几何证明选讲教学设计
考试要求
1、了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理；
2、理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论；
3、掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理． 教材分析
这是新课程选修课程的一个新的内容，本专题的内容包括相似三角形的进一步认识、圆的进一步认识．平行线等分线段定理是在“一组平行线”只取三条这种最简单的情况下证明的，证明的方法是借助梯形常用的辅助线把梯形分成平行四边形和三角形，用平行四边形和三角形的知识进行证明．平行截割定理是平行线等分线段定理的一般情形，是研究相似形最重要和最基本的理论，其证明体现了化归的思想，把它应用在三角形上就得到了定理的一个重要推论，这个推论是判定三角形相似的理论基础．圆周角的概念、圆周角定理及其推论在推理论证和计算中应用比较广泛，将圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时，就得到弦切角，圆周角定理和弦切角定理的证明都体现了分类讨论的思想，体现了从特殊到一般的思维过程．相交弦定理、割线定理、切割线定理合称“圆幂定理”，在有关的计算和证明中起着重要的作用． 本讲的内容在初中已经通过观察、实验和操作的方法初步了解，这里不仅是对初中知识的深化，更侧重于逻辑推理与抽象思维．在几何证明的过程中，不仅包含了逻辑演绎的程序，还包含着大量的观察、探索、发现的创造性过程，因此本章是考查推理能力和逻辑思维能力的好资料，在平时的训练中要熟悉基本图形和基本结论，善于归纳总结，提高运用几何方法解决问题的能力．
第一讲 平行线等分线段定理和平行截割定理
教学目标
知识与技能：复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理.
过程与方法：以“平行线分线段成比例定理”为起点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等。
情感态度价值观：基本数学思想是比例及其性质的应用，通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点
平行线分线段成比例定理. 教学难点
相似三角形的判定定理、性质定理等等。 课
时 3课时
一．基础知识回顾
1、如图15-1，l 1∥l 2∥l 3，AM=3，BM=5，CM=4.5，EF=16，则DM= ， EK= ，FK= ．答案:DM=7.5，EK=6，FK=10；
2、如图，ΔABC 中，点D 为BC 中点，点E 在CA 上，且CE=2
1
EA ，AD ，BE 交于点F ，则AF :FD= ．答案:AF :FD=4:1；
3、一个等腰梯形的周长是80cm ，如果它的中位线长与腰长相等，它的高是12cm ，则这个梯形的面积为 cm 2．答案:240；
4、如图15-3，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙80cm ，梯上点D 距墙70cm ，BD 长55cm ，则梯子的长为 cm ．
答案:440．
二．典型例题讲解
例1．如图15-4，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=90°，E 是AB 边的中点，连结ED 、EC ，求证：ED=EC ．
分析：要证明ED=EC ，只要设法证明E 在线段CD 的垂直平分线上．
证明：过E 点作EF ∥BC 交DC 于F 点． ∵在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，
∴AD ∥EF ∥BC ．
∵E 是AB 的中点，
∴F 是DC 的中点． ∵∠ADC=90°，∴∠DFE=90°． ∴EF ⊥DC ，
∴EF 是DC 的垂直平分线． ∴ED=EC ．
评析：根据平行线等分线段定理可以得到，在梯形中，若已知一腰的中点，那么过这点作底边的平行线即可得到另一腰的中点，本题正是利用这一结论再结合线段垂直平分线的性质得证的．平行截割定理的应用很广泛，它体现了从简单到复杂、从特殊到一般的数学思想，是研究相似形最重要、最基本的理论．
例2．如图15-5，在ΔABC 中，作直线DN 平行于中线AM ，设这条直线交边AB 与点D ，交边CA 的延长线于点E ，交边BC 于点N ． 求证：AD ∶AB=AE ∶AC ．
分析：要证明AD ∶AB=AE ∶AC ，必须找到与 AD ∶AB 和AE ∶AC 都相等的第三个量．
证明：∵AM ∥EN ，
∴AD ∶AB=NM ∶MB ，NM ∶MC=AE ∶AC ． ∵MB=MC ，
∴AD ∶AB=AE ∶AC ．
评析：本题的理论依据是平行于三角形一边的
直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比例．由于直接证明相对较困难，所以利用了中间比进行等量代换，这种方法在有关比例式的证明中经常使用．
A M C
E
K F B D l 1 l 2
l 3
图15-1
A
B
C
D F
E 图15-2
A
D B
┐ ┐
图15-3
A B E D
C
图15-4 F A
B
C D
M
E 图15-5
N
例3．在梯形ABCD 中，点E 、F 分别在腰AB 、CD 上，EF ∥AD ，AE ∶EB=m ∶n ． 求证：（m ＋n ）EF=mBC ＋nAD ．你能由此推导出梯形的中位线公式吗？
分析：要证明（m ＋n ）EF=mBC ＋nAD ，只要证明EF=
AD n
m n
BC n m m +++， 又EF 与AD 、BC 都平行，因此比较容易联想到平行截割定理．
证明：【方法一】如图（1），连结AC ，交EF 于点G ． ∵AD ∥EF ∥BC ，
∴
n m
EB AE FC DF ==． ∴n m m AB AE +=，n
m n
CD CF +=． ∵EG ∥BC ，FG ∥AD ，
∴n m m AB AE BC EG +==，n
m n
CD CF AD GF +==． ∴EG=
BC n m m +，GF=AD n
m n
+， ∴EF=EG ＋GF=
BC n m m +＋AD n
m n
+， ∴（m ＋n ）EF=mBC ＋nAD ．
当EF 为中位线时，AE ∶EB=1∶1，即m=n=1， 得2EF=BC ＋AD ，即EF=
2
1
（BC ＋AD ）． 【方法二】如图（2），过点B 作BG ∥CD ，交EF 于点H ，交AD 于G ．
∵AD ∥EF ∥BC ，BG ∥CD ， ∴BC=HF=GD ．
∵EH ∥AG ，
m
n
AE BE =， ∴n m n AB BE AG EH +==，EH=AG n
m n
+． ∴EF=EH ＋HF=
AG n
m n
+＋HF ． ∴（m ＋n ）EF=nAG ＋（m ＋n ）HF=nAG ＋mBC ＋nGD=mBC ＋nAD ．
评析：这个结果称为线性插值公式．当点E 、F 在AB 、DC 的延长线上（或BA 、CD 延长线上）时，由于AE 与EB 的方向相反，可以把m ∶n 理解为负值，在此理解下，此公式仍然成立．证明可仿上面的证明给出．
三．精选试题演练
1、如图15-6，已知：AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AO=78cm ， BO=42cm ，CD=159cm ，则CO= cm ， DO= cm ． 答案:103.35，55.65；
2、已知，如图15-7，AA ′∥EE ′，AB=BC=CD=DE ， A′B′=B′C′=C′D′=D′E′，若AA′=28mm ，EE ′=36mm ， 则BB ′= ，CC ′= ，DD ′= ． 答案:30mm ，32mm ，34mm ；
A
D
C
B E F （1）
G A
D
C
B E F （2）
H G
3、如图15-8，BC ∥B′C′，AC ∥A ′C′．求证：AB ∥A ′B ′．如果BC=2B′C′，那么AB 是A ′B ′的多少倍？
提示：∵BC ∥B′C′，∴
2C B BC
C O OC B O OB ='
'='='．∵AC ∥A ′C′，∴C O OC
A O OA '='． ∴
2B
O OB
A O OA ='='，∴A
B ∥A ′B ′，AB=2 A ′B ′．
4、如图15-9，EF ∥BC ，FD ∥AB ， AE=1.8cm,BE=1.2cm,CD=1.4cm ．求BD ．
答案:2.1cm ．
提示：∵EF ∥BC ，∴
2
3
BE AE CF AF ==．∵DF ∥AB ，∴2
3
CF AF DC BD ==， 即BD=DC 2
3
=2.1cm ．
5、如图15-10，过梯形ABCD 的对角线交点O 作直线EF 平行于底，分别交两腰AD 、BC 于点E 、F ，求证：EF
2CD 1AB 1=+．
提示：∵EF ∥BC ∥AD ，∴
DA DE AB EO =，CB CF AB OF =，AD
AE
CD EO =， BC
BF
CD OF = 将四个等式相加得到2CD EF AB EF =+，则EF
2
CD 1AB 1=+．
