多少筐？
3.期末测试中，明明的语文得了90分。数学比语文和作文的总分少70分。明明的数学比作文高多少分？ 例3.甲、乙、丙、丁四个小组的同学共植树45棵，如果甲组多植2棵，乙组少植2棵，丙组植的棵数扩大2倍，丁组植树棵数减少一半，那么四个组植的棵数正好相同。原来四个小组各植树多少棵？ 变式训练 1.甲、乙、丙、丁四个数的和是100，甲数加上4，乙数减去4，丙数乘以4，丁数除以4后，四个数就正好相等。求这四个数。 2.甲、乙、丙三人分113个苹果，如果把甲分得的个数减去5，乙分得的个数减去24，丙把分得的个数送给别人一半后，三人的苹果个数就相同。三人原来各分得苹果多少个？ 3.甲、乙、丙、丁一共做370个零件，如果把甲做的个数加10，乙做的个数减20，丙做的个数乘以2，丁做的个数除以2，四人做的零件正好相等，求乙实际做了多少个？ 例4.五（1）班全体同学做数学竞赛题，第一次及格人数是不及格人数的3倍多4人，第二次及格人数增加5人，使及格的人数是不及格人数的6倍。五（1）班有多少人？ 变式训练 1.有两筐水果，甲筐水果的个数是乙筐的3倍，如果从乙筐中拿5个放进甲筐，这时甲筐的水果恰好是乙筐的5倍。原来两筐各有多少个水果？
第十八讲图解法 图形是数学研究的对象，也是数学思维和表达的工具。 在解答应用题时，如果用图形把题意表达出来，题中的数量关系就会具体而形象。图形可起到启发思维、支持思维、唤起记忆的作用，有利于尽快找到解题思路。有时，作出了图形，答案便在图形中。 （一）示意图 示意图是为了说明事物的原理或具体轮廓而绘成的略图。 小学数学中的示意图简单、直观、形象，使人容易理解图中的数量关系。 例1 妈妈给兄弟二人每人10个苹果，哥哥吃了8个，弟弟吃了5个。谁剩下的苹果多？多几个？（适于四年级程度） 解：作图18-1。 哥哥吃了8个后，剩下苹果： 10-8=2（个） 弟弟吃了5个后，剩下苹果： 10-5=5（个） 弟弟剩下的苹果比哥哥的多： 5-2=3（个） 答：弟弟剩下的苹果多，比哥哥的多3个。 例2一桶煤油，倒出40％，还剩18升。这桶煤油原来是多少升？（适于六年级程度） 解：作图18-2。
从图中可看出，倒出40％后，还剩： 1-40％=60％ 这60％是18升所对应的百分率，所以这桶油原来的升数是： 18÷60％=30（升） 答略。 例3把2米长的竹竿直立在地面上，量得它的影长是1.8米，同时量得电线杆的影长是5.4米。这根电线杆地面以上部分高多少米？（适于六年级程度） 解：根据题意画出如图18-3（见下页）的示意图。 同一时间，杆长和影长成正比例。设电线杆地面以上部分的高是x米，得： 1.8∶5.4=2∶x 答略。 （二）线段图 线段图是以线段的长短表示数量的大小，以线段间的关系反映数量间关系的一种图形。在小学数学应用题教学中线段图是使用最多、最方便的一种图形。
例1王明有15块糖，李平的糖是王明的3倍。问李平的糖比王明的糖多多少块？（适于三年级程度） 解：作图18-4（见下页）。 从图18-4可看出，把王明的15块糖看作1份数，那么李平的糖就是3份数。 李平比王明多的份数是： 3-1=2（份） 李平的糖比王明的糖多： 15×2=30（块） 综合算式： 15×（3-1） =15×2 =30（块） 答略。 例2托尔斯泰是俄罗斯伟大作家，享年82岁。他在19世纪中度过的时间比在20世纪中度过的时间多62年。问托尔斯泰生于哪一年？去世于哪一年？（适于四年级程度） 解：作图18-5。 从图18-5可看出，他在20世纪度过的时间是： （82-62）÷2 ＝20÷2