6、如图15-11，直线l 分别交ΔABC 的边BC ，CA ，AB 所在直线 于点D ，E ，F ，且AF=31AB ，BD=25BC ，求AE
EC
．
提示：作CN ∥AB 交DF 于点N ，由平行割线定理得
DC
DB
CN BF =，AE EC AF CN =，两式相乘得DB DC AF BF AE EC ?=．又由AF=3
1
AB 得 A
B
C
O
A ′
′
C ′
图15-8
A
B
C
D F
E
图15-9
A
C D
E
F
O
图15-10
A F
E
B
C
D
图15-11
2AF BF =，由BD=25BC 得53DB DC =，则AE EC =2×53=5
6
．
7、已知：M ，N 分别为平行四边形ABCD 的边AB ，CD 的中点，CM ，AN 分别交BD 于点E ，F ，求证：E ，F 三等分BD ．
提示：∵∥AB ∥CD 且AB=CD ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，∴AM ∥CN ，AM=CN ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∴AN ∥CM ．∵DN=NC ，由平行截割定理知DF=FE ，同理FE=EB ．则E ，F 三等分BD ．
8、如图15-12，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点． 求证：GH=
2
1
（BC －AD ）．
提示：由条件得EF 是梯形ABCD 的中位线，则有EF ∥AD ∥BC ，由平行线等分线段定理得AH=HC ，BG=GD ，∴FH=21AD ，FG=2
1BC ，∴GH=FG －FH=2
1
（BC －AD ）．
9、如图15-13，BD=CE ，求证：AC·EF=AB·DF ．
提示：过点D 作DG ∥AC ，交BC 于点G ，得
EF
DF
EC DG BD DG AB AC ===． 或过点E 作EM ∥AB ，可得EF
DF
EM DB EM EC AB AC ===．
四．教学反思
本讲的知识重点是平行线等分线段定理、平行截割定理及其推论，是研究相似形最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判断线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比。在使用定理和推论的时候，应特别注意对应的问题。 这一部分常见的题型为利用比例计算线段的长度和利用平行关系证明比例式（或等积式），突破难点的关键在于抓住平行找比例，没有平行作平行，多个比例巧过渡，需要注意的是，在图形中添加平行线一般要遵循的以下原则：一是不能破坏给定的条件；二是作出的辅助线要能“一线两用”．
图15-12
B
D
A E
F
G H
A
D
E B
C
F
图15-13
第二讲 相似三角形的判定与性质
教学目标
知识与技能：复习相似三角形的定义与性质，证明直角三角形射影定理。
过程与方法：以“平行线分线段成比例定理”为起点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等。
情感态度价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点
相似三角形的判定定理、性质定理等等。 教学难点
相似三角形的判定定理、性质定理等等。 课 时 3课时
一．基础知识回顾
1、如图15-14，ΔABC 中，∠1=∠B ，则Δ ∽Δ ．此时若AD=3，BD=2，则AC= ． 答案: ACD ，ABC ，15；
2、两个三角形相似，它们的周长分别是12和18，周长较小的三角形的最短边长为3，则另一个三角形的最短边长为 ． 答案:
2
9. 3、如图15-15，CD 是Rt ΔABC 的斜边上的高．（1）若AD=9，CD=6，则BD= ； （2）若AB=25，BC=15，则BD= ． 答案:4；9.
4、如图15-16，已知∠1=∠2，请补充条件： （写一个即可）， 使得ΔABC ∽ΔADE ．
答案:∠B=∠D （或∠C=∠E ，或
AB
AD
AC AE ）． 二．典型例题讲解
例1．如图15-17，A 、B 、C 、D 在一条直线上，EA ⊥AD ， 垂足为A ，AB=BC=CD=AE ． 求证：ΔBCE ∽ΔBED ．
分析：ΔBCE 与ΔBED 有一个公共角，因此只要再找一对角对应
A B D ╭ 1 图15-14 ┐ A B C
D
图15-15 D A C B 图15-16 E ╮ ╮ 1 2 ┐ A
B C D
E
图15-17
相等或证明夹这个公共角的两边成比例．
证明：设AB=a ，在Rt ΔABE 中，AB=AE=a ， ∴BE=22AE AB +=2a ． 在ΔBCE 和ΔBED 中，
∵
2a a
2BC BE ==
，BD BE == ∴BE
BD
BC BE =． 又∵∠CBE=∠EBD ， ∴ΔBCE ∽ΔBED ．
评析：三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法．一般的思考程序是：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定夹这个角的两边是否对应成比例；若无角对应相等，就证明三边对应成比例．
例2．如图15-18，E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且3
1
AD AF AB EB ==． 求证：∠AEF=∠FBD ．
分析：∠AEF 是Rt ΔAEF 的一个锐角，因此要证明∠AEF=∠FBD ，可以通过证明
三角形相似得到．
证明：过点F 作FM ⊥BD 于点M ．
设正方形的边长为a ，则BD=2a ．
∵
3
1
AD AF AB EB ==， ∴EB=AF=31a ，AE=DF=3
2
a ．
在Rt ΔDMF 中，EM=DM=22DF=3
2
a ，
∴BM=2a －
32a=3
2
2a ． 在Rt ΔAEF 和Rt ΔMBF 中，
∵21a
3
2a
31
AE AF ==，
2
1a 232a 32BM FM ==， ∠A=∠BMF=90°， ∴ΔAEF ∽ΔMBF ． ∴∠AEF=∠FBD ．
评析：本题的难点是构造含∠AEF 和∠FBD 的相似三角形．在含正方形的有关证明中，常借助正
方形的性质采用计算法证明．
A
C
D M
F
E 图15-18
例3．如图15-19，AD 、BE 是ΔABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，直线FD 交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ．求证：DF2=GF ·HF ．
分析：由于DF ，GF ，HF 三条线段在同一条直线上，因此想直
接得到关系式比较困难，考虑用第三个量作代换．
证明：在ΔAFH 与ΔGFB 中，
∵∠H ＋∠BAC=90°，∠GBF ＋∠BAC=90°， ∴∠H=∠GBF ．
∵∠AFH=∠GFD=90°，
∴ΔAFH ∽ΔGFB ．
∴GF
AF
BF HF ，∴AF·BF=GF·HF ． ∵在RtΔABD 中，FD ⊥AB ， ∴DF 2=AF·BF ．
∴DF 2=GF·HF ．
评析：本题涉及两个基本图形：含斜边上高的直角三角形，含两条高的锐角三角形．含两条高
的锐角三角形是相似形中的基本图形，图中有多对相似三角形，在解题时要充分利用图形提供的有效信息，选择有用的条件和结论．另外直角三角形的射影定理是相似三角形的性质在直角三角形中的应用，在解题中使用十分频繁．
三．精选试题演练
1、已知，如图15-20，在平行四边形ABCD 中，DB 是对角线，E 是AB 上一点，连结CE 且延长和DA 的延长线交于F ，则图中相似三角形的对数是（ ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．大于4 答案: D.
2、如图15-21，已知ΔABC 中，BC=30，高AD=18，EFGH 是ΔABC 的内接矩形，EF=12，则GF=（ ）． A ．7.2 B ．10.8 C ．12 D ．9 答案:B.
3、如图15-22，ED ∥FG ∥BC ，且DE ，FG 把ΔABC 的面积分为相等的三部分，若BC=15，则FG 的长为（ ）．
A ．56
B ．10
C ．43
D ．7.5
答案:A.
┐
A
B
D
C
E
F
G
H
图15-19
A F
E B
C
G
D
图15-20
图15-21
A
B C
D E
F G
H
┐ A
D
E B
F
G 图15-22
4、如图15-23，已知矩形ABCD 中，∠AEF=90°，则下列结论一定正确的是（ ）． A ．ΔABF ∽ΔAEF B ．ΔABF ∽ΔCEF C ．ΔCEF ∽ΔDAE D ．ΔADE ∽ΔAEF
答案:C.
5、如图15-24，在Rt ΔABC 中，∠C=90°，D 是BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，∠B=30，AE=7．求DE 的长． 答案:
35
7
.
6、如图15-25，四边形ACBD 中，E 是CD 上一点，且∠DAB=∠EAC ，．∠DBA=∠ECA ． 求证：ΔADE ∽ΔABC ．
提示：先证明ΔABD ∽ΔACE ，可得
AE
AD
AC AB =，再证明∠DAE=∠BAC ；
7、如图15-26，在ΔABC 中，∠ACB=90°，M 是BC 的中点， CD ⊥AM ，垂足为D ． 求证：ΔAMB ∽ΔBMD ．
提示：由直角三角形射影定理得CM 2=DM·AM ，从而有BM 2= DM·AM ，即
BM
AM
DM BM =，又∠AMB 是公共角，可得结论；
8、如图15-27，已知Rt ΔABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，在该直角三角形中作内接正方形，使其顶点均在ΔABC 的边上，求正方形的边长．
提示：要分两种情况，（1）正方形的一个顶点在斜边上，一个顶点与C
A
B
C
D
E
F
图15-23
A
┐ C
B
E
图15-24
图15-25
D
A
B
E
图15-26
C
A
M
B
D
┐
A
C
B
图15-27
点重合，正方形的边长为
712cm ；（2）正方形的一条边在斜边上，正方形的边长为37
60cm ；
9、如图15-28，已知直角梯形ABCD 中，∠A=∠B=90°，设AB=a ，AD=b ，BC=2b ，作 DE ⊥DC ，交AB 于点E ，连结EC ．
（1）对于①ΔDCE 与ΔADE ；②ΔADE 与ΔBCE ，试判断各组的三角形是否一定相似； （2）如果两个三角形一定相似，请加以证明；
（3）如果不一定相似，请指出它们相似时，a ，b 应满足什么关系．
答案:（1）ΔDCE 与ΔADE 一定相似，ΔADE 与ΔBCE 不一定相似； （2）提示：作DF ⊥BC ，垂足为F ，利用Rt ΔADE ∽Rt ΔFDC 得到
DF
CF
AD AE =， 则AE=a
b 2
，用勾股定理可以计算得ED=22b a a b +，从而可以得到b
a
DE DC AE AD ==， 可以证得Rt ΔDCE 与Rt ΔADE ；
（3）提示：利用相似三角形的对应边成比例可以计算得，当ΔADE ∽ΔBCE 时，a=b 3．
四．教学反思
相似三角形的定义、判定和性质是初中已学的内容，但在初中平面几何中没有给出定理的证明，通过本讲知识的学习可以体会逻辑推理、几何证明的重要性，在解题过程中应注意观察基本图形与定理间的关系，通过寻找基本图形把已知和未知联系起来，先明确需要证明哪两个三角形相似，再寻找三角形相似的条件，从而发现证题思路．
A
E D
C
B
图15-28
第三讲 直线和圆
教学目标
知识与技能：证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。
过程与方法：以“圆周角定理”和“圆的切线概念”为起点，采用从特殊到一般的思想方法，得出圆内接四边形的性质和判定定理的猜想及其证明，圆的切线的性质和判定的有关定理；
情感态度价值观：从特殊到一般的思想方法，通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。. 教学重点
圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理 教学难点
圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理 课 时 3课时
一．基础知识回顾
1、下列命题中错误的是（ ）．
A ．过一个圆的直径两端点的两条切线互相平行
B ．直线AB 与⊙O 相切于点A ，过O 作AB 的垂线，垂足必是A
C ．若同一个圆的两条切线互相平行，则连结切点所得的线段是该圆的直径
D ．圆的切线垂直于半径 答案:D.
2、如图15-29，PA 、PB 、CD 都是⊙O 的切线，A 、B 、E 为切点.若AP ⊥PB ，垂足为P ，ΔPDC 的周长为C ，⊙O 的周长为C 1，则C 1与3C 的大小关系是（ ） A ．C 1>3C B ．C 1<3C C ．C 1=3C D ．与半径有关 答案:A.
3、如图15-30，点P 是⊙O 的直径BA 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ，连结AC 、BC 、OC ，那么下列结论中正确结论的个数有（ ）． ①PC 2=PA·PB ；②PC·OC=OP·CD ；③OA 2=OD·OP ；④OA （CP －CD ）=AP·CD ． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案:D.
4、如图15-31，已知AB 是⊙O 的弦，AC 切⊙O 于点A ，∠BAC=60°，则∠ADB 的度数为 ． 答案:120°.
· B A D C
E O m 图15-31 O B P D C · E 图15-29 A
A O D P C
B ┐ 图15-30
二．典型例题讲解
例1．已知：ΔABC 内接于⊙O ，BT 为⊙O 的切线，P 为直线AB 上一点，过点P 作BC 的平行线交直线BT 于点E ，交直线AC 于点F .
（1）如图15-32（1），求证：当点P 在线段AB 上时，PA ·PB=PE ·PF ；
（2）如图15-32（2），当点P 在线段AB 的延长线上时，上述结论是否还成立？ 如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由.
分析：第（1）问中，要证明PA ·PB=PE ·PF ，就是证明四条线段所在的两个三角形相似． 解：（1）证明：∵BT 切⊙O 于点B ， ∴∠EBA=∠C ． ∵EF ∥BC ， ∴∠AFP=∠C ． ∴∠EBA=∠AFP ．
∵∠BPE=∠FPA ， ∴ΔPBE ∽ΔPFA ． ∴
PA
PE
PF PB =． ∴PA ·PB=PE ·PF ． （2）当P 为AB 延长线上一点时，（1）中的结论仍成立.
∵BT 切⊙O 于点B ， ∴∠ABM=∠ACB ． ∵∠ABM=∠PBE ， ∴∠PBE=∠ACB ． ∵EF ∥BC ， ∴∠F=∠ACB ． ∴∠PBE=∠F ．
∵∠P 是公共角 ， ∴ΔPBE ∽ΔPFA ． ∴
PA
PE
PF PB =． ∴PA ·PB=PE ·PF ． 评析：本题第（1）小题是在圆中求证等积式的问题．根据弦切角定理及已知条件PE ∥BC ，
证得ΔPBE ∽ΔPFA ，得到PA
PE
PF PB =，从而有PA ·PB=PE ·PF ．第（2）题中当点P 为AB 延长线上一点时，由于相切及PE ∥BC 的条件没变，因此相关的角的相等关系不变，仍可证得ΔPBE ∽ΔPFA ，得出相同的结论．
例2．如图15-33，已知⊙A 、⊙B 都经过点C ，BC 是⊙A 的切线， ⊙B 交AB 于点 D ，连结CD 并延长交⊙A 于点E ，连结AE . （1）求证：AE ⊥AB ；
（2）求证：DE ·DC=2AD ·DB ；
（3）如果DE ·DC=8，AE=3，求BC 的长.
分析：要证明AE ⊥AB ，只要证明∠EAD=90°，也就是证明ΔADE 的另外两个角互余，结合圆的
基本性质和切线的性质可得证．
·
P T
E
O C
F A
B
15-32（1）
· P
B
T
E
O
A
C
F
15-32（2） M
F
E
D
C B
A 图15-33
解：（1）证明：∵AC 与⊙B 相切 ，
∴AC ⊥BC ，
∴∠ACD ＋∠BCD=90?． ∵AC=AE ，BC=BD ，
∴∠ACD=∠E ，∠BCD=∠BDC ．
∵∠ADE=∠BDC ，
∴∠E ＋∠ADE=90?．
∴∠EAD=90? ． ∴AE ⊥AB ．
（2）证明：延长DB 交⊙B 于点E ，连结FC ，则DF=2DB ，∠DCF=90?．
∵AC 与⊙B 相切， ∴∠ACD=∠F ．∴∠E=∠F ． ∴Rt ΔADE ∽Rt ΔCDF ． ∴
DF
DE
CD AD = ． ∴DE ·DC=AD ·DF ． ∵DF=2DB ， ∴DE ·DC=2AD ·DB ．
（3）∵DE ·DC=2AD ·DB ，DE ·DC=8， ∴AD ·DB=4．
∵AC=AE=3，BD=BC ，AB 2=AC 2＋BC 2 ∴（AD ＋DB ）2=AE 2＋BC 2 ．
∴AD 2＋2AD ·DB ＋DB 2=9＋BC 2．
∴AD 2＋8=9 ． ∴AD=1．
∴BD= 4． 即BC= 4．
评析：第（2）题的突破口在2AD ·DB 的转化，除了延长半径成直径这一方法外，还可以延长DA 到G ，使AG=DA 等其它方法．事实上，在证明一些带有倍数的乘积式（或比例式）时，常常需要将它转化为标准的比例式，即用具体的线段代换“倍线段”，以便进一步探寻．本题的第（3）问还可以通过切割线定理来解决，同样需要运用整体思维方法和方程的思想.