用画图法解决问题 一、培养学生画图策略的必要性 在《新课程标准》提出的课程目标中，把解决问题作为重要的课程目标，并指出：要使学生面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。画图策略是众多的解题策略中最基本的、也是一个很重要的策略。它是通过各种图形帮助学生把抽象问题具体化、直观化，从而使学生能从图中理解题意和分析数量关系，搜寻到解决问题的突破口，从而形成解题的思路。因此，人们在解决问题时喜欢使用画图策略。为什么需要画图?怎样让学生学会画图?不是把现成的图画好展现给学生看，也不是直接告诉他们怎样画，而是让学生在思考的过程中产生画图的需要，在自己画图的活动中体会方法、感悟策略、发展思维、获得思想。贯穿在学习过程始终的应该是——引导学生走上数学思维之旅。从这个意义上讲，画图能力的强弱也反映了解题能力、思维能力的高低。所以在解决问题的教学过程中，注意培养学生运用画图策略分析解决问题的能力是非常必要的。 二、鼓励学生运用多种图的形式分析和解决问题 在传统的应用题教学中，提到画图教师们想得更多的是线段图，而且那时的线段图在画法上也有明确的要求，如：单位“1”要标在图的上面，画图必须准确，要用直尺等，可以说传统的教学更多的是把画图作为一个知识教给学生，而不是把它看成帮助学生解决问题的一个策略来进行教学，所以学生不愿意按照老师的要求来画图。新教材把画图作为一种策略来教给学生，而且画图的形式也不只限于线段图，学生可以根据自己的需要画出不同的图来帮助自己分析、理解数量关系，解决实际问题。因此教师应鼓励学生运用多种图的形式分析和解决问题。在这个过程中要遵循这样一个原则，即能把数量关系最清晰、最直接地显示出来的图形，是我们最佳的选择。学生正是在教师的不断鼓励和尊重中大胆提出自己的不同见解，运用更多的图来帮助自己分析和解决问题。 二、抓住培养学生画图策略的重要内容 教学要真正做到培养学生运用画图策略解决问题的能力，不是在加深问题的难度上下功夫，而是要通过有代表性的又为学生容易接受的题目，着重培养学生的画图策略，使学生能够产生迁移，这样即使遇到一些未解过的题目，学生经过自己的画图、分析也能找出解答的方法。例如，比多少、倍的认识、有余数除法、行程问题、分百应用题，
作图法解题 1，五（1）班的男生人数和女生人数同样多。抽去18名男生和26名女生参加合唱队后，剩下的男生人数是女生的3倍。五（1）班原有男、女生各多少人？ 2，两根电线一样长，第一根剪去50厘米，第二根剪去180厘米后，剩下部分，第一根是第二根长度的3倍。这两根电线原来共长多少厘米？ 3，甲、乙两筐水果个数一样多，从第一筐中取出31个，第二筐中取出19个后，第二筐剩下的个数是第一筐的4倍。原来两筐水果各有多少个？ 4，哥哥现存的钱是弟弟的5倍，如果哥哥再存20元，弟弟再存
100元，二人的存款正好相等。哥哥原来存有多少钱？ 5，同学们做纸花，做了36朵黄花，做的红花比黄花和紫花的总数还多12朵。红花比紫花多几朵？ 6，奶奶家养了25只鸭子，养的鸡比鸭和鹅的总数还多10只。奶奶家养的鸡比鹅多几只？ 7，批发部运来一批水果，其中梨65筐，苹果比梨和香蕉的总数还多24筐。运来的香蕉比苹果少多少筐？