例3．已知⊙O 1与⊙O 2的直径分别为4和2，如果它们有两条公切线互相垂直，试画出所有可能的图形，并求出圆心距的长.
分析：条件中没有明确说明公切线的类型，因此应分为三类：两条都是外公切线；两条都是内公切线；一条外公切线、一条内公切线．
解析：共有三种可能的图形，如下所示：
图1：连结O 1A 、O 2B ，则O 1A ⊥AB ，O 2B ⊥AB ．作O 2E ⊥O 1A ，垂足为E ．
根据条件可得在Rt ΔO 1O 2E 中，O 1E=O 1A －O 2B=2－1=1，∠O 1O 2A= 45?， ∴圆心距O 1O 2=2．
图2：连结O 1O 2，则O 1O 2经过两条公切线的交点E .连结O 1A 、O 2B ，
则O 1A ⊥AB ，O 2B ⊥AB ．
在Rt ΔO 1AE 中，O 1A=2，∠O 1EA=45? ，∴O 1E=22．
· · B C E
O 1 A D O 2
图1
B
· · A
C
D O 1
O 2
图2 E O 2 图3
A
B
C D O 1 E
∴圆心距O 1O 2=32．
图3：连结O 1A 、O 2B 、O 1C 、O 2D ，
则O 1A ⊥AB 、O 2B ⊥AB 、O 1C ⊥CD ，O 2D ⊥CD ．
连结O 1O 2，作O 2E ⊥O 1A ，垂足为E ，此时O 2、D 、E 三点共线．
在Rt ΔO 1O 2E 中，O 1E=O 1A －O 2B=2－1=1，O 2E=AB=O 1C ＋O 2D=2＋1=3，
∴圆心距O 1O 2=1013222
221=+=
+E O E O ．
评析：因为两个圆的半径分别为2和1，因此若两个圆外切，不可能出现两条外公切线互相垂直
或一条外公切线与一条内公切线互相垂直的情况．由此可以断定两圆的位置关系为相交或外离．当两圆外离时，又会有两条内公切线互相垂直（如图2）和一条外公切线与一条内公切线互相垂直（如图3）这两种可能．
在解题过程中，应用了这样一些性质：如果两圆有两条外（或内）公切线，并且它们相交，那么交点一定在两圆的连心线上，并且连心线平分两条外（或内）公切线的夹角．图3是容易被遗漏的一种情况，在图3中，两条互相垂直的公切线和两圆的半径构成两个正方形．
三．精选试题演练
1、如图15-34，AB=BC=CD ，∠E=40°，则∠ACD= ．
答案: 15°.
2、如图15-35，已知⊙O 的切线PC 与直径BA 的延长线相交于点P ，C 是切点，过A 的切线交PC 于D ，如果CD ∶PD=1∶2，DA=2，那么⊙O 的半径OC= ． 答案:23；
3、如图15-36，ΔABC 内接于⊙O ，AD 切⊙O 于A ，∠BAD=72°，则∠ACB= ． 答案:108°.
4、如图15-37，已知AD 、AE 分别和圆相切于点D 、E ，直线BC 和圆相切于点F ，和AD 、AE 分别相交于B 、C 两点.AB=8，BC=7，AC=9，∠DAE=50?，则AD=——————，BF=——————，∠OAD=——————，∠DOE=——————，∠DFE=——————.. 答案:12，4，25?，130?，115?.
5、如图15-38，ABCD 是⊙O 的内接四边形，AC 平分∠BAD 并与BD 交于E 点，CF 切 ⊙O 于C 交AD 延长线于F ，图中四个三角形：①ΔACF ；②ΔABC ；③ΔABD ；④ΔBEC ，
其中与ΔC DF 一定相似的是（ ）．
A ．①②③
B ．②③④
C ．①③④ D
．①②④ 答案
:D ；
A B
C
D E
图15-34
图15-35
D 图15-36
1 O ·
A
B
C D
F
A
D B
C
F
O
m
6、如图15-39，已知⊙O 1与⊙O 2外切于点A ，⊙O 1的弦BC 的延长线切⊙2于点D ，BA 交⊙O 2于点E ．求证：∠CAD=∠DAE ．
提示：过A 作两圆的公切线AF 交BD 于F ，∵AF 、BD 都是⊙O 的切线， ∴∠FAC=∠B ，∠FDA=∠FAD ．∵∠DAE=∠FDA ＋∠B ，∠CAD=∠FAC ＋∠FAD ， ∴∠CAD=∠DAE ．
7、如图15-40，CA 、CD 分别切⊙O 于A 、D ，AB 是⊙O 的直径，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE 交BC 于点G ，求证：EG=DG ．
提示：过B 作⊙O 的切线交直线CD 于F ， 由
CA
DG
CD DG CF BF CF DF AB BE AC EG =====, 可得EG=DG ．
8、如图15-41，AB 是⊙O 的直径，AB=2R ，直线l 和⊙O 相切于点B ，D 是圆上的一个动点（不与A 、B 重合），过点D 的⊙O 的切线交l 于点C ，连结AD 、OC ，则不论点D 在圆上如何移动，总有AD ∥OC ，且AD ·OC=2R 2，你能说出理由吗？
提示：连结BD .∵CD 、CB 是圆的切线，∴CD=CB ，CO 平分∠BCD ．∴CO ⊥BD ．
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90?．∴AD ⊥BD ，∴AD ∥OC ． ∵CB 与⊙O 切于B ，∴CB ⊥OB ． ∵AD ∥OC ，∴∠DAB=∠COB ． ∴Rt ΔADB ∽Rt ΔOBC ．∴OC
AB
OB AD =．∴AD ·OC=AB ·OB=2R 2．
A B C D E
O 1
O 2
· · 图15-39 图15-40 E
A B G D C O
· O
B A l
C
D
图15-41
BC 相交于E .求证：（1）ID 是AD 和DE 的比例中项；（2）I 为ΔABC 的内心
.
提示：（1）∵D
是BC 的中点， ∴BD=DC ．∴∠DBE=∠DAB ．
∵∠D 是ΔDBE 和ΔDAB 的公共角，∴ΔDBE ∽ΔDAB ． ∴DB :DA=DE :DB ． ∴DB 2=AD ·DE ． ∵DI=DB ， ∴DI 2=AD ·DE ． 即：I D 是AD 和DE 的比例中项． （2）连结BI ．
∵DI=DB ， ∴∠DBI=∠DIB ． ∵ΔDBE ∽ΔDAB ， ∴∠DBE=∠DAB ． ∵∠DBI=∠DBE+∠IBE ，∠DIB=∠DAB+∠IBA ， ∴∠IBE=∠IBA ．
∵D 是BC 的中点， ∴∠BAD=∠CAD ． 即IA 平分∠BAC ．∴I 为ΔABC 的内心．
10、如图15-43，已知BC 为⊙O 的一条弦，它所对的劣弧CB 的度数为124°，CB 的延长线上有一个动点P ，PA 切⊙O 于A ，∠APB 的平分线交AB 于E ，交AC 于D ． 求证：（1）∠ADP 的大小为定值；（2）PA 2∶PB 2=DC ∶EB ．
提示：（1）证∠ADE=∠AED 可得∠ADP=59°； （2）证ΔPAD ∽ΔPBE ，ΔPCD ∽ΔPAE ．
四．教学反思
1
两个图形的区别在于图一中标注出了公共点C （已知直线过圆上某一点），因此在解决图一所代表的一类问题中，添加辅助线的方法是：连结OC . 通过证明OC ⊥ AB.得到直线AB 是圆的切线，即证明位置关系，其理论依据是直线与圆相切的判定定理.图二所代表的一类问题不给出公共点的字母（直线与圆的公共点没有确定），因此添加辅助线的方法是：过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C . 通过证明OC 等于⊙O 的半径得到直线AB 是圆的切线，即证明数量关系，其理论依据是直线与圆相切的定义：如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么直线l 与圆相切?d = r .
因此要解决直线与圆相切的问题，只要仔细分析题目的条件及图形特征符合上面的哪种情况，选择相对应的解决方法.
I · D · E C
B A
图15-42
A · O B
C
D P
图15-43
E
A
图1 B 图2
2、如图，直线PA 与⊙O 相切，A 为切点，则有：（1）OA ⊥PA ；（2）∠PAB=∠C.
已知直线与圆相切时，常常连结圆心和切点，得到半径，则半径与切线垂直，简述为“遇到切点连半径”.弦切角是除圆心角、圆周角、圆内接四边形的内角、外角之外和圆相关的又一类特殊的角，它在解决与圆有关的证明、计算的问题中起着重要作用.
A
P
B
C
O
第四讲 与圆有关的比例线段
教学目标
知识与技能：证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。 过程与方法：先猜后证，猜想的获得应用了“从特殊到一般”的思想方法。 情感态度价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点
相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。 教学难点
相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。 课
时 3课时
一．基础知识回顾
1、如图15-44，点P 为弦AB 上一点，连结OP ，过点P 作PC ⊥OP ，PC 交⊙O 于C ，若AP = 4，PB = 2，则PC 的长是（ ）．
A ．2
B ．2
C ．22
D ．3 答案:C .
2、如图15-45，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，PC=3，PB=1， 则⊙O 的半径为（ ）． A ．
25 B ．3 C ．4 D ．2
9 答案:C. 3、如图15-46，PA 与圆切于点A ，割线PBC 交圆于点B 、C ，若PA=6，PB=4， AB 的度数为60?，则BC= ，∠PCA= ?， ∠PAB= ?． 答案:5,30,30.
4、如图15-47，两个同心圆间的圆环的面积为16π，过小圆上任一点P 作大圆的弦AB ，则PA ·PB= ． 答案:16.
O P · C
B
A
图15-44 A B P C · 图15-45 O B C A
P 图15-46 B
图15-47
P A
二．典型例题讲解
例1．如图15-48，已知⊙O 的半径为9cm ，OP=7cm ，弦AB 过P 点，且PA=2PB ， 求AB ．
分析：这个图形比较容易联想到相交弦定理的基本图形，因此可以将线段OP 向两边延长．
解：作过P 点的直径CD ，则PC=9－7=2cm ，PD=9＋7=16cm ． 根据相交弦定理得：PA ·PB=PC ·PD ． ∵PA=2PB ， ∴2PB 2=2×16． 解得：PB= 4cm ．
∴AB=PA ＋PB=8＋4=12cm ．
评析：若设本题中⊙O 的半径为R ，则PC=R －OP ，PD=R ＋OP ，
那么PA ·PB=PC ·PD=（R －OP ）（R ＋OP ），即PA ·PB=R 2－OP 2.
事实上，若⊙O 的半径为R ，如图所示，定点P 到圆心的距离为d ，过点P 的直线与⊙相交于A 、
B 两点，则PA ·PB 是一个定值，这个定值为∣R 2-d 2∣.
例2．如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且DE 2=EF ·EC . （1） 求证：∠P=∠EDF ； （2） 求证：CE ·EB=EF ·EP ；
（3） 若CE : BE=3 : 2，DE=6，EF= 4，求PA 的长.
分析：由CD ∥AP 得∠C=∠ P ，因此要证明∠P=∠EDF ，只要证明∠EDF=∠C ，问题进一步可以转化为证明ΔDEF ∽Δ
CED ．
证明：（1）∵DE 2=EF ·EC ，
∴DE : CE=EF : ED ．
∵∠DEF 是公共角，
∴ΔDEF ∽ΔCED ． ∴∠EDF=∠C ． ∵CD ∥AP ， ∴∠C=∠ P ． ∴∠P=∠EDF ．
（2）∵∠P=∠EDF ， ∠DEF=∠PEA ，
∴ΔDEF ∽ΔPEA ． ∴DE : PE=EF : EA ．
即EF ·EP=DE ·EA ．
∵弦AD 、BC 相交于点E ，∴DE ·EA=CE ·EB ． ∴CE ·EB=EF ·EP ．
（3）解：∵DE 2=EF ·EC ，DE=6，EF= 4， ∴EC=9． ∵CE : BE=3 : 2， ∴BE=6．
∵CE ·EB=EF ·EP ，∴9×6=4×EP ．解得：EP=2
27． ∴PB=PE －BE=
215， PC=PE ＋EC=2
45． B A P
O O P B A P · B
A
O C
D
图15-48
· P
E O
D C
B A F 图15-49
由切割线定理得：PA 2=PB ·PC ， ∴PA 2=215×2
45． ∴PA=
32
15
． 评析：本题中DE 2=EF ·EC 这一条件是解决问题的突破口.当要证明成比例的线段在同一直线上时，往
往寻找过渡乘积式来解决问题.
应用相交弦定理、切割线定理及推论的证明题的解决方法较多，常见的有：（1）找过渡乘积式证明等积式成立；（2）为三角形相似提供对应边成比例的条件；（3）利用等积式来证明有关线段相等.
例3．已知：⊙O 1与⊙O 2相交于点A 、B ，AC 切⊙O 2于点A ，交⊙O 1于点C .直线EF 过点B ，交⊙O 1于点E ，交⊙O 2于点F ．
（1）设直线EF 交线段AC 于点D （如图15-50（1））． ①若ED=12，BD=25，BF=11，求DA 和DC 的长； ②求证：AD ·DE=CD ·DF ．
（2）当直线EF 绕点B 旋转交线段AC 的延长线于点D 时（如图15-50（2）），试问AD ·DE=CD ·DF 是否仍然成立？证明你的结论．
分析：根据条件DA 与⊙O 2相切，因此可以先通过切割线定理求出线段DA 的长，再根据相交弦定理求出线段DC 的长．
解：（1）①在⊙O 2中，DA 切⊙O 2于A ，DBF 交⊙O 2于B 、F ．
∴DA 2=DB ·DF=25×（25＋11）， ∴AD=30．
在⊙O 1中，弦AC 、BD 交于D ， ∴DE ·DB=AD ·CD ． ∴12×25=30×CD ． 解得CD=10． （2）证明：方法一：连结AB 、AF 、EC ．
∵DA 和⊙O 2切于点A ， ∴∠DAB=∠F ．
∵∠E=∠DAB ， ∴∠E=∠F ． ∴EC ∥AF ． ∴DE ∶DF=DC ∶DA ． ∴AD ·DE=DF ·DC ．
方法二：根据圆的切割线定理和相交弦定理得：AD 2=DB ·DF ，AD ·DC=DB ·DE ． ∴AD ∶DB=DF ∶AD ，AD ∶DB=DE ∶DC ． ∴DF ∶AD=DE ∶DC ． ∴AD ·DE=DF ·DC ． （2）仍然成立.