8，期末测试中，明明的语文得了90分。数学比语文和作文的总分少70分。明明的数学比作文高多少分？ 9，甲、乙、丙、丁四个小组的同学共植树45棵，如果甲组多植2棵，乙组少植2棵，丙组植的棵数扩大2倍，丁组植树棵数减少一半，那么四个组植的棵数正好相同。原来四个小组各植树多少棵？ 10，甲、乙、丙、丁四个数的和是100，甲数加上4，乙数减去4，丙数乘以4，丁数除以4后，四个数就正好相等。求这四个数。 11，甲、乙、丙三人分113个苹果，如果把甲分得的个数减去5，乙分得的个数减去24，丙把分得的个数送给别人一半后，三人的苹果个数就相同。三人原来各分得苹果多少个？
小学数学用画图法解决问题的策略研究 黄岩南城中心小学赵朝君 一、课题研究的背景和赵 课程改革之后，新教材没有把应用题作为一个独立的单元來教学，对于解題的一些方法、策略教师没有很好或不知道如何系统的渗透和灌输。在实际教学中本人发现不少学生（中差生）解决问题的能力不强.有的学生读题能力差，往往不能准确的把实际问題抽彖成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际中去:对所学数学知识的实际背景了解不多，缺少必要的生活体验：对來口生活的各种倍息不能准确理解：解决问題的方法、策略不够多样、准确，思路不够开涌，等等。 数学是解决问题的科学，即数学的主要功能是解决问题，具体解題时选择解題的方法和策略是十分重要的，它直接关系到能否解决该问题或比较简单地解决该问題。顾图策略是众多的解題策略中最基本的、也是一个很重要的策略。画图的价值在于用图形语言刻画问题：用图形语言寻找解决问题的思路：用图形语言解决问题：用图形语言刻画问题的结果。画图是个重要的工具，体现直观化。当学生把图画岀來后，数形结合，把抽線问題具体化、直观化，从而使学生能从图中理解题意和分析数塑关系，搜寻到解决问題的突破口。从这个意义上讲，画图能力的强弱也反映了解题能力的奇低。 我所任教的是五年级学生。由于一到四年级他们没掌握好画图策略，导致现在他们会做的题不画图，不会做的题更想不到画图。学生利用画图來解决实际问題的意识不强，画图的能力也不强.利用画图來检验口己的解题过程和结果的学生更是塞寒无儿，而画图策略在解决问題中的作用，那是无可厚非的，我想在五年级的时候进行补救。因此，我确立了“小学数学用画图法解决问题的策略研究”这一课题。 二、研究综述. “问題解决”是美国数学教育界80年代以來的主要口号。在国内：作为“解决问題”的前生“应用題”教学有不少专家、学者?进行研究取得很多成果。作为新课程中的“解决问題”也有不少专家，一线老师从不同角度进行研究。有从“数形结合”入于研究的：瑞安市塘下镇鲍一小学的陆昌波老师研究的“数形结合是问题解决的有效策略”。方洞中学的张伟老师研究的“如何利用“数形结合”的思想解决应用题教学的难点”有从“年段”入于研究的：常州市新北区新桥中心小学的万小茂老师“小学低年级数学解决实际问題教学策略的研究”北京某校课题组研究的“培养中小学生问题解决能力策略的研究”。 本课題研究是借助图形，把纯文字的解决问题变得直观明了，在纷繁的数呈之间，去除非本质属性，抓住数虽之何的本质联系。指导学生如何借助于图形的性质将许多抽彖的数学概念和数虽关系形象化、简单化，恰当地借助直观图形，让数虽基于图形“显山露水”。当然，在解决问题的过程中，借助图形是过程状
画图解题 1.鸡和兔在同一个笼子里，一共有3个头8条腿，你知道有几只鸡、几只兔吗？ 2.一只蛐蛐有6条腿，一只蜘蛛有8条腿，如果蛐蛐和蜘蛛共有3只，腿共有22条，你知道有几只蛐蛐、几只蜘蛛吗？ 3.自行车和三轮车共有3辆，共有8个轮子，你知道有几辆自行车、几辆三轮车吗？ 4.一只乌龟有4条腿，一只仙鹤有2条腿，如果乌龟和仙鹤共有5只，共有14条腿，你知道有几只乌龟，几只仙鹤吗？ 5.鸡兔同笼，共10个头、26条腿，笼里有几只鸡、几只兔？ 6.鸡兔同笼，共有8个头，共有22条腿，有几只鸡，几只兔？ 7.蛐蛐和蜘蛛共12只，共有82条腿，它们各有几只？