证明：方法一：连结AB 、AF 、EC ．
∵ACEB 是⊙O 1的内接四边形， ∴∠DEC=∠CAB ． ∵DA 是⊙O 2的切线， ∴∠CAB=∠F ．
∴CE ∥AF ， ∴DC ∶DA=DE ∶DF ． 即： AD ·DE=DF ·DC ．
方法二：根据圆的切割线定理及其推论得：DA 2=DB ·DF ，DC ·DA=DE ·DB ， ∴AD ∶DB=DF ∶AD ，AD ∶DB=DE ∶DC ．
D
·
O 2 O 1 F
E C
B
A
· 图15-50（1）
·
O 2
A
B F
E C
·
O 1 图15-50（2）
B C D O A P 1.如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上， 且PB=OB=2,PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则PC= ， CD= . 2．如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ， ,32=PC 若∠CAP ＝30°，则⊙O 的直径AB ＝___________ 答案4 3．已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距离为22，3AB =，则切线AD 的长为 _____。 解：依题意，BC =，∴AC =5，2 AD =.AB AC =15， ∴AD =15 4．如图，PA 切O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB=PB=1, OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为 . 解：∵PA 切O 于点A ，B 为PO 中点，∴AB=OB=OA, ∴60AOB ∠= ,∴120POD ∠= , 在 △ POD 中 由 余 弦 定 理 ， 得 2222cos PD PO DO PO DO POD =+-?∠=1 414()72 +-? -= ∴PD 5．如图，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为弦，过B 点的切线与AD AD=DC ，则 sin ∠ACO=_________ 解：由条件不难得ABC ?为等腰直角三角形，设圆的半径为1，则1OB =，2BC =， OC =
sin BCO ∠= = ，s co BCO ∠= ∴ sin ∠ACO=0sin(45BCO -∠）=1010 6．如图，PT 是O 的切线，切点为T ，直线PA 与O 交于A 、B 两点，TPA ∠的平分线分别交直线TA 、 TB 于D 、E 两点，已知2PT =，PB =，则PA = ， TE AD = ． ； 7．已知AB 是圆O 的直径，EF 切圆O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 长为_______. 、23； 8．已知AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD AB ⊥于点D ，且4AD DB =，设 COD θ∠=，则cos 2θ＝ ． 解：()44,AD DB OC OD OC OD =∴+=- 即35OC OD =， 22 2 37cos 22cos 12121525OD OC θθ???? =-=?-=?-=- ? ? ???? 9．如图，圆O 是 ABC ?的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD =3AB BC ==。则BD 的长______________ ， AC 的长______________． 4，； 10．如图，⊙O 的直径AB =6cm ，P 是AB 延 长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ， 若CPA ∠=30°，PC = 。 解：连接OC ，PC 是⊙O 的切线，∴∠OCP=Rt ∠． ∵CPA ∠=30°，OC= 2AB =3， ∴0 3tan 30PC =，即PC= 11．如右图所示，AB 是圆O 的直径， AD DE =，10AB =，8BD =，则cos BCE ∠= ． 35 12．如图：PA 与圆O 相切于A ，PCB 为圆O 的割线， P
高中数学选修4-4，几何证明选讲相关 知识点 相似三角形的判定及有关性质 知识点1：比例线段的有关定理 平行线等分线段定理： 推论1： 推论2： 平行线等分线段成比例定理： 推论：(1) (2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边． 知识点2：相似图形 1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 叫做相似比（或相似系数） 2、相似三角形的判定方法 预备定理：平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 定理的基本图形语言：
数学符号语言表述是：BC DE // ∴ADE ∽ABC ． 判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似. 判定定理2：如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 判定定理3：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两个三角形相似. 判定定理4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似． 三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下： 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法. 3、相似三角形的性质定理： （1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于 ； （2）相似三角形的周长比等于 ； （3）相似三角形的面积比等于 ； （4）相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 4、直角三角形的射影定理 从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段. 点和线段的正射影简称为射影 直角三角形的射影定理：
一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 2. 线面相交 l 符号表示： 符号表示： 3. 线在面内 符号表示： 二．平行关系： 1.线线平行： 方法一：用线面平行实现。方法二：用面面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三：用线面垂直实现。若α α⊥ ⊥m l,，则m l//。 2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二：用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 3.面面平行： 方法一：用线线平行实现。方法二：用线面平行实现 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l 。β α β α α // , // // ? ? ? ? ? ? ?且相交 m l m l 三．垂直关系： l
1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 方法二：用面面垂直实现。 α α⊥??? ????? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , αββαβα⊥???? ???⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 方法二：计算所成二面角为直角。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 3. 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥????
实用标准文案 1、如图，已知空间四边形ABCD 中，BC AC , AD BD ，E是AB的中点。 求证：（ 1）AB平面CDE;（2）平面CDE平面ABC。A E B C 2、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， E 是 AA1的中点，D 求证： AC1 // 平面 BDE 。A D1 B1C E A 3、已知ABC 中ACB 90o,SA面ABC,AD SC , D B C 求证： AD面 SBC ．S D A B ABCD A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.C 4、已知正方体 D1C1求证： (１ ) C1O∥面AB D； (2) AC面 AB D ． B1 1 11 1 1 A1 D C O A B 5、正方体ABCD A ' B 'C ' D ' 中，求证： （1） AC 平面 B ' D ' DB ； （2） BD ' 平面 ACB ' . 6、正方体 ABCD —A B C D中． 1111 D 1C 1 (1) 求证：平面 A1 BD∥平面 B1D1C； A B1 (2) 若 E、 F 分别是 AA ， CC的中点，求证：平面 EB D1F ∥平面 FBD ． 1111 E G C
实用标准文案 2o 7、四面体ABCD 中，AC BD , E, F 分别为 AD , BC 的中点，且 EF AC ，BDC 90 ， 求证： BD平面ACD 8、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， E 、F、G分别是AB、AD、 C1 D1的中点.求证：平面 D1EF ∥平面 BDG . 9、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， E 是 AA1的中点. （1）求证：A1C //平面BDE； （2）求证：平面A1AC平面BDE . 10、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB 2 ， PA AD 4 ， E 为 BC 的中点． （ 1）求证：DE平面PAE； （ 2）求直线DP与平面PAE所成的角． 11、如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是DAB 600且边长为 a 的菱形， 侧面 PAD 是等边三角形，且平面 PAD 垂直于底面 ABCD ．（ 1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD； （ 2）求证：AD PB． 12、如图 1,在正方体ABCD A B C D中， M 为 CC的中点， AC 交 BD 于点 O，求证：AO平面 MBD ． 1 1 1 111 13 、如图２，在三棱锥Ａ－ BCD 中， BC＝ AC， AD＝ BD， 作BE⊥ CD，Ｅ为垂足，作 AH⊥ BE 于 Ｈ．求证： AH⊥平面 BCD．
高中数学-《几何证明选讲》知识点归纳与练习（含答案） 一、相似三角形的判定及有关性质 平行线等分线段定理 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。 推理1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推理2 :经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。 平分线分线段成比例定理 平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定： 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似 系数）。 由于从定义岀发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给岀过如下几个判定两个三角形相似的简单方法： （1 ）两角对应相等，两三角形相似； （2 ）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3 ）三边对应成比例，两三角形相似。 预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。 判定定理1 :对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三 角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。 判定定理2 :对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等， 那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 判定定理3 :对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个 三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。 引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；
立体几何简答题练习 1、正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB,在AE 、BD 上各有一点P 、Q,且AP=DQ 。求证:PQ ∥平面BCE.（用两种方法证明） 2、如图所示,P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,E 、F 分别在PA 、BD 上,且PE:EA=BF:FD,求证:EF ∥平面PBC. 3、如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点。 求证：（1）EG ∥平面BB 1D 1D ； （2）平面BDF ∥平面B 1D 1H ．
4、如图所示，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC ＝l. (1)求证：l ∥BC ； (2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论。 5、如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA=SB ，点M 是SD 的中点，AN ⊥SC ，且交SC 于点N 。 （1）求证：SB ∥平面ACM ； （2）求证：平面SAC ⊥平面AMN ； （3）求二面角D-AC-M 的余弦值。 6、如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD,且PA=PD= 2 2 AD,E 、F 分别为PC 、BD 的中点. 求证:(1) 求证:EF ∥平面PAD; (2) 求证:平面PAB ⊥平面PDC; (3) 在线段AB 上是否存在点G,使得二面角C-PD-G 的余弦值为3 1 ?说明理由.
如何做几何证明题 知识归纳总结： 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 一. 证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的 系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两
的角平分线AD、CE相交于O。 （补
AE＝BD，连结CE、DE。
求证：BC＝AC＋AD B、C作此射线的垂线BP和CQ。 设M为BC的中点。求证：MP＝MQ
1.如图4所示,圆O的直径AB=6, C为圆周上一点，BC=3过C作 圆的切线I ,过A作I的垂线AD垂足为D，则/ DAC=（） A 15 B. 30 C 45 D. 60 C 66cm D. 99cm 【解析】由弦切角定理得◎，戈AD丄匚故如C二3兀 故选& 2?在肋URC中，CD、CE分别是斜边朋上的高和中线，是该图中共有x个三甬形与WC相僦则“（） A.0 B. 1 C.2 D. 3【解析】2个;AACD和人仙此故选U 3. 一个圆的两眩相交，一条眩被分为辽和辽ea两段.另一弦被分为3:乳则另一 弦的长为〔） XL 1 lrw B. 33ci^ 【解析】设另一弦被分的两段长分别为魏昭L叽由相交弦定理得 3Jl?jt=12kL83解得k = h故所求弦长为3Jt+8/t =llJt = 33 COT.故选 B. 4?如图」在ilSC和AZZSE孔一=—=—=-,若3C与D￡ BE DE 3 M)￡E^周长之差为Wm,则WC的周长为( 25 「0 S .?_、cm U —cm ■+ ~ 3 几20 cm D. 25 cm 【解祈】利用相似三角形的村似比等于周长比可得答峯良 5. Zl O的割线PAB交心O于凤月两点，割线PCD经过圆心】已知 __ ______ 22 3 ,则00的半径为（） PA 6,PO 12, AB A.4 C.6 .14 D8 【解析】U O 22 半径为r,由割线定理有6（622）（12 r）（12 r） 6.如图，AB是半圆0的直径，点C在半圆上，CD AB于点D ,
tan2— 且AD 3DB ,设COD ,则2 =（） 1 1 A. 3 B. 4 C. 4 2y/3 D 3 Off析】设半径为九则AD^-r.BD^丄儿由CD1 AD得= 从而 2 2 2 0 = —.ifctan2—= 3 2 3 匸在辺?中，D=E分别为AB=ACh的点，且DE^BC3 MDE的面积是曲,梯^DBCE的面积为弘存，则C的值为〔） A1;击 B.1;2 G 1;3 D. 1:4 【解折】仙丘-WC、和用面积比等于相似比的平方可得答案良 8. 半径分别为1和2的两圆外切，作半径为3的圆与这两圆均相切，一共可作（）个. A.2 B3 C.4 D5 【解析】一共可作5个，其中均外切的2个，均内切的1个，一外切一内切的2个，故选D. 9. 如图甲，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD .由4个这样的 等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形 则四边形ABCD中A度数为（）
高三第一轮复习资料（个人汇编请注意保密） 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等 函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线 与方程、导数及其应用。选修1—2：统计案例、推理与证明、 数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。选修2—2：导数及其应用，推理与证 明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其 分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平 面向量，圆锥曲线，立体几 何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运 算、简易逻辑、充 要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与 定义域、值域与最值、反函 数、三大性质、函数图象、 指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用
A P B C F E D 立体几何专题训练 1．在四棱锥P －ABCD 中，PA ＝PB ．底面ABCD 是菱形， 且∠ ABC ＝60°．E 在棱PD 上，满足DE ＝2PE ，M 是AB 的中点． （1）求证：平面PAB ⊥平面PMC ； （2）求证：直线PB ∥平面EMC ． 2．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相 等， D 、 E 分别是CC 1和AB 1的中点，点 F 在BC 上且满 足BF ∶FC =1∶3. (1)若M 为AB 中点，求证：BB 1∥平面EFM ； (2)求证：EF ⊥BC 。 3.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E P 分别是 11,BC A D 的中点，M 、N 分别是1,AE CD 的中点，1,2AD AA a AB a === （1）求证：//MN 面11ADD A （2）求三棱锥P DEN -的体积 4如图1，等腰梯形ABCD 中，AD ∠ο 60⊥⊥⊥ 4a 2a （1）求证：平面PCF ⊥平面PDE ； （2）求四面体PCEF 的体积. 6如图，等腰梯形ABEF 中，//AB EF ，AB =2， 1AD AF ==，AF BF ⊥，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CBF ； （Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ； （Ⅲ）求三棱锥C BEF -的体积. 7在直三棱柱111C B A ABC -中，,900=∠ABC E 、F 分别为 11A C 、11B C 的中点,D 为棱1CC 上任一点. （Ⅰ）求证：直线EF ∥平面ABD ；（Ⅱ）求证：平面ABD ⊥平面11BCC B 8已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的所有棱长均为2，G 为 AF 的中点。 （1）求证：1F G ∥平面11BB E E ； （2）求证：平面1F AE ⊥平面11DEE D ； D A B C P E M A B D C E A B C D E P F A B C D E F M O C 1 A B C D E F A 1 B 1
高一数学常考立体几何证明题 1、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 2、如图，在正方体1111 ABCD A B C D -中，E 是 1 AA 的中点， 求证： 1// A C 平面BDE 。 3、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥, 求证：AD ⊥面SBC ． 4、已知正方体 1111 ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C1O ∥面11 AB D ；(2) 1 AC ⊥面 11 AB D ． 5、正方体''''ABCD A B C D -中，求证： ''AC B D DB ⊥平面； 6、正方体ABCD —A1B1C1D1中． (1)求证：平面A1BD ∥平面B1D1C ； (2)若E 、F 分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD ． 7、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且 22EF AC = ，90BDC ∠=， A E D B C A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C A 1 A B 1 B C 1 C D 1 D G E F
求证：BD ⊥平面ACD 8、如图，在正方体 1111 ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、 11 C D 的中点.求证：平面 1D EF ∥平面BDG . 9、如图，在正方体1111 ABCD A B C D -中，E 是 1 AA 的中点. （1）求证： 1// A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥ 平面BDE . 10、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==， E 为BC 的中点． 求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 11、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是0 60DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥． 12、如图1,在正方体 1111 ABCD A B C D -中，M 为 1 CC 的中点，AC 交BD
相似三角形的判定及有关性质一一备课人：李发 知识点1比例线段的相关概念 比例线段：对于四条线段a b c、d ,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即- - b d （或a:b=cd ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 注意：⑴在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位. ⑵当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式. ⑶比例线段是有顺序的，如果说a是b,c,d的第四比例项，那么应得比例式为：b d c a 知识点2:比例的性质 基本性质：(1) a: b c: d ad bc；(2) a : c c: b c a b . 反比性质（把比的前项、后项交换）： a c b d b d a c b a d c a c a b cd 合比性质：?.发生同样和差变化比例仍成立.如： a c a c等等. b d b d a b c d a b c d o p p m八，，小、a c e m a 等比性质：如果一(b d f n 0)，那么 b d f n b d f n b 注意：实际上，由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如ad be,除 了可化为a:b c:d，还可化为a:c b:d , c: d a : b , b:d a : c , b:a d:c, c:a d:b, d : c b: a , d:b c:a. 知识点3:比例线段的有关定理 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等?推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边?（三角形中位线定理的逆定理） 推论2 :经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰?（梯形中位线定理的逆定理） 平行线等分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 推论：（1）平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例. （2）平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边. 知识点：4 :黄金分割 把线段AB分成两条线段AC,BC（AC BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线 段AB的黄金分割点，其中AC AB 0.618AB . 2 知识点5:相似图形 1、相似图形的定义：把形状相同的图形叫做相似图形（即对应角相等、对应边的比也相等的图形） 相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫 做相似比（或相似系数） （1 ）相似三角形是相似多边形中的一种;
几何证明选讲 沙市五中高三数学组 一、填空题(每小题6分，共48分) 1．如图所示，l1∥l2∥l3，下列比例式正确的有________(填序号)． (1)AD DF ＝ CE BC ；(2) AD BE ＝ BC AF ；(3) CE DF ＝ AD BC ；(4) AF DF ＝ BE CE . 2．如图所示，D是△ABC的边AB上的一点，过D点作DE∥BC交AC于E.已 知AD DB ＝ 2 3 ，则 S △ADE S 四边形BCED ＝ __________________________________________________________________. 3．如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则EF BC ＋ FG AD ＝________.
4．在直角三角形中，斜边上的高为6，斜边上的高把斜边分成两部分，这两部分的比为3∶2，则斜边上的中线的长为________． 5．(2010·苏州模拟)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，过点O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，则EF＝________. 6．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于G，EC 的长为4，则EG＝________. 7．(2010·天津武清一模)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF ∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE＝________. 8．如图所示，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ BC ＝ ________. 二、解答题(共42分) 9．(14分)如图所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC 的平分线，交AD于F，求证：DF AF ＝ AE EC .