8.鸡兔同笼，共有9个头，28条腿，笼中的鸡兔各有多少只？ 9.蛐蛐和蜘蛛共15只，共有100条腿，蛐蛐和蜘蛛各有多少只？ 10.蛐蛐和蜘蛛共有8只，共有54条腿，蛐蛐和蜘蛛各有几只？ 11.螃蟹和甲鱼共10只，共有64条腿，它们各有多少只？ 12.笼中有兔又有鸡，数数腿36条，数数脑袋11只，问有几只兔子几只鸡？ 13.一辆自行车有2个轮子，一辆三轮车有3个轮子，车棚里放着自行车和三轮车共12辆，数数车轮共27个，问自行车有几辆？三轮车有几辆？
14.车棚里放着自行车和三轮车共10辆，数数车轮拱26个，问车棚里的自行车有几辆？三轮车有几辆？ 15.广场上停着三轮车和小汽车共12辆，数数车轮共有40个，问有几辆三轮车，几辆小汽车？ 16.停车场停着大汽车和小汽车共14辆，大汽车有6个轮子，小汽车有4个轮子，现在两种汽车共有72个轮子，问大汽车和小汽车各有几辆？ 17.小林共有16枚硬币，有5角和1角两种，它们合在一起共有4元4角。5角和1角的硬币各有几枚？ 18.十元钱买8角邮票和4角邮票，共买17张，问两种邮票各多少张？ 19.有5元的和2元的两种游艇票共18张，总钱数是66元，问每种游艇票各几张？ 20.小白兔采蘑菇，晴天每天可以采20个，雨天每天可采12个。它一连采了8天，一共采了112个蘑菇。这8天中有几天是雨天？
第一讲画图凑数 （鸡兔同笼问题） 同学们都知道，每只动物都只有一个头，可腿的条数却有多有少。如果把不同的小动物关在一个笼子里，只告诉你它们头的个数和腿的条数，我们该如何判断被关的小动物们分别有多少只呢？在这里，介绍一种“画图凑数”法，运用这种方法就能比较容易地解答这类题了。 开心进入： 从前有一个秀才，家境贫寒，有一天，他去集市上买菜，他很想卖只鸡回家孝敬老母，但摸摸自己的口袋，心想，今天又只能买写青菜回家吃了。就这样在集市上转悠，转到卖家禽的地方，看着笼中的鸡和兔舍不得走。卖鸡的老板看见了，就打趣秀才说： “鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露。数清脚共一百只，各有多少鸡和兔？”我数到十你要是能答出来，我就送只鸡给你。 你们猜秀才能得到鸡回家孝敬母亲吗？ 方法一列表尝试。 方法二
一、学习探究 例1、（1）想一想：1只鸡有几个头，几条腿？1只兔呢？1只兔比1只鸡多几条腿？ （2）说一说，如果鸡和兔在同一个笼子里，一共3个头、8条腿，你知道有几只鸡、几只兔吗？你是怎样想的？ （3）填一填：鸡兔同笼，一共3个头，10只腿，有（）只鸡，（）只兔。
例2、一只鸡有一个头2只脚，一只兔有一个头4只脚．如果一个笼子里关着的鸡和兔共有10个头和26只脚，你知道笼子里有几只鸡、有几只兔吗？ 例3、一辆自行车有2个轮子，一辆三轮车有3个轮子．车棚里放着自行车和三轮车共10辆，数数车轮共有26个．问自行车几辆，三轮车几辆？ 例4、一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿．现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿．问蛐蛐几只，蜘蛛几只？ 例5、今有五分的和一角的两种汽车票，共10张，总钱数是七角五分．问每种各几张？