高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总 （一）立体几何中平行问题 证明直线和平面平行的方法有： ①利用定义采用反证法； ②平行判定定理； ③利用面面平行，证线面平行。 主要方法是②、③两法 在使用判定定理时关键是确定出面内的 与面外直线平行的直线. 常用具体方法：中位线和相似 例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点. 求证：PC∥面BDQ. 证明：如图，连结AC交BD于点O. ∵ABCD是平行四边形， ∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内， 且O Q是△APC的中位线， ∴PC∥O Q. ∵PC在平面BDQ外， ∴PC∥平面BDQ. 例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证： (1)E、F、B、D四点共面； （2）面AMN∥面EFBD.
证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图， 则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥ 21B 1D 1.∴EF ∥2 1 BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面. （2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ?面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O , ∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q. 而O Q ?平面EFBD ， ∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ，PA 、MN ?面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD. 例3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=4 6， A 是P 1D 的中点，沿A B 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PE C ； 证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，
高中数学立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若 BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 考点：线面垂直，面面垂直的判定 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。 考点：线面平行的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=o ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 考点：线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 A E D C B D C B A A H G F E D C B A E D B C S D C B A D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C
N M P C B A 6、正方体''''ABCD A B C D -中， 求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面. 考点：线面垂直的判定 7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面 FBD ． 考点：线面平行的判定（利用平行四边形） 8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点， 且2 2 EF AC = ， 90BDC ∠=o ，求证：BD ⊥平面ACD 考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形 9、如图P 是ABC ?所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，3AN NB = （1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=o ，24AB BC ==时， 求MN 的长。 考点：三垂线定理 10、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、 AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG . 考点：线面平行的判定（利用三角形中位线） 11、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE . 考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定 12、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点． （1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 考点：线面垂直的判定,构造直角三角形 A 1 A B 1 C 1 D 1 D G E F
(一)几何证明选讲 1.如图，O 是△ABC 外接圆的圆心，∠ACB ＝54°，求∠ABO 的值． 解 连结OA ，因为O 是圆心，所以∠AOB ＝2∠ACB ， 所以∠ABO ＝12(180°－∠AOB ) ＝12 (180°－2∠ACB ) ＝90°－∠ACB ＝90°－54°＝36°. 2.如图，已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，BE 切圆O 于点B ，D 是CE 与圆O 的交点，若∠BAC ＝60°，BE ＝2，BC ＝4，求线段CD 的长． 解 因为BE 切圆O 于点B ，所以∠CBE ＝∠BAC ＝60°. 因为BE ＝2，BC ＝4，由余弦定理得EC ＝2 3. 又BE 2＝EC ·ED ，所以DE ＝ 233， 所以CD ＝EC －ED ＝23－233＝433 . 3．如图，已知点C 在圆O 的直径AB 的延长线上，CD 是圆O 的一条切线，D 为切点，点D 在AB 上的射影是点E ，CB ＝3BE . 求证：(1)DB 是∠CDE 的平分线； (2)AE ＝2EB . 证明 (1)连结AD ，∵AB 是圆O 的直径， ∴∠DAB ＋∠DBA ＝90°，
∵DE ⊥AB ，∴∠BDE ＋∠DBA ＝90°， ∴∠DAB ＝∠BDE ， ∵CD 切圆O 于点D ， ∴∠CDB ＝∠DAB ， ∴∠BDE ＝∠CDB ， ∴DB 是∠CDE 的平分线． (2)由(1)可得DB 是∠CDE 的平分线， ∴CD DE ＝CB BE ＝3，即CD ＝3DE . 设BE ＝m (m >0)，DE ＝x (x >0)，则CB ＝3m ，CD ＝3x ， 在Rt △CDE 中， 由勾股定理可得(3x )2＝x 2＋(4m )2，则x ＝2m ， 由切割线定理得CD 2＝CB ·CA ，(32m )2＝3m ·CA ， CA ＝6m ，AB ＝3m ，AE ＝2m ， 则AE ＝2EB . 4．(2018·江苏海安中学质检)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，它的内切圆分别与边BC ，CA ，AB 相切于点D ，E ，F ，连结AD ，与内切圆相交于另一点P ，连结PC ，PE ，PF ，已知PC ⊥PF ， 求证：(1)PF FD ＝PD DC ；(2)PE ∥BC . 证明 (1)连结DE ， 则△BDF 是等腰直角三角形， 于是∠FPD ＝∠FDB ＝45°， 故∠DPC ＝45°. 又∠PDC ＝∠PFD ，则△PFD ∽△PDC ， 所以PF FD ＝PD DC .① (2)由∠AFP ＝∠ADF ，∠AEP ＝∠ADE ， 知△AFP ∽△ADF ，△AEP ∽△ADE . 于是，EP DE ＝AP AE ＝AP AF ＝FP DF . 故由①得EP DE ＝PD DC ，②
高中数学高考总复习几何证明选讲习题 (附参考答案) 一、选择题 1．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( ) A ．y 是x 的增函数 B ．y 是x 的减函数 C ．y 随x 的增大先增大再减小 D ．无论x 怎样变化，y 为常数 [答案] D [解析] ∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△P AR 的中位线，∴EF ＝12 AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数． 2．(2010·湖南考试院)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连结BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 [答案] C [解析] 由条件知AF ＝2，BF ＝BE ＝1， ∴S △ADE ＝12AE ×DF ＝12 ×4×3＝6， ∵CE ∥DB ，∴S △DBC ＝S △DBE ，∴S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝6. 3．(2010·广东中山)如图，⊙O 与⊙O ′相交于A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q
和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3，NQ ＝15，则PN ＝( ) A ．3 B.15 C ．3 2 D ．3 5 [答案] D [解析] 由切割线定理知： PN 2＝NB ·NA ＝MN ·NQ ＝3×15＝45， ∴PN ＝3 5. 4．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD BD ＝32，则斜边AB 上的中线CE 的长为( ) A ．5 6 B.56 C.15 D.3102 [答案] B [解析] 设AD ＝3x ，则DB ＝2x ，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，∴36＝6x 2，∴x ＝6，∴AB ＝56， ∴CE ＝12AB ＝562 . 5．已知f (x )＝(x －2010)(x ＋2009)的图象与x 轴、y 轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( ) A ．(0,1) B ．(0,2)
由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化： a a OA a PO a PO a AO ?⊥?⊥⊥?⊥αα 在内射影则 面面垂直判定 线面垂直定义 l a l a ⊥??⊥? ??α α 面面垂直性质，推论2 αβ αββα⊥=?⊥?⊥??? ? ? b a a b a , αγβγαβ γ⊥⊥=?⊥? ?? ? ? a a 面面垂直定义 αβαβαβ =--?⊥? ?? l l ，且二面角成直二面角
面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2a b a b //⊥?⊥??? α α a b a b ⊥ ⊥???? αα// a a ⊥⊥?? ?? αβα β // αβα β//a a ⊥⊥? ?? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90 ° （2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180° 2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。
专题：几何证明选讲 【知识梳理】 1.相似三角形的判定定理： 判定定理1.两角对应相等的三角形相似。 判定定理2.三边对应成比例的两个三角形相似。 判定定理3.两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似。 2.相似三角形的性质 性质定理1.相似三角形对应边上的高、中线和它们的周长的比都等于相似比。 性质定理2.相似三角形的面积比等于相似比的平方。 3.平行截割定理 三条平行线截任意两条直线，所截出的对应线成比例。 4.射影定理 直角三角形中，每一条直角边是这条直线边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项。 5.圆周角与弦切角 圆的切线判定定理：经过圆的半径的外端切垂直于这条半径的直线，是圆的切线。 圆的切线的性质定理：圆的切线垂直过圆的半径。 推论1.从圆外的一个已知点所引的两条切线长相等。 推论2.经过圆外的一个已知点和圆心的直线，平分从这个点向圆所做的两条切线所夹的角。 6.圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。 推论1.直径所对的圆周角都是直角 推论2.同弧或等弧所对的圆周角相等。 推论3.等于直角的圆周角所对的弦是圆的直径。 7.弦切角定理 弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。 推论：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。 8.圆幂定理 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线短长的积相等。 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。圆幂定理：（不用掌握） 9.圆内接四边形的性质 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 10.圆内接四边形的判定 定理：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆。 【知识梳理】 平行线等分线段定理 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。 推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。平分线分线段成比例定理 平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。相似三角形的判定及性